EJERCICIOS UNIDAD II
PROBLEMA 1 Una cafetería que trabaja las 24 horas requiere el siguiente número de meseras:
Hora del día No. mínimo de meseras
2-6 4
6-10 8
10-14 10
14-18
18-22 12
22-02 4
!ada mesera labora 8 horas consecuti"as cada día# $ormule el %roblema con un modelo de %rogramaci&n lineal' si se desea obtener el número mínimo de meseras %ara %a ra satisfacer las condiciones anteriores# (ara entender bien el %roblema se dise)& la siguiente tabla: Periodo i Invervalo de iem!o
1 * + ,
Re"#erimieno mínimo de meseras
Personal remanene del #rno anerior
Personal "#e in$resa %#ando %omien&a el !eriodo i
'aria(le desi%ional )i
4 8 10 12 4
0 *+6, 4 *+1, 4 *+2, 6 *+, 1 *+4, 11 *+.,
4 *+1, 4 *+2, 6 *+, 1 *+4, 11 *+., 0 *+6,
+1 +2 + +4 +. +6
2-6 6 - 10 10 - 14 14 - 18 18 - 22 22 - 02
/s mu im%ortante enfatiar que la %arte % arte ms difícil de la formulaci&n de modelos es la definici&n de las "ariables decisionales# (or esta ra&n es im%erioso entender bien el %roblema# % roblema# 3lamaremos +i 5o de meseras que comienan a laborar cuando se inicia el %eriodo i# e tal manera que: + 57 de meseras que comienan a laborar cuando se inicia el %eriodo +. 57de meseras que comienan a laborar cuando se inicia el %eriodo .# /tctera (arece ocioso insistir en este %unto %ero la e9%eriencia del aula lo justifica# /9%licaci&n de la abla: •
•
•
;nauguramos la cafetería a las 2 <=# ?u %ersonal @emanente @emanente quedo del urno anteriorA' res%ondemos' 0# (ara cum%lir con en requerimiento mínimo de meseras en el inter"alo de 2 - 6 <# =#' se necesita que ingresen al menos 4 meseras * las +1,#
•
/n el siguiente inter"alo nos %reguntamos# >?u número de meseras queda como remanente del turno anteriorA# 5os res%ondemos 4 *las +1 que trabajarn tambin en el inter"alo de 6 - 10 <# =# (ara com%letar sus 8 horas consecuti"as de ese día#
•
3uego raonamos >?u número de meseras debern ingresar cuando se inicia el %eriodo 2' %ara cum%lir con el requerimiento de al menos 8A' @es%ondemos 4 *%ero estas son las +2,#
(ersonal remanente del turno anterior
B
(ersonal que comiena a trabajar cuando se inicia el %eriodo
C
@equerimiento mínimo de meseras en el inter"alo
5&tese que los números conseguidos en la tabla no son los "alores de las "ariables decisionales' sino sim%les números que sir"en %ara ilustrar al entendimiento del %roblema#
/orm#la%i0n del modelo 1. /#n% /#n%i0 i0n n o(e o(eiv ivo o =in D +1 B +2 B + B +4 B +. B +6
*. Re Res sri ri%% %%io ione ness s#a# +6 B +1 C 4 +1 B +2 C 8 +2 B + C 10 + B +4 C +. B +6 C 4
+.
Res Re sri ri%% %%io ione nes s de de no no ne$ ne$a aiv ivid idad ad +i C 0
PROBLEMA * Ee desea %re%arar alimento %ara %ollos' necesitndose una carga diaria de 100 libras de mecla# 3a f&rmula deber contener: 1.
3.
Ee su%one que los %rinci%ales ingredientes son %iedra calia *carbonato de calcio,' maí melaa de soa# /l contenido nutriti"o de estos ingredientes queda resumido en la tabla siguiente:
In$redienes
Li(ras de s#san%ia n#riene 2 Li(ras de in$rediene Cal%io Proeína /i(ra
Coso 34 Li(ra5
Cali&a
0#80
0#000
0#000
0#0164
Mai& Mela&a
0#001 0#002
0#0G0 0#.00
0#020 0#080
0#046 0#12.0
/l objeti"o del modelo es minimiar el costo de una carga#
PROBLEMA + Una com%a)ía elabora dos %roductos' < H# /l "olumen de "entas del %roducto < es cuando menos 60F de las "entas totales de los dos %roductos#
PRODUC6OS A Pre%io 342#5 Maeria !rima 3$r2#5 'enas
20 40 2 4 =aores que 60F de *
/orm#la%i0n del modelo 1. De7ini%i0n de las varia(les desi%ionales + < Unidades del %roducto < a %roducir +H Unidades del %roducto H a %roducir
*. /orm#la%i0n de la 7#n%i0n o(eivo =a9 D 20+
B
Dis!oni(ilidad 2 dia 100 Igs#
+. Resri%%iones s#a#
a5 Resri%%i0n !ara la maeria !rima 2+ < B 4+H M 100 + 1000
(5 Resri%%i0n !ara las venas +
%5 Resri%%i0n de no ne$aividad + <' +HC0
PROBLEMA , Nscar de la @enta fabrica camisas %ara caballero blusas %ara dama %ara Oigante E#<# Oigante ace%tar toda la %roducci&n que le %ro%orcione Nscar de la @enta# /l %roceso de %roducci&n inclue corte' costura em%acado# Nscar de la @enta em%lea a 2. trabajadores en el e%artamento de !orte' a . en el e%artamento de !ostura a . en el e%artamento de /m%acado# 3a fabrica trabaja un turno de 8 horas' solo . días a la semana# 3a siguiente tabla %ro%orciona los requerimientos de tiem%o las utilidades %or unidad %ara las 2 %rendas#
Prenda Camisas Bl#sas
Core
Cos#ra
Em!a%ado
Uilidad !or #nidad 42!renda
20 60
0 60
12 4
2#.0 #20
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal e inclue el
/orm#la%i0n del modelo 1. De7ini%i0n de las varia(les desi%ionales +1 5o# de camisas a %roducir %or semana +2 5o# de camisas a %roducir %or semana
*. /orm#la%i0n de la 7#n%i0n o(eivo
=a9 D 2#.0+1B #20+2
+. Resri%%iones s#a#
a5 Core 20+1 B 60+2 M . 9 8 9 . 9 60
(5 Cos#ra 0+1B 60+2 M 2. 9 8 9 . 9 60
%5 Em!a"#edao 12+1 B 4+2 M . 9 8 9 . 9 60
d5 Resri%%i0n de no ne$aividad +1' +2 C0
PROBLEMA Una com%a)ía de trans%orte %osee dos ti%os de camionesP el cami&n del ti%o < tiene 20 m de es%acio refrigerado 40 m de es%acio no refrigerado' el cami&n del ti%o H tiene 0 m de es%acio refrigerado 0 m de es%acio no refrigerado# Una fbrica de %roductos alimenticios debe embarcar %or lo menos G00 m de %roductos refrigerados 1200 m de %roductos no refrigerados# >!uantos camiones de cada ti%o debe alquilar la fbrica %ara minimiar los costos' si el cami&n del ti%o < se alquila a ra&n de K#00 %or Qm# el cami&n del ti%o H a ra&n de K4#00 %or Qm# $ormule un modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA Una com%a)ía tiene %lantas con una ca%acidad de %roducci&n en e9ceso# 3as tiene la facilidad de fabricar un %roducto la Oerencia decidi& usar una %arte de la ca%acidad de %roducci&n en este sentido: /ste %roducto se %uede hacer en ti%os de tama)o grande' mediano chico' que nos dan una ganancia neta %or unidad de 12' 10 G res%ecti"amente' las %lantas 1'2 tienen %ersonal en e9ceso al igual que equi%o %ara %roducir sin im%ortar el tama)o o combinaciones de tama)o que se fabriquen' sin embargo' la cantidad de es%acio que e9iste de almacn im%one una restricci&n en los rangos de %roducci&n# 3as %lantas 1' 2 %oseen G000' 8000 '800 m2 de rea de almacn que %ueden ser utiliadas' res%ecti"amente# !ada unidad de los tama)os grande' mediano chico requiere 20' 1. 12 m2 res%ecti"amente# 3as %redicciones de "enta indican que 600' 800 .00 unidades de los tama)os grande' mediano chico cuando menos deben ser "endidos %ara mantener una carga uniforme de trabajo#
PROBLEMA 8 Una com%a)ía de %ublicidad esta %laneando una cam%a)a de anuncios con un %resu%uesto de K10 000000#00# /sta considerando dos medios: anuncios de K100'000#00 en la radio' o comerciales de K200'000#00 en tele"isi&n# !ada anuncio en la radio llega a una audiencia de 12'000 escuchas cada comercial en tele"isi&n es "isto %or 20'000 %ersonas# 3a com%a)ía quiere ma9imiar la audiencia total' %ero tambin est %reocu%ada %or dos gru%os es%ecíficos dentro de esta audiencia: mujeres entre los 21 . a)os hombres maores de 40# 3a com%a)ía quiere llegar %or lo menos a 10'000 de estas mujeres a 8'000 de los hombres# 3os medios de difusi&n han %ro%orcionado los siguientes datos:
DI'UL9ACI:N POR ANUNCIO M#eres 3*1;+-5 Hom(res 3m
2'000 4'000
1'.00 .'000
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal
PROBLEMA > 3a em%resa Ruguetes =e9icanos E#<#' desea %roducir ti%os de juguetes# /llos encontraron que un modelo de lancha im%lica: una o%eraci&n de corte de madera de 1 hora' 2 horas de %intura 4 horas de ensambleP el %recio %or unidad es de K100#00# Un modelo de autom&"il requiere: horas de corte' horas de %intura 2 horas de ensamble cada unidad se "ende a KG0#00# Un modelo de comedor im%lica: 2 horas de tiem%o de corte' 2 horas de %intura 1 hora de ensamble cada unidad se "ende en KG.#00# 3a dis%onibilidad: de tiem%o de corte es de 1 '000 horas' de %intura G00 horas de 1'200 horas %ara el ensamble# 3os costos de los materiales necesarios %ara %roducir una unidad de %roducto son: K28#00J lanchaP K2#00J autom&"il K24#00Jcomedor# (or otra %arte' cada hora de tiem%o cuesta K10#00 %or corte' K8#00 %ara %intura KG#00 %ara ensamble# 3a em%resa juguetera firm& un contrato con el !onsorcio Oigante' E#<# de !#S#' en el que la %rimera' se com%romete a entregar en e9clusi"a a ms tardar el 1 de diciembre un lote de lanchas autos' que al menos sumen 2.'000# ambin se sabe que la demanda de comedores es de 4'.00# $ormule un modelo de %rogramaci&n lineal' que ma9imice la utilidad neta total#
PROBLEMA ? 3a Eucursal 5oreste de Himbo' E#<# necesita com%rar un lote adicional de autom&"iles %ara el %ersonal de la em%resa# al necesidad se deri"a del %rograma de !ontingencia /col&gica del e%artamento del istrito $ederal# 3a em%resa tomar la decisi&n de com%ra considerando la informaci&n de la tabla ane9a' la oferta de la distribuidora de autom&"iles de conseguir las %lacas con las calcomanías corres%ondientes con los colores deseados#
Colores "#e des%ansan Unidades de la %om!aía Unidades
L#nes
Mares
Mi@r%oles
J#eves
'iernes
@osa
@osa <ul .4
@ojo Serde .4
@ojo Serde .4
<ul
41
41
41
41
41
ne%esarias Unidades "#e des%ansan Di7eren%ia Se re"#iere adi%ionar
21
18
24
24
1G
8
6 .
0 11
0 11
. 6
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal que resuel"a el %roblema#
PROBLEMA 1= 3a Era# =arqus tiene un %eque)o negocio de aguas frescas %re%aradas' al momento# Eu ca%acidad m9ima de %roducci&n es de 200 litros %or día# Eus %roductos %rinci%ales son limonadas naranjadas# /l %recio %or litro de limonada es de K6 de K. %ara el litro de naranjada# /lla utilia 1. mitades de lim&n 0#2. Ig# de aúcar %ara %re%arar un litro de limonada 8 mitades de naranja 0#2 Ig# de aúcar %ara %re%arar un litro de naranjada# 3a dis%onibilidad de limones es de 02 unidades de 24 naranjas# @es%ecto al aúcar cuenta únicamente con 2. Ig# Ei el ciento de limones cuesta K10#00' el de naranjas K8 el Iilogramo de aúcar K.# >!untos litros de limonada cuntos de naranjada deber %re%arar la Era# =arqus %ara o%timiar la utilidad neta totalA
PROBLEMA 11 /l Er# Rimne ha recibido K22. 000#00 %or su seguro de retiro bonificaciones %or antigTedad en su trabajo# /l desea in"ertir en acciones bonos bancarios en una instituci&n de crdito# /l juga ma9imiar el rendimiento de su in"ersi&n sabiendo que las acciones deben de ser no ms de 80F del total deben de ser %or lo menos el 20F# /n cuanto a los bonos su asesor le recomienda com%rar a lo ms el .F cuando menos el 10F del total# ambin se sabe que e9iste un bono que resulta en %articular interesante quiere in"ertir en el' %or lo menos K100'000# Ee estima que la tasa de rendimiento en bonos es del 1F en acciones del 12F# >!unto debe in"ertirse en bonos cunto en accionesA# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal
PROBLEMA 1* es%us de analiar las condiciones de mercado de una fbrica de tabacos %roduce sus "entas en los 4 siguientes trimestres:
6rimesre 'alor es!erado
1
*
+
,
12
.8
.4
1216
*/n miles de %aquetes,
/l %roblema es determinar su %roducci&n en los cuatro trimestres %ara minimiar el costo de %roducci&n# 3a fbrica o%era en 2 turnos con ca%acidades límites de ..0 4. res%ecti"amente *en miles de %aquetes %or trimestre,# /l costo de %roducir 1000 %aquetes K600 en el %rimer turno K6 en el segundo# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA 1+ Una com%a)ía tiene tres %lantas que manufacturan un cierto %roducto el cual se distribue en 4 centros de demanda# 3as %lantas 1' 2 %roducen res%ecti"amente' 12' 1 11 cargas %or mes# !ada centro de demanda recibe 10 cargas %or mes# 3a distancia en Iil&metros de cada % lanta a cada uno de los centros se %resenta en la tabla:
Plana 1 * +
1 800 1100 600
Cenros de disri(#%i0n * + 100 1400 1200
400 600 800
, 00 1000 G00
/l costo de cada carga es de K100 ms K0#.0 %or Iil&metro recorrido# >!&mo debería ser el %lan de trans%orte %ara minimiar el costo total de distribuci&nA $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA 1, Un distribuidor de %roductos %lanea "ender %aquetes de %roductos < H meclados# !ada %aquete %esa %or lo menos 2 Iilos# res ti%os de %roductos < H com%onen el %aquete se com%ra en lotes de 200 Iilos# 3os ti%os 1' 2 cuestan res%ecti"amente K20' K8 K12 adems: •
/l %eso de los ti%os 1 2 no debe ser maor de 1#6 Iilos
•
/l %eso combinado de los ti%os 1 debe ser al menos la mitad del %eso total del %aquete
•
!ualquier ti%o de %roducto H debe ser al menos el 10F del %aquete total# Ee desea encontrar la com%osici&n del %aquete que ocasione un costo mínimo
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA 1Una com%a)ía de trans%orte dis%one K400 000#00 %ara com%ra de nue"o equi%o considerando tres ti%os de "ehículos# /l "ehículo < %uede trans%ortar 10 toneladas con "elocidad %romedio de . Q=JL@<# el costo de K8000# /l "ehículo H con ca%acidad de 20 toneladas' 0 Q=JL@<# un costo de K1000# /l modelo ! de 18 toneladas 0 Q=JL@<# costo K1.000# /l equi%o < requiere una tri%ulaci&n de un hombre si se o%era durante tres turnos %or día' %uede trabajar un %romedio de 18 hrsJdía# 3os modelos H ! requieren una tri%ulaci&n de 2 hombres cJu mientras que H se %uede trabajar 18 horasJdía en turnos' ! %uede %romediar 21 horasJdía# 3a com%a)ía dis%one de 1.0 choferes %or día' debe e9ceder de 0# !untos "ehículos de cada ti%o debe com%rar la com%a)ía# Ei busca ma9imiar las toneladas-Im %or díaA $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA 1 Una com%a)ía fabrica 2 clases de cinturones de %iel# /l cintur&n < es de alta calidad' el H es de baja calidad# 3a ganancia res%ecti"a %or cintur&n es de K0#40 K0#0# !ada cintur&n de ti%o < requiere el doble del tiem%o que el que usa el de ti%o H' si todos los cinturones fueran de ti%o H' la com%a)ía %odría fabricar 1'000 al día# /l abastecimiento de %iel es suficiente únicamente %ara 800 cinturones diarios * < H combinados,# /l cintur&n < requiere una hebilla elegante' de las que solamente se dis%one de 400 diarias# Ee tiene únicamente 00 hebillas al día %ara el cintur&n H# /stableca las ecuaciones de %rogramaci&n lineal %ara el %roblema#
PROBLEMA 18 Un car%intero elabora mesas' sillas' escritorios libreros desea saber que cantidad de cada uno de ellos deber %roducir con objeto de ma9imiar sus ganancias' dado que cuenta con un suministro limitado de madera de dos ti%os una mano de obra tambin limitada# !uenta con 1.00 %ies de madera 5o# 1' 1000 %ies 2 de madera 5o# 2 800 hrs#-hombre# /9isten tambin ciertos com%romisos que el ha contraído %ara la fabricaci&n de algunos muebles# 3os datos de fabricaci&n son los siguientes: •
3as mesas consumen . %ies 2 de madera 5o# 1 2 %ies 2 de madera 5o# 2' así como hrs-hombre# /l car%intero se com%rometi& a fabricar 40 de estas mesas# 3a ganancia obtenida %or mesa es de K1200#00#
•
3as sillas consumen 1 %ie 2 de madera 5o# 1 %ies 2 de madera 5o# 2 requiere 2 hrs#hombre# /9iste el com%romiso de entregar 10 de ellas# 3a ganancia %or silla es de K.0#00
•
3os escritorios lle"an G %ies 2 de madera 5o# 1 4 %ies 2 de madera 5o# 2' necesitndose . hrs#-hombre# /9iste el com%romiso %or 0 de ellos# Oanancias %or escritorio de K1.0#00
•
/l car%intero sabe que %uede "ender todo lo que %roduca de mesas' sillas escritorios#
•
3os libreros utilian 12 %ies 2 de madera 5o# 1' 1 %ie 2 de madera 5o# 2 lle"an 10 hrs#hombre# /l sabe que %uede "ender como m9imo 10 libreros obtiene una ganancia de 100#00 %or cada uno#
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA 1> /l ;ng# Ruan $# Oonle dirige un rancho e9%erimental %ara la cría de cabras desea alimentar a sus animales correctamente a%ro"echando al m9imo sus recursos# !uenta con 10 sementales 00 animales de "ientre %osee informaci&n de sus necesidades alimenticias en %roductos bsicos así como en la a%ortaci&n de esos %roductos# !alorías de 2'600 a 2'800 unidades diarias (or cabra al día
(roteínas de 1'600 a 2'000 unidades diarias =inerales de 0 a 8G0 unidades diarias Sitamina < de 8'000 a G'000 unidades diarias Qilos de alimento de #. a 6#0 Iilos
Sitamina 1#20
2#0
Eorgo
0#0
(astura
#G0
Unidad !om%uesta
(roteína
=inerales
Sitamina
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal %ara determinar qu cantidad de cada alimento debe estar contenida en la mecla' %ara minimiar los costos de alimentaci&n#
PROBLEMA 1? 3a com%a)ía EN=/+ %roduce refrigeradores' estufas la"adoras# urante el a)o entrante se eso era que las "entas sean las siguientes:
Prod#%o Re7ri$eradores Es#7as Lavadoras
6rimesre 1
*
+
,
2000 1.00 1000
1.00 1.00 000
000 1000 1.00
1000 1.00 000
3a com%a)ía desea %rogramar su %roducci&n %ara que cada trimestre satisfaga los requisitos de demanda# 3a gerencia ha decidido que el ni"el de in"entario %ara cada %roducto sea de al menos 100 unidades al final de cada trimestre#
PROBLEMA *= Una em%resa desea %ublicitar un %roducto nue"o en base a un %resu%uesto de K600'000 que se %uede in"ertir en tele"isi&n re"istas# !ada comercial de tele"isi&n cuesta K8'000 se estima que lo "en 100'000 %ersonasP %or otro lado' cada anuncio de re"ista cuesta K4'000 se estima que lo "en 2.'00 %ersonas# a sea decidido colocar cuanto menos tres anuncios en re"istas#
PROBLEMA *1 $<@=< tiene tres %lantas de %roducci&n 2 centros de distribuci&n# 3as ca%acidades de %roducci&n de las %lantas <' H' !' las demandas de los centros de distribuci&n ' /' así como los costos de flete' se dan han la matri incom%leta de trans%orte# /9isten adems las siguientes condiciones: la %lanta < nunca abastece el centro de consumo # (or otra %arte la %roducci&n que se queda en las %lantas origina costos de almacenamiento %or cada unidad# /n la %lanta < K10' en la H K20 en la ! K.#
/
<
$
.0
1000
H
0
40
.00
!
20
60
800
1200
800
!on esta informaci&n: •
!om%letar la tabla
•
Nbtener la soluci&n &%tima#
PROBLEMA ** $ormular el modelo de %rogramaci&n lineal que o%timiaría el costo en la %re%araci&n de un alimento %ara cerdos que requiere las condiciones nutricionales las materias %rimas integrantes de la mecla' que se dan en la tabla# /n la misma tabla se %resentan los costos de cada materia %rima#
Maeria !rima diaria Car(oidraos Proeínas 'iaminas Coso 42$
$. mai&
$. $rasas
$. al7al7a
Re". mínimo
G0 0 10
20 80 20 8
40 60 60 6
200 180 1.0
•
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal corres%ondiente
•
;dentifique un caso es%ecial del sim%le9' e9%licando el %orque se manifiesta#
PROBLEMA *+ Una %astelería debe hacer dos ti%os de %asteles en sabores de chocolate fresa' los cuales tienen una utilidad de K.. K40 res%ecti"amente# /l %astel de chocolate requiere 4. minutos de horneado 10 hue"osP %ara el %astel de fresa se requiere de . minutos de horneado 8 hue"os# (ara tal %ro%&sito se dis%one de 16 horas de horneado 200 hue"os#
PROBLEMA *, 3a fabrica de muebles V
Serifique las unidades de cada una de las relaciones del modelo %rimal
•
etermine las unidades de las "ariables duales Serifique la unidades de cada relaci&n del modelo dual#
Re%#rsos Madera m*
Esriorio
6a(la de re%#rsos Mesas
Sillas
8
6
1
A%a(ado rs.
4
2
1#.
Car!inería rs.
2
1#.
0#.
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal
PROBLEMA *-
Una %ersona fabrica "ende dos ti%os de bombas hidrulicas' bomba normal e9tragrande# /l %roceso de manufactura asociado con la fabricaci&n de bombas im%lica tres acti"idades: /nsamblado' %intura %ruebas *control de calidad,# 3os requerimientos de recursos %ara ensamble' %intura %ruebas de las bombas se muestran en la siguiente tabla# 3a contribuci&n a las utilidades %or la "enta de una bomba normal es K.0#00 en tanto que la utilidad %or una bomba e9tragrande es %or la "enta de una bomba e9tragrande es K.#00# /9iste dis%onibles %or semana 4800 horas de tiem%o de ensamble' 1G80 horas de tiem%o de %intura G00 horas de tiem%o %rueba# 3as e9%eriencias anteriores de "enta se)alan que la com%a)ía es%era "ender cuando menos 00 bombas normales 180 de las e9tragrandes %or semana#
6i!o
Ensam(le
6iem!o de !inado
Pr#e(a
Normal
#6
1#6
0#6
Era$rande.
4#8
1#8
0#6
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA * Hanco =onterre se encuentra en el %roceso de formular su %olítica de %rstamos %ara el %r&9imo trimestre# (ara ese fin se asigna un total de K12 millones# Eiendo una instituci&n de ser"icios integrales' est obligado a otorgar %rstamos a di"ersos clientes# 3a tabla que sigue se)ala los ti%os de %rstamos' la tasa de inters que cobra el Hanco la % osibilidad de que el cliente no cubra sus %agos' irrecu%erables o incobrables' según se estima %or e9%eriencia#
6i!o de !r@samo Personal A#omovil Casa a(ia%i0n A$rí%ola Comer%ial
6asa de iner@s
Pro(a(ilidad de in%o(ra(les
0#140 0#10 0#120 0#12. 0#100
0#10 0#0 0#0 0#0. 0#02
Ee su%one que los %agos que no se cubren son irrecu%erables ' %or lo tanto' no %roducen ingresos %or conce%to de intereses# 3a com%etencia con otras instituciones financieras del rea requiere que el Hanco asigne cuando menos el 40F de los fondos totales a los %rstamos agrícolas comerciales# (ara dar asistencia a la industria de la habitaci&n en la regi&n# los %rstamos %ara casa habitaci&n deben ser iguales cuando menos al .0F de los % rstamos %ersonales' %ara autom&"il %ara casa habitaci&n# /l banco tiene asimismo' una %olítica establecida que es%ecifica que la relaci&n global de %agos irrecu%erables no %ueden ser su%erior a 0#04# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA *8 Un %eque)o banco asigna un m9imo de K20000 %ara %rstamos %ersonales %ara autom&"il durante el mes siguiente# el banco cobra una tasa de inters anual del 14F a %rstamos %ersonales del 12F a %rstamos %ara autom&"il# !omo deben asignarse los fondosA# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA *> Rugos Segetales tiene un contrato anterior %ara recibir 60 000 Qilos de tomates maduros a KJQg# de las cuales %roducir jugo de tomate %ur de tomate enlatados# 3os %roductos enlatados se em%acan en cajas de 24 latas cada una# Una lata de jugo requiere W Iilo de tomates frescos en tanto que una de %ur requiere s&lo 1J6 Qg# 3a %artici&n de la com%a)ía en el mercado est limitada a 2000 cajas de jugo 6000 cajas de %ur# los %recios al maoreo %or caja de %ur son K18 KG' res%ecti"amente# Oenere un %rograma de %roducci&n %ara esta com%a)ía# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA *? Una %lanta armadora de radios %roduce dos modelos' 1 2 en la misma línea de ensamble# la línea de ensamble consta de estaciones# 3os tiem%os de ensamble en las estaciones de trabajo son:
Min#os !or #nidad Esa%i0n de ra(ao 1 * +
1
*
6 . 4
4 . 6
!ada estaci&n de trabajo tiene una dis%onibilidad m9ima de 480 minutos %or día# Ein embargo' las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario' que contribue al 10F' 14F 12F de los 480 minutos totales de que se dis%one diariamente %ara las estaciones 1' 2 ' res%ecti"amente# 3a com%a)ía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarn del modelo 1 2 a fin de minimiar la suma de tiem%os no ocu%ados *inacti"os, en las tres estaciones#
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA += Una com%a)ía de %roductos electr&nicos %roduce 2 modelos diferentes de radios' cada uno en una línea de %roducci&n de "olumen diferente# 3a ca%acidad diaria de cada línea es de 60 . radios res%ecti"amente# !ada unidad del %rimer modelo utilia 10 %ieas de cierto com%onente electr&nico en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere 8 %ieas del mismo com%onente# 3a dis%onibilidad diaria m9ima del com%onente es%ecial es de 800 %ieas# 3a ganancia %or unidad de los modelos 1 2 es K0 K20' res%ecti"amente# etermine la %roducci&n diaria &%tima de cada modelo de radio# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA +1 os %roductos se elaboran al %asar en forma sucesi"a %or tres mquinas# /l tiem%o %or mquina asignado a los 2 %roductos esta limitado a 10 horas %or día# /l tiem%o de %roducci&n la ganancia %or unidad de cada %roducto son:
Prod#%o 1 *
Min#os !or #nidad M<"#ina 1 M<"#ina * M<"#ina + 10 .
6 20
8 1.
9anan%ia 2#00 #00
etermine la combinaci&n &%tima de los dos %roductos# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA +* Una com%a)ía %uede anunciar su %roducto mediante el uso de estaciones de radio tele"isi&n locales# Eu %resu%uesto limita los gastos en %ublicidad a K1000 %or mes# !ada minuto de anuncio en la radio cuesta K. cada minuto de %ublicidad en tele"isi&n cuesta K1000# 3a com%a)ía desearía utiliar la radio cuando menos 2 "eces ms que la tele"isi&n# 3a e9%eriencia %asada muestra que cada minuto de %ublicidad %or tele"isi&n genera en trminos generales 2. "eces ms "entas que cada minuto de %ublicidad %or la radio# etermine la asignaci&n &%tima del %resu%uesto mensual %ara anuncios %or radio tele"isi&n#
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA ++ Una com%a)ía elabora 2 ti%os de sombreros# !ada sombrero del %rimer ti%o requiere dos "eces ms tiem%o de mano de obra que un %roducto del segundo ti%o# Ei todos los sombreros son e9clusi"amente del segundo ti%o' la com%a)ía %uede %roducir un total de .00 unidades al día# /l mercado limita las "entas diarias del %rimero segundo ti%os a 1.0 200 unidades# Eu%&ngase que la ganancia que se obtiene %or %roducto es de K8 %ara el ti%o 1 K. %ara el ti%o 2# etermine el número de sombreros de cada ti%o que deben elaborarse %ara minimiar la ganancia# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA +, Una com%a)ía manufacturera descontinu& la %roducci&n de cierta línea de %roductos no redituable# /sto cre& un e9ceso considerable en la ca%acidad de %roducci&n# 3a gerencia requiere dedicar esta ca%acidad a uno o ms de tres %roductosP llmense %roductos 1' 2 # /n la siguiente tabla se resume la ca%acidad dis%onible de cada mquina que %uede limitar la %roducci&n:
6i!o de m<"#ina /resadora 6orno Re%i7i%adora
6iem!o dis!oni(le 3en oras ; m<"#ina !or semana5 .00 .0 1.0
/l número de horas-mquina que se requiere %ara cada unidad de los %roductos res%ecti"os es: !oeficiente de %roducti"idad *en horas-mquina %or unidad,
6i!o de m<"#ina /resadora 6orno Re%i7i%adora
Prod#%o 1
Prod#%o *
Prod#%o +
G .
4
. 0
0
2
/l de%artamento de "entas ha indicado que las "entas %otenciales %ara los %roductos 1 2 e9ceden la tasa m9ima de %roducci&n que las "entas %otenciales del %roducto son 20 unidades %or semana# 3a ganancia unitaria sería de K.0' K20 K2.' res%ecti"amente' %ara los %roductos 1' 2 # /l objeti"o es determinar cuntos %roductos de cada ti%o debe %roducir la com%a)ía %ara ma9imiar la ganancia#
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA +Un fabricante de tele"isores tiene que decidir el número de unidades de 2 20 %ulgadas que debe %roducir en una de sus %lantas# 3a in"estigaci&n de mercado indica que se %ueden "ender a lo ms 40 unidades de 2 %ulgadas 10 unidades de 20 %ulgadas cada mes# /l número m9imo de horas de trabajo dis%onibles es .00 %or mes# Un tele"isor de 2 %ulgadas requiere 20 horas de trabajo uno de 20 %ulgadas requiere 10 horas de trabajo# !ada unidad de 2 %ulgadas "endida %roduce una ganancia de K120 cada de 20 %ulgadas %roduce una ganancia de K80# Un distribuidor est deacuerdo en com%rar todos los tele"isores %roducidos si los números no e9ceden los m9imos indicados %or la in"estigaci&n de mercado# •
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal
•
@esuel"a este modelo grficamente
PROBLEMA + Una com%a)ía fabrica tres %roductos que requieren recursos ( ?# 3a gerencia requiere determinar cuntas unidades de cada %roducto fabricar de manera que se ma9imice' la ganancia# (ara cada unidad del %roducto 1 se requiere 1 unidad del recurso ( 2 unidades del recurso ?# (ara cada unidad del %roducto 2 se requieren unidades del recurso ( 2 del recurso ?# 3a com%a)ía tiene 200 unidades del recurso ( 00 del recurso ?# !ada unidad del %roducto 1 da una ganancia de K1 cada unidad del %roducto 2' hasta 60 unidades' da una ganancia de K2# 5o se obtienen ganancias %or fabricar ms de 60 unidades del %roducto 2' el e9ceso deber desecharse# •
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal
•
@esuel"a este modelo grficamente >!ul es la ganancia total que resultaA
PROBLEMA +8 Una com%a)ía de seguros est introduciendo dos nue"as líneas de %roductos: seguro de riesgos es%eciales e hi%otecas# 3a ganancia es%erada es . %or unidad sobre el seguro de riesgos es%eciales 2 %or unidad sobre hi%otecas# 3a administraci&n requiere establecer las cuotas de
"enta %ara las nue"as líneas de %roductos al fin de ma9imiar la ganancia es%erada# los requerimientos de trabajo son los siguientes:
De!aramenos dis!oni(les Pro%esamieno Adminisra%i0n
Horas de ra(ao !or #nidad Ries$o es!e%ial Hi!oe%as Horas de ra(ao
Re%lama%iones
0
2 1
2400 800
2
0
1200
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA +> Usted es el gerente de %roducci&n de una fbrica de tres ti%os de refacciones %ara autom&"iles# 3a fabricaci&n de cada %arte requiere %rocesamiento en dos mquinas' con los siguientes tiem%os de %rocesamiento *en horas,:
M<"#ina 1 *
A 0#02 0#0.
Re7a%%i0n B 0#0 0#02
C 0#0. 0#04
!ada mquina esta dis%onible 40 horas al mes# 3a ganancia unitaria de cada %arte fabricada est dada %or:
M<"#ina 1
A .0
Re7a%%i0n B 40
C 0
Usted quiere determinar la mecla de refacciones que debe %roducir %ara ma9imiar la ganancia total# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal %ara este %roblema#
PROBLEMA +? 3a siguiente tabla resume los hechos im%ortantes sobre dos %roductos' < H' los recursos ?' @ E' requeridos %ara %roducirlos#
Re%#rsos dis!oni(les R S 9anan%ia !or #nidad
Re%#rsos #ili&ados !or #nidad de !rod#%os Prod#%o A Prod#%o B Canidad re%#rsos 2 1
1 2 2
2 2 4
odas las su%osiciones de %rogramaci&n lineal se cum%len •
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal
•
@esuel"a este modelo grficamente
PROBLEMA ,= Eu%onga que acaba de heredar K6000 desea in"ertirlos#
PROBLEMA ,1 Un !entro !omercial "ende 2 ti%os de bebidas no alcoh&licas: el refresco de cola comercial la marca %ro%ia del refresco de cola' ms econ&mica# /l margen de utilidad del %rimero es de . centa"os %or lata' mientras que la utilidad del segundo suma una ganancia bruta de centa"os %or lata# /n %romedio' el centro !omercial no "ende mas de .00 latas de ambas bebidas de cola al día#
•
>!uantas latas de cada marca debe tener en e9istencia el centro comercial diariamente %ara ma9imiar su utilidadA
•
$ormule un modelo de %rogramaci&n lineal
PROBLEMA ,* Una !om%a)ía ensambla 2 ti%os de gabinetes de cocina de madera %recortada : regulares el de lujo# 3os gabinetes regulares estn %intados de blanco los de lujo estn barniados# anto la %intura como el barniado se lle"a acabo en un de%artamento# 3a ca%acidad diaria del de%artamento de ensamble %uede %roducir un m9imo de 200 gabinetes regulares 1.0 de gabinetes de lujo# /l barniado de un gabinete de lujo se lle"a el doble de tiem%o que %intar uno regular# Ei el el de%artamento de %inturaJbarniado se dedica únicamente a las unidades de lujo' terminaría 180 unidades diarias# 3a com%a)ía calcula que las utilidades %or unidad de los gabinetes regulares de lujo son de 100 140 d&lares' res%ecti"amente# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal encuentre el %rograma de %roducci&n &%tima %or día#
PROBLEMA ,+ 3aboratorios (inol fabrica dos %roductos de lim%iea %ara el hogar' < H' %rocesando dos ti%os de materia %rima ;; # /l %rocesamiento de una unidad de materia %rima cuesta 8 d&lares %roduce #. unidad de soluci&n H#
PROBLEMA ,, !oo%erati"a elctrica =onclo"a' es %ro%ietaria de una %lanta generadora de energía con turbinas de "a%or# ebido a que =onclo"a es rica en de%&sitos de carb&n' la %lanta genera "a%or con carb&n# sin embargo' esto crea el %roblema de satisfacer los estndares de emisi&n# 3as regulaciones de la
%onderado de la %ro%orci&n de grado em%leado en la mecla# 3os siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada %or hora de cada uno de los dos grados de carb&n#
9rado de %ar(0n C1 C*
Des%ar$a de are en !arres !or mill0n
Des%ar$as de #mo en li(ras !or ora
'alor $enerado en li(ras !or ora
1800 2100
2#1 0#G
12'000 G'000
•
etermine la %ro%orci&n &%tima %ara meclar los dos grados de carb&n#
•
etermine el efecto de relajar el límite de descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de "a%or generado %or hora#
PROBLEMA ,3a i"isi&n de /ducaci&n !ontinua ofrece un total de 0 cursos cada semestre# 3os cursos que ofrece generalmente son de dos ti%os: %rcticos' como trabajos de madera' %rocesador de %alabras mantenimiento de autom&"iles humanísticos' como historia' música bellas artes# (ara satisfacer las demandas de la comunidad' es necesario ofrecer %or lo menos 10 cursos de cada ti%o' cada semestre# 3a i"isi&n calcula que los ingresos %or ofrecer esos cursos %rcticos humanísticos son a%ro9imadamente 1.00 1000 d&lares %or curso' res%ecti"amente# $ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA ,
Disri(#%i0n 3FG5 Disri(#idor D./. •
a%a! Jalis%o
O%ol
6ol#%a
Disrio /ederal
2.0
..0
200
80
$ormule el modelo de %rogramaci&n lineal#
PROBLEMA ,8 /n Haname9 se requiere el siguiente número de %ersonal %ara dar so%orte a la red de esta instituci&n:
Horas Personas
*;
;1=
1=;1,
1,;1>
1>;**
**;*
6
10
4
10
.
!ada %ersona labora 8 horas consecuti"as al día# $ormular el %roblema de %rogramaci&n lineal si se desea obtener el número mínimo de %ersonal %ara la satisfacci&n de las anteriores restricciones#