Circuitos de Corriente Continua

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

CAPITULO VII CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

I.

INTRODUCCIÓN Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como: resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados 1

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Física General III



previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores. capacitores. Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b

Figura 7.1.

El ementos ementos de un cir cuito conectados: conectados: ( a) en paral elo y (b) en en ser ser ie

Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2

Figura 7.2.

Representación Representación de elementos elementos de un cir cuit o

En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une dos cables, ocasionando un cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles, dispositivos que cuando se eleva la temperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico. En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra.

II.

CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. En un tiempo dt aparece dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por

dW R  V .dq  IRdq dW  IR ( Idt )  I 2 Rdt

(7.1)















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Figura 7.3.



Represent Representación ación de un cir cui to sim ple par a determi nar la cor r iente ient e que f lu ye a tr avé s de é l

Durante este mismo tiempo la fuente hace hace un trabajo para mover una carga ( dq = Idt ) dado por

dW   dq   ( Idt )   Idt

(7.2)

Según la ley de conservación de la energía se tiene

dW  dW R   Idt  I 2 Rdt I 



(7.3)

R

La corriente también puede determinarse usando el criterio: alrededor del circuito completo debe ser nulo”

“La suma algebraica de los cambios de potencial

Va    IR  Va I 



R

Para determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la dirección de la corriente son las mostradas, se usan las r eglas mostradas en la figura 7.4,

Figura 7.4.

Reglas para determ determ in ar l a dif erencia de potencial en elementos elementos de un ci r cuit o

Por otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corriente que fluye a través del circuito se determina en la forma

Va    rI  RI  Va















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(a)

Figura 7.5.

III.

(b)

Cir cuit o elé ctri co con un a f em qu e pose pose una r esiste esistencia ncia in terna r y un a r esiste esistencia ncia de carga carga R, (b) cambi o en el el potencial pot encial elé ctr ico al r ededor ededor de un ci r cui to

RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Decimos que dos resistores R 1 y R 2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en cualquiera de los elementos.

Figura 7.6.

(a) Cir cuit o con con resistencias resistencias en serie, (b) cir cuit o equival equival ente

En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir

I1  I 2  I 3  I eq

(7.5)

La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, esto es ,

V  I eq Req  I1R1  I 2 R2  I 2R3

(7.6)

Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente R eq como se muestra en la figura 7.3b

Req  R1  R2  R2

(7.7)

El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso la resistencia equivalente se escribe.

Req  R1  R2  ...  Ri  ...  RN 

N

R i 1

i

(7.8)















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(a)


(b)

(c)

Figura 7.7.

(a) I nstalación de resiste resistencias ncias en en ser ser ie uti li zando un protoboar d, (b) I nstalación de resistencias resistencias uti li zando cables y un ion es y (c) I nstalación de r esiste esistencias ncias en serie u sando t ermin ales metá metáli cos

En seguida consideremos dos resistencias R 1 y R 2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje como se muestra en la figura 7.8a.

Figura 7.8.

V,

(a) Cir cuito con resiste resistencias ncias en en paral elo, (b) cir cuito equi equi valente valente

Por conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I 1, la cual fluye a través de la resistencia R 1 y una corriente I 2 que fluye a través de la resistencia R 2. Por otro lado, cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, V1= I1R 1 y V2 = I2R 2. Sin embargo la diferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la diferencia diferencia de potencial en el resistor equivalente. La conservación de la corriente implica que

I  I1  I 2  I 3 

V R1



V R2



1 1 1   V     R3  R1 R2 R3 

V

(7.9)

Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con V = IR eq eq como se muestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistencias conectadas en paralelo está dada por la ecuación















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1 Req



1 R1



1 R2

 ..... 

1 Ri


 ... 

1 RN

N

 i 1

1 Ri

(7.11)

Cuando una resistencia R1 es mucho más pequeña que otra resistencia R ,i entonces, la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R 1. En el caso de dos resistencias se tiene.

Req 

R1R2 R1  R2



R1R 2 R2

 R1

(7.12)

Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritariamente por aquella resistencia cuyo valor s ea más pequeño y por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción fracción de corrienteEn la figura 7.9, se muestra la instalación instalación de resistencia en el laboratorio

(a)

(b)

(c) resistencias ncias en en par alelo ut il izando un protoboar d, (b) I nstalación de resiste resistencias ncias en Figura 7.9. (a) I nstalación de resiste paral elo util izando cables cables y un iones y (c) I nstalación de resiste resistencias ncias en paralelo u sando termi nal es

IV.

TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10 .

















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Resistencia entre los nudos 1 y 2:

R1  R2  RC //( RA  RB ) 

RC ( RA  RB )

(7.13)

R A  RB  RC


R2  R3  R A //( RB  RC ) 

RA ( RB  RC )

(7.14)

R A  RB  RC


R1  R3  R B //( RA  RC ) 

RB ( RA  RC )

(7.15)

R A  RB  RC Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de R A, R B y R C, y deseamos calcular los valores de R 1, R 2 y R 3 de la estrella equivalente. A partir de las ecuaciones ecuaciones anteriores obtendremos:

R1 

R B RC R A  RB  RC

;

R2 

RA RC R A  RB  RC

R3 

;

RA RB R A  RB  RC

(7.16)

Que responden a la forma genérica de

Ri 

Producto de las resistencias conectadas al nudo i Suma de las resistencias del triángulo

(7.17)

Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R 1,R 2 y R 3, y queremos calcular los valores de R A, R B y R C del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de resistencias entre nudos tendremos:

R2 R1



R A R B

;

R3 R1



RA RC

;

R3 R2



RB

(7.18)

RC

Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos:

R A 

R1R2  R2 R3  R3R1 R1

;

RB 

R1R 2  R 2R 3  R 3R 1 R2

;

RC 

R 1R 2  R 2R 3  R 3R 1 R3

(7.19)

















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Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene fem’s y/o resistencias eléctricas, y que es recorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos u n nudo eléctrico).

Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrientes eléctricas.

Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas formando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicas para resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff , las cuales a su vez, se infieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocen como la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.

5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos: Establece que: “La suma al gebr gebr aica ai ca de las corr i entes en todo n udo elé ctr i co debe ser ser siempre siempr e igual igu al a cero ” ”, es decir,

Figura 7.11.

Apli cación cación de la pri mera mera l ey de Ki rchhof f

Matemáticamente esta ley se expresa en la forma

 I ingreasan   I salen I  I1  I 2

(7.21) (7.22)

5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF o llamada ley de mallas. Establece que: “La suma al gebrai ca de las l as dif erenci as de potenci potenci al a tr avé s de cada cada un o de los elementos de un cir cuito que for man un ci rcui to cerr cerr ado es nul o ” . Esto es



V i  0

(7.23)

circuito cerrado

Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección anterior, obteniéndose

















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VI.



CIRCUITOS RC. 6.1

Proceso de carga de un capacitor

Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de f em ε, una resistencia R, R, un condensador C y C y un interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a.

(a)

Figura 7.13.

(b)

(a) diagrama del del cir cuito RC para t < 0 y (b) diagrama de un circui to RC para t > 0

Cuando el interruptor S se S se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra completamente descargado, es decir [ q(t = 0) =0]. =0 ]. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S interruptor S , comenzará a fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el circuito es



I 0 

(7.25)

R

En este instante, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus bornes comienza a aumentar aumentar progresivamente. Siendo el voltaje a su través en cualquier tiempo tiempo

VC (t ) 

q(t )

(7.26)

C

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

  I (t ) R    R

dq dt



q(t ) C q C

0 (7.27)

Donde se considera que la corriente en el circuito es I = +dq/dt . Debido a que la corriente I debe ser la misma en +dq/dt todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en

















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dq dt dq 1    dt q   R q C R C (  ) C

(7.30)

Ahora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites c orrespondientes. q

dq

0

q  C





1

t

 dt

(7.31)

RC 0

De donde se obtiene

t  q  C    RC  C 

ln 

(7.32)

Despejando la carga se tiene

q(t )  C 1  e t / RC   Q 1  et / RC 

(7.33)

Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas d el capacitor. La carga en función del tiempo puede graficarse como se muestra en la figura 7.14

Figura 7.14.

Car ga en en f un ción del del t iempo dur ante el proceso proceso de carga carga de un capacitor

Una vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre sus placas en cualquier instante esto es

VC (t ) 

q(t ) C



C 1  et / RC  C

  1  et / RC 

(7.34)

La grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función del tiempo. De la figura se observa que después de un tiempo s uficientemente largo, la carga sobre el capacitor será





















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I (t )  I 0 e  t / RC

(7.38)

El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I 0. La gráfica corriente en función del tiempo se observa en la figura

Figura 7.15.

I ntensidad ntensidad de corr corr iente en iente en fu nci ón del ti empo dur ante el el proceso proceso de carga carga de un capacitor

De la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC , se denomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcance aproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en las placas del capacitor (figura 7.16), esto es

VC (t )   1  e t / 

Figura 7.16.

6.2.

(7.39)

Vol taje en fu nción del del ti empo dur ante el el pr oces oceso de carga de un capacitor

Proceso de descarga de un capacitor.

Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, es decir t >>> RC . Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzando una carga Q , siendo la diferencia de potencial entre sus placas V = Q/C . Por otro lado, la diferencia de potencial en el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I = 0 . Ahora supongamos que el interruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b.



















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La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto

I  

dq

(7.41)

dt

El signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional al negativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentra disminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuación diferencial de primer orden

q

dq

 R

C

dt

0

(7.42)

Esta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables, es decir,

dq q



1 RC

dt

(7.43)

La misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose q

dq

Q

q





1 RC



t

0

q t   RC Q

dt  ln 

(7.44)

O también

q(t )  Qe  t / RC

(7.45)

El voltaje a través del capacitor será

VC (t ) 

q(t ) C



Q C

e  t / RC

(7.46)



















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Figura 7.19. VII.



I ntensidad de corr corr iente en fu nci ón del tie ti empo para el proceso proceso de des descarga del capacitor

MEDICIONES ELECTRICAS 7.1. Medición de corrientes. Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c.



















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En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura

Figura 7.22.

I nstalación de un mul tímetro par a medir la resiste resistenci nci a de elemento. elemento. Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura



















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Figura 7.24.



Gal vanómetro van ómetro de d e bobina bobi na m óvil uti ut i l i zado como base ba se en el di d i señ señ o de medidor medi dor es elé ctr i cos.

8.2. El amperímetro El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe ser conectado en serie al elemento cuya cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura 7.25. Debe instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa. Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere.



















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Figura 7.26.



I ntensidades nt ensidades de cor cor r i ente en en l os elementos del del am perímetro metr o constru i do.

Igualando estas diferencias de potencial se obtiene

I sh 

R g R sh

I g

(7.51)

Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se tiene

I  I g 

R g R sh

 Rsh   Rsh  Rg   

I g  I g  I 

(7.52)

De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene

I g  I / n 

 Rsh   I   n  R sh  R6 

I

R 

R g

(7.53)





















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V  V2  V 1

(7.54)

Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala

V R  ( Rs  Rg ) I g

(7.54)

Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro ( Rs >> Rg ), ), se tiene

R s 

V R I mas

 Rg 

V R I mas

(7.55)

La resistencia equivalente del voltímetro será

Re 

R( R s  Rg ) R  R s  Rg



RRs R  Rs

(7.56)

Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la





















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Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene

 r  R2  R x  Ia  R2 Ib  Rg Ic   R2 I a  ( R1  R2  Rg ) Ib  Rx I c  0

(7.59)

R x I a  Rg Ib  ( R3  Rx  Rg ) I c  0 Resolviendo dichas ecuaciones se tiene

I b 

 R2 R3   R2 R x   R2Rg   R x R g

  R2 R g   R1R x   R x R2   R x R g I c  

(7.60)

La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será

I g  I b  I c 





 R2 R3  R1Rx 

(7.61)

Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula.





















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



Aplicando la ley de Kirchhoff a la malla I, se obtiene

 I1R ' 1  I1R ''  0  ( R ' R '') I 1   1 

(a)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener

 R2 I 2  R1 ( I 2  I 1 )   0  0 

Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula ( I 2 = 0 ), la ecuación se reduce a ),

R1I 1   0 

Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene

  1     0  R´ R '' 

R1  

(b)

(c)

A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la





















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I X.


PROBLEM PROBLEM AS RESUEL RESUEL TOS

Probl ema 01 Una pila de fem = 1,06 V y resistencia interna r = 1,8 tiene una resistencia R = 6 conectada entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia de potencial existente entre los terminales de la pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia disipada en la pila.


R 1 1 = 1 y R 2 2 = 2 entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A . Cuando entre los terminales se conectan las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de de la pila y su 6 A . Determine la fem correspondiente resistencia interna r . Solución En la figura se muestra el circuito cuando se instalan las dos resistencias en serie con la pila.

Solución En la figura se muestra el diagrama del circuito.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito























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En el nudo b, la corriente se divide en I be e I bd. Esto es

I ab  I be  I bd I 2 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene

 I be  I bd

(2)

En forma análoga la corriente I ac en el nudo c se divide en dos corrientes





















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3 I  I  I be  3    I be  8 8 Probl ema 03 Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas del voltímetro indica 5,00 V mientras que el amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la dirección indicada. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem .


V6V  V3  V R  0 6V  3 ( I1 )  Lecturavoltimetro  0 6 V  3 ( I1 )  5 V  0 I1 

1 3

A

(3)

Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta

2 A 

1 3

A  I2  I2 

7 3

A

(4)





















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I1  0,465 A

V12V  V1  V2  V2  V1  V8V   V2    V1  0

I 2  0,430 A

12V  1 I  2 I  2 I 1 I  8V  2 I 1 I  0

I 3  0,020 A

4 V  9( I )

I  0,44 A

Es decir la corriente que pasa a través de la batería de 12 V es I 1 = 465 mA.

(1)

Aplicando el Teorema de la tr ayectoria se tiene

V

2 I 1I

8V

2I

3(0) 10V

1(0) V


Problema Pr oblema 05 05





















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I1 


24 5

13

10 10

2

30

 2 35

24 5 5 10

13

2

13

 2 35

24

24 24

13

 0,382 A


cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente después de un largo tiempo del cierre del interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo largo y luego se abre, determine la corriente en función del tiempo que pasa a través del resistor de 600 k 





















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Se procede a determinar el voltaje y la carga en el capacitor

VC  V R 600k  VC  I  ( R )  2, 78 78.10 5 A(600.10 3 ) VC  16,68 V Qmax  VC (Cc )  16, 68 68V (2, 5. 5.106 F ) Q

 41,70 F


si el amperímetro marca 6 A ?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R 2 = 30 Ω.























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La energía disipada en la espiral será

200V


R (I

I ) R (I

I ) rI  0





















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1. Una batería de fem ε = 9 V y resistencia interna


6. El amperímetro que se muestra en la figura da una





















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14. En el circuito mostrado determine la corriente I 1, I2





















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23. En el circuito mostrado en la figura, determine el









































































































































































































Circuitos de Corriente Continua

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