El Concepto de Comonotonicidad en Ciencias Actuariale y Financieras

El concepto de comonotonicidad en ciencias actuariales y financieras Dr. Antonio Murillo Salas, Karla Paola Luque Alvarez 22 de noviembre de 2016 Universidad de Guanajuato, Guanajuato Resumen

Una de las principales problem´ aticas que tienen las empresas creditiaticas cias o las compa˜ n´ıas aseguradoras asegur adoras es: ¿c´ omo medir el riesgo al vender una omo p´ oliza oliza de alg´ un seguro? Lo anterior con el objetivo de minimizar las posiun bles p´ erdidas. erdid as. En este e ste art´ ıculo ıculo nos enfocarem enfo caremos os en e n la l a teor´ t eor´ ıa ıa que conlleva conlle va a la soluci´ on de esta problematica. Este trabajo está basado on ba sado en el art´ ıculo: ıculo : The concept of comonotonici comonotonicity ty in actuarial actuarial science science and finance: theory J. Dhaene, M. Denuit, M.J. Goovaerts, R. Kaas, D. Vyncke. Adem´ as a s se consult´ o el libro: Introducci´ on on a la teor´ teor´ıa de Riesgos de Luis Rinc´ on. on.

1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

En este trabajo presentaremos una breve introducción on sobre algunas técniecnicas simples que nos ayuden a enfrentarnos a sumas de variables aleatorias cuya distribuci´ on marginal es conocida pero que la distribución on on conjunta o es desconocida muy dificil trabajar con ella. Lo que se pretende es el sustituir la suma original por otra, con una estructura de dependencia un poco mas simple, la cual se considera como menos favorable para quienes se enfrentan a los pagos en caso de riesgos. Esta suma implica los componentes de la versión on comonotonica del vector aleatorio inicial. La principal ventaja de este enfoque es que conduce a las funciones de distribución on f´ acilmente computables y las primas stop-loss. acilmente Uno de los objetivos que se tienen es que, teniendo en cuenta los vectores aleatorios comonotonicos se reduzca el problema multidimensional a uno univariado. En especial, se tratarán an los aspectos teóricos oricos del problema, esperando en un futuro trabajar con algunos ejemplos sobre aplicaciones de las técnicas ecnicas que se trabajarán an aqu´ı, ı, los cuales son de tipo tip o actuarial y financiero. Para llevar a cabo este traba jo, comenzaremos con algunos términos erminos empleados en ciencias actuariales y financieras para después es entrar en el tema.

1

2.

Introducci´ on a la teor´ıa de riesgos

El t´ ermino riesgo tiene significados distintos, los cuales dependen del área de estudio que estemos tratando, en términos imprecisos puede definirse como la posibilidad de experimentar ciertos eventos de inter´ es y las consecuencias que resultan de dichos eventos. Los riesgos pueden tener un sentido positivo o negativo, pero en general son relacionados con pérdidas. El objetivo no es evitar dichos riesgos, mas bien es medir las consecuencias que éstos pueden aportar, decidir su aceptación o no para as´ı tomar decisiones. El desarrollo del hombre ya sea en el ámbito personal o profesional implica hacer frente a ciertos riesgos, lo cual puede tener consecuencias no deseadas, pero al mismo tiempo ofrecer oportunidades. Por ejemplo, al comprar un boleto de loter´ıa corremos el riesgo de perder el dinero que se invirtió en dicho boleto, pero al mismo tiempo existe la posibilidad de ganar una cantidad de dinero mayor a la que se invirtió. Cada uno de nosotros mide estas posibilidades de distinta manera y toma la decisión que considera mas favorable. En finanzas puede definirse el riesgo en t´ erminos de la variació n de una inversión, o tambi´ en como una posible pérdida; en general, se considera que una inversió n es más riesgosa en la bolsa de valores comparada con la de un banco. Finalmente, en seguros, el riesgo puede definirse como el monto de las reclamaciones totales de los asegurados. A continuación, se planteará con más detalle este u ´ ltimo caso pues es al que están dirigidos principalmente los modelos matem´ aticos que estudiaremos. A grandes rasgos, los seguros funcionan de la siguiente forma: si cierto grupo de personas consideran que están expuestas a sufrir algún tipo de accidente o riesgo; ya sea en sus bienes, en su persona o alguna otra perdida considerable, solicitan un seguro, por lo que cada una de estas personas paga por adelantado una cantidad de dinero llamada prima a una compañ´ıa aseguradora, la cual se compromete a reponer las pérdidas de todas aquellas personas aseguradas que sufrieron alg´ un tipo de siniestro durante el tiempo de vigencia del seguro, según las condiciones especificadas en la póliza del mismo. De este modo, aunque no se conozca de manera individual a las personas que sufrirán un siniestro, el capital obtenido de manera colectiva debe ser suficiente para solventar los gastos individuales que se presenten.

2.1.

Modelo individual

Suponga ahora que se tiene un portafolio con n pólizas de seguros válidas por un a˜ no. Sea pj la probabilidad de que el j-ésimo asegurado no efect´ ue ninguna reclamaci´ on durante el tiempo de vigencia del seguro, y sea q j la probabilidad de que se observe exactamente una reclamación. Suponga que la igualdad p j + q j = 1 se cumple, es decir, o hay una reclamación o no hay ninguna. Un ejemplo claro de este tipo ser´ıan los seguros de vida. Ahora defina la variable aleatoria

2

Dj =

 1 0

si hay reclamación en la p´ oliza j si no hay reclamaci´ on en la p´ oliza j

(1)

Claramente Dj tiene distribuci´ on Bernoulli con parámetro q j . Podemos ver que el número total de reclamaciones está dado por la variable aleatoria N = D 1 + D2 + ... + Dn . Considere que cada póliza efect´ ua una reclamación, y sea la variable aleatoria on efectuada por la póliza j. Debido a que los C j > 0 el monto de la reclamaci´ siniestros pueden presentarse con caracter´ısticas distintas y ello puede derivar en distintos montos de reclamación, consideraremos de manera general a C j no como una constante sino como una variable aleatoria. La verdadera reclamación de la póliza j está dada por el producto



Dj C j =

C j

0

si D j = 1 si D j = 0

(2)

Tomemos como datos en este modelo la colección de vectores aleatorios: (D1 , C 1 ), (D2 , C 2 ), ..., (Dn , C n ) los cuales supondremos independientes. Además de que las variables Dj y C j también son independientes entre s´ı. Definici´ o n 2.1.1 El

monto de reclamaciones agregadas, o tambi´ en llamado agregado de reclamaciones, en el modelo individual, es la variable aleatoria n

 =

S

Dj C j

j =1

La variable aleatoria S es el monto al que se enfrenta una compa˜ n´ıa aseguradora por concepto de reclamaciones durante el periodo completo del seguro. Una posible desventaja de este modelo es que se supone que el número de asegurados en la cartera se mantiene constante durante todo el tiempo de vigencia del seguro. Desde el punto de vista matemático, y también desde la perspectiva de la compa˜ n´ıa de seguros, nuestro objetivo es conocer las caracter´ısticas de la variable S, a quien llamaremos riesgo.

2.2.

Modelo colectivo

Considere un conjunto de un número no determinado de contratos de seguros con vigencia en un periodo de tiempo [0, T ]. Este periodo puede corresponder por ejemplo a un a˜ no. Sea N la variable aleatoria que denota el número de reclamaciones ocurridas en este intervalo y sean las variables positivas Y 1 ,...,Y N los montos de estas reclamaciones. Considere además que el número de reclamaciones y los montos de éstas son variables aleatorias independientes. Más a´ un, supondremos que las reclamaciones mismas son independientes entre s´ı y que comparten la misma distribuci´ on 3

de probabilidad. Definici´ on 2.2.1 El

monto agregado o monto acumulado de todas las reclamaciones efectuadas es la variable aleatoria S , llamada riesgo, y definida como sigue: n

 =

S

Y j

j =1

en donde Y 1 , Y 2 ,...,Y n es una colección de variables aleatorias independientes positivas, idénticamente distribuidas e independientes de la variable aleatoria N con valores en el conjunto 0 , 1, 2, ...N Cuando N = 0 se define S = 0. Una de las cosas que comúnmente se hacen en ciencias actuariales es que combinan tanto los riesgos técnicos (actuariales) con los riesgos de inversión (financieros). Sean X i los pagos nominales y asumamos que son aleatorios con ti a veces fijo y conocido, donde i = 1, 2, . . . , n. Sea Y t el factor de descuento nominal en el intervalo [0, t], con t ≥ 0. Esto significa que necesitamos invertir la cantidad Y t para obtener una suma 1 del momento 0 al tiempo t. En este caso, una variable de interés será la siguiente: n

 =

S

X i Y ti

i=1

Si los pagos X i al tiempo ti son independientes de la inflación entonces los vectores X = (X 1 , X 2 ,...,X n ) y Y = (Y 1 , Y 2 ,...,Y n ) son mutuamente independientes. De no ser independientes a la inflación entonces los vectores X e Y son dependientes. Denotaremos por Z t al factor inflació n en el periodo [0 , t], en este caso, reescribimos a S como n

 =

S

X i Y ti

i=1

Xi donde el pago real X i y los factores de descuento Y i están dados por X i = Z ti y Y ti = X i Z ti . Por lo tanto, volvemos a tener un producto escalar de dos vectores aleatorios mutuamente independientes. Hasta ahora, hemos mencionado casos en donde los vectores son mutuamente independientes, pero hay situaciones en las que ésto no ocurre, es decir, en las que dichos vectores son dependientes, por lo que estaremos interesados en éste tipo de problemas. Un ejemplo de ésto puede ser el caso de un seguro de vida de una persona, en el cual, la persona paga una cantidad X en los tiempos 1, 2,...,N . Podemos ver la dependencia ya que, si en el momento n el asegurado tiene un pago igual a 0, esto significa que en los momentos n + 1, n + 2,...,N también se tendrán pagos iguales a 0. Otro ejemplo puede ser el de un seguro individual de automovil, donde si el asegurado tiene reclamaciones altas en los primeros dos años, la probabilidad de que el tercer año se tengan reclamaciones altas es muy fuerte.

4

As´ı como estos, podemos mencionar muchos otros ejemplos donde existe una fuerte dependencia positiva entre los vectores aleatorios factor de descuento y pago estocástico. Si suponemos que el factor de descuento Y t es determinista entonces el suponer independencia no está tan alejado de la realidad y podemos utilizarlo para determinar la distribución de S . Siempre que se considere un entorno financiero determinista, el valor presente en el tiempo 0 del total de reclamaciones X 1 + X 2 + ... + X n a pagar por el asegurador en el tiempo 1 es determinado por S = (X 1 + X 2 + ... + X n )v,

Donde v = (1 + r )−1 es el factor de descuento determinista y r la tasa de ´ interés técnico. Este será elegido de tal forma que el asegurador no subestime sus obligaciones. La ley de los grandes n´ umeros es la que mantiene la estabilidad necesaria entre el asegurado y la aseguradora, siempre que n es suficientemente grande y que los riesgos son mutuamente independientes y bien comportados. Ahora examinemos las consecuencias de la introducción de descuento estocástico. La sustituci´ on del factor de descuento fijo v por una variable aleatoria Y , que representa el importe estocástico para ser invertido en el tiempo 0 con el valor 1 al final del per´ıodo [0, 1], el valor actual del total de reclamaciones se vuelve S = (X 1 + X 2 + ... + X n )Y

Ahora pasemos al caso en el que los vectores X = (X 1 , X 2 ,...,X n ) e Y = (Y t , Y t2 ,...,Y tn ) son mutuamente independientes y que se dan las distribuciones marginales de X i y Y ti , el problema de la determinación de los l´ımites de la funci´ on de distribución de 1

n

 =

S

X i Y ti

i=1

se pueden reducir a la determinación de los l´ımites para la funci´ on de distribuci´ on de la suma S = Z 1 + Z 2 + ... + Z n

donde las variables aleatorias Z 1 , Z 2 ,...,Z n tienen función de distribución marginal dada, pero donde la distribución conjunta es desconocida o muy dificil de trabajar. Por eso es que es necesario hablar del concepto de orden convexo, el cual está estrechamente relacionado con la noción de orden stop - loss, el cual es mas familiar en circulos actuariales. Ambas o´rdenes estocásticas expresan cuál de dos variables aleatorias nos resulta la “menos peligrosa”. Una estrategia segura desde el punto de vista de la aseguradora ser´ıa la sustitución de S por una variable aleatoria menos atractiva S’. El que consideremos variables aleatorias “mas atractivas” ayudará n a dar una idea del grado de sobreestimación del riesgo real. 5

A partir de ésto, vamos a describir cómo tomar decisiones seguras en caso de que tengamos una suma de variables aleatorias con funciones de distribuci´ on marginales dadas, pero de la que la estructura estocástica-dependiente es desconocida.

3.

Ordenamiento de variables aleatorias

En esta parte vamos a considerar variables aleatorias con media finita. Lo cual implica que para cualquier variable aleatoria X tenemos que l´ım x→∞ f (x) = C = x (1 − F X (x)) = l´ım x→−∞ xF X (x) = 0, donde F X (x) = P r[X ≤ x] se utiliza para denotar la función de distribución acumulativa de X . Utilizando la técnica de integración p or partes de ambos términos del lado derecho en E [X ] =

0



xdF X (x) − −∞

∞

 o

xd(1 − F X (x))

nos encontramos con la siguiente expresión para E [X ] : E [X ] = −

0



F X (x)dx + −∞

∞

 (1 − o

F X (x))dx

En ciencias actuariales una pr´ actica com´ un es el sustituir una variable aleatoria por otra menos atractiva con una estructura más simple, lo que hace más f´ acil de determinar su función de distribución. Es importante aclarar lo que entendemos por una variable aleatoria menos atractiva. Para esto introduciremos la noción de prima stop-loss. La prima de stop-loss con retención d de variable aleatoria X se define por E [(X − d)+] , con la notaci´ on ( x − d)+ = max(x − d, 0). Utilizando una integración por partes, de inmediato se encontró que E [(X − d)+] =

∞

 (1 − d

F X (x))dx, −∞ ≤ d ≤ −∞

donde vemos que la prima de stop-loss con retención d puede ser considerado como el peso de la cola superior de la función de distribució n de X : es la superficie entre la función de distribución de X y la función constante 1, a partir de d . Observemos que E [(X − d)+] es una función continua decreciente, con derivada F X (d) − 1 en d, que se anula en + ∞. Ahora, podemos definir el orden de stop-loss entre variables aleatorias. Definici´ on 1. Considere dos variables aleatorias X e Y . Entonces X se dice que precede Y en el sentido de orden stop-loss , notación X ≤ slY , si y sólo si X tiene menores primas de stop-loss que Y : E [(X − d)+] ≤ E [(Y − d)+]

Por lo tanto, X ≤ slY significa que X tiene colas superiores uniformemente menor que Y , que a su vez significa que un pago Y es menos atractivo que un pago X . Esto significa que cualquier tomador de decisiones de aversión al riesgo prefieren pagar X en lugar de Y .

6

4.

Comonotonicidad

4.1.

Conjuntos comonotonicos y vectores aleatorios

En ciencias financieras, por lo regular nos encontramos con variables aleatorias del tipo n

 =

S

X i

i=1

donde los términos X i no son mutuamente independientes y además se desconoce la funcion de distribución multivariada del vector X = ( X 1 , X 2 ..., X n ), ya que sólo se conoce la función de distribución marginal de las variables aleatorias X i . En estos casos, es importante encontrar la estructura de dependencia del vector aleatorio X = ( X 1 , X 2 ,...,X n ) para poder seguir tomando decisiones con respecto a éste. En particular, estamos interesados en la distribución conjunta con la suma mas grande, en el sentido de orden convexo. Comenzaremos definiendo la comonotonicidad de un conjunto de n-vectores en Rn . conjunto A ⊆ Rn . se dice que es comonotonico si para cualquier x e y en A, ya sea x ≤ y o y ≤ x se cumple. Por lo tanto, un conjunto A ∈ Rn es comonotonico si para cualquier x e y en A, si x i ≤ yi para algunos i, entonces x ≤ y debe cumplirse. Definici´ o n 4.1.1 El

Definici´ o n 4.1.2. Un

vector aleatorio X = (X 1 , x2 ,...,X n ) se dice que es comonotonico si tiene un soporte comonotonico. Nota: Se

llama soporte de una variable aleatoria discreta al conjunto de puntos que tienen probabilidad distinta de 0. Por ejemplo, la variable aleatoria X:= N´ umero de caras que se obtienen al lanzar dos monedas, tiene como soporte al conjunto { 0,1,2}. Teorema 2. Un vector aleatorio X = (X 1 , X 2 ,...,X n ) es comonotonico si y sólo si una de las siguientes condiciones de equivalencia se cumple:

(1) X tiene un soporte comonotonico. (2) Para todo X = ( X 1 , X 2 ,...,X n ), tenemos F X (x) = m´ın{F X (x1 ), F X (x2 ),...,F Xn (xn )} 1

2

−1 −1 −1 (3) Para T ∼ Uniforme(0, 1), tenemos {F X (U ), F X (U ),...,F X (U )} n 1

2

(4) Existe una variable aleatoria Z y funciones no decrecientes

7

f i (i = 1, 2,...,N ), de forma que X = ( f 1 (Z ), f 2 (Z ),...,f n (Z ))

(1) ⇒ (2) : Suponga que X tiene el soporte comonotonico B. Sea x ∈ R y sea Aj definido por Prueba. n

Aj = {y ∈ B |yj ≤ xj }, j = {1, 2,...,n} n j =1



Debido a la comonotonicidad de B, existe una i tal que Ai = Por lo tanto, encontramos F X (x) = P r[X ∈

n j =1



Aj

Aj ] = P r[X ∈ Ai ] = F Xi (xi ) = min{F X (x1 ), F X (x2 ),...,F Xn (xn )} 1

2

La u ´ ltima igualdad se sigue de Ai ⊂ Aj as´ı que F Xi (xi ) ≤ F Xj (xj ) para toda j . (2) ⇒ (3) : Supongamos ahora que F X (x) = min{F X (x1 ), F X (x2 ),...,F Xn (xn )} −1 para todo x = (x1 , x1 ,...,xn ), entonces encontramos por F X ( p) ≤ x ⇔ p ≤ F X (x) que 1

2

−1 −1 −1 (U ) ≤ x1 , F X (U ) ≤ x2 ,...,F X (U ) ≤ xn ] P r[F X n 1

2

=P r[U ≤ F X (x1 ),...,U ≤ F Xn (xn )] 1

= P r[U ≤ min{F Xj (xj )}] = min {F Xj (xj )} (3) ⇒ (4) Sencillo (4) ⇒ (1) Supongamos que existe una variable aleatoria Z con soporte B y funciones no decrecientes f i (i = 1, 2,...,n) tales que X = ( f 1 (Z ), f 2 (Z ),...,f n (Z )).

El conjunto de resultados posibles de X es

{f 1 (Z ), f 2 (Z ),...,f n (Z )|Z ∈ B } que es comonotónico, lo cual implica que X es comonotónico. Teorema 3. Un vector X es comonotonico si y solo si ( X i , X j ) es comonotonico para todo i  ≡ j en { 1,2,...,n}. Prueba: Para la implicaci´ on ⇒ la prueba es sencilla, ya que si X es comonotonico entonces (X i , X j ) también lo es. Lo interesante es probar la implicación ⇐ Consideremos el conjunto A ∈ Rn definido por

A = {F x−1 ( p), F x−1 ( p),...,F x−n1 ( p)|0 < p < 1 }. 1

2

8

y su (i, j ) - proyección dada por −1 −1 ( p), F X ( p)|0 < p < 1 . Ai,j = (F X i j

El evento X ∈ A es equivalente al evento ( X i , X j ) ∈ Ai,j para todos (i, j ), por hipótesis tenemos que los pares ( X i , X j ) son comonotonicos, de aqu´ı encontramos que P r[X ∈ A] = 1, lo cual nos dice que el conjunto comonotonico A es un soporte de X, esto implca que X es comonotonico.

4.2.

Un ejemplo con distribuciones continuas

Sea X ∼ Uniforme sobre el conjunto (0, 12 )U (1, 32 ), Y ∼ Beta(2, 2), por lo tanto F Y (Y ) = 3y 2 − 2y 3 en(0, 1), y Z ∼ Normal(0, 1). Si X,Y y Z son independientes entre s´ı, entonces el soporte de (X , Y , Z) es el conjunto

{(x,y,z)|x ∈ (0, 12 )U (1, 32 ), y ∈ (0, 1), z ∈

R}

El soporte del vector aleatorio comonotonico ( X c , Y c , Z c ) est´ a dado por, −1 −1 ( p), F Y −1 ( p), F Z ( p)|0 < p < 1 } {F X

4.3.

Sumas de variables aleatorias comonotonicas

Utilizaremos la notación S c para la suma de los componentes de la contraparte comonotonica (X 1c , X 2c , . . . , Xnc ) de un vector aleatorio ( X 1 , X 2 , . . . , Xn ), donde S se define de la siguiente manera: S = X 1c + X 2c + . . . + X nc

Se demostrará mas adelante que la aproximación de la función de distribuci´ o n de S = X 1 + X 2 + . . . + X n por la función de distribució n de la suma comonot´ onica S c es una estrategia prudente, ya que S ≤ cxS c . Dada esta aproximaci´ on, sólo será significativa si podemos determinar fácilmente la función de distribuci´ on y las primas stop – loss de S c . En los próximos dos teoremas, se demostrara que dichas cantidades pueden ser determinadas con facilidad desde las funciones de distribución marginales de los términos de la suma. A continuación, en el siguiente teorema se demostrara que la funció n de distribuci´ on inversa de una suma de variables aleatorias comonotonicas es simplemente la suma de las funciones de distribución inversa de las distribuciones marginales. −1(α) Teorema 4.2.1. La funci´ on de distribución α − inversa F S c de una suma S c de variables aleatorias comonotonicas ( X 1c , X 2c ,...,X nc ) esta dado por 1(α)

−

F S c

( p) =



n i=1

1(α)

−

F Xi

( p), o < p < 1 , 0 ≤ α ≤ 1

Considerando que el vector aleatorio ( X 1 , X 2 ,...,X n ) y sus contrapartes comonotonicas (X 1c , X 2c ,...,X nc ). Entonces S c = X 1c + X 2c + ... + X nc con U uniformemente distribuida en (0,1) y con la función g definida por Prueba:

9

n i=1



g(x) =

−1 (u) F X i

Está claro que g es no decreciente y continua por la izquierda, lo que por el teorema 2(a) nos conduce a −1 −1 1 ( p) = F g−(U F S ) ( p) = g (F U ( p)) = g ( p), o < p < 1 c

Por lo que podemos calcular la inversa de la función de distribución de S c de la siguiente forma:



n i=1

1+( p)

=

−1 ( p) = F S c

−1 ( p) , 0 < p < 1 F X i

Similarmente, utilizando el teorema 2(b) , encontramos que −

F S c



n i=1

−1+ ( p) F X i

Multiplicando las dos u ´ ltimas igualdades por α y (1 − α), respectivamente, y sumando, se obtiene el resultado correcto. Tenga en cuenta que S c =

−1(α) n (U ) i=1 F Xi



Por el teorema anterior, nos podemos encontrar con que el soporte conectado de S c esta dado por 1(α)

−

{F S c



( p)|0 < p < 1 } = {

Esto implica −1+ (0) = F S c −1 F S c (1) =

 

n i=1

n i=1 n i=1

1(α)

−

F Xi

( p)|0 < p < 1 }

−1+ (0) F X i −1 F Xi (1)

Consecuentemente, el valor m´ınimo de la suma comonotonica es igual a la suma de los valores m´ınimos de cada término. Similarmente, él valor máximo de la suma comonotonica es igual a la suma de los valores máximos de cada término. Se puede concluir que cualquier prima de stop-loss de una suma de variables aleatorias comonotonicas puede ser escrito como la suma de las primas de stop-loss para las variables aleatorias individuales involucradas. El teorema proporciona un algoritmo, mediante el cual se puede calcular directamente las primas de stop-loss de sumas de variables aleatorias comonotonicas, sin tener que calcular toda la función de distribución de la suma en s´ı. Esto quiere decir que , con el fin de calcular la prima de stop-loss con retención d, s´ olo necesitamos conocer F Sc (d).

10

5.

Conclusiones

En este trabajo se presentó algo de teor´ıa sobre comonotonicidad, la cual nos ayuda a conocer algunas técnicas muy útiles para resolver problemas de sumas de variables aleatorias dependientes, para las cuales resulta complicado conocer su distribución conjunta. Lo que aqu´ı se hace es el sustituir esa suma de variables aleatorias por otras parecidas pero cuya función de distribución conjunta resulte mas sencilla, además de que ésta resulte menos favorable que la original para quienes tienen que tomar decisiones sobre ella. En un trabajo posterior, se pretende utilizar esta teor´ıa para proponer varias aplicaciones de las técnicas que aqu´ı se proporcionan. Todo este trabajo está basado en el art´ıculo The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: theory, J. Dhaene, M. Denuit, M.J. Goovaerts, R. Kaas, D. Vyncke.

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El Concepto de Comonotonicidad en Ciencias Actuariale y Financieras

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