III. DISTRIBUSI FERMI-DIRAC DAN MAXWELL-BOLTMANN 3.1 Distribusi Fermi-Dirac
Distribusi elektron pada pita konduksi dan lubang pada pita valensi diberikan oleh distribusi Fermi-Dirac distribusi Fermi-Dirac
dn ( E ) = ρ C ( E ) ⋅ f n ( E ) ⋅ dE
(3.1)
dp ( E ) = ρ V ( E ) ⋅ f p ( E ) ⋅ dE
(3.2)
dan
ρ c(E) dan ρ v(E) adalah fungsi rapat keadaan (density of states) pada pita konduksi dan
pita valensi. f n (E) dan f p (E) adalah fungsi distribusi Fermi-Dirac elektron pada pitakonduksi dan hole pada pita valensi.
Fungsi rapat keadaan untuk elektron dan lubang masing-masing diberikan diberikan oleh
* ) 8 2 ⋅ π ⋅ (m C
3/ 2
ρ C ( E ) =
h3
⋅ E − E C
(3.3)
⋅ E V − E
(3.4)
dan 8 2 ⋅ π ⋅ (mV * )
3/ 2
ρ V ( E ) =
h3
Persamaan 3.3 dan 3.4 menggambarkan jumlah keadaan kuantum yang tersedia pada pita konduksi dan pada pita valensi per interval satuan volume per satuan energi, mc* dan mv* berturut-turut adalah rapat keadaan massa efektif elektron dan lubang, E c dan E v masing-masing adalah energi terendah pada pita konduksi dan pada bagian atas pita valensi dan h adalah konstanta Planck. Fungsi Fermi-Dirac Fermi-Dirac diberikan oleh
f n ( E ) =
1
E − E Fn
1 + exp
kT
(3.5)
14
menunjukkan probabilitas bahwa suatu keadaaan yang tersedia (available state) dengan energi E ditempati oleh elektron, sedangkan
f p ( E ) =
1
(3.6)
E Fp − E 1 + exp kT
menunjukkan probabilitas bahwa suatu keadaan dengan energi E tidak ditempati elektron, yaitu ditempati lubang. Dalam keadaan tidak dalam keseimbangan (nonequilibrium) energi Fermi E Fn untuk elektron pada persamaan (3.5) berbeda dengan energi Fermi E Fp pada persamaan (3.6) untuk lubang. Namun demikian karena kita hanya membatasi pada kasus kesetimbangan (equilibrium) atau kesetimbangan semu (quasi-equilibrium) kita asumsikan bahwa E Fn = E Fp = E F .
Antara persamaan 3.5 dan 3.6 terdapat hubungan
f p ( E ) = 1 − f n ( E )
(3.7)
adalah fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk elektron di mana harganya saling melengkapi dengan fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk lubang.
Dengan kata lain
jumlah probabilitas suatu keadaan kuantum diisi oleh sebuah elektron dan probabilitas suatu keadaan tidak terisi elektron (diisi oleh lubang) harus sama dengan satu. Pada persamaan di atas T adalah temperatur mutlak dan k adalah konstanta Boltzmann.
Biasanya banyak dipakai ekspresi perkalian kT dan dinyatakan dalam
elektron volt (eV). Karenanya rumus harga numerik berikut sering digunakan
kT =
T 11605
eV
(3.8)
di mana T temperatur dalam skala Kelvin Dengan memasukkan harga temperatur absolut kepersamaan (3.8) untuk suhu ruang (T=300K) diperoleh kT = 25,8 meV.
15 3.2 Konsentrasi Elektron
Dengan memulai dari fungsi distribusi, persamaan konsentrasi kondisi kesetimbangan untuk elektron pada semikonduktor murni ( intrinsic) dapat diturunkan sebagai berikut.
pita konduksi
pita valensi
×
rapat keadaan
Fungsi Fermi-Dirac =
distribusi elektron dan lubang
Gambar 3.1 Distribusi elektron dan lubang pada semikonduktor murni (Sze, 1981).
Gambar 3.1 memperlihatkan diagram energi, fungsi rapat keadaan, fungsi Fermi untuk elektron dan lubang, dan fungsi distribusi elektron pada pita konduksi dan lubang, pada pita velensi.
Seperti diperlihatkan pada gambar 3.1, konsentasi elektron dan
lubang ditunjukan oleh luasan dari fungsi distribusi.
Konsentrasi elektron dapat
diperoleh dengan mengintegrasi fungsi distribusi (pers. 3.1) dengan batas bawah dari pita konduksi (E = E c ) sampai ke batas atas integral dapat diperpanjang sampai E = ∞ , sehingga: ∞
n=
∫ ρ
C
( E ) ⋅ f n ( E ) ⋅ dE
E C * ) 8 2 ⋅ π ⋅ (m C
3/ 2
=
h3
∞
⋅ (kT )
3/ 2
η
∫ 1 + exp(η − η 0
F )
d η
(3.9)
dengan substitusi η =
diperoleh
E − E C kT
, d η =
dE kT
, dE = kT d η
(3.10)
16 Dalam bentuk lain dapat ditulis sebagai
(3.12) dimana (3.13)
merupakan jarak antara level energi Fermi dan bagian atas energi gap dibagi kT, N c adalah rapat keadaan efektif pada pita konduksi, dinyatakan sebagai :
(3.14)
F ½ ( η F ) adalah integral Fermi orde ½, dituliskan sebagai
(3.15)
Aproksimasi analitik dari solusi integral Fermi untuk interval η F tertentu adalah
(3.16)
Gambar 3.2 memperlihatkan plot integral Fermi dengan aproksimasi seperti persamaan (3.16). Aproksimasi pertama dapat digunakan pada semikonduktor untuk
(3.17)
atau
(3.18)
17 Dalam hal ini tingkat Fermi harus paling tidak berada sejauh beberapa kT dari seluruh keadaan energi dimana elektron berada. Dengan kata lain tingkat Fermi harus berada pada energi gap dan paling tidak sejauh kT dari batas bawah pita konduksi. Dalam perhitungan biasanya tingkat Fermi tersebut berada sejauh 3kT dari batas pita konduksi.
Gambar 3.2 Integral Fermi orde ½ dan pendekatannya (Sze, 1981)
Salusi dari aproksimasi di atas berlaku pada semikonduktor non-degenerate, dimana distribusi elektron pada pita konduksi mengikuti distribusi Maxwell-Baltzmann. Secara matematik, ekor dari distribusi Fermi-Dirac (pers. 3.5) yang berada pada pita valensi dapat didekati dengan fungsi eksponensial
(3.19)
Aproksimasi kedua dari pada persamaan (3.16) berkaitan dengan semikonduktor yang tergenerasi (highly degenereted) dimana tingkat energi Fermi berada jauh didalam pita konduksi. Semikonduktor semacam ini mempunyai sifat kelistrikan mirip dengan sifat logam. Kita akan banyak membicarakan semikondukstor non-degenerate, karenanya akan banyak menggunakan statistik Maxwll-Baltzmann. Pada semikonduktor murni kondisi seperti pada persamaan 3.17 dan 3.18 dapat dipenuhi.
Dalam hal ini konsentrasi elektron pada pita konduksi dapat dinyatakan
sebagai (3.20)
18
3.2 Konsentrasi Lubang
Dengan cara yang sama konsentrasi lubang pada pita valensi dapat diturunkan dengan mengintegrasi fungsi distribusi lubang (pers. 3.2) ke seluruh energi pita valensi dari E=-∞ ke E = E v pada puncak pita valensi.
(3.21)
dengan substitusi
(3.22)
integral persamaan (3.21) berubah menjadi
(3.23) atau
(3.24)
dimana (3.25)
adalah jarak antara energi Fermi dan bagian bawah pita valensi dibagi kT . Dengan membandingkan harga ini dengan persamaan (3.13), kita dapat melihat bahwa arah referensi (positip) telah berubah. N v adalah rapat keadaan efektif (effective density of states) pada pita valensi dituliskan sebagai
19
(3.26)
Menggunakan aproksimasi pertama integral Fermi pada persamaan (3.16), konsentrasi lubang dapat dinyatakan sebagai (3.27)
Sekali lagi persamaan di atas hanya valid untuk semikonduktor non-degenerate, berarti energi Fermi harus berada pada energi gap paling tidak beberapa kT dari batas atas pita valensi. Perhatikan bahwa perkalian konsentrasi elektron (pers. (3.20)) dan konsentrasi lubang (persamaan (3.27)) dalam kesetimbangan adalah
(3.28)
tidak tergantung pada posisi tingkat Fermi, tetapi berharga tetap pada temperatur tertentu. Pada persamaan di atas E G adalah lebar energi gap. Pada semikonduktor murni, pembawa muatan hanya terbentuk dari pasangan elektron-lubang, karenanya konsentrasi elektron sama dengan konsentrasi lubang. Jika fungsi rapat keadaan pada pita konduksi simetris dengan fungsi rapat keadaan pada pita valensi, maka distribusi elektron pada pita konduksi akan merupakan “bayangan” dari distribusi lubang pada pita valensi dengan bidang cermin berada pada pusat energi gap (gambar 3.1). Kita dapat membuktikan bahwa posisi energi Fermi berada ditengah energi gap. Ini berarti bahwa asumsi yang diambil dengan aproksimasi Statistik Fermi-Dirac secara eksak dengan distribusi Maxwell-Baltzman adalah benar. Dengan kata lain, energi Fermi berada dalam energi gap sejauh beberapa kT dari tepi energi gap. Pada kenyataannya, fungsi rapat keadaannya tidak simetris, tetapi untuk silikon, germanium dan galium arsenide, keadaan tidak simetri tersebut dapat diabaikan.
20 Untuk memberikan ilustrasi yang nyata, kita dapat menganalisa keadaan silikon pada T = 300 K dimana harga E G = 1,12 eV . Probabilitas keadaan pada bagian bawah pita konduksi terisi elektron diberikan oleh persamaan (3.5)
f n ( E C ) =
1
E − E F 1 + exp C k .T
1
=
E G 2.k .T
(3.29)
= 3 ,62 × 10 −10
1 + exp
Walaupun probabilitas di atas sangat kecil, adanya rapat keadaan kuantum yang sangat besar dapat menghasilkan konsentrasi elektron yang cukup besar.
Sebagai contoh,
silikon pada suhu ruang mempunyai elektron bebas ≈ 1010 cm-3 yang terjadi akibat generasi termal pasangan elektron lubang. Pada logam, energi Fermi biasanya didifinisikan sebagai tingkat energi tertinggi yang terisi elektron pada suhu nol mutlak. Di atas temperatur nol, probabilitas energi tersebut terisi sama dengan ½.
Jelas bahwa definisi di atas tidak berlaku untuk
semikonduktor, karena energi Fermi berada pada energi gap, dimana tidak terdapat elektron. Pada semikonduktor, energi tertinggi dimana elektron dapat menempati pada suhu nol mutlak berada pada bagian paling atas pita valensi, E v. Jika kita berasumsi bahwa tingkat Fermi berimpit dengan puncak pita valensi, maka fungsi Fermi pada gambar 3.1 mengarah/berada di bagian bawah. Sebagai konsekuensinya, konsentrasi lubang tidak sama dengan konsentrasi elektron. Hal ini bertentangan dengan pernyataan di
awal,
karenanya
kita
dapat
mendifinisikan
kembali
tingkat
Fermi
pada
semikonduktor dalam bentuk teori matematika. Misalnya E F adalah suatu harga tingkat energi. Kita melihat bahwa tingkat E F + ∆ E di dalam pita konduksi terisi elektron sebagai f n ( E F + ∆ E ) dan probabilitas suatu
tingkat di dalam pita valensi terisi oleh lubang (tidak terisi elektron) sebagai f n ( E F − ∆ E ) . Jika probabilitas keduanya dalam kesetimbangan adalah sama maka,
dengan demikian E F merupakan tingkat Fermi. Nampak jelas pada gambar 3.1 bahwa energi Fermi merupakan sumbu simetri fungsi Fermi untuk elektron dan merupakan bayangan cermin fungsi Fermi dari lubang.
21
Permasalahan 3.1
Jika distribusi yang berlaku mengikuti statistik Maxwell-Baltzmann, tentukan besarnya energi dimana distribusi elektron pada pita konduksi dan distribusi lubang pada pita valensi mencapai harga maksimum.
Penyelesaian
Harga maksimum distribusi elektron pada pita konduksi tercapai pada E = E c + kT / 2 , sedangkan distribusi lubang pada pita valensi pada E = E c − kT / 2 . Perlu diperhatikan bahwa harga maksimum tidak tergantung pada posisi tingkat Fermi asal statistik Maxwell-Baltzmann diberlakukan.
