EJERCICIOS PROPUESTOS MAQUINAS HIDRÁULICAS “TURBOMÁQUINAS HIDRÁU HIDRÁ ULICAS: BOMBAS ROTODINÁMICAS CAP. 19”
PRESENTADO POR: FERNANDO FERNANDEZ JARABA CARLOS PACHECO ESCORCIA MAURICIO MACHADO CALDERON JOSEPH SUAREZ MARTINEZ ANTHONY ESCOBAR VARGAS ZORAIDA POLO CHARRIS
PRESENTADO A: ING. CRISTIAN ANTONIO PEDRAZA YEPES
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INGENIERIA MECANICA VIII SEMESTRE BARRANQUILLA, SEPTIEMBRE 03 DE 2012
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 19.1. Una 19.1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3/h tiene una tubería de aspiración de 400 mm y una de impulsión de 375 mm. El vacuómetro conectado en la tubería de aspiración situado 80 mm por debajo del eje de la maquina marca una depresión de 2 m de columna de agua y el manómetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una sobrepresión de 12 m columna de agua. Calcular la altura útil que da la bomba. Solución. Con los datos del problema, tratándose de una bomba que está funcionando, es inmediato el cálculo de la altura útil. H
P s PE g
Q
1200
4Q
v s
v E
3600
Z s Z E
vs 2 vE 2 2 g
0.3333m3 / s
D s 2 4Q
D E 2
(4)(0.3333)
(0.375) 2
3.0180m / s
(4)(0.3333)
(0.400)2
6526m / s 2.652
v s 2 2 g v E 2 2 g
(3.0180) 2 (2) (2)(9.81) (2.6526) 2 (2) (2)(9.81)
0.4643m 0.3586 m
Sustituyendo las alturas dinamicas obtenidas, asi como los otros datos del problema, tenemos: H
(12 2) (0.5 0.08)
vS 2 vE 2 2 g
14.686m
19.2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las pérdidas ni se tiene en cuenta el estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las sig uientes dimensiones: D1 = 75 mm; D2 = 300 mm; b1 = b2 = 50 mm; β1 = 45°; β 2 = 60°. La entrada en los alabes es radial (caso ordinario de las bombas centrifugas). La bomba g ira a 500 rpm. El fluido bombeado es agua. Calcular: a)El caudal ; b) La altura que da la bomba ; c) El par transmitido por el rodete al fluido ; d) La potencia de accionamiento. Solución. a)El caudal de una bomba en regumen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. La sección de entrada en los alabes del rodete r odete es la superficie lateral de un cilindro, si no se tiene en cuenta el espesor de los alabes, y la velocidad normal a dicha sección es la componente radial C1m = C1 (entrada de la corriente radial). Es decir: Q b1 D1C1m
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Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la entrada τ1 < 1, de manera que: Q 1 b1D1C1m En nuestro caso τ 1 = 1. Asimismo a la salida:
Q 2 b2 D2C2 m Si los alabes son afilados a la salida (caso normal): τ 2 = 1
u1
C1m
D1n 60
(0.075)(500) 60
1.964m / s
45 u1 1.964m / s C1 u1 tan 45
Sustituyendo Q (0.50)(0.075)(C1m ) 0.0231m3 / s 23.11L / s b) Si no hay perdidas Hr-int = 0
3
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. H
H u
Ya que C 1u
u2C2u
u1C1u g
u2C2u
g
0 (entrada en los alabes radial).
Q b2 D2C2 m
b1 D1C1m
Y
C2 m
u2
b1D1 b2 d 2
D2 D1
u1
u2
Además
C2u
Luego
Hu H
( 2 C1m
(50)(75) (50)(300)
(300) (75)
C 2 m tan 2
1)
(1.964) 0.4909m / s
(1.964) 7.854m / s
(7.854)
(7.854)(7.506) 9.81
(0.4909) tan 60
7.506m / s
6.061m
C) El par transmitido por el rodete al fluido viene dado por.
M
Q (r2C2u rC 1 1u ) (0.0231)(1000)(0.15)(7.506) 26.268m N
d)
nv
Deducimos que
nh nm 1 P Q gH
(0.0231)(1000)(9.81)(6.061) 1375.4W 1.3754 KW
19.3. Entre el pozo de aspiración y el depósito de impulsión de una bomba de agua hay un desnivel de 20m. La tubería de aspiración es de 300 mm de diámetro y de 6 m de longitud. Esta provista de alcachofa, válvula de pie y de un codo de 90°. La tubería de impulsión es de 250 mm de diámetro y de 140 m de longitud. Las tuberías de aspiración e impulsión son de hierro galvanizado. La tubería de impulsión tiene una válvula de compuerta y dos codos de 90°. El caudal bombeado es de 4800 l/min. El rendimiento hidráulico de la bomba = 70%. El rendimiento volumétrico = 1 y el rendimiento mecánico = 85%. Todos los codos de las tuberías tienen una relación r/D = 0.25. Calcular la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento de esa bomba. Solución. Pa
Q gH nh nv nm
(1000)(9.81) QH (0.7)(1)(0.85)
16.487QH
Q
4.8 60
0.08m3 / s
Designaremos con subíndice a los valores correspondientes a la aspiración, y con subíndice i los correspondientes a la impulsión.
4
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. va
4Q
d a2
(4)(0.08)
(0.3002 )
1.132m / s
vi
4Q
d i2
(4)(0.08)
(0.2502 )
1.630m / s
La velocidad de aspiración en las bombas se mantiene con frecuencia más baja que la de impulsión para evitar la cavitación. V a2 2 g
V i 2
0.065m
2 g
0.135m
Para obtener H en este problema se ha de recurrir a la segunda expresión de la altura útil. H
z Z z A H ra H ri
vt 2
vt2
2 g
2 g
vi2 2 g
z Z
zA 20m
Calculo de las perdidas en la tubería de aspiración, Hra
' La va2 '' H ra a a a d a 2 g Donde a' = 3.7 (alcachofa y válvula de pie) ; Rea
va d a v
(1.132)(0.300) 6
1.007 x10
a'' = 0.4 (codo90°, r/D=0.25)
3.372 x105
( v H 2O a 20°C = 1.007x10-6 m2/s) k da
17x105 6
1.007x10
3.372 x105
(k para hierro galvanizado = 17x10-5m) Con los valores de Rea y k/da se lee en el diagrama de Moody a
0.01844
Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos: 6 (1.132) 2 0.292 m H ra 3.7 0.4 0.01844 0.300 2(9.81) Calculo de las perdidas en la tubería de impulsión, Hri
' Li vi2 '' H ri i 2 i i di 2 g 5
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Donde i' =0.2 (válvula compuerta abierta) i'' = 0.4 (codo 90°, r/D = 0.25)
Rei
vi d i v
(1.630)(0.250) 1.007 x106
k
4.046 x10
5
d i
17x105 0.250
0.000680
En el diagrama de Moody se lee i 0.01887 Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos: H ri
140 1.630 0.2 2(0.4) 0.01887 2(9.81) 1.566m 0.250
Sustituyendo el la ecuación.
H
20 0.292 1.566 0.135 21.993m
Finalmente la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento será. Pa
(0.08)(1000)(9.81)(21.993) (0.7)(1)(0.85)
29.009 x103W 29.009 KW
19.4. Una bomba centrifuga radial de agua está diseñada para girar a 1450 rpm y para entrada radial en los alabes del rodete. El caudal en el punto nominal (rendimiento óptimo) es 160000 l/h. De esta bomba se conocen las siguientes características geométricas: relación de diámetros de salida y entrada de los alabes: D2/D1 = 2. Diámetro exterior del rodete D2 = 300 mm. Ancho a la salida del rodete: b2 = 20 mm. Angulo de los alabes a la salida: β 2 = 45°. Se sabe además que para el punto de optimo rendimiento: rendimiento hidráulico: 80%, rendimiento volumétrico: 90%, rendimiento mecánico: 85%. Se despreciara el espesor de los alabes. La bomba se ha diseñado para que la componente radial de la velocidad absoluta sea constante a la entrada y salida de los alabes. Las tuberías de aspiración e impulsión de la bomba son iguales y los ejes de las bridas de entrada y salida de la bomba se hayan a la misma cota. El manómetro conectado a la entrada de la bomba marca una presión absoluta de 305 torr cuando el caudal es el arriba indicado. Calcular: A) angulo de entrada en los alabes; velocidades u2 y u1; velocidad C 2; componente radial de la velocidad absoluta a la entrada y salida de los alabes; angulo de los alabes a la entrada de la corona directriz de que esta provista la bomba. B) altura de Euler y altura útil. C) potencia interna de la bomba. D) potencia de accionamiento. E) alturas de presión y dinámica del rodete y grado de reacción de la bomba. F) presión absoluta del agua a la salida de la bomba.
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Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución. Q
a)El caudal de la bomba es
160 3600
0.0444m3 / s
El caudal bombeado por el rodete es: Q qe qi
Q nv
Además. C1
C1m C2m
u2
1
arctan
C 1m
u2
C 2 m
C2u
C2
D2 n
60
Q
D2b2 nv
(0.3)(1.450)
u1
60
Q
(0.3)(0.02)(0.9)
2.62m / s
22.777m / s
u1
D1 D2
u2
11.388m / s
12.96
tan 2
u2 C2m 20.157m / s
C22m C22u 20.326m / s
2
arctan
C 2 m C 2u
7.41
Para que no haya choque a la entrada de la corona directriz el alabe deberá estar construido con este angulo α2 a la entrada de la misma. b)La altura de Euler o altura teorica se deduce de la siguiente ecucacion. Haciendo u1C 1u H u
u2C2u
u1C1u g
H u
u2C 2u g
0
46.799 m 7
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. La altura útil será:
nh Hu (0.8)(46.799) 37.439 m
H
c) Pi
(Q qe qi )( H Hr int ) g
Q g H nv nh
d)La potencia de accionamiento será: Pa
Pi nm
C22 C 12
(0.0444)(1000)(9.81)(37.439) (0.9)(0.8)
22.671 0.85
26.672 K
e)Altura dinámica del rodete:
H d
Altura de presión del rodete:
H p
Hu Hd 26.091m
Grado de reacción de la bomba:
2 g
H p H u
22.671 KW
20.708m
100 55.75%
f) La presión absoluta a la entrada de la bomba, teniendo en cuenta el enunciado del problema P E (0.305)(13600)(9.81) 40.692 N / m2
será:
Ahora bien, siendo zS
vS2 vE 2 2 g
0 , por ser las tuberías de aspiración e impulsión de igual diámetro y
z E 0 , por estar los puntos S y E a la misma cota.
H
PS
P E
y
g
PS
PE gH 407.972 N / m2 4.07972bar
19.5. Una bomba funcionando a 2520 rpm y suministrando un caudal de 16 l/s proporciona una altura útil de 26 m. De sus curvas características se deduce que en dicho punto de funcionamiento el rendimiento total de la bomba es 81%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba en estar condiciones. Pa
Q gH ntot
(0.016)(1000)(9.81)(26) 0.81
5.038 KW
19.6. Una bomba centrifuga de agua tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; D2 = 450 mm; b1 = 40 mm; b2 = 20 mm; β1 = 10°; β2 = 30°; n=1500 rpm. Entrada en los alabes radial; nh=88%; ntot=82%; despreciese el espesor de los alabes; n v=1. Calcular: a)Caudal; b)altura teorica o altura de Euler; c)potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido; d) altura útil; e)altura hidráulica perdida en la bomba; f) potencia de accionamiento de la bomba.
8
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución. Q b1D1C1m
a) u1
D1n 60
(0.15)(1500) 60
11.781m / s
C1m
u1 tan10
C1m
u1 tan10 2.077m / s
C2u
u2
(τ1 = 1)
Q (0.04)(0.15)(2.077) 0.0392m3 / s b) H u
u2
D2 D1
u2C 2u g u1
(entrada en los alabes radial)
450 150
(2.077) 35.43m / s
C2 m tan 2
u2
C 2 m tan 30
Por la ecuación de la continuidad: C2 m
H u
b1D1 b2 D2
C1m
(40)(150) (20)(450)
(35.43)(32.944) 9.81
(2.077) 1.385m / s
C2u
(35.43)
(1.385) tan30
32.944m / s
118.690m
c) La potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido es la potencia interna: Pi
Q gHu (0.0392)(1000)(9.81)(118.690) 45.591KW
d) La altura útil es:
H
nh Hu (0.88)(118.690) 104.447m
e) La altura hidráulica perdida en la bomba es: H r int
Hu H 14.243m
f) La potencia de accionamiento de la bomba será: Pa
P ntot
(0.0392)(1000)(9.81)(104.447) 0.82
48.927 KW
19.7. En una instalación de bomba centrifuga de agua la altura desde el pozo de aspiración hasta el eje de la bomba es de 4m y desde el eje de la bomba hasta el nivel superior del depósito de impulsión 56m. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm. La perdida de carga en la tubería de aspiración asciende a 2m y en la tubería de impulsión (sin incluir las perdida a la salida de la misma y entrada del depósito) a 7m. Las dimensiones del rodete son: D2 = 400mm; b2 = 25mm; β2 = 30°. La bomba gira a 1450 r pm. La entrada en los alabes es r adial. El rendimiento
hidráulico es 82%. Desprecie el influjo del espesor de los alabes. Calcular: a) Caudal; b) la presión
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Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. del agua junto a la brida de aspiración; c) la presión del agua junto a la brida de la tubería de impulsión. Solución. La velocidad periférica del rodete a la salida es: D2 n (0.4)(1450) 30.369m / s u2 60 60 Por la ecuación de continuidad el caudal es el mismo a la salida del rodete y en la tubería; llamando vt a la velocidad del agua en la tubería, tendremos: Q D2b2C2 m
d t 2 4
vt
Por el triangulo de velocidades a la salida:
La altura teórica o altura de Euler será:
La altura útil será:
H
d t 2
C2 m
C2u
u2
H u
1
D2b2 4
vt
C 2 m
g
(0.4)(0.025)(4)
vt
0.563vt
u22
g
u2C2m g tan 2
94.0122 3.016vt
H u nh (94.0122 3.016vt )(0.82) 77.090 2.473vt
Por otra parte con la segunda expresión de la altura útil. H
z Z zA Hra H ri
vt2 2 g
60 2 7
vt2 2g
69
vt 2 2 g
Donde vt - velocidad del agua en la tubería. Igualanado las 2 expresiones para la altura útil, se obtiene:
vt2 48.524vt 158.723 0 2
Resolviendo tenemos:
Sustituyendo, obtendremos:
a) El caudal será:
vt 3.076m / s
H
69
Q
d t 2 4
y vt 2 2 g
30.369 0.974vt
tan 2
u 2 C2 u
0.1502
vt
2 g
0.482m
69.482m
vt 0.0544m3 / s 55.4 l/s
b) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración y la entrada de la bomba:
10
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. P A g P E
g
z A
vA2 2g
H ra
PE g
z E
vE 2 2 g
6.482m
0002
P E g
4
vE 2 2 g
P E 63.591Pa 0.63591bar
c) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las secciones S y el nivel superior del depósito de impulsión Z: PS g P S
g
zS
vS2 2g
H ri
56 7 63
vt 2 2 g
0 0 z Z
Ya que
vS
vt
El mismo resultado se obtiene aplicando la misma ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración (punto A) y la salida de la bomba (punto S). P A g
z A
vA2 2g
Suponiendo zS
H ra H
g
g
z S
vS 2 2 g
z E , tendremos:
0 0 0 2 69.482 P S
PS
P S g
4 0.482
2 69.482 4 0.482 63m
PS (63)(1000)(9.81) 618.030Pa 6.18030bar 19.8. En la tubería de aspiración de 150 mm de una bomba centrifuga de agua hay los siguientes elementos: un codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 10m de tubería recta y otro codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 5m de tubería recta. La perdida de carga en la alcachofa y válvula de pie es el triple de la altura de velocidad en la tubería de aspiración. La longitud total de los trozos de tubería recta es 8m. El agua tiene una temperatura de 50°C y el caudal de la bomba es 2500 l/min. La presión absoluta en la brida de aspiración de la bomba ha de mantenerse 100 mbar por encima de la presión de saturación del vapor. La tubería es de fundición asfaltada. La presión barométrica es 750 Torr. Estimar la altura máxima permisible del eje de la bomba por encima del nivel de agua en el depósito de aspiración.
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Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución.
H 2O (50C ) 988.20Kg / m3
PS (a t=50°C) = 0.12335 bar
0.12335 0.100 0.22335bar Pamb 750Torr (750)(13.6)(9.81) 1.0006 x105 N / m2 P E min
2.5
Q
C E 2 2 g
0.04167m3 / s
60
(2.358) 2 (2)(9.81)
C E
4Q 2 E
d
(4)(0.04167)
(0.150) 2
2.358m / s
0.283m
Ecuación de Bernoulli entre A y E (en presiones absolutas) 10 5 8 0.22335 x10 5 0 0 3 0.283 0.283 H S 0.283 (988.20)(9.81) 0.150 (988.20)(9.81) 1000 x105
H S 6.8856 43.3933 k d
0.1 150
Re
0.00066667
Cd v
(2.358)(0.150) 0.556x106
636.151
En el diagrama de Moody se lee 0.0185 H S (6.8856)(43.3933)(0.0185) 6.0828 m Como comprobación se puede ahora calcular la altura útil H. PS
H
vS
vE
H
PE
g
PS
zS z E
vS2 vE2
2 g zS
P E
g
z E
63 (6.482) 69.482 m
19.9. Se bombea gasolina desde un tanque hasta un depósito nodriza situado 50 m por encima del tanque con un caudal de 80 L/min. Densidad relativa de 0.84. Viscosidad dinámica=0.8x10-3 Pas. La longitud total de la tubería de aspiración y de impulsión y longitud equivalente es de 70 m. la tubería de acero soldado oxidado de 75 mm. Despréciense las perdidas secundarias. Calcular la potencia en el eje motor eléctrico si el rendimiento total de la bomba es de 50%.
12
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución.
Para encontrar la potencia en el eje motor eléctrico, se emplea la sgte ecuación Pa
Q gH ntotal
0.08
Q
60
gasolina
H
1.33x103 m3 / s
(0.84)(1000) 840 Kg / m3
z Z z A H ra H ri
vt 2 2 g
Determinamos velocidades de aspiración y de impulsión. va
(4)(1.33 x103 m3 / s ) (0.075m) 2
0.3018m / s
Teniendo en cuanta que tanto el tubo de aspiración e i mpulsión tienen el mismo diámetro. va va2 2 g va
vi
4.64 x103 m
vi
va2 2 g
vi2 2g
vi2 2g
vt2
2 g
13
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Hallamos el numero de Reynolds.
Rea
va d a
(0.3018)(0.075)(840) 3
(0.8 x10 )
23.76675 x103
Rugosidad sobre el diámetro. k
d a
0.4x104 0.075
5.33 x103
Con los valores de Re y k/da, se lee en el diagrama de Moody a
0.032
Ahora hallamos Hra.
a
H ra
L 0.032 a d a 0.075
La
Para las pérdidas de impulsión, será el siguiente valor. H ri
i
L 0.032 i d i 0.075
Li
Esto se debe a que va El valor de z Z
vi y
da
d i
zA 50m
Reemplazando los valores obtenemos H. H
50
La 3 0.075 4.64 x10
(0.032)(0.3018) Li 2(9.81)(0.075)
Donde Li + La = 70m (0.032)(0.3018) 70
H
50
H
50.143m
2(9.81)(0.075)
3 0.075 4.64 x10
Por último determinamos la potencia. P a Pa
(1.33 x103 )(840)(9.81)(50.143) 0.5
1101868W 1.1018 KW 14
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 19.10 Un manómetro conectado a la entrada1 de una bomba centrífuga indica una altura de presión de 5,5 m por debajo de la presión atmosférica. En este instante la bomba proporciona un caudal de 4000 l/min. La tubería de aspiración es de 150mm de diámetro y 15 m de longitud y está provista de válvula de pie y alcachofa y un codo. La pérdida en el codo es equivalente a m. el coeficiente de pérdida de carga de la tubería es =0,025. Calcular la cota del punto en que está conectado el vacuómetro.
DATOS
Q=
SOLUCIÓN Este ejercicio se ubica entre el punto de succión y el punto donde está conectado el vacuómetro. Para la figura 19-18 del libro, estos puntos son el a y el e. Aplicando la ecuación de Bernoulli:
(1) 15
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Es igual al término
porque ambos puntos están ubicados en la misma tubería, y entonces
tienen el mismo diámetro. El término
es la altura de presión, y es igual a 5,5 m, según el enunciado del ejercicio.
Son las pérdidas por fricción en tubería más las pérdidas en el codo, en las válvulas de pie y alcachofa.
Velocidad=
Despejando la altura geodésica en la ecuación (1), se tiene:
El término
es cero, porque las velocidades son iguales, debido a que los dos puntos están
en la misma tubería, que tiene un solo diámetro.
El término
es negativo escrito en esta forma, con el término
delante de
, porque
es mayor. Entonces, por eso se antepone el signo negativo, y la diferencia de altura queda:
16
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.11. En una bomba que trabaja con agua fría el manómetro de impulsión situado 10 m por encima del eje de la bomba marca una altura de presión de 80 m c. a. El vacuómetro situado a 50 cm por debajo del eje de la bomba marca una presión relativa de 200 Torr. Por la diferencia de diámetros entre las tuberías de aspiración e impulsión se crea una altura dinámica de 1 / 2 m. Calcular la altura útil de la bomba.
P s H
Vs 2 g Pe
Z s H
P s
Pe
V e 2 g
Z e
Ze Z s
Conversiones 80 m.c.a. = 800 Kpa = 800000 pascal = 800000 N/m² = 800000 Kg/ms² 200 Torr = 26.664 Kpa = 26664 pascal = 26664 N/m² = 26664 Kg/ms² Reemplazando en la formula: 800000 Kg/ms² = 81.3265 m 9800 Kg/m²s² 17
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 26664 Kg/ms² = 207208 m 9800 Kg/m²s² H = 81.63 + 2.72 + 9.5 = 93.85 m H = 93.85 m 19-12. Una bomba centrifuga cuyo coeficiente de cavitación es 0.11, desarrolla una altura útil de 90m, la presión barométrica es 1bar. La presión de saturación del liquido bombeado (d=1.4) para ka temperatura de funcionamiento es 0.030bar. Las pérdidas de la tubería de aspiración a 1,5m. a) Calcular la altura máxima permisible a la que puede colocarse la bomba con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración. Solucion.
h H
Hsmas
P A P S
g
H rA E h
P A = Presión absoluta en el nivel superior del depósito de aspiración. P S = Presión de saturación del vapor del líquido bombeado para temperatura de bombeo C.
H rA E = Perdida de carga en la tubería de aspiración.
h = Caída de altura de presión en el interior de la bomba, cuyo valor suministra el fabricante.
h H * h 90m * 0.11 h 9,9m
Para hallar la altura permisible debemos primero convertir bares a la unidad deseada.
1bar *
10 5 pascal 1bar
Kg * m 2 m s * * pascal m2 N
2
105
Kg m * s 2
18
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Ahora bien,
Hsmas
P A
P S H rA E h g Kg
Hsmas
Kg
100000 m* s 2 * 3000 m* s 2 Kg
1000 m3 * 9,8 sm2
9,9m 1,5m
Kg
Hsmas
97000 m* s 2 kg
9800 m 2 * s 2
11,4m
Hsmas 1,5m 19.13. En una bomba centrifuga de agua las tuberías de aspiración y de impulsión son de 300 mm de diámetro. La tubería de aspiración tiene 10 m de longitud y la de impulsión 150 m de longitud. Ambas tuberías son de hierro galvanizado. En la tubería de aspiración hay una válvula de pie y un codo, en la tubería de impulsión una válvula de compuerta. El caudal bombeado es de 6000l/min. Y la diferencia de niveles entre los pozos de aspiración y el depósito de impulsión es de 10m. El rendimiento de la bomba es del 65%. Calcular: 1. La potencia de accionamiento. Datos: TA: Tubería de aspiración: Válvula de pie y un codo Ti: Tubería de impulsión: Válvula de compuerta DA, i: Diámetro de las tuberías de aspiración y de impulsión 1m DA, i = 300mm * = 0.3 m 1000mm LA: Longitud de la tubería de aspiración = 10 m. Li: Longitud de la tubería de impulsión = 150 m. Material: HIERRO GALVANIZADO. Q = Caudal Bombeado Q= 6000l/min. = 6000 Q = 100
l min
x
1 min 60 seg
= 100
l s
l
s ∆A, i: Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión
∆A, i = 10m 19
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. ηTOTAL: Eficiencia total de la bomba ηTOTAL =65 % PA: Potencia de accionamiento PA = ? Solución. Para calcular la potencia de accionamiento empleamos la siguiente ecuación: PA =
Q gH
TOTAL Puesto que me relaciona las variables que tengo en el ejercicio. Q gH PA = TOTAL
(100 L / s )(
PA =
0.001m3 1 L
)(1000
kg m
3
)(9.8m / s 2 )
0.65
1 PA = 1507.6 Kg m / s 2 ( ) H ( m) s PA = 1507.6 H
La potencia de accionamiento me queda en función de la altura piezométrica H. Esta se obtiene gracias a la siguiente ecuación: H = ( Z z
Z a ) H ra H ri
vt 2 2 g
En donde:
Z a ) : Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión ( Z z Z a ) = 10m. ( Z z
' La va2 '' H ra a a a d a 2 g
H ra : Perdidas por accesorios o aditamentos en la tubería de aspiración
Donde:
20
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. a' : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de pie) a' = 6.1 a'' : Coeficiente de pérdidas por accesorios (un codo) a'' = 0.4
Va : Velocidad en la tubería de aspiración Esta es posible gracias a la siguiente ecuación: Va; al reemplazarla con sus respectivos valores tenemos: 4Q
V a
V a
Va
1.414m / s
d a2 4 0.1m3 / s
(0.3m) 2
H ri : Perdidas por accesorios y aditamentos en la tubería de impulsión
' Li vi2 '' H ri i 2 i i di 2 g En donde: i' : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de compuerta) i' = 0.2
i : Factor de fricción
Para conocer el i (factor de fricción), es necesario calcular el número de Reynold (Rea), y la rugosidad relativa
k d a
, una vez obtenido estos valores, obtenemos de manera grafica el factor de
fricción. El número de reynold es posible gracias a la siguiente ecuación:
21
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Rea =
v a .d a
a En donde: V a: Velocidad en la tubería de aspiración d a: diámetro en la tubería de aspiración ν: viscosidad cinemática del agua
m2
VH2O a 20ºc = 1.007*10-6 s 1.414
Rea =
m s
(0.3m)
1.007*10 5
6
m2 s
Rea = 4.212* 10 k d a
; En donde:
K es una rugosidad promedio para los diferentes tubos y se obtiene de acuerdo al material, este es posible ya que para nuestro problema el material es hierro galvanizado, dicho valor se encuentra en este rango: 0.15 ≤ k ≤ 0.20
Por lo que asumimos un k = 17 * 10-5 m Al reemplazarlo en la ecuación tenemos: k 17 *10 5 m = d a 0.3m k d a
= 5.67* 10-4
A estos valores le corresponde un factor por fricción, el cual es: i = 0.0226
Teniendo ya definido todos estos valores, procedemos a calcular las perdidas en cada una de las tuberías: Tubería de aspiración:
' La va2 '' H ra a a a 2 g d a
22
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
10m (1.414m / s)2 H ra 6.1 0.4 (0.0226) 0.3m 2(9.8m / s 2
1.999396m2 / s 2 H ra (7.253 2 19.6m / s H ra
0.739m
Tubería de impulsión En esta tubería la velocidad es la misma que en la tubería de aspiración debido a que tiene el mismo diámetro y el caudal bombeado es constante, de tal forma que: Va = Vi = 1.414m/s
' Li vi2 '' H ri i 2 i i di 2 g
150m (1.414m / s) 2 H ri 0.2 (0.0226) 0.3m 2(9.8m / s 2 ) H ri
1.173m
Ahora procedemos a reemplazar todos estos valores en la ecuación siguiente: vt 2 H = ( Z z Z a ) H ra H ri 2 g H = 10m + 0.739m + 1.173m + 0.10201m H = 12.01m Ahora este valor lo reemplazamos en la ecuación de la potencia de accionamiento, y de esta forma determinamos lo que nos están pidiendo: PA = 1507.6 H 23
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. PA = 1507.6 (12.01) (W) PA = 18.112 Kw. 19.14 Una bomba centrifuga proporciona un caudal de 1000L/min a 1000 rpm el diámetro del rodete 600mm. Ancho de salida 10 mm, brida entrada – salida se crea un diferencia de presión 3 Bar , ; de=1m, de=ds; rendimiento manométrico 70 % entrada del rodete r adial.
Hallar Altura efectiva, potencia útil,
Primero determinamos la altura efectiva usando la ecuación de Bernoulli
Debido a ds=de entonces Vs=Ve = a cero, la presión de entrada es cero así nos queda:
Luego nos queda
Para determinar la potencia utilizamos la ec.
Reemplazando nos queda: Sabiendo que:
Para determinar
Realizamos el triangulo de vela la salida: U 2
D1N 60
=
Determinamos Hu 24
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Luego utilizando la relación H u
u2C2u
u1C1u g
Pero como la entrada es radial entonces H u
u2C 2u g
Hallamos
u
Determinamos el valor de C 2 sabiendo que C 2 es = a C2m Entonces
Reemplazamos los valores:
Utilizando la relación de triángulos:
19.15 Una bomba centrifuga de agua proporciona una altura útil de 22 metros a una velocidad de 1.200 r.p.m. D1= 180 mm; D2= 300 mm. Entrada en los álabes del rodete, radial; Cm= constante en
25
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. todo el rodete; C2u= 25 m/s. Las perdidas perdidas hidráulicas en la bomba son iguales a 0.027 C22 m (C2 en m/s).
Calcular: a) El rendimiento hidráulico. b) Los ángulos álabes a la entrada y a la salida β 1 y β2.
Datos de entrada: H=22m
Hr=0.027 C22
n= 1.200 r.p.m. D1= 180 mm
D2=300 mm
C2u=25 m/s
Cm= constante
Consideraciones: Dado que la entrada en los álabes es radial C1 = C1m Desarrollo: a) Para hallar el rendimiento hidráulico utilizamos la siguiente fórmula: ηh = H/HU ; donde H= Hu – Hr-int ; H: altura útil Hu: altura de Euler
26
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
a)
Ahora procedemos a calcular el rendimiento hidráulico
b) Ahora procedemos a hallar los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida
27
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.16 Una bomba positiva de corona directriz tiene una altura geométrica de aspiración de 2 m y una de impulsión de 14m referidas al eje de la bomba. La velocidad del agua en la tubería de impulsión es de 2 m/s y Cm es contante en todo el recorrido e igual a 3 m/s; β2=60o.Se desprecian las perdidas en el interior y7 fuera de la bomba. La entrada en los álabes es radial. Calcular: a) Velocidad periférica a la salida del rodete b) Altura de presión a la salida del rodete. c) Altura de la velocidad a la salida del rodete. d) Angulo que deberá haber a la entrada de los alabes. Análisis y datos de entrada: 28
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Los subíndices 1 y 2 indican aspiración e impulsión r espectivamente.
Datos conocidos: -Cm: 3 m/s y es constante. -β2 = 60o. -V2= 2 m/s, velocidad de succión. -La entrada en los alabes es radial por lo tanto C1u = 0. -Se desprecian las perdidas en el interior y fuera de la bomba Como se desprecian las perdidas dentro y fuera de la bomba la ecuación de Bernoulli está dada por
Como los tanques son abiertos a la presión atmosférica, la presión es 0. Se desprecia la fricción. Despejando H:
Como la altura efectiva de la bomba es
, y las pérdidas son despreciables tenemos que
Según Euler
, para bombas y como la entrada es radial C1u = 0.
29
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Despejando: C 2u =
-Ecuación 1
Analizando el triangulo de velocidades para la salida (2)
Analizando el triangulo formado por Cm2, w2 y Tenemos que
.
Despejando
-ECAUCION 2
Igualando y resolviendo las ecuaciones las ecuaciones 1 y 2 tenemos una formula cuadrática
Resolviendo la mediante formula cuadrática encontramos la velocidad periférica es:
a)
b) Para la altura de presión a la salida del rodete tenemos que analizar desde el pozo hasta la salida de la bomba(nivel del eje de bomba)
Aplicando Bernoulli
-Como el tanque de suministro esta a la intemperie se va la presión de entrada -Velocidad de entrada se desprecia pues el diámetro del tanque es mucho mayor que la tubería y su velocidad es baja. -como analizamos a nivel de eje de la bomba la altura 2 es 0. Despejando 30
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. , a la salida del rodete es igual a C 2 y la halamos mediante el triangulo de velocidades
, analizando el triangulo formado por C 2, C2u y Cm tenemos que
No tenemos
Reemplazando los valores obtenemos que
Teniendo este valor procedo a hallar por Pitágoras C2=12.17 m/s Procedemos a reemplazar en la ecuación de Bernoulli ya encontrada
b)
seria la altura de presión en el rodete.
c) El ángulo q deberían tener los álabes directrices a la entrada seria igual a β1 y se hallaría mediante el triangulo de velocidades para 1
Como la entrada a los álabes es radial el triangulo queda reducido a
tenemos solo de este triangulo C m, pero utilizando la ecuación de Euler tenemos q , pero C1U es igual a cero entonces para poder hallar el valor de µ1 le damos un valor a la componente periférica de la velocidad absoluta muy pequeño (que tienda a cero) solo faltaría despejar y hallar µ 1. 31
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Despejando tenemos que
La magnitud de
, teniendo este valor procedemos a hallar β1 por trigonometría
.
19.17 Una bomba centrifuga que proporciona un caudal de 25 m3/h sirve para elevar agua a una altura de 25 m. La resistencia total de la tubería de aspiración y de impulsión es de 6 m. El rendimiento total de la bomba es de 0.7, y el rendimiento del motor eléctrico de accionamiento es de 0.95. Calcular la potencia de la red. Datos de entrada:
32
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Solución: Se calcula primero la potencia interna de la bomba; la cual es función de la potencia de accionamiento.
.
Pi es la potencia que necesita la bomba del motor eléctrico para vencer todas las perdidas y así
poder realizar el trabajo.
19.18 Una bomba centrífuga, cuyo rendimiento total es 60% bombea 2000L/min de aceite creando un incremento de presión efectiva de 2 bar.
Pasamos el caudal a
Convertimos el
a Kilopascales
Reemplazamos valores en la fórmula de la potencia de accionamiento 33
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.20. Entre las bridas de entrada y salida de una bomba, se coloco un manómetro en U de mercurio. De él se ha extraído el aire de manera que al funcionar el resto del tubo manométrico se encuentre lleno de agua. La bomba da una caudal de agua de 300 m3/h. la tubería de aspiración es de 250 mm y la de impulsión de 200 mm. El eje de la bomba es horizontal. Entre los ejes de la tubería en la toma manométrica de aspiración e impulsión hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento en la altura del mercurio de 20 cm (más elevada en la r ama unida al tubo de aspiración). Calcular la potencia útil de la bomba La potencia útil será la invertida en impulsar el caudal (Q) a la altura útil (H). Lo cual se resume en la siguiente fórmula: P Q gH El valor H se halla a continuación despejando el término de la ecuación de Bernoulli de la sig uiente manera:
ve2 Ps vs2 Ze H Z e 2 g g 2 g g Pe
Despejando H tenemos:
P s ve2 vs2 Pe H Z s Z e g 2 g g 2 g Reorganizando la ecuación encontramos: H
P s Pe g
Z s Z e
vs2 ve2 2 g
La altura manométrica igual a 20 cm que nos presentan en el ejercicio corresponde al siguiente término de la ecuación: P s
P e
g
34
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. El segundo término de la ecuación es igual al desnivel de 35 cm que se presenta entre los ejes de las tuberías: Z s Z e
En el último término de la ecuación se calculan las velocidades en base a los diámetros entregados con de las tuberías y reemplazándolos en la siguiente ecuación:
V= Q/A ; A =
Luego reemplazando: AS =
A=
AE =
A=
= 0,031 m2
= 0,049 m2
Se hallan las velocidades: VE = Q / A 1
VS= Q / A2
V1=
VE = 6122 m/h = 1,7 m/s
V2 =
VS = 9677 m/h = 2,68 m/s
Se sustituye todo los valores en H:
2.68m / s 2 1.7m / s 2 H 0.2m 0.35m 2(9.8m / s 2 ) H = 0,2 m + 0,35 m + 0,22 m H= 0,77 m
Por último se halla la potencia útil de la bomba seg ún la ecuación 19,17 del libro “Claudio Mataix”
de maquinas hidráulicas: P Q gH 35
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. P = (300 m3/h) (1000 Kg/m3) (9,8 m/s2) (0,77 m) P = 2263800W = 2263,8 KW 19.21. Una bomba centrifuga de agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la bomba es de 2,6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. Las diferencias de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0,6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba. Datos de entrada: Q = 50 m3/h
Pa = ?
P2 = 2,6 bar.
Hm =?
P1 = 250 Torr Z2 – Z1 = 0,6 m η
1000 Kg / m3 D1 = D2 Tenemos la ecuación de potencia de accionamiento P a
1 QgH
Para hallar la potencia de accionamiento necesitamos hallar la altura útil de la bomba o cabeza de presión H. Para hallarlo utilizamos la ecuación general de la energía: P1 g
Z1
(v1 )2 2g
H hl hr
P2 g
Z 2
(v2 )2 2 g
Despreciamos las perdidas menores hL y no hay energía retirada hR. Entonces la ecuación queda reducida a: P1 g
Z1
(v1 )2 2g
H
P2 g
Z 2
(v2 )2 2 g
36
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Despejando tenemos: H
P2 g
P1 g
Z2 Z 1
La velocidad expresada en términos de Q es: v
(v2 )2 2g
(v1 )2 2 g
16Q 2 2 4 D
2
Cuando realizamos la diferencia entre velocidades 1 y 2:
(v2 ) 2 g
2
(v1 ) 2g
2
16Q2 2 4 D 2 g
16Q 2 2 D 4 2 g 2
1
Pero como sabemos que D1 = D2, entonces la diferencia de velocidades se hace cero. La ecuación se reduce a: H
P2
g
P 1
g
Z 2 Z 1
Ahora para resolver la ecuación necesitamos realizar una conversión de unidades:
100000 Pa P2 2.6bar 260000 Pa( N / m 2 ) 1bar 133 Pa 332250 Pa( N / m 2) P1 250Torr 1Torr La presión 1 es negativa, porque es especificado que es una depresión medida por un vacuómetro.
1h 0.0138m3 / s 3600 s
Q (50m3 / h)
Con esto ya podemos hallar la cabeza de presión:
37
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
260000 (332250 N / m2 0.6m H 1000 Kg / m3 9.81m / s 2 260000 (332250 N / m2 0.6m H 1000 Kg / m3 9.81m / s 2
29.89m 0.6m H 30.49 m H
Ahora podemos hallar la potencia de accionamiento: P a
1 QgH
Reemplazando;
1 6657.54 w 0.62(1000)(0.0138)(9.81)(30.49)
Pa
19.22. Una bomba se emplea para impulsar agua a 10°C entre dos depósitos, cuyo desnivel es de 20m. Las tuberías de aspiración y de impulsión, cuyas longitudes son de 4 y 25m respectivamente, son de fundición de 300 y 250 mm respectivamente. Las perdidas secundarias pueden despreciarse. El caudal bombeado es de 800m3/h; ntot = 75%. Calcular: a) La altura efectiva de la bomba; b) Potencia de accionamiento. Agua a 10ºC ∆z = 20m
L de aspiración = 4m L de impulsión = 25m D de aspiración = 300mm D de impulsión = 250mm Q = 800m^3/h η total = 75%
38
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Buscamos en tablas los siguientes datos ε=0.25mm υ=1.03*10^-3 φ=999.7 kg/m^3
Ahora calcularemos el numero de Reynolds y las perdidas por fricción en las tuberías con las siguientes ecuaciones Re
LV 2
vS D
h f f D 2 g
v
f
1.325
E 5.74 ln 3.7 D R0.9
2
Q 800m3 / h 0.22m3 / s E
Re 906513.6
D
Re 1087816.31 f = 0.012
hf =0.079
f2 = 0.02
hf2 = 2.05
E D
8.33 x104 1 x103
Teniendo en cuenta que la energía de presión es cero y la energía cinética tiende a cero nuestra ecuación queda de la siguiente forma
39
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. P A
De
g
z A
vA2 2g
Hr ext H
PZ g
z Z
vZ 2 2 g
Quedaría que: H = 20 + 0.079 + 2.05 = 22.129 m Ahora calculamos la potencia útil P Q gH (W ) P (0.22m3 / s)(999.7 Kg / m3 )(9.81m / s2 )(22.129m) 47.7445 KW Y calculamos la potencia de accionamiento ntot
Pa
P Pa
47.7445 KW 0.75
63.6593KW
19.23. Una bomba centrífuga gira a 750 rpm. El desnivel geodésico entre los depósitos de aspiración e impulsión, abiertos a la atmósfera, junto con todas las pérdidas de carga exteriores a la bomba asciende a 15 m. El ángulo = 45°. La velocidad media del agua en las tuberías, así como la velocidad meridional en el interior de la bomba, se mantiene constante e igual a 2 m/s. La entrada de la corriente en los álabes es radial. El rendimiento manométrico de la bomba es 75%. Ancho del rodete a la salida 15 mm. Calcular:
a) Diámetro exterior del rodete. b) Altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral. c) Si el diámetro del rodete a la entrada es 0.4 el diámetro del rodete a la salida, calcular el caudal y el ancho del rodete a la entrada. d) . e) Rendimiento de la bomba, si 0.9 y 1
40
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
750 rpm
Datos.
= 0.75 n= 750 rpm = 45° = 2 m/s = 15 mm 15 m
Solución.
Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):
x
A partir de la ecuación de Bernoulli, determinamos que:
41
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
0, por estar abierto a la atmósfera.
, por mantenerse constante.
Por lo tanto, comprobamos que:
Ahora, se calcula la altura útil:
Sabiendo que
(1), se determina los valores de
y
con el segundo triángulo de
velocidades:
Donde
(2)
Reemplazando (2) en (1):
Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:
Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz. Con el valor de
, determinamos el diámetro externo:
Respuesta a)/: El valor del diámetro exterior del rodete es 383 mm. Para determinar la altura dinámica de velocidades:
, determinamos el valor de
a partir del segundo triángulo
42
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Respuesta b)/: La altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral es 8.67 m. El caudal se calcula de la siguiente manera:
Como el caudal en la entrada es el mismo que en la salida, tenemos que: (3)
Para determinar el diámetro del rodete a la entrada, se tiene la siguiente relación:
Con este dato, procedemos a calcular la anchura del rodete a la entrada a partir de (3):
Respuesta c)/: Según las condiciones diametrales, el caudal es a la entrada es 0.0375 m. El valor de
y el ancho de rodete
, se obtiene a partir del primer triángulo de velocidades. Por lo que:
Respuesta d)/: El valor de
es
.
El rendimiento de la bomba, se determina a partir de:
Respuesta e)/: El rendimiento de la bomba es 67.5 %
19.24. Una bomba centrífuga de agua tiene as siguientes características: D 1= 100 mm; D2/D1= 2; b1= 20mm; = 15°; = 30°; n= 1500 rpm. Las tomas de presión en la aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración marca una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65%, 96%; = 0.9. Supóngase la entrada en los álabes radial. Calcular:
a) Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete (los tres lados y los dos ángulos característicos). b) El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1). 43
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. c) La potencia en el eje de la bomba. d) La presión en bar del manómetro de impulsión. Datos.
= 0.96 = 0.9 = 0.65 n= 1500 rpm = 15° = 30° = 100 mm = 2 = 20 mm = -4 m c.a. Solución.
Respuesta a)/: Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):
x
Del primer triángulo de velocidad, determinamos
Para este caso,
:
y
Del segundo triángulo de velocidad, determinamos
:
44
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Para el caudal, teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico es igual a 1, se procede a calcularlo así:
Respuesta b)/: El caudal es
.
Para determinar la potencia del eje, se calcula como prim era medida el rendimiento hidráulico:
Determinamos la altura útil H:
Determinamos la potencia interna:
Calculamos la potencia de accionamiento:
Respuesta c)/: La potencia del eje de la bomba es
Para hallar la presión en bar, se realizó una conversión de unidades a la presión en la aspiración:
45
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Respuesta d)/: La presión en bar del manómetro de impulsión es
19.25 El rodete de una bomba centrifuga de gasolina ( 0.7 ) de 3 escalonamientos tiene un diámetro exterior de 370 mm y un ancho a la salida de 20 mm ; 2
45 . Por el espesor de los
álabes se reduce un 8 % el área circunferencial a la salida; m = 80 %. Calcular: A) Altura efectiva cuando la bomba gira a 900rpm, suministrando un caudal másico de 3.500kg/min; B) Potencia de accionamiento en estas condiciones. SOLUCION: D2 = 0.37 m b2 = 0.02 m β2 = 45º
ni = 0.85 nm = 0.80 N= 900rpm Q = 3500 Kg/min= 0.085 m3/seg Hallamos la velocidad meridional (C2m ): Q D2b2 c2 m Despejando tenemos: C2m = (0.085) / ( x 0.02 x 0.37) C2m = 3.44 m/seg Luego hallamos la velocidad periférica a la salida del alabe (U2 ): u2
D2 n 60
46
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. U2 =
( x 0.37 x 900) / 60
U2 = 17.43 m/s Luego del triangulo a la salida mostrado en la figura 18.2 tenemos: C2u
u2
c2 m tg 2
C2u = 17.43 m/seg – 3.44 m/seg C2u = 13.98 m/seg Luego hallamos la altura de euler:
H u
u2 c2u
u1c1u g
u2 c2u g
Hu = (17.43 x 13.98) / (9.8) = 24.86 m
h
H / H u
H = 3 (0.8) x (24.86) = 61.36 m ; Bomba de 3 escalonamientos escalonamientos El ejercicio nos plantea un rendimiento interno pero el volumétrico al trabajar con un liquido se toma como 1 por lo cual el rendimiento interno es igual al rendimiento r endimiento hidráulico. Conociendo la altura podemos hallar la potencia de accionamiento: P a
Q gH 1 m
Pa = (680 x 0.085 x 9.8 x 61.367) / (0.80 x 0.85) Pa = 51.649 Kw. 19.26 En este problema se desprecian las pérdidas. Una U na bomba centrífuga de agua tiene las siguientes características: n=500rpm, D1=100mm, D2=400mm. Área útil del rodete a la entrada=200cm2. Área útil del rodete a la salida=500cm2. Β1=45o, Β2=60o. Entrada en los álabes del rodete radial. Calcular w 1, w2 y la potencia de la bomba. Datos: n=500rpm
Ae=200cm2
w1=?
D1=100mm
As=500cm 2
w2=?
47
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. β1=45o, β2=60o
D2=400mm
P=?
Solución. Como conocemos el número de revoluciones de la bomba y a la vez el ángulo a la entrada procedemos a hallar la velocidad periférica en el punto 1, por lo que tendríamos:
El triangulo de velocidades a la entrada esta dado por:
w1
C1= C1m
Aplicando las relaciones trigonométricas podemos obtener tanto el valor de la velocidad relativa a la entrada w1, como el valor de C 1m o C1.
β1
Despejando la ecuación (1) tendríamos
Despejando la ecuación (2) tendríamos
Por la ecuación de continuidad asumimos que:
Ahora para la salida tenemos que
, y despejando
Procedemos a hallar la velocidad periférica en la salida
48
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Y el triangulo de velocidades en la salida será Para el triangulo azul aplicando las respectivas relaciones trigonométricas obtendremos el valor de w2 y obtener el valor de - C2u2.
C2
w2
C2m
β2
-
C2u2
u2
Despejando w2 de la ecuación (3) tenemos
Despejando C2u2 de la ecuación (4) tenemos
Sabemos que tenemos que
, pero debido a que las pérdidas se despreciaran en este problema, . Si utilizamos la primera forma de la ecuación de Euler, obtendríamos:
Pero debido a que la entrada en los alabes es radial,
, entonces:
Y la potencia de la bomba estaría dada por la siguiente expresión
19.27 Una bomba de agua da un caudal de
. Aspira en carga de un depósito abierto por
una tubería de estando el eje de la bomba por debajo del nivel de agua en el depósito. Despréciense las pérdidas en la bomba y en las tuberías. La potencia de la bomba es de .
49
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Calcular: 1) La lectura de un manómetro situado en la brida de espiración depósito. 2) La lectura de otro manómetro situado en la tubería de impulsión agua en el depósito.
por debajo del nivel del
por encima del nivel de
SOLUCIÓN Para empezar el desarrollo de nuestro ejercicio empezamos realizando las siguientes conversiones: Sea Sea
1) Iniciaremos el análisis escogiendo los puntos en donde conocemos la mayor información sobre presión, velocidad y elevación. Siendo así analizaremos primero la superficie del recipiente y la sección de entrada a la bomba, en donde se encuentra ubicado el primer manómetro. Los puntos se ilustran a continuación: Manómetro
Manómetro
E e de Re erencia
La ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas será:
Depósito Abierto
Bomba
Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido y tampoco hay energía agregada mediante un dispositivo mecánico (bomba) : Conociendo que , luego entonces este término desaparece de la ecuación y así mismo se cancelan algunos términos como:
50
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
, ya que
=0
La superficie del recipiente está expuesta a la atmósfera (depósito
abierto).
, ya que
=0
(Aproximadamente) El área superficial del recipiente es grande en
comparación a la de la entrada de la tubería. =0
Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.
Luego la expresión se reduce a:
Puesto que tiene un valor dado de
y que el diámetro de la tubería es de
entonces podemos calcular la velocidad que lleva el fluido en el punto B.
Al despejar
de la ecuación:
,
Reemplazando los valores correspondientes:
Finalmente
Esta es la presión que registra el manómetro ubicado en la brida de aspiración 5m por debajo del nivel de agua del depósito. El signo negativo indica que se trata de un vacuómetro. 2) Para la segunda parte del análisis escogeremos la sección de entrada a la bomba en donde se ubica el primer manómetro y la sección en donde se encuentra ubicado el segundo manómetro. Los puntos se ilustran a continuación: 51
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. C
Manómetro 2
20m
Manómetro 1
5m Eje de Referencia
B
Depósito Abierto
Bomba
Ahora nuevamente escribiendo la ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas tenemos:
Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido, pero SI hay energía agregada mediante un dispositivo mecánico, en este caso la bomba : Conociendo que la notación de
, luego entonces este término se conserva en la ecuación bajo y así mismo se cancelan algunos términos como:
=0 y
Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.
se cancelan
El tamaño de la tubería es el mismo en la sección B y en la sección
C. La rapidez de flujo de volumen en cada punto es también la misma. Entonces, puesto que , podemos concluir que
Luego la expresión se reduce a:
.
52
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Puesto que en el ejercicio nos indican que la bomba tiene una potencia de , y manejando el concepto de que la potencia útil o la potencia añadida al fluido por la bomba es igual a:
En donde:
es el peso específico del fluido que fluye por la bomba y Q es la rapidez de flujo de volúmen del fluido (caudal); de esta ecuación despejamos que es la energía añadida o agregada al fluido mediante la bomba. Así:
Finalmente al despejar
de la ecuación de Bernoulli reducida tenemos:
Al remplazar los valores correspondientes obtenemos:
19.28. En este problema se despreciaran las pérdidas. Una bomba centrifuga que produce un caudal de agua de 300m3/h tiene las siguientes características: D1= 150mm; D2/D1= 3; b1= 40mm; b2/b1= 1/2; β1= 60º; β2= 40º. Entrada radial. Calcular: a) rpm b) Altura de la bomba c) Par 53
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. d) Potencia e) Incremento de presión que se produce en el rodete
Solución Datos:
Pérdidas:
Hr-int.= 0
Caudal:
Q= 300m3/h
Diámetro 1:
D1= 150mm
Diámetro 2:
D2= 3 D1
Arista de entrada:
b1= 40mm
Arista de salida:
b2/b1= ½ → b2= 20mm
Solución. El caudal en una bomba en régimen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. Entonces se tiene que:
Q b1D1c1m
1
Como la entrada es radial, se tendrá que el triangulo de velocidades a la entrada estará dado por:
Donde:
54
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
c1m Velocidad absoluta a la entrada 1 60 3 m3 1h Q 300 0.083 m s h 3600s c1
1m
b1
40mm
D1
150mm
0.04m
1000mm 1m
1000mm
0.15m
Despejando de (1) a c1m: Q
c1m
c1m
4.40 m s
b1D1
0.083 m
3
s 4.40 m s 0.04m 0.15m
Aplicando trigonometría en el triangulo de velocidades de entrada, se obtiene que: Tan 1
c1 u1
c1m
( 2)
u1
Despejando u1 de (2):
u1
c1m Tan 1
4.40 m 1.73
s
2.54 m s
Pero como u1, según el Claudio Mataix Pág. 362, es igual a:
u1 r 1 w
(3)
D1
2r 1 r 1
D1
2
0.15m 2
0.075m
Despejando w de (3):
w
u1 r 1
2.54 m
s 0.075m
33.87s 1 33.87 rad s
Como la velocidad angular w está dada por: (Pág. 361 Claudio Mataix) w
2n 60
n
60w 2
( 4)
55
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Reemplazando valores en la ecuación (4):
n
60 33.87 rad
2 n 323.43rpm
s
323.43rpm
(a )
Ahora, de la ecuación (19-4) del Claudio Mataix Pág. 386, se tiene que la expresión para el cálculo de la altura es: H Hu
H r int . (5)
En donde Hu es la altura que el rodete imparte al fluido y Hr-int. equivale a las perdidas hidráulicas en función de la altura. Como en este caso especifico, las pérdidas se desprecian, la ecuación (5), se reescribe como: H Hu
H r int .
H Hu
(6)
Donde según la ecuación (19-3) del Claudio Mataix Pág.385, H u esta definida como: Hu
u 2c 2u
Hu
u 2c 2u
u 1c1u g
( 7)
g
Ya que c1u=0 (Entrada radial). Por otra parte, como el caudal no varía igualamos las condiciones en la entrada y a la salida, se puede deducir que:
Q b1D1c1m
b 2 D 2 c 2m
Despejando c2m: c 2m
b1D1 b 2 D 2
c1m
0.04m 0.15m 4.40 m 2.93 m s s 0.02m 3 0.15m
Ahora, para cálculo de u2: u2
D 2 n 60
(3 0.15m)3.23.43rpm 60
7.62 m s 56
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Al construir el triangulo de velocidades que corresponden a la salida de la bomba, obtenemos por trigonometría lo siguiente:
Tan 2
c 2m u2
c 2u
u 2 c 2u
c 2m Tan 2
c 2m
c 2u
u2
c 2u
7.62 m
c 2u
4.13 m s
Tan 2 s
2.93 m
s
0.84
4.13 m s
Reemplazando el valor de c2u en la ecuación (7), se tiene que:
Hu
7.62 m
s
4.13 m
9.81m
s
3.21m b
s 2
El par transmitido por el rodete al fluido esta descrito por la ecuación (18-5) del Claudio Mataix en la Pág. 361: M Qr 2 c 2 u
r 1c 1u
Como el fluido con el que trabaja la bomba es agua, el =1000kg/m3. Reescribiendo todas las variables por sus respectivos valores, resulta: 3 kg 0.083 m s 1000 m 3 0.0225m 4.13 m s M 7.71 m N (c)
M
La potencia útil es la invertida en impulsar el caudal útil Q a la altura útil H. Luego, esto lleva según Claudio Mataix (Pág. 381) a que la potencia está definida por:
57
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
P QgH
P 0.083 m
3
kg 1000 9.81 m 3.21m s m s 3
2
P 2613.68 w P 2.61 kw
d
El incremento de presión creado por el rodete si la bomba está llena de agua será (Claudio Mataix, Pág. 383):
p aguagH kg p 9.81m 2 3.21m 1000 m 3 s p 31490.1 Pa p 31.50 kPa e
19.29 UNA BOMBA CENTRIFUGA DE AGUA QUE GIRA A 1000 RPM, TIENE LAS SIGUIENTES DIMENSIONES: (Datos de Entrada) D1= 180 mm
b1 = 30 mm
b2 = 20 mm
β1 = 20o
β2 = 30o
Eficiencias ηH =81 % (hidráulica)
ηm = 95 % (mecánica)
ηmotor eléctrico = 0.85
Diámetro tubería de entrada: 220 mm Diámetro tubería de salida: 200 mm Entrada a los alabes radial, las bridas de entrada y salida se encuentran a la misma cota. El desnivel entre el depósito de aspiración abierto a la atmosfera y la brida de aspiración asciende a 1,2 m. Calcular: a) Los triángulos de velocidad a la entrada y la salida del rodete. (c, u, w, cu, cm, α). 58
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. b) Caudal Q c) Altura de Euler Hu d) Altura de Presión a la entrada de la bomba e) Energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba. f)
Altura de presión a la salida de la bomba. Solución: ESQUEMA DEL SISTEMA DE BOMBA
a) Triángulos de Velocidad A la entrada del alabe Se considera que el fluido agua entra a los alabes en forma radial, por lo tanto el triangulo de velocidad a la entrada queda representado de la siguiente forma:
C1u = 0, La razón de que c1u sea cero, es porque la entrada del fluido al álabe es radial, por lo que c1 se hace igual a c1m o la velocidad meridional, así c1 = c1m. A la salida del álabe el triángulo de velocidades que representado así:
59
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Calculo de las velocidades y ángulos de entrada y salida a) Considerando el triangulo de velocidades a la entrada Se determina u1 u1 = Con
D1 = 180 mm
β = 20o
N = 1000 rpm u1 =
u1 = 9424.8
Se determina c1m c1m = u1 tan β
c1m = (9424.8
) tan 20o
c1m = 3430. 3
Esta velocidad es igual a c1 C1 = 3430. 3 C1u = 0
Se determina w1
60
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
w1 = w1 =
w1 = 10029.6
b) Para determinar el caudal Q Q = b1 D1 c1m Q = (30 mm) (180 mm) (3430.3 Q = 58.2 x 106
Se determina u2 u2 = Con
D2 = 360 mm N = 1000 rpm u2 =
u2 = 18849.6
Para hallar c2m, por conservación de caudal y sin pérdidas volumétricas se usa la ecuación: Q = b2 D2 c2m Despejando c2m c2m =
Con Q = 58.2 x 106 b2 = 20 mm
D2 = 360 mm c2m =
61
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
c2m = 2572.7
Del triángulo de velocidades a la salida se determina: c2u Considerando la figura
tanβ =
Despejando c2m se obtiene: C2u =
Reemplazando los datos C2u =
C2u = 14393.2
Se determina w2 De la figura w2 = w2 =
Para determinar c2 se utiliza el teorema de Pitágoras y del triangulo de velocidades a la salida:
c2 =
c2 = 45587.9
Para determinar el ángulo α, de la figura: Tan α =
Despejando α
α = arctan ( α = arctan
62
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. α = 10.1o
c) Altura de Euler Se usa la ecuación: Hu =
Reemplazando los valores Hu =
Hu = 27656 mm Hu = 27.6 m d) Altura de presión a la entrada de la bomba
Para hallar la altura de presión a la entrada de la bomba se aplicación ecuación de la energía entre los puntos A y E del sistema
Se despeja la altura de presión
Ze= 0 A la misma altura
= perdidas a la entrada
Se determina hallando la altura útil y restándola de la altura de Euler o altura teórica. Altura Útil H 63
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. De la ecuación de la eficiencia hidráulica: ηH =
De los datos de entrada
La eficiencia hidráulica ηH =81 % Despejando la altura útil H H = ηHHu
H = (0.81)(27.6 m) H = 22.4 m La altura de pérdidas se expresa: Hpe = Hu – H Hpe = 27.6 -22.4 Hpe = 5.2 m Se halla la velocidad a la entrada de la bomba Ve De la ecuación de caudal Q = VA = V
Despejando la velocidad V V=
Reemplazando el Caudal y el diámetro.
Q = 58.2 x 106
= 0.0582
de= 220 mm = 0.22m Ve= 1531.04
Reemplazando la velocidad
= 119,5 mm = 0.119 m
64
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
-5.2m – 0.119m – 0 - 5.319 m
e) La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba Se halla la potencia útil Pútil = QρgH
Pútil = (0.0582
(1000
Pútil = 12. 8 kW
Ahora se determina la potencia de accionamiento Pa Es función de la potencia útil y la eficiencia total η t
Pa =
=
Pa = 16.6 kW
Se determina la potencia suministrada por el motor eléctrico, con la eficiencia del motor eléctrico ηmotor eléctrico= 0.85 Pmotor = Pmotor =
La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento se determina con Eeléctrica = Potencia motor x tiempo de funcionamiento Eeléctrica = Pmotor x t = (19.5 kW x 6 h) Eeléctrica = 117 kW
f)
Altura de presión a la salida de la bomba
65
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Aplicando ecuación de la energía en los puntos E y S
+ Hútil=
Pero
Ze = Zs = 0 Despejando la altura de presión a la salida
La velocidad Vs se determina con el caudal Q Con diámetro de salida ds = 200 mm Q = VA = V
Despejando la velocidad V V=
Reemplazando el Caudal y el diámetro.
Q = 58.2 x 106
= 0.0582
de= 200 mm = 0.2m Ve= 1852.6
Reemplazando la velocidad
= 175 mm = 0.175 m
Reemplazando = 22.4 m – 5.319 m + 0.119 m – 0.175 m
66
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
= 17.02 m
19.30 Una bomba centrifuga que aspira directamente de la atmosfera ( caudal Q = 555
con una altura efectiva H= 13.5 m, girando a 750 rpm, el
= 740 torr) da un es 3.33
m, la temperatura del agua es 20 , las pérdidas de la aspiración ascienden a 0.54m. Altura geodésica máxima de aspiración de la bomba Numero especifico de revoluciones DATOS Bomba centrifuga Q= 555
H= 13.5 m n = 730 rpm
= 3.33 m
= 20
= 740 torr
Perdidas en tubo de aspiración= 0.54 m =?
Altura geodésica de la bomba =?
=
(velocidad especifica)
Conversiones:
Q= 550 *
= 0.55
= 998
Luego hallamos la potencia. (P):
P= Q
(W)
P= (0.55
) (998
)(0.98 )(13.5m)
P=7262 W = 7.262 Kw
Luego reemplazamos estos valores en la ecuación de la velocidad especifica 67
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
=
=
=75.8
Ahora procedemos a calcular la altura geodésica de la bomba: =
-
-
-
= -3.33m-0.54m =-3.87m
0 la entrada de la bomba está por debajo del nivel de la carga.
19.31. Una bomba centrifuga bombea gasolina de densidad relativa 0.7 a razón de 200 m3/h. Un manómetro diferencial mide una diferencia de presiones entre la entrada y la salida de la bomba de 4,5 bares, el rendimiento total de la bomba es de 60%. Las tuberías de aspiración y de impulsión tienen el mismo diámetro y los ejes de las secciones en que está conectado el manómetro tienen la misma cota. Calcular: a) la altura útil de la bomba; b) la potencia de accionamiento. Solución. 3 Q 200 m
200 h
m3
h
1 h 3600 s
0.5556
m3
s
68
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
rel
0.7; agua 1000
ab s 0.7 1000 P 4.5
kg m3
kg m3
bar 4.5 bar
P P S P E 450
rel
700 10 5 Pa 1 bar
abs agua
abs rel agua
kg m3
450000 Pa
kPa
Analizando H
P S P E g
Z S Z E
V S 2
V E 2 2 g
H r ext
En esta expresión tenemos que :
-
debido a q los ejes están al misma altura entonces ZS-ZE = 0 4Q como la velocidad es ;dependen de Q y de D y DS= DE entonces D 2 VS= VE y esa expresión se hace igual cero
-
por último debido los datos del ejercicio se debe suponer q no hay perdidas en el sistema
-
H
P S P E
g
H 65.597
450 k Pa 700 k g m 3 9.8 m s 2
m
Ahora para calcular la potencia de accionamiento P Q gH
2 P 0.05556 m s 700 kg m 3 9.8 m s 2 65.6m P 25002.89 W 25.002 kW
Sabemos q Tot 60% entonces
69
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Tot
P P acc
P acc
P acc 41.671
P
Tot
25.002 kW 0.6
kW
19-32. Una bomba centrífuga de agua gira a 1490 rpm y absorbe una potencia de 300 kW; d 2= 500 mm; b2= 25 mm; = 45°. La entrada en los álabes es radial. El rendimiento total se supondrá igual a 1. Calcular el caudal. Para resolver este ejercicio, realizamos el triángulo de velocidades en la salida:
x
Con ello determinamos que
Si el rendimiento total es 1, tenemos que
.
;y
. Por lo cual:
Reemplazando los valores conocidos:
70
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:
Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz. Con el valor ya obtenido de
, determinamos el caudal:
19.33. El eje de una bomba centrifuga de agua se encuentra 3,5 m por encima del nivel del pozo de aspiración. La altura efectiva que da la bomba para caudal 0 es 21,4m se abre la válvula de impulsión sin cebar la bomba. Estimar la altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración Solución Hs = 3,5m
Q=0 71
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. H = 21,4 La altura a la que se eleva la el agua en la tubería de aspiración la podemos estimar dependiendo de la densidad del fluido. De acuerdo con esto
Y
es igual para la bomba en los dos casos, así que lo hallamos utilizando la ecuación anterior
pero con la densidad del aire, de esta forma:
Para
Ahora tengo todos los datos para calcular H con
Así quela altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración
19.34. En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga de agua cuyo diámetro exterior es de 200 cm y su velocidad periférica a la salida de rodete es de 10 m/s da un caudal de 3000 L/min. La entrada en los alabes es radial. η m = 92%; C2m = 15 m/s; β2 = 30°. Calcular el momento motor del grupo. Solución. D2 = 200 cm u2 = 10 m Q = 3000 L/min
ηm = 92%
C2m = 1.5 m/s β2 = 30°
72
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Realizamos el triangulo de velocidades para la salida de la bomba para hallar el valor de C2u2.
C2u 2 x u 2 ; donde x w2 cos 2 y w2 C2u 2
u2
C2u 2
10
C2 m sen 2 1.5 tan30
cos 2 u2
C 2 m s en 2
C 2 m tan 2
7.4m / s
Para hallar el momento motor, dividimos la potencia de accionamiento entre la velocidad angular, donde la potencia se calculara de esta forma: Q gH P nm Calculamos H, teniendo en cuenta que la entrada es radial entonces u1C 1u1 0 H
u2C2 u 2 u1C1u 1 (10)(7.4)
g
Q 3000
L
1m3
9.8
1min
7.55m
0.05m3 / s
min 1000 L 60 s Reemplazando los valores y considerando la densidad del agua 1000Kg/m 3. P
(0.05)(1000)(9.8)(7.55)
0.92 Y la velocidad angular es:
r2 w u2
w
4021.2W
u2 r2
2u 2 (2)(10) D2
2
10rad / s
El momento polar será:
M
P w
4021.2W 10rad / s
402.12 Nm
19.35. Una bomba centrifuga proporciona una altura util de 40 m con un rendimiento
hidraúlico de 80%. Las tuberias de aspiracion e impulsion son de 150 mm.
;
;
Las perdidas en las tuberias de
aspiración e impulsión (incluyendo las perdidas secundarias)
. 73
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Calcular: a) El caudal de la bomba; b) La diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de aspiración e impulsión, si ambos están abiertos a la atmosfera.
Solución:
Manómetro 2
Zz
Manómetro 1
Z A Eje de Referencia Depósito Abierto
Bomba
a) Inicialmente estableceremos el triangulo de velocidades de la siguiente manera:
74
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Calculemos la velocidad periférica del rodete:
Por continuidad tenemos que el mismo caudal que sale por el rodete es el mismo de la tubería teniendo en cuenta que despreciamos los espesores de los alabes de los rodetes por lo tanto tenemos que:
Con la ayuda del triangulo de velocidades a la salida dibujado anteriormente tenemos que:
Asumimos que la entrada de los alabes es radial como lo es normalmente en las bombas centrifugas y despreciamos los espesores de los alabes y tenemos :
y
Teniendo en cuenta esto calculemos la altura de Euler así:
Como el enunciado nos da la altura útil H=40m remplazando tenemos que:
Despejando
tenemos que:
75
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Teniendo el valor de la velocidad en la tubería podemos calcular el caudal remplazando tenemos que:
Respuesta a):
b) Ahora para calcular la diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de aspiración e impulsión, si ambos están abiertos a la atmosfera usamos la segunda expresión de la altura útil así:
Como ambos depósitos están abiertos a la atmosfera tenemos que la altura de presión es nula; y como ya están incluidas las perdidas primarias y secundarias podemos suprimir el valor
de las pérdidas de tubería; teniendo estas consideraciones la ecuación de altura
útil quedaría así:
Remplazando los valores de H y
dados en el enunciado tendríamos:
76
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Respuesta b):
19.36 Una bomba centrifuga que tiene un rodete de 300 mm de diámetro gira a una velocidad de 1490 rpm si β2 = 30, C2M = 2 m /s, la velocidad de los alabes es radial U1C1U = 0 N = 1500 RPM D = 0.3 mts C2M = 2 mts / seg β2 = 30
Determinar el triangulo de velocidades a la salida La altura teórica de Euler Desarrollando para el primer punto: u2
u2
0.3 1500
D1N 60
u2 = 23.56 mts/seg
60
Del triangulo se deduce por trigonometría determinando el valor de X
77
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Ahora, la distancia C2U2 es la resta de X – U2, entonces U2 – C2U2 = 23.56 – 3.46 = 19.99 mts/seg Hallo el valor de W2 y C2 por medio de la ecuación de Pitágoras
C2 =
=
W2 =
Y el ángulo ά lo determinamos mediante:
C 2 m
tan
C 2u
Entonces tan 1
2 20.1
5.68
Para desarrollar el segundo punto hacemos a u 1C1u= 0 ya que se sabe que los alabes radiales a la entrada son radiales, de esto nos queda que:
H u
H u
u2C2u u1C1u g u2C 2u g
19.37 Una bomba centrifuga en la que se desprecian las perdidas, tiene las siguientes dimensiones: d1= 100mm, d2= 300mm, b1= 50mm y b2= 20mm. La bomba da un caudal de agua de 175m3/h y una altura efectiva de 12m a 1000 rpm. Calcular a. La forma de los alabes o sea β1 y β2. b. La potencia de accionamiento. Solución a. Por ser centrifuga α1= 90°; C1ω= 0 Entonces los triángulos de velocidades son:
78
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
C1= C1m
ω1
ω2
C2m α1= 90°; β1
α2
β2
C2 ω
µ1
Y µ2
Sabemos que: β1= Arctan (
Calculamos entonces C1 y µ1 Donde; µ1 =
= 5.2359 m/s
Ahora como sabemos que Q=
Conocemos el valor de Q Q= 175 m3/h x 1h/3600s =0.0486 m3/s Ahora calculamos C1m despejando de la ecuación de Q Entonces;
C1m =
=
= 3.09m/s
Entonces como ya tenemos los valores de C 1m y µ1 procedemos a reemplazar en la ecuación de β1 β1 = Arctan β1 = 30°,54
79
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Ahora de acuerdo con el segundo triangulo se puede deducir como se puede realizar el calculo del ángulo β2
β2 = Arctan
Calculamos entonces C 2m y también el valor de ‘y’ C2m =
=
= 2.5783m/s
De la formula siguiente tenemos que: H = Hµ- Hr-int Pero como sabemos por el enunciado que despreciamos las perdidas, entonces el segundo termino de la ecuación se hace 0. Entonces; H = Hµ =
; C1ω= 0
Entonces; H=
Despejamos C2µ2
C2ω=
Como no conocemos el valor de µ 2procedemos a calcularlo µ2 = µ2 =
= 15.7079m/s
Ahora como y sabemos que g = 9.8m/s2 y H=12m, entonces reemplazamos los valores ya conocidos en la ecuación de C 2µ2 C2ω=
= 7.4866m/s
Conociendo ya estos valores estamos en capacidad de conocer el valor de ‘y’ mediante la siguiente
ecuación: Y = µ2 - C2ω 80
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Reemplazamos; Y =15.7079m/s - 7.4866m/s Y = 8.2212m/s Ahora simplemente reemplazamos en la ecuación enunciada anteriormente para calcular el valor de β2
β2 = Arctan β2 = 17°,41
b) Sabemos que la potencia de accionamiento está definida por la siguiente ecuación: Pa= QƍgH Pa = (0.0486m3/s) (1000kg/m3) (9.8m/s2)(12m) Pa= 5715.36 (Kg) (m2)/ s3 Pa = 5, 71536 Kw 19.38. Una bomba centrifuga bombea un caudal de salmuera (δ = 1.19) de 190 m3/h. Un manometro diferencial colocado entre las tuberías de aspiración e impulsión marca 4.5 bar. La tubería de aspiración es de 150 mm y la de impulsión de 125 mm. La diferencia de cotas entre los ejes de las dos secciones a que están conectadas las tomas manométricas es de 1 m. Calcular: a) La altura efectiva de la bomba; b) La potencia de accionamiento si el rendimiento total de la bomba es de 60% Datos:
Q =
Por ecuación de Bernoulli tenemos que:
Por ecuación de continuidad:
, pero necesitamos 81
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Para la impulsión tenemos que:
H = 379.20m
b)
, pero
82
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 19.39 Calcular la altura teórica Hu alcanzada por una bomba centrifuga a la cual se le conocen los siguientes datos: C 1= 4 m/s,C 2= 24 m/s; D1= 150 mm,D2= 150 mm;
Desarrollo:
,
; n=1450rpm
La altura teórica se calcula a partir de la ecuación de Euler de las bombas (Ecu 19-3. Mataix) donde son despreciadas las perdidas internas de la bomba
Donde U2, C2u, U1, C1u son componentes del triangulo de velocidades de entrada y salida de los alabes de un rodete de una bomba.
Luego por los triángulos de velocidades tenemos:
u1 = velocidad absoluta del alabe a la entrada, u 2 = velocidad absoluta del alabe a la salida C 1=velocidad absoluta del fluido a la entrada,
C 2=velocidad absoluta del fluido a la salida
α 1 = ángulo que forman U1,
α2 = ángulo que forman U2,C2.
Remplazando y despejando los valores conocidos tenemos:
83
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Para las velocidades U 1 , U 2
Hallamos w a partir de n.
Volviendo a U 1 , U 2
Teniendo todos los términos remplazamos en la ecuación 19.3 del mataix correspondiente a la altura teorica. H u
H u
26.572m / s(23.475m / s) 11.388m / s(1.0352m / s 9.8m / s 2 612.01m2 / s 2 9.8m / s 2
62.4m
19.40. Una bomba centrifuga suministra un caudal de agua Q=100m3/h. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm y el desnivel entre los depósitos de aspiración e impulsión abiertos a la atmosfera, es de 32 m. La potencia en el eje de la bomba es de 14 Kw. El coeficiente total de pérdidas (sec 11.4) C=10.5. Calcular el rendimiento total de la bomba. Datos Q=100m3/h Dasp=Dimp=150mm ∆Z=32m
Pa=14 Kw C=10.5 Nt=? A través de la ecuación de Bernoulli hallamos la altura útil (H):
H=
+ (Z2 - Z1) +
+ hL
84
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Pero sabemos que el delta de presión se anula debido a que los tanques de aspiración e impulsión están abiertos a la atmosfera y por tanto las presiones son iguales. Por otra parte las velocidades a la entrada y a la salida al restarse se anulan ya que los diámetros de las tuberías son iguales: H= (Z2 - Z1) + hL El valor ∆Z nos los entrega el enunciado del ejercicio y hL corresponde a las pérdidas totales que
las podemos hallar a partir de: hL =
Donde C es el coeficiente total de perdidas V es la velocidad, la cual se mantiene constante g es la gravedad. Para el cálculo de la velocidad recurrimos a la siguiente fórmula de la cual no desconocemos ningún término: V=
V=
= 5658.8*
= 1.572
Ahora conociendo todos los valores para el cálculo de h L tenemos que: hL =
hL=3.3m
Reemplazando H=32 + 3.3 H=35.3m Habiendo obtenido todos estos valores procedemos a calcular la potencia útil:
P=Q*δ*g*H
P=100
P=9609.4W*
*1000
*9.8 *35.3m*
P=9.6Kw
Por último hallamos el rendimiento total de la bomba en donde se relaciona la potencia útil con la potencia de accionamiento:
Nt =
Nt=
85
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Nt=0.69.
19.41 Calcular las dos características principales de un rodete (diámetro exterior y ángulo de los álabes a la salida del rodete). Si girando a , desarrolla una altura manométrica de , proporcionando un caudal de
. Supóngase:
a) b) Pérdida total en la bomba: c) Área para el flujo a la salida del rodete: d) Entrada Radial de la corriente en el rodete. Datos:
Comenzamos diciendo que:
Por otra parte como:
86
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Y como:
Reemplazando:
Se sabe que la altura teórica de la bomba está dada por:
Sin embargo debido a que la entrada del rodete es axial tenemos que:
Con lo que:
Donde:
Luego la ecuación queda:
Dado que:
Los datos en rojo constituyen el área de salida del rodete que según los datos de entrada es igual a:
Reemplazando, tenemos:
87
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Despejando:
Se construye el triángulo de velocidades a la salida del rodete como se muestra en la figura:
Vemos que al formar un triángulo rectángulo se debe cumplir que:
Remplazando tenemos que:
Remplazando los valores, tenemos que:
Resolviendo queda:
Ordenando la ecuación queda:
La iteración muestra el siguiente resultado:
88
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Diámetro 0,25567 0,25568 0,25569 0,2557 0,25571 0,25572 0,25573 0,25574 0,25575 0,25576 0,25577 0,25578 0,25579 0,2558 0,25581 0,25582 0,25583
0 -0,00076008 -0,00067973 -0,00059936 -0,00051898 -0,00043858 -0,00035817 -0,00027774 -0,00019729 -0,00011684 -3,6361E-05 4,4128E-05 0,00012463 0,00020515 0,00028569 0,00036624 0,00044681 0,00052739
Vemos que la mejor aproximación al diámetro exterior es: D2
0.25577 m
Reemplazando este valor obtenemos las velocidades:
Si analizamos la otra mitad del triángulo tenemos que:
89
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
Sabiendo que:
Reemplazando tenemos que:
2 29.2
90
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
19.42 En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga tiene las siguientes características: ; ; ; ; . La entrada en los álabes del rodete es radial. Calcular: a) β1; b) Altura que da la bomba; c) Altura de velocidad del agua a la salida del rodete
Solución.
1
c1 c1m
u1
u2
(250mm)(5.24m / s)
2u2
H
u2
C 2u 2
g
C 2 m C 2u 2
C 2 m sen 2
5.24m / s
2
C 2 m
10.48m / s
; C 2u 2
u2
2
C 2m tan 2
(10.48m / s)(7.38m / s) 9.8m / s 2
; 2
C 2
2
C 2u2
C 2m
u2C 2u 2
tan 2
60
D2
100mm
Tan 2
C 2
D1
(1000rpm)(0.1m)
C 1m 1.5m / s Arc tan 15.97º u 5 . 24 m / s 1
wD1 2
60
1 Arc tan
ND
1
u1
;w
2u1
u1
10.48m / s
1.5m / s tan 30º
u
2
7.38m / s
7.89m
C 1.5m / s Arc tan 2 m Arc tan 11.49º C 7 . 38 m / s 2 u 2
1.5m / s sen11.49º
7.53m / s
19.43 Una bomba centrifuga para alimentación de una caldera de vapor que desarrolla una alturas efectiva de 80 m bombea agua a 90 desde el depósito de aspiración abierto a la atmosfera, hasta la caldera, la perdida de carga de la tubería de aspiración es de 0.5m, la presión
91
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica.
atmosférica es de 725 torr. El caudal es de 0,25 coeficiente de cavitación es de 0,1.
/s, el diámetro de la tubería es de 400 mm y el
a. A qué altura geodésica mas se podrá poner colocar la bomba. b. Esquema de la instalación con indicación de la cota del eje de la bomba con respecto al nivel superior del pozo. c. si la presión de la caldera es de 8.2 bar y el eje de la bomba se encuentra debajo del nivel del agua en la caldera ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba? Solución. A)
= :
Presión absoluta en el nivel superior de aspiración.
Presión de saturación del vapor a una temperatura dada. = Perdida de carga en tubería de aspiración.
=caída de altura de presión en el interior de la bomba.
H= 80m
a 90 =0,7011 bar = 70110 Pa y a 90 =965,3
/Kg
=0,5 m =
Q= 0, 25
=725 torr =96425 Pa
/s
D= 0, 4 m
=
Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli para encontrar la otra altura que va desde el nivel del tanque donde se está aspirando hasta la caldera. Asumimos que DE = DS por ende vE = vS
92
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Entonces nos queda:
; Tomando el punto de referencia desde el nivel h20 de
aspiración
donde Zs es la altura geodésica maxima
Solución. B)
19.44 Una bomba centrifuga tiene las siguientes características: d2=250mm ; d1=150mm; b1=15mm; =45; cm=constante en todo el rodete; caudal 1500 l/min ; n=1000rpm Calcular
a) Angulo de los alabes del rodete de la entrada b) Angulo de los alabes de la corona directriz
Solución Consideraciones Si cm es constante en todo el rodete, podemos decir que c 1m=c2m
Datos 93
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. d 2=250mm d 1=150mm b1=15mm
=45
Q=1500 l/min =0.025m3 /s n=1000rpm
Tenemos que Q= πb1d 1c1m
Despejando c1m
c1m= c1m=
c1m=3.53m/s
Haciendo el triangulo de velocidades para la salida del rodete Tenemos que
c2m= w*sen
= c1m
Con esto podemos concluir que
b) el triangulo de velocidades para la entrada del rodete tenemos
c1u= u1 - – Donde
u1 es la velocidad tangencial o periférica del rodete
u1=
= 7.85m/s
c1u= u1 - –
94
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. c1u=7.85 – Entonces
= 4.32
c1=
c c1u2+ c1m2) = 5.57m/s
El ángulo que se forma entre el vector v ector de la velocidad veloci dad absoluta y la velocidad periférica es
=
= 39.25
El ángulo de corona directriz es aquel ángulo que se forma entre el vector tangente del alabe al abe w y el brazo del momento flector de c1
W
C1
U1
α
l
Entonces el ángulo de la corona directriz es la sumatoria del ángulo rodete) y el ángulo α Ángulo de la corona directriz=
45+39.29=84.29
(ángulo de los alabe del
19.45. 19.45. Un grupo moto-bomba de agua tiene las siguientes características: caudal 2000 ; diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión iguales; entre los ejes de las tuberías de aspiración e impulsión hay un desnivel de 1 m; presión en la impulsión de 15 bar; temperatura del agua bombeada 60°C; depresión en la aspiración 200 mbar; rendimiento global del grupo 68%; rendimiento total de la bomba 80%. Calcular: a) Potencia absorbida por la red. b) Potencia de accionamiento de la bomba.
95
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Datos.
= = 0.68 = = 0.80 Q= 2000 m3/s = 1 m = 20 mm = 15 bar. = 200 mbar.
Solución. Para este ejercicio, la densidad del agua será igual a 983.2 kg/ m 3 y no 1000 kg/ m3, debido a que se encuentra a 60°C. Además, se realizó una serie de conversiones de unidades en las presiones y el caudal para facilitar los cálculos: cálculos:
Para determinar la potencia útil, se calculó la altura útil mediante la ecuación de Bernoulli:
Donde el valor
se desprecia por ser muy pequeño. Por lo que H será:
El valor de la potencia útil será:
El valor de la potencia absorbida por la red será entonces:
96
Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. Respuesta a)/: La potencia absorbida por la red es 1249.7 kW.
El valor de la potencia accionamiento de la bomba será:
Respuesta b)/: La potencia accionamiento de la bomba es 1062.25 kW.
97
