Uvod Vlatko Dole ek, ek, Mašinski fakultet Sarajevo Dunja Martinovi Martinovi , Mašinski fakultet fakultet Sarajevo
Pri izvoenju neke konstrukcije ili njenih dijelova, i to u fazi projektovanja, moraju se odrediti dimenzije te konstrukcije, odnosno njenih dijelova. Dimenzije moraju biti takve da konstrukcija, odnosno svaki njen dio može izdržati predvi eno optereenje, a da pri tome ne doe do promjene oblika i dimenzija preko odre ene granice, kada bi ti dijelovi, odnosno konstrukcija u cjelini postala neupotrebljiva. Ovo treba biti zadovoljeno, ali ne na raun enormnog pove anja dimenzija konstrukcije, ve pronalaženjem povoljnog oblika i takvih dimenzija konstrukcije da utrošak materijala bude što manji. Da bi se ovi zahtjevi mogli ispuniti treba znati šta se dešava u materijalu pod dejstvom vanjskog mehani kog optere enja i/ili toplote. t oplote. Pod dejstvom vanjskog optere enja tijelo mijenja svoj oblik i zapreminu. Da bi se opisale promjene oblika i zapremine kao i promjena meumolekularnih sila unutar tijela uvode se pojmovi deformacija i napon .
Deformacija može biti linijska i ugaona. Linijska deformacija (dilatacija ) je relativna promjena dužine koja karakteriše promjenu zapremine, a ugaona deformacija (klizanje) karakteriše promjenu oblika tijela. Napon predstavlja unutrašnju silu podijeljenu površinom na kojoj djeluje. Ova veoma kompleksna problematika, da konstruktivni elementi treba da budu izvedeni tako da zadovolje unaprijed postavljene kriterije, a to su osiguranje vrstoe, krutosti, deformabilnog funkcionalnosti, sigurnosti u eksploataciji i drugo se izu ava u Mehanici deformabilnog tijela. 1
Mehanika deformabilnog tijela je grana Matemati ke fizike. U njoj se uspostavljaju odnosi izmeu vanjskog optereenja, unutarnjih sila, napona, deformacija, oblika, dimenzija i mehani kih osobina vrstog tijela. Ona je veoma široka nau na oblast i može se podijeliti na više podoblasti uvoenjem odreenih pretpostavki, prvenstveno o ponašanju materijala pod dejstvom vanjskog optereenja. U ovoj knjizi, koja predstavlja uvod u mehaniku deformabilnog tijela, uvedene predpostavke omoguuju da se doe do izraza pogodnih za prakti nu, inženjersku primjenu. Te pretpostavke se odnose na karakteristike materijala, njegovo ponašanje pod dejstvom vanjskog optere enja, na deformisanje tijela i raspodjelu napona po presjeku vrstog tijela. Što su uvedene pretpostavke, pri rješavanju problema, bliže stvarnosti to su rješenja obraivanog problema bliža tanom rješenju. Može se rei da je cilj uvodnog dijela Mehanike deformabilnog tijela, Elastostatike, da pruži relativno jednostavne izraze za praktinu primjenu kod odreivanja: -
dimenzija konstruktivnog elementa, koji treba sigurno da izdrži predvi eno optereenje;
-
napona, koji pri zadatom optereenju i poprenom presjeku moraju biti manji od unaprijed propisanog napona;
-
deformacija, koje moraju biti u dozvoljenim granicama;
-
stabilnosti, tj. element treba da zadrži prvobitni oblik elastine ravnoteže.
Iz naprijed navedenog je jasno da se u Mehanici deformabilnog tijela obra uju metode za proraun vrstoe, krutosti i elastine stabilnosti dijelova konstrukcije. Ovdje su date definicije pomenutih pojmova: vrstoe, krutosti, elastine stabilnosti konstrukcije. vrstoa
konstrukcije je sposobnost prenošenja odre enog optereenja bez loma, trajnih plastinih deformacija ili ošteenja (pukotina). Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije prema deformisanju. Elastina stabilnost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da zadrži poetni ravnotežni oblik pri dejstvu vanjskog optereenja. 1.1. Vrste optereenja Vanjske sile, koje djeluju na tijelo i uzrokuju njegovu deformaciju, mogu biti zapreminske i površinske. Zapreminske sile djeluju na sve take tijela i proporcionalne su masi tijela. U ove sile spadaju, naprimjer težina tijela i sila inercije.
2
Površinske sile djeluju samo na vanjske (površinske) take tijela i ne zavise o masi tijela. Takve sile su, naprimjer pritisak gasa u rezervoaru, pritisak vjetra i meusobni pritisak tijela pri dodiru. Površinsko optereenje može biti ravnomjerno ili neravnomjerno podijeljeno optere enje i koncentrisano optereenje. Pod koncentrisanim optereenjem se podrazumijeva koncentrisana sila i koncentrisani moment. Iako je naziv koncentrisano optere enje, ono ne djeluje u taki, ve na površini veoma malih dimenzija. U površinske sile spadaju i reakcije veza, kojima se daje utjecaj susjednih elemenata, koji su vezani za obraivani konstruktivni element.
Unutarnje sile su sile veza estica iz kojih se sastoji materijal. Ako na materijal ne djeluju vanjske sile, javlja se neutralno naponsko stanje i pretpostavlja se da nema unutarnjih sila. Kada djeluju vanjske sile, u tijelu se javljaju unutarnje sile i ono se deformiše, mijenjaju mu se zapremina i/ili oblik dok se ne uravnoteže vanjske i unutarnje sile. Takvo stanje tijela zove se napregnuto stanje tijela . 1.2. Napon/naprezanje Pretpotavlja se da je neko tijelo optereeno sistemom vanjskih sila, koje se nalaze u stanju ravnoteže (slika 1.1a).
F5
F6 F4 ∆F 1
∆Fi ∆Ai
F3 F1
Π
F2
∆F2
∆Fn
F1
a)
F2
b)
Slika 1.1. Optere eno tijelo u stanju ravnoteže
Ako se ovo tijelo presijee s ravni Π, na presjenoj površini e se javiti unutarnje sile, koje su vanjske sile za odsjeeni dio i one predstavljaju utjecaj uklonjenog dijela na posmatrani dio (slika 1.1b). Pošto se tijelo nalazilo u stanju ravnoteže pod dejstvom vanjskih sila, bi e i svaki njegov dio u ravnoteži pod dejstvom vanjskih i unutarnjih sila, koje djeluju na mjestu presjeka. Dakle, na presjenoj površini rezultanta unutarnjih sila jednaka je po intenzitetu, pravcu i smjeru rezultanti vanjskih sila koje napadaju odsjeeni dio tijela. 3
Presjena površina napregnutog tijela se može podijeliti na elementarne površine ∆Ai, a na svakoj elementarnoj površini djeluje elementarna unutarnja sila ∆F i . Kolinik ∆F i / ∆Ai predstavlja srednje naprezanje. Granina vrijednost ovog izraza je vektor ukupnog napona, tj.:
lim
∆ Ai →0
∆F i ∆ Ai
=
d F dA
= p .
(1.1)
Sila d F i vektor napona p u nekoj taki T, u opštem sluaju, nisu okomiti na popre ni presjek, ve s vanjskom normalom n na tom presjeku ine ugao ϕ (slika 1.2.).
Vektor napona se uobi ajeno piše p n , jer se razlikuje od take do take poprenog presjeka, a indeks n pokazuje da u jednoj odre enoj taki zavisi od orijentacije ravni, odreene vektorom n , koja je postavljena kroz tu ta ku.
Stanje napona u nekoj taki odreeno je skupom svih vektora napona za sve ravni koje prolaze kroz tu taku. Meutim, za potpuno poznavanje naponskog stanja u odre enoj taki tijela dovoljno je znati komponente napona za tri meusobno normalne ravni. Za napon se može rei da predstavlja mjeru napregnutog stanja tijela. Uobiajeno je da se vektor napona razloži na dvije komponente, jednu u pravcu normale na ravan presjeka – normalni napon σn i drugu u presjenoj (tangencijalnoj) ravni – smiui ili tangencijalni napon τn, tj.: p n = σ n + τ n .
(1.2)
Slika 1.2. Razlaganje vektora napona na normalni i smi ui
Normalnim naponom tijelo se opire me usobnom približavanju ili udaljavanju svojih estica, a smiuim naponom tijelo se opire klizanju jednog sloja estica po drugom.
4
Normalni napon može biti napon zatezanja ili pritiska. Pod dejstvom zatežu eg napona estice tijela se udaljavaju (slika 1.3.a), a pod dejstvom pritiskujueg napona estice tijela se približavaju (slika 1.3.b).
F
F
σ
F
σ
F
σ
a)
σ
b)
Slika 1.3. Dejstvo normalnog napona a) zatežu eg, b) pritiskuju eg
Smjer djelovanja smiueg napona nema fizikalno znaenje kod izotropnih materijala, tj. materijala koji imaju iste fizikalne osobine u svim pravcima. Prema definiciji napona on se može dimenzijski izraziti kao [F/L2], gdje je [F] dimenzija za silu, a [L] dimenzija za dužinu. Pošto su u SI sistemu jedinica za silu 1N, a za dužinu 1m, to je osnovna jedinica za napon Paskal (Pascal-Pa), tj.:
1Pa = 1
N m2
.
1.3. Deformacija Deformacija tijela nastaje kao posljedica dejstva mehanikog i/ili toplotnog optereenja. Može se rei da je deformacija mjera deformisanosti tijela. Tijelo mijenja oblik i/ili dimenzije (slika 1.4.a.). Deformacija se izražava veliinama koje daju neposredan uvid u deformaciju tijela u okolini neke take, a to su dužinska deformacija – dilatacija i ugaona deformacija – klizanje. Da bi se odredila dilatacija, unutar tijela zapremine V, uoe se dvije take A i B prije dejstva optereenja. Njihovo rastojanje je l. Nakon dejstva optere enja ove take prelaze u nove položaje A’ i B’, a rastojanje je l + ∆l (slika 1.4b), gdje je ∆l izduženje.
5
F3
F2
nedeformisano tijelo A'
Fn
A
B' l
F1
B'
l+∆l
l2
B
O
B
l1
O' π /2
π /2-γ
A'
A
deformisano tijelo
Fi
a)
b)
c)
Slika 1.4. a) Deformacija tijela; b) Dužinska deformacija; c) Ugaona deformacija
Dilatacija ili dužinska deformacija se dobija iz: ε
= lim l →0
∆l l
.
(1.3)
Dilataciju uzrokuju normalni naponi. Ona karakterizira promjenu zapremine, odnosno dužine. Da bi se odredilo klizanje, unutar tijela se uoe tri take A, O, B, tako da je AOB pravi ugao prije dejstva optereenja. Nakon dejstva optere enja dolazi do pomjeranja taaka i njihov novi položaj je A’ 0’ B’, a ugao se mijenja za veliinu γ , koja predstavlja klizanje (slika 1.4.c). Ugaona deformacija ili klizanje jednako je: γ =
lim(∠ A0 B − ∠ A'0' B') . l1 →0 l2 →0
(1.4)
Klizanje uzrokuju smiui naponi. Ono karakterizira promjenu oblika tijela. Pošto se kroz bilo koju taku tijela može postaviti beskonano mnogo pravaca i ravni, taj skup svih vrijednosti dilatacija i klizanja zove se stanje deformacije u taki. Me utim, za potpuno poznavanje stanja deformacije u odreenoj taki tijela dovoljno je znati dilatacije i klizanja za tri meusobno normalna pravca i tri me usobno normalne ravni. Deformacija tijela, openito, zavisi od fizikalnih karakteristika materijala, vrste optereenja i geometrijskih karakteristika tijela. O vrstama optereenja je ve bilo govora, o geometrijskim karakteristikama tijela bie rijei kasnije, u dodatku ove knjige, a ovdje e biti rijei o fizikalnim osobinama materijala.
1.4. Fizikalne osobine materijala Deformacije materijala mogu biti elastine ili neelastine. Ako su deformacije takve da, po prestanku dejstva vanjskog optereenja unutarnje sile vraaju tijelo u prvobitne dimenzije i prvobitni oblik, radi se o elastinim deformacijama. 6
Ako nije tako, to su neelastine deformacije. Na osnovu toga može se definisati elasti no tijelo.
Elastino tijelo je
tijelo koje se pod optere enjem deformiše, a nakon rastere enja se ponovo vra a u prvobitno stanje . Materijali imaju osobinu elastinosti do odreene granice
koja je razliita za razliite materijale. Materijal je homogen ako ima jednoliku strukturu u svim takama zapremine koju tijelo obuhvata, u protivnom je nehomogen . Materijal je izotropan ako ima iste fizikalne osobine u svim pravcima. Ako nije tako, ako su fizikalne osobine materijala razliite u razliitim pravcima, materijal je anizotropan. Naprimjer, elik spada u izotropne materijale, ako se u razmatranje uzimaju dijelovi ve i od samih kristala, a drvo spada u anizotropne materijale, jer ima razliite fizikalne osobine u tri meusobno okomita pravca.
1.5. Definicija presjenih sila U proizvoljnom poprenom presjeku napregnutog tijela, koji je normalan na podužnu osu (slika 1.5a), redukcijom svih unutarnjih sila na težište presjeka dobija se jedna rezultuju a sila i jedan rezultujui moment. To je glavni vektor svih sila, R , i glavni moment svih sila, M . Oni predstavljaju utjecaj uklonjenog dijela na posmatrani dio i zajedno sa vanjskim silama, koje djeluju na taj dio i reakcijama veza ine sistem koji je u stanju ravnoteže.
F2 F y F x
F1
F2
F1
Fz M z
Mx
R M
F3
F4
My
F3
a)
F4 b)
Slika 1.5. Presje ne sile u popre nom presjeku optere enog nosa a
Glavni vektor i glavni moment mogu se razložiti na komponente u pravcu x, y, z osa Dekartovog (Descartes) pravouglog koordinatnog sistema (slika 1.5.b). Usvojeno je da z osa bude podužna osa nosa a:
R = F x i + F y j + F z k ,
M = M x i + M y j + M z k .
(1.5)
7
U izrazima (1.5.) i , j , k su ort vektori u pravcu osa x, y, z. Sile Fx i Fy su transverzalne ili poprene sile, a Fz je aksijalna ili podužna sila.
Momenti Mx i My su momenti savijanja, a Mz je moment uvijanja. Svaka od gore navedenih presje nih sila jednaka je zbiru svih sila, odnosno momenata vanjskih sila, ukljuujui i reakcije veza s lijeve ili s desne strane od uoenog poprenog presjeka. Za stanje ravnoteže vrstih tijela vrijede opšti uslovi ravnoteže iz Statike krutih tijela. To znai da glavni vektor i glavni moment za bilo koju ta ku moraju biti jednaki nuli, tj:
R = 0, M o = 0 .
(1.6)
Iz dvije vektorske jedna ine ravnoteže (1.6.) slijedi šest skalarnih jednaina ako je problem prostorni. One se mogu pisati u odnosu na prvobitni nedeformisani oblik, jer se razmatraju samo sluajevi malih deformacija. Te jednaine su:
F xi = 0,
i
i
F yi = 0,
i
M xi = 0,
F zi = 0,
i
i
M yi = 0,
M zi = 0,
(1.7)
i
odnosno, suma svih sila u pravcu x, y, z ose jednaka je nuli i suma momenata za x, y, z ose jednaka je nuli.
1.5.1. Konvencija o predznaku presje nih sila Predznak presjenih sila, prema usvojenoj konvenciji o predznaku presje nih sila, odreuje se na sljedei nain. Presjene sile na površini poprenog presjeka ija se normala poklapa s pozitivnim smjerom z ose su pozitivne ako djeluju u smjeru koordinatnih osa (slika 1.6a), a znak momenta se odreuje po pravilu desnog vijka ili momenti savijanja su pozitivni ako djeluju tako da istežu donja vlakna, odnosno istežu vlakna na zadnjoj površini nosa a, a moment uvijanja je pozitivan ako njegov vektor zateže presje nu površinu (slika 1.6.c): Ako je vanjska normala na površinu popre nog presjeka u smjeru negativne z ose, tada su presjene sile pozitivne ako djeluju u negativnom smjeru koordinatnih osa. Na slici 1.6b i 1.6d prikazane su negativne komponente presje nih sila.
8
Fz
Fy
Fz
Fy
Fx
Fx
Fz
Fx
Fx
Fz
Fy
Mz
Fy
a)
My
Mz
My
b)
Mx
Mx
Mx
Mz
Mz
Mx
My c)
d)
My
Slika 1.6. Odre ivanje znaka presje nih (unutarnjih) sila
Kod ravanskih problema, kod kojih sve vanjske i unutarnje sile leže u y z ravni, javljaju se tri presjene sile. Te presjene sile sa svojim znakom, za lijevi i za desni dio nosaa, prikazane su na slici 1.7. Prema usvojenoj konvenciji o znaku presje ne sile aksijalna sila na slici 1.7. je negativna, a transverzalna sila i moment savijanja su pozitivni. Presjene sile se odreuju iz statikih uslova ravnoteže koji se primjenjuju na jedan od dva odsje ena dijela. Za crtanje dijagrama presjenih sila, presjene sile treba nai u veem broju presjeka, a prvenstveno u onim u kojima dolazi do nagle promjene odre ene presjene sile.
Slika 1.7. Presje ne sile za lijevi i desni dio nosa a
9
1.5.2. Veza izmeu presjenih sila i vanjskog optereenja Presjene sile se mogu odrediti i iz zavisnosti koja postoji izmeu presjene sile i vanjskog optere enja. Da bi se ta zavisnost dobila posmatra se nosa koji je kontinualno optere en i isjee se dio dužine dz (slika 1.8.) Posmatra se ravnoteža isjeenog dijela, kod koga su popreni presjeci na maloj udaljenosti. Pošto se presjene sile mijenjaju od presjeka do presjeka, javlja se priraštaj presjenih sila u desnom presjeku, te one iznose Ft(z+dz) = Ft + dFt i M(z+dz) = M+dM.
Slika 1.8. Ravnoteža elementa nosa a optereenog u ravni yz
Statiki uslovi ravnoteže daju sljede e zavisnosti:
F zi = 0,
− F t + q ( z ) dz + F t + dF t = 0,
i
dF t dz
= − q ( z ),
M iA = 0,
− M − F t dz + q ( z ) dz
i
dM dz
dz
2
+ M + dM = 0,
(1.9)
= F t ,
jer se veliina drugog reda q( z )
dz 2
2
može zanemariti.
Diferencijalna veza izmeu presjenih sila i vanjskog optereenja je: d 2 M dF t = = − q( z ) . dz 2 dz
10
(1.8)
(1.10)
1.6. Veza izmeu napona i deformacije Vezu izmeu napona i deformacije za idealno elastine materijale prvi je postavio i eksperimentalno potvrdio Robert Huk (Robert Hooke). On je normirane šipke (epruvete) opteretio aksijalnom silom i mjerio je promjenu njihove dužine, apsolutnu deformaciju ∆l, s promjenom aksijalne sile F (opširnije u dodatku – Eksperimentalno odre ivanje zavisnosti F napon – dilatacija). Iz ovih podataka dobijena je promjena napona σ = (A je površina A ∆l poprenog presjeka šipke) s promjenom relativne deformacije, dilatacije ε = (l je l poetna dužina šipke). Korištenjem dobijenih, eksperimentalnih, podataka za odre eni materijal nacrtan je dijagram σ, ε (napon – dilatacija), koji je prikazan na slici 1.9. Taka E je granica elastinosti i izmeu O i E materijal ima elastine osobine. Taka P je granica proporcionalnosti i izmeu O i P postoji proporcionalnost izme u napona i dilatacije, tj.: σ = E ε ,
(1.11)
gdje je E modul elastinosti, Jangov (Young) modul. Na slici 1.9. se vidi da je E = tgα = const . u podru ju linearne elastinosti. Modul elastinosti je fizikalna karakteristika materijala, a mjerna jedinica je Pa. σ
E P
α
0
ε
Slika 1.9. Dijagram napon – dilatacija za odre eni materijal
1.7. Osnovne vrste naprezanja Osnovne vrste naprezanja nastaju kada se u popre nom presjeku javlja samo jedna presjena sila (slika 1.10.):
11
F F a)
F
b)
smicanje
F
M
c)
savijanje
M d)
aksijalno optereenje
M uvijanje M
e)
F
F
izvijanje
Slika 1.10. Osnovne vrste naprezanja
Ta naprezanja su: - aksijalno naprezanje – javlja se samo aksijalna sila; - smicanje – javlja se samo popre na, transverzalna sila; - isto savijanje – javlja se samo moment savijanja; - uvijanje – javlja se samo moment uvijanja; - izvijanje – pod dejstvom aksijalne sile dolazi do poremeaja elastine stabilnosti.
1.8. Tipovi noseih elemenata Pri rješavanju praktinih problema mogue je uvoenjem odreenih pretpostavki prostorni problem riješiti kao ravanski ili linijski. Do pretpostavki, koje se koriste, dolazi se iskustvom, eksperimentom ili na osnovu ta nih rješenja Teorije elastinosti. 12
Koriste se sljedee vrste noseih elemenata: - linijski nosei element, - površinski nosei element. U linijske nosee elemente spadaju štap i greda. Kod njih je dimenzija tijela u jednom pravcu znatno vea nego u druga dva ortogonalna pravca (slika 1.11a).
a)
b) Slika 1.11. Tipovi nose ih elemenata: a) linijski nose i elementi; b) površinski nose i elementi
Štap je linijski element optereen samo u pravcu podužne ose. To može biti aksijalna sila ili moment uvijanja. Greda je linijski element optereen upravno na podužnu osu. To može biti transverzalna sila i/ili moment savijanja. Linijski nosai mogu biti pravi ili krivi, što ovisi o tome da li je njihova osa prava ili kriva linija. U površinske nosee elemente spadaju ploe i ljuske. Kod ovih elemenata je jedna dimenzija mnogo manja od druge dvije i to je debljina nose eg elementa (slika 1.11b).
Ploa je površinski nosei element, kod koga je srednja površina ravna. Ljuska je površinski nosei element kod koga je srednja površina kriva.
13
1.9. Osnovne pretpostavke (hipoteze) U uvodnom dijelu Mehanike deformabilnog tijela, u Elastostatici, pri analizi napona i deformacija, da bi se ta analiza uinila jednostavnom i brzom, uvode se odreene pretpostavke pomou kojih se realno tijelo zamjenjuje idealiziranim. Uvedene pretpostavke su provjerene eksperimentima i tanim rješenjima Teorije elastinosti. Naime, Teorija elastinosti koristi dosta složen matematiki aparat, koji omoguuje u jednostavnim sluajevima dobijanje analitikih rješenja, a u složenim uz primjenu numerikih metoda i raunara mogue je dobiti rješenja, koja pokazuju kako se stvarno ponaša neka konstrukcija pod optere enjem. Pretpostavke koje se koriste u ovoj knjizi pri analizi naponskog stanja su: 1. Materijal tijela ima osobine neprekidne sredine. Ova pretpostavka omogu uje primjenu matematske analize i rješenja se dobijaju u formi neprekidnih funkcija.
2. Materijal tijela je homogen. Pretpostavlja se jednolika struktura u svim ta kama zapremine koju tijelo obuhvata.
3. Materijal tijela je izotropan. Pretpostavlja se da su fizikalne karakteristike materijala iste u svim pravcima.
4. Materijal tijela je idealno elastian. Na osnovu ove pretpostavke slijedi da su naponi proporcionalni deformacijama.
5. Optereenja su statika. Stati ko optereenje se postiže kada sila na po etku svoga dejstva raste veoma sporo od nule do pune vrijednosti koju zadržava.
6. Deformacije tijela su male. Ova pretpostavka da su deformacije male (infinitezimalne) vrijedi u teoriji linearne elasti nosti. Na osnovu nje deformacije se mogu dati kao linearne funkcije pomjeranja ta aka tijela.
7. Vrijedi princip superpozicije optere enja. Na osnovu ove pretpostavke kona ni, zbirni, rezultat jednak je sumi pojedina nih utjecaja i on ne zavisi od redosljeda nanošenja optere enja.
8. Sen
Venanov (Saint-Venant) princip ekvivalentnosti optere enja. Ako se površinske sile zamijene ekvivalentnim stati kim sistemom, onda on izaziva promjenu napona samo u okolini dejstva sile, a naponi u ta kama dovoljno udaljenim od sile e ostati nepromijenjeni. Ova pretpostavka zna i da unutarnje sile u tijelu malo zavise od na ina prenošenja optere enja na tijelo. Tako, na primjer podijeljeno optereenje sa složenim zakonom raspodjele može se zamijeniti s jednom ili više koncentrisanih sila. Greška koja se ovim unosi u prora un je mala i odnosi se samo na dio tijela u neposrednoj blizini djelovanja optere enja.
Naprijed navedene pretpostavke zadovoljavaju potrebu inženjerskog posmatranja problema. Može se rei da su sa stanovišta inženjerske prakse dovoljno ta ne. 14
