Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado Problema 1
Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t =0, =0, parte del origen x=0.
Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t =8s. =8s. Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t , en los tramos AB y BC. Solución
Aceleraciones: pendientes de las rectas (véase la gráfica) Desplazamiento entre los instantes t =0 =0 y t =8 =8 s: área bajo la curva v-t. Δx=5+20+17+24+36=102
m
Tramo AB -1)=10t -5 -5 m x=5+10(t -1)=10 Tramo BC
x=25+10(t−3)+1214(t−3)2
Problema 2
Un automóvil parte del reposo y se mueve con aceleración constante de 4 m/s2, y viaja durante 4 s. Durante los próximos 10 s se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil decelera arazón de 8 m/s2 hasta que se detiene.
Calcular el desplazamiento del móvil en cada intervalo y el desplazamiento total. Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo. Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento totla del automóvil Solución
De t =0 =0 a t =4. =4. a=4
v=4t
x= 124t2
Para t =4 =4 s, v=16 m/s, x=32 m De 4 s a 14 s a=0
v=16
x=32+16(t −4)
Para t =14 =14 s, v=16 m/s, x=192 m De 14s hasta que se para a=−8
v=16+(−8)(t−14)
x=192+16(t−14)+12(−8)(t−14)2
Se detiene v=0, en el instante t =16 =16 s, la posición del móvil es x=208 m Gráfica
Área bajo la curva v-t
⋅
⋅ ⋅
4 162+10 16+2 162=208
Movimiento curvilíneo Problema 1
Nos encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana está 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinación de 30º con la horizontal y el viento produce una aceleración horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2.
Calcular la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para que pueda ensartar la manzana. Hállese la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. (g=9.8 m/s2) Solución
Ecuaciones del movimiento
⎧⎩⎨
⋅
{ax=-2ay=−9.8 {vx=50cos30+(−2)tvy=50sin30+(−9.8)t x=50cos30 t+12(−2)t2y=50sin30t+ 12(−9.8)t2
Punto de impacto, x=d , y=-5 m -5=25t -4.9t 2 t =5.29 s, x=201.23 m
Máxima altura, v y=0, 25-9.8t =0 t =2.55 s, y=31.89 m
Problema 2
Un cuerpo baja deslizando por el plano inclinado de 30º alcanzando al final del mismo una velocidad de 10 m/s. A continuación, cae siendo arrastrado por un viento en contra que causa la aceleración horizontal indicada en la figura.
Cuánto vale el alcance? Con qué velocidad llega a ese punto?
Solución
Ecuaciones del movimiento
⎧⎩⎨
⋅
{ax=−0.5ay=−9.8 {vx=10cos30+(−0.5)tvy=−10sin30+(−9.8)t x=10cos30 t+12(−0.5)t2y=200−10sin30t+12(−9.8)t2
Punto de impacto, cuando llega al suelo, y=0 t =5.90 s, x=42.39 m
Velocidad cuando llega al suelo: v x=5.71 m/s, vy=-62.81 m/s
Problema 3
Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley a x=0, a y=4cos(2t) m/s2. En el instante t =0, el móvil se encontraba en x=0, y=-1 m, y tenía la velocidad v x=2, v y=0 m/s.
Hallar las expresiones de r(t) y v(t). Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t =π/6 s. Solución
Movimiento uniforme a lo largo del eje X v x=2, x=2·t
Movimiento a lo largo del eje Y vy−0=∫0t4cos(2t)dt
vy=2sin(2t) m/sy−(−1)=∫0t2sin(2t)dt
Aceleración tangencial y normal t=π6 {vx=2vy=3√ {ax=0ay=2 θ=arctanvxvy=49.1 {at=a cosθ=1.31 m/s2an=a sinθ=1.51 m/s2 º
⋅
⋅
y=−cos(2t) m
Problema 4
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t2)i+(6t2-5) j m/s. Si la posición del móvil en el instante t =1 s es r=3i-2 j m. Calcular El vector posición del móvil en cualquier instante.
El vector aceleración.
Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t =2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
Solución
Vector aceleración ax=dvxdt=3 m/s2
ay=dvydt=12t m/s2
Vector posición x−3=∫1t(3t−2)dt
x=32t2−2t+72 my−(−2)=∫1t(6t2−5)dt
y=2t3−5t+1 m
Componentes tangencial y normal de la aceleración
t=2 s{vx=4 m/svy=19 m/s {ax=3 m/s2ay=24 m/s2a=a2x+a2y−−−−−−√=24.2 m/s2θ=arctana yax−arctanvyvx=4.8 at=acosθ=24.1 m/s2 an=asinθ=2.0 m/s2 º
Problema 5
Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley a x=0, a y=2cos(πt/2) m/s2. En el instante inicial t =0, x=0, y=8/π2, v x=2, v y=0. Encontrar:
El vector posición y el vector velocidad en función del tiempo. La ecuación de la trayectoria, representarla Representar la aceleración, aceleración tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t =2s. Solución
Movimiento uniforme a lo largo del eje X x=2·t
Movimiento a lo largo del eje Y vy−0=∫0t2cos(π2t)dt
vy=4πsin(π2t)y−(−8π2)=∫0tsin(π2t)dt
y=−8π2cos(π2t)
Ecuación de la trayectoria Se elimina t de las ecuaciones paramétricas y=−8π2cos(π4x)
Componenentes de la aceleración t=1 {x=2y=0 {v x=2vy=4/π {ax=0ay=0 {at=0an=0t=2 {x=4y=8/ π2 {vx=2vy=0 {ax=0ay=−2 {at=0an=2
Problema 6
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleración de 2 m/s2, (tómese g =10 m/s2). Calcular:
La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t =3 s. Solución
Ecuaciones del movimiento
{ax=2ay=−10 {vx=2tvy=20+(−10)t
⎧⎩⎨x= 2t y=50+20t+ (−10)t 12
2
12
2
Punto de impacto: y=0 t =5.7 s, x=39.2 m
Componentes de la aceleración
t=3 s {vx=6vy=−10 {ax=2ay=−10a=a2x+a2y−−−−−−√=104−−−√θ=arctanvx vy −arctanax ay =19.7 at=acosθ=9.60 m/s2 an=asinθ=3.43 m/s2
∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣
º
Problema1
Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s 2. En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos Solución
Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos x1=15t
x2=121.5t2
La posición de encuentro x1=x2 da lugar a la ecuación de segundo grado 0.75t 2-15t =0 cuyas soluciones son t =0, y t =20. El instante de encuentro es t e=20s, y la posición de encuentro xe=300 m medida desde la salida. Solución gráfica
Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una parábola)
El punto de intersección señala el instante t e de encuentro y la posición xe de encuentro.
Problema 2
Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran Solución
Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t >2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t -2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán: x1=50t−129.8t2x2=80(t−2)−129.8(t−2)2
El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de t e=3.62 s, xe=116.8 m Solución gráfica
Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo
El punto de intersección señala el instante t e de encuentro y la posición xe de encuentro.
Problema 4
Dos móviles describen una trayectoria circular en el mismo sentido. El primer móvil parte del origen, inicialmente en reposo, con aceleración angular constante de 2 rad/s 2; el segundo móvil parte de la posición π/2 rad, y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 r.p.m. Determinar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles. Antes de plantear el problema, introducir los datos en el applet al final de esta página Solución
Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme El móvil sale del origen en el instante t =0. αA=2
ωA=2t
θA=122t2
Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado El móvil sale de la posición π/2 en el instante t =0 s. αB=0
ωB=4π
θB=π2+4πt
Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo t
θ A
θ B
0
0
1.57
Partida
0.1
0.01
2.83
B detrás de A
0.2
0.04
4.08
B detrás de A
0.3
0.09
5.34
B detrás de A
0.4
0.16
6.60=2π+0.31
B delante de A
Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 0.3 y 0.4 s. El momento del primer encuentro será un instante de dicho intervalo que vamos a calcular. La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es θA+2π=θBt2+2π=π2+4πt
Las raíces de la ecuación de segundo grado son 0.387, 12.18. El instante del primer encuentro es t =0.387 s
Problema 5
Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de 120 r.p.m. y 240 r.p.m., siendo sus radios de 20 cm y 40 cm respectivamente. A cada una se le aplica un freno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s, ambas con movimiento uniformemente acelerado. ¿En qué instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular?
¿En qué instante, un punto de la periferia, tiene la misma velocidad lineal?. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en dichos instantes.
¿Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?
Solución
Velocidades angulares iniciales ω10=120 rpm=4π rad/s ω20=240 rpm=8π rad/s
Se paran
ω1= ω10+α1·t 0=4π+ α1·16, α1=- π/4 rad/s2 ω2= ω20+α2·t 0=8π+α2·8, α2=- π rad/s2
Ecuaciones del movimiento
ω1=4π+(- π/4) t ω2=8π+(- π) ·t
θ1=4πt+12(−π4)t2θ2=8πt+12(−π)t2
Para que tengan la misma velocidad angular
ω1= ω2
4π+(- π/4)·t=8π+(- π)·t , t =16/3 s
Para que tengan la misma velocidad lineal
v1=v2 r 1·ω1=r 2· ω2
0.2·(4π+(- π/4)·t )=0.4 ·(8π+(- π)·t ), t =48/7 s En este instante
aceleraciones tangenciales
at1= r 1·α1=0.2·(- π/4)=-0.157 m/s2 at2= r 2·α2=0.4·(- π)=-1.257 m/s2
aceleraciones normales
an1= r 1·(ω1)2=10.31m/s 2 an2= r 2·(ω2)2=5.15 m/s2
Movimiento relativo de traslación uniforme Problema 1
Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km/h. Un bote se dirige al Este con velocidad relativa al agua de 4 km/h.
Calcular la velocidad del bote respecto de tierra. Si el río tiene 1 km de anchura, calcular el tiempo necesario para cruzarlo. ¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a la otra orilla del río? Solución
Problema 2
Una bandera situada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 45º como se muestra en la figura. pero la bandera situada en la casa flamea haciendo un ángulo de 30º. Si la velocidad del bote es de 10 km/h hacia el norte.
Calcular la velocidad del viento
Solución
Velocidad del bote VB Velocidad del aire VA Velocidad del aire respecto del bote VAB Como vemos en la figura VA=VB+VAB vAB=−vABcos45i −vABsin45jvB= 10jvA=−vAcos30i −vAsin30j{−vABcos45=−vAcos30−vABsin45+10=−vAsin30vA=2 03√−1=27.3 km/h
Problema 3
Un avión vuela desde un punto A a otro B que se encuentra a 3000 km de distancia en la dirección Este. El viento sopla en la dirección S 30º E con velocidad de 80 km/h, y la velocidad del avión es de 600 km/h. Determinar el tiempo de vuelo del avión entre las dos localidades. Solución
Velocidad del viento VB Velocidad del avión respecto a tierra VA Velocidad del avión respecto del viento VAB Como vemos en la figura VA=VB+VAB
⋅
⋅
{vAB=600cos θi+600sinθ jvB=80sin30 i−80cos30 j vA=vAi{vA=600cosθ+80sin300=600sinθ−80cos30vA=636 km/h t=3000vA=4.7 h
θ=6.6
º
Problemas de dinámica Problema 1
Dos pesas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de masa despreciable). Tómese g=10 m/s2. Calcular
La aceleración de los pesos La tensión de la cuerda.
Solución
Solución
Si T es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos son: 30-T =3a T -20=2a 2
a=2 m/s , T =24 N
Problema 2
Hallar, en el problema de la figura: La aceleración del sistema
La tensión de la cuerda.
Tómese g =10 m/s2. Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción. La polea tiene masa despreciable Solución
Se descompone la fuerza peso, en la dirección de los planos y perpendicularmente a los mismos. Si T es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos son: 50·sin30-T =5a T -30·sin45=3a a=0.47 m/s2, T =22.6 N
Problema 3
Un bloque de 750 kg es empujado hacia arriba por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente. Determinar la fuerza necesaria,
para iniciar la subida del bloque por la pista. para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante, una vez que este se ha iniciado.
(Tómese g =9.8 m/s2) Solución
Se descompone la fuerza peso, en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo. Situación de equilibrio, o se mueve con velocidad constante a=0. F-F r -750·9.8·sin15=0 N =750·9.8·cos15 F r = μN
Cuando va a iniciar el movimiento, μ=0.4, F =4742 N Cuando se mueve con velocidad constante, μ=0.3, F =4032 N
Problema 4
Una camioneta transporta un cajón de 20 kg. El cajón no está sujeto a la plataforma de carga, pero el coeficiente de rozamiento estático entre el cajón y la plataforma es de 0.7, y el coeficiente dinámico 0.65. Estudiar la dinámica del cajón sobre la plataforma, determinando la fuerza de rozamiento entre el cajón y la plataforma y la aceleración del cajón, cuando la aceleración del camión tiene los siguientes valores. (Tomar g=10 m/s2) 1. Está parado 2. Lleva una aceleración de 3 m/s 2. 3. Lleva una aceleración de 7 m/s 2. 4. Lleva una aceleración de 8 m/s 2. 5. ¿Cuál es la máxima aceleración con que puede arrancar la camioneta en un semáforo sobre una calle horizontal, de forma que el cajón no deslice hacia atrás en la plataforma? 6. Indíquese en los distintos casos la aceleración del cajón respecto del conductor del camión. Solución
La fuerza de rozamiento es una cuerda invisible que ata el cajón a la plataforma del camión. Si no hubiese rozamiento el cajón no podría desplazarse junto con la plataforma.
1. Si está parado, las fuerzas sobre el cajón son: o
o
El peso 20·10 N La reacción de la plataforma, o fuerza que ejerce la plataforma sobre el cajón, N =200 N
2. Si se mueve con una aceleración de 3 m/s 2. La fuerza de rozamiento (tensión de la cuerda invisible) que tira del cajón vale F r =20·3=60 N
3. Si se mueve con una aceleración de 7 m/s 2. La fuerza de rozamiento (tensión de la cuerda invisible) que tira del cajón vale F r =20·7=140 N
Este es el valor máximo de la fuerza de rozamiento, F rmax= μ s·N =0.7·200=140 N, (esta es la máxima tensión que soporta la cuerda invisible). El cajón va a empezar a deslizar sobre la plataforma 4. Si se mueve con una aceleración de 8 m/s 2. El cajón desliza sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale F r = μk ·N =0.65·200=130
N
La aceleración del cajón vale F r =20·a, a=6.5 m/s2
La aceleración del cajón es más pequeña que la aceleración de la plataforma. El cajón desliza sobre la plataforma con una aceleración relativa de 6.5-8=-1.5 m/s 2.
Problema 5
La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque vale μk mg en una de las siguientes situaciones ( μk es el coeficiente dinámico de rozamiento). Razónese la respuesta
1. Cuando se ejerce una fuerza F , y el bloque se desplaza con velocidad constante 2. Cuando se ejerce una fuerza F , y el bloque está a punto de empezar a moverse 3. Cuando se ejerce una fuerza F , y el bloque está en reposo 4. Cuando se ejerce una fuerza F , y el bloque se mueve con aceleración 5. Cuando no actúa la fuerza F, y el bloque está en movimiento 6. Cuando no actúa la fuerza F, y el bloque está en reposo Solución
1. N =mg-F ·sin30 Cuando el bloque se desplaza con velocidad constante, F r=μ N , por k tanto, no es F r =μk mg 2. Cuando actúa la fuerza F y el bloque está a punto de moverse F r =μ s N , con N =mg-F ·sin30, no es la respuesta correcta 3. Cuando el bloque está en reposo, F r =F cos30, por tanto, no es F r =μk mg
4. Cuando el bloque se mueve con aceleración F cos30- F r=ma F r =μk N por tanto, no es F r=μ k mg 5. Cuando no actúa la fuerza F y el bloque está en movimiento
6.
N=mg F r =μk N= F r=μ k mg, esta es la respuesta correcta Cuando no actúa la fuerza F y el bloque está en reposo
F r =0, no es la respuesta correcta
