ejercios resueltos de dcf y dmf.pdf

Cap. 8 Fuerzas Internas

Ejemplo 8.1:

Pág. 8-1

Trazar los diagramas diagramas de fuerzas fuerzas internas (DFC y DMF) de la viga mostrada. 30 ton

q = 10 ton/m C

A

D B

40 ton-m 2m

Solución:

4m

2m

q = 10 ton/m

30 ton C A

D B

40 ton-m

A y

D y

2m

4m

2m

(Es fácil ver que A x = 0 )

Cálculo de reacciones: reacciones:

∑ M A = 0 :

− 30(2) − 40 + (10)(4)(6) − D y (8) = 0

∑ F = 0 :

− A y + 30 − 10 (4) + Dy = 0

Tramo AB:

x ∈ [0,2[

y

A

A y = 7,5 ton

x = 0

→ M = 0 x = 2 → M = −15 ton − m

M = − 7,5 x

V

x

D y = 17,5 ton

(constante para todo el tramo)

V = −7,5 ton

M

→

→

A y = 7,5 ton

x ∈ ] 2,4 [

Tramo BC :

V = −7,5 + 30 = 22,5 ton

30 ton

A y = 7,5 ton

M = −7,5 x + 30 ( x − 2) x = 2 M = 22,5 x − 60 x = 4

M

A

B

2m

(contante)

V

→ M = −15 ton − m → M = 30 ton − m

x

x ∈ [0,4[

Tramo CD:

Tomando la coordenada x de derecha a izquierda (!!!) como se muestra: V = 10 x − 17,5

q = 10 ton/m M D V

M = −10

x

D y = 17,5 ton

+ 17,5 x

M = −5 x + 17,5

Pontificia Universidad Católica del Perú

2

→ V = −17,5 ton x = 4 → V = 22,5 ton

2

2

x

x = 0

x = 0

→ M = 0

x = 4

→ M = −10 ton − m

Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño


Pág. 8-2

Diagramas: 30 ton

q = 10 ton/m C

A

D B

40 ton-m

A y = 7,5 ton

2m

4m

2m

22,5

22,5

V [ton]

D y = 17,5 ton

0

0

- 7,5

-17,5 2,25 m

1,75 m

30 15,31

M [ton-m]

0

0 -10 -15




Ejemplo 8.2:

Pág. 8-3

Hallar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. w = 2 ton/m

5 ton-m E

A

B

D

C

2m

4m

2m

3m

Solución: Para hallar las reacciones haremos un corte a la izquierda de la articulación C .

∑ M

w = 2 ton/m

C

A

C

B B y

2m

B y ( 4) − w (6) (3) = 0

∑ F = 0 :

B y − V C − w (6) = 0

y

V C

4m

= 0:

→ B y →

= 9 ton

V C = −3 ton

Para todo el sistema:

∑ M

E

= 0:

M E = w (6) (8) − 5 − B y (9)

∑ F = 0 :

B y + E y = w (6)

Tramo AB:

x ∈ [0, 2[

y

→

M A

M = −

V

x

Tramo BC :

E y = 2 (6) − 9

w x

2

2

x = 0

→

x = 2

→ V = −4 ton

= − x 2

V = B y − w x = 9 − 2 x M

B

2m

B y =9

V

x

x 2 M = B y ( x − 2) − w 2 M = 9 ( x − 2) − x 2

Tramo CD:

x ∈ ] 6, 8 [ m

B

2m

x = 0

→ M = 0 x = 2 → M = −4 ton − m

→ V = 5 ton x = 6 → V = −3 ton

x = 2

→ M = −4 ton − m

x = 6

→ M = 0

(ok !)

x = 6

→ V = − 3 ton x = 8 → V = − 3

M = B y ( x − 2) − w (6)( x − 3)

C

4m x

x = 2

V = 9 − 12 = −3 M

B y

V = 0

V = B y − w (6)

w = 2 ton/m A

E y = 3 ton

x ∈ ] 2, 6 [ m

w = 2 A

→

m V = −2 x

w = 2

M E = 10 ton - m

→

V


M = 9( x − 2) − 12 ( x − 3) x = 6 M = −3 x − 18 x = 8

→ M = 0 → M = −6 ton − m



Pág. 8-4

x ∈ [0, 3 [ m

Tramo DE :

V = − E y M

V

V = −3 ton

E x

M E E y

(constante para este tramo)

M = E y x − M E x = 0

→ M = −10 ton − m x = 3 → M = −1 ton − m

M = 3 x − 10

Diagramas: w = 2 ton/m

5 ton-m E

A

B

2m

D

C B y

4m

M E

2m

3m

E y

5 V (+)

0

0

- 3 ton

-3 -4 2,5 m M (+)

1m 2,25

0

-1

0

-4

-6

- 10 ton-m




Ejemplo 8.3:

Pág. 8-5

Hallar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. 3 kN 5 kN/m 3 kN/m

2 kN-m A

E B

6 kN-m C

2m

Solución:

D

2m

2m

2m

Cálculo de reacciones:

3 kN 5 kN/m

3 kN/m A

E

B

6 kN-m

B y

2m

C

2m

D

2m

∑ M = 0 : ∑ F = 0 :

− 2 + 3 (2) (1) + 6 − 5 (4) (4) − 3 (4) + E y (6) = 0

Tramo AB:

x ∈ [0, 2 [

B

B y + E y = 3 (2) + 5 (4) + 3

y

M =

3 x 2 2− 2

=

x = 0

→ M = 2 kN − m x = 2 → M = −4

2 − 1,5 x 2

x ∈ ] 2, 4 [ m

Tramo BC :

V = 15,33 − 3 ( 2) = 9,33

3 kN/m 2 kN-m B

2m x

15,33 kN

(constante)

M = 15,33 ( x − 2) − 2 (3) ( x − 1) + 2

M

A

Tramo CD:

B y = 15,33 kN

→

→ V = 0 x = 2 → V = −6 ton

M

A V

E y = 13,67 kN

x = 0

V = −3 x

x

→

m

3 kN/m 2 kN-m

E y

2m

V

x = 2

→ M = − 4 kN − m x = 4 → M = 14,66

M = 9,33 x − 22,66

5 kN/m

x ∈ ] 4, 6 [ m

3 kN/m 2 kN-m

M

A B

2m

6 kN-m

15,33 kN

2m

C

V

x

V = − 3 ( 2) + 15,33 − 5 ( x − 4) = − 5 x + 29,33

x = 4

→ V = 9,33 kN x = 6 → V = − 0,67

M = 2 − 2 (3) ( x − 1) + 15,33 ( x − 2) − 6 − 5 ( x − 4) 2 / 2 M = − 2,5 x + 29,33 x − 68,66 2


x = 4

→ M = 8,66 kN − m x = 6 → M = 17,32



Pág. 8-6

Otra forma de analizar el tramo CD es analizando el tramo a la derecha del corte: V = 13,67 − 3 − 5 x

3 kN 5 kN/m

V = 10,67 − 5 x M

→ V = − 9,33

13,67 kN

x = 2

→ M = 17,34 kN − m

x = 4

→ M = 8,68

x ∈ [0, 2 [ m

5 kN/m

x = 0

→ V = −13,67 kN x = 2 → V = − 3,67

V = −13,67 + 5 x M = 13,67 x − 5 x 2 / 2

E V

x = 4 2

M = − 2,5 x 2 + 10,67 x + 6

M

= 0,67 kN

M = 13,67 x − 3 ( x − 2) − 5 x / 2

2m x

Tramo DE :

→ V

E

D V

x = 2

x 13,67 kN

M = 13,67 x − 2,5 x

2

x = 0

→ M = 0

x = 2

→ M = 17,34 kN − m

Diagramas:

3 kN 5 kN/m 3 kN/m 2 kN-m A

E

B

2m

B y

6 kN-m 2m

C

D

2m

E y

9,33

9,33

V [ton]

2m

0

-0,67

0

-3,67 1,87 m

-6

17,36

17,34

-13,67

14,66

8,66

M [ton-m]

2 0

0

-4




Ejemplo 8.4:

Pág. 8-7

En la figura se muestre un eje giratorio (el apoyo A soporta carga transversal mientras que el apoyo B soporta carga transversal y axial) sometido a un sistema de cargas. Se pide utilizar el método analítico para graficar los diagramas de fuerzas y momentos internos del eje. q = 1,5 kgf/cm

100 kgf

4500 kgf-cm C

O B

A

30 cm

Solución:

120 cm

30 cm

Cálculo de las reacciones. q = 1,5 kgf/cm

100 kgf

4500 kgf-cm A x C

O

B

A A y

30 cm

∑ F = 0 : ∑ M = 0 : ∑ F = 0 :

B y

120 cm

30 cm

A x = 0

x

100 (30) − 1,5(120) (60) + B y (120) − 4500 = 0

A

− 100 + A y − 1,5 (120) + B y = 0

y

→

B y = 102,5 kgf

A y = 177,5 kgf

→

Tramo OA: V = −100 kgf (constante) 100 kgf

M

M = − 100 x

O

V = −100 + 177,5 − 1,5 ( x − 30) x = 30 → V = 77,5 kgf V = −1,5 x + 122,5 x = 150 → V = −102,5

Tramo AB: q = 1,5 kgf/cm M O

M = − 100 x + 177,5 ( x − 30) − 1,5 ( x − 30) / 2 2

A

30 cm

→ M = 0 x = 30 → M = − 3000 kgf − cm

V

x

100 kgf

x = 0

177,5 kgf x

V

M = − 0,75 x 2 + 122,5 x − 6000

M = − 0,75 x 2 + 122,5 x − 6000

Tramo CB: V

4500 kgf-cm

M

x = 30

→ M = −3000 kgf − cm x = 150 → M = −4500

V = 0 M = 4500 kgf − cm

x




Pág. 8-8

Ahora podemos dibujar las funciones V ( x) y M ( x) deducidas para cada tramo: q = 1,5 kgf/cm

100 kgf

4500 kgf-cm A x

O

C B

A

177,5 kgf 30 cm

V [kgf]

102,5 kgf 120 cm

30 cm

77,5 0

0

-100

51,67 cm

M [kgf-cm]

68,33 cm

-102,5

0

0 -997,79 -3000 -4500




Ejemplo 8.5:

Pág. 8-9

Dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga simple mostrada. 30 ton q = 10 ton/m C A

D B

40 ton-m 2m

4m

2m

Solución: Anteriormente ya hemos resuelto las reacciones en los apoyos, de tal manera que podemos ya utilizar las relaciones diferenciales entre cargas aplicadas, fuerzas cortantes y momentos flectores para dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. 30 ton q = 10 ton/m C A

D B

40 ton-m

A y = 7,5 ton

2m

D y = 17,5 ton

4m

2m

45

22,5

22,5

V [ton]

25,3125 15

15,3125

0

0

- 7,5

-17,5 2,25 m

1,75 m

30 15,3

M [ton-m]

0

0 -10 -15




Ejemplo 8.6:

Pág. 8-10

Calcular las reacciones y dibujar los diagramas acotados de fuerza cortante (DFC) y momento flector (DMF). 4 ton

w = 4 ton/m

2 ton 8 ton-m

C A

D

B

2m

4m

4m

Solución:

G

2m

2m

4m

DCL del sistema completo: 4 ton

2 ton 8 ton-m

M A

C A

D

Tramo FH :

2 ton

∑ M

F

H

E

F y

C y

2m

2m

F y = −4 ton

C y (4) − 16( 2) − 4(6) − 8 − ( −4)(10) = 0 →

F

D

G y = 6 ton

= 0 : C y (4) − 4(4)(2) − 4(6) − 8 − F y (10) = 0

8 ton-m

C

4m

F y + G y = 2

B

4 ton

2m

G y ( 2) − 2(6) = 0

∑ M

B

4m

= 0:

y

w = 4 ton/m

2m

2m

∑ F = 0 :

4m

Tramo BF :

B y

H

F G y

2m

4m

G

2m

E

C y

4m

G y

G

B

A y

F y

H

F

2m

w = 4 ton/m

F

E

2m

∑ F = 0 : y

C y = 6 ton B y − 4( 4) + C y − 4 − F y = 0 B y − 4( 4) + 6 − 4 − (−4) = 0

→

Tramo AB:

∑ M = 0 : ∑ F = 0 :

w = 4 ton/m

A

M A A

4m

A y

y

B

B y = 10 ton

M A + B y ( 4) + 4( 4)(2) = 0 A y − 4(4) − B y = 0

→

M A = −72 ton - m

→

A y = 26 ton

B y

Comprobamos para todo el sistema:

∑ F = 0 : ∑ M = 0 : y

H

A y − 4(8) + C y − 4 + G y − 2 = 0

ok !

G y ( 4) + 8 − 4(10) + C y (12) − 8( 4)16 + A y (20) + M A = 0

6(4) + 8 − 4(10) + 6(12) − 8( 4)16 + 26( 20) − 72 = 0


ok!



Pág. 8-11

Ahora podemos elaborar las gráficas de fuerzas internas utilizando el método de las áreas de momentos: 4 ton

w = 4 ton/m

2 ton 8 ton-m

C

72 ton-m A

G D

B

E

H

F

6 ton

26 ton

2m

4m

4m

6 ton 2m

2m

-8

-8

2m

4m

26 84,5

V [ton] 8 - 4,5

-8 2

2

0

0 -6

M [ton-m]

-4

12,5 8

0

-4

0

8

8

0

0

0 -8

- 72




Ejemplo 8.7:

Pág. 8-12

Calcular las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas de la viga compuesta mostrada. w = 30 kgf/m

50 kgf

w = 20 kgf/m C

A

D

F E

B

2m

3m

3m

2,5 m

5m

Reacciones: w = 30 kgf/m

50 kgf

w = 20 kgf/m C

A

D

F E

B A y

3m

2m

3m

Tramo AC :

∑ M

C

w = 30 kgf/m

D y

= 0:

B A y

3m

3m

C y

A y = 67,5 kgf

∑ F = 0 :

∑ M

F

C

D

F

→

E C y

2m

D y

2,5 m

5m

= 0:

C y (9,5) − 50(9,5) + D y (7,5) −

w = 20 kgf/m

F y

C y = −22,5 kgf

A y − C y − 30 (3) = 0 →

y

Tramo CF : 50 kgf

F y

5m

A y (6) − 30(3)(4,5) = 0

C

A

2,5 m

∑ F = 0 : y

→

20(5)(5) 2

=0

D y = 125,17 kgf C y − 50 + D y − 20 (5) + F y = 0 F y = 47,33 kgf

Comprobamos para todo el sistema:

∑ F = 0 : y

A y − 30(3) − 50 + D y − 20(5) + F y = 0

67,5 − 30(3) − 50 + 125,17 − 20(5) + 47,33 = 0

∑ M

A

= 0:

ok !

30(3)(1,5) + 50(6) − D y (8) + 20(5)(13) − F y (15,5) = 0 30(3)(1,5) + 50(6) − (125,17)(8) + 20(5)(13) − ( 47,33)(15,5) = 0


ok!



Pág. 8-13

Ahora graficaremos los diagramas de fuerzas y momentos internos utilizando el método de las áreas de momentos: w = 30 kgf/m

50 kgf

w = 20 kgf/m C

A

D

B A y=67,5 kgf

3m

3m

2m

F E D y =125,17 kgf 2,5 m

F y = 47,33 kgf

4m

131,67

67,5 52,67

92,81

69,26

V (kgf)

56,08

8,4375 67,5

0

0

- 22,5 2,25 m

0,75 m

- 47,33 2,63 m

2,37 m

- 72,5 -145

75,43 67,5

55,94

M (kgf-m)

0

0

- 145




Pág. 8-14

Ejemplo 8.8: En la figura se muestre un eje giratorio (el apoyo A soporta carga transversal mientras que el apoyo B soporta carga transversal y axial) sometido a un sistema de cargas. Se pide utilizar el método de las área de momentos para graficar los diagramas de fuerzas y momentos internos del eje. q = 1,5 kgf/cm

100 kgf

4500 kgf-cm C

O B

A

30 cm

Solución:

120 cm

30 cm

Cálculo de las reacciones. q = 1,5 kgf/cm

100 kgf

4500 kgf-cm A x C

O

B

A A y

B y

30 cm

∑ F = 0 : ∑ M = 0 : ∑ F = 0 :

120 cm

30 cm

A x = 0

x

100 (30) − 1,5(120) (60) + B y (120) − 4500 = 0

A

− 100 + A y − 1,5 (120) + B y = 0

y

B y = 102,5 kgf

→

A y = 177,5 kgf

→

Por el método de las áreas de momentos: q = 1,5 kgf/cm

100 kgf

4500 kgf-cm A x

O

C B

A

177,5 kgf 30 cm

102,5 kgf 120 cm

30 cm

2002,2

V [kgf]

77,5

-3501,91 0

0

-100

M [kgf-cm]

-3000

51,67 cm

68,33 cm

-102,5

0

0 -997,79 -3000 -4500




Pág. 8-15

Ejemplo 8.9: Dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. q = 2 ton/m

5 ton-m E A

B

2m

C

4m

D

3m

2m

Solución: Anteriormente (ejemplo 8.2) ya hemos resuelto las reacciones en los apoyos, de tal manera que podemos proceder a utilizar las relaciones diferenciales entre cargas aplicadas, fuerzas cortantes y momentos flectores para dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. q = 2 ton/m

5 ton-m E

A

B

C

D

M E = 10 ton-m

B y = 9 ton

2m

E y = 3 ton

4m

3m

2m

5 6,25

V [ton]

2,25

4

6

9

0

0

- 3

- 3 - 4

2,5 m

1,5 m

M [ton-m]

2,25 0

0 - 1

- 4 - 6

- 10




Pág. 8-17

Comprobamos el equilibrio de la viga completa:

∑ F = 0 :

A y − 8 − 8 + D y − 12 + G y − 3 = 0

y

ok!

Los diagramas son: 8 ton

8 ton

3 ton q = 2 ton/m

6 ton-m A

2 ton

6 ton B

28 ton-m

4 ton D

C

13 ton 1m

N [ton]

E

G

F

4 ton 2m

3m

H

I

14 ton

2m

2m

4m

2m

2m

4

4

0

0

-2

13 V [ton]

5

5 3

3

1

1

0

0

0,5 m -11

12

12,25

10

M [ton-m]

0

0

0

0 -6 -12 -15 -18

-28




Pág. 8-18

Ejemplo 8.11: La viga compuesta mostrada empotrada en H tiene tres tramos articulados en C y F . Se pide dibujar los diagramas acotados de fuerzas internas normales y cortantes y de momentos flectores. Justificar adecuadamente los valores obtenidos para los diagramas. Sólo para el tramo FG se pide utilizar necesariamente expresiones analíticas N ( x), V ( x) y M ( x). 4 ton/m

10 ton 2 ton/m

4

4 ton-m

3

A

B

C

D

E

1m 1m

2m

G

F

3m

2m

H

1m

3m

Solución: DCLs correspondientes a tramos de la viga compuesta: •

Tramo AC :

∑ M

8 ton 2 ton/m 6 ton

A

B

A y

C y

2m

•

:

→

∑ F = 0 :

C y = A y − 8 − 2

→

C y = − 7 ton

∑ F = 0 :

C x + 6 = 0

→

C x = − 6 ton

+

y

C x

C

=0

A y (3) − 8 (1) − 2 (0,5) = 0

C

x

1m

4 ton/m

8 ton

Tramo ACF :

2 ton/m 6 ton

F x

A B

C

D

E

3 ton

F

+

:

F

E y

2m

∑ M = 0 ∑ F = 0 : ∑ F = 0 :

A y = 3 ton

1m

1m

F y

3m

2m

3 (9) − 8 (7) − 4 (6) − 20 (2,5) + E y ( 2) = 0

x

6 + F x = 0

y

3 − 8 − 4 − 20 + E y − F y = 0

→

E y = 51,5 ton

F x = − 6 ton

→

F y = 22,5 ton

→

Nota: en lugar de analizar todo el tramo ACF también podría haberse analizado solamente el tramo CF , como se muestra a continuación. 4 ton/m

∑ M F = 0

2 ton/m

C x

F x

C

D

E

C y

F

E y

1m

3m

F y

2m


+

:

C y (6) − 2 (5,5) − 20 (2,5) + E y (2) = 0

( −7) (6) − 2 (5,5) − 20 (2,5) + E y ( 2) = 0 →

E y = 51,5 ton



∑ F = 0 : ∑ F = 0 :

Pág. 8-19

x

− C x + F x = 0

F x = C x

y

C y − 2 − 20 + E y − F y = 0

→

− 7 − 2 − 20 + 51,5 − F y = 0

F x = − 6 ton

→

F y = 22,5 ton

→

resultados que coinciden, como era de esperar, con los anteriormente hallados.

∑ F = 0 :

Tramo FH :

•

22,5 −

→ 4 ton/m

4 ton-m

M H

F x

H x

G

F

∑ F = 0 : ∑ M = 0 H

F y

6 − H x = 0

x

H

1

(3) (4) + H y = 0 2 H y = 16,5 ton

y

+

H x = 6 ton

→

: − M H + 4 + 22,5 (4) − 6 (3) = 0

H y

M H = 76 ton - m

→

1m

3m

Comprobación de los resultados: realizaremos el equilibrio del sistema completo. 8 ton

4 ton/m 2 ton/m

A

H B

D

C

1m

1m

3m

2m

∑ F x = 0 :

6−6 = 0

∑ F = 0 : ∑ M = 0

3 − 8 − 4 + 51,5 − 20 − 6 − 16,5 = 0

y

+

16,5 ton

51,5 ton 2m

:

6 ton

G

F

E

3 ton

A

76 ton-m

4 ton-m

6 ton

3m

1m

ok! ok!

8 (2) + 4 (3) + 20 (6,5) − 51,5 (7) + 6 (10) + 4 − 76 + 16,5 (13) = 0

ok!

Análisis mediante ecuaciones para el tramo FG: 1era. posibilidad: Realizamos sección según coordenada x medida desde H hacia la izquierda: ( x − 1)

q( x)

4 ton-m M H =76 ton-m

M

H x=6 ton

N G

P

H

V

1m

H y=-16,5 ton

q

V =

2 3

( x − 1) 2 + 16,5


3 4

∑ F = 0 : ∑ F = 0 :

→

q=

4 3

x

N = − 6 ton

y

V =

x

→

=

→

( x − 1)

q

( x − 1) + 16,5 2 4 = ( x − 1) 2 + 16,5 3 ( 2)

 x = 1 → V = 16,5 ton   x = 4 → V = 22,5



∑ M

P

=0

+

:

Pág. 8-20

M = −16,5 ( x) + 76 − 4 − M = −16,5 x + 72 −

→

2 9

( x − 1) ( x − 1) q 2 3

( x − 1) 3

 x = 1 → M = 55,5 ton - m   x = 4 → M = 0

→

2da. posibilidad: Realizamos sección según coordenada x medida desde A hacia la derecha: 8ton

4ton/m q (x )

2ton/m

M

6ton A

B

D

C

F

E

3ton

V

51,5ton 1m 1m

2m

3m

N

P

2m

x

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : x

N + 6 = 0

y

V = 3 − 8 − 4 − 4 (5) + 51,5 − V = 22,5 −

donde:

q=−

entonces:

∑ M

P

=0

4 3

V ( x ) =

+

:

(4 + q) 2

2 x 2

(4 + q) ( x − 9) 2

( x − 9)

( x − 12)

3

N = −6 ton

→

→

− 16 x + 112,5

q ( x ) = −

→

4 3

x + 16

(1)

 x = 9 → V = 22,5 ton   x = 12 → V = 16,5

M = 3 ( x) − 8 ( x − 2) − (2) (2) ( x − 3) + 51,5 ( x − 7) − 4 (5) ( x − 6,5) −

−

q

2

( x − 9) 2 −

1 2

(4 − q) ( x − 9)

2 3

( x − 9)

teniendo en cuenta (1) y ordenando: M ( x) =

2 x 3 9

− 8 x 2 + 112,5 x − 526,5

→

 x = 9 → M = 0   x = 12 → M = 55,5 ton − m

Se debe notar que en ambas posibilidades trabajadas hemos llegado a los mismos resultados, aún cuando en la primera de ellas el despliegue matemático fue menor.




Pág. 8-21

Ahora podemos construir los diagramas de fuerzas internas usando las relaciones diferenciales que hay entre q( x), V ( x) y M ( x): 8 ton 2

12

2

4 ton/m

8 6

2 ton/m A

76 ton-m

4 ton-m

6 ton

H B

D

C

F

E

3 ton

16,5 ton

51,5 ton 2m

1m

1m

3m

6 ton

G

2m

1m

3m

N

0 - 6 ton

30,5

+53

22,5

+16,5

16,5

V

16,5 ton

+6 -8

-6

3 0

-45

-5 -7

-9 76 ton-m

- 21

59,5 55,5

M

6 0

0

0

0

-8

- 53




Pág. 8-22

Ejemplo 8.12: La viga Gerber mostrada consta de dos tramos articulados en B. Además está apoyada en el apoyo A (el cual solamente permite movimiento en sentido vertical) y en los apoyos simples C y F . Se pide dibujar los diagramas acotados de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector, indicando los cálculos parciales que justifican el trazado de dichos diagramas. 100 kN

75 kN

80 kN/m

B

E

D

C

A

2m

Solución:

2m

3m

DCL de la viga compuesta:

F

G

m 5 , 1

75 kN 4m

60 kN/m

m 5 , 1

3m

2,5 m

100 kN

80 kN/m

60 kN/m

225 kN-m

M A

F

A x A

C

B

D

C y

2m

4m

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : ∑ M = 0

G

E F y

2m

3m

3m

2,5 m

x

A x = 0

(1)

y

C y + F y = 970

(2)

+

A

: M A + 80 (9)(4,5) − C y (6) + 1000 (9) + 225 − F y (14) + 60(2,5)(15,25) = 0 M A − 6 C y − 14 F y + 14752,5 = 0

→

(3) 100 kN

80 kN/m

80 kN/m

60 kN/m

225 kN-m

M A A

B x

B

B x

4m

E

F

B y

B y

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : ∑ M = 0

Tramo AB:

G D

C

2m

x

B x = 0

y

B y = −320 kN

B

+

C y

2m

3m

: M A − 80 (4)(2) = 0

→

3m

F y

2,5 m

M A = 640 kN - m

3 C y + 7 F y = 3646,94

en (3):

Resolviendo (2) y (4):

C y = 785,94 kN

(4)

y

F y = 184,06 kN

Comprobación para la viga derecha:

∑ M

B

=0

+

:

80 (5)(5 / 2) − C y ( 2) + 100(5) + 225 − F y (10) + 60(2,5)(11,25) = 0


ok!



Pág. 8-23

Ahora construiremos los diagramas de fuerzas y momentos internos usando las relaciones diferenciales que hay entre q( x), V ( x) y M ( x): 100 kN 80 kN/m

60 kN/m

225 kN-m F A

C

B

D

G

E

640 kN-m 184,06 kN

785,94 kN

4m

V [kN] 640

2m

2m

3m

305,94

557,82

3m

2,5 m

150

800

187,5

65,94

0

0 -34,06

-34,06 68,12

102,18

-320 -480 640

M [kN-m]

0

0

0

-85,3 -242,18

-187,48 -310,3

-800




Pág. 8-24

Ejemplo 8.13: Para el elemento compuesto ABCDEF articulado en B se pide: a) Calcular las reacciones en el empotramiento A y en el apoyo simple C . b) Dibujar los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector en cada uno de los tramos rectos ABC , CDE y EF . 2 ton/m 8 ton 4 ton-m

E

F

m 2

3 ton/m D A

C

B

4m

2m

1m 1m

2m

Solución: Primero disgregaremos el sistema en sus dos partes ( AB y BCEF ) para determinar las reacciones externas y las fuerzas en la articulación B. Luego aislaremos cada tramo recto para dibujar los diagramas solicitados.

∑ M

Tramo BCEF :

B

2 ton/m 8 ton 4 ton-m

E

m 2

D

B x

∑ F = 0 :

4m

1m 1m

2m

∑ F = 0 :

− Bx − 8 = 0 → B x = −8 ton

x

Tramo AB:

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : ∑ M = 0

A y B x

A x A

B

M A

B y

2m

x

A x + Bx = 0

→

A x = 8 ton

y

A y − B y = 0

→

A y = 6 ton

A

M A − B y ( 2) = 0

:

Análisis de tramo ABC : 3 ton/m

6 ton

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : ∑ M = 0

M C

8 ton

N C B

A

C

12 ton-m

V C

4m

2m

B y − 12 + C y − 4 = 0 B y = 6 ton

→

C y

B y

C y = 10 ton

→ y

C

B

:

− 12 (2) + 4 C y − 4 (7) + 8 (2) = 0

F

3 ton/m

=0

→

x

8 + N C = 0

y

6 − 12 − V C = 0

C

M E

2 ton/m 8 ton

N E F

E

V E

2m

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : ∑ M = 0


x

− N E − 8 = 0

y

V E − 4 = 0

E

:

→

N C = −8 ton

→ V C = −6 ton

12 − 6 (6) + 12 (2) + M C = 0

:

M C = 0

→

Análisis de tramo EF :

M A = 12 ton − m

→ →

− M E − 4(1) = 0

N E = −8 ton V E = 4 ton →

M E = −4 ton − m



Pág. 8-25

Análisis de la sección E : ′

∑ F

M E = -4

V E E

= 0 : N E ′ = N E ( 2 / 2) − V E ( 2 / 2) ′ = − 8 ( 2 / 2) − 4 ( 2 / 2) N E

45°

N E = -8

′ E

M

∑ F

V E = 4

′ E

N

= 0 : V E ′ = N E ( 2 / 2) + V E ( 2 / 2) V E ′ = − 8 ( 2 / 2) + 4 ( 2 / 2)

∑ M

E

Análisis del tramo CE : ′ E

N

′

M E m n t o 4 ′ C

M

C ′

V C

′

N C

E

′

V E

= 0 : M E ′ = M E

∑ F = 0 : ∑ F = 0 : ∑ M = 0

→ V E ′ = − 8,48 ton

′ = − 4 ton − m M E

→

x

− N C ′ + N E ′ = 0

→

′ = −8,48 ton N C

y

V C ′ − V E ′ = 0

→

V C ′ = −2,83 ton

E

m 1 4 4 1 ,

′ = − 8,48 ton → N E

: M C ′ + 4 − M E ′ + V E ′ (2,828) = 0 ′ + 4 − (−4) + (−2,83) (2,828) = 0 → M C ′ = 0 M C

m 1 4 4 1 ,

Comprobamos “alrededor” de la sección C :

0

V C =-6

= ′ C

8 4 , 8 −

x

3 8 , 2 −

− N C ′ + N C ′ ( 2 / 2) + V C ′ ( 2 / 2) − (−8) + (−8,48) ( 2 / 2) + (−2,83) ( 2 / 2) = 0 ok!

= ′ C

M N

M C =0 N C =-8

∑ F = 0 : ∑ F y = 0 :

′ ( 2 / 2) = 0 V C + C y − V C ′ ( 2 / 2) + N C − 6 + 10 − (−2,83)( 2 / 2) + (−8,48) ( 2 / 2)

= ′

V

ok!

C

C y

∑ M

C


= 0 : M C ′ − M C = 0

ok!



Pág. 8-26

Diagramas: 3 ton/m

A y=6

2 ton/m

M C = 0

A x=8

8 ton

8 A

B

C

4m

2m

M A=12

8 ton

6

2m

4 ton

N (ton)

N (ton)

0

0

-8

-8

V (ton)

V (ton)

6

4

0

0

2m

0

6

N (ton-m)

0

N (ton-m)

-6

2m

-4

0

0

-12

m n o t 4 C

n t o 8 4 8 ,

F

E

4 ton-m

n t o 3 8 2 ,

n t o 8 4 8 , n - m t o n 4 t o 3 E 2 8 , m 1 4 4 1 ,

m 4 4 1 , 1 ) n t o ( 0 N 8 4 , 8 -

) n t o 0 ( V

3 8 , 2 -

) - m n 0 t o (

N


- 4


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