Ejercicios - Lógica Difusa 2015-I– Sistemas Inteligentes Luis Fernando Niño V.
1. (proyecciones y extensiones cilíndricas) (a) Considere un conjunto difuso A definido en X × Y con X = {x1, x2}, Y = {y1, y2}: A = {0.1/(x1, y1), 0.2/(x1, y2), 0.7/(x2, y1), 0.9/(x2, y2)} Calcule las proyecciones de A sobre X y Y. (b) Calcule la extensión cilíndrica del conjunto difuso A = {0.3/x1, 0.4/x2} en el dominio producto Cartesiano {x1, x2} × {y1, y2}. 2. (relaciones difusas)
Considere la siguiente matriz que define una relación difusa R
sobre XxY
I) i) ii)
x1
y1 0.5
y2 0
y3 1
y4 0.9
y5 0.9
x2
1
0.4
0.5
0.3
0.1
x3
0.7
0.8
0
0.2
0.6
x4
0.1
0.3
0.7
1
0
Calcule las proyecciones de R sobre X y sobre Y. Luego calcule las extensiones cilíndricas de estas relaciones de las proyecciones R(x)and R(y); Grafique los cuatro conjuntos difusos resultantes de los ítems i) y ii)
4. Sea el
universo X={1,2,3,4} y se definen los “enteros pequeños” como A=1/1+0.5/2+0.4/3+0.2/4 Sea la relación difusa (fuzzy) “casi igual” definida como 1
2
3
4
1
1
0.8
0
0
2
0.8
1
0.8
0
3 4
0 0
0.8 0
1 0.8
0.8 1
Cuál es la función de membresía del conjunto difuso B=”enteros bastante pequeños”?, si se interpreta como la composición de A con R? Use la composición max-min 2. (inferencia difusa) Considere una regla If x is A then y is B con conjuntos difusos A = {0.1/x1, 0.4/x2, 1/x3} and B = {0/y1, 1/y2, 0.2/y3}.
Calcule la relación difusa R que representa el valor de verdad de esta regla difusa. Use primero la t-norma del mínimo y luego la implicación de Łukasiewicz. Discuta la diferencia en los resultados. 3. (inferencia difusa) Aplique el algoritmo de inferencia de Mamdani (max-min) a la siguiente base de reglas: 1) If x is A1 then y is B1, 2) If x is A2 then y is B2, con A1 = {0.1/1, 0.6/2, 1/3}, A2 = {0.9/1, 0.4/2, 0/3}, B1 = {1/4, 1/5, 0.3/6}, B2 = {0.1/4, 0.9/5, 1/6}. Calcule el conjunto difuso de salida difusa B_ for x = 2. Compare el resultado con el resultado obtenido a través de la composición relacional.
4. (Inferencia difusa y defuzzification). Considere un controlador simple usando una señal de error, e, y un cambio en la señal de error, de, como entradas y las siguientes cuatro reglas: if e = P and de = P then x = N if e = P and de = N then x = 0 if e = N and de = P then x = 0 if e = N and de = N then x = P Hay dos conjuntos difusos como valores de las variables de entrada e y de: P (positivo) y N (negativo). La variable difusa de salida x toma 3 valores: P (positivo), 0 (cero), N (negativo) con las funciones de membresía mostradas a la derecha. Suponga que las variables de entrada tienen los siguientes valores de membresía en los conjuntos difusos de entrada
Ouptut Variable Membership Function 1 N 0.5
0 -1
-0.5
0
P
0 0.5 Output Variable Value
µN(e) = 0.4; µP(e) = 0.6 µN(de) = 0.2; µP(de) = 0.8 a) Use la inferencia de Mamdani para mostrar que el conjunto difuso de salida total está definido por la línea gruesa en la gráfica de la derecha. Demuestre la inferencia gráficamente. b) Defuzzify usando i) el valor máximo ii) el centroide
Overall Implied Output Membership Function
1
0.5
0 -1
-0.5
0 0.5 Output Variable Value
c) Encuentre los conjuntos difusos de salida N, 0, P. (Combine la segunda y tercera regla como un OR) Use la defuzzification basada en el centro de gravedad y en el centro promedio (los centros ponderados por el valor máximo de membresía).
1
1
d) Compare los resultados de los diferentes métodos de inferencia y de defuzzification. 4. (simulación difusa) Realice una simulación de un sistema de control
de conducción de un automovil. Las variables de entrada al controlador son velocidad, ángulo de inclinación del camino, θ, y la salida es el torque, T. Este problema ignorará la dinámica del motor. Para describir la dinámica del automóvil, use la ecuación discreta (basada en las diferencias locales): v(n+1) = 0.9 v(n) + T(n+1) - 0.1 θ(n+1).
Considere los valores de la velocidad = [0, 100] mph, inclinación = [10,10] grados, y el torque = [0, 10]. La función de membresía para la velocidad está determinada por el sistema de control; suponga que para este problema es de 50mph. La velocidad, el ángulo de inclinación y el torque se describen por las variables lingüísticas, con funciones de membresía para los valores posibles que se muestran abajo:
v (mph)
(degrees)
torque
Las reglas del controlador se describen por la siguiente tabla Inclinación del camino velocidad High
Up LM
Level LM
Down Low
OK
HM
Medium
LM
Low
High
HM
HM
Suponga que el ángulo de inclinación es constante en +2.5 0. Suponiendo una velocidad inicial de 52.5 mph, muestre tres ciclos del controlador. Use los conjuntos difusos individuales resultantes y el método de defuzzification centro promedio (centros de las funciones de salida ponderados por el valor de membresía máximo). Para hacer esto trate las variables torque Low y High como funciones de membresía triangulares centradas en 2 y 10, respectivamente. Suponga que el punto de referencia para el control es de 50mph. El propósito de este problema consiste en investigar si el controlador terminará donde se desea.
Al comparar el torque obtenido por el controlador en el punto de referencia para el torque requerido por el carro para mantener la velocidad, determine, para varios ángulos de inclinación (suponiendo que es constante), si el punto de referencia es un punto en estado estable. Considere θ = -10, -5, 0, +5, y +10 grados.
