Aptitud Académica Pregunta N.º 17
Pregunta N.º 18
Un auto recorre 10 km por litro de gasolina, pero además pierde dos litros por hora debido a una fuga en el tanque. Si cuenta con 40 litros de gasolina y viaja a 80 km/h, ¿qué distancia logrará recorrer?
A los tres primeros términos de una progresión
A) 320 km D) 800 km
B) 400 km
C) 240 km E) 720 km
Solución Tema
aritmética de razón 4 se le aumenta 2; 1 y 3, respectivamente, formando los resultados obtenidos una progresión geométrica. La suma de cifras del sexto término es A) 12 D) 13
B) 15
C) 9 E) 10
Solución
Planteo de ecuaciones
Tema Sucesiones
Referencias En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la Matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la Matemática, se requiere de una gran capacidad de observación y abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la cual una o más cantidades son desconocidas. Análisis y procedimiento
Cantidad de gasolina
Distancia recorrida
1L
10 km
En 1 h: 8 L
80 km
Volumen total de gasolina : 40 L
rapidez del auto: 80 km/h
relación se presenta acorde a una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. Entre las principales sucesiones numéricas se destacan la progresión aritmética y la progresión geométrica.
Consideramos los tres primeros términos de la progresión aritmética:
4
320 km
Luego, al aumentar 2; 1 y 3, respectivamente, obtenemos la siguiente progresión geométrica: x–2; x+1; x+7 ×q
80 km
El auto logrará recorrer 320 km.
que ocupa cada uno de ellos en la sucesión. Esta
+4 +4 8
4
Respuesta
ordenado de elementos relacionados al lugar
x– 4; x; x+4
Pero como en una hora pierde 2 L de gasolina, necesitaríamos 2 L más. En 1 h: 10 L
Una sucesión puede denotarse como un conjunto
Análisis y procedimiento
De la información brindada en el enunciado, podemos determinar:
8
Referencias
×q
Por propiedad del término central en P. G. (x+1)2=(x – 2)(x+7) 2x+1=5x –14 → x=5
9
Aptitud Académica Primer término: 344 Último término: 2
Entonces, la progresión geométrica sería 3 .e r
1.º 2 . º
6.º
3; 6; 12; ...; 96 Respuesta
×2 ×2
La diferencia de dichos términos es 342.
Respuesta La suma de cifras del sexto término es 15.
Pregunta N.º 20 Pregunta N.º 19 En la siguiente sucesión, faltan el primero y el último término: ...; 217; 126; 65; 28; 9; ...; la diferencia entre dichos términos es A) 271 D) 323
B) 343
Si el área del triángulo equilátero ABC es 32 cm2, el área del triángulo equilátero MNP en cm2 es C
C) 321 E) 342
P M
Solución
N
A
Tema Sucesiones
B
A) 4 D) 8
Referencias
B) 3
C) 1 E) 2
En este tipo de problemas los números están ordenados bajo un criterio lógico, que se basa en sucesiones notables, como, por ejemplo: los números naturales, pares, impares, números primos, también pueden ser sucesiones aritméticas o geométricas.
Solución
Análisis y procedimiento
Considere el triángulo ABC, donde x, y, z son puntos medios de ABC.
En la siguiente sucesión analizaremos la diferencia de los términos consecutivos hasta encontrar una posible razón constante. primer término
Tema Área de regiones sombreadas Referencias
B
último término
x
y
344 ; 217 ; 126 ; 65 ; 28 ; 9 ; 2 – 127
– 91
– 36 razón constante
–6
– 61 – 37 – 19 – 7
– 30 –6
– 24 – 18 – 12 –6
z
A
C
–6
con lo cual encontraremos el primer y último término de la sucesión.
Se cumple: Área
xyz=
1 Área 4
ABC
10
Aptitud Académica Análisis y procedimiento
malas es igual a la cuarta parte de las respuestas correctas, y el puntaje obtenido fue de 165 puntos, que es igual a los 11/16 del máximo posible. ¿Cuántas preguntas quedaron sin contestar?
Dato: El área de la región triangular equilátera ABC es 32 cm2. Consideremos x, y, z y M, N, P puntos medios de ABC y xyz, respectivamente.
A) 5 D) 11
C
P
x
z
A
Tema Planteo de ecuaciones Referencias
B
Aplicando la propiedad tenemos 1 (Área 4
=
ABC)
om
xyz =
1 (32) = 8 4
∴ Área
1 (8) = 2 4
w
.L
xyz)
w
=
1 (Área 4
w
MNP =
ib
Luego Área
En el transcurso de la vida diaria podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la matemática, se requiere de una gran capacidad de abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la que una o más cantidad son desconocidas.
ro sZ .c
Área
C) 9 E) 13
Solución
y N
M
B) 7
MNP=2
Análisis y procedimiento Piden: Número de preguntas sin contestar. De acuerdo a los datos, tenemos la siguiente tabla.
Observación En el problema falta precisar que los puntos x, y, z y M, N, P son puntos medios.
Respuesta El área de la región triangular equilátera MNP es 2.
Vale
Cantidad
Puntaje obtenido
Respuestas correctas
4
4x
4(4x)
Respuestas incorrectas
–1
x
– 1(x)
Puntaje total:
165
Pregunta N.º 21 En un examen, la respuesta correcta vale 4 puntos, la respuesta incorrecta vale –1 punto y la pregunta sin contestar 0 puntos. Si la cantidad de respuestas
→ 16x – x=165 → x=11
11
Aptitud Académica Referencias
Tomando en cuenta el otro dato: 165 =
11 ⎛ Máximo puntaje ⎞ ×⎜ ⎟ 16 ⎝ posible ⎠
Este puntaje máximo se obtendría si el total de preguntas se respondiera correctamente (recibiendo 4 puntos por cada una); entonces el número total de preguntas es
240 = 60 preguntas. 4
Secuencias numéricas: En este tipo de problemas, los números están ordenados bajo un criterio lógico, que se basa en sucesiones notables, como por ejemplo: los números naturales, pares, impares, números primos, etc. Análisis y procedimiento Del gráfico
Finalmente: ⎧Respuestas correctas: 4x=44 ⎪ 60 preguntas ⎨Respuestas incorrectas: x=11 ⎪No respondidas: 60 − (44 + 11) = 5 ⎩
2
16 5 18 3
12 9 a
20
Por lo tanto, el número de preguntas sin contestar es 5.
Ordenando los números, tenemos:
Respuesta Quedaron sin contestar 5 preguntas.
1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º 12 ; 18 ; 16 ; 2 ; a 20 ; 5 9 3 –2
Pregunta N.º 22 En la figura, halle a.
+2
16 5 18 3
–2
–2
–2
–2
20 ; 18 ; 16 ; 14 ; 12 ; 10 1 3 5 7 9 11
2
+2
+2
+2
+2
Respuesta
12 9
El valor de a es 10/11
a 20
Pregunta N.º 23 A) 9/5 D) 7/15
Solución Tema Psicotécnico
B) 10/11
C) 8/3 E) 15/13
Un caballo atado a una estaca, con una cuerda de 2 metros, tarda 8 horas en comer todo el pasto que está su alcance. ¿Cuántas horas requiere este caballo para consumir todo el pasto que está a su alcance, si la cuerda fuese de 3 metros? A) 12 D) 18
B) 14
C) 16 E) 24
12
Aptitud Académica Solución
Pregunta N.º 24
Tema
Un taxista cobra 3 nuevos soles por el primer 1/4 km,
Comparación de magnitudes
y 2,5 nuevos soles por cada 1/4 km adicional. ¿Cuál sería el costo en nuevos soles para un viaje de n kilómetros?
Referencias Magnitud Propiedad o cualidad común a un conjunto de seres, objetos o entes, cuya intensidad puede variar (aumentar o disminuir) y además puede ser medido. Por ejemplo: longitud, área, volumen, rapidez, precio, temperatura, etc.
A) 3+(n–1) 3 B) 5 + (4n − 1) 2 C) 12+(n–1)
Magnitudes proporcionales Dos magnitudes relacionadas son proporcionales cuando al variar uno de ellos el otro también varía en la misma proporción. Sean dos magnitudes A y B:
D) 3+(4n–1)
Magnitudes directamente proporcionales (DP) Si A aumenta, entonces, B aumenta o si A disminuye, B disminuye → A(DP) B: A/B=cte.
Tema
5 E) 3 + (4n − 1) 2
.c
om
Solución
ib
ro
sZ
Planteo de ecuaciones
w
w w
.L
Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Si A aumenta, entonces, B disminuye, o si A disminuye, B aumenta. → A(IP) B: A×B=cte.
Referencias En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la Matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la Matemática, se requiere de una gran
Análisis y procedimiento El caballo atado a una estaca, con una cuerda de r metros, come todo el pasto que está a su alcance; es decir, una región circular de radio r metros: un área de πr2 metros cuadrados. Dicha área se relaciona proporcionalmente al tiempo que tarda el caballo en comer todo el pasto.
capacidad de observación y abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la cual una o más cantidades son desconocidas. Análisis y procedimiento
2 área del pasto = consumido
4
×2
tiempo empleado
=
3 9 ×2
8h
Respuesta El tiempo que requiere es de 18 h
18 h
Del enunciado, piden el costo (en S/.) de un viaje de n kilométros. 1 km 4 Por cada 0,25 km adicional paga S/.2,5 más ×10
13
Aptitud Académica Área de una región limitada por un cuadrado:
n km
D n – 1 km 4
1 km 4 ×10
Costo (S/.): 3
1 km 10 n – 4
+
C
Área
L A
2 ABCD=L
B
L
Análisis y procedimiento ⎛ 4n −1 ⎞ ⎛ 4n −1 ⎞ → Costo (S/.)= 3 + 10 ⎜ ⎟ = 3+5⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
En el gráfico, si trazamos la diagonal AC notamos que queda dividida en cuatro regiones de igual área:
5 El costo es de 3 + ( 4n − 1) soles. 2
S
Área
S
S
0,4 m
Pregunta N.º 25
N
ABCD=(0,4
4S 2S
m) 2
=0,16 m 2 =0,08 m 2
S
Si el lado del cuadrado ABCD es 0,4 metros donde M y N son puntos medios, entonces el área en metros cuadrados de la figura sombreada es M
D
C
M
D
Respuesta
A
B
Respuesta El área de la región sombreada es 0,08 m2.
C
Pregunta N.º 26
N
B
A
A) 0,8 D) 0,06
B) 0,2
C) 0,08 E) 0,82
Dos ciudades A y B están unidas por un río y distan entre sí 480 km. Cuando una lancha va de A hacia B a favor de la corriente emplea 24 horas, pero el retorno lo hace en 40 horas. Calcule la rapidez de la corriente del río. A) 4 km/h D) 6 km/h
B) 12 km/h
Solución
Solución
Tema
Tema
Problemas sobre móviles
Situaciones geométricas
Referencias
Referencias El área de una región es la medida correspondiente a una figura que indica cuántas veces contiene dicha región plana a la región unitaria (1 u2).
C) 10 km/h E) 8 km/h
Definición de MRU d=v×t donde: d=distancia, v=rapidez y t=tiempo
14
Aptitud Académica Análisis y procedimiento
Análisis y procedimiento
Sea vL=rapidez de la lancha
De los datos tenemos
vc=rapidez de la corriente del río N.º de animales:
vL+vC
gatos
x+5
x – 12
+7
B
480 km
40 h
conejos
x–7
24 h
corriente del río
A
perros
vL–vC
–7
x
–5
+5
+12 – 12
x
x
mismo número de animales de cada clase
Aplicando definición del MRU, tenemos vL+vc=20 km/h vL– vc=12 km/h
(I) (II)
vL=16 km/h y vc=4 km/h Respuesta la rapidez de la corriente del río es 4 km/h
Respuesta El número de conejos es 30.
Pregunta N.º 28
Pregunta N.º 27 En una veterinaria se encuentran 61 animales entre perros, conejos, y gatos. Si hubiera 7 perros más, 5 conejos menos y 12 gatos más, habría el mismo número de cada clase. ¿Cuántos conejos hay? B) 24
N.º de animales: (x–7)+(x+5)+(x–12)=61 → x=25 Por lo tanto, el número de conejos es: x+5=30
de (I) y (II):
A) 28 D) 25
Además
C) 30 E) 13
En un pueblo correspondía a cada habitante 50 litros de agua por día. La población ha aumentado en 100 habitantes y le corresponde a cada uno 10 litros de agua menos. El número de habitantes es A) 500 D) 650
B) 600
C) 700 E) 450
Solución
Solución
Tema
Tema
Planteo de ecuaciones
Planteo de ecuaciones
Referencias
Referencias
En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la Matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la Matemática, se requiere de una gran capacidad de observación y abstracción.
En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la Matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la Matemática, se requiere de una gran capacidad de observación y abstracción.
15
Aptitud Académica Análisis y procedimiento
Entonces, la relación que establecemos será
Consideramos que Volumen total de = agua
Sea x número inicial de personas. De los datos: Antes
8 4 32
¿Qué número le corresponde a x?
x 8
B) 100
7 8 56
3 9 3 27
5 62 121
3 22 25
A)
a2 ( π− 2 ) 2
B)
a2 ( π− 2 ) 4
9
4
8
2 72 81=x
ABCD y EFGH, son cuadrados circunscrito e inscrito respectivamente en el círculo de centro O. Si el área del cuadrado mayor es a2, ¿cuál es el área de la región sombreada?
Pregunta N.º 29
A) 144 D) 81
4
Pregunta N.º 30
El número de habitantes es 500
121
x
121
Se obtiene que a x le corresponde el número 81.
Respuesta
25
9
Respuesta
Por lo tanto N.º de habitantes =x+100=500
7
7 25
Ahora
Volumen total de : 5 0 x = 4 0 ( x + 1 0 0 ) agua → x=400
8
8
volumen de N.º de agua por × habitantes habitante
3
C) 88 E) 64
E) a2(2π –1)
Psicotécnico
Tema
distribución. Análisis y procedimiento Se observa que los números de las zonas sombreadas son cuadrados perfectos, que se obtienen al relacionar los otros dos números.
H
G O
E
D) a2(2π –2)
Solución
En este tipo de problemas debemos encontrar un único patrón de formación de consistencia lógica que verifique con cada uno (o en grupos) de los datos brindados, y aplicar lo obtenido para hallar el número que completa adecuadamente la
C
C) a2(π –2)
Tema
Referencias
D
F
A
B
Área de regiones sombreadas Referencias r
Área de la región circular=πr2
d
Área de la región cuadrada=
d2 2
16
Aptitud Académica Análisis y procedimiento
Luego
Piden: Área de la región sombreada
MN=AB=a EG=MN=a
Dato: ABCD y EFGH son cuadrados Área ABCD=a2 → AB=a
H
Área de la región sombreada= M a/2
– a/2 N
C
D H
G a
E
F
G 2
N
O
A
=π
F B
.c om
E
En el gráfico, tenemos
Respuesta El área de la región sombreada es
a2 (π− 2). 4
w
w
.L
ib
O: centro MN: diámetro del círculo EG: diámetro del círculo y diagonal del cuadrado EFGH.
a2 (π − 2) 4
w
• • •
=
a2 a2 − 4 2
ro sZ
M
área de la región ⎛ a ⎞ a 2 = π⎜ ⎟ − sombreada ⎝ 2⎠ 2
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