EJERCIOS RESUELTOS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. El 1. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal con media de 100 horas y varianza de 400. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de incapacidad en un mes dado sea de 130 o más horas. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de incapacidad se encuentre entre 90 y 120 horas? c. ¿Cuál tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo sea solo en el 5% de las ocasiones? a. X: tiempo de incapacidad / mes 2 = = 100 =400 = = 20 P ( X 130 130 ) = P ( Z 1.5 1.5 ) = 1 – 0.9332 0.9332 = 0.0668 La probabilidad que el tiempo de incapacidad en un mes dado sea de 130 o más horas es 0.0668
100
X
130
b. P b. P (90 X 120) = P (-0.5 Z 1) = P (Z 1) - P ( Z -0.5)= 0.8413 - 0.3085 = 0.5328 La probabilidad que el tie mpo de incapacidad se encuentre entre 90 y 120 horas es de 0.5328. 0.5328. c. Hallar c. Hallar x x0 tal que P (X x x0 )=0.05 Luego (x0 -100)/20 = 1.645 x0 =100 + (20 * 1.645 ) = 132.9 El tiempo de incapacidad que deberá planearse para que la probabilidad de excederlo sea solo en el 5% de las ocasiones es de 132.9 horas.
2. 2. Con la popularización de equipos como las cámaras digitales, los celulares y los reproductores de música, las pilas recargables son recargables son cada vez más utilizadas. El motivo principal es el hecho de que las pilas descartables son caras para quienes necesita un uso constante de ellas; una de las características de interés es el tiempo que demora recargar las pilas totalmente y se sabe que este tiempo varía de una pila a otra pero que tiene una distribución normal. Si se sabe que la probabilidad de que el tiempo de recarga exceda 4 horas es de 0.9772 y la probabilidad de que exceda cinco horas es de 0.9332. Cuál es el promedio y la desviación estándar del tiempo que tarda recargar total mente una batería. X: tiempo (horas) de recarga total para una batería
4
5
X
P (X 4 )=0.9772
4
2
X
P (X 5 5 )=0.9332
5
(1)
1.5
De (1) se tiene que que
4
2
(2)
(3)
Reemplazando (3) en (3) en (2) : (2) :
5 4
1.5 luego
2 * (5 )
4
1.5
de donde 10 2
= 8 6 1.5 entonces =
2
Finalmente reemplazando el valor de = = 8 en la ecuación (3) se logra la desviación estándar, así:
4 8
2
2
3. Un 3. Un experimentador que hace publicidad en la publicación Annals of Botany investigó si los diámetros de tallos del girasol dicotiledónea cambiaría, dependiendo de si la planta fue dejada para balancearse libremente en el viento o estaba artificialmente sostenida.2 Suponga que los diámetros de tallos no soportados en la base, de una especie particular de girasol, tienen una distribución normal con un diámetro promedio de 35 milímetros (mm) y una desviación estándar de 3 mm. a.
¿Cuál es la probabilidad de que una planta de girasol tenga un diámetro de base de más de 40 mm? X: diámetros (mm) de tallos de girasol no soportados en la base = = 35 = = 3
( ) La probabilidad que que una planta de girasol tenga un diámetro de base de más de 40 mm es de 0.0475 35
X
40
Solución con R > pnorm(40,35,3) #calcula la probabilidad a cola derecha P(X<=40) [1] 0.9522096 > 1- pnorm(40,35,3) #probabilidad a cola izquierda P(X>40) [1] 0.04779035 > pnorm(40,35,3, pnorm(40,35,3, lower.tail=F) lower.tail=F) #probabilidad a cola izquierda directamente [1] 0.04779035
b.
¿Cuál es la probabilidad de que una planta de girasol tenga un diámetro de base entre 32mm y 38mm? X: diámetros (mm) de tallos de girasol no soportados en la base = 35 = = 3 =
) ( La probabilidad de que una planta de girasol tenga un diámetro de base entre 32mm y 38mm es 0.6826 32
35
38
X
Solución con R > pnorm(38,35,3) [1] 0.8413447 > pnorm(32,35,3) [1] 0.1586553 > pnorm(38,35,3)-pnorm(32,35,3) [1] 0.6826895
c.
Si dos plantas de girasol se seleccionan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas plantas tengan un diámetro de base de más de 40 mm? : diámetros (mm) de tallos de girasol no soportados en la base de la planta 1 : diámetros (mm) de tallos de girasol no soportados en la base de la planta 2
Solución con R > pnorm(40,35,3, lower.tail=F)^2 [1] 0.002283918
d.
¿Dentro de qué límites esperaría usted que se encuentren los diámetros de base, con probabilidad 0.95?
de donde (cuantíl 0.025 ó 2.5 percentil) entonces De manera similar el valor de es tal que: de donde (cuantíl 0.975 ó 97.5 percentil) entonces
Hallar a y b tal que . El valor de cumple la siguiente condición:
0.95
a
35
b
X
Solución con R > qnorm(0.025,35,3) [1] 29.12011
# se calcula el cuantil 0.025
> qnorm(0.975,35,3) [1] 40.87989
# se calcula el cuantil 0.975
e.
¿Qué diámetro representa el 90avo percentil de la distribución de diámetros?
tal que . De donde entonces . Finalmente . La probabilidad de que el diámetro sea menor de 38.84mm es 0.90 Hallar
Solución con R
> qnorm(0.90,35,3) [1] 38.84465
