Mgr. David Tamayo Mamani
En una población nomal, con media 72,1 y desviación estándar 3,1, encuentra la probabilidad de que en una muestra de 90 observaciones, la media sea menor que 71,7.
En cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón están distribuidos normalmente con una media de $864,500 y una desviación estándar de $15,000 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra representativa de 25 mineros, tenga un promedio diario inferior a $857,500?
Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina son defectuosas. ¿Cúal es la probabilidad de que en un grupo de 200 piezas, el 3% o más sean defectuosas?
Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción de las mayores de 40 años; sabiendo que la proporción en la población es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor 0,5?
Un fabricante de desodorantes recibe cada semana lotes de 10000 válvulas para los tarros rociadores. Para aceptar o rechazar dichos lotes, selecciona al azar 400 válvulas de cada lote; si el 2% o más resultan defectuosos, se rechaza el lote. En caso contrario se acepta el lote. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga el 1% de válvulas defectuosas?
Solució n:
P 0,01
Z
p P PQ n
n 400 0,02 0,01 0,01 0,99
P p 0,02 ?
2,01
400
Z 2,01 A 0,4778
P 0,5000 0,4778 0,0222
P p 0,02 2,22%
a)
b)
Se ha determinado que el 65% de los estudiantes universitarios de Ilo prefieren los cuadernos marca profesional. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de Ilo, encontremos que: Como máximo el 68% sean usuarios de ese tipo de cuaderno? Exactamente 66% sean usuarios? (utiliza medio punto de porcentaje para los límites)
a)
p 65%
n 100
P p 68% ? Z
p P PQ n
0,68 0,65
0,65 0,35
100
0,03 0,2275 100
0,03 0,002275
0,63
Z 0,63 A 0,2357
P 0,5000 0,2357 0,7357
P p 68% 73,57%
P 65,5%
b)
Z
Z
;
p 66,5%
p P PQ n
p P PQ n
?
ya que P p 66 0
0,665 0,65 0,002275
0,655 0,65 0,002275
0,015 0,31 0,0477
0,005 0,11 0,0477
Z 0,31 A 0,1217 Z 0,11 A 0,0438
P 0,1217 0,0438 0,0779 P 65,5%
p 66,5%
7,79%
Se ha encontrado que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad, al seleccionar 400 piezas, que el 5% o más sean defectuosas?
1
.
Nota: en variables discretas se puede aplicar el factor de corrección para una n 2 mejor aproximación a la normal P 0,04
n 400
Fórmula general: p P Z PQ n
Z
P p 0,05 ?
Fórmula corregida: p 1 P n 2 Z
1 1 0,00125 2 400 800
PQ n
0,05 0,00125 0,04 0,04 0,96
0,00875 0,000096
0,00875 0,90 0,0097
400
Z 0,90 A 0,3159
P 0,5000 0,3159 0,1841 P p 0 05 18,41%
Para elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 46% de los votos. Determine la probabilidad de que entre 200, elegidos al azar, de un total de 1000 afiliados, se obtenga la mayoría de votos para dicho candidato.
a) Sin corregir: P 0,46
Z
p P PQ n
n 400
0,50 0,46
0,46 0,54
P p 0,50 ?
0,040 1,14 0,0352
200
Z 1,14 A 0,3729
P 0,5000 0,3729 0,1271
P p 0,50 12,71%
b) Corregido:
p 1 P 0,50 0,0025 0,46 2n 1,06 Z PQ n
0,46 0,54 200
Z 1,06 A 0,3554
P 0,5000 0,3554 0,1446 14,46%
P p 0,50 14,46%
En cierta facultad de la UJCM 1/6 de los estudiantes son mujeres. Si se extrae una muestra aleatoria de 200 estudiantes de la facultad, ¿cuál es la probabilidad de que el 20% o más sean mujeres?
P 0,17
Z
n 200
0,20 0,17
0,17 0,83
0,03 0,000705
P p 0, 20 ?
1,13
200
Z 1,13 A 0,3708
P 0,5000 0,3708 0,1292 P p 0, 20 12,92%
Hallar la probabilidad de que en 200 lanzamientos de una moneda, el número de caras esté comprendido entre el 40% y 60%.
a) Planteamiento mediante la Distribución binomial P 80 x 12 0 ? P C 80
20 0
n 200
p 0,50
0,580 0,512 0.............. C 122000 0,512 0 0,580
q 0,50
b) Distribución normal P 79,5 x 12 0,5 ?
Z Z
np 200 0,5 100
npq 200 0,5 0,5 50 7,07
X
X
7,07
79,5 100 7,07
120,5 100 7,07
20,5 7,07
20,5 7,07
2,9 2,9
Z 2,9 A 0,4981 Z 2,9 A 0,4981
P 79,5 x 12 0,5 0,4981 0,4981 0,9962 99,62%
P 79,5 x 12 0,5 99,62%
c) Distribución de proporciones (corregido) P 0,50
P 0,4 p 0,6 ?
n 200
p 1 P 0,4 0,0025 0,50 0,1025 2n 2,90 Z PQ n
0,5 0,5
0,03535
200
1 p P 0,6 0,0025 0,5 2n Z
PQ
0,5 0,5
n
200
0,1025 0,03535
2,90
Z 2,90 A 0,4981
Z 2,90 A 0,4981
P 0 4981 0 4981 0 9962
P 0,40
p 0,60
99,62%
d) Sin corrección: Z
Z
p P
PQ n p P PQ n
0,4 0,5
0,5 0,5
0,10 0,00125
2,83
200
0,6 0,5
0,5 0,5
0,10 0,00125
2,83
200
Z 2,83 A 0,4977
P 0,4977 0,4977 0,9954
P 0,4
p 0,6
99,54%
