Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica. 19.1. Una 19.1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3/h tiene una tubería de aspiración de 400 mm y una de impulsión de 375 mm. El vacuómetro conectado en la tubería de aspiración situado 80 mm por debajo del eje de la maquina marca una depresión de 2 m de columna de agua y el manómetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una sobrepresión de 12 m columna de agua. Calcular la altura útil que da la bomba. Solución. Con los datos del problema, tratándose de una bomba que está funcionando, es inmediato el cálculo de la altura útil. H
Q
v s
v E
P s
PE g
1200 3600
4Q
Z s
Z E
vs 2
vE 2 2 g
0.3333m3 / s
(4)(0.3333)
D s 2
(0.375) 2
4Q
(4)(0.3333)
D E 2
(0.400) 2
3.0180m / s
2.652 6526m / s
v s 2
(3.0180) 2
2 g
(2) (2)(9.81)
v E 2
(2.6526)2
2 g
(2)(9.81)
0.4643m
0.3586 m
Sustituyendo las alturas dinamicas obtenidas, asi como los otros datos del problema, tenemos: H
(12 2) (0.5 0.08)
vS 2
vE 2
14.686 m
2 g
19.2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las pérdidas ni se tiene en cuenta el estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las si guientes dimensiones: D1 = 75 mm; D2 = 300 mm; b1 = b2 1 2 = 60°. La entrada en los alabes es radial (caso ordinario de las bombas centrifugas). La bomba gi ra a 500 rpm. El fluido bombeado es agua. Calcular: a)El caudal ; b) La altura que da la bomba ; c) El par transmitido por el rodete al fluido ; d) La potencia de accionamiento. Solución. a)El caudal de una bomba en regumen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. La sección de entrada en los alabes del rodete es la superficie lateral de un cilindro, si no se tiene en cuenta el espesor de los alabes, y la velocidad normal a dicha sección es la componente radial C1m = C1 (entrada de la corriente radial). Es decir: Q
b1D1C1m
2
Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica.
El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la la 1 < 1, de manera que: Q 1=
1
b1 D1C1m
2
b2 D2C2m
1. Asimismo a la salida: Q
2=
u1
C1m
D1n
(0.075)(500)
60
C1
60
u1 tan 45 45
u1
1
1.964m / s
1.964m / s
Sustituyendo
Q
(0.50)(0.075)(C1m )
0.0231m3 / s
23.11L / s
b) Si no hay perdidas Hr-int = 0
3
Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica.
El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la la 1 < 1, de manera que: Q 1=
1
b1 D1C1m
2
b2 D2C2m
1. Asimismo a la salida: Q
2=
u1
C1m
D1n
(0.075)(500)
60
C1
60
u1 tan 45 45
u1
1
1.964m / s
1.964m / s
Sustituyendo
Q
(0.50)(0.075)(C1m )
0.0231m3 / s
23.11L / s
b) Si no hay perdidas Hr-int = 0
3
Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica. H
H u
u2C2u
Ya que C 1u Q
u1C1u
u2C2u
g
g
0 (entrada en los alabes radial).
b2 D2C2 m
Y
C2 m
Luego
b1D1 b2 d 2 D2
u2
Además
(
b1D1C1m
D1
C2u
Hu
H
(50)(300)
(300)
u1
u2
(50)(75)
C1m
(75) C 2 m tan
(1.96 1.964) 4)
(7.854) 2
(7.854)(7.506) 9.81
2
1)
(1.96 1.964) 4)
0.49 0.4909 09m / s
7.8 7.854m / s (0.4909) tan 60
7.506m / s
6.061m
C) El par transmitido por el rodete al fluido viene dado por. M
Q ( r2C2u
d)
r1C1u ) nv
Deducimos que
nh
(0.0231)(1000)(0.15)(7.506) nm
P
26.268 m N
1
Q gH
(0.0231 (0.0231)( )(1000 1000)(9 )(9.81 .81)(6.0 )(6.061 61)) 1375.4 1375.4W
1.3754 1.3754 KW
19.3. Entre el pozo de aspiración y el depósito de impulsión de una bomba de ag ua hay un desnivel de 20m. La tubería de aspiración es de 300 mm de diámetro y de 6 m de longitud. Esta provista de alcachofa, válvula de pie y de un codo de 90°. La tubería de impulsión es de 250 mm de diámetro y de 140 m de longitud. Las tuberías de aspiración e impulsión son de hierro galvanizado. La tubería de impulsión tiene una válvula de compuerta y dos codos de 90°. El caudal bombeado es de 4800 l/min. El rendimiento hidráulico de la bomba = 70%. El rendimiento volumétrico = 1 y el rendimiento mecánico = 85%. Todos los codos de las tuberías tienen una relación r/D = 0.25. Calcular la potencia en el eje del motor m otor eléctrico de accionamiento de esa bomba. Solución. Pa
Q gH nh nv nm
(1000)(9.81) QH (0.7)(1)(0.85)
16.487QH
Q
4.8 60
0.08m3 / s
Designaremos con subíndice a los valores correspondientes a la aspiración, y con subíndice i los correspondientes correspondientes a la l a impulsión.
4
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. va
4Q
(4)(0.08)
d a2
(0.3002 )
1.132m / s
vi
4Q
(4)(0.08)
d i2
(0.2502 )
1.630m / s
La velocidad de aspiración en las bombas se mantiene con frecuencia más baja que l a de impulsión para evitar la cavitación. V a2 2 g
V i 2
0.065m
2 g
0.135m
Para obtener H en este problema se ha de recurrir a la segunda expresión de la altura útil. H
z Z
zA
H ra
H ri
vt 2
vt2
vi2
2 g
2 g
2 g
z Z
zA
20m
Calculo de las perdidas en la tubería de aspiración, Hra ' a
H ra Donde Re a
' a
La a
va2
d a 2 g '' a
= 3.7 (alcachofa y válvula de pie) ;
va d a v
'' a
(1.132)(0.300) 1.007x10
= 0.4 (codo90°, r/D=0.25)
3.372 x10 5
6
( v H 2O a 20°C = 1.007x10-6 m2/s) k da
17 x10
5
1.007x10
6
3.372 x105
(k para hierro galvanizado = 17x10-5m) Con los valores de Rea y k/da se lee en el diagrama de Moody
a
0.01844
Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos: H ra
3.7 0.4 0.01844
6
(1.132) 2
0.300
2(9.81)
0.292m
Calculo de las perdidas en la tubería de impulsión, Hri H ri
' i
2
'' i
Li i
vi2
di 2 g
5
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. '
Donde
Rei
i
=0.2 (válvula compuerta abierta)
'' i
= 0.4 (codo 90°, r/D = 0.25)
vi d i v
(1.630)(0.250) 1.007x10
4.046 x10
6
En el diagrama de Moody se lee
i
k
5
17 x10
d i
0.250
5
0.000680
0.01887
Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos: H ri
0.2 2(0.4) 0.01887
140
1.630
0.250 2(9.81)
1.566m
Sustituyendo el la ecuación.
H
20 0.292 1.566 0.135 21.993m
Finalmente la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento será. Pa
(0.08)(1000)(9.81)(21.993) (0.7)(1)(0.85)
29.009 x103W
29.009 KW
19.4. Una bomba centrifuga radial de agua está diseñada para girar a 1450 rpm y para entrada radial en los alabes del rodete. El caudal en el punto nominal (rendimiento óptimo) es 160000 l/h. De esta bomba se conocen las siguientes características geométricas: relación de diámetros de salida y entrada de los alabes: D2/D1 = 2. Diámetro exterior del rodete D2 = 300 mm. Ancho a la salida del rodete: b2 2 = 45°. Se sabe además que para el punto de optimo rendimiento: rendimiento hidráulico: 80%, rendimiento volumétrico: 90%, rendimiento mecánico: 85%. Se despreciara el espesor de los alabes. La bomba se ha diseñado para que la componente radial de la velocidad absoluta sea constante a la entrada y salida de los alabes. Las tuberías de aspiración e impulsión de la bomba son iguales y los ejes de las bridas de entrada y salida de la bomba se hayan a la misma cota. El manómetro conectado a la entrada de la bomba marca una presión absoluta de 305 torr cuando el caudal es el arriba indicado. Calcular: A) angulo de entrada en los alabes; velocidades u2 y u1; velocidad C2; componente radial de la velocidad absoluta a la entrada y salida de los alabes; angulo de los alabes a la entrada de la corona directriz de que esta provista la bomba. B) altura de Euler y altura útil. C) potencia interna de la bomba. D) potencia de accionamiento. E) alturas de presión y dinámica del rodete y grado de reacción de la bomba. F) presión absoluta del agua a la salida de la bomba.
6
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución. a)El caudal de la bomba es
160
Q
3600
0.0444 m3 / s
El caudal bombeado por el rodete es: Q qe
Q
qi
nv
Además. C1
u2
1
C2u
C2
C1m
Q
C2 m
D2b2 nv
D2 n
(0.3)(1.450)
60
60
arctan
C 1m
tan 2
(0.3)(0.02)(0.9)
2.62m / s
22.777m / s
u1
D1 D2
u2
11.388m / s
12.96
u1
C 2 m
u2
Q
u2
C 2m
20.157 m / s
2
2
C2 m C2u
20.326m / s
2
arctan
C 2 m C 2u
7.41
Para que no haya choque a la entrada de la corona directriz el alabe deberá estar construido con 2 a la entrada de la misma. b)La altura de Euler o altura teorica se deduce de la siguiente ecucacion. Haciendo u1C 1u H u
u2C2u
u1C1u g
H u
u2C 2u g
0
46.799 m 7
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. La altura útil será:
H
nh Hu
Hr
int ) g
(0.8)(46.799) 37.439 m
c) Pi
(Q qe
qi )( H
Q g H
(0.0444)(1000)(9.81)(37.439)
nv nh
(0.9)(0.8)
d)La potencia de accionamiento será: Pa
e)Altura dinámica del rodete:
H d
Altura de presión del rodete:
H p
Grado de reacción de la bomba:
C22
Pi
22.671
nm
0.85
C 12
2 g Hu
H d
H p H u
22.671 KW
26.672 K
20.708m 26.091m
100
55.75%
f) La presión absoluta a la entrada de la bomba, teniendo en cuenta el enunciado del problema será:
P E
Ahora bien, siendo zS
H
(0.305)(13600)(9.81)
vS2
vE 2
2 g
40.692N / m2
0 , por ser las tuberías de aspiración e impulsión de igual diámetro y
z E
0 , por estar los puntos S y E a la misma cota.
PS
P E g
y
PS
PE
gH
407.972 N / m2
4.07972bar
19.5. Una bomba funcionando a 2520 rpm y suministrando un caudal de 16 l/s proporciona una altura útil de 26 m. De sus curvas características se deduce que en dicho punto de funcionamiento el rendimiento total de la bomba es 81%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba en estar condiciones. Pa
Q gH
(0.016)(1000)(9.81)(26)
ntot
0.81
5.038KW
19.6. Una bomba centrifuga de agua tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; D2 = 450 mm; b1 = 40 mm; b2 1 2 = 30°; n=1500 rpm. Entrada en los alabes radial; nh=88%; ntot=82%; despreciese el espesor de los alabes; n v=1. Calcular: a)Caudal; b)altura teorica o altura de Euler; c)potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido; d) altura útil; e)altura hidráulica perdida en la bomba; f) potencia de accionamiento de la bomba.
8
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución. a)
Q
b1D1C1m
60
Q
11.781m / s
60
u2C 2u
D1
450
u1
C1m
u1 tan10
C2u
u2
2.077m / s
(entrada en los alabes radial)
g
D2
u1 tan10
0.0392m3 / s
(0.04)(0.15)(2.077)
b) H u
u2
(0.15)(1500)
D1n
u1
C1m
150
(2.077)
35.43m / s
C2 m tan
u2 2
C 2m tan 30
Por la ecuación de la continuidad: C2 m
H u
b1D1 b2 D2
C1m
(40)(150) (20)(450)
(35.43)(32.944) 9.81
C2u
(2.077) 1.385m / s
(35.43)
(1.385) tan30
32.944m / s
118.690 m
c) La potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido es la potencia interna: Pi
Q gHu
(0.0392)(1000)(9.81)(118.690)
d) La altura útil es:
H
nh Hu
45.591KW
(0.88)(118.690) 104.447 m
e) La altura hidráulica perdida en la bomba es: H r
int
Hu H
14.243m
f) La potencia de accionamiento de la bomba será: Pa
P
(0.0392)(1000)(9.81)(104.447)
ntot
0.82
48.927 KW
19.7. En una instalación de bomba centrifuga de agua la altura desde el pozo de aspiración hasta el eje de la bomba es de 4m y desde el eje de la bomba hasta el nivel superior del depósito de impulsión 56m. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm. La perdida de carga en la tubería de aspiración asciende a 2m y en la tubería de impulsión (sin incluir las perdida a la salida de la misma y entrada del depósito) a 7m. Las dimensiones del rodete son: D2 = 400mm; b2 = hidráulico es 82%. Desprecie el influjo del espesor de los alabes. Calcular: a) Caudal; b) la presión
9
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. del agua junto a la brida de aspiración; c) la presión del agua junto a la brida de la tubería de impulsión. Solución. La velocidad periférica del rodete a la salida es: (0.4)(1450) D2 n 30.369 m / s u2 60 60 Por la ecuación de continuidad el caudal es el mismo a la salida del rodete y en la tubería; llamando vt a la velocidad del agua en la tubería, tendremos: Q
d t 2
D2 b2C2 m
4
vt
d t 2
C2 m
Por el triangulo de velocidades a la salida:
La altura teórica o altura de Euler será: La altura útil será:
H
D2b2 4
C2 u
vt
C 2 m
u2
H u
Hu nh
1
0.1502 (0.4)(0.025)(4)
vt
0.563vt
30.369 0.974vt
tan
2
u2C2u
u22
g
g
u2C2m g tan
(94.0122 3.016 vt )(0.82)
94.0122 3.016vt
2
77.090 2.473vt
Por otra parte con la segunda expresión de la altura útil. H
z Z
zA
H ra
H ri
vt2 2 g
60 2 7
vt2
vt 2
69
2g
2 g
Donde vt - velocidad del agua en la tubería. Igualanado las 2 expresiones para la altura útil, se obtiene:
vt2
Resolviendo tenemos:
vt 2
Sustituyendo, obtendremos:
a) El caudal será:
vt
y
3.076m / s
H
Q
69 d t 2 4
vt 2 2 g vt
2 g
48.524vt 158.723
0
0.482m
69.482m
0.0544m3 / s
55.4 l/s
b) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración y la entrada de la bomba:
10
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. P A g P E g
z A
vA2
H ra
2g
PE
vE 2
z E
g
0 0 0 2
2 g
6.482m
P E
63.591Pa
P E g
4
vE 2 2 g
0.63591bar
c) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las secciones S y el ni vel superior del depósito de impulsión Z: PS g P S g
zS
vS2 2g
56 7
H ri
63
vt 2
0 0
2 g
z Z
Ya que
vS
vt
El mismo resultado se obtiene aplicando la misma ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración (punto A) y la salida de la bomba (punto S). P A g
z A
vA2 2g
Suponiendo zS 0 0 P S g PS
H ra
PS
H
g
z S
vS 2 2 g
z E , tendremos:
0 2 69.482
P S g
4 0.482
2 69.482 4 0.482 (63)(1000)(9.81)
63m
618.030 Pa
6.18030 bar
19.8. En la tubería de aspiración de 150 mm de una bomba centrifuga de agua hay los siguientes elementos: un codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 10m de tubería recta y otro codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 5m de tubería recta. La perdida de carga en la alcachofa y válvula de pie es el triple de la altura de velocidad en la tubería de aspiración. La longitud total de los trozos de tubería recta es 8m. El agua tiene una temperatura de 50°C y el caudal de la bomba es 2500 l/min. La presión absoluta en la brida de aspiración de la bomba ha de mantenerse 100 mbar por encima de la presión de saturación del vapor. La tubería es de fundición asfaltada. La presión barométrica es 750 Torr. Estimar la altura máxima permisible del eje de la bomba por encima del nivel de agua en el depósito de aspiración.
11
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución. PS (a t=50°C) = 0.12335 bar P E min
Pamb
0.12335 0.100 750Torr
2.5
Q
H 2O
C E 2
(2.358) 2
2 g
(2)(9.81)
988.20 Kg / m3
0.22335bar
(750)(13.6)(9.81) 1.0006x105 N / m 2
0.04167m3 / s
60
(50 C )
C E
4Q
(4)(0.04167)
d E 2
(0.150)2
2.358m / s
0.283m
Ecuación de Bernoulli entre A y E (en presiones absolutas) 1000 x105
0 0 3 0.283
(988.20)(9.81) H S
10 5 8 0.150
0.283
0.22335 x105 (988.20)(9.81)
H S 0.283
6.8856 43.3933
k
0.1
d
150
0.00066667
Re
En el diagrama de Moody se lee
0.0185
H S
6.0828 m
(6.8856)(43.3933)(0.0185)
Cd v
(2.358)(0.150) 0.556x10
6
636.151
Como comprobación se puede ahora calcular la altura útil H. H vS
H
PS
PE g
zS
z E
vS2
vE2 2 g
vE
PS
zS
P E g
63 ( 6.482)
z E
69.482 m
19.9. Se bombea gasolina desde un tanque hasta un depósito nodriza situado 50 m por encima del tanque con un caudal de 80 L/min. Densidad relativa de 0.84. Viscosidad dinámica=0.8x10-3 Pas. La longitud total de la tubería de aspiración y de impulsión y longitud equivalente es de 70 m. la tubería de acero soldado oxidado de 75 mm. Despréciense las perdidas secundarias. Calcular la potencia en el eje motor eléctrico si el rendimiento total de la bomba es de 50%.
12
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución.
Para encontrar la potencia en el eje motor eléctrico, se emplea la sgte ecuación Pa
Q
Q gH ntotal 0.08 60
gasolina
H
z Z
1.33x10 3 m3 / s (0.84)(1000)
zA
H ra
840 Kg / m3
H ri
vt 2 2 g
Determinamos velocidades de aspiración y de impulsión. va
(4)(1.33 x10 3 m3 / s) (0.075m) 2
0.3018m / s
Teniendo en cuanta que tanto el tubo de aspiración e i mpulsión tienen el mismo diámetro. va va2 2 g va
vi
4.64 x10 3 m vi
va2
vi2
vi2
vt2
2 g
2g
2g
2 g
13
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Hallamos el numero de Reynolds. va d a
Rea
(0.3018)(0.075)(840)
23.76675 x103
3
(0.8 x10 )
Rugosidad sobre el diámetro. k
0.4x10
d a
0.075
4
5.33 x10
3
Con los valores de Re y k/da, se lee en el diagrama de Moody
a
0.032
Ahora hallamos Hra. La
H ra
a
0.032
d a
La 0.075
Para las pérdidas de impulsión, será el siguiente valor. H ri
Li i
Li
0.032
d i
0.075
Esto se debe a que va El valor de z Z
zA
vi y d a
d i
50m
Reemplazando los valores obtenemos H. H
50
(0.032)(0.3018) Li 2(9.81)(0.075)
La
0.075
4.64 x10
3
Donde Li + La = 70m (0.032)(0.3018)
70
2(9.81)(0.075)
0.075
H
50
H
50.143m
4.64 x10
3
Por último determinamos la potencia. P a Pa
(1.33 x10 3 )(840)(9.81)(50.143) 0.5 1101868W
1.1018 KW 14
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 19.10 Un manómetro conectado a la entrada1 de una bomba centrífuga indica una altura de presión de 5,5 m por debajo de la presión atmosférica. En este instante la bomba proporciona un caudal de 4000 l/min. La tubería de aspiración es de 150mm de diámetro y 15 m de longitud y está provista de válvula de pie y alcachofa y un codo. La pérdida en el codo es equivalente a m. el coeficiente de pérdida de carga de la tubería es =0,025. Calcular la cota del punto en que está conectado el vacuómetro. DATOS Q=
SOLUCIÓN Este ejercicio se ubica entre el punto de succión y el punto donde está conectado el vacuómetro. Para la figura 19-18 del libro, estos puntos son el a y el e. Aplicando la ecuación de Bernoulli: (1) 15
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Es igual al término
porque ambos puntos están ubicados en la misma tubería, y entonces
tienen el mismo diámetro. El término
es la altura de presión, y es igual a 5,5 m, según el enunciado del ejercicio.
Son las pérdidas por fricción en tubería más las pérdidas en el codo, en las válvulas de pie y alcachofa.
Velocidad=
Despejando la altura geodésica en la ecuación (1), se tiene:
El término
es cero, porque las velocidades son iguales, debido a que los dos puntos están
en la misma tubería, que tiene un solo diámetro.
El término
es negativo escrito en esta forma, con el término
delante de
, porque
es mayor. Entonces, por eso se antepone el signo negativo, y la diferencia de altura queda:
16
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.11. En una bomba que trabaja con agua fría el manómetro de impulsión situado 10 m por encima del eje de la bomba marca una altura de presión de 80 m c. a. El vacuómetro situado a 50 cm por debajo del eje de la bomba marca una presión relativa de 200 Torr. Por la diferencia de diámetros entre las tuberías de aspiración e impulsión se crea una altura dinámica de 1 / 2 m. Calcular la altura útil de la bomba.
P s
Vs 2 g
H
Pe
Z s P s
H
Ze
Pe
V e 2 g
Z e
Z s
Conversiones 80 m.c.a. = 800 Kpa = 800000 pascal = 800000 N/m² = 800000 Kg/ms² 200 Torr = 26.664 Kpa = 26664 pascal = 26664 N/m² = 26664 Kg/ms² Reemplazando en la formula: 800000 Kg/ms² = 81.3265 m 9800 Kg/m²s² 17
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 26664 Kg/ms² = 207208 m 9800 Kg/m²s² H = 81.63 + 2.72 + 9.5 = 93.85 m H = 93.85 m 19-12. Una bomba centrifuga cuyo coeficiente de cavitación es 0.11, desarrolla una altura útil de 90m, la presión barométrica es 1bar. La presión de saturación del liquido bombeado (d=1.4) para ka temperatura de funcionamiento es 0.030bar. Las pérdidas de la tubería de aspiración a 1,5m. a) Calcular la altura máxima permisible a la que puede colocarse la bomba con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración. Solucion. h H Hsmas
P A P S g
H rA E
h
P A = Presión absoluta en el nivel superior del depósito de aspiración. P S = Presión de saturación del vapor del líquido bombeado para temperatura de bombeo C.
H rA E = Perdida de carga en la tubería de aspiración. h = Caída de altura de presión en el interior de la bomba, cuyo valor suministra el fabricante.
h
H *
h
90m * 0.11
h
9,9m
Para hallar la altura permisible debemos primero convertir bares a la unidad deseada.
Kg * m 10 pascal m * s 2 1bar * * 1bar pascal m2 5
N
2
105
Kg m * s 2
18
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Ahora bien,
P A P S
Hsmas
H rA E
g
h
Kg
Kg
100000 m* s 2 * 3000 m* s 2
Hsmas
Kg
1000 m3 * 9,8
m s 2
9,9m 1,5m
Kg
97000 m* s 2
Hsmas
11,4m
kg
9800 m2 * s 2
Hsmas
1,5m
19.13. En una bomba centrifuga de agua las tuberías de aspiración y de impulsión son de 300 mm de diámetro. La tubería de aspiración tiene 10 m de longitud y la de impulsión 150 m de longitud. Ambas tuberías son de hierro galvanizado. En la tubería de aspiración hay una válvula de pie y un codo, en la tubería de impulsión una válvula de compuerta. El caudal bombeado es de 6000l/min. Y la diferencia de niveles entre los pozos de aspiración y el depósito de impulsión es de 10m. El rendimiento de la bomba es del 65%. Calcular: 1. La potencia de accionamiento. Datos: TA: Tubería de aspiración: Válvula de pie y un codo Ti: Tubería de impulsión: Válvula de compuerta DA, i: Diámetro de las tuberías de aspiración y de impulsión 1m DA, i = 300mm * = 0.3 m 1000mm LA: Longitud de la tubería de aspiración = 10 m. Li: Longitud de la tubería de impulsión = 150 m. Material: HIERRO GALVANIZADO. Q = Caudal Bombeado Q= 6000l/min. = 6000 Q = 100
l min
x
1 min 60 seg
= 100
l s
l
s A, i: Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión A, i =
10m 19
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. TOTAL:
Eficiencia total de la bomba
TOTAL =65
%
PA: Potencia de accionamiento PA = ? Solución. Para calcular la potencia de accionamiento empleamos la siguiente ecuación: PA =
Q gH TOTAL
Puesto que me relaciona las variables que tengo en el ejercicio. Q gH PA = TOTAL
(100 L / s )(
0.001m3
PA =
1 L
)(1000
kg 3
m
)(9.8m / s 2 )
0.65
1 PA = 1507.6 Kg m / s 2 ( ) H ( m) s PA = 1507.6 H
La potencia de accionamiento me queda en función de la altura piezométrica H. Esta se obtiene gracias a la siguiente ecuación: H = ( Z z
Za ) H ra
vt 2
H ri
2 g
En donde: ( Z z
Z a ) : Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión
( Z z
Z a ) = 10m.
H ra
' a
'' a
La a
va2
H ra : Perdidas por accesorios o aditamentos en la tubería de aspiración
da 2 g
Donde:
20
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. ' a
: Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de pie)
' a
= 6.1
'' a
: Coeficiente de pérdidas por accesorios (un codo)
'' a
= 0.4
Va : Velocidad en la tubería de aspiración Esta es posible gracias a la siguiente ecuación: Va; al reemplazarla con sus respectivos valores tenemos: 4Q
V a
d a2
4 0.1m3 / s
V a
(0.3m)2
Va
1.414m / s
H ri : Perdidas por accesorios y aditamentos en la tubería de impulsión
H ri
' i
2
Li
'' i
i
vi2
di 2 g
En donde: '
i '
: Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de compuerta)
i
= 0.2
i
: Factor de fricción
Para conocer el
i
rugosidad relativa
(factor de fricción), es necesario calcular el número de Reynold (Rea), y la k d a
, una vez obtenido estos valores, obtenemos de manera grafica el factor de
fricción. El número de reynold es posible gracias a la siguiente ecuación:
21
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Rea =
v a .d a a
En donde: V a: Velocidad en la tubería de aspiración d a: diámetro en la tubería de aspiración
m2
VH2O a 20ºc = 1.007*10-6 s 1.414
Rea =
m s
(0.3m )
m2 1.007*10 s 5 Rea = 4.212* 10 6
k d a
; En donde:
K es una rugosidad promedio para los diferentes tubos y se obtiene de acuerdo al material, este es posible ya que para nuestro problema el material es hierro galvanizado, dicho valor se encuentra en este rango: k Por lo que asumimos un k = 17 * 10-5 m Al reemplazarlo en la ecuación tenemos: k 17 *10 5 m = d a 0.3m k d a
= 5.67* 10-4
A estos valores le corresponde un factor por fricción, el cual es: i
= 0.0226
Teniendo ya definido todos estos valores, procedemos a calcular las perdidas en cada una de las tuberías: Tubería de aspiración: H ra
' a
'' a
La a
va2
d a 2 g
22
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
H ra
6.1 0.4 (0.0226)
H ra
(7.253
H ra
0.739m
10m
(1.414m / s)2
0.3m
2(9.8m / s 2
1.999396m2 / s 2 19.6m / s 2
Tubería de impulsión En esta tubería la velocidad es la misma que en la tubería de aspiración debido a que tiene el mismo diámetro y el caudal bombeado es constante, de tal forma que: Va = Vi = 1.414m/s H ri
H ri
H ri
' i
2
'' i
Li i
vi2
di 2 g
0.2 (0.0226)
150m
(1.414m / s) 2
0.3m
2(9.8m / s 2 )
1.173m
Ahora procedemos a reemplazar todos estos valores en la ecuación siguiente: vt 2 H = ( Z z Za ) H ra H ri 2 g H = 10m + 0.739m + 1.173m + 0.10201m H = 12.01m Ahora este valor lo reemplazamos en la ecuación de la potencia de accionamiento, y de esta forma determinamos lo que nos están pidiendo: PA = 1507.6 H 23
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. PA = 1507.6 (12.01) (W) PA = 18.112 Kw. 19.14 Una bomba centrifuga proporciona un caudal de 1000L/mi n a 1000 rpm el diámetro del rodete 600mm. Ancho de salida 10 mm, brida entrada salida se crea un diferencia de presión 3 Bar , ; de=1m, de=ds; rendimiento manométrico 70 % entrada del rodete radial. Hallar Altura efectiva, potencia útil, Primero determinamos la altura efectiva usando la ecuación de Bernoulli
Debido a ds=de entonces Vs=Ve = a cero, la presión de entrada es cero así nos queda:
Luego nos queda
Para determinar la potencia utilizamos la ec.
Reemplazando nos queda: Sabiendo que:
Para determinar
Realizamos el triangulo de vela la salida: U 2
D1N 60
=
Determinamos Hu 24
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Luego utilizando la relación H u
u2C2u
u1C1u g
Pero como la entrada es radial entonces H u
u2C 2u g
Hallamos
u
Determinamos el valor de C2 sabiendo que C2 es = a C2m Entonces
Reemplazamos los valores:
Utilizando la relación de triángulos:
19.15 Una bomba centrifuga de agua proporciona una altura útil de 22 metros a una velocidad de 1.200 r.p.m. D1= 180 mm; D2= 300 mm. Entrada en los álabes del rodete, radial; Cm= constante en
25
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. todo el rodete; C2u= 25 m/s. Las perdidas perdidas hidráulicas en la bomba son iguales a 0.027 C22 m (C2 en m/s).
Calcular: a) El rendimiento hidráulico. b)
1
2.
Datos de entrada: H=22m
Hr=0.027 C22
n= 1.200 r.p.m. D1= 180 mm
D2=300 mm
C2u=25 m/s
Cm= constante
Consideraciones: Dado que la entrada en los álabes es radial C1 = C1m Desarrollo: a) Para hallar el rendimiento hidráulico utilizamos la siguiente fórmula: h = H/HU ; donde H= H u Hr-int ; H: altura útil Hu: altura de Euler
26
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
a)
Ahora procedemos a calcular el rendimiento hidráulico
b) Ahora procedemos a hallar los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida
27
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.16 Una bomba positiva de corona directriz tiene una altura geométrica de aspiración de 2 m y una de impulsión de 14m referidas al eje de la bomba. La velocidad del agua en la tubería de o impulsión es de 2 m/s y Cm es contante en todo el recorrido e ig 2=60 .Se desprecian las perdidas en el interior y7 fuera de la bomba. La entrada en los álabes es radial. Calcular: a) Velocidad periférica a la salida del rodete b) Altura de presión a la salida del rodete. c) Altura de la velocidad a la salida del rodete. d) Angulo que deberá haber a la entrada de los alabes. Análisis y datos de entrada: 28
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Los subíndices 1 y 2 indican aspiración e impulsión respectivamente.
Datos conocidos: -Cm: 3 m/s y es constante. - 2 = 60o. -V2= 2 m/s, velocidad de succión. -La entrada en los alabes es radial por lo tanto C1u = 0. -Se desprecian las perdidas en el interior y fuera de la bomba Como se desprecian las perdidas dentro y fuera de la bomba la ecuación de Bernoulli está dada por
Como los tanques son abiertos a la presión atmosférica, la presión es 0. Se desprecia la fricción. Despejando H:
Como la altura efectiva de la bomba es , y las pérdidas son despreciables tenemos que
Según Euler
, para bombas y como la entrada es radial C1u = 0.
29
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Despejando: C 2u =
-Ecuación 1
Analizando el triangulo de velocidades para la salida (2)
Analizando el triangulo formado por Cm2, w2 y
.
Tenemos que Despejando -ECAUCION 2 Igualando y resolviendo las ecuaciones las ecuaciones 1 y 2 tenemos una formula cuadrática
Resolviendo la mediante formula cuadrática encontramos la velocidad periférica es: a) b) Para la altura de presión a la salida del rodete tenemos que analizar desde el pozo hasta la salida de la bomba(nivel del eje de bomba)
Aplicando Bernoulli
-Como el tanque de suministro esta a la intemperie se va la presión de entrada -Velocidad de entrada se desprecia pues el diámetro del tanque es mucho mayor que la tubería y su velocidad es baja. -como analizamos a nivel de eje de la bomba la altura 2 es 0. Despejando 30
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. , a la salida del rodete es igual a C 2 y la halamos mediante el triangulo de velocidades
, analizando el triangulo formado por C2, C2u y Cm tenemos que
No tenemos Reemplazando los valores obtenemos que Teniendo este valor procedo a hallar por Pitágoras C2=12.17 m/s Procedemos a reemplazar en la ecuación de Bernoulli ya encontrada
b)
seria la altura de presión en el rodete.
c) El ángulo q deberían tener los ála mediante el triangulo de velocidades para 1
1 y
se hallaría
Como la entrada a los álabes es radial el triangulo queda reducido a
tenemos solo de este triangulo C m, pero utilizando la ecuación de Euler tenemos q , pero C1U es igual a cero entonces para poder hallar el valor de µ1 le damos un valor a la componente periférica de la velocidad absoluta muy pequeño (que tienda a cero) solo faltaría despejar y hallar µ 1. 31
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Despejando tenemos que
La magnitud de
1 por
trigonometría
.
19.17 Una bomba centrifuga que proporciona un caudal de 25 m3/h sirve para elevar agua a una altura de 25 m. La resistencia total de la tubería de aspiración y de impulsión es de 6 m. El rendimiento total de la bomba es de 0.7, y el rendimiento del motor eléctrico de accionamiento es de 0.95. Calcular la potencia de la red. Datos de entrada:
32
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución: Se calcula primero la potencia interna de la bomba; la cual es función de la potencia de accionamiento.
. Pi es la potencia que necesita la bomba del motor eléctrico para vencer todas las perdidas y así
poder realizar el trabajo.
19.18 Una bomba centrífuga, cuyo rendimiento total es 60% bombea 2000L/min de a ceite creando un incremento de presión efectiva de 2 bar.
Pasamos el caudal a
Convertimos el
a Kilopascales
Reemplazamos valores en la fórmula de la potencia de accionamiento 33
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.20. Entre las bridas de entrada y salida de una bomba, se coloco un manómetro en U de mercurio. De él se ha extraído el aire de manera que al funcionar el resto del tubo manométrico se encuentre lleno de agua. La bomba da una caudal de agua de 300 m3/h. la tubería de aspiración es de 250 mm y la de impulsión de 200 mm. El eje de la bomba es horizontal. Entre los ejes de la tubería en la toma manométrica de aspiración e impulsión hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento en la altura del mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración). Calcular la potencia útil de la bomba La potencia útil será la invertida en impulsar el caudal (Q) a la altura útil (H). Lo cual se resume en la siguiente fórmula: P
Q gH
El valor H se halla a continuación despejando el término de la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera: Pe
ve2
Ze
g
2g
H
Ps
Z e
g
vs2 2 g
Despejando H tenemos: P s
H
Z s
g
vs2
Pe
2g
Z e
g
ve2 2 g
Reorganizando la ecuación encontramos: H
P s
Pe g
Z s
Z e
vs2
ve2
2 g
La altura manométrica igual a 20 cm que nos presentan en el ejercicio corresponde al siguiente término de la ecuación: P s
P e g
34
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. El segundo término de la ecuación es igual al desnivel de 35 cm que se presenta entre los ejes de las tuberías: Z s
Z e
En el último término de la ecuación se calculan las velocidades en base a los diámetros entregados con de las tuberías y reemplazándolos en la siguiente ecuación: V= Q/A ; A = Luego reemplazando: AS =
= 0,031 m2
A=
AE =
= 0,049 m2
A=
Se hallan las velocidades: VE = Q / A 1
VS= Q / A2
V1=
VE = 6122 m/h = 1,7 m/s
V2 =
VS = 9677 m/h = 2,68 m/s
Se sustituye todo los valores en H:
H
0.2m 0.35m
2.68m / s
2
1.7m / s
2
2(9.8m / s 2 )
H = 0,2 m + 0,35 m + 0,22 m H= 0,77 m
de maquinas hidráulicas: P
Q gH 35
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. P = (300 m3/h) (1000 Kg/m3) (9,8 m/s2) (0,77 m) P = 2263800W = 2263,8 KW 19.21. Una bomba centrifuga de agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la bomba es de 2,6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. Las diferencias de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0,6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba. Datos de entrada: Q = 50 m3/h
Pa = ?
P2 = 2,6 bar.
Hm =?
P1 = 250 Torr Z2 Z1 = 0,6 m
1000 Kg / m3 D1 = D2 Tenemos la ecuación de potencia de accionamiento 1
P a
QgH
Para hallar la potencia de accionamiento necesitamos hallar la altura útil de la bomba o cabeza de presión H. Para hallarlo utilizamos la ecuación general de la energía: P1 g
Z1
(v1 ) 2 2g
H
hl
P2
hr
g
Z 2
(v2 )2 2 g
Despreciamos las perdidas menores hL y no hay energía retirada hR. Entonces la ecuación queda reducida a: P1 g
Z1
(v1 )2 2g
H
P2 g
Z 2
(v2 )2 2 g
36
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Despejando tenemos: H
P2
P1
g
g
Z2
La velocidad expresada en términos de Q es: v
Z 1
(v2 ) 2
(v1 ) 2
2g
2 g
16Q 2
2
2
D 4
Cuando realizamos la diferencia entre velocidades 1 y 2: 16Q 2 (v2 ) 2
(v1 )2
2 g
2g
16Q 2
2
D 4 2g
2
D4 2 g 2
1
Pero como sabemos que D1 = D2, entonces la diferencia de velocidades se hace cero. La ecuación se reduce a: H
P2
P 1
g
g
Z2
Z 1
Ahora para resolver la ecuación necesitamos realizar una conversión de unidades:
P2
2.6bar
P1
100000 Pa
250Torr
1bar
133 Pa 1Torr
260000Pa ( N / m2 )
332250Pa ( N / m 2 )
La presión 1 es negativa, porque es especificado que es una depresión medida por un vacuómetro. Q
(50m3 / h)
1h 3600 s
0.0138m3 / s
Con esto ya podemos hallar la cabeza de presión:
37
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. H
H
260000 ( 332250 N / m 2 1000 Kg / m3
9.81m / s 2
260000 (332250 N / m2 1000 Kg / m3
9.81m / s 2
H
29.89m 0.6m
H
30.49 m
0.6m
0.6 m
Ahora podemos hallar la potencia de accionamiento: 1
P a
QgH
Reemplazando;
Pa
1 0.62(1000)(0.0138)(9.81)(30.49)
6657.54 w
19.22. Una bomba se emplea para impulsar agua a 10°C entre dos depósitos, cuyo desnivel es de 20m. Las tuberías de aspiración y de impulsión, cuyas longitudes son de 4 y 25m respectivamente, son de fundición de 300 y 250 mm respectivamente. Las perdidas secundarias pueden despreciarse. El caudal bombeado es de 800m3/h; ntot = 75%. Calcular: a) La altura efectiva de la bomba; b) Potencia de accionamiento. Agua a 10ºC z = 20m L de aspiración = 4m L de impulsión = 25m D de aspiración = 300mm D de impulsión = 250mm Q = 800m^3/h
38
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Buscamos en tablas los siguientes datos =0.25mm -3
Ahora calcularemos el numero de Reynolds y las perdidas por fricción en las tuberías con las siguientes ecuaciones
Re
Q
vS D
h f
v
800m3 / h
LV 2
f D 2 g
1.325
f ln
E
5.74
3.7 D
R0.9
2
0.22m3 / s E
Re 906513.6
D
Re 1087816.31 f = 0.012
hf =0.079
f2 = 0.02
hf2 = 2.05
E D
8.33 x10
1 x10
4
3
Teniendo en cuenta que la energía de presión es cero y la energía cinética tiende a cero nuestra ecuación queda de la siguiente forma
39
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. P A
De
g
z A
vA2 2g
Hr
ext
H
PZ g
z Z
vZ 2 2 g
Quedaría que: H = 20 + 0.079 + 2.05 = 22.129 m Ahora calculamos la potencia útil P
Q gH (W )
P
(0.22m3 / s )(999.7 Kg / m3 )(9.81m / s 2 )(22.129 m)
47.7445 KW
Y calculamos la potencia de accionamiento ntot
Pa
P Pa 47.7445 KW 0.75
63.6593KW
19.23. Una bomba centrífuga gira a 750 rpm. El desnivel geodésico entre los depósitos de aspiración e impulsión, abiertos a la atmósfera, junto con todas las pérdidas de carga exteriores a la bomba asciende a 15 m. El ángulo = 45°. La velocidad media del agua en las tuberías, así como la velocidad meridional en el interior de la bomba, se mantiene constante e igual a 2 m/s. La entrada de la corriente en los álabes es radial. El rendimiento manométrico de la bomba es 75%. Ancho del rodete a la salida 15 mm. Calcular: a) Diámetro exterior del rodete. b) Altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral. c) Si el diámetro del rodete a la entrada es 0.4 el diámetro del rodete a la salida, calcular el caudal y el ancho del rodete a la entrada. d) . e) Rendimiento de la bomba, si 0.9 y 1
40
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
750 rpm
Datos. = 0.75 n= 750 rpm = 45° = 2 m/s = 15 mm 15 m
Solución. Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):
x
A partir de la ecuación de Bernoulli, determinamos que: 41
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
0, por estar abierto a la atmósfera. , por mantenerse constante. Por lo tanto, comprobamos que:
Ahora, se calcula la altura útil:
Sabiendo que
(1), se determina los valores de
y
con el segundo triángulo de
velocidades:
Donde (2) Reemplazando (2) en (1):
Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:
Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz. Con el valor de
, determinamos el diámetro externo:
Respuesta a)/: El valor del diámetro exterior del rodete es 383 mm. Para determinar la altura dinámica de velocidades:
, determinamos el valor de
a partir del segundo triángulo
42
Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica.
Respuesta b)/: La a La altura ltura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral es 8.67 m. El caudal se calcula de la siguiente manera:
Como el caudal en la entrada es el mismo que en la salida, tenemos que: (3) Para determinar el diámetro del rodete a la entrada, se tiene la siguiente relación:
Con este dato, procedemos a calcular la anchura anchura del rodete a la entrada a partir de (3):
Respuesta c)/: Según las condiciones condiciones diametrales, el caudal es a la entrada es 0.0375 m. El valor de
y el ancho de rodete
, se obtiene a partir del del primer triángulo de velocidades. Por lo que:
Respuesta d)/: El valor de
es
.
El rendimiento de la bomba, se determina a partir de:
Respuesta e)/: El rendimiento de la bomba es 67.5 % 19.24. 19.24. Una bomba centrífuga de agua tiene as siguientes características: D 1= 100 mm; D2/D1= 2; b1= 20mm; = 15°; = 30°; n= 1500 rpm. Las tomas de presión en la aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración marca una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65%, 96%; = 0.9. Supóngase la entrada en los álabes radial. Calcular: a) Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete (los tres lados y los dos ángulos característicos). b) El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1). 43
Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica. c) La potencia en el eje de la bomba. d) La presión en bar del manómetro m anómetro de impulsión. Datos. = 0.96 = 0.9 = 0.65 n= 1500 rpm = 15° = 30° = 100 mm =2 = 20 mm = -4 m c.a. Solución. Respuesta a)/: Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):
x
Del primer triángulo de velocidad, determinamos
Para este caso,
:
y
Del segundo triángulo de velocidad, determinamos
:
44
Maquinas Hidráulicas. Hi dráulicas. Ingeniería Mecánica.
Para el caudal, teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico es igual a 1, se procede a calcularlo así:
Respuesta b)/: El caudal es
.
Para determinar la potencia del eje, se calcula como primera medida el rendimiento hidráulico:
Determinamos la altura útil H:
Determinamos la potencia interna:
Calculamos la potencia de accionamiento:
Respuesta c)/: La potencia del eje de la bomba es Para hallar la presión en bar, se realizó una conversión de unidades a la presión en la aspiración:
45
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Respuesta d)/: La presión en bar del manómetro de impulsión es
19.25 El rodete de una bomba centrifuga de gasolina (
0.7 ) de 3 escalonamientos tiene un
diámetro exterior de 370 mm y un ancho a la salida de 20 mm ; álabes se reduce un 8 % el área circunferencial a la salida;
m
2
45 . Por el espesor de los
= 80 %.
Calcular: A) Altura efectiva cuando la bomba gira a 900rpm, suministrando un caudal másico de 3.500kg/min; B) Potencia de accionamiento en estas condiciones. SOLUCION: D2 = 0.37 m b2 = 0.02 m 2=
45º
ni = 0.85 nm = 0.80 N= 900rpm Q = 3500 Kg/min= 0.085 m3/seg Hallamos la velocidad meridional (C2m ): Q
D2b2c2m
Despejando tenemos: C2m C2m = 3.44 m/seg Luego hallamos la velocidad periférica a la salida del alabe (U2 ): u2
D2 n 60
46
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. U2 =
60
U2 = 17.43 m/s Luego del triangulo a la salida mostrado en la figura 18.2 tenemos: C2u
u2
c2 m tg
2
C2u = 17.43 m/seg 3.44 m/seg C2u = 13.98 m/seg Luego hallamos la altura de euler:
u2c2u
H u
u1c1u g
u2 c2 u g
Hu = (17.43 x 13.98) / (9.8) = 24.86 m
H / H u
h
H = 3 (0.8) x (24.86) = 61.36 m ; Bomba de 3 escalonamientos El ejercicio nos plantea un rendimiento interno pero el volumétrico al trabajar con un liquido se toma como 1 por lo cual el rendimiento interno es igual al rendimiento hidráulico. Conociendo la altura podemos hallar la potencia de accionamiento: P a
Q gH 1 m
Pa = (680 x 0.085 x 9.8 x 61.367) / (0.80 x 0.85) Pa = 51.649 Kw. 19.26 En este problema se desprecian las pérdidas. Una bomba centrífuga de agua tiene las siguientes características: n=500rpm, D1=100mm, D2=400mm. Área útil del rodete a la entrada=200cm2. Área útil del rodete a la salida=500cm2 1=45o 2=60o. Entrada en los álabes del rodete radial. Calcular w1, w2 y la potencia de la bomba. Datos: n=500rpm
Ae=200cm2
w1=?
D1=100mm
As=500cm 2
w2=?
47
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. o 1=45
D2=400mm
o 2=60
P=?
Solución. Como conocemos el número de revoluciones de la bomba y a la vez el ángulo a la entrada procedemos a hallar la velocidad periférica en el punto 1, por lo que tendríamos:
El triangulo de velocidades a la entrada esta dado por:
w1
Aplicando las relaciones trigonométricas podemos obtener tanto el valor de la velocidad relativa a la entrada w1, como el valor de C1m o C1.
C1= C1m 1
Despejando la ecuación (1) tendríamos
Despejando la ecuación (2) tendríamos
Por la ecuación de continuidad asumimos que:
Ahora para la salida tenemos que
, y despejando
Procedemos a hallar la velocidad periférica en la salida
48
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Y el triangulo de velocidades en la salida será Para el triangulo azul aplicando las respectivas relaciones trigonométricas obtendremos el valor de w2 y obtener el valor de - C2u2.
C2
w2
C2m m
2
-
C2u2
u2
Despejando w2 de la ecuación (3) tenemos
Despejando C2u2 de la ecuación (4) tenemos
Sabemos que tenemos que
, pero debido a que las pérdidas se despreciaran en este problema, . Si utilizamos la primera forma de la ecuación de Euler, obtendríamos:
Pero debido a que la entrada en los alabes es radial,
, entonces:
Y la potencia de la bomba estaría dada por la siguiente expresión
19.27 Una bomba de agua da un caudal de
. Aspira en carga de un depósito abierto por
una tubería de estando el eje de la bomba por debajo del nivel de agua en el depósito. Despréciense las pérdidas en la bomba y en las tuberías. La potencia de la bomba es de . 49
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Calcular: 1) La lectura de un manómetro situado en la brida de espiración
por debajo del nivel del
depósito. 2) La lectura de otro manómetro situado en la tubería de impulsión
por encima del nivel de
agua en el depósito.
SOLUCIÓN Para empezar el desarrollo de nuestro ejercicio empezamos realizando las siguientes conversiones: Sea Sea 1) Iniciaremos el análisis escogiendo los puntos en donde conocemos la mayor información sobre presión, velocidad y elevación. Siendo así analizaremos primero la superficie del recipiente y la sección de entrada a la bomba, en donde se encuentra ubicado el primer manómetro. Los puntos se ilustran a continuación: Manómetro
Manómetro
La ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas será: Depósito Abierto
Bomba
Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido y tampoco hay energía agregada mediante un dispositivo mecánico (bomba) : Conociendo que , luego entonces este término desaparece de la ecuación y así mismo se cancelan algunos términos como:
50
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. , ya que
=0
La superficie del recipiente está expuesta a la atmósfera (depósito
abierto). , ya que
=0
(Aproximadamente) El área superficial del recipiente es grande en
comparación a la de la entrada de la tubería. =0
Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.
Luego la expresión se reduce a:
Puesto que
tiene un valor dado de
y que el diámetro de la tubería es de
,
entonces podemos calcular la velocidad que lleva el fluido en el punto B.
Al despejar
de la ecuación:
Reemplazando los valores correspondientes:
Finalmente
Esta es la presión que registra el manómetro ubicado en la brida de aspiración 5m por debajo del nivel de agua del depósito. El signo negativo indica que se trata de un vacuómetro. 2) Para la segunda parte del análisis escogeremos la sección de entrada a la bomba en donde se ubica el primer manómetro y la sección en donde se encuentra ubicado el segundo manómetro. Los puntos se ilustran a continuación: 51
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. C
Manómetro 2
20m
Manómetro 1
5m Eje de Referencia
B
Depósito Abierto
Bomba
Ahora nuevamente escribiendo la ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas tenemos:
Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido, pero SI hay energía agregada mediante un dispositivo mecánico, en este caso la bomba : Conociendo que la notación de =0 y
, luego entonces este término se conserva en la ecuación bajo y así mismo se cancelan algunos términos como: Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.
se cancelan
El tamaño de la tubería es el mismo en la sección B y en la sección
C. La rapidez de flujo de volumen en cada punto es también la misma. Entonces, puesto que , podemos concluir que
.
Luego la expresión se reduce a:
52
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Puesto que en el ejercicio nos indican que la bomba tiene una potencia de , y manejando el concepto de que la potencia útil o la potencia añadida al fluido por la bomba es igual a:
En donde: es el peso específico del fluido que fluye por la bomba y Q es la rapidez de flujo de volúmen del fluido (caudal); de esta ecuación despejamos que es la energía añadida o agregada al fluido mediante la bomba. Así:
Finalmente al despejar
de la ecuación de Bernoulli reducida tenemos:
Al remplazar los valores correspondientes obtenemos:
19.28. En este problema se despreciaran las pérdidas. Una bomba centrifuga que produce un caudal de agua de 300m3/h tiene las siguientes características: D1= 150mm; D2/D1= 3; b1= 40mm; b2/b1 1 2= 40º. Entrada radial. Calcular: a) rpm b) Altura de la bomba c) Par 53
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. d) Potencia e) Incremento de presión que se produce en el rodete Solución Datos:
Pérdidas:
Hr-int.= 0
Caudal:
Q= 300m3/h
Diámetro 1:
D1= 150mm
Diámetro 2:
D2= 3 D1
Arista de entrada:
b1= 40mm
Arista de salida:
b2/b1
2=
20mm
Solución. El caudal en una bomba en régimen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. Entonces se tiene que:
Q
b1D1c1m
1
Como la entrada es radial, se tendrá que el triangulo de velocidades a la entrada estará dado por:
Donde:
54
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. c1
c1m
1
60
Velocidad absoluta a la entrada m3
1h
h
3600s 1m
Q
300
b1
40mm
D1
150mm
0.083 m
3
s
0.04m
1000mm 1m
0.15m
1000mm
Despejando de (1) a c1m: 0.083 m
Q
c1m
s 0.04m 0.15m
b1 D1 4.40 m
c1m
3
4.40 m
s
s
Aplicando trigonometría en el triangulo de velocidades de entrada, se obtiene que: Tan
1
c1
c1m
u1
u1
( 2)
Despejando u1 de (2):
u1
4.40 m
c1m Tan
s
2.54 m
1.73
1
s
Pero como u1, según el Claudio Mataix Pág. 362, es igual a:
u1
r 1 w D1
(3) 2r 1
r 1
D1
0.15m
2
2
0.075m
Despejando w de (3):
w
u1 r 1
2.54 m
s 0.075m
33.87s
1
33.87 rad
s
Como la velocidad angular w está dada por: (Pág. 361 Claudio Mataix) w
2 n 60
n
60w 2
( 4)
55
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Reemplazando valores en la ecuación (4):
60 33.87 rad
n
2 323.43rpm
n
s
323.43rpm
(a )
Ahora, de la ecuación (19-4) del Claudio Mataix Pág. 386, se tiene que la expresión para el cálculo de la altura es: H
Hu
H r int .
(5)
En donde Hu es la altura que el rodete imparte al fluido y Hr-int. equivale a las perdidas hidráulicas en función de la altura. Como en este caso especifico, las pérdidas se desprecian, la ecuación (5), se reescribe como: H
Hu
H r int .
H
Hu
( 6)
Donde según la ecuación (19-3) del Claudio Mataix Pág.385, H u esta definida como: Hu Hu
u 2c 2u
u 1c1u g
u 2c 2u g
(7 )
Ya que c1u=0 (Entrada radial). Por otra parte, como el caudal no varía igualamos las condiciones en la entrada y a la salida, se puede deducir que:
Q
b1D1c1m
b 2 D 2 c 2m
Despejando c2m: c 2m
b1 D1 b 2 D 2
0.04m 0.15m
c1m
0.02m 3 0.15m
4.40 m
s
2.93 m
s
Ahora, para cálculo de u2: u2
D2 n 60
(3 0.15m) 3.23.43rpm 60
7.62 m
s 56
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Al construir el triangulo de velocidades que corresponden a la salida de la bomba, obtenemos por trigonometría lo siguiente:
Tan c 2u
c 2m 2
u2
u2
u2
c 2u
c 2m
c 2u
Tan
2
c 2m Tan
c 2u
7.62 m
c 2u
4.13 m
2
2.93 m s
s
4.13 m
0.84
s
s
Reemplazando el valor de c2u en la ecuación (7), se tiene que: 7.62 m Hu
s
4.13 m
9.81 m
s
3.21m
b
s2
El par transmitido por el rodete al fluido esta descrito por la ecuación (18-5) del Claudio Mataix en la Pág. 361: M
Q r 2 c 2 u
r 1c1u
Como el fluido con el que trabaja la bomba es agua, el =1000kg/m3. Reescribiendo todas las variables por sus respectivos valores, resulta: 3
M
0.083 m
M
7.71 m N
s
1000 kg
m
3
0.0225m
4.13 m
s
( c)
La potencia útil es la invertida en impulsar el caudal útil Q a la altura útil H. Luego, esto lleva según Claudio Mataix (Pág. 381) a que la potencia está definida por:
57
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
P
Q gH
P
0.083 m
P
2613.68 w
P
2.61 kw
3
1000
s
kg
9.81 m
m3
s2
3.21m
d
El incremento de presión creado por el rodete si la bomba está llena de agua será (Claudio Mataix, Pág. 383):
p p
agua
gH
1000
kg m
p
31490.1 Pa
p
31.50 kPa
9.81 m
3
s2
3.21m
e
19.29 UNA BOMBA CENTRIFUGA DE AGUA QUE GIRA A 1000 RPM, TIENE LAS SIGUIENTES DIMENSIONES: (Datos de Entrada) D1= 180 mm
b1 = 30 mm 1 =
b2 = 20 mm
20o
2 =
30o
Eficiencias H
=81 % (hidráulica)
m =
95 % (mecánica)
motor eléctrico =
0.85
Diámetro tubería de entrada: 220 mm Diámetro tubería de salida: 200 mm Entrada a los alabes radial, las bridas de entrada y salida se encuentran a la misma cota. El desnivel entre el depósito de aspiración abierto a la atmosfera y la brida de aspiración asciende a 1,2 m. Calcular: a) Los triángulos de velocidad a la entrada y la salida del rodete. (c, u, w, cu, cm 58
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. b) Caudal Q c) Altura de Euler Hu d) Altura de Presión a la entrada de la bomba e) Energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba. f)
Altura de presión a la salida de la bomba. Solución: ESQUEMA DEL SISTEMA DE BOMBA
a) Triángulos de Velocidad A la entrada del alabe Se considera que el fluido agua entra a los alabes en forma radial, por lo tanto el triangulo de velocidad a la entrada queda representado de la siguiente forma:
C1u = 0, La razón de que c1u sea cero, es porque la entrada del fluido al álabe es radial, por lo que c1 se hace igual a c1m o la velocidad meridional, así c1 = c1m. A la salida del álabe el triángulo de velocidades que representado así:
59
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Calculo de las velocidades y ángulos de entrada y salida a) Considerando el triangulo de velocidades a la entrada Se determina u1 u1 = Con o
D1 = 180 mm N = 1000 rpm u1 = u1 = 9424.8 Se determina c1m c1m c1m = (9424.8
) tan 20o
c1m = 3430. 3 Esta velocidad es igual a c1 C1 = 3430. 3 C1u = 0 Se determina w1
60
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. w1 = w1 = w1 = 10029.6 b) Para determinar el caudal Q Q = b1 D1 c1m Q = (30 mm) (180 mm) (3430.3 Q = 58.2 x 106 Se determina u2 u2 = Con D2 = 360 mm N = 1000 rpm u2 = u2 = 18849.6 Para hallar c2m, por conservación de caudal y sin pérdidas volumétricas se usa la ecuación: Q = b2 D2 c2m Despejando c2m c2m = Con Q = 58.2 x 106 b2 = 20 mm D2 = 360 mm c2m =
61
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. c2m = 2572.7 Del triángulo de velocidades a la salida se determina: c2u Considerando la figura
Despejando c2m se obtiene: C2u = Reemplazando los datos C2u = C2u = 14393.2 Se determina w2 De la figura w2 = w2 = Para determinar c2 se utiliza el teorema de Pitágoras y del triangulo de velocidades a la salida:
c2 = c2 = 45587.9
62
