Universidad Carlos III
Microeconomía
LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR I. Preferencias
1. Indique por qué las siguientes a…rmaciones son ciertas cuando las preferencias del consumidor satisfacen los axiomas A1 A3: a) Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. b) Por cada combinación de bienes debe pasar una curva de indiferencia. c) No puede haber curvas de indiferencia “gruesas”. d) Dos curvas de indiferencia no pueden cortarse. 2. Suponga que la mercancía x es un bien y la y es un mal para el individuo A. a) Dibuje varias curvas de indiferencia para ese individuo. b) Represente curvas de indiferencia del individuo A y de otro individuo B al que le disgusta el consumo de y más que al individuo A. 3. “Cuantas más películas de Jodi Foster veo, más me gustan”. Para la persona que tiene esas preferencias, ¿cómo cambia la RMS entre ese bien y el resto de los demás bienes a medida que aumenta la cantidad consumida de películas de esa actriz? Ilustre su respuesta trazando dos curvas de indiferencia para esa persona. 4. “Siempr “Siempree necesito necesito 1,000 miligramo miligramoss de Tylenol ylenol para para obtener obtener el mismo mismo alivio de mis dolores que lo que consigo con 500 miligramos de Aspirina”. Represente algunas curvas de indiferencia para esta persona para las mercancías Tylenol y Aspirina. 5. “Me gustan mis martinis con una parte de vermouth y 5 de ginebra”. Represente algunas curvas de indiferencia para esta persona para las mercancías vermouth y ginebra. 6. Ejercicios 1 y 2 del Cap. 3 de PR, p. 101. II. Funciones de Utilidad, Restricción Presupuestaria 7. a) Suponga que las preferencias preferencias de un individuo vienen representad representadas as por la función p u (x; y ) = xy . Represente grá…camente la curva de de utilidad, expresada en útiles , u( indiferencia correspondiente a 9 útiles. p Repres b) Considere la función de utilidad, en vútiles , v(x; y ) = 2 xy. Repr esen ente te la curva de indiferencia correspondiente a 18 vútiles. p c) Considere la función de utilidad, en rútiles , r(x; y) = 4 + 3 xy. Represente la curva de indiferencia correspondiente a 31 rútiles. d) Considere la función de utilidad, en lútiles, l(x; y ) = xy. Represente Represente la curva curva de indiferencia correspondiente a 81 lútiles. e) Calcule la RMS entre los dos bienes para las funciones anteriores. 8. a) Se han pesado dos objetos. El primero pesa 50 Kg. y el segundo 55Kg. Como 55= 55=50 = 1; 1; 1, se dice: dice: “el segu segundo ndo objeto objeto pesa el 10% más más que el primer primero”. o”. ¿Se ¿Se mantiene esta a…rmación si el peso se hace en libras? b) Se ha medido la temperatura de dos objetos. La del primero es 50 o Farenheit y la del segundo es 55 o Farenheit. Se a…rma: “el segundo objeto tiene una temperatura 1
el 10% mayor que el primero”. ¿Se mantiene esta a…rmación si la medición se hace en grados centígrados? La temperatura de un tercer objeto es 65o Farenheit. Se dice: “la diferencia de temperatura entre el tercer y el segundo objeto es el doble de la existente entre el segundo y el primer objeto. c) Para un consumidor que satisface los axiomas A1 A3, se dispone del nivel de utilidad de dos combinaciones de bienes. El de la primera es 50 útiles y el de la segunda 55 útiles. Se dice: “la segunda combinación proporciona el 10% más de utilidad que la primera”. ¿Se mantienen esta a…rmaciones si la medición se hace en lútiles? Nota: para obtener lútiles, se eleva al cuadrado la medición en útiles. La utilidad de una tercera combinación de bienes es 65 útiles. Se dice: “la diferencia de utilidad entre la tercera y la segunda combinación de bienes es el doble de la existente entre la segunda y la primera”. ¿Se mantiene esta a…rmación si la medición se hace en lútiles? Finalmente, se dice: “la tercera combinación proporciona más bienestar que la segunda y ésta, a su vez, más bienestar que la primera”. ¿Se mantiene esta a…rmación si la medición se hace en lútiles? 9. Suponga que el precio del gas natural es de 0,05 euros/metro cúbico y el precio de la electricidad es de 0,06 euros/kilovatio hora (KW/H). Sin embargo, después de comprar 1000 KW/H, el precio de un KW/H adicional baja a 0,03 euros. Si el consumidor dispone de 120 euros para gastar en energía, dibuje su conjunto presupuestario. 10. RENFE pone a la venta un pase que permite a los estudiantes obtener un descuento porcentual en las tarifas normales de tren. a) Dibujar la restricción presupuestaria de un estudiante antes y después de comprar el pase (poniendo en el grá…co el bien “viajes en tren” en el eje horizontal, y “todos los demás bienes” en el eje vertical). b) Discuta la veracidad o falsedad de las siguiente a…rmación: “si un estudiante es indiferente entre comprar el pase o pagar la tarifa ordinaria, gastará más en viajes en tren si decide comprar el pase”. 11. En algunas comunidades, las tarifas por el uso del agua siguen el siguiente esquema: para recibir agua en absoluto es imprescindible pagar una tasa mínima inicial T , que permite al individuo el consumo de una cierta cantidad de agua x1 sin coste adicional. Entre esa cantidad y x2 debe pagar cada litro de agua a px unidades, mientras que para cantidades mayores de x2 paga p x < px . a) Represente la restricción presupuestaria correspondiente. b) ¿Cree que puede existir un individuo que no consuma nada de agua por esta vía? c) Dado que un individuo ha pagado la tasa T , ¿ esperaría Vd. que consuma menos de x 1 litros de agua? d) Cree que es posible que, bajo los axiomas A1 A4, el individuo sea indiferente entre dos niveles distintos de consumo de agua (y las demás cosas)? 12. Ejercicios 3, 4, 6, 7 y 8 del Cap. 3 de PR, p. 101. III. Solución al problema del consumidor, funciones de demanda 13. Un consumidor posee cantidades positivas de dos bienes x e y, y su relación marginal de sustitución es 4. Si en el mercado el bien x se comercia a 4 euros y el 0
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bien y a 2 euros, explique que podrá hacer este consumidor para aumentar su utilidad. 14. La función de utilidad de un consumidor es u(x; y) = xy 2 . a) Calcule la cesta de bienes óptima para unos precios y renta ( px ; py ; I ) = (3; 3; 100). b) Halle sus funciones de demanda, x( px ; py ; I ) e y( px; py ; I ). c) Determine las curvas de Engel cuando ( px ; py ) = (3; 3) y cuando ( px ; py ) = (1; 2): Represente las curvas de Engel del bien x en un mismo grá…co para los dos vectores de precios. ¿Son x e y bienes normales o inferiores? d) Calcule y represente grá…camente las curvas de demanda del bien x para (I; py ) = (100; 3) y (I; py ) = (500; 3). ¿Son x e y bienes sustitutivos o complementarios? 15. Un consumidor tiene unas preferencias descritas por la función de utilidad u(x; y) = y + 10ln x, su renta monetaria es I = 80 euros y los precios de los bienes son p x = 1 y p y = 2. a) Calcule la cesta de bienes óptima. b) Halle sus funciones de demanda, x( px ; py ; I ) e y( px; py ; I ). c) Obtenga y explique el efecto renta y el efecto sustitución cuando el precio de x pasa a ser 2. ¿Qué tipo de bien es x? ¿Cómo son los bienes entre si? 16. Un consumidor tiene unas preferencias descritas por la función de utilidad u(x; y) = 2x + y; y dispone de una renta monetaria I = 15 euros. a) Determine y represente la cesta óptima del consumidor cuando los precios de los bienes son ( px ; py ) = (1; 2) ; cuando son ( px; py ) = (3; 1) y cuando son ( px ; py ) = (2; 1). b) Calcule las funciones de demanda ordinarias. 17. Un individuo dispone de una renta I = 200 euros para la compra de agua (x) y alimento (y ), cuyos precios son px = 4 y py = 2. Sus preferencias sobre estos dos bienes están representadas por la función de utilidad u(x; y) = minfx; y g. a) Dibuje varias de sus curvas de indiferencia y la restricción presupuestaria del consumidor. Identi…que la elección óptima. b) Suponga que el individuo debe pagar un impuesto t = 1 euro por cada unidad en exceso de 10 unidades. Esto es, si por ejemplo consume 12 unidades de agua las 10 primeras le cuestan a p x = 4 euros/unidad y las 2 restantes le cuestan a p x + t = 5 euros/unidad. Repita el ejercicio a) en las nuevas condiciones. 18. Las preferencias de un consumidor-trabajador sobre ocio (h) y consumo (c) están representadas por la función de utilidad u(h; c) = c3 h. Dispone de 24 horas diarias para dedicar al trabajo y/o al ocio y percibe una renta no salarial de 360 euros al día. a) ¿Cuántas horas trabajará a un salario de 4 euros por hora? b) ¿Cuántas horas trabajará a un salario de 9 euros por hora? ¿Y a uno de 11,25 euros por hora? c) Determine a partir de qué salario por hora está dispuesto a trabajar una cantidad de tiempo positiva. d) Determine el efecto renta y el efecto sustitución de un aumento en el salario por hora de 9 a 11.25 euros. 0
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19. Las preferencias de un consumidor sobre los bienes x e y satisfacen las propiedades habituales. Además, x es un bien inferior para este consumidor. a) Dada la renta monetaria, I , y el precio de y , py , derive grá…camente la curva de demanda de x en función de su propio precio a partir de las soluciones óptimas en el plano (x; y). b) Suponga que la renta monetaria aumenta. Derive grá…camente la nueva curva de demanda. 20. Jaime tiene 5 años. Odia las acelgas y le encanta el chocolate. a) Los padres de Jaime le permiten tomar dos barras de chocolate al día y una barra de chocolate adicional por cada 20 gramos de acelgas que consuma. Además, se sabe que el niño consume cantidades positivas de ambos bienes. Represente grá…camente la solución al problema de Jaime. b) Supongamos que los padres del niño no le permiten las dos barras de chocolate gratis al día, pero le siguen ofreciendo la posibilidad de adquirir chocolate en los mismos términos que en el párrafo anterior. Bajo el supuesto de que el chocolate es un bien normal para Jaime, ¿puede usted decir si su consumo de acelgas aumentaría o disminuiría respecto a la situación a)? ¿Varía su respuesta si se le informa que las acelgas son un “mal inferior” para este niño? c) Suponga ahora que, a partir de la situación inicial, los padres ofrecen una barra y media de chocolate por cada 20 gramos de acelgas. Represente el efecto sustitución y el efecto renta de este cambio del precio del chocolate en términos de las acelgas. d) ¿Consumirá Jaime más acelgas en la situación c) que en la a) si el chocolate es un bien normal? ¿Varía su respuesta si se le informa que las acelgas son un bien inferior para este niño? 21. Se tiene la siguiente información sobre los precios de mercado de dos bienes x e y; y la sobre renta y las elecciones de un consumidor para estos precios renta. px 4 2 1 2 3 2 4 7 2 1 2 1 py 5 2 1 2 2 1 2 7 5 2 2 5 I 28 16 18 20 24 20 28 28 20 16 24 29 x 3,5 4 9 5 4 5 3,5 2 5 8 6 10 y 2,8 4 9 5 6 10 7 2 2 4 6 2
a) Representar grá…camente el máximo de puntos posibles de una curva de demanda ordinaria del bien y . b) Representar grá…camente el máximo de puntos posibles de una curva de rentaconsumo e indicar si los bienes x y y son normales o inferiores. 22. Las preferencias de un individuo sobre dos bienes x e y tienen las propiedades habituales. Cuando px = p y = 1 consume las cantidades x 1 e y1 , mientras que cuando px = 1; 3 y p y = 1 consume las cantidades x 2 e y 2 , donde x 1 = x 2 . Luego x es un bien normal. ¿Verdadero o falso? Justi…que grá…camente su respuesta. 23. Suponga que las preferencias por los bienes x e y por parte de dos personas a y b que forman un matrimonio vienen dadas por la función de utilidad u(x; y) = xy. 4
Estas personas obtienen la renta ra = 200 euros y rb = 100 euros, de manera que la renta total de la pareja es r = 300 euros. Los precios de ambos bienes son px = p y = 1. a) Suponga que se maximizan las preferencias comunes sometidas a la restricción presupuestaria matrimonial. Veri…que que cuando ra o rb aumentan en 50 unidades el matrimonio adoptará la misma decisión. b) Suponga ahora que las preferencias de la persona a están representadas por la función de utilidad ua (x; y) = xy, mientras que las de b por ub (x; y) = x2 . Suponga también que el matrimonio adopta ahora sus decisiones de acuerdo con la suma ponderada de ambas funciones de utilidad, con ponderaciones 1 y r b =r; respectivamente; es decir, la función de utilidad matrimonial es ahora igual a u(x; y) = xy + rr x2 . Veri…que que cuando r a aumenta en 50 euros el matrimonio adopta ahora decisiones distintas que cuando r b aumenta en 50 euros. 24. Un consumidor tiene unas preferencias descritas por la función de utilidad u(x; y) = 2xy . a) Determinar y representar la cesta óptima del consumidor si su renta es I = 15 y los precios de los bienes son px = 2 y py = 3. b) Calcular la curva de demanda del bien y . ¿Cuál es la elasticidad-precio de este bien? c) Calcular el efecto renta y el efecto sustitución sobre el bien x de un aumento del precio del bien x hasta p x = 3. d) ¿Es el bien x inferior o normal? ¿Es un bien gi¤en ? e) Representar la curva de Engel de x para p x = 2 y p x = 3. 25. Un consumidor considera los bienes x e y complementarios perfectos . Suponga que el precio del bien x desciende y, como consecuencia, la cantidad demandada de x aumenta en una unidad. Determine los efectos renta y sustitución sobre la cantidad demandada del bien x . 26. Las preferencias de un consumidor sobre los bienes x e y están representadas por la función de utilidad u(x; y) = x 2 y. a) Calcule el sistema de funciones de demanda, x( px ; py ; I ); y( px ; py ; I ). b) Represente el conjunto presupuestario del consumidor y calcule su cesta de bienes óptima para precios ( px ; py ) = (2; 1) y renta I = 36: c) Calcule los efectos renta y sustitución sobre la cantidad demanda del bien x de un aumento del precio de x a px = 4: 27. Ejercicio 12 del Cap. 3 de PR, p. 102, y 1, 2 y 8 del Cap. 4, p. 138-139. 28. Las preferencias de Lucas sobre ocio y consumo están representadas por la función de utilidad u(h; c) = c (10 h)2 . Lucas dispone de 24 horas diarias para dedicar al trabajo y/o al ocio y no dispone de otra renta que la que obtenga de su trabajo. a) Si el salario real es 20 euros por hora, ¿Cuántas horas trabajará y cuánto consumo demandará al día? b) Obtenga las funciones de oferta de trabajo y demanda de consumo. c) Calcule el efecto renta y el efecto sustitución sobre la demanda de ocio de un impuesto del 20 % sobre los ingresos salariales. b
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29. Un consumidor-trabajador dispone de 15 horas al día para el ocio y el trabajo y no tiene otra fuente de renta que obtenga de su trabajo. Sus preferencias sobre consumo (c) y ocio (h) están representadas por la función de utilidad u(h; c) = ch + 2h. El precio del bien de consumo es 1 euro/unidad. a) Determine el equilibrio de este individuo cuando el salario por hora de trabajo es de 4 euros. b) Suponga ahora que el salario por hora es de 2 euros y determine el nuevo equilibrio. c) Determine los efectos sustitución y renta sobre las horas trabajadas (o las de ocio) de una variación del salario. 30. Una persona que trabaja 2.000 horas por año a un salario de 18 euros/hora. a) Represente grá…camente su elección de equilibrio y señale cuál es el subsidio anual de desempleo que le inducirá a no trabajar en absoluto. b) Oímos a menudo que el subsidio de desempleo desincentiva la búsqueda de empleo. Represente una persona para la que éste es el caso. Esto es, elija un salario y un subsidio tales que la persona pre…ere no trabajar. c) A la vista de sus respuestas a las preguntas anteriores, ¿cómo es que en un país con subsidio de desempleo hay alguien que desea trabajar? 31. Comente y analice grá…camente las tres situaciones siguientes: a) Alberto dedica 40 horas semanales a trabajar y 10 a ocio. Si le ofreciesen un subsidio de desempleo de 500 euros a la semana decidiría no trabajar. b) María cobra un salario de 12 por hora, trabaja 20 horas y dedica 30 a ocio. Su empresa quiere que trabaje más. Para ello le ofrece el siguiente plan: si trabaja más de 30 horas le darán una cantidad …ja de 30 euros además de su salario. Sin embargo, María decide seguir trabajando 20 horas. c) Marta trabaja 10 horas independientemente de lo que le paguen. 32. Pedro tiene unas preferencias sobre consumo de bienes, c , y ocio, h; descritas por la siguiente función de utilidad u(h; c) = h(c + 2). Su dotación total de tiempo es T = 18 horas, que bien puede dedicar a ocio o a trabajo a cambio de un salario w euros por hora trabajada. Suponga que el precio del bien de consumo es igual a la unidad. a) Represente grá…camente alguna curva de indiferencia. b) Calcule y represente la curva de oferta de trabajo de Pedro. c) ¿Qué cantidad de horas decidiría trabajar y que cantidad dedicar a ocio si el salario es w = 1=6? d) Un pariente lejano de Pedro muere dejándole una herencia de H = 1 euro. ¿Qué ocurrirá con la curva de oferta de trabajo y la cantidad de horas que está dispuesto a trabajar si el salario sigue siendo w = 1=6? Comente el resultado. 33. Robinson Crusoe vive de su trabajo. Obtiene trigo (t) a partir de su esfuerzo (e) p con arreglo a la función de producción t = f (e) = e. En tanto que consumidor, sus preferencias entre el trigo y el ocio (h) vienen representadas por la función de utilidad u(t; h) = th3 . Robinson dispone de 28 horas a la semana para repartir entre ocio y trabajo. a) ¿Cual es su combinación óptima de ocio, trabajo y trigo? 6
b) Suponga ahora que la tecnología de Robinson mejora, de manera que es posible obtener trigo con arreglo a la función de producción t = g(e) = e. ¿Trabaja más o menos que antes? c) ¿Cuál es el efecto renta y el efecto sustitución derivado de esta mejora en la tecnología? 34. Miguel, un estudiante de Economía, tiene unas preferencias sobre ocio y consumo descritas por la función de utilidad u(h; c) = (2c+2)h2 . El precio del bien de consumo es un euro por unidad. Para costearse sus gastos, Miguel trabaja en la Biblioteca tantas horas como quiere a un salario w = 1=9 euros por hora, siendo su dotación total de tiempo 24 horas. a) El Ministerio de Educación decide conceder una beca a Miguel, B = 1=3. Determine la elección óptima para Miguel antes y después de la concesión de la beca y represente el problema grá…camente. b) Alternativamente, las autoridades educativas diseñan un nuevo sistema de beca: conceden a Miguel la beca B = 1=3, pero por cada euro que gane trabajando, ésta se reduce en la misma cantidad. Calcule la elección óptima de Miguel con esta nueva beca y represéntela grá…camente. c) ¿Qué sistema es más barato para el Gobierno? ¿Qué sistema pre…ere el individuo? Razone sus respuestas. 35. Un empleado de una industria del metal quiere distribuir su tiempo disponible cada día en dos actividades: o bien trabaja y así podrá consumir bienes (al número de unidades del bien de consumo lo denotamos por c), o bien se dedica al ocio (al número de horas dedicadas al ocio lo denotamos por h). Este trabajador tiene unas preferencias representadas por la función de utilidad entre u(h; c) = h + ch. Su renta procede únicamente del trabajo y suponemos que el precio del bien de consumo es de un euro. La cantidad máxima que puede trabajar por día es de 16 horas. a) Derivar y representar grá…camente la curva de oferta de trabajo de este traba jador. ¿Para qué salario será no trabajar en absoluto una decisión óptima? b) El sindicato del metal decide implantar un seguro de desempleo que percibirán los trabajadores que no trabajen al cabo del día. Determinar grá…camente la restricción presupuestaria del empleado medio en esta situación, así como la cuantía del seguro de desempleo a partir de la cual este empleado dejaría de trabajar si el salario fuera igual a 3 euros por hora trabajada. 36. Pedro vive en Valladolid y tiene unas preferencias consumo-ocio representadas por la función de utilidad u(h; c). Pedro cuenta con unas renta no laboral de M euros y con una dotación diaria de tiempo igual a T horas. Cada día Pedro decide cuantas horas trabajar en una empresa situada en las afueras de la ciudad. Para llegar a la empresa tiene que tomar un autobús gratuito que tarda t horas en llegar al lugar de trabajo. Por cada hora de trabajo recibe un sueldo w euros y el precio de consumo es igual a un euro. a) Escriba el problema de elección de consumo y ocio al que se enfrenta Pedro teniendo en cuenta el coste en tiempo de ir a trabajar. Represente grá…camente su restricción presupuestaria y su cesta óptima de consumo y ocio. b) Pedro recibe una oferta de trabajo de Madrid para un puesto similar al suyo. 7
Le ofrecen un sueldo w > w aunque también los costes de desplazamiento diarios al lugar de trabajo son mayores, t > t. Represente la nueva restricción presupuestaria de Pedro y su elección ¿Aceptará siempre el trabajo en Madrid? Cuando éste sea el caso, descomponga grá…camente el cambio en la elección óptima en efecto renta, efecto sustitución y lo que podríamos llamar “efecto ciudad”. 37. Un consumidor tiene unas preferencias entre consumo (c) y ocio (h) representadas por la función de utilidad u(h; c) = c 0;3 h0;7 . El salario es igual a 14 euros por hora de trabajo y el precio del bien de consumo es 3 euros por unidad. Teniendo en cuenta las horas necesarias para dormir y tareas domésticas, el consumidor dispone de 15 horas al día para ocio y trabajo. a) Determine el consumo y las horas de trabajo en equilibrio. Denotemos por u 1 el nivel de utilidad correspondiente. b) Suponga ahora que existe un mínimo de subsistencia igual a 28 unidades día; es decir, es imprescindible para la supervivencia que se consuman como mínimo 28 unidades. Determine las horas trabajadas bajo esa restricción y el nivel de utilidad u2 alcanzado en esa situación. ¿Es u2 menor, mayor o igual a u1 ? Recuerde que es conveniente representar grá…camente el problema. c) ¿Qué renta no salarial habría que dar al consumidor para que alcanzara el nivel de consumo de subsistencia y el nivel de utilidad u 1? 38. Considere un mercado de trabajo perfectamente competitivo. Cada consumidortrabajador dispone de 1 unidad de tiempo (un día, por ejemplo) que puede dedicar al ocio y/o al trabajo, y tiene unas preferencias sobre ocio, h, y consumo, c; descritas por la función de utilidad u(h; c) = h + ln c: Además de su renta salarial, el consumidor dispone de una renta no salarial de M euros (es decir, la cantidad M es independiente del salario y del tiempo que trabaje). El precio del bien de consumo es p = 1 y el salario es w: a) Derive la oferta de trabajo de cada individuo como función de w y de M . b) Calcule la oferta agregada de trabajo suponiendo que hay 10 individuos idénticos, 5 de ellos tienen una renta no salarial M = 3; y los 5 restantes M = 0. Sabiendo ; calcule el salario, el nivel de que la demanda agregada de trabajo es LD (w) = 20 w empleo y el excedente de los trabajadores en el equilibrio competitivo. Represente las funciones de demanda y oferta agregada y la situación de equilibrio en un diagrama. 39. La renta monetaria de un individuo durante los dos períodos de su vida (activo y jubilado) es de 30 mil y 10 mil euros, respectivamente. Sus preferencias sobre su consumo durante lso períodos en que está activo (c1 ) y jubilado (c2 ); medidos en euros, están representadas por la función de utilidad u(c1 ; c2 ) = c21 c2 . Existe un mercado de crédito en el que el individuo puede prestar o pedir prestado durante el período en que está activo al tipo de interés r. Describa la restricción presupuestaria del individuo y represente su conjunto presupuestario. Calcule sus funciones de demanda de consumo (en cada período) y de crédito. Determine su consumo y las cantidades que ahorra/presta a los tipos de interés r = 5% y r = 5%: 0
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IV. Aspectos normativos de la teoría del consumidor 40. Suponga que x e y representan los servicios de vivienda, medidos en m2 al año, y todos los demás bienes, respectivamente, y que un consumidor típico tiene las unas preferencias por esos bienes representadas por la función de utilidad u(x; y) = xy2 . Los precios iniciales son p x = 3 y p y = 1. El Gobierno propone un subsidio de 1 euro por m2 de vivienda consumido. La oposición pone el grito en el cielo e indica que el valor del subsidio al individuo es inferior al coste del subsidio en que incurriría el Estado. ¿Qué recomendaría Vd. y por qué? 41. Ejercicio 10 del Cap. 3 de PR, p. 102. 42. Considere un consumidor cuyo conjunto de oportunidades es el I en el dibujo y cuyas preferencias satisfacen los supuestos A1 A4. Como consecuencia de una medida de política económica, su conjunto de oportunidades pasa a ser el II. El observador A dice: “Si en la primera situación el individuo ha elegido la mejor de las combinaciones de consumo del subconjunto OFGH, entonces necesariamente empeorará tras el cambio”. El observador B dice: “En absoluto. Si la primera situación se resuelve como Vd. indica y en la segunda elige una combinación de bienes distinta de la primera, entonces el consumidor puede empeorar, mejorar o permanecer indiferente”. ¿Quien tiene razón: A, B, ninguno o ambos? Razone su respuesta.
Y I F II
G
X O
H
43. Clasi…quemos los bienes en dos grupos: vestido y calzado, x, y productos alimenticios, y. Las preferencias de un retirado que cobra una pensión I 0 = 250 euros están representadas por una función de utilidad u(x; y) = x0;4 y0;6 . A los precios de 1975, p0 = (1; 1) -que tomaremos como año base- eligió la combinación de bienes q 0 = (100; 150). En 1986 los precios fueron p1 = (2; 1:5) y nuestro pensionista consumió la combinación q 1 = (50; 100). a) ¿En cuanto tendría el Gobierno que aumentar la pensión para garantizar que el pensionista mantiene el bienestar alcanzado en 1975? Denominemos por I1 a la nueva renta. 9
b) Un “verdadero índice de precios” para resumir en un escalar la evolución de los precios entre estas dos fechas se de…niría de la manera siguiente I ( p1 ; p0 ; u0 ) = I 1 =I 0 ; donde en este caso I 0 = 250. Veri…que que el índice de precios de consumo de tipo Laspeyres estimado de la manera habitual, I ( p1 ; p0 ; q 0 ), es una cota superior de esta expresión. 44. Se ha observado que dos consumidores gastan su renta disponible de la manera siguiente: Gasto Total Alimentación Bienes Duraderos Otros Bienes y Servicios 640 256 192 192 1.280 320 320 640 Un año después el ritmo de crecimiento de los precios de cada uno de los bienes ha sido del 10, el 5 y el 20 por ciento, respectivamente. a) Calcular el Índice de Precios al Consumo de esta economía con la fórmula habitual. b) Indicar quien ha sido más perjudicado por la in‡ación y por qué. 45. Suponga la siguiente situación de un pensionista que consume dos bienes, alimento (x) y vestido (y ). Cuando se jubiló en 1997, la Seguridad Social le concedió una pensión de 15,000 pesetas. En dicho año los precios de los alimentos y vestido eran de 8 ptas. y de 50 ptas., respectivamente. Suponga que la función de utilidad del p pensionista es U (x; y) = x y . a) Determine y represente la elección del pensionista en estas condiciones. b) Suponga que en 1998 los precios de los alimentos y el vestido han subido a 10 ptas. y 75 ptas., respectivamente.. Determine y represente la elección del pensionista en caso de que no se revalorice su pensión. c) ¿Qué pensión deberíamos dar al pensionista para que recuperase el nivel de utilidad inicial con el mínimo coste para la Seguridad Social? 46. Supongamos que el gobierno desea obtener una recaudación de G euros de un consumidor cuyas preferencias satisfacen los axiomas A1 A3. Puede crear un impuesto directo sobre la renta del individuo, o un impuesto indirecto sobre el consumo de un bien x. Demostrar que la pérdida de bienestar que se ocasiona sobre el consumidor es mayor con el segundo impuesto. 47. Las preferencias de un individuo sobre consumo (c) y ocio (h) están representadas por la función de utilidad u(h; c) = c 3 h. El precio del bien de consumo es igual a 1, el salario es de 4 euros/hora y el individuo dispone de 16 horas al día para trabajar o, alternativamente, dedicarlas a ocio. a) ¿Cuánto ocio consume el individuo al día?. b) Si el individuo debe de pagar 1/3 de su renta salarial en concepto de impuestos, ¿cuál sería su consumo diario de ocio? ¿Qué efecto es mayor, el efecto renta o el efecto sustitución? c) Si en lugar de un impuesto proporcional sobre la renta salarial, el individuo paga 16 euros/día, ¿cuál sería su consumo diario de ocio? d) ¿Qué sistema impositivo preferiría el individuo? 10
48. Las preferencias de un consumidor entre dos bienes x e y vienen descritas por la función de utilidad u(x; y) = ln x + ln y. Los precios de estos bienes son px = 1 y py = 0; 5:
a) Determine la solución de equilibrio del consumidor a esos precios para una renta I . b) Debido a un desastre ecológico la oferta del bien x disminuye y su precio se dobla. En consecuencia, el bienestar del consumidor disminuye. En un intento de paliar el desastre, la autoridad local está dispuesta a subvencionar al consumidor. Calcule la cantidad monetaria S que debe entregarse al consumidor para mantenerle al mismo nivel de satisfacción que antes del desastre. c) Si la autoridad no conociera las preferencias del consumidor pero hubiera observado las cantidades consumidas de ambos bienes antes del desastre, siempre podrá compensar al consumidor facilitándole el incremento de renta S que le permitiera adquirir aquellas cantidades a los nuevos precios. ¿Qué solución sería más barata para la autoridad local? 0
V. La teoría del consumidor con incertidumbre
49. Un individuo padece una enfermedad grave que puede ser tratada con medicamentos o mediante una intervención quirúrgica. Los medicamentos le permitirán eliminar razonablemente bien la mayoría de los síntomas y le permitirían vivir 20 años con una probabilidad de 2/3 y solamente 10 con una probabilidad de 1/3. La intervención quirúrgica le curaría la enfermedad y le permitiría vivir 30 años más. Sin embargo existe un riesgo de muerte en la mesa de operaciones estimado en 0; 3. Las preferencias del paciente están representadas por la función de utilidad de Bernoulli p u = x, donde x representa los años de vida estimados. ¿Qué decisión tomará? 50. Un estudiante recién graduado que ha recibido una herencia de 4 millones de euros está considerando iniciar un negocio que requiere una inversión de 2 millones de euros. Si tiene éxito, los bene…cios brutos obtenidos serían de 6 millones de euros, pero si no lo tiene perdería su inversión. La probabilidad de que el negocio tenga éxito es del 50%. a) Si las preferencias del estudiante están representadas por la función de utilidad de Benoulli u(x) = x, ¿llevaría a cabo esta inversión? ¿Y si es u(x) = x2 ?¿Y si es u(x) = ln x? b) Un estudio que cuesta a millones de euros predice con seguridad si la inversión tendrá éxito o no. ¿Debería el estudiante con función de utilidad de Benoulli u(x) = x2 comprar dicho estudio si a = 1?¿ Y si a = 0:5? p c) Finalmente, suponga que la función de utilidad u(x) = x representa las preferencias del estudiante; y que se le ofrece una subvención de b millones de euros por realizar la citada inversión. ¿Debería el estudiante aceptar esa subvención si b = 1? ¿Y si b 6 = 1? 51. El equipo de la NBA Memphis Grizzlies, cuyo manager tiene unas preferencias p representadas por función de utilidad de Bernoulli u(x) = x; quiere este año llegar a los playo¤s, y los directivos están considerando las posibles estrategias para lograrlo. Dado que el equipo se encuentra en una situación …nanciera muy estable, sus activos 11
están valorados en $2500 millones, se les ofrece la posibilidad de contratar a Kobe Bryant. Si deciden contratarle, la probabilidad de clasi…carse en los playo¤s es de 0.6, mientras que sin Kobe esta probabilidad es solo del 0.1. El coste de contratar a Kobe es de $196 millones. Si los directivos de los Grizzlies deciden contratar a Kobe y el equipo llega a los playo¤s, el club podría …char a Shaquille O’Neil por $228 millones. El equipo con Shaq tiene una probabilidad del 90% de ganar la …nal, mientras que sin él esta probabilidad es sólo del 30%. Si el equipo no contrata a Kobe y llega a los playo¤s, ya no podrá …char a nadie antes de disputar los partidos, y la probabilidad de ganar la …nal en estas circunstancias es del 1%. Jugar los playo¤s asegura unos ingresos de $525 millones, y ganar la …nal otros $420 millones adicionales. a) Represente el problema mediante un árbol de decisión. b) Determine si el equipo debe contratar a Kobe y a Shaq, a Kobe solamente o a ninguno. Cual sería su respuesta si la función de utilidad u(x) = 3x representase las preferencias del manager. c) Suponga que el equipo ha contratado a Kobe Bryant y el equipo ha conseguido llegar a los playo¤s. Ahora se encuentran en la situación de decidir si deben contratar o no a Shaquille O’Neil. ¿Deberían hacerlo? 52. Pedro Banderas dispone de 100 mil euros y está considerando producir una película cuyo presupuesto es 250 mil euros. Una compañía cinematográ…ca le ofrece …nanciar un 80% de la película, compartiendo riesgos y bene…cios. Suponiendo que la película gusta a los distribuidores y se estrena, Pedro estima que obtendría una taquilla (ingresos totales) de 250 mil euros si las críticas son malas, y que la taquilla podría llegar a 1,5 millones de euros si las críticas son buenas. Se sabe que 8 de cada 10 películas que se producen se estrenan, y que una de cada 10 películas estrenadas recibe buenas críticas. Las preferencias de Pedro están representadas por la función p de utilidad u(x) = x: a)Describa el problema de Pedro y determine su decisión óptima. b) Indique si Pedro estaría dispuesto a …nanciar un 40% (en vez de un 20%) de la película. 53. Se lanza una moneda y se anticipa el resultado (cara o cruz). Si se acierta, se cobran 10 euros y se tiene la posibilidad de volver a jugar y, así, hasta tres lanzamientos de la moneda. Si se falla, se devuelve todo el dinero que se ha ganado y no se tiene la oportunidad de seguir jugando. Al …nal del juego hay que pagar 2 euros por cada apuesta. Represente este juego como un árbol de decisión, y determine la decisión óptima si las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x . 54. Un individuo está considerando realizar una inversión cuyos rendimientos posible y sus probabilidades están resumidos en la tabla siguiente: Bene…cio -20 -10 0 20 : Pr 0,2 0,2 0,4 0,2 Si la inversión reporta 20 millones de bene…cio, se tiene opción a una segunda inversión cuyos rendimientos son Bene…cio 50 -10 Pr 0,8 0,2 12
Las preferencias del inversor están representadas por una función utilidad de Bernoulli que satisface x -20 -10 0 10 20 30 40 45 50 60 70 u (x) 0 0,3 0,5 0,65 0,75 0,825 0,9 0,93 0,95 0,975 1
a) Represente mediante un árbol de decisión el problema del individuo considerando que si no acomete la primera inversión su bene…cio será cero. b) Determine si el individuo debe o no realizar cada una de las dos inversiones citadas. 55. La compañía petrolera Tibitrol ha comprado terrenos desérticos en los Monegros. El geólogo jefe estima que la probabilidad de encontrar petróleo en ese terreno es de 1/5. Hacer una perforación para ver si realmente hay petróleo costaría 1 millón de euros. Si se encuentra petróleo se tendrán ingresos de 3 millones de euros. Si no se encuentra petróleo el gasto de perforación habrá sido totalmente inútil. Las posibles decisiones de la compañía son perforar y no perforar. Si la empresa es neutral al riesgo, ¿cuál de las dos acciones deberá tomar? ¿Y si fuera aversa al riesgo? 56. La riqueza de un consumidor consiste en una casa valorada en 250 mil euros y en 10 mil euros en efectivo. La probabilidad de que se destruya totalmente por un incendio accidental (en cuyo caso perdería todo su valor) es 1/100. p a) Si las preferencias están representadas por la función de utilidad u (x) = x; donde x es la riqueza del consumidor al …nal del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 3 mil euros? ¿Cuál es la cuota de seguro máxima que estaría dispuesto a pagar el consumidor? ¿Qué relación hay entre esta cuota y el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que enfrenta el consumidor? B)Suponiendo que el riesgo de incendio es el mismo para todos los consumidores (e independiente entre ellos), ¿sería esta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (Suponga que la compañía es neutral al riesgo). ¿Cuál es la cuota mínima que estaría dispuesta a ofrecer la compañía? 57. El propietario de un comercio valorado en 64 millones de euros se enfrenta a una probabilidad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya completamente el local. p Las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad u (x) = x; donde x es la cantidad riqueza al …nal del año. a) Calcule la utilidad esperada de la lotería que enfrenta el individuo y su equivalente de certidumbre. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones? ¿Y por 63 millones? b) Una compañía de seguros le ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo por un millón de euros. ¿Aceptaría el individuo esta oferta? c) Suponga para este apartado que el individuo dispone (además del comercio) de 1 millón de euros en efectivo. Una empresa le ofrece alquilar un equipo de prevención de incendios que reduciría al 0,5% la probabilidad de incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar 50.000 euros por el alquiler. ¿Cual es la cantidad máxima anual que el individuo estaría dispuesto a pagar por el alquiler de este equipo? 58. Un individuo acaba de asegurar contra el robo su nueva moto, cuyo valor es de 2500 Euros. Los robos son muy frecuentes en la ciudad donde vive y en todos ellos 13
la moto no vuelve a aparecer. Las preferencias del individuo están representadas por p la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x: a) Sabiendo que la cuota máxima que está dispuesto a pagar el individuo es 99 euros, calcule el equivalente de certeza de la lotería que enfrenta el individuo. b) Si el individuo recibe ingresos inesperados de 3600 euros, ¿mantendrá su seguro? 59. Un concursante de un programa de televisión ha contestado acertadamente a todas las preguntas que le han planteado. Para la última pregunta le quedan dos posibles respuestas, entre las que se muestra totalmente indeciso – no tiene ni idea. Podría abandonar manteniendo sus ganancias acumuladas (361 euros), o responder, de forma que si acertara sus ganancias ascendería a 676 euros, pero si fallara descenderían hasta 100 euros. a) ¿Debería arriesgarse si sus preferencias están representadas porp la función de utilidad u(x) = x ? ¿Y lo estuvieran por la función de utilidad u(x) = x? b) ¿Cuál es el equivalente de certeza de la lotería a la que enfrenta? ¿Cuál es la prima de riesgo? 60. En el mercado de seguro de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1, y ningún accidente con probabilidad 0,9), y los malos (que causan un accidente con probabilidad 0,1, dos accidentes con probabilidad 0,05 y ningún accidente con probabilidad 0,85). Los costes de reparación de los vehículos involucrados en un accidente son (en media) de 2.000 euros. La proporción de buenos y malos conductores en la población es de 2 a 1. a) Si las compañías de seguros son neutrales al riesgo (su función de utilidad es u(x) = x) y no pueden distinguir entre buenos y malos conductores, ¿Cuál es la mínima cuota que estarían dispuestas a ofrecer por cubrir el riesgo de accidente? b) Suponga que todos los p conductores tienen preferencias representadas por la función de utilidad u (x) = x; y que su riqueza inicial es de 5.000 euros. ¿Qué tipo de conductores (buenos y/o malos) suscribirían una póliza de seguro a la cuota mínima determinada en (a)? 61. Un agente de ventas por teléfono con función de utilidad u(x) = x posee una lista de consumidores potenciales, así como sus números de teléfono. Cada día puede hacer un número limitado de llamadas. Cada llamada telefónica le cuesta un euro y por cada venta que realiza recibe 20 euros de comisión. Su experiencia le dice que en sólo 3 de cada 10 llamadas consigue hablar con la persona indicada en la lista y que en este caso, dos de cada 10 de ellas compra el producto. a) Representar el problema del individuo como un árbol de decisión. ¿Cuál es el valor esperado de cada llamada telefónica? b) La compañía telefónica también ofrece el servicio “persona-a-persona”. Con este servicio se paga un precio p por llamada sólo si se consigue contactar con la persona deseada. ¿Cuál es el p máximo que el vendedor estaría dispuesto a pagar por cada llamada persona-a-persona? 62. Un individuo neutral ante el riesgo (u(x) = x) necesita hipotecar uno de sus inmuebles para obtener 200.000 euros, que devolverá en dos pagos anuales de 100.000 14
euros cada uno más los correspondientes intereses. Los créditos hipotecarios entre los que puede optar son de tres modalidades: 1.
Interés …jo del 10% anual. Interés del 9% el primer año, que podría subir al 14%, bajar al 8%, permanecer constante en el 9% el segundo año. Interés del 7% el primer año que podría subir al 20% el segundo, o permanecer constante en el 7%, o bajar al 6%.
a) Determine la alternativa óptima sabiendo que la probabilidad de que los tipos de interés suban es 0,6, y la de que bajen es 0,2. b) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el decisor por saber si los tipos subirán, bajarán o permanecerán constantes? 63. Un individuo debe decidir si comprar un piso en la ciudad o una casa en las afueras. El coste de ambas viviendas es el mismo (120.000 euros) y el individuo es indiferente entre una y otra opción, excepto por las expectativas de revalorización. Si los precios de la vivienda continúan aumentando (E 1 ) el valor del piso alcanzaría los 140.000 euros mientras que el valor de la casa llegaría los 340.000. La probabilidad de que ocurra esto es 0,3. Si la tendencia alcista de los precios se invierte (E 2), el valor del piso se reduciría a 70.000 euros, mientras que el de la casa se reduciría a 20.000. p El decisor tiene unas preferencias expresadas por la función de utilidad u(x) = x, donde x viene expresada en euros, y dispone de una riqueza inicial de 140.000 euros. a) Represente el problema del individuo y determine si comprará la casa o el piso. b) ¿Pagaría el decisor 20.000 euros por conocer si los precios de la vivienda continuarán subiendo o no? 64. La introducción de un nuevo producto en el mercado se realiza en tres etapas: Diseño, Experimentación y Producción. De cada 10 productos, 7 mueren en la etapa de diseño. De los que sobreviven, solamente el 10% pasan la etapa de experimentación y se llegan a producir. Tan sólo 1 de cada 5 bienes producidos tienen éxito. Para cada nuevo producto, los costes asociados a cada etapa son 100.000, 20.000 y 200.000 euros, respectivamente. Los ingresos esperados para un producto que supera las tres etapas son de 60 millones de euros. a) ¿Cuál es el valor esperado de construir una nueva maqueta? b) Una consultora puede anticipar sin error si un prototipo que ha pasado con éxito la etapa de diseño pasará la etapa de experimentación. ¿Cuál es el valor de sus servicios? 65. El jefe de marketing de una importante empresa productora de ordenadores, tiene que decidir si lanzar una nueva campaña antes (l1 ) o después del mes de Mayo (l2 ). Si la lanza antes tendrá asegurada unas ventas de 100 millones de euros. Si la lanza después, corre el riesgo de que la empresa competidora se adelante (C ), lo que ocurrirá con probabilidad 0,4. Además las ventas también dependen de las previsiones de la coyuntura económica que se presente, que puede ser al alza (A) con probabilidad 0,5, estabilidad (E ) con probabilidad 0,3 y recesión (R). Si la economía está en alza y la competidora no ha lanzado su campaña, las ventas se dispararían hasta los 150 15
millones de euros y si la competidora ha lanzado la campaña las ventas serían de 120 millones. Si la economía está estable, las ventas serían de 90 millones de euros si la competidora lanza su campaña y de 110 si no la lanza. Por último, cuando la economía está en recesión, si la competidora ha lanzado su campaña las ventas serán de 70 millones de euros y si no la ha lanzado las ventas serán de 80 millones de euros. Suponiendo que la Empresa es neutral al riesgo (u(x) = x ), ¿cuánto estaría dispuesta a pagar por conocer con certeza todas las variables inciertas del problema?. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar a un espía industrial que le dijera con certeza si la empresa de la competencia va a lanzar la campaña? 66. La renta de un profesional asciende a 250:000 euros y su tipo impositivo es el 50%. El individuo está considerando la posibilidad de declarar toda su renta, sólo la mitad de su renta, o incluso no hacer declaración alguna. Se sabe que sólo 1 de cada 10 contribuyentes es inspeccionado por Hacienda. Si una inspección detectase que el individuo ha ocultado renta, éste tendría que pagar, además de los impuestos evadidos, una multa por igual cantidad. Las preferencias del individuo están reprep sentadas por la función de utilidad u(r) = 2 r , donde r es su renta. Para cantidades p negativas de r (deudas) la función de utilidad es u(r) = 2 r: a) Represente el problema del individuo e indique cuál es la decisión óptima. b) Suponga ahora que el individuo decide en un primer momento no declarar, pero que le asalta la paranoia de una posible inspección y recurre a un amigo con in‡uencias para que le saque de esta situación. Tras estudiar el caso, éste le pide m euros a cambio de la seguridad de no ser molestado por una inspección. ¿Para qué valores de m aceptaría el individuo este trato? su respuesta al apartado (a) si la función de utilidad fuera u(r) = p r?c)¿Y¿Cambiaría si fuera u(r) = 2r? d) Suponga ahora que Hacienda ha decidido ya a qué contribuyentes inspeccionará y que su amigo le propone investigar si está o no en la lista a cambio de 20.000 euros. ¿Aceptará el trato? Plantee las condiciones para saber cuál es la máxima disposición a pagar por esta información. 67. En una región hay cinco contratistas neutrales ante el riesgo que acuden regularmente a las subastas de proyectos públicos. El contrato se adjudica a aquél que ofrece el precio más bajo. Suponga que es usted el dueño de la empresa de contratistas públicos Los Muhonestos . Hoy tiene lugar una comida de trabajo con los contratistas de la región. Se sabe que sólo en 1 de cada 10 de estas reuniones se discute sobre la adjudicación de contratos; esto es, qué contratistas van a pujar la oferta más baja para futuros contratos. (Sólo hay otros cuatro contratistas en la región y se decide quién hará la oferta más baja mediante un sorteo en el que todos tienen las mismas probabilidades de ganar). Hacerse cargo de un contrato (es decir, ser el que puje más bajo) supone unas ganancias de 100.000 euros por término medio. Alternativamente, también puede usted pasar la tarde jugando al golf en el club local. Por experiencia sabe que hay un 50% de probabilidades de conocer a alguien importante en el club y que los bene…cios medios derivados de este tipo de contactos son de 6.000 euros. a) Determine qué actividad, ir a la comida de trabajo o a jugar al golf, maximiza su utilidad esperada. 16
b) ¿Cuál es el valor de conocer con antelación si en dicha comida se va a discutir la adjudicación de contratos? c) Ralph Sonrisas, un asiduo de los almuerzos de trabajo, le garantiza que en caso de que se discuta de negocios, usted se quedará con el contrato. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por los servicios de Ralph?
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