El concepto de comonotonicidad en ciencias actuariales y financieras Dr. Antonio Murillo Salas, Karla Paola Luque Alvarez 22 de noviembre de 2016 Universidad de Guanajuato, Guanajuato Resumen
Una de las principales problem´ aticas que tienen las empresas creditiaticas cias o las compa˜ n´ıas aseguradoras asegur adoras es: ¿c´ omo medir el riesgo al vender una omo p´ oliza oliza de alg´ un seguro? Lo anterior con el objetivo de minimizar las posiun bles p´ erdidas. erdid as. En este e ste art´ ıculo ıculo nos enfocarem enfo caremos os en e n la l a teor´ t eor´ ıa ıa que conlleva conlle va a la soluci´ on de esta problematica. Este trabajo est´a basado on ba sado en el art´ ıculo: ıculo : The concept of comonotonici comonotonicity ty in actuarial actuarial science science and finance: theory J. Dhaene, M. Denuit, M.J. Goovaerts, R. Kaas, D. Vyncke. Adem´ as a s se consult´ o el libro: Introducci´ on on a la teor´ teor´ıa de Riesgos de Luis Rinc´ on. on.
1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
En este trabajo presentaremos una breve introducci´on on sobre algunas t´ecniecnicas simples que nos ayuden a enfrentarnos a sumas de variables aleatorias cuya distribuci´ on marginal es conocida pero que la distribuci´on on on conjunta o es desconocida muy dificil trabajar con ella. Lo que se pretende es el sustituir la suma original por otra, con una estructura de dependencia un poco mas simple, la cual se considera como menos favorable para quienes se enfrentan a los pagos en caso de riesgos. Esta suma implica los componentes de la versi´on on comonotonica del vector aleatorio inicial. La principal ventaja de este enfoque es que conduce a las funciones de distribuci´on on f´ acilmente computables y las primas stop-loss. acilmente Uno de los objetivos que se tienen es que, teniendo en cuenta los vectores aleatorios comonotonicos se reduzca el problema multidimensional a uno univariado. En especial, se tratar´an an los aspectos te´oricos oricos del problema, esperando en un futuro trabajar con algunos ejemplos sobre aplicaciones de las t´ecnicas ecnicas que se trabajar´an an aqu´ı, ı, los cuales son de tipo tip o actuarial y financiero. Para llevar a cabo este traba jo, comenzaremos con algunos t´erminos erminos empleados en ciencias actuariales y financieras para despu´es es entrar en el tema.
1
2.
Introducci´ on a la teor´ıa de riesgos
El t´ ermino riesgo tiene significados distintos, los cuales dependen del ´area de estudio que estemos tratando, en t´erminos imprecisos puede definirse como la posibilidad de experimentar ciertos eventos de inter´ es y las consecuencias que resultan de dichos eventos. Los riesgos pueden tener un sentido positivo o negativo, pero en general son relacionados con p´erdidas. El objetivo no es evitar dichos riesgos, mas bien es medir las consecuencias que ´estos pueden aportar, decidir su aceptaci´on o no para as´ı tomar decisiones. El desarrollo del hombre ya sea en el ´ambito personal o profesional implica hacer frente a ciertos riesgos, lo cual puede tener consecuencias no deseadas, pero al mismo tiempo ofrecer oportunidades. Por ejemplo, al comprar un boleto de loter´ıa corremos el riesgo de perder el dinero que se invirti´o en dicho boleto, pero al mismo tiempo existe la posibilidad de ganar una cantidad de dinero mayor a la que se invirti´o. Cada uno de nosotros mide estas posibilidades de distinta manera y toma la decisi´on que considera mas favorable. En finanzas puede definirse el riesgo en t´ erminos de la variaci´o n de una inversi´on, o tambi´ en como una posible p´erdida; en general, se considera que una inversi´o n es m´as riesgosa en la bolsa de valores comparada con la de un banco. Finalmente, en seguros, el riesgo puede definirse como el monto de las reclamaciones totales de los asegurados. A continuaci´on, se plantear´a con m´as detalle este u ´ ltimo caso pues es al que est´an dirigidos principalmente los modelos matem´ aticos que estudiaremos. A grandes rasgos, los seguros funcionan de la siguiente forma: si cierto grupo de personas consideran que est´an expuestas a sufrir alg´un tipo de accidente o riesgo; ya sea en sus bienes, en su persona o alguna otra perdida considerable, solicitan un seguro, por lo que cada una de estas personas paga por adelantado una cantidad de dinero llamada prima a una compa˜n´ıa aseguradora, la cual se compromete a reponer las p´erdidas de todas aquellas personas aseguradas que sufrieron alg´ un tipo de siniestro durante el tiempo de vigencia del seguro, seg´un las condiciones especificadas en la p´oliza del mismo. De este modo, aunque no se conozca de manera individual a las personas que sufrir´an un siniestro, el capital obtenido de manera colectiva debe ser suficiente para solventar los gastos individuales que se presenten.
2.1.
Modelo individual
Suponga ahora que se tiene un portafolio con n p´olizas de seguros v´alidas por un a˜ no. Sea pj la probabilidad de que el j-´esimo asegurado no efect´ ue ninguna reclamaci´ on durante el tiempo de vigencia del seguro, y sea q j la probabilidad de que se observe exactamente una reclamaci´on. Suponga que la igualdad p j + q j = 1 se cumple, es decir, o hay una reclamaci´on o no hay ninguna. Un ejemplo claro de este tipo ser´ıan los seguros de vida. Ahora defina la variable aleatoria
2
Dj =
1 0
si hay reclamaci´on en la p´ oliza j si no hay reclamaci´ on en la p´ oliza j
(1)
Claramente Dj tiene distribuci´ on Bernoulli con par´ametro q j . Podemos ver que el n´umero total de reclamaciones est´a dado por la variable aleatoria N = D 1 + D2 + ... + Dn . Considere que cada p´oliza efect´ ua una reclamaci´on, y sea la variable aleatoria on efectuada por la p´oliza j. Debido a que los C j > 0 el monto de la reclamaci´ siniestros pueden presentarse con caracter´ısticas distintas y ello puede derivar en distintos montos de reclamaci´on, consideraremos de manera general a C j no como una constante sino como una variable aleatoria. La verdadera reclamaci´on de la p´oliza j est´a dada por el producto
Dj C j =
C j
0
si D j = 1 si D j = 0
(2)
Tomemos como datos en este modelo la colecci´on de vectores aleatorios: (D1 , C 1 ), (D2 , C 2 ), ..., (Dn , C n ) los cuales supondremos independientes. Adem´as de que las variables Dj y C j tambi´en son independientes entre s´ı. Definici´ o n 2.1.1 El
monto de reclamaciones agregadas, o tambi´ en llamado agregado de reclamaciones, en el modelo individual, es la variable aleatoria n
=
S
Dj C j
j =1
La variable aleatoria S es el monto al que se enfrenta una compa˜ n´ıa aseguradora por concepto de reclamaciones durante el periodo completo del seguro. Una posible desventaja de este modelo es que se supone que el n´umero de asegurados en la cartera se mantiene constante durante todo el tiempo de vigencia del seguro. Desde el punto de vista matem´atico, y tambi´en desde la perspectiva de la compa˜ n´ıa de seguros, nuestro objetivo es conocer las caracter´ısticas de la variable S, a quien llamaremos riesgo.
2.2.
Modelo colectivo
Considere un conjunto de un n´umero no determinado de contratos de seguros con vigencia en un periodo de tiempo [0, T ]. Este periodo puede corresponder por ejemplo a un a˜ no. Sea N la variable aleatoria que denota el n´umero de reclamaciones ocurridas en este intervalo y sean las variables positivas Y 1 ,...,Y N los montos de estas reclamaciones. Considere adem´as que el n´umero de reclamaciones y los montos de ´estas son variables aleatorias independientes. M´as a´ un, supondremos que las reclamaciones mismas son independientes entre s´ı y que comparten la misma distribuci´ on 3
de probabilidad. Definici´ on 2.2.1 El
monto agregado o monto acumulado de todas las reclamaciones efectuadas es la variable aleatoria S , llamada riesgo, y definida como sigue: n
=
S
Y j
j =1
en donde Y 1 , Y 2 ,...,Y n es una colecci´on de variables aleatorias independientes positivas, id´enticamente distribuidas e independientes de la variable aleatoria N con valores en el conjunto 0 , 1, 2, ...N Cuando N = 0 se define S = 0. Una de las cosas que com´unmente se hacen en ciencias actuariales es que combinan tanto los riesgos t´ecnicos (actuariales) con los riesgos de inversi´on (financieros). Sean X i los pagos nominales y asumamos que son aleatorios con ti a veces fijo y conocido, donde i = 1, 2, . . . , n. Sea Y t el factor de descuento nominal en el intervalo [0, t], con t ≥ 0. Esto significa que necesitamos invertir la cantidad Y t para obtener una suma 1 del momento 0 al tiempo t. En este caso, una variable de inter´es ser´a la siguiente: n
=
S
X i Y ti
i=1
Si los pagos X i al tiempo ti son independientes de la inflaci´on entonces los vectores X = (X 1 , X 2 ,...,X n ) y Y = (Y 1 , Y 2 ,...,Y n ) son mutuamente independientes. De no ser independientes a la inflaci´on entonces los vectores X e Y son dependientes. Denotaremos por Z t al factor inflaci´o n en el periodo [0 , t], en este caso, reescribimos a S como n
=
S
X i Y ti
i=1
Xi donde el pago real X i y los factores de descuento Y i est´an dados por X i = Z ti y Y ti = X i Z ti . Por lo tanto, volvemos a tener un producto escalar de dos vectores aleatorios mutuamente independientes. Hasta ahora, hemos mencionado casos en donde los vectores son mutuamente independientes, pero hay situaciones en las que ´esto no ocurre, es decir, en las que dichos vectores son dependientes, por lo que estaremos interesados en ´este tipo de problemas. Un ejemplo de ´esto puede ser el caso de un seguro de vida de una persona, en el cual, la persona paga una cantidad X en los tiempos 1, 2,...,N . Podemos ver la dependencia ya que, si en el momento n el asegurado tiene un pago igual a 0, esto significa que en los momentos n + 1, n + 2,...,N tambi´en se tendr´an pagos iguales a 0. Otro ejemplo puede ser el de un seguro individual de automovil, donde si el asegurado tiene reclamaciones altas en los primeros dos a˜nos, la probabilidad de que el tercer a˜no se tengan reclamaciones altas es muy fuerte.
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As´ı como estos, podemos mencionar muchos otros ejemplos donde existe una fuerte dependencia positiva entre los vectores aleatorios factor de descuento y pago estoc´astico. Si suponemos que el factor de descuento Y t es determinista entonces el suponer independencia no est´a tan alejado de la realidad y podemos utilizarlo para determinar la distribuci´on de S . Siempre que se considere un entorno financiero determinista, el valor presente en el tiempo 0 del total de reclamaciones X 1 + X 2 + ... + X n a pagar por el asegurador en el tiempo 1 es determinado por S = (X 1 + X 2 + ... + X n )v,
Donde v = (1 + r )−1 es el factor de descuento determinista y r la tasa de ´ inter´es t´ecnico. Este ser´a elegido de tal forma que el asegurador no subestime sus obligaciones. La ley de los grandes n´ umeros es la que mantiene la estabilidad necesaria entre el asegurado y la aseguradora, siempre que n es suficientemente grande y que los riesgos son mutuamente independientes y bien comportados. Ahora examinemos las consecuencias de la introducci´on de descuento estoc´astico. La sustituci´ on del factor de descuento fijo v por una variable aleatoria Y , que representa el importe estoc´astico para ser invertido en el tiempo 0 con el valor 1 al final del per´ıodo [0, 1], el valor actual del total de reclamaciones se vuelve S = (X 1 + X 2 + ... + X n )Y
Ahora pasemos al caso en el que los vectores X = (X 1 , X 2 ,...,X n ) e Y = (Y t , Y t2 ,...,Y tn ) son mutuamente independientes y que se dan las distribuciones marginales de X i y Y ti , el problema de la determinaci´on de los l´ımites de la funci´ on de distribuci´on de 1
n
=
S
X i Y ti
i=1
se pueden reducir a la determinaci´on de los l´ımites para la funci´ on de distribuci´ on de la suma S = Z 1 + Z 2 + ... + Z n
donde las variables aleatorias Z 1 , Z 2 ,...,Z n tienen funci´on de distribuci´on marginal dada, pero donde la distribuci´on conjunta es desconocida o muy dificil de trabajar. Por eso es que es necesario hablar del concepto de orden convexo, el cual est´a estrechamente relacionado con la noci´on de orden stop - loss, el cual es mas familiar en circulos actuariales. Ambas o´rdenes estoc´asticas expresan cu´al de dos variables aleatorias nos resulta la “menos peligrosa”. Una estrategia segura desde el punto de vista de la aseguradora ser´ıa la sustituci´on de S por una variable aleatoria menos atractiva S’. El que consideremos variables aleatorias “mas atractivas” ayudar´a n a dar una idea del grado de sobreestimaci´on del riesgo real. 5
A partir de ´esto, vamos a describir c´omo tomar decisiones seguras en caso de que tengamos una suma de variables aleatorias con funciones de distribuci´ on marginales dadas, pero de la que la estructura estoc´astica-dependiente es desconocida.
3.
Ordenamiento de variables aleatorias
En esta parte vamos a considerar variables aleatorias con media finita. Lo cual implica que para cualquier variable aleatoria X tenemos que l´ım x→∞ f (x) = C = x (1 − F X (x)) = l´ım x→−∞ xF X (x) = 0, donde F X (x) = P r[X ≤ x] se utiliza para denotar la funci´on de distribuci´on acumulativa de X . Utilizando la t´ecnica de integraci´on p or partes de ambos t´erminos del lado derecho en E [X ] =
0
xdF X (x) − −∞
∞
o
xd(1 − F X (x))
nos encontramos con la siguiente expresi´on para E [X ] : E [X ] = −
0
F X (x)dx + −∞
∞
(1 − o
F X (x))dx
En ciencias actuariales una pr´ actica com´ un es el sustituir una variable aleatoria por otra menos atractiva con una estructura m´as simple, lo que hace m´as f´ acil de determinar su funci´on de distribuci´on. Es importante aclarar lo que entendemos por una variable aleatoria menos atractiva. Para esto introduciremos la noci´on de prima stop-loss. La prima de stop-loss con retenci´on d de variable aleatoria X se define por E [(X − d)+] , con la notaci´ on ( x − d)+ = max(x − d, 0). Utilizando una integraci´on por partes, de inmediato se encontr´o que E [(X − d)+] =
∞
(1 − d
F X (x))dx, −∞ ≤ d ≤ −∞
donde vemos que la prima de stop-loss con retenci´on d puede ser considerado como el peso de la cola superior de la funci´on de distribuci´o n de X : es la superficie entre la funci´on de distribuci´on de X y la funci´on constante 1, a partir de d . Observemos que E [(X − d)+] es una funci´on continua decreciente, con derivada F X (d) − 1 en d, que se anula en + ∞. Ahora, podemos definir el orden de stop-loss entre variables aleatorias. Definici´ on 1. Considere dos variables aleatorias X e Y . Entonces X se dice que precede Y en el sentido de orden stop-loss , notaci´on X ≤ slY , si y s´olo si X tiene menores primas de stop-loss que Y : E [(X − d)+] ≤ E [(Y − d)+]
Por lo tanto, X ≤ slY significa que X tiene colas superiores uniformemente menor que Y , que a su vez significa que un pago Y es menos atractivo que un pago X . Esto significa que cualquier tomador de decisiones de aversi´on al riesgo prefieren pagar X en lugar de Y .
6
4.
Comonotonicidad
4.1.
Conjuntos comonotonicos y vectores aleatorios
En ciencias financieras, por lo regular nos encontramos con variables aleatorias del tipo n
=
S
X i
i=1
donde los t´erminos X i no son mutuamente independientes y adem´as se desconoce la funcion de distribuci´on multivariada del vector X = ( X 1 , X 2 ..., X n ), ya que s´olo se conoce la funci´on de distribuci´on marginal de las variables aleatorias X i . En estos casos, es importante encontrar la estructura de dependencia del vector aleatorio X = ( X 1 , X 2 ,...,X n ) para poder seguir tomando decisiones con respecto a ´este. En particular, estamos interesados en la distribuci´on conjunta con la suma mas grande, en el sentido de orden convexo. Comenzaremos definiendo la comonotonicidad de un conjunto de n-vectores en Rn . conjunto A ⊆ Rn . se dice que es comonotonico si para cualquier x e y en A, ya sea x ≤ y o y ≤ x se cumple. Por lo tanto, un conjunto A ∈ Rn es comonotonico si para cualquier x e y en A, si x i ≤ yi para algunos i, entonces x ≤ y debe cumplirse. Definici´ o n 4.1.1 El
Definici´ o n 4.1.2. Un
vector aleatorio X = (X 1 , x2 ,...,X n ) se dice que es comonotonico si tiene un soporte comonotonico. Nota: Se
llama soporte de una variable aleatoria discreta al conjunto de puntos que tienen probabilidad distinta de 0. Por ejemplo, la variable aleatoria X:= N´ umero de caras que se obtienen al lanzar dos monedas, tiene como soporte al conjunto { 0,1,2}. Teorema 2. Un vector aleatorio X = (X 1 , X 2 ,...,X n ) es comonotonico si y s´olo si una de las siguientes condiciones de equivalencia se cumple:
(1) X tiene un soporte comonotonico. (2) Para todo X = ( X 1 , X 2 ,...,X n ), tenemos F X (x) = m´ın{F X (x1 ), F X (x2 ),...,F Xn (xn )} 1
2
−1 −1 −1 (3) Para T ∼ Uniforme(0, 1), tenemos {F X (U ), F X (U ),...,F X (U )} n 1
2
(4) Existe una variable aleatoria Z y funciones no decrecientes
7
f i (i = 1, 2,...,N ), de forma que X = ( f 1 (Z ), f 2 (Z ),...,f n (Z ))
(1) ⇒ (2) : Suponga que X tiene el soporte comonotonico B. Sea x ∈ R y sea Aj definido por Prueba. n
Aj = {y ∈ B |yj ≤ xj }, j = {1, 2,...,n} n j =1
Debido a la comonotonicidad de B, existe una i tal que Ai = Por lo tanto, encontramos F X (x) = P r[X ∈
n j =1
Aj
Aj ] = P r[X ∈ Ai ] = F Xi (xi ) = min{F X (x1 ), F X (x2 ),...,F Xn (xn )} 1
2
La u ´ ltima igualdad se sigue de Ai ⊂ Aj as´ı que F Xi (xi ) ≤ F Xj (xj ) para toda j . (2) ⇒ (3) : Supongamos ahora que F X (x) = min{F X (x1 ), F X (x2 ),...,F Xn (xn )} −1 para todo x = (x1 , x1 ,...,xn ), entonces encontramos por F X ( p) ≤ x ⇔ p ≤ F X (x) que 1
2
−1 −1 −1 (U ) ≤ x1 , F X (U ) ≤ x2 ,...,F X (U ) ≤ xn ] P r[F X n 1
2
=P r[U ≤ F X (x1 ),...,U ≤ F Xn (xn )] 1
= P r[U ≤ min{F Xj (xj )}] = min {F Xj (xj )} (3) ⇒ (4) Sencillo (4) ⇒ (1) Supongamos que existe una variable aleatoria Z con soporte B y funciones no decrecientes f i (i = 1, 2,...,n) tales que X = ( f 1 (Z ), f 2 (Z ),...,f n (Z )).
El conjunto de resultados posibles de X es
{f 1 (Z ), f 2 (Z ),...,f n (Z )|Z ∈ B } que es comonot´onico, lo cual implica que X es comonot´onico. Teorema 3. Un vector X es comonotonico si y solo si ( X i , X j ) es comonotonico para todo i ≡ j en { 1,2,...,n}. Prueba: Para la implicaci´ on ⇒ la prueba es sencilla, ya que si X es comonotonico entonces (X i , X j ) tambi´en lo es. Lo interesante es probar la implicaci´on ⇐ Consideremos el conjunto A ∈ Rn definido por
A = {F x−1 ( p), F x−1 ( p),...,F x−n1 ( p)|0 < p < 1 }. 1
2
8
y su (i, j ) - proyecci´on dada por −1 −1 ( p), F X ( p)|0 < p < 1 . Ai,j = (F X i j
El evento X ∈ A es equivalente al evento ( X i , X j ) ∈ Ai,j para todos (i, j ), por hip´otesis tenemos que los pares ( X i , X j ) son comonotonicos, de aqu´ı encontramos que P r[X ∈ A] = 1, lo cual nos dice que el conjunto comonotonico A es un soporte de X, esto implca que X es comonotonico.
4.2.
Un ejemplo con distribuciones continuas
Sea X ∼ Uniforme sobre el conjunto (0, 12 )U (1, 32 ), Y ∼ Beta(2, 2), por lo tanto F Y (Y ) = 3y 2 − 2y 3 en(0, 1), y Z ∼ Normal(0, 1). Si X,Y y Z son independientes entre s´ı, entonces el soporte de (X , Y , Z) es el conjunto
{(x,y,z)|x ∈ (0, 12 )U (1, 32 ), y ∈ (0, 1), z ∈
R}
El soporte del vector aleatorio comonotonico ( X c , Y c , Z c ) est´ a dado por, −1 −1 ( p), F Y −1 ( p), F Z ( p)|0 < p < 1 } {F X
4.3.
Sumas de variables aleatorias comonotonicas
Utilizaremos la notaci´on S c para la suma de los componentes de la contraparte comonotonica (X 1c , X 2c , . . . , Xnc ) de un vector aleatorio ( X 1 , X 2 , . . . , Xn ), donde S se define de la siguiente manera: S = X 1c + X 2c + . . . + X nc
Se demostrar´a mas adelante que la aproximaci´on de la funci´on de distribuci´ o n de S = X 1 + X 2 + . . . + X n por la funci´on de distribuci´o n de la suma comonot´ onica S c es una estrategia prudente, ya que S ≤ cxS c . Dada esta aproximaci´ on, s´olo ser´a significativa si podemos determinar f´acilmente la funci´on de distribuci´ on y las primas stop – loss de S c . En los pr´oximos dos teoremas, se demostrara que dichas cantidades pueden ser determinadas con facilidad desde las funciones de distribuci´on marginales de los t´erminos de la suma. A continuaci´on, en el siguiente teorema se demostrara que la funci´o n de distribuci´ on inversa de una suma de variables aleatorias comonotonicas es simplemente la suma de las funciones de distribuci´on inversa de las distribuciones marginales. −1(α) Teorema 4.2.1. La funci´ on de distribuci´on α − inversa F S c de una suma S c de variables aleatorias comonotonicas ( X 1c , X 2c ,...,X nc ) esta dado por 1(α)
−
F S c
( p) =
n i=1
1(α)
−
F Xi
( p), o < p < 1 , 0 ≤ α ≤ 1
Considerando que el vector aleatorio ( X 1 , X 2 ,...,X n ) y sus contrapartes comonotonicas (X 1c , X 2c ,...,X nc ). Entonces S c = X 1c + X 2c + ... + X nc con U uniformemente distribuida en (0,1) y con la funci´on g definida por Prueba:
9
n i=1
g(x) =
−1 (u) F X i
Est´a claro que g es no decreciente y continua por la izquierda, lo que por el teorema 2(a) nos conduce a −1 −1 1 ( p) = F g−(U F S ) ( p) = g (F U ( p)) = g ( p), o < p < 1 c
Por lo que podemos calcular la inversa de la funci´on de distribuci´on de S c de la siguiente forma:
n i=1
1+( p)
=
−1 ( p) = F S c
−1 ( p) , 0 < p < 1 F X i
Similarmente, utilizando el teorema 2(b) , encontramos que −
F S c
n i=1
−1+ ( p) F X i
Multiplicando las dos u ´ ltimas igualdades por α y (1 − α), respectivamente, y sumando, se obtiene el resultado correcto. Tenga en cuenta que S c =
−1(α) n (U ) i=1 F Xi
Por el teorema anterior, nos podemos encontrar con que el soporte conectado de S c esta dado por 1(α)
−
{F S c
( p)|0 < p < 1 } = {
Esto implica −1+ (0) = F S c −1 F S c (1) =
n i=1
n i=1 n i=1
1(α)
−
F Xi
( p)|0 < p < 1 }
−1+ (0) F X i −1 F Xi (1)
Consecuentemente, el valor m´ınimo de la suma comonotonica es igual a la suma de los valores m´ınimos de cada t´ermino. Similarmente, ´el valor m´aximo de la suma comonotonica es igual a la suma de los valores m´aximos de cada t´ermino. Se puede concluir que cualquier prima de stop-loss de una suma de variables aleatorias comonotonicas puede ser escrito como la suma de las primas de stop-loss para las variables aleatorias individuales involucradas. El teorema proporciona un algoritmo, mediante el cual se puede calcular directamente las primas de stop-loss de sumas de variables aleatorias comonotonicas, sin tener que calcular toda la funci´on de distribuci´on de la suma en s´ı. Esto quiere decir que , con el fin de calcular la prima de stop-loss con retenci´on d, s´ olo necesitamos conocer F Sc (d).
10
5.
Conclusiones
En este trabajo se present´o algo de teor´ıa sobre comonotonicidad, la cual nos ayuda a conocer algunas t´ecnicas muy ´utiles para resolver problemas de sumas de variables aleatorias dependientes, para las cuales resulta complicado conocer su distribuci´on conjunta. Lo que aqu´ı se hace es el sustituir esa suma de variables aleatorias por otras parecidas pero cuya funci´on de distribuci´on conjunta resulte mas sencilla, adem´as de que ´esta resulte menos favorable que la original para quienes tienen que tomar decisiones sobre ella. En un trabajo posterior, se pretende utilizar esta teor´ıa para proponer varias aplicaciones de las t´ecnicas que aqu´ı se proporcionan. Todo este trabajo est´a basado en el art´ıculo The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: theory, J. Dhaene, M. Denuit, M.J. Goovaerts, R. Kaas, D. Vyncke.
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