Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
CAPITULO VII CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
297
Física General III
I.
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
INTRODUCCIÓN Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como: resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores. Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b
Figura 7.1.
Elementos de un circuito circuito conectados: conectados: (a) en paralelo y (b) en serie
Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2
Figura 7.2.
Representación Representación de elementos elementos de un circuito
En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une do s cables, ocasionando un cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles, dispositivos que cuando se eleva la t emperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico. En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra.
II.
CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. E n un tiempo dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por
dW R = ∆V .dq = IRdq dW R = IR( Idt ) = I 2 Rdt 298
(7.1)
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Figura 7.3.
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Representación Representación de un circuito simple para determinar la corriente que fluye a través través de él
Durante este mismo mismo tiempo tiempo la fuente hace hace un trabajo para mover mover una carga (dq = Idt ) dado por
dWε = ε dq = ε ( Idt ) = ε Idt
(7.2)
Según la ley de conservación de la energía se tiene
dWε = dW R ⇒ ε Idt = I 2 Rdt I =
ε R
(7.3)
La corriente también puede determinarse usando usando el criterio: “La suma algebraica de los cambios de potencial alrededor del circuito circuito completo debe ser nulo”
Va + ε − IR = Va I =
ε R
Para determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la dirección de la corriente son las mostradas, se usan las reglas mostradas en la figura 7.4,
Figura 7.4.
Reglas para para determinar la diferencia de potencial potencial en elementos elementos de un circuito
Por otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corriente que fluye a través del circuito se determina en la for ma
Va + ε − rI − RI = Va
ε = (r + R) I I =
ε r+R
299
(7.4)
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Figura 7.5.
III.
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(a)
(b)
Circuito eléctrico con una fem que pose una resistencia interna r y una resistencia de carga R, (b) cambio en el potencial potencial eléctrico eléctrico alrededor alrededor de un circuito circuito
RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Decimos que dos resistores R 1 y R2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en cualquiera de los elementos.
Figura 7.6.
(a) Circuito con resistencias en serie, serie, (b) circuito equivalente equivalente
En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir
I1 = I 2 = I 3 = I eq
(7.5)
La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, esto es,
∆V = I eq Req = I1 R1 + I 2 R2 + I2 R3
(7.6)
Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente R eq como se muestra en la figura 7.3b
Req = R1 + R2 + R2
(7.7)
El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso la resistencia equivalente se escribe.
Req = R1 + R2 + ... + Ri + ... + RN =
N
∑R
i
(7.8)
i =1
Debe observarse que si una resistencia R 1 es mucho mayor que la otra resistencia R i, entonces la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia mayor R1. En las figuras 7.7, se observa la forma como se instala las resistencias en serie en las prácticas de un laboratorio. 300
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(a)
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(b)
(c)
Figura 7.7.
( a) Instalación de resistencias en serie utilizando un protoboard, protoboard, (b) Instalación de resistencias resistencias utilizando cables y uniones y (c) Ins talación de resistencias en serie usando terminales metálicos metálicos
En seguida consideremos dos resistencias R 1 y R2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje ∆V, como se muestra en la figura 7.8a.
Figura 7.8.
(a) Circuito con resistencias resistencias en paralelo, (b) circuito circuito equivalente
Por conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I 1, la cual fluye a través de la resistencia R 1 y una corriente I 2 que fluye a través de la resistencia R 2. Por otro lado, cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, ∆V1= I1R1 y ∆V2 = I2R2. Sin embargo la diferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la la misma e igual a la diferencia de potencial en el resistor equivalente. La conservación conservación de la corriente implica que
I = I1 + I 2 + I3 =
∆V R1
∆V
+
R2
+
1 1 1 = ∆V + + R3 R1 R2 R3
∆V
(7.9)
Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con ∆V = IReq como se muestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistencias conectadas en paralelo está dada por la ecuación
1 Req
=
1 R1
+
1 R2
+
1 R3
Este resultado puede generalizarse para N resistores en paralelo, obteniéndose 301
(7.10)
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1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+ . .. . . +
1
Ri
+ .. . +
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1
RN
N
=∑ i =1
1
Ri
(7.11)
Cuando una resistencia R1 es mucho más pequeña que otra resistencia R ,i entonces, la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R 1. En el caso de dos r esistencias esistencias se tiene.
Req =
R1R2 R1 + R2
R1R2 R2
= R1
(7.12)
Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritar iamente por aquella resistencia resistencia cuyo valor sea más pequeño y por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción de corrienteEn la figura 7.9, se muestra muestra la instalación de resistencia en el laboratorio
(a)
(b)
(c)
Figura 7.9. ( a) a) Instalación de resistencias resistencias en paralelo utilizando un protoboard, protoboard, (b) Instalación de resistencias en paralelo utilizando utilizando cables y uniones y (c) Instalación Instalación de resistencias resistencias en paralelo paralelo usando terminales
IV.
TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10.
Figura 7.10.
Circuito para transformar transformar resistencias resistencias de estrella estrella a triángulos triángulos
Si intentamos buscar una posibilidad de transformar una red en la otra, veremos que la resistencia vista entre los puntos 1 y 2 debe ser la misma en ambas redes. De tal forma que se cumplen las siguientes igualdades: 302
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Resistencia entre los nudos 1 y 2:
R1 + R2 = RC //( RA + RB ) =
RC ( RA + RB )
(7.13)
R A + RB + RC
Resistencia entre los nudos 2 y 3:
R2 + R3 = R A //( RB + RC ) =
RA ( RB + RC )
(7.14)
R A + RB + RC
Resistencia entre los nudos 1 y 3:
R1 + R3 = R B //( R A + RC ) =
RB ( RA + RC )
(7.15)
R A + RB + RC
Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de RA, RB y R C, y deseamos calcular los valores de R 1, R2 y R 3 de la estrella estrella equivalente. A partir de las las ecuaciones ecuaciones anteriores obtendremos:
R1 =
R B RC R A + RB + RC
;
R2 =
RA RC R A + RB + RC
R3 =
;
RA RB R A + R B + R C
(7.16)
Que responden a la forma genérica de
Ri =
Producto de las resistencias conectadas al nudo i Suma de las resistencias del triángulo
(7.17)
Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R 1,R2 y R3, y queremos calcular los valores de R A, RB y RC del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de resistencias entre nudos tendremos:
R2 R1
=
R A R B
;
R3 R1
=
RA RC
;
R3 R2
=
RB
(7.18)
RC
Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos:
R A =
R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R1
;
RB =
R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R2
;
RC =
R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R3
(7.19)
Que responden a la forma genérica de
Ri =
V.
Suma de los productos de las resitencias de la estrella tomadas por parejas Resistencia de la estrella conetada al nudo opuesto a R i
(7.20)
LEYES DE KIRCHHOFF Con una o mas fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias eléctricas se forma un circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica determinar todas las corrientes que circulan, los voltajes en cada uno de los elementos eléctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y consumidas. Para simplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo eléctrico y malla eléctrica. 303
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Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene fem’s y/o resistencias eléctricas, y que es recorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos un nudo eléctrico).
Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrientes eléctricas.
Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas for mando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicas para resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff , las cuales a su vez, se infieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocen como la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.
5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos: Establece que: “La suma algebraica de las corrientes en todo nudo eléctrico debe ser siempre igual a cero”, es decir,
Figura 7.11.
Aplicación de la primera ley de Kirchhoff Kirchhoff
Matemáticamente esta ley se expresa en la forma
∑ I ingreasan = ∑ I salen I = I1 + I 2
(7.21) (7.22)
5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF K IRCHOFF o llamada ley de mallas. Establece que: “La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los elementos de un circuito que forman forman un circuito circuito cerrado cerrado es nulo”. Esto es
∑
∆V i = 0
(7.23)
circuito cerrado
Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección anterior, obteniéndose
− R1 I1 + E1 − R4 I 4 + E 4 − E 3 + R3I 3 − E 2 − R 2I 2 = 0
Figura 7.12. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff 304
(7.24)
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VI.
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CIRCUITOS RC. 6.1
Proceso de carga de un capacitor
Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de fem ε, una resistencia R, un condensador C y un interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a.
(a)
Figura 7.13.
(b)
(a) diagrama del circuito RC para t < 0 y (b) diagrama de un circuito RC para t > 0
Cuando el interruptor S se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra completamente descargado, es decir [ q(t = 0) =0]. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S , comenzará a fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el circuito es
ε
I 0 =
(7.25)
R
En este instante, la diferencia de potencial entre entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus bornes comienza a aumentar progresivamente. Siendo e l voltaje a su tr avés en cualquier tiempo
VC (t ) =
q (t )
(7.26)
C
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene
ε − I (t ) R − ε = R
dq dt
+
q (t ) C q C
=0 (7.27)
Donde se considera que la corriente en el circuito es I = +dq/dt. Debido a que la corriente I debe ser la misma en todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en las placas del capacitor. El flujo de corriente en el circuito será continuo e irá decreciendo a medida que el capacitor vaya incrementando su carga. El flujo de corriente finalizará cuando el capacitor se haya cargado completamente, adquiriendo una carga total Q. Ello se vuelve evidente cuando escribimos la ecuación en la forma.
R
dq dt
= ε −
q C
(7.28)
Para determinar la carga en cualquier instante sobre el capacitor la ecuación diferencial se escribe en la forma
dq dt
=
1 R
(ε −
q
) C
(7.29)
Esta ecuación puede ser resuelta usando el método de separación de variables. El primer paso es separar los términos que involucran a la carga y al tiempo. Es decir 305
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dq dt dq 1 dt = ⇒ =− q R q − Cε RC (ε − ) C
(7.30)
Ahora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites correspondientes. q
dq
0
q − Cε
∫
=−
1
t
∫ dt
(7.31)
RC 0
De donde se o btiene
t q − Cε =− RC −Cε
ln
(7.32)
Despejando la carga se tiene
(
q (t ) = Cε 1 − e
− t / RC
) = Q (1 − e−
)
t / RC
(7.33)
Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas del capacitor. La carga en función del tiempo puede graficarse como se muestra en la figura 7.14
Figura 7.14.
Carga en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor
Una vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre sus placas en cualquier instante esto es
VC (t ) =
q (t ) C
=
Cε (1 − e
− t / RC
C
) = ε
(1− e−
t / RC
)
(7.34)
La grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función del tiempo. De la figura se observa que después de un tiempo suficientemente largo, la carga sobre el capacitor será
(
−∞ q (t = ∞ ) = Q 1 − e /
RC
)=Q
(7.35)
En el mismo tiempo el voltaje entre sus placas será igual al voltaje aplicado por la fuente y la corriente a través del circuito será nula
V C =
q (t = ∞ ) C
=
C ε C
= ε
(7.36)
La corriente que fluye a través del circuito en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la carga obteniéndose
I (t ) =
dq (t ) dt
=
Cε (1 − e−t / RC ) = ε e−t / RC R dt d
306
(7.37)
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I (t ) = I 0 e−t / RC
(7.38)
El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I 0. La gráfica corriente en función del tiempo se observa en la figura
Figura 7.15.
Intensidad de corriente en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor
De la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC , se denomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcance aproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en las placas del capacitor (figura 7.16), esto es
VC (t ) = ε 1 − e− / τ
(
Figura 7.16.
6.2.
t
)
(7.39)
Voltaje en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor capacitor
Proceso de descarga de un capacitor.
Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, es decir t >>> RC . Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzando una carga Q, siendo la diferencia de potencial entre sus placas V = Q/C . Por otro lado, la diferencia de potencial en el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I = 0. Ahora supongamos que el interruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b.
Figura 7.17.
Circuito utilizado durante el proceso de descarga de un capacitor
En estas condiciones el capacitor comienza a descargarse fluyendo una corriente que decae exponencialmente a través del circuito. Es decir el capacitor actúa como una fuente que entrega corriente al circuito. El flujo de corriente se mantendrá hasta que el capacitor se haya descargado completamente. Se puede calcular la dependencia de la carga y de la corriente en función del tiempo después del cierre del interruptor S, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, como se muestra
∆VC + ∆VR = 0 ⇒ 307
q (t ) C
− RI = 0
(7.40)
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La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto
I = −
dq
(7.41)
dt
El signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional al negativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentra disminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuación diferencial de primer orden
q
dq
+ R
C
dt
=0
(7.42)
Esta ecuación se puede resolver ut ilizando el método de separación de variables, es decir,
dq q
1
=−
RC
dt
(7.43)
La misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose q
dq
Q
q
∫
=−
1 RC
∫
t
0
q t = − RC Q
dt ⇒ ln
(7.44)
O también
q(t ) = Qe
− t / RC
(7.45)
El voltaje a través del capacitor será
VC (t ) =
q (t ) C
=
Q C
e− t / RC
(7.46)
Una grafica del voltaje en función del tiempo se muestra en la figura 7.18
Figura 7.18.
Diferencia de potencial en las placas de un capacitor en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitor
La intensidad de corriente que fluye en el circuito durante el proceso de descarga del capacitor también decae exponencialmente y se encuentra que
I (t ) = −
dq dt
=−
d
Qe− ( dt
t / RC
Q
) = ( RC )e −
t / RC
(7.47)
La gráfica de la intensidad de corriente que fluye a través del circuito tiene la misma forma que el voltaje, en la figura 7.19 se muestra esta situación.
308
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Figura 7.19. VII.
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Intensidad de corriente en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitor
MEDICIONES ELECTRICAS 7.1. Medición de corrientes. Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c.
Figura 7.20.
Instalación de un amperímetro para medir la intensidad de corriente que fluye en un circuito
7.2. Medición de diferencias de potencial
Supongamos ahora que se quiere determinar la diferencia de potencial en un elemento de un circuito eléctrico mostrado en la figura 7.21a. P ara ello se instala el voltímetro en paralelo con dicho e lemento como se muestra en la figura 7.21b.
Figura 7.21.
Instalación de un voltímetro para medir la diferencia de potencial en un elemento de un circuito
7.3. Medición de resistencias resistencias
309
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En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura
Figura 7.22. Instalación de un multímetro para medir la resistencia de elemento. Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura
Figura 7.23.
VIII.
(a)Circuito para medir la resistencia de una bombilla, (b) diagrama del circuito y (c) circuito utilizado para medir la la resistencia de un elemento de cerámica. cerámica.
MEDIDORES ELÉCTRICOS. 8.1. El galvanómetro. Los instrumentos más comunes para medir corrientes, diferencias de potencial y resistencia se basan en el funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil. Este dispositivo está formado por una bobina montada en un cilindro de aluminio el cual se encuentra sostenido en el interior de un campo magnético. Cuando a través de la bobina pasa una intensidad de corriente I g, la bobina sufre una desviación angular que es proporcional a la intensidad de corriente. Si ahora unimos a la bobina una aguja indicadora larga que está provista de una escala calibrada especialmente para medir corrientes, se obtendrá el valor correspondiente de la intensidad de corriente que fluye por el circuito. En la figura 7,24 se muestra la forma como es el diseño básico de un galvanómetro.
310
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Figura 7.24.
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Galvanómetro de bobina móvil utilizado como base en el diseño de medidores eléctricos. eléctricos.
8.2. El amperímetro El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe ser conectado en serie al elemento elemento cuya corriente se se va a medir medir como se muestra muestra en la figura figura 7.25. Debe instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa. Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere.
Figura 7.25.
(a) Instalación de un amperímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir corrientes. corrientes.
El galvanómetro al ser sensible al paso de corriente se usa como amperímetro, pero debido a su resistencia pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña R P llamada SHUNT como se muestra en la figura 7.25b. Si la resistencia del galvanómetro es Rg y la intensidad de corriente que pasa por el es I g, la corriente en la resistencia en derivación será I sh. Entonces la aplicación de la primera ley de kirchhoff nos da
I = I g + I sh
(7.48)
Como a resistencia en derivación “shunt” y el galvanómetro están en paralelo, entonces las deferencias de potenciales en estos elementos serás
∆Vg = I g Rg
(7.49)
∆Vsh = I sh Rsh
(7.50)
311
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Figura 7.26.
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Intensidades de corriente en los elementos del amperímetro construido.
Igualando estas diferencias de potencial se obtiene
I sh =
Rg Rsh
I g
(7.51)
Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se t iene
I = I g +
Rg Rsh
Rsh Rsh + Rg
I g ⇒ I g = I
(7.52)
De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se t iene
I g = I / n ⇒
Rsh = I n Rsh + R6
I
Rsh =
Rg n −1
(7.53)
8.3. El voltímetro Permite medir diferencias de potencial de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento cuya diferencia de potencial se desea medir como se muestra en la figura 7.27a. También es necesario tener en cuenta la polaridad del instrumento. El voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impida que sobre el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp. Cuando se usa un galvanómetro como voltímetro es necesario necesario colocarle una resistencia resistencia grande en serie serie a fin de disminuir el paso de la corriente (véase la figura 7.27b).
Figura 7.27.
(a) Instalación de un voltímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir voltajes en en un circuito.
Cuando se mide con este instrumento una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R de la resistencia mostrada en la figura 7.28, tenemos
312
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∆V = V2 − V 1
(7.54)
Si se quiere una sensibilidad t al que la ddp en R produzca desviación completa de la escala
∆V R = ( Rs + Rg ) I g
(7.54)
Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro ( Rs >> Rg), se tiene
Rs =
∆V R I mas
− Rg ≅
∆V R I mas
(7.55)
La resistencia equivalente del voltímetro será
Re =
R( Rs + Rg ) R + Rs + Rg
≅
RRs R + Rs
(7.56)
Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la resistencia del voltímetro construido, se t iene
Req ≅ R
(7.57)
8.4. El puente de Wheatstone. Es un circuito especial representado en la figura 7.28, utilizado para medir resistencias desconocidas usando resistencias patrones o calibradas. Para ello se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas circulantes para hallar las corrientes. Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx
Figura 7.28.
(a) instalación de un voltímetro construido usando un galvanómetro para medir la diferencia de potencial entre entre los extremos de una una resistencia. resistencia.
Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene
ε − R2 ( I a − I b ) − Rx ( I a − I c ) − rI a = 0
− R1I b − Rg ( I b − I c ) − R2 ( I b − I a ) = 0 − R3 I c − Rx ( I c − I a ) − Rg ( I c − I b ) = 0
313
(7.58)
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Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene
( r + R2 + R x ) I a − R2 I b − Rg I c = ε R2 I a − ( R1 + R2 + Rg ) I b + R x I c = 0
(7.59)
R x I a + Rg I b − ( R3 + Rx + R g ) I c = 0 Resolviendo dichas ecuaciones se tiene
I b =
ε R2 R3 + ε R2 R x + ε R2 Rg + ε Rx R g
∆ ε R2 Rg + ε R1 Rx + ε Rx R2 + ε Rx R g I c = ∆
(7.60)
La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será
I g = I b − I c =
ε
∆
[ R2 R3 − R1R x ]
(7.61)
Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula. Por lo tanto
R2 R3 − R1R x = 0 R x =
R2
R3
R1
(7.62)
(7.63)
8.5. El potenciómetro El potenciómetro es un circuito que permite determinar fuerzas electromotrices de baterías, pilas, etc, comparándolas comparándolas con fems patrones. La batería E 1cuya fem es ε1 es mayor que la fem εx .
Figura 7.29.
Circuito denominado potenciómetro utilizado para determinar fems desconocidas.
Para determinar la fem desconocida εx se procede de la siguiente manera: Se conecta el conmutador S a la fem ε0 y se ajustan los terminales deslizantes T y T’ hasta que no fluya corriente a través del galvanómetro. Si en esta posición la resistencia entre T y T’ es R 1, entonces la diferencia de potencial entre T y T’ será
∆VTT ' = R1I 1 314
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
Aplicando la ley de Kirchhoff Kirchho ff a la malla malla I, se obtiene
− I1 R '+ ε1 − I1 R '' = 0 ⇒ ( R '+ R '') I 1 = ε 1
(a)
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener
− R2 I 2 − R1 ( I 2 − I 1 ) − ε 0 = 0
Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula ( I 2 = 0), la ecuación se reduce a
R1I 1 = ε 0
(b)
Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene
ε 1 = ε 0 + R R ´ ''
R1
(c)
A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la resistencia la resistencia entre T y T’ es R 2, la diferencia de potencial es
∆VTT ' = R2 I 1
La aplicación de la ley de Kirchhoff a la malla I y II nos da
− I1R '+ ε1 − I1 R '' = 0 ⇒ ( R '+ R '') I 1 = ε 1 − Rg I 2 − R2 ( I 2 − I 1 ) − ε x = 0
Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I 2 = 0), la ecuación se reduce a
R2 I 1 = ε x
(d)
(e)
Combinando las ecuaciones (d) y (e), resulta
ε 1 = ε x ´ '' R + R
R2
De las ecuaciones (c) y (f) se tiene
ε x ε 0
315
=
R2 R1
(7.64)
Física General III
IX.
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
R1 = 1 y R 2 = 2 entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conectan las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de de la pila y su 6 A. Determine la fem correspondiente resistencia interna r.
PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01 Una pila de fem = 1,06 V y resistencia interna r = 1,8 tiene una resistencia R = 6 conectada entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia de potencial existente entre los terminales de la pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia disipada en la pila.
Solución En la figura se muestra el circuito cuando se instalan las dos resistencias en serie con la pila.
Solución En la figura se muestra el diagrama del circuito.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene
∆Vε + ∆ Vr + ∆VR + ∆VR = 0 1
+ε − rI1 − R1 I1 + R2 I1 = 0 ε − r (2 A) = 1Ω ( 2 A) + 2Ω (2 A)
Parte (b) Primero se determina la intensidad de corriente en el circuito, para esto se aplica la segunda ley de Kirchhoff. Es decir,
ε − 2 r = 6
∆Vε + ∆V R + ∆V r = 0 +ε − RI − rI = 0 I =
ε R + r
=
2
(1)
En la figura se muestra el circuito cuando las dos resistencias son conectadas a los extremos de la pila pero ahora la conexión es en paralelo.
1, 06 V 6 Ω + 1, 8 Ω
I = 0,136 A Parte (a) Diferencia de potencial en los extremos de la pila
Va − rI + ε = Vb Vb − Va = ε − rI = 1, 06 06 V − 1, 8 Ω(0,136 A) Vb − Va = 0,815 V
Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo por tanto su r esistencia equivalente equivalente será
Parte (c). Potencia disipada por la pila. Esta potencia se disipa en la resistencia interna (calentamiento de la pila).
Re =
P = rI 2 = 1, 8 Ω(0,136 A)2
R1R2 R1 + R2
=
1Ω(2 ( 2Ω) 1Ω + 2Ω
2
= Ω 3
(2)
En la figura se muestra el circuito equivalente en donde se indica las polaridades en cada uno de los elementos.
P = 33,29 W Problema 02 Una pila de fem tiene una resistencia interna r. Cuando se conectan en serie dos resistencias de 316
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
En el nudo b, la corriente se divide en I be e Ibd. Esto es
I ab = I be + I bd I
2
e
I
+ε − Re I 2 − rI 2 = 0 3
2
Ω(6 A) − r (6 A) = 0 ε − 6 r = 4
(2)
I ac = I cd + I ce
∆Vε + ∆V R + ∆V r = 0 2
= I be + I bd
En forma análoga la corriente I ac en el nudo c se divide en dos corrientes
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene
ε −
= I cd + I ce
(3)
Por razones de simetría se t iene
I bd = I cd
(3)
(4)
I be = I ce
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (3) resulta
(5)
Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d, se tiene.
0, 5 Ω r = 0,5
ε = 7 V
I de = Ibd + I cd
Problema 02
(6)
Remplazando la ecuación (4) en (6) resulta
En la red indicada todas las resistencias tienen el mismo valor R. La corriente I entra en el nudo a y sale por el nudo e. Halle las corrientes en las ramas ab, bd y be.
I de = I bd + I bd = 2 I bd
(7)
La diferencia de potencial entre los punto be se puede calcular por la rama be o por la rama bde, es decir.
∆Vbe = RI be
(8)
∆Vbe = ∆Vbd + ∆V de ∆Vbe = RI bd + RI de ∆Vbe = RI bd + 2 Ibd ∆Vbe = 3I bd
Solución
Igualando las ecuaciones (8) y (9), resulta
El circuito presenta una simetría respecto a la línea ade.
I be = 3I bd
La corriente que entra en el nudo a se reparte por igual por las ramas ab y ac. Es decir por cada una de estas ramas pasa una corr iente
I ab = I ac =
I
2
(9)
(10)
Remplazando la ecuación (10) en (2)
I
2
(1)
= Ibd + 3I bd ⇒ I bd =
I
8
(11)
La sustitución sustitución de la ecuación ecuación (11) en la la ecuación ecuación (10) nos da 317
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
∆V6V + ∆V3Ω + ∆V R = 0 6V − 3 Ω( I1 ) − Lecturavoltimetro = 0 6 V − 3 Ω( I1 ) − 5 V = 0
3 I I I be = 3 ⇒ I be = 8 8 Problema 03
I1 =
Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas del voltímetro indica 5,00 V mientras que el amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la dirección indicada. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem .
1 3
A
(3)
Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta
2 A +
1 3
A = I2 ⇒ I2 =
7 3
A
(4)
Cálculo de R. De la lectura del voltímetro se tiene
∆V R = I 2 R 7 5 V = [ A]( R ) ⇒ R = 2,14 Ω 3 Problema 04 Para el circuito mostrado en la figura. (a) E ncuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. (b) si laos puntos a y b están conectados por un cable con resistencia despreciable, encuentre la corriente en la batería de 12 V
Solución En la figura se muestra el sentido de las corrientes escogidas y las polaridades en las resistencias.
Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d se tiene
Solución
I A + I1 = I 2 2 A + I1 = I 2
Parte a. En la figura se muestra el sentido de la corriente y las polaridades en las resistencias. Observe que como los puntos a y b no se encuentran en contacto por esa línea no habrá flujo de corriente
(1)
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcefga se tiene
∆Vε + ∆V10 Ω + ∆ V2 Ω + ∆ V R = 0 ε − 10Ω( I A ) − 2 I A − LecV = 0 ε − 10 Ω(2 A) − 2(2 A) − 5 V = 0 ε = 29 V
(2)
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla defgh se tiene Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla cdefc se tiene 318
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
I1 = 0,465 A
∆V1 V + ∆V21Ω + ∆V2Ω + ∆V2Ω + ∆V1Ω + ∆V8V + ∆V2Ω + ∆V1Ω = 0
I 2 = 0,430 A
1 V − 12 Ω I − 2Ω I − 2Ω I −1Ω I − 8V − 2Ω I − 1Ω I = 0
I 3 = 0,020 A
4 V = 9Ω( I )
I = 0,44 A
Es decir la corriente que pasa a través de la batería de 12 V es I 1 = 465 mA.
(1)
Aplicando el Teorema de la trayectoria se tiene
Problema 05
Va − 2 I − 1I − 8V − 2 I − 3(0) + 10V − 1(0) = Vb Va − Vb = 5I − 2V = 5(0, 44) − 2V
Toribio Córdova C.
Va − Vb = 0,22 V
En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las corrientes I 1, I2 e I3; (b) la diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c) la potencia disipada en la resistencia de 5 Ω. Desprecie las resistencias internas de las baterías.
Parte B. Cuando los puntos a y b se encuentran conectados por un alambre se tiene el circuito siguiente.
Solución Parte (a). Para resolver el problema se usa las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell. Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo a se tiene
Malla I.
24V − 6 I1 − 5( I1 + I 2 ) − 13( I 1 + I 3 ) = 0
I1 = I 2 + I 3
24 − 24 I1 − 5 I 2 − 13I 3 = 0
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcda se tiene
24 I1 + 5 I 2 + 13I 3 = 24
12V − 1I1 − 2 I1 − 1I 3 − 10V − 3I 3 − 1I 1 = 0
Malla II.
2V = 4 I1 + 4 I 3
10V − 3I 2 − 5( I 2 + I1 ) − 2( I 2 − I3 ) = 0
2 I1 + 2 I 3 = 1
10 − 5 I1 − 10 I 2 + 2 I 3 = 0 5 I1 + 10 I 2 − 2 I 3 = 10
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcda se tiene Malla III.
10V + 1I 3 − 2 I 2 − 1I 2 − 8V − 2 I2 + 3 I 3 = 0
30V − 2( I 3 − I 2 ) − 13( I 3 + I1 ) − 20 20 I 3 = 0
5 I 2 − 4 I 3 = 2
30 − 13 I1 + 2 I 2 − 35 I 3 = 0 13 I1 − 2 I 2 + 35 I 3 = 30
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene
Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta
319
Física General III
24
5
10 10
I1 =
24
5
13
− 2 35
24
24 24
13
5
10
−2
13 30
25
24
5
13
− 2 35
24
5
13
5
10
10
13
− 2 30
24
5
13
= 0,963 A Solución
−2
13
5 10
= 0,382 A
−2
13
5 10
I 3 =
−2
− 2 35
Toribio Córdova C.
cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente después de un largo tiempo del cierre del interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo largo y luego se abre, determine la corriente en función del tiempo que pasa a través del resistor de 600 k Ω
13
30
5 10
I 2 =
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
13
Parte (a). Corriente inicial. En este caso el capacitor capacitor se comporta como un conductor pues no tiene resistencia. El circuito entonces queda en la forma
= 0,770 A
−2
− 2 35 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene
Parte (b). Determinación de la diferencia de potencial entre A y B. para eso se usa el teorema de la trayectoria. Esto es
50V − 1, 2.10 I 0 = 0 6
I 0 = 4,17.10−5 A
V A − 20 I 3 + 30V = VB
Parte (b) Cálculo de la corriente en régimen estacionario. El capacitor después de un tiempo largo se carga completamente y por la rama donde se ubica no fluye corriente. Entonces el circuito se dibuja en la forma
V B − VA = 30V − 20Ω(0, 77 A) V B − V A = 15,4 V Parte (c). Para determinar la potencia disipada en R = 5Ω , se determina primero la intensidad de corriente en dicho resistor.
I 5 Ω = I1 + I 2 = 0, 38 382 A + 0, 96 963 A I 5 Ω = 1.345 A 2 .345A) ((5 5Ω) P5 Ω = I 52Ω R5Ω = (1.345
P5Ω = 9,05 W Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene
50V − 1, 2.106 Ω( I ∞ ) − 0, 6.106 Ω (I ∞ ) = 0
Problema 06
50V = 1, 8.106 Ω ( I ∞ )
En el circuito eléctrico mostrado en la figura. ¿Cuál es la corriente eléctrica inicial suministrada por la fuente inmediatamente inmediatamente después de
I ∞ = 2,78.10−5 A 320
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R2 = 30 Ω.
Se procede a determinar el voltaje y la carga en el capacitor
∆VC = ∆V R =600 k Ω ∆VC = I ∞ ( R) = 2, 78.10−5 A(600.103 Ω ) ∆VC = 16,68 V −6 68V ( 2, 5. 5.10 F ) Qmax = ∆ VC (Cc ) = 16, 68
Qmax = 41,70 µ F Parte (c). Al abrir el interruptor S el condensador cargado completamente se descarga a través del resistor R = 600 k Ω. Por tanto se tiene
Solución En la figura se muestran las corrientes y las polaridades en las resistencias.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene
∆VC + ∆VR = 0 ⇒ q C
− R (−
∫
dq dt
Qmax
q
=−
− RI = 0
C dq
)=0⇒
dq
q
q
q
1 RC
=−
dt dt RC
Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo se tiene
t
∫ dt 0
I A = I1 + I 2
q t =− RC Qmax − q = Qmax e t / RC
6 A = I1 + I 2
ln
Las resistencias R1 y R 2 se encuentran en paralelo por lo que sus diferencias de potenciales entre sus extremos serán iguales. Es decir
t q = [41, 70 70 e − /1,5 ]µ F
∆V R = ∆VR ⇒ R2 I 2 = R1 I1 2
30 I 2 = 60 I 1
La intensidad de corriente será
I = −
dq dt
=−
1
I 2 = 2 I 1
d
− t /1,5 [41, 70 70e ]µ F dt
Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se tiene
I = 2,78.10 −5 e − t / 1,5 A
6 A = I1 + 2 I 1 I1 = 2 A
Problema 07 La potencia eléctrica disipada en la espiral R1 es
El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R1 = 60 Ω. La La espiral R1 se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente,
P1 = I12 R1 = (2 A) 2 (60Ω ) P1 = 240 W 321
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
200V − R1 ( I a − I b ) − R2 ( I a − I b ) − rI a = 0
La energía disipada en la espiral será
200 − ( R1 + R2 + r ) Ia + ( R1 + R2 ) = 0
E p = 240 t = (240 J / s )(300 s )
5015 I a − 5000 I b = 200
EP = 7200 J = 0, 24 24(7200)cal EP = 17280J
Malla b.
− R3 I b − R2 ( I b − I a ) − R1 (I b − I a ) − R 4I b = 0 ( R1 + R2 ) I a − ( R1 + R2 + R3 + R 4 ) I b = 0 5000 I a = 10000 I b I a = 2 I b
En el caso de que se deprecien las pérdidas de energía, esta energía es utilizada en el calentamiento del agua. Es decir,
Q = E P mw ce, w∆T = 17280 J
Resolviendo simultáneamente anteriores resulta
480 g (1cal / g .°C )∆T = 17280J
∆T = 36°C
las
ecuaciones
5015(2 I b ) − 5000 I b = 200 I b = 0,039 A
Problema 08 En la figura se muestran dos voltímetros V1 y V2 cuyas resistencias son R 1 = 3 k Ω y R2 = 2 k Ω, respectivamente, Sabiendo que R3 = 3 k Ω ; R4 = 2 k Ω ; ε = 200 V y r = 15 Ω. Determine las lecturas las lecturas de los voltímetros así como del amperímetro de resistencia despreciable cuando: (a) el interruptor S se encuentra abierto y (b) el interruptor S se encuentra cerrado.
I a = 0,079 A La lectura del voltímetro V1 será
V1 = ( I a − I b ) R1 = [0, 079 A − 0, 039 A](3000Ω) V1 = 120 V La lectura del voltímetro V2 será
V2 = ( I a − I b ) R1 = [0, 079 A − 0, 039 A](2000 Ω) V1 = 80 V Parte (b) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra cerrado. Es decir, el circuito se grafica en la forma mostrada en la figura
Solución Parte (a) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra abierto. Note que los voltímetros tienen resistencias considerables comparadas con las dos resistencias R 3 y R4.
Uniendo los puntos de igual potencial se observa que R1 se encuentra en paralelo con R 4 de igual forma los resistores R 2 y R3 están en paralelo. Entonces sus resistencias equivalentes serán Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell, se tiene 322
Física General III
Re,1 = Re ,2 =
R1 R4 R1 + R4 R2 R3 R2 + R3
= =
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
3000(2000) 3000 3000 + 2000 2000 2000(3000) 2000 2000 + 3000 3000
= 1200 Ω = 1200 Ω
Aplicando las leyes de Kirchhoff
200V = (1200 + 1200 + 15) I A I A = 0,083 A Las lecturas de los voltímetros volt ímetros serán
V1 = Re.1 I A = 1200 Ω(0,083 ,083 A) = 99,6 V V2 = Re.2 I A = 1200Ω(0, 083 A) = 99, 6 V
323
Toribio Córdova C.
Física General III
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Toribio Córdova C.
PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS 1. Una batería de fem ε = 9 V y resistencia interna r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 60 Ω conectada entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de potencial existente entre las terminales de la batería, (b) la corriente que fluye en el circuito y (c) la potencia disipada e la batería.
6. El amperímetro que se muestra en la figura da una lectura de 2 A. Determine I1, I2 y ε.
2. Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r . Cuando se conecta en serie dos resistencias de 1 Ω y 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conecta las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de 6 A. Halle la fuerza electromotriz ε y la resistencia interna de la pila.
3. Tres pilas cada una de fem ε = 1,5 V y una resistencia interna r = 1,4 Ω se conectan en serie entre los terminales de una batería desconocida de fem ε2 y resistencia interna r 2. Sabiendo que la resistencia total de los conductores es de 0,3 Ω. La corriente observada en el circuito es 1,17A. Cuando se invierten las conexiones a los terminales de la batería, se observa que la corriente es 0,26 A en sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la fem de la batería?, (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería con las conexiones originales?, (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería después de invertir las conexiones?.
7. Una batería de
6 V suministra corriente al circuito que se muestra en la figura. Cuando el interruptor de doble posición S está abierto como se muestra, la corriente en la batería es de 1 mA. Cuando el interruptor S se cierra a la posición 1, la corriente en la batería es 1,2 mA. Cuando el interruptor se cierra a la posición 2 la corriente en la batería es 2 mA. Determine las resistencias R 1, R2 y R3
4. Considere el circuito que se muestra en la figura. Determine: (a) la corriente en el resistor de 20Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.
8. Una
tetera eléctrica tiene un interruptor multiposición y dos bobinas calefactoras. Cuando sólo una de las bobinas está conectada, la tetera, bien aislada, hierve toda su capacidad de agua en un intervalo de tiempo Δ t . Cuando sólo se encuentra conectada la segunda bobina, es necesario un intervalo de tiempo 2Δ t , para hervir la misma cantidad de agua. Determine el tiempo que se requiere para hervir el líquido cuando ambas bobinas están conectadas: (a) en serie, (b) en paralelo.
están conectados como se 5. Tres resistores de 100 Ω están muestra en la figura. La potencia máxima que puede ser entregada sin riesgo a cualquiera de los resistores es de 25 W . (a) ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a los terminales a y b?. (b) para el voltaje determinado en el inciso (a), ¿Cuál es la potencia entregada a cada resistor?, ¿Cuál es la potencia total tot al entregada?.
9. En la figura se muestra una red infinita de resistores. Cuál es la resistencia equivalente entre los bornes a y b.
324