EJES DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I APUNTES DE CLASE
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS PLAN DE ESTUDIOS DE INGENIERÍA MECÁNICA
UNIDAD 8. EJES. 8.1. INTRODUCCIÓN. Una flecha es un componente, generalmente de sección circular, utilizado por dispositivos mecánicos en la transmisión de energía rotacional y de potencia. Su uso se observa en reductores de velocidad (engranes), mecanismos de banda o cadena, transportadores, bombas hidráulicas, ventiladores, entre otros. Antes de iniciar el estudio de ejes debe diferenciarse los conceptos de árbol, eje y husillo. Árbol (flecha): elemento giratorio de sección circular y que sirve para transmitir potencia y movimiento. Eje: elemento no giratorio y sobre el que se instalan dispositivos giratorios como ruedas, rodillos, poleas. Este elemento no transmite momento torsor. Husillo. Es un eje móvil que se caracteriza por ser corto y delgado. En el diseño de un eje deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos:
Selección del material. Generalmente se utilizan aceros de bajo carbono como el AISI 1040, 1045, aceros bonificados como el 4140 y 4340 o aceros inoxidables como el A302, A308. Estos aceros dan la dureza externa para evitar el desgaste y la ductilidad interna para soportar los esfuerzos originados internamente en el material.
Rigidez y deflexión. Depende de la configuración de la geometría como un todo (geometría total de la sección transversal del eje) para el cálculo de las deflexiones y de las pendientes (Budynas & Nisbett, 2008).
Esfuerzo y resistencia. Depende de la configuración geométrica de la sección transversal donde se esté analizando los esfuerzos como también del momento local (Budynas & Nisbett, 2008). Los esfuerzos originados en el material son los esfuerzos de flexión debido a las fuerzas externas transversales aplicadas al eje y los esfuerzos de torsión provocados por la potencia transmitida. Los esfuerzos se verán afectados localmente debido a las discontinuidades como hombros, cuñas, entalles al variar la sección transversal. Dichos cambios se tendrán en cuenta con los concentradores de esfuerzo; si son cargas estáticas, se empleará el factor de concentrador de esfuerzos por carga estática, kt; si son cargas dinámicas, se empleará el factor de concentrador de esfuerzos por fatiga: kf (flexión) o Kfs (torsión). En la tabla 8.1 pueden observarse estimaciones de primera iteración de los factores de concentración del esfuerzo Kf :
Tabla 8.1. Tomado de: Budynas, R., Keith Nisbett, J. (2008). Diseño en ingeniería mecánica de Shigley, octava edición. México: McGraw-Hill.
Geometría. La sección transversal de un eje no es constante, usualmente la geometría de la sección transversal se asemeja a la de un cilindro escalonado, como se muestra en la figura 8.1. Sobre el eje se instalan dispositivos tales como engranes, cojinetes y poleas, que deberán posicionarse con cuidado a fin de evitar un mal funcionamiento y una disminución de su poder de transmisión de potencia y giro. En los ejes se hallarán hombros, entalles, cuñas, agujeros, ranuras; denominados discontinuidades o muescas, que al modificar la sección transversal del elemento afectarán la magnitud de los esfuerzos en el material producido por las cargas aplicadas.
Vibraciones mecánicas. Deberá evitarse llegar a la frecuencia natural para evitar un daño catastrófico.
Figura 8.1. Eje escalonado. Budynas, R., Keith Nisbett, J. (2008). Diseño en ingeniería mecánica de Shigley, octava edición. México: McGraw-Hill.
En el diseño mecánico, elementos, tales como:
al transmitir el par de torsión entre ejes, se utilizan
Cuñas. Ejes estriados. Tornillos prisioneros. Pasadores. Técnicas de ajustes por presión o por contracción. Chavetillas o anillos de retención.
8.2. FUERZAS SOBRE EL EJE. En un eje se instalan dispositivos tales como engranes, poleas, rodamientos, cuñas, quienes ejercen fuerzas y por ende torques sobre el eje. A continuación se presentan el modelo matemático que permitirá determinar las fuerzas aplicadas por los elementos sobre el eje. 8.2.1. Engranes rectos. En este tipo de engranes “La fuerza ejercida sobre un diente de engrane, durante la transmisión de potencia, actúa en dirección normal (perpendicular) al perfil de involuta del diente” (Mott, 2006; p. 535). Conviene en el análisis de los ejes, considerar los componentes rectangulares de esta fuerza (radial y tangencial) tal como puede apreciarse en la figura 8.2
Figura 8.2 Fuerzas ejercidas sobre un engrane. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
La potencia en el sistema internacional utiliza la expresión P = T * w; dónde: P = potencia en Watt (W). T = torsor en metro-Newton (m* N). w = velocidad angular en radian/segundo (r/s). En el sistema inglés, la potencia se determina mediante la expresión: T∗ w
P = 63 000; Dónde: P = Potencia en caballo de potencia (hp). T = torsor en pulgada-libra. w = velocidad angular en rpm. Las fuerzas sobre el diente de un engrane son tangenciales y radiales. La magnitud de la fuerza tangencial se determina a partir del torsor aplicado y cuyo
𝐷
valor es 𝑇 = 𝐹𝑡 2 . En la figura 8.3 se observa el comportamiento de las fuerzas radiales y tangenciales ejercidas entre los engranes. Entonces, la fuerza tangencial es. 𝐹𝑡 =
2𝑇 𝐷
La magnitud de la fuerza radial se determina como:
𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 ∗ tan 𝜙
Dónde ϕ es el ángulo de presión. Los ángulos de presión típicos en los engranes son: 14½°, 20° y 25°.
Figura 8.3 Fuerzas de acción y reacción ejercidas entre engranes. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
8.2.2. Engranes helicoidales. En este tipo de engranes, además de las fuerzas tangenciales y radiales se producen fuerzas axiales. Recordando que la fuerza 2𝑇 tangencial en el engrane se halla por 𝐹𝑡 = 𝐷 . Luego, la fuerza radial es 𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 tan ∅/ cos 𝜓. La fuerza axial es 𝐹𝑥 = 𝐹𝑡 ∗ tan 𝜓 Dónde: ∅ = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜓 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 ℎé𝑙𝑖𝑐𝑒 8.2.3. Catarina. Elemento mecánico dentado utilizado en la transmisión de potencia mediante cadenas. Según la figura 8.4, la parte superior de la cadena
soporta carga de tensión y por lo tanto se le conoce como el lado de fuerza y la parte inferior de la cadena como no se ejerce fuerzas sobre la catarina se le conoce como el lado flojo. Puesto que las catarinas (impulsora e impulsada) tienen diferentes diámetros, la fuerza en el lado tenso forma un ángulo con el eje horizontal.
Figura 8.4 Fuerzas ejercidas por las cadenas en las catarinas. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
Los pares torsionales sobre las catarinas se calculan mediante: 𝑇𝐴 = 𝐹𝑐
𝐷𝐴 2
; 𝑇𝐵 = 𝐹𝑐
𝐷𝐵 𝑇𝐴 𝑇𝐵 ; 𝐹𝑐 = = 2 𝐷𝐴 ⁄2 𝐷𝐵 ⁄2
Dónde: TA = par torsional que ejerce el eje sobre la catarina A. TB = par torsional de reacción que ejerce el eje sobre la catarina B. DA = Diámetro de la polea A. DB = Diámetro de la polea B. De acuerdo a la figura 8.4, Se tiene que, Fcx = Fc * cos θ; Fcy = Fc * sen θ; ambas fuerzas generan flexión en el eje. El ángulo θ (ángulo de inclinación del lado de fuerza) es muy pequeño causándose un margen de error mínimo al suponer que toda la fuerza actúa en la dirección horizontal (Mott, 2006), por tanto Fc = Fcx. 8.2.4. Poleas: bandas trapezoidales o en V. La polea es otro elemento comúnmente utilizado en la transmisión de potencia mediante el uso de bandas trapezoidales (en V) o planas. Según la figura 8.5, los dos lados de la banda están en tensión, siendo F1 mayor que F2; dónde F1, es la fuerza en el lado tenso; mientras F2, es la fuerza en el lado flojo.
Figura 8.5 Fuerzas por las bandas en una polea. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
La magnitud del torque transmitido por la polea al eje es: Polea A; 𝑇𝐴 = (𝐹2 − 𝐹1 )
𝐷𝐴
Polea B; 𝑇𝐵 = (𝐹1 − 𝐹2 )
2 𝐷𝐵 2
Dónde FN = F2 – F1, es la fuerza de impulsión. Las fuerzas inducen el fenómeno de la flexión en el eje, por ello, Según Mott (2006) en el cálculo de dicha fuerza se utiliza la componente de F1 y F2 perpendiculares a la línea de centro; sin embargo, si las dos poleas no tienen diámetros radicalmente distintos habrá un mínimo error al suponer que la fuerza de flexión es igual a la suma de las fuerzas del lado tenso y del lado flojo, de modo que, 𝐹𝐵 = 𝐹1 + 𝐹2 . De acuerdo a Mott (2006), las fuerzas FB y FN se relacionan según el procedimiento siguiente: 𝐹𝑁 = 𝐹1 − 𝐹2 , 𝐹𝐵 = 𝐶𝐹𝑁 ; 𝐷ó𝑛𝑑𝑒, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝐶=
𝐹𝐵 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹1 − 𝐹2 𝐹1 − 𝐹2
En una transmisión con bandas en V, se admite como adecuada la relación 𝐹1 = 5, reemplazando, se tiene que: 𝐹2
𝐶=
5𝐹2 + 𝐹2 6𝐹2 = = 1,5 ; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐹𝐵 = 1,5(𝐹1 − 𝐹2 ) 5𝐹2 − 𝐹2 4𝐹2
𝑇
𝑇
Cómo, 𝐹1 − 𝐹2 = 𝐷⁄𝐵2 = 𝐷⁄2 ;
𝑇
entonces: 𝐹𝐵 = 1,5 (𝐷⁄2)
8.2.5 Poleas: bandas planas. La relación entre las tensiones en el lado tenso y flojo en una banda plana es de 3 (Mott, 2006). 𝐹
𝐹 +𝐹
Partiendo de la ecuación deducida en el aparte anterior, 𝐶 = 𝐹𝐵 = 𝐹1 −𝐹2 , 𝑁
𝐹1
1
2
remplazando la recomendación 𝐹2 = 3: 𝐶=
3𝐹2 + 𝐹2 4𝐹2 = = 2 ; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐹𝐵 = 2(𝐹1 − 𝐹2 ) 3𝐹2 − 𝐹2 2𝐹2 𝑇
𝑇
Teniendo en cuenta que, 𝐹1 − 𝐹2 = 𝐷⁄𝐵2 = 𝐷⁄2 ; Finalmente la magnitud de la 𝑇
fuerza de flexión ejercida sobre el eje es: 𝐹𝐵 = 2 (𝐷⁄2) 8.3 ANÁLISIS DE UN EJE POR RESISTENCIA ESTÁTICA. 8.3.1 Ejes bajo carga axial, flexión y torsión. Esfuerzos en el eje: los esfuerzos inducidos por las cargas externas en un punto de la sección transversal debido a las cargas axiales, de flexión y torsión son: Carga axial: Esfuerzo normal Carga flexión: Esfuerzo normal Esfuerzo cortante Carga torsión: Esfuerzo cortante En un punto cualquiera de la sección transversal del eje (figura 8.6) la magnitud de los esfuerzos normales y cortantes es: Esfuerzo normal: 𝜎𝑥 = 𝜋 4
𝐹 𝑑2
+
𝑑 2 𝜋 4 𝑑 64
𝑀∗
𝜏𝑥𝑦 =
Esfuerzo cortante:
4𝐹
; 𝑇𝑟 𝐽
𝜎𝑥 = 𝜋 𝑑2 + ;
𝑑 2 𝜋 4 𝑑 32
𝑇∗
32∗𝑀
; 𝜏𝑥𝑦 =
𝜋 𝑑3 16∗𝑇 𝜋 𝑑3
El valor de los esfuerzos principales se calcula mediante el uso de la siguiente expresión algebraica: 𝜎𝐴 , 𝜎𝐵 =
𝜎𝑥 +𝜎𝑦 2
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
± √(
2
2
) − 𝜏𝑥𝑦 2
El valor del esfuerzo de corte máximo se determina como:
2
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 𝜏𝑚𝑎𝑥 = √( 2 ) + 𝜏𝑥𝑦 2
Figura 8.6 Pieza mecánica bajo la acción de fuerzas externas. Ferdinand, Beer, Johnston, R., DeWolf, J. (1993). Mecánica de materiales. Segunda edición. Impreso en Colombia: McGraw–Hill. (Repetida).
Reemplazando los valores del esfuerzo normal y cortante en la expresión del esfuerzo de corte máximo, se tiene que: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ((
32𝑀 𝜋 𝑑3
2
+
4𝐹 𝜋 𝑑2
2
2
1
2 16𝑇 2
) + (𝜋 𝑑3 ) )
1 2 2
16𝑀 2𝐹 2 16𝑇 2∗8∗𝑀 2𝐹 2 2∗8∗𝑇 2 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (( 3 + ) + ( ) = + ) + ( ) ) ) (( 𝜋𝑑 𝜋 𝑑2 𝜋 𝑑3 𝜋 𝑑3 𝜋 𝑑2 𝜋 𝑑3
Factorizando,
1 2
2
𝜏max = 𝜋𝑑3 [(8M + Fd)2 + (8T)2]1/2 Si el eje está sometido solo a cargas estáticas, el diseño del eje será por resistencia estática y podrá utilizarse una teoría de falla, ya sea:
Teoría del esfuerzo cortante máximo. Teoría de la energía de distorsión.
8.3.1.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo. El factor de seguridad según esta teoría se evalúa por: n=
resistencia 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑆𝑠𝑦
𝑛=𝜏
𝑡𝑟𝑎𝑏
=
𝑆𝑦 2
𝜏𝑡𝑟𝑎𝑏
=
𝑆𝑦 2𝜏𝑡𝑟𝑎𝑏
𝜏𝑡𝑟𝑎𝑏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥
;
Luego: n=
Sy 2 𝜏𝑚𝑎𝑥
=
Sy 1 4 ∗((8𝑀+𝐹𝑑)2 +(8𝑇)2 )2 3 𝜋𝑑
Para determinar el diámetro:
1
1 3 4𝑛 𝑑=( ∗ ((8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + (8𝑇)2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦
8.3.1.2 Teoría de la energía de distorsión. El factor de seguridad en el diseño de un eje de acuerdo a la teoría de la energía de distorsión es: 𝑛=
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ; 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑆𝑦; 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝜎′ 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
Recordando que el factor de seguridad es: 𝑛 =
𝑆𝑦 𝜎′
Dónde, σadmisible, es el esfuerzo de Von Myses (σ’), cuya magnitud es: σ´= √σA 2 − σA σB + σB 2 Reemplazando los valores de σA, σB, y factorizando: 4
σ’ = 𝜋𝑑3 [(8M + Fd)2 + 48T2]1/2 Entonces, el factor de seguridad se determina utilizando: 𝑛=
𝑆𝑦 Sy = 1 4 𝜎′ 2 + 48𝑇 2 )2 ∗ ((8𝑀 + 𝐹𝑑) 𝜋 𝑑3
El diámetro de la sección transversal del eje se determina por: 1
1 3 4𝑛 𝑑=( ∗ ((8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + 48𝑇 2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦
8.3.2 Ejes sometidos solo a carga estática de torsión y flexión. Si no existe carga axial, el esfuerzo normal por carga axial es: 𝐹 𝜎𝑥 = 𝜋 =0 2 𝑑 4
Luego, las cargas externas originan en un punto cualesquiera del eje, esfuerzos de flexión y de torsión. Los esfuerzos cortantes y normales que producen estas cargas son: 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒, 𝜏𝑥𝑦 =
16 𝑇 ; 𝜋 𝑑3
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙,
𝜎𝑥 =
32 𝑀 𝜋 𝑑3
La magnitud de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo son: 2
2
16 𝑀 16 𝑀 16 𝑇 = ( 𝜋 𝑑3 ) ± √( 𝜋 𝑑3 ) + (𝜋 𝑑3 )
Esfuerzos principales: 𝜎𝐴 , 𝜎𝐵
16 𝑀 2
2
1
16 𝑇 2 2
Esfuerzo de corte máximo: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (( 𝜋 𝑑3 ) + (𝜋 𝑑3 ) )
8.3.2.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo: El factor de seguridad es, según la teoría del esfuerzo cortante máximo: 𝑛=
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ; 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑆𝑠𝑦; 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝑆𝑦
Reemplazando: 𝑛 = 2 𝜏
𝑚𝑎𝑥
𝐷ó𝑛𝑑𝑒,
𝑆𝑠𝑦 =
𝑆𝑦 2
;
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 𝜏𝑚𝑎𝑥
. El cortante máximo se determina por: 1
𝜏𝑚𝑎𝑥
16𝑀 2 16 𝑇 2 2 = (( 3 ) + ( 3 ) ) 𝜋𝑑 𝜋𝑑
Factorizando: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
1 16 2 2 )2 (𝑀 + 𝑇 𝜋 𝑑3
Reemplazando en la expresión del factor de seguridad: 𝑆𝑦
𝑛= 2∗
1 16 2 + 𝑇 2 )2 (𝑀 𝜋 𝑑3
El factor de seguridad se expresa como: 1 1 32 2 2 )2 (𝑀 = ∗ + 𝑇 𝑛 𝜋 𝑑 3 𝑆𝑦
Partiendo de un valor de factor de seguridad y calculando el diámetro: 1
1 3 32𝑛 𝑑=( ∗ (𝑀2 + 𝑇 2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦
8.3.2.2 Teoría de la energía de distorsión. Al aplicar esta teoría, se tiene:
𝑛=
𝑆𝑦 ; 𝜎 ′ = √𝜎𝐴 2 − 𝜎𝐴 𝜎𝐵 + 𝜎𝐵 2 𝜎′
Recordando que la magnitud del esfuerzo de Von Mises es: 4
σ’ = 𝜋𝑑3 [(8M + Fd)2 + 48T2]1/2 4
Cómo la carga axial es cero (F = 0), entonces: σ’ = 𝜋𝑑3 [(8M)2 + 48T2]1/2 4
4
Luego, σ’ = 𝜋𝑑3 [(64M2 + 48T2]1/2; Reorganizando, σ’ = 𝜋𝑑3 [16*4M2 + 16*3T2]1/2 16
1
Entonces, la magnitud del esfuerzo de Von Mises es: 𝜎 ′ = 𝜋 𝑑3 (4𝑀2 + 3𝑇 2 )2 Reemplazando: 𝑛 =
𝑆𝑦 16 𝜋 𝑑3
1
(4𝑀2 +3𝑇 2 )2
La magnitud del factor de seguridad es: 𝑛 = Si es requerido el diámetro, entonces:
𝜋 𝑑3 𝑆𝑦 1
16 (4𝑀2 +3𝑇 2 )2 1
1 3 16𝑛 𝑑=( ∗ (4𝑀2 + 3𝑇 2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦
EJEMPLO # 1. La fuerza resultante en el engrane A (ver figura 8.7), o sea, Fa= 600 lb, actúa en un ángulo de 20º desde el eje “Y” en el contra del eje con extremo voladizo que se ilustra. El contra eje es macizo y de acero UNS G10400 CD y cortado a la longitud. Si el elemento tiene un diámetro de 2 ¾ de pulgada, determine el factor de seguridad de acuerdo a la teoría de energía de distorsión. Ejercicio adaptado de Shigley J. & Mitchell L. (1983). Diseño en ingeniería mecánica, tercera edición. México: McGraw–Hill.
Figura 8.7 Tomado de Shigley J. & Mitchell L. (1983). Diseño en ingeniería mecánica, tercera edición. México: McGraw–Hill.
OBJETIVO: Factor de seguridad de acuerdo a la teoría de la energía de distorsión. DATOS: Material: acero UNS G10400;
Sy = 71 ksi;
Sut = 85 ksi;
D= 2 ¾ ‘’
ANÁLISIS: CÁLCULO DEL TORSOR. El torsor se determina como el producto de la componente tangencial de la fuerza y el radio del engrane: T = FA * Cos20º * ra =
600 lb * Cos20º * 12’’ = 6765.78 lb*pulg
DIAGRAMA DE TORQUES.
Calculando el valor de los momentos en los puntos A y B 𝑀𝐴 = √7747.8402 + 9341.6602 = 12136.541 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏 𝑀𝐵 = √13531.5962 + 49202 =
14398.2808 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏
El punto de mayor peligro es en el rodamiento B ya que su momento flector es el mayor que se encuentra en el sistema. 16
1
La magnitud del esfuerzo de Von Mises (σ’) es: 𝜎 ′ = 𝜋 𝑑3 (4𝑀2 + 3𝑇 2 )2 Reemplazando: 𝜎′ =
1 16 ∗ (4 ∗ (14398.281 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏)2 + 3(6765.78 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏)2 )2 3 𝜋 (2 4 ")
Entonces la magnitud del esfuerzo de Von Mises es 𝜎 ′ = 7613.573 pulg*lb Recordando que la resistencia de fluencia (Sy) es igual a 71 ksi y que el factor de seguridad se determina como: n = Sy / 𝜎′
CÁLCULO DE LAS REACCIONES. PLANO XY
PLANO XZ
Reemplazando los valores de la resistencia de fluencia y el esfuerzo de Von Mises: 𝑙𝑏 71000 𝑆𝑦 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑛= ′; = 9.32 𝜎 7613.573 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏 8.4 DISEÑO DE UN EJE POR CARGA DINÁMICA (FATIGA). Generalmente, un diseñador debe tener en cuenta que los esfuerzos normales por carga axial no son significativos frente a los esfuerzos normales por flexión, y de igual manera los esfuerzos de corte por flexión tampoco son significativos frente a los esfuerzos cortantes por torsión. En ejes rotatorios sometidos a flexión con inversión completa y torsión constante, el diámetro o el factor de seguridad se deducen a partir de relacionar las teorías de falla (Teoría del esfuerzo cortante máximo, teoría de la energía de distorsión) para determinar el esfuerzo con las teorías de fatiga (Goodman-modificado, Soderberg, Gerber, Asme-elíptica u otras) para pronosticar la resistencia significativa.
Los esfuerzos (ver figura 8.2) en un punto determinado de la sección transversal del eje son: Esfuerzo normal: σ = k f
Mρ J
Esfuerzo cortante: τ = 𝑘𝑓𝑠
Tr J
Las componentes del esfuerzo normal son: Esfuerzo normal alternante: 𝜎𝑎 = kf 𝜎𝑚 = kf
Esfuerzo normal medio:
d 2
Ma I
d 2
Mm I
32Ma
= kf = kf
πd3 32Mm πd3
Las componentes del esfuerzo cortante son: Esfuerzo de corte alternante: 𝜏𝑎 = kfs 𝜏𝑚 = kfs
Esfuerzo de corte medio:
Ta
𝑑 2
= 𝐾𝑓𝑠
16 𝑇𝑎
= 𝐾𝑓𝑠
16 𝑇𝑚
J
Tm
𝑑 2
J
𝜋𝑑3
𝜋𝑑3
Utilizando la teoría de la energía de distorsión para hallar el esfuerzo en el punto de estudio se tiene: σ´= [σx2 +3𝜏xy2]1/2 El esfuerzo de Von Mises alternante es: σa´ = [(kf
32Ma 2 ) +3 πd3
16Ta 2 1/2 ]] πd3
[kfs
El esfuerzo de Von Mises medio es: σm´ = [(kf
32𝑀𝑚 2 ) 𝜋d3
+3 [kfs
16Tm 2 1/2 ]] 𝜋d3
La magnitud del esfuerzo de corte alternante es: 𝜏𝑎 = kfs
T 𝑑 a
= kfs
2
J
16 Ta πd3
La magnitud del esfuerzo de corte medio es: T
𝜏𝑚 = kfs
m
J
d 2
= kfs
16Tm πd3
Si en el eje, el esfuerzo de flexión es alternante, entonces, las componentes del momento alternante (Ma) son diferentes de cero y el momento medio es Mm = 0; y si la torsión es constante, el torque alternante es cero y el torque medio tendrá un valor diferente de cero. Teniendo en cuenta como criterio de fatiga la línea de Goodman modificado: 1
= n
σa ´
σ ´
Se
ut
+ Sm
Reemplazando: σa´= [[kf
1
32Ma 2 𝜋d3
] + 3 [kfs
16Ta 2 2 𝜋d3
] ]
La expresión puede expresarse como: σa´= [[kf
16∗2Ma 2 𝜋d3
] + 3 [kfs
1
16Ta 2 2 𝜋d3
2M
T
] ] ; σa´= [162 (kf 𝜋d3a )2 + 3*162 (kfs 𝜋da3 )2]1/2;
16
16
σa´= 𝜋d3 [4(kf Ma)2 +3 (kfsTa)2]1/2
Factorizando por el término 𝜋d3 ;
16
Se tiene que el esfuerzo alternante de Von Mises es: σa´= 𝜋d3 A Dónde, A = [4 (kf Ma)2 +3 (kfsTa)2]1/2 Análogamente; el esfuerzo alternante medio de Von Mises es: 16
σm´ = 𝜋d3 [4(kf Mm)2 + 3(kfs Tm)2]1/2 16
σm´=𝜋d3 B Dónde, B = [4(kf Mm)2 + 3(kfs Tm)2]1/2 Luego, el factor de seguridad puede hallarse utilizando la expresión: 1
16
A
B
𝑒
ut
= 𝜋d3 [s +s ] n Utilizando la energía de distorsión en el cálculo del esfuerzo y el criterio de Soderberg para predecir la resistencia significativa: 1 n
=
𝜎𝑎 ´
𝜎 ´
𝑆𝑒
𝑦
+ 𝑆𝑚
1
16
A
B
𝑒
y
= 𝜋d3 [s +s ] n Utilizando la energía de distorsión en el cálculo del esfuerzo y el criterio de Gerber para la fatiga: 1= 1
𝜎a´ se
2
𝜎 ′
n +( sm n) ut
8A
2BS
= [1+ [1+ [ AS e ]2]1/2] n 𝜋d3 s e
ut
Al tener en cuenta la Teoría de la energía de distorsión y la relación elíptica de la ASME: 2 2 n𝜎a ′ nσm ′ 1=( ) +( ) se sy 1 n2
16
A
B
𝑒
y
= 𝜋d3 [s +s ]
Independientemente de la teoría o del criterio de falla utilizado (menos el de Soderberg) se tendrá que verificar en el eje una probable falla debido a que se sobrepase el límite de resistencia a la fluencia; luego: 𝐒𝐲
n = 𝝈′
𝒎𝒂𝒙
; 𝜎′𝑚𝑎𝑥 = ((𝜎𝑚 + 𝜎𝑎 )2 + 3(𝜏𝑚 + 𝜏𝑎 )2 )1/2
En el cálculo de la resistencia límite a la fatiga no se tendrá en cuenta el factor de corrección por efectos diversos, ya que como se nota en las ecuaciones precedentes para determinar el factor de seguridad según los diferentes criterios de falla, el factor de corrección por esfuerzos se tuvo en cuenta al calcular las componentes de la magnitud del momento (Kf) y la torsión (Kfs), tanto el esfuerzo alternante como el esfuerzo medio. EJEMPLO # 2. La figura 8.8 muestra una porción de un eje de acero AISI 1040 forjado y tratado térmicamente que tiene superficies maquinadas con dimensiones D = 1.5’’ y d = 1’’. El proceso con tratamiento de calor da por resultado, resistencias mínimas a la tensión de Su = 100 ksi y Sy = 70 ksi. La sección del eje en el hombro se somete a un momento flexionante con inversión completa de 800 pulg*lb y a una torsión constante de 400 pulg*lb. Determine el factor de seguridad para la vida infinita, empleando la relación elíptica ASME para la fatiga, y la teoría de la energía de distorsión para el esfuerzo. Ejercicio adaptado de Shigley J. & Mitchell L. (1983). Diseño en ingeniería mecánica, tercera edición. México: McGraw–Hill.
Figura 8.8 tomado de Shigley J. & Mischke C (1994). Diseño en ingeniería mecánica, quinta edición. México: McGraw–Hill.
OBJETIVO: Determinar el factor de seguridad. DATOS: Material acero AISI 1040; Momento: 800 pulg*lb;
Su = 100 ksi;
Sy = 70 ksi.
Torsor = 400 pulg*lb.
ANÁLISIS: Partiendo de la teoría de energía de distorsión para prever el esfuerzo de daño y el criterio de fatiga Asme-elíptico para predecir la resistencia significante: 1
1 32 𝑀𝑎 2 3 𝑇𝑚 2 2 = ((𝑘𝑓 ∗ ) + ( ) ) 𝑛 𝜋 𝑑3 𝑆𝑒 4 𝑆𝑦 La resistencia límite a la fatiga se halla mediante: Se = Ka * Kb * Kc *Kd * Kr * Se’ LÍMITE DE FATIGA DE VIGA ROTATORIA (Se’) La resistencia límite de fatiga de viga rotatoria es: Se’ = 0.50 * Sut; para valores de Sut < o = 200 ksi); reemplazando: Se’ = 0.50 * 100 ksi;
Se’ = 50 ksi
FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA.
Factor de acabado Ka = a * sut-b; De la tabla 6-2 de “Diseño en ingeniería mecánica de Shigley”, para una superficie maquinada; a = 2.7; b = - 0.265;
Reemplazando: Ka = 2.7 * (100)-0.265 = 0.797
Factor de tamaño 𝑑
Kb = (0.3)
−.107
; en el intervalo de 0.11 < d <2”; 𝑑
−.107
Reemplazando: Kb = (0.3)
;
Kb = 0.879
Factor de carga
Kc = 1 (flexión)
Factor de temperatura
Kd = 1 (temperatura no especificada)
Factor de confiabilidad KR = 1 (confiabilidad no especificada, asumir 50%) Entonces, el valor de la resistencia límite a la fatiga Se es igual a: Se = 0.797 * 0.879 * 1 * 1 * 1 * 50 ksi;
Se = 35.03 ksi
Factor de corrección por reducción de la resistencia Factor de concentración de esfuerzo a la fatiga Kf = 1+ q * (Kt - 1); dónde, q = sensibilidad a la muesca. Utilizando la tabla 6-20 de “Diseño en ingeniería mecánica de Shigley”; si r = 1/8 ”; Sut = 100 ksi, q = 0.84 Factor teórico de concentración de esfuerzo; Kt. Utilizando la gráfica A-15-9 de “Diseño en ingeniería mecánica de Shigley”; si D/d = 1.5; r/d = 1/8’’; Kt = 1.60. Luego, Kf = 1 + 0.84*(1.60 - 1) = 1.504
El factor de seguridad se determina por: 1
1 32 𝑀𝑎 2 3 𝑇𝑚 2 2 = ((𝑘𝑓 ∗ ) + ( ) ) 𝑛 𝜋 𝑑3 𝑆𝑒 4 𝑆𝑦 Reemplazando valores: 2
1 2 2
1 32 800𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏 3 400 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏 = ∗ ((1.504 ∗ ) + ( ) ) 3 𝑛 𝜋 1𝑝𝑢𝑙𝑔 35.03 𝑘𝑠𝑖 4 70 𝑘𝑠𝑖 𝑛 = 2.83
8.5 CUÑAS. Es un componente de máquina cuyo propósito es transmitir un par torsor y evitar el deslizamiento entre los componentes que están acoplados (por ejemplo, ejepolea, eje-engrane). Se instalan en el cuñero, que es una ranura axial previamente maquinada sobre la flecha o árbol. Las cuñas se seleccionan con base al diámetro de la flecha y se fabrican con aceros de bajo carbón estirado en frio, preferiblemente 1020 CD (Mott, 2006). 8.5.1 Tipos de cuñas. Las hay paralelas (cuadrada, rectangular), inclinadas, contrachavetas, espiga o cilíndricas y woodruff. 8.5.1.1 Cuadrada o rectangular. Es el tipo más común de cuña utilizada en la industria (Mott, 2006). En la figura 8.9 se observa una cuña de sección cuadrada.
Figura 8.9 Cuña de sección cuadrada. Hamrock, B., Jacobson, Bo. & Schmid, E. (1999). Elementos de máquinas, primera edición. México: McGraw-Hill.
8.5.1.2. Inclinada. En este tipo de cuña deberá verificase la carga de empuje. Pueden ser simple o simple alternativa. Ambos tipos de cuña están dadas en la figura 8.10.
Figura 8.10 Cuña inclinada. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
8.5.1.3. Contrachaveta. Esta cuña facilita su extracción por el mismo extremo que se montó. Su uso radica en la facilidad en el montaje y desmontaje. Una cuña de este tipo se puede ver en la figura 8.11.
Figura 8.11 Contrachaveta. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
Cilíndricas o de pasador: Tiene la ventaja de una menor concentración de esfuerzo, su ajuste es estrecho para asegurar que no se mueva la cuña. La cuña de pasador es como la representada en la figura 8.12.
Figura 8.12 Cuña cilíndrica o de pasador. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
8.5.1.4. Woodruff: ensamble relativamente fácil, es utilizada para cargas ligeras.
Figura 8.13 Cuña tipo Woodruff. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
8.5.2 Esfuerzo de corte en la cuña. La fuerza ejercida sobre la cuña en función del par torsor transmitido según la figura 8.14, es:
Figura 8.14 Fuerza ejercida sobre una cuña. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
𝐷 𝑇 ∑𝑀𝑜 = 0 ; 𝑇 − 𝐹 ( ) = 0 ; 𝐹 = 2 𝐷/2 La fuerza transmitida a través del torsor origina una fuerza de corte interna en la cuña y cuya magnitud se determina a partir de la ecuación: 𝑇 𝐹= 𝑉 2𝑇 𝐷/2 𝜏= = = 𝐴 𝑊𝐿 𝐷𝑊𝐿 Al emplear la teoría del esfuerzo de corte máximo, el factor de seguridad a tener 𝑠 en cuenta es: 𝑛 = 𝜏 𝑦/2 ; reemplazando la magnitud del cortante: 𝑚𝑎𝑥
𝑛=
𝑠𝑦/2 𝐷𝑊𝐿(𝑠𝑦 ) ; 𝑛= 2𝑇/𝐷𝑊𝐿 4
Despejando la variable L (longitud de la cuña): 𝐿=
4𝑛𝑇 𝐷𝑊𝑠𝑦
8.5.3. Esfuerzo de apoyo en la cuña. La fuerza ejercida por el par torsor también origina un esfuerzo de apoyo o de aplastamiento que puede ocasionar la falla en la cuña. La magnitud del esfuerzo de aplastamiento es: 𝜎=
𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑎
; luego: 𝜎 =
𝐹 𝐻 ∗𝐿 2
𝑇
Como la fuerza es 𝐹 = 𝐷/2 ; entonces la magnitud del esfuerzo de apoyo es: 𝑇 𝐷⁄ 2 𝜎= 𝐻 2 ∗ 𝐿 De modo que el esfuerzo de apoyo sobre la cuña se determina por: 4𝑇 𝜎= 𝐻𝐿𝐷 La longitud de la cuña se obtiene a partir del esfuerzo normal de diseño: 𝜎= Recordando que: 𝜎= Reemplazando:
𝑆𝑦 𝑛
=
𝑆𝑦 𝑛 4𝑇 𝐻𝐿𝐷
4𝑇 𝐻𝐿𝐷
Despejando la variable solicitada (longitud de la cuña): 𝐿=
4𝑛𝑇 𝐻𝐷𝑠𝑦
En aplicaciones en la industria se recomienda utilizar en la selección de la cuña un factor de seguridad de n = 3 (Mott, 2006). 8.6 CUÑERO. Un cuñero, también conocido como chavetero “es una ranura longitudinal que se corta en un eje, para montar una cuña o chaveta que permita la transferencia de par torsional del eje al elemento transmisor de potencia, o viceversa” (Mott, 2006; p 540). Un cuñero puede ser de perfil (Ver figura 8.15) o en trineo (Ver figura 8.16). Los valores de concentración de esfuerzos recomendados en un cuñero de perfil es de Kt = 2,0 y en uno de trineo Kt = 1,6 y en el cálculo de los esfuerzos de flexión generados se debe utilizar el diámetro total ya que la disminución en la sección transversal debido a la discontinuidad en el área es tenida en cuenta por el factor (Mott, 2006). 8.7 Chaflanes. Para minimizar el efecto de la concentración de esfuerzos en las discontinuidades de la sección transversal del eje es recomendable realizar un
chaflán, de modo que el esfuerzo no se aplique en un punto sino que se distribuya sobre una mayor superficie.
Figura 8.15 Cuñero de perfil. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
Figura 8.16 Cuñero en trineo. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
Los chaflanes en el cuñero pueden ser agudos o bien redondeados. 8.7.1. Agudos. Escalón con un radio de chaflán relativamente pequeño (localizar un cojinete de bolas o rodillos). El radio del chaflán del eje debe ser menor que el del rodamiento para que “asiente” bien contra el escalón; se recomienda utilizar un concentrador de esfuerzo de 𝑘𝑡 = 2.5 (Mott, 2006). Ver figura 8.17. 8.7.2 Bien redondeado. Cuando el elemento con un bisel grande en el barreno recarga contra el escalón, o cuando no hay nada que recargue contra el escalón;
se recomienda utilizar un concentrador de esfuerzo de 𝑘𝑡 = 1.5 (Mott, 2006). Ver figura 8.17.
Figura 8.17 Chaflanes en un cuñero. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
8.8 TOLERANCIA Y AJUSTES. En el análisis de un eje, la mecánica de los materiales determina que los esfuerzos producidos por las cargas externas no deben sobrepasar la resistencia del material; respecto a la geometría, se verificará de no sobrepasar los límites permitidos por las deflexiones como también de no exceder el ángulo de torsión permisible. Una vez realizados estos pasos y seleccionado un material se podrá determinar el tamaño nominal (o mínimo) del eje que se ajustará a un tamaño básico (o comercial) de los suministrados en tablas de tamaños básicos preferidos. Las variables a determinar en el tema de ajustes son la tolerancia, el margen, la holgura y el ajuste. 8.8.1 Definiciones. Los textos de Diseño de Elementos de Máquinas de R. Mott (2006) y Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley de Budynas & Nisbett (2008) han servido de base en las definiciones de tolerancias y ajustes. Tolerancia. Diferencia que existe entre dos límites, puede ser unilateral, bilateral y total.
Tolerancia unilateral. Se presenta desviación en una sola dirección respecto al tamaño básico. Tolerancia bilateral. La desviación respecto del tamaño básico es su más y menos. Tolerancia total. Es la diferencia existente entre aquella dimensión permisible máxima y la dimensión permisible mínima. Margen. Cuando en dos componentes ensamblados existe una diferencia intencional entre los límites máximos. Holgura mínima. Se da cuando el margen es positivo. Holgura máxima. Se da cuando el margen es negativo. Ajuste. Se refiere a lo estrecho o flojedad entre los componentes mecánicos ensamblados. La flojedad. Se relaciona con un ajuste de holgura interferencia.
y apriete a un ajuste de
Interferencia. Contrario a la holgura. Grado de tolerancia. Grupo de tolerancias que se pueden dar. Las tolerancias y ajustes están normalizados en el sistema inglés a través de la norma ANSI B4.1-1967 (límites y ajustes preferidos para piezas cilíndricas) y en el sistema internacional la Organización Internacional de Normalización por sus siglas en inglés ISO, recomienda utilizar la ISO R286. 8.8.2 Límites y tolerancias en el Sistema Inglés. 8.8.2.1 Ajuste de holgura. Cuando existe una holgura entre dos componentes en movimiento deberá especificarse un ajuste de holgura. Existen nueve clases, desde RC1 hasta la RC9; dónde, RC1 representa la holgura mínima y RC9 la holgura máxima (Mott, 2006). Una holgura de 2.8 significa “una diferencia de tamaño entre las piezas interna y externa de 0.0028 pulgadas. Las tolerancias sobre el orificio y el eje se deben aplicar al tamaño básico, para determinar los límites de tamaño de esa dimensión (Mott, 2006; p. 581). En la aplicación de tolerancias y márgenes como se representa en la figura 8.18, el diseñador puede emplear dos sistemas: el sistema básico del agujero y el sistema básico del eje. Entre los dos sistemas, los diseñadores prefieren aplicar el sistema básico del agujero.
Sistema básico del agujero (orificio, hembra o masa). En este sistema el tamaño de diseño del agujero es el básico y los márgenes son aplicados al eje. Sistema básico del eje (pasador, macho). El tamaño de diseño del eje es el mismo y los márgenes son aplicados al agujero según este sistema.
Figura 8.18 Holguras en el sistema agujero-pasador. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.
EJEMPLO # 3. Con un diámetro del eje de d = 1 5/16 (1.3125) pulgadas, de la tabla 13-3 Ajustes de holgura RC (Mott, 2006), seleccionar un ajuste de holgura RC5 (ajuste de deslizamiento medio). Los límites del agujero son: + 1.6 y - 0 y para el pasador - 2.0 y - 3.0. Las dimensiones del orificio: Máximo; Dmax = 1.3125 + 0.0016 pulgadas; Mínimo; Dmin = 1.3125” (tamaño básico).
Dmax = 1.3141 pulgadas.
Las dimensiones del eje son: Máximo; Dmax = 1.3125 + 0.002 pulgadas; Dmax = 1.3105 pulgadas. Mínimo; Dmin = 1.3125 + 0.003 pulgadas; Dmin = 1.3095 pulgadas. Los resultados (dados en pulgadas) pueden apreciarse en la tabla 1. 8.8.2.2 Ajuste de holgura para localización o ubicación. En este tipo de ajuste se utiliza cuando se quiere tener control de la ubicación. Normalmente las piezas no se mueven entre si cuando están en operación. Existen once tipos de clases de este ajuste: LC1 hasta LC11; dónde los ajustes comprendidos entre LC1 Y LC4 presentan una holgura de magnitud cero como límite inferior del ajuste; mientras
las los ajustes que van desde LC5 hasta LC11 proporcionan holgura positiva en todos los tamaños (Mott, 2006).
TOLERANCIAS
Agujero
1.3141 1.3125 0.0016
Eje
1.3105 1.3095 0.001
HOLGURAS
Máxima
1.3141 1.3095 0.0046
Mínima
1.3125 1.3105 0.002
Tabla 1. Resultados ejemplo # 3. 8.8.2.3. Ajuste de interferencia. Es necesario el uso de una fuerza en el montaje de las piezas ya que el componente interior tiene un diámetro mayor del componente externo. Entre las superficies de los componentes habrá una deformación y una presión de interferencia al ser acoplados. 8.8.2.4. Ajuste forzado. El ajuste se obtiene por contracción, calentando la masa (agujero) permitiendo su dilatación y poder ensamblar el eje (pasador) que permanece a temperatura ambiente. A diferencia del ajuste de interferencia el ensamble se obtiene por un cambio de temperatura y no por fuerza. Este tipo de ajuste es utilizado cuando se debe transmitir fuerza o par torsor. En piezas en movimiento la presión generada deberá ser controlada; en piezas sin movimiento el ajuste forzado es por ubicación y no se necesita requisitos especiales respecto a la precisión inducida en los componentes. 8.8.2.5. Ajuste de transición. Es fundamental cuando es requerido exactitud en la ubicación y es aceptable una mínima holgura o interferencia. Existen seis clases: LT1 a LT6. 8.8.3 Límites y tolerancias en el Sistema Métrico. Las dimensiones internas de la masa o agujero son representadas mediante letras mayúsculas y las dimensiones externas del eje o pasador mediante letras minúsculas. En un ajuste 40H9, el diámetro básico del agujero es 40 mm, dónde la letra H especifica la desviación fundamental y el número 9 identifica un grado de tolerancia IT9. Al utilizar el sistema de unidades inglesas deberá agregarse las letras in, indicativos de pulgadas, por ejemplo (2 ¼ in)H11, el diámetro básico es 2 ¼ pulgadas. En este sistema, al determinar las dimensiones son fundamentales
los conceptos de tamaño básico del agujero y del pasador, las desviaciones fundamentales, y el grado de tolerancia internacional del agujero y del pasador, tal como se evidencia en la figura 8.19.
Figura 8.19 Desviaciones y tolerancias en el sistema agujero-pasador. Budynas, R., Keith Nisbett, J. (2008). Diseño en ingeniería mecánica de Shigley, octava edición. McGraw-Hill.
Los ajustes son de holgura, transición e interferencia según lo muestra la tabla 2. Las dimensiones se determinan teniendo en cuenta: MASA O AGUJERO. Diámetro mínimo es igual al diámetro básico (Dmín = D) ya que la desviación inferior es cero. El diámetro máximo es igual al diámetro básico más el grado de tolerancia para el agujero (Dmáx = D +∆D). EJE O PASADOR. En un eje, donde se utilizará un ajuste de holgura (c, d, f, g y h) se tendrá en cuenta que la desviación superior es igual a la desviación fundamental y la desviación inferior es igual a la diferencia de la desviación superior y el grado de tolerancia (Budynas & Nisbett, 2008). Luego:
El diámetro mínimo es igual a la suma del diámetro básico del eje y la desviación fundamental menos el grado de tolerancia del eje (Dmín = d + δf - ∆d). El diámetro máximo es igual a la suma del diámetro básico del pasador y la desviación fundamental (Dmáx = d + δf).
Tabla 2. Descripción de ajustes elegidos según el sistema básico del agujero . Budynas, R., Keith Nisbett, J. (2008). Diseño en ingeniería mecánica de Shigley, octava edición. McGraw-Hill.
En un eje, donde se utilizará un ajuste de transición o de interferencia (k, n, p, s, u) se tendrá en cuenta que la desviación inferior es igual a la desviación fundamental y la desviación superior es la suma de la desviación inferior y el grado de tolerancia ((Budynas & Nisbett, 2008). Luego: El diámetro mínimo es igual a la suma del diámetro básico del eje y la desviación fundamental (Dmín = d + δf). El diámetro máximo es igual a la suma del diámetro
básico del pasador, la desviación fundamental pasador (Dmáx = d + δf + ∆d).
y el grado de tolerancia del
8.8.4. Cálculo de la presión de interferencia, esfuerzo y deformaciones. Al emplear ajustes se disminuye el uso de hombros y cuñeros. Los esfuerzos, presión y deformaciones podrán calcularse a partir de las expresiones algebraicas utilizadas cuando se analizó el sistema pasador-agujero. 8.8.4.1 Presión de interferencia. La magnitud de la presión de interferencia es: 𝛿
𝑝= 𝑅[
1 𝑟𝑜2 + 𝑅 2 1 𝑅 2 + 𝑟𝑖 2 ( 2 + 𝛾𝑜 ) + ( 2 − 𝛾𝑖 )] 2 𝐸𝑜 𝑟𝑜 − 𝑅 𝐸𝑖 𝑅 − 𝑟𝑖 2
Si los materiales en los elementos son iguales, entonces la presión de interferencia se halla a partir de: 𝑝=
𝐸𝛿 (𝑟𝑜2 − 𝑅 2 )(𝑅2 − 𝑟𝑖 2 ) [ ] 𝑅 2𝑅 2 [𝑟𝑜2 − 𝑟𝑖 2 ]
8.8.4.2. Esfuerzos. En el cálculo de la magnitud de los esfuerzos desarrollados en los materiales se toma en el eje un valor de cero para la presión interior y un valor de P para la presión exterior y en la masa la presión exterior con magnitud cero y la presión interior con un valor de P (Eje: Po = P y Pi = 0; masa Pi = P; Po = 0). En el radio de transición R, los esfuerzos tangenciales son máximos en ambos elementos: 𝑅 2 +𝑟𝑖 2
(𝜎𝑡 )𝐸𝑗𝑒 = −𝑝 2 2; 𝑅 −𝑟𝑖
𝑟𝑜 2 +𝑅2
(𝜎𝑡 )𝐴𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = −𝑝 2 2 𝑟𝑜 −𝑅
El esfuerzo radial es igual a la presión. 8.8.4.3. Deformaciones. Las magnitudes de los incrementos y decrementos en el sistema orificio-pasador son: Incremento en el diámetro del orificio o hembra (componente exterior): 𝛿𝑜 =
2𝑝𝑅 𝑟𝑜2 + 𝑅 2 [ + 𝛾𝑜 ] 𝐸𝑜 𝑟𝑜2 − 𝑅 2
Decremento en el diámetro en el pasador o eje (componente interior): 2𝑝𝑅 𝑅 2 + 𝑟𝑖 2 𝛿𝑖 = [ − 𝛾𝑖 ] 𝐸𝑖 𝑅 2 − 𝑟𝑖 2
EJEMPLO # 4. Ajuste forzado en el eje-polea. Ajuste FN2 (ajuste a presión media) Eje: diámetro d = 1.125 (1 1/8 pulgadas) Polea: diámetro interno d = 1.125 pulgadas, diámetro externo D = 2.60 pulgadas Agujero (polea) +0.8 pulgada Ajuste FN2 (tabla) -0 Pasador (eje) +1.9 pulgada +1.4 pulgada
Límites para las dimensiones de la masa(polea) Masa (polea): Dmax = 1.125 + 0.8/1000 = 1.1258 pulgadas Dmin = 1.125 – 0 = 1.125 pulgadas
Límites para las dimensiones del pasador (Eje) Pasador (Eje): dmax = 1.125 – 1.9/1000 = 1.1269 pulgadas dmin = 1.125 + 1.4/1000 = 1.1264 pulgadas Límites de interferencia
Holgura máxima: dmayor masa – dmenor eje = 1.1258 – 1.1264 = -0.0006 pulgadas
Holgura mínima: dmenor masa – dmayor eje = 1.125 – 1.1269 = 0.0019 pulgadas La presión es máxima cuando la interferencia es máxima: 𝑝=
𝛿 𝑟𝑜2
1 + 1 𝑅 2 + 𝑟𝑖 2 𝑅 [𝐸𝑜 ( 2 + 𝛾𝑜 ) + 𝐸𝑖 ( 2 − 𝛾𝑖 )] 2 𝑟𝑜 − 𝑅 𝑅 − 𝑟𝑖 2
1.125
𝑅2
2.60
Si 𝑅 = 2 = 0.5625 ; ro = 2 = 1.30 ; 𝑟𝑖 = 0 𝐸𝑜 = 10.4 ∗ 106 𝑝𝑠𝑖; 𝐸𝑖 = 30 ∗ 106 𝑝𝑠𝑖; 𝛾𝑜 = 0.333; 𝛾𝑖 = 0.292 0.0019
𝑝= 0.5625 [
1 + 1 0.56252 + 0 ( + 0.333) + ( − 0.292)] 6 2 2 6 10.4 ∗ 10 1.30 − 0.5625 30 ∗ 10 0.56252 − 0
𝑝 = 17.23 𝑘𝑠𝑖
1.302
0.56252
Esfuerzos tangenciales 𝑟𝑜2 + 𝑅 2 1.302 − 0.56252 ] = 17.23 𝑘𝑠𝑖 ∗ [ ] 𝜎𝑜 = 25.2 𝑘𝑠𝑖 𝑟𝑜2 − 𝑅 2 1.302 − 0.56252
𝑀𝑎𝑠𝑎
𝜎𝑜 = 𝑝 [
𝐸𝑗𝑒
𝑅 2 + 𝑟𝑖 2 0.56252 + 0 𝜎𝑖 = −𝑝 [ 2 ] = 17.23 𝑘𝑠𝑖 ∗ [ ] 𝜎𝑖 = 17.23 𝑘𝑠𝑖 𝑅 − 𝑟𝑖 2 0.56252 − 0
Esfuerzo radial (𝜎𝑟 )𝑜 = (𝜎𝑟 )𝑖 = −𝑝 = −17.23 𝑘𝑠𝑖 Límites y ajustes en el sistema internacional La ISO da la recomendación ISO R286 Rodamientos ajuste por interferencia eje-rodamiento Eje diámetro d = 1” Masa del rodamiento dint = 1pulgada Dext = 1pista= 1.32 pulgada; externo = 2.6875 pulgada
2 pista = 1.36 pulgada,
1 pista =1.38 2 pista= 1.36 Externo= 2.8593 H7/P6
IT7 (masa)= 0.0008 IT6 (Eje)= 0.0005
Desviación fundamental (Eje)=0.0009 δf Rodamiento (masa): Dmáx = D + ∆D = 1+0.008 = 1.0008 pulgadas Dmín = D = 1 pulgada Eje (pasador): dmáx = d + δf = 1+ 0.008 = 1.0008 pulgadas Ajuste con interferencia: dmín= d + δf + ∆d = 1 + 0.0009 + 0.0005 = 1.014 pulgadas.
