Los datos de fabricación son los siguientes:
Las mesas consumen 5 pies 2 de madera No. 1 y 2 pies 2 de madera No. 2, así como 3 hrs-hombre. El carpintero se comprometió a fabricar 40 de estas mesas. La ganancia obtenida por mesa es de $1200.00. Las sillas consumen 1 pie 2 de madera No. 1 y 3 pies 2 de madera No. 2 y requiere 2 hrs.-hombre. Existe el compromiso de entregar 130 de ellas. La ganancia por silla es de $50.00 Los escritorios llevan 9 pies 2 de madera No. 1 y 4 pies 2 de madera No. 2, necesitándose 5 hrs.-hombre. Existe el compromiso por 30 de ellos. Ganancias por escritorio de $150.00 El carpintero sabe que puede vender todo lo que produzca de mesas, sillas y escritorios. Los libreros utilizan 12 pies 2 de madera No. 1, 1 pie 2 de madera No. 2 y llevan 10 hrs.-hombre. El sabe que puede vender como máximo 10 libreros y obtiene una ganancia de 100.00 por cada uno.
Formule un modelo de programación lineal.
PROBLEMA 18 El Ing. Juan F. González dirige un rancho experimental para la cría de cabras y desea alimentar a sus animales correctamente aprovechando al máximo sus recursos. Cuenta con 10 sementales y 300 animales de vientre y posee información de sus necesidades alimenticias en productos básicos así como en la aportación de esos productos.
Por cabra al día
Calorías de 2,600 a 2,800 unidades diarias Proteínas de 1,600 a 2,000 unidades diarias Minerales de 770 a 890 unidades diarias Vitamina A de 8,000 a 9,000 unidades diarias Kilos de alimento de 3.5 a 6.0 kilos
Vitamina 1.20 2.30 0.30 3.90
Proteína
Minerales
Vitamina
Alfalfa Sorgo Pastura Unidad Compuesta
Formule un modelo de programación lineal para determinar qué cantidad de cada alimento debe estar contenida en la mezcla, para minimizar los costos de alimentación.
PROBLEMA 19 La compañía SOMEX produce refrigeradores, estufas y lavadoras. Durante el año entrante se eso era que las ventas sean las siguientes:
Producto Refrigeradores Estufas Lavadoras
Trimestre 1
2
3
4
2000 1500 1000
1500 1500 3000
3000 1000 1500
1000 1500 3000
La compañía desea programar su producción para que cada trimestre satisfaga los requisitos de demanda. La gerencia ha decidido que el nivel de inventario para cada producto sea de al menos 100 unidades al final de cada trimestre. Al principio del primer trimestre no existe inventario de ningún producto. Durante un trimestre solo se tienen 8500 hrs. de producción disponibles. Un refrigerador requiere 0.5 hrs. una estufa 2 hrs. y una lavadora 1.5 hrs. de tiempo de producción. Los refrigeradores no pueden manufacturarse en el cuarto trimestre debido a que la compañía planea modificar las herramientas para una nueva línea de producto.
Suponga que cada artículo dejado en inventario al final de un trimestre incurre en un costo de $5 por llevarlo han inventario. La compañía desea una planeación de su producción que no exceda la limitación de tiempo de producción, que satisfaga las demandas de cada trimestre y los requerimientos de inventarios, y que mantenga los costos por llevar el inventario a su mínimo valor. Sea Rt, St y Dt, el número de refrigeradores, estufas y lavadoras fabricadas en el periodo t. Defina, cualquier otro símbolo que necesite. Demuestre que el problema se puede formular como un problema de programación lineal.
PROBLEMA 20 Una empresa desea publicitar un producto nuevo en base a un presupuesto de $600,000 que se puede invertir en televisión y revistas. Cada comercial de televisión cuesta $8,000 y se estima que lo ven 100,000 personas; por otro lado, cada anuncio de revista cuesta $4,000 y se estima que lo ven 25,00 personas. Ya sea decidido colocar cuanto menos tres anuncios en revistas. Además se sabe que conviene tener por lo menos tantos comerciales de televisión como anuncios en revistas. Formule el problema con programación lineal.
PROBLEMA 21 FARMA tiene tres plantas de producción y 2 centros de distribución. Las capacidades de producción de las plantas A, B, C, y las demandas de los centros de distribución D, E, así como com o los costos de flete, se dan han la matriz m atriz incompleta de transporte. Existen además las siguientes condiciones: la planta A nunca abastece el centro de consumo D. Por otra parte la producción que se queda en las plantas origina costos de almacenamiento por cada unidad. En la planta A $10, en la B $20 y en la C $5. D A B C
30 20 1200
E 50 40 60 800
F 1000 500 800
Con esta información:
Completar la tabla Obtener la solución óptima.
PROBLEMA 22 Formular el modelo de programación lineal que optimizaría el costo en la preparación de un alimento para cerdos que requiere las condiciones nutricionales y las materias primas integrantes de la mezcla, que se dan en la tabla. En la misma tabla se presentan los costos de cada materia prima.
Materia prima diaria Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo $/Kg
Kg. maíz
Kg. grasas
Kg. alfalfa
Req. mínimo
90 30 10 3
20 80 20 8
40 60 60 6
200 180 150
Formule el modelo de programación lineal correspondiente Identifique un caso especial del simplex, explicando el porqué se manifiesta.
PROBLEMA 23 Una pastelería debe hacer dos tipos de pasteles en sabores de chocolate y fresa, los cuales tienen una utilidad de $55 y $40 respectivamente. El pastel de chocolate requiere 45 minutos de horneado y 10 huevos; para el pastel de fresa se requiere de 35 minutos de horneado y 8 huevos. Para tal propósito se dispone de 16 horas de horneado y 200 huevos. Además, se sabe que aunque la demanda puede ser la misma, por motivos de mercado no de conviene vender más de 30 pasteles de chocolate y de los de fresa debe vender al menos 25. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 24 La fábrica de muebles " AGUILAR " produce escritorios, mesas y sillas. La manufactura de cada mueble requiere de madera y de dos tipos de trabajo especializado: acabado y carpintería. La a cantilada que se necesita de cada recurso para producir cada tipo de mueble se muestra en la siguiente tabla. Se cuenta con 16 (m2) de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. Se vende un escritorio a $400, una mesa a 200 y una silla a $100. La Cía. sabe que a lo más puede vender 5 mesas. La Cía. requiere maximizar el ingreso total.
Verifique las unidades de cada una de las relaciones del modelo primal Determine las unidades de las variables duales y Verifique las unidades de cada relación del modelo dual.
Recursos Madera m2 Acabado hrs. Carpintería hrs.
Tabla de recursos Escritorio Mesas
Sillas
8
6
1
4
2
1.5
2
1.5
0.5
Formule el modelo de programación lineal
PROBLEMA 25 Una persona fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas, bomba normal y extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de bombas implica tres actividades: Ensamblado, pintura y pruebas (control de calidad). Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y pruebas de las bombas se muestran en la siguiente tabla. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50.00 en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es por la venta de una bomba extra grande es $75.00. Existe disponible por semana 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 horas de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo prueba. Las experiencias anteriores de venta señalan que la compañía espera vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes por semana.
Tipo Normal Extra grande.
Ensamble
Tiempo de pintado
Prueba
3.6
1.6
0.6
4.8
1.8
0.6
Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 26 Banco Monterrey se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo trimestre. Para ese fin se asigna un total de $12 millones. Siendo una institución de servicios integrales, está obligado a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el Banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia.
Tipo de préstamo
Tasa de interés
Probabilidad de incobrables
Personal Automóvil
0.140
0.10
0.130
0.07
Casa habitación
0.120
0.03
Agrícola
0.125
0.05
Comercial
0.100
0.02
Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingresos por concepto de intereses. La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el Banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a los préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región. los préstamos para casa habitación deben ser iguales cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa habitación. El banco tiene asimismo, una política establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.04. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 27 Un pequeño banco asigna un máximo de $20000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. el banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tiempos de préstamos se saldan en periodos de 3 años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada a demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos? Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 28 Jugos Vegetales tiene un contrato anterior para recibir 60 000 Kilos de tomates maduros a $7/Kg. de las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere ½ kilo de tomates frescos en tanto que una de puré requiere sólo 1/6 Kg. La partición de la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de puré. los precios al mayoreo por caja y de puré son $18 y $9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 29 Una planta armadora de radios produce dos modelos, 1 y 2 en la misma línea de ensamble. la línea de ensamble consta de 3 estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son:
Estación de trabajo 1 2 3
Minutos por unidad 1 2 6 5 4
4 5 6
Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán del modelo 1 y 2 a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 30 Una compañía de productos electrónicos produce 2 modelos diferentes de radios, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de cada línea es de 60 y 75 radios respectivamente. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierto componente electrónico en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere 8 piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 31 Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los 2 productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:
Producto 1 2
Minutos por unidad Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 10 5
6 20
8 15
Ganancia 2.00 3.00
Determine la combinación óptima de los dos productos. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 32 Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $1000. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos 2 veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión genera en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 33 Una compañía elabora 2 tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es de $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para minimizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 34 Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia requiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción:
Tipo de máquina Fresadora Torno
Tiempo disponible (en horas - máquina por semana) 500 350
Rectificadora
150
El número de horas-máquina que se requiere para cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina Fresadora Torno
Producto 1
Producto 2
Producto 3
9
3
5
5
4
0
3
0
2
Rectificadora
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 35 Un fabricante de televisores tiene que decidir el número de unidades de 27 y 20 pulgadas que debe producir en una de sus plantas. La investigación de mercado indica que se pueden vender a lo más 40 unidades de 27 pulgadas y 10 unidades de 20 pulgadas cada mes. El número máximo de horas de trabajo disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 pulgadas requiere 20 horas de trabajo y uno de 20 pulgadas requiere 10 horas de trabajo. Cada unidad de 27 pulgadas vendida produce una ganancia de $120 y cada de 20 pulgadas produce una ganancia de $80. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si los números no exceden los máximos indicados por la investigación de mercado.
Formule un modelo de programación lineal Resuelva este modelo gráficamente
PROBLEMA 36 Una compañía fabrica tres productos que requieren recursos P y Q. La gerencia requiere determinar cuántas unidades de cada producto fabricar de manera que se maximice, la ganancia. Para cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad del recurso P y2 unidades del recurso Q. Para cada unidad del producto 2 se requieren 3 unidades del recurso P y 2 del recurso Q. La compañía tiene 200 unidades del recurso P y 300 del recurso Q. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. No se obtienen ganancias por fabricar más de 60 unidades del producto 2, el exceso deberá desecharse.
Formule un modelo de programación lineal Resuelva este modelo gráficamente ¿Cuál es la ganancia total que resulta?
PROBLEMA 37 Una compañía de seguros está introduciendo dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgos especiales e hipotecas. La ganancia esperada es 5 por unidad sobre el seguro de riesgos especiales y 2 por unidad sobre hipotecas. La administración requiere establecer las cuotas de venta para las nuevas líneas de productos al fin de maximizar la ganancia esperada. los requerimientos de trabajo son los siguientes:
Departamentos disponibles Procesamiento Administración
Horas de trabajo por unidad Riesgo especial Hipotecas Horas de trabajo 3
2
2400
0
1
800
Reclamaciones
2
0
1200
Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 38 Usted es el gerente de producción de una fábrica de tres tipos de refacciones para automóviles. La fabricación de cada parte requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de procesamiento (en horas):
Máquina 1 2
A
Refacción B
C
0.02
0.03
0.05
0.05
0.02
0.04
Cada máquina está disponible 40 horas al mes. La ganancia unitaria de cada parte fabricada está dada por:
Máquina 1
A 50
Refacción B 40
C 30
Usted quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
PROBLEMA 39 La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B, y los recursos Q, R y S, requeridos para producirlos.
Recursos disponibles Q R S Ganancia por unidad
Recursos utilizados por unidad de productos Producto A Producto B Cantidad recursos 2 1 3 3
1 2 3 2
2 2 4
Todas las suposiciones de programación lineal se cumplen
Formule un modelo de programación lineal Resuelva este modelo gráficamente
PROBLEMA 40 Suponga que acaba de heredar $6000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y su ganancia estimada (ignorando el valor de su tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la producción del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como de todas maneras usted está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario que resuelva el problema de obtener la mejor combinación.
Formule un modelo de programación lineal.
PROBLEMA 41 Un Centro Comercial vende 2 tipos de bebidas no alcohólicas: el refresco de cola comercial y la marca propia del refresco de cola, más económica. El margen de utilidad del primero es de 5 centavos por lata, mientras que la utilidad del segundo suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, el centro Comercial no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aun cuando el primero es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de la marca propia del centro comercial, porque es considerablemente más económica. Se calcula que las ventas de la marca propia superan a las ventas de la marca conocida en una razón de 2.1 por lo menos. Sin embargo, el centro comercial vende, como mínimo, 100 latas de la marca conocida al día.
¿Cuantas latas de cada marca debe tener en existencia el centro comercial diariamente para maximizar su utilidad? Formule un modelo de programación lineal
PROBLEMA 42 Una Compañía ensambla 2 tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: regulares y el de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 de gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura/barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente. Formule el modelo de programación lineal y encuentre el programa de producción óptima por día.
PROBLEMA 43 Laboratorios Pinol fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B, procesando dos tipos de materia prima y II . El procesamiento de una unidad de materia prima cuesta 8 dólares y produce .5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce .6 unidad de solución A y .4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución B es entre 12 y 20 unidades. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 44 Cooperativa eléctrica Monclova, es propietaria de una planta generadora de energía con turbinas de vapor. Debido a que Monclova es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Agencia de Protección Ambiental limitan la descarga de bióxido de azufre a 2000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20 libras por hora. La cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por si simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón ) es un promedio ponderado de la proporción de grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón.
Grado de carbón C1 C2
Descarga de azufre en partes por millón
Descargas de humo en libras por hora
Valor generado en libras por hora
1800 2100
2.1 0.9
12,000 9,000
Determine la proporción óptima para mezclar los dos grados de carbón. Determine el efecto de relajar el límite de descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor generado por hora.
PROBLEMA 45 La División de Educación Continua ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticos, como trabajos de madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles y humanísticos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La División calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanísticos son aproximadamente 1500 y 1000 dólares por curso, respectivamente. Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 46 DACS de México S. A. de C. V., consultora de sistemas, desarrolladora de sistemas de información, y distribuidora de equipo de computo, ubicada en el D. F., cuenta con 50 equipos de computo, con objeto de distribución, de los cuáles CELANESE MEXICANA, planta Zacápu, mich. Requiere 20 equipos, planta Ocotlan, Jal. Requiere 18 equipos, planta Toluca requiere 10 equipos, oficinas corporativas D. F. requiere 15 equipos. El costo en pesos del transporte, a las mencionadas es la siguiente:
Distribución (=>) Distribuidor D.F.
Zacapú, Jalisco
Ocotlán, Jalisco
Toluca
Distrito Federal
250
550
200
80
Formule el modelo de programación lineal.
PROBLEMA 47 En Banamex se requiere el siguiente número de personal para dar soporte a la red de esta institución:
Horas Personas
2-6
6-10
10-14
14-18
18-22
22-2
6
10
4
10
5
3
Cada persona labora 8 horas consecutivas al día. Formular el problema de programación lineal si se desea obtener el número mínimo de personal para la satisfacción de las anteriores restricciones.
