Ejercicios Sección 2.3 (29 a 44) 29. El consejo de estudiantes de ingeniería de cierta universidad, tiene un representante en cada una de las cinco especializaciones de ingeniería (civil, eléctrica, industrial, de materiales y mecánica). ¿En cuántas formas se puede a. Seleccionar presidente y vicepresidente del consejo?
3! = 20 = 52 = 5 5!2! = 5!3! = 5× 4× 3! b. Seleccionar Seleccionar presidente, vicepresidente y secretario?
×2! ×2! = 60 = 53 = 5 5!3! = 5!2! = 5×4 ×3 2! c.
Seleccionar dos miembros para el consejo del decano?
5! = 5! = 5× 4× 3! = 10 = 52 = 2! 2! 5 22! 2!3! 2 × 13! 30. Un amigo ofrece una cena. Su provisión actual de vino son ocho botellas de zinfandel, 10 de merlot y 12 de cabernet (el solo bebe vino tinto), todas de diferentes vinaterías. a. Si se desea servir tres botellas de zinfandel y es importante el orden de servicio, ¿cuántas formas hay para hacer esto?
= 83 = 8 8!3! = 8!5! = 8 × 7 ×5!6 × 5! = 336 b. Si se eligen al azar seis botellas de vino de las 30 para servir, ¿cuántas formas hay para hacer hacer esto?
30! = 30! = 593775 = 306 = 6! 6! 306 306! 6!24! c.
Si se seleccionan al azar seis botellas, ¿Cuántas formas hay para obtener dos botellas de cada cada variedad? variedad?
8! × 10! × 12! = 83160 = 82 102 122 = 2!6! 2!8! 2!10! d. Si se eligen eligen al azar seis botellas, ¿cuál es la probabilidad de que esto dé cómo resultado que se elijan dos botellas de cada variedad?
= 83160 = 0.14 = 593775 e.
Si se seleccionan al azar seis botellas, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean de la misma variedad?
) + () + () 28+ 210 + 924 ( + + = = = 593775 593775 = 0.002 31. Beethoven escribió nueve sinfonías y Mozart escribió 27 conciertos para piano. a. Si el locutor de una estación de radio universitaria desea reproducir primero una sinfonía de Beethoven y después un concierto de Mozart, ¿en cuantas formas puede hacer esto?
= 9× 27 = 243 b. El gerente de la radiodifusora determina que en cada noche sucesiva (siete días por semana), transmita una sinfonía de Beethoven, seguida de un concierto para piano de Mozart y después un cuarteto para cuerdas de Schubert (de los cuales hay 15). ¿Durante cuántos años podría continuar esta política antes que se tenga que repetir el mismo programa?
= 9 × 27× 15 = 3645 3645 = 9.98 ≈ 10 = = 365 365 ñ
ñ
32. Una cadena de tiendas de aparatos estereofónicos ofrece un precio especial por un conjunto completo de componentes (receptor, reproductor de discos compactos, bocinas y tocacintas). Para cada componente un comprador puede elegir el fabricante: Receptor Reproductor de CD`s Bocinas Tocacintas
Kenwood, Onkyo, Pioneer, Sony, Sherwood Onkyo, Pioneer, Sony, Technics
Boston, Infinity, Polk Onkyo, Sony, Teac, Technics
Una pantalla de conmutador en la tienda permite al cliente reunir una selección de componentes (que consiste en uno de cada tipo). Use las reglas del producto para contestar las siguientes preguntas. a. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un componente de cada tipo?
= 5 × 4 × 3 × 4 = 240
b. ¿De cuántas maneras se puede elegir a los componentes si el receptor y el reproductor de discos deben de ser Sony?
c.
= 1 × 1 × 3 × 4 = 12
¿De cuántas maneras se puede seleccionar a los componentes si ninguno tiene que ser Sony?
= 4 × 3 × 3 × 3 = 108
d. ¿De cuántas maneras se puede hacer una selección si por lo menos un componente debe de ser Sony?
= = 0 = 240 4× 3× 3× 3 = 240108 = 132
e.
Si alguien acciona los interruptores del conmutador, ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema seleccionado contenga por lo menos un componente Sony? ¿Exactamente un componente Sony?
132 = 0.55 = = 240 1 × 3 × 3 × 3 + 4 × 1 × 3 × 3 + 4 × 3 × 3 × 1 = 27 + 36 + 36 = = 240 240 = 0.41 33. Poco después de comenzar a prestar un servicio, algunos de los autobuses que fabricó cierta compañía presentan grietas en la parte inferior del bastidor principal; suponga que determinada ciudad tiene 25 de estos autobuses, y las grietas aparecieron en realidad en ocho de ellos. a. ¿Cuántas formas hay de seleccionar una muestra de cinco autobuses para inspección completa?
25! = 53130 = 255 = 5!20! b. ¿En cuantas formas una muestra de cinco autobuses contiene exactamente cuatro con grietas visibles?
= 84171 = 1190 c.
Si se escoge al azar una muestra de cinco autobuses, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro de los cinco tengan grietas visibles?
1190 = 0.022 = 2.2% = = 53130 d. Si se seleccionan los autobuses como en el inciso (c), ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro de los autobuses seleccionados tengan grietas visibles?
) + ()( ) 56+1190 ( = = 0 ≤ ≤ 1 = 53130 53130 = 0.023 = 2.3% 34. Una planta de producción emplea 20 trabajadores en el turno diurno, 15 en el segundo turno y 10 en el turno nocturno. Un consultor de control de calidad selecciona seis de estos trabajadores para hacerles entrevistas exhaustivas. Suponga que la selección se hace de tal forma que un determinado grupo de seis trabajadores tiene las mismas probabilidades de ser seleccionado que cualquier otro grupo (sacar seis trozos de papel sin sustitución de entre 45). a. ¿Cuántas selecciones dan como resultado seis trabajadores del turno diurno? ¿Cuál es la probabilidad de que los seis trabajadores seleccionados sean del turno diurno?
20! = 38760 = 206 = 6!14!
) 20! ( = = ( ) = 6!14! = 0.0047 = 0.47% 45! 6!39! b. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis trabajadores seleccionados sean del mismo turno?
) + () + () 38760 + 5005+ 210 ( + + = = = = 0.0054 593775 () = 0.54% c.
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de los turnos diferentes estén representados entre los trabajadores seleccionados?
= ( ) = 1 = 10.0054 = 0.9946 ′
d. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no esté representado en la muestra de trabajadores?
) 20 × 15 × 10 × ( = 1 60000 = 0.889 = 1 = 0 = 1 593775 35. Un departamento académico con cinco miembros de la facultad redujo su opción para jefe de departamento al candidato A o al candidato B . Luego, cada uno de los miembros votó en una papeleta por una de los candidatos. Suponga que en realidad hay tres votos para A y dos para B . Si se eligen las papeletas para llevar el conteo en orden aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que A esté delante de B todo el conteo de votos (p. ej., este evento ocurre si el orden seleccionado es AA B AB , pero no para AB B AA )?
El orden debe ser AA XXB ; dado que B no puede salir al inicio, B no puede estar en la segunda posición ya que mínimo empataría y A no puede estar al último por que llegarían empatados. Entonces restarían las posiciones 3 y 4 para A y B . Solo hay dos maneras de acomodar los votos: AB y B A .
) 2 ( = = () = 10 = 0.20 36. Un investigador estudia los efectos de la temperatura, presión y el tipo de catalizador en el rendimiento de cierta reacción química. Están en consideración tres temperaturas diferentes, cuatro presiones y cinco catalizadores distintos. a. Si cualquier ejecución del experimento tiene que ver con el uso de una sola temperatura, presión y catalizador, ¿cuántas ejecuciones del experimento son posibles?
= + + = 3 × 4 × 5 = 60
b. ¿En cuántas ejecuciones del experimento se usa la menor temperatura y las dos presiones más bajas?
= + + = 1 × 2 × 5 = 10 37. Con referencia al ejercicio 36, suponga que se llevan a cabo cinco corridas diferentes el primer día de experimentación. Si las cinco corridas se seleccionan al azar de entre todas las posibilidades, de modo que cualquier grupo de cinco tiene la probabilidad de selección, ¿cuál es la probabilidad de que se utilice un catalizador diferente en cada corrida?
1 1 1 1 1 1 × 5 = × = = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 = 0.0016 38. Una caja de determinado almacén contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W. Suponga que se seleccionan al azar tres focos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean de 75 W?
)() ( = () = 0.297 b. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados tengan la misma capacidad nominal?
) + () + () 4 + 10 + 20 ( 40 + 60 + 75 = = = 455 = 0.075 () c.
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un foco de cada capacidad en watts?
) × () × () 4× 5× 6 ( 40 × 60 × 75 = = = 455 = 0.264 ()
d. Ahora suponga que se eligen los focos uno por una hasta encontrar uno de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad necesaria para examinar por lo menos seis focos?
= 1 = 1 156 159 × 146 159 × 148 × 136 159 × 148 × 137 × 126 159 × 148 × 137 × 126 × 116
= 10.40.2570.1580.0920.050 = 0.043 = 4.3%
41. Una profesora de matemáticas desea programar una cita con cada uno de sus ocho asistentes de enseñanza, cuatro hambres y cuatro mujeres, para analizar su curso de cálculo. Suponga que los ordenamientos tengan las mismas probabilidades de ser seleccionados. a. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una asistente esté entre los tres primeros con quien se reúne la profesora?
) ( = 1 = 0 = 1 = 3 = 1 () = 1 564
= 1 0.071 = 0.929
b. ¿Cuál es la probabilidad de que después de las cinco primeras citas, la maestra se haya reunido con todas las asistentes?
c.
)() 5 × 4 ( = () = 56 = 0.357
Supóngase que la maestra tiene los mismos ocho asistentes el semestre siguiente y otra vez programa citas sin considerar el orden durante el primer semestre. ¿Cuál es la probabilidad de que el orden de las citas sea diferente? X = misma selección
= (1) = 701 = 0.014
= 1 = 1 0.014 = 0.986 43. En el póquer de cinco cartas, una escalera consiste en cinco cartas con denominaciones adyacentes (p. ej., 9 de tréboles, 10 de corazones, sota de corazones, reina de picas y rey de tréboles). Si se supone que los ases pueden ser altos o bajos, y recibe una mano de cinco cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea una escalera con carta alta de 10? ¿Cuál es la probabilidad de que sea una escalera? ¿Cuál es la probabilidad de que sea una escalera del mismo palo?
= 10 = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10 = 524 × 514 × 504 × 494 × 484 = 3.282× 10− = = 10[ = 10] = 100.000003283 = 3.283×10 − = 10 × 4 × = 10 × 4 × 521 × 511 × 501 × 491 × 481 = 1.24 × 10−
() = (− ). Interprete en términos de subconjuntos. ! = ! ∎... = !!! = !! = ![ ]!
44. Demostrar que
En una muestra por combinación existe el mismo número de arreglos de los componentes de un subconjunto que de arreglos posibles para los componentes del subconjunto complementario.
