Pregunta N.º 17
Pregunta N.º 18
Un auto recorre 10 km por litro de gasolina, pero
A los tres primeros términos de una progresión
además pierde dos litros por hora debido a una fuga
aritmética de razón 4 se le aumenta 2; 1 y 3,
en el tanque. Si cuenta con 40 litros de gasolina y
respectivamente, formando los resultados obtenidos
viaja a 80 km/h, ¿qué distancia logrará recorrer? recorrer?
una progresión geométrica. La suma de cifras del
A) 320 km
B) 400 km
C) 240 km
D) 800 km
E) 720 km
sexto término es A) 12
B) 15
Solución
D) 13
Tema
Solución
Planteo de ecuaciones
C) 9 E) 10
Tema Sucesiones
Referencias En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la Matemática
Referencias
y la realidad. Para traducir una situación real que
Una sucesión puede denotarse como un conjunto
involucre el aspecto matemático al lenguaje pro-
ordenado de elementos relacionados al lugar
pio de la Matemática, se requiere de una gran
que ocupa cada uno de ellos en la sucesión. Esta
capacidad de observación y abstracción. Ciertos
relación se presenta acorde a una ley de forma-
problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje
ción, criterio de orden o fórmula de recurrencia.
algebraico mediante una expresión numérica lla-
Entre las principales sucesiones numéricas se
mada ecuación, en la cual una o más cantidades
destacan la progresión aritmética y la progresión
son desconocidas.
geométrica.
Análisis y procedimient procedimiento o
Análisis y procedimiento procedimiento
De la información brindada en el enunciado, podemos determinar:
progresión progresión aritmética:
Cantidad de gasolina
Distancia recorrida
1 L
10 km
Consideramos los tres primeros términos de la
8
En1h:8L
+4 +4
80 km
x – 4 ; x ; x + + 4
8
rapidez del auto: 80 km/h
Luego, al aumentar 2; 1 y 3, respectivamente, obtenemos la siguiente progresión geométrica:
Pero como en una hora pierde 2 L de gasolina, x – – 2 ; x + 1 ; x + + 7
necesitaríamos 2 L más. En1h:10L
Volumen total Volumen de gasolina : 4 0 L
×q
80 km 4
Respuesta El auto logrará recorrer 320 km.
320 km
4
×q
Por propiedad propied ad del término t érmino central en e n P. G. x +1) x – 2)( x x +7) ( x +1)2=( x +7)
2 x +1=5 +1=5 x –14 →
x =5 =5
Entonces, la progresión geométrica sería 1 . º 2 . º 3 .e r
Primer término: 344 Último término: 2
6.º
3; 6; 12; ...; 96 Respuesta
×2 ×2
La diferencia de dichos términos es 342.
Respuesta
La suma de cifras del sexto término es 15. Pregunta N.º 20 Pregunta N.º 19
En la siguiente sucesión, faltan el primero y el último término: ...; 217; 126; 65; 28; 9; ...; la diferencia entre dichos términos es A) 271 D) 323
B) 343
Si el área del triángulo equilátero ABC es 32 cm2, el área del triángulo equilátero MNP en cm2 es C
C) 321 E) 342
P M
N
Solución A
Tema
Sucesiones
B
A) 4 D) 8
Referencias
En este tipo de problemas los números están ordenados bajo un criterio lógico, que se basa en sucesiones notables, como, por ejemplo: los números naturales, pares, impares, números primos, también pueden ser sucesiones aritméticas o geométricas. Análisis y procedimiento
En la siguiente sucesión analizaremos la diferencia de los términos consecutivos hasta encontrar una posible razón constante. primer término
B) 3
C) 1 E) 2
Solución Tema
Área de regiones sombreadas Referencias
Considere el triángulo ABC, donde x , y, z son puntos medios de ABC. B
último término
x
y
344 ; 217 ; 126 ; 65 ; 28 ; 9 ; 2 – 127
– 91
– 36 razón constante
–6
– 61 – 37 – 19 – 7
– 30 –6
– 24 – 18 – 12 –6
z
A
–6
con lo cual encontraremos el primer y último término de la sucesión.
Se cumple: Área
1 = Área 4
xyz
ABC
C
Análisis y procedimiento Dato: El área de la región triangular equilátera ABC
es 32 cm2. Consideremos x , y, z y M , N , P puntos medios de ABC y xyz, respectivamente.
x
malas es igual a la cuarta parte de las respuestas correctas, y el puntaje obtenido fue de 165 puntos, que es igual a los 11/16 del máximo posible. ¿Cuántas preguntas quedaron sin contestar?
C
A) 5 D) 11
P
Solución
y
B) 7
C) 9 E) 13
Tema
M
Planteo de ecuaciones
N z
A
B
Aplicando la propiedad tenemos 1 (Área ABC) Área xyz 4 =
=
1 (32) 8 4 =
Luego Área
=
MNP
1 (Área 4
=
Área
∴
)
xyz
1 (8) 2 4 =
=2
MNP
Referencias
En el transcurso de la vida diaria podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la matemática, se requiere de una gran capacidad de abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la que una o más cantidad son desconocidas. Análisis y procedimiento
Piden: Número de preguntas sin contestar. De acuerdo a los datos, tenemos la siguiente tabla.
Observación
En el problema falta precisar que los puntos x , y , z y M, N, P son puntos medios.
Respuestas
Respuesta
correctas
El área de la región triangular equilátera MNP es 2.
Respuestas incorrectas
Cantidad
4
4 x
4(4 x )
–1
x
– 1( x )
Puntaje total:
165
Pregunta N.º 21
En un examen, la respuesta correcta vale 4 puntos, la respuesta incorrecta vale –1 punto y la pregunta sin contestar 0 puntos. Si la cantidad de respuestas
→
→
16 x – x =165 x =11
Puntaje
Vale
obtenido
Referencias
Tomando en cuenta el otro dato:
Máximo puntaje 165 = × 16 posible 11
Este puntaje máximo se obtendría si el total de preguntas se respondiera correctamente (recibiendo 4 puntos por cada una); entonces el número total de preguntas es
240 4
= 60 preguntas.
Secuencias numéricas:
En este tipo de problemas, los números están ordenados bajo un criterio lógico, que se basa en sucesiones notables, como por ejemplo: los números naturales, pares , impares , números primos, etc.
Análisis y procedimiento Del gráfico
Finalmente:
60 preguntas
Respuestas correctas: 4 x =44 Respuestas incorrectas: x =11 No respondidas: 60 − (44 + 11) = 5
2
16 5 18 3
12 9 a
20
Por lo tanto, el número de preguntas sin contestar es 5.
Ordenando los números, tenemos:
Respuesta
1.º
Quedaron sin contestar 5 preguntas.
12 ; 18 ; 16 ; 2 ; 20 ; 5 9 3
2.º 3.º 4.º 5.º
–2
Pregunta N.º 22
–2
–2
a
–2
20 ; 18 ; 16 ; 14 ; 12 ; 10 1 3 5 7 9 11
En la figura, halle a.
+2
16 5 18 3
–2
6.º
2
+2
+2
+2
+2
Respuesta
12 9
El valor de a es 10/11
a
20
Pregunta N.º 23 Un caballo atado a una estaca, con una cuerda A) 9/5 D) 7/15
B) 10/11
C) 8/3
de 2 metros, tarda 8 horas en comer todo el pasto
E) 15/13
que está su alcance. ¿Cuántas horas requiere este caballo para consumir todo el pasto que está a su
Solución
alcance, si la cuerda fuese de 3 metros?
Tema
A) 12
Psicotécnico
D) 18
B) 14
C) 16 E) 24
Solución
Pregunta N.º 24
Tema
Un taxista cobra 3 nuevos soles por el primer 1/4 km,
Comparación de magnitudes
y 2,5 nuevos soles por cada 1/4 km adicional. ¿Cuál sería el costo en nuevos soles para un viaje de n kilómetros?
Referencias Magnitud
Propiedad o cualidad común a un conjunto de
A) 3+(n–1)
seres, objetos o entes, cuya intensidad puede variar
3 B) 5 + (4n − 1) 2
(aumentar o disminuir) y además puede ser medido. Por ejemplo: longitud, área, volumen, rapidez, precio, temperatura, etc.
C) 12+(n–1) D) 3+(4n–1)
Magnitudes proporcionales
Dos magnitudes relacionadas son proporcionales cuando al variar uno de ellos el otro también varía
5 E) 3 + (4n −1) 2
en la misma proporción. Sean dos magnitudes A y B:
Solución
Magnitudes directamente proporcionales (DP)
Tema
m o c . Si A aumenta, entonces, B aumenta o si A dismiPlanteo de ecuaciones Z nuye, B disminuye s o r A(DP) B: A/B=cte. b Referencias i Magnitudes inversamente proporcionales (IP) L . el transcurso de la vida diaria, podemos w dis- En Si A aumenta, entonces, B disminuye, o si A observar la relación que existe entre la Matemática w minuye, B aumenta. w y la realidad. Para traducir una situación real →
→
A(IP) B: A× B=cte.
que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la Matemática, se requiere de una gran
Análisis y procedimiento El caballo atado a una estaca, con una cuerda de r metros, come todo el pasto que está a su alcance;
es decir, una región circular de radio r metros: un área de
2
πr
metros cuadrados. Dicha área se
relaciona proporcionalmente al tiempo que tarda
capacidad de observación y abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la cual una o más cantidades son desconocidas.
el caballo en comer todo el pasto.
Análisis y procedimiento Del enunciado, piden el costo (en S/.) de un viaje 2 área del pasto = consumido
4
×2
tiempo empleado
=
3 9
1
18 h
4
×2
8h
de n kilométros.
km
Por cada 0,25 km adicional paga S/.2,5 más
Respuesta El tiempo que requiere es de 18 h
×10
n
Área de una región limitada por un cuadrado:
km
D
1 km 4
n –
1 km 4
C
L
×10
Costo (S/.): 3
+
10
n –
1 km 4
Área
= L2
ABCD
B
A
L
Análisis y procedimiento →
4n − 1 4n − 1 Costo (S/.)= 3 + 10 = 3 + 5 4 2
En el gráfico, si trazamos la diagonal AC notamos que queda dividida en cuatro regiones de igual área: D
Respuesta
5 El costo es de 3 + ( 4n −1) soles. 2
S
Área
=(0,4 m) 2
ABCD
S
0,4 m
Pregunta N.º 25
S
N
4S
=0,16 m2
2S
=0,08 m2
S
Si el lado del cuadrado ABCD es 0,4 metros donde M y N son puntos medios, entonces el área en metros cuadrados de la figura sombreada es D
C
M
M
A
B
Respuesta
El área de la región sombreada es 0,08 m 2.
C
Pregunta N.º 26
N
B
A
A) 0,8 D) 0,06
B) 0,2
C) 0,08 E) 0,82
Dos ciudades A y B están unidas por un río y distan entre sí 480 km. Cuando una lancha va de A hacia B a favor de la corriente emplea 24 horas, pero el retorno lo hace en 40 horas. Calcule la rapidez de la corriente del río. A) 4 km/h D) 6 km/h
B) 12 km/h
Solución
Solución
Tema
Tema
Problemas sobre móviles
Situaciones geométricas
Referencias
Referencias
El área de una región es la medida correspondiente a una figura que indica cuántas veces contiene dicha región plana a la región unitaria (1 u 2).
C) 10 km/h E) 8 km/h
Definición de MRU d=v×t
donde: d=distancia, v=rapidez y t =tiempo
Análisis y procedimiento
Análisis y procedimiento
Sea v L=rapidez de la lancha vc=rapidez
De los datos tenemos
de la corriente del río
perros
conejos
gatos
x + 5
x – 12
N.º de animales: x – 7
v L+vC
24 h
corriente del río
A
+7
B
–7
–5
+5
+12 – 12
480 km
40 h
v L –vC
x
x
x
mismo número de animales de cada clase
Aplicando definición del MRU, tenemos v L+vc=20
km/h
(I)
Además
v L– vc=12
km/h
(II)
N.º de animales: ( x –7)+( x +5)+( x –12)=61
de (I) y (II): v L=16
=25
→ x
km/h y
vc=4
km/h
Por lo tanto, el número de conejos es: x +5=30
Respuesta
Respuesta
la rapidez de la corriente del río es 4 km/h
Pregunta N.º 28
Pregunta N.º 27 En una veterinaria se encuentran 61 animales entre perros, conejos, y gatos. Si hubiera 7 perros más, 5 conejos menos y 12 gatos más, habría el mismo número de cada clase. ¿Cuántos conejos hay? A) 28
B) 24
D) 25
El número de conejos es 30.
C) 30 E) 13
En un pueblo correspondía a cada habitante 50 litros de agua por día. La población ha aumentado en 100 habitantes y le corresponde a cada uno 10 litros de agua menos. El número de habitantes es A) 500
B) 600
D) 650
C) 700 E) 450
Solución
Solución
Tema
Tema
Planteo de ecuaciones
Planteo de ecuaciones
Referencias
Referencias
En el transcurso de la vida diaria, podemos
En el transcurso de la vida diaria, podemos
observar la relación que existe entre la Matemática
observar la relación que existe entre la Matemática
y la realidad. Para traducir una situación real
y la realidad. Para traducir una situación real
que involucre el aspecto matemático al lenguaje
que involucre el aspecto matemático al lenguaje
propio de la Matemática, se requiere de una gran
propio de la Matemática, se requiere de una gran
capacidad de observación y abstracción.
capacidad de observación y abstracción.
Entonces, la relación que establecemos será
Análisis y procedimiento
Consideramos que
8
7
Volumen volumen de N.º de total de = agua por × habitantes agua habitante Sea x número inicial de personas. De los datos: Antes
25
9
x
121 4
8 4 32
8 7 8 56
322 25
3 9 3 27
5 62 121
272 81= x
Ahora
Volumen total de : 5 0 x = 4 0 ( x + 1 0 0 ) agua =400 → x
Respuesta
Se obtiene que a x le corresponde el número 81.
Por lo tanto N.º de habitantes = x +100=500 Pregunta N.º 30 Respuesta
y EFGH , son cuadrados circunscrito e inscrito respectivamente en el círculo de centro O. Si el área del cuadrado mayor es a 2, ¿cuál es el área de la región sombreada?
ABCD
El número de habitantes es 500 Pregunta N.º 29
¿Qué número le corresponde a x ? 8
7 25
9
8
B) 100
3
C) 88 E) 64
2
2 a
D
( π− 2) H
2
a
E)
a
(2π –1)
Solución
Psicotécnico
Tema
En este tipo de problemas debemos encontrar un único patrón de formación de consistencia lógica que verifique con cada uno (o en grupos) de los datos brindados, y aplicar lo obtenido para hallar el número que completa adecuadamente la distribución. Análisis y procedimiento
Se observa que los números de las zonas sombreadas son cuadrados perfectos, que se obtienen al relacionar los otros dos números.
E
(2π –2)
2
G O
2
D)
Tema
Referencias
C
( π − 2) 4 C) a2(π –2)
B)
x
121 4
A) 144 D) 81
A)
a
F
A
B
Área de regiones sombreadas Referencias r
Área de la región circular= πr 2
d
Área de la región cuadrada=
d
2
2
Luego
Análisis y procedimiento
Piden: Área de la región sombreada
MN = AB=a EG= MN =a
Dato: y EFGH son cuadrados Área ABCD=a2 → AB=a
ABCD
H
Área de la región sombreada=
M
N –
a /2
a /2
C
D H
G
a E
F
G
2
M
E A
N
O
área de la región a a 2 = π − sombreada 2 2
=π
F
a
4
B
= En el gráfico, tenemos • O: centro • MN : diámetro del círculo • EG: diámetro del círculo y diagonal del cuadrado EFGH .
a
2
2
4
−
a
2
2
(π − 2)
Respuesta
El área de la región sombreada es
a
2
4
(π− 2).
