Ejercicios Leyes de Kepler y Gravitación Universal

EJERCICIOS LEYES DE KEPLER Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL Solucionario 1.-

¿A qué distancia debiera estar un cuerpo cuerpo de la superficie terrestre para que su peso se anulara?

El peso de un cuerpo se anularía en dos circunstancias: i)

En donde g, la intensidad de campo gravitatoria, sea nula. Y eso ocurre Solamente a una distancia infinita.

ii)

En algún lugar en donde debido a la presencia de otro cuerpo estelar la fuerza gravitacional debida a la Tierra y debida a ese otro cuerpo se anulen entre sí. Esto ocurre, por ejemplo, en la línea recta que une a la Tierra con la Luna, a ocho novenos de la distancia que hay entre esos cuerpos medida desde la Tierra.

2.-

Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 630 km de la superficie terrestre.

Datos: R = RTierra + h = 6.370 km + 630 km = 7.000 km = 7x106 m m = 5,98x1024 kg

g =

Gm R2

3.-

6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24

=

(7x10 ) 6

2

= 8,14

m s2

¿A qué distancia distancia entre la Tierra y la la Luna Luna debiera debiera situarse un satélite satélite de 10 toneladas para ser igualmente atraído por ambos?

Datos: mT = 5,98x1024 kg m = 10 ton = 104 kg distancia entre la Tierra y la Luna, d TL = 384.000 km = 3,84x10 8 m distancia entre la Tierra y el satélite, dT = x distancia entre la Luna y el satélite, dL = dTL - x dTL - x

x T

L FTS

FLS

La fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite, FTS, y la de la Luna sobre el satélite, FLS, son iguales, por lo tanto: FTS = FLS 

mT Gm T m x

2

=

GmL m 2

(dTL − x )



mT x

2

=

mL 2

(dTL − x )



mT x

2

=

81 2

(dTL − x )



1 x

2

=

1 81(d TL

2

− x)

al extraer raíz, se tiene:

1 x 4.-

=

1 9(d TL

− x)

 9d TL

− 9x =

x  x =

8 d TL = 3,413x108 m = 341.333 km 9

A cierta cierta altura altura sobre sobre la Tierra se encuentra encuentra un satélite satélite de 500 kg kg sobre sobre el cual el campo gravitatorio terrestre terrestre actúa con la fuerza de 400 N. ¿Cuál es la intensidad del campo gravitacional y la aceleración de gravedad a esa distancia?

Datos: W = 400 N m = 500 kg Como la aceleración de gravedad y la intensidad del campo gravitacional numéricamente tienen el mismo valor, entonces:

Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.hverdugo.cl

1

W = mg  g = 5.-

w m

400 N 500 kg

=

=

0,8

m s2

¿A qué distancia de la superficie terrestre gira un satélite en órbita circular si su masa es de 1000 kg y el campo actúa sobre él con la fuerza de 8000 N?

Datos: m = 1.000 kg mT = 5,98x1024 kg F = 8.000 N

F =

Gm T m R2

, como R = RT + h, entonces se determina R:

Gm T m

R=

F

=

6,67x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 ⋅ 10 3 8.000

= 7.061.037 m =

7.061 km

h = R – RT = 7.061 m – 6.370 km = 691 km

6.-

Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 km de la superficie terrestre.

Datos: h = 3.630 km R = RT + h = 6.370 km + 3.630 km = 10.000 km = 107 m

g=

Gm R

7.-

2

6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24

=

(10 )

7 2

= 3,99

m s2

Un satélite de 80 kg gira en una órbita circular. Si el campo gravitatorio actúa sobre el satélite con una fuerza de 16 N ¿cuál es la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia?, ¿qué más se podría calcular?

Datos: m = 80 kg F = 16 N Se puede determinar, además, la aceleración que tendría el satélite si empezara a caer en forma libre. También se podría determinar velocidad lineal con que gira en torno a la Tierra, esto pues la fuerza con que la Tierra lo atrae también es la fuerza centrípeta a que se ve afectado el satélite. También se puede conocer la altura a que se encuentra el satélite respecto a la superficie terrestre. W = mg, como g es, además de aceleración de gravedad, la intensidad de campo gravitatorio,

g=

w m

=

16 N 80 kg

Como g =

Gm

R=

R2

=

0,2

m s2

, entonces se tiene

Gm g

=

6,67 x10 −11 ⋅ 5,98x10 24 0,2

=

44.657.922 m = 44.658 km

Entonces, el satélite está a h = 44.658 km – 6370 km = 38.288 km de altura sobre la superficie terrestre.


2

8.-

El período de revolución de Saturno es aproximadamente 29,5 años. Calcular su distancia al Sol.

Datos: TS = 29,5 años TT = 1 año RT = 1 UA Aplicando Tercera ley de Kepler, se tiene

TT2 R 3T

TS2

=

R 3S

RS = 3

TS2 ⋅ R 3T

=

TT2

3

29,5 2 ⋅ 13 11

=

9,55 UA

9.Demuestre que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante. La fuerza con que el Sol atrae a un planeta es F =

Gm T m R2

, y como ésta también es la

fuerza centrípeta que afecta al planeta, se t iene que F = ma C = m Como ambas fuerzas son iguales, se tiene:

Gm T m R2

=m

v2 , y como R

v2 , si despejamos R

2

adecuadamente se tiene: v R = Gm T que es constante. Esto es considerando que la velocidad de un planeta en torno al Sol es aproximadamente constante. 10.-

Calcular la aceleración de gravedad en un punto situado a la distancia a que se encuentra la Luna de la Tierra, que es de 60 radios terrestres.

Datos: R = 60 RT = 60 x 6.370 km = 382.200 km = 3,822x108 m (en realidad son 384.000 km)

g=

Gm R

11.-

=

2

6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24

(3,822x10 )

8 2

=

2,73 x10 −3

m s

2

= 0,00273

m s2

La aceleración de gravedad de Marte respecto a la de la Tierra es 0,37. Calcular la aceleración de gravedad en Marte, en m/s 2.

Datos: gM = 0,37g gm = 0,37x9,8

m m = 3,626 2 2 s s

La densidad media del planeta Tierra es 5,5 g/cm3 y la de Marte con relación a la de la Tierra es 0,69. ¿Cuál es la densidad de Marte?

12.Datos:

g cm 3

ρT =

5,5

ρT =

0,69 ρT

m , por lo tanto, se tiene V mT mT 5,98 x10 24 0,69 ⋅ = 0,69 = 0,69 4 4 VT 3 6 3 πR T ⋅ 3,14 ⋅ (6,37 x10 ) 3 3

Como se ha de saber: ρ = ρM =

mM VM


= 3.813

kg m3

= 3,8

g cm 3 3

13.-

Construya un gráfico W v/s R (peso en función de la distancia) de un cuerpo de masa m que viaja desde la Tierra a la Luna.

W WT

1 WT 6 0

8d TL 9

RT

dTL- RL

R

Con WT el peso en la Tierra, RT el radio de la Tierra, RL el radio de la Luna y d TL la distancia entre la Tierra y la Luna. 14.-

Cuando un meteoro que cae está a una distancia de 3RT sobre la superficie terrestre, ¿cuál es su aceleración en caída libre?

Datos: R = 4RT

g=

Gm R2

Gm

=

2

(4R )

=

1 Gm 16 R 2T

=

1 g 16

Es decir, aceleraría con la dieciséis-ava parte de la aceleración en caída libre que tendría en la superficie de la Tierra. 15.-

¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra sería la aceleración de gravedad aproximadamente de 4,9 m/s2.

Datos: g = 4,9

m s2 Gm , entonces se tiene R2

Como g =

R=

Gm g

=

6,67 x10 −11 ⋅ 5,98x10 24 4,9

= 9.022 .263

m = 9.022 km

Entonces, ese lugar está a h = 9.022 km – 6370 km = 2.652 km de altura sobre la superficie terrestre. 16.-

La distancia media de Marte a l Sol es 1,524 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el número de años que tarda Marte en efectuar una revolución en torno al Sol.

Datos: TT = 1 año RT = 1 UA RM = 1,524 UA Aplicando Tercera ley de Kepler, se tiene

TT2 R

3 T

=

TM2 R

3 M

 TM = 3

TT2 ⋅ R M3 R

2 T


=

3

12 ⋅ 1,524 3 11

= 1,88 años

4

17.-

Una manzana es soltada desde el reposo. Una hormiga sobre el suelo afirma que la manzana se acelera hacia la Tierra y la golpea. Un gusano en la manzana afirma que la Tierra se acelera hacia la manzana y la golpea. ¿Qué afirmación es más acertada y por qué?

Ambos bicharracos tienen razón, dicen cosas diferentes solamente porque utilizan sistemas de referencia diferentes. La hormiga usa como referencia a la Tierra, suponiéndola en reposo, y el gusano usa como referencia la manzana, suponiéndola en reposo. 18.-

Determine la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos bolas de billar de masa 0,16 kg cuando la distancia entre ellas es de 450 mm.

Datos: m1 = m2 = 0,16 kg R = 450 mm = 0,45 m

F=

Gm1m 2

19.-

=

R2

6,67 x10 −11 ⋅ 0,16 ⋅ 0,16 0,45 2

= 8,43 x10

−12

N

Complete la siguiente tabla. Los datos corresponden a las Lunas de Júpiter:

Se debe aplicar la Tercera Ley de Kepler. Nombre Io Europa Ganímedes Calisto 20.-

Radio orbital, en 106 m 421,6 670,9 1.070 1.882

Periodo, en días 1,769 3,551 7,152 16,689

Fobos es un satélite de Marte que posee un período de 7 horas y 39 minutos y una órbita de 9,4x106 m de radio. Determine la masa de Marte a partir de estos datos.

Datos: T = 7 h 39 min = 27.540 s R = 9,4x106 m Sobre un satélite que gira en torno a Marte actúa una fuerza centrípeta

v2 , pero como entre ese objeto y Marte hay una fuerza R Gm Mm gravitacional F = , y como ambas fuerzas son equivalentes, entonces: R2 F = ma c

m

v2 R

=

Gm Mm R

2

=m

, y como v =

 2πR    2πR  T  , entonces se tiene T R

2

=

Gm M R2

, despejando

adecuadamente, se tiene:

Gm M 4π2

=

R3 , que es otra forma de expresar la Tercera Ley de Kepler, entonces, T2

despejando la masa de Marte, se tiene: m M =


4π 2R 3 GT

2

=

6,5 x10 23 kg

5

21.-

Determinar el tanto por ciento de reducción que experimenta la aceleración de la gravedad al aumentar la altura en 10 km sobre la superficie terrestre.

Datos: h = 10 km RT = 6,37x106 m R = RT + h = 6,37x106 6 m En la superficie de la Tierra, g0 = A los 10 km de altura, g1 =

Gm

Gm R 02

=

2

R1

=

6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24

(6,37x10 )

6 2

6,67 x10

−11

⋅ 5,98 x10

(6,38x10 )

6 2

=

9,8299

24

=

9,7991

m s2

m s2

Se observa, entonces, que la aceleración de gravedad a una altura de 10 km sobre la superficie terrestre disminuye en 0,0308

m , y esta cantidad corresponde a una s2

disminución del 0,31 %. La masa de la Tierra es, aproximadamente, 6x1024 kg, su radio es, aproximadamente, 6.370 km. La masa de la Luna es 1/81 veces la masa de la Tierra, su radio es, aproximadamente, 1740 km y la distancia que hay entre la Tierra y la Luna es de, aproximadamente, 60 radios terrestres. Determine: a) La intensidad de campo gravitatorio en la superficie Lunar.

22.-

Datos: mL =

mT 81

=

Gm R2

=

6 x10 24 81

= 7,407 x10

22

kg

R = 1.740 km = 1,74x106 m

g=

6,67 x10 −11 ⋅ 7,407 x10 22

(1,74 x10 )

6 2

= 1,63

m s2

b) ¿A qué altura, sobre la superficie terrestre, la intensidad de campo gravitatorio, tiene el mismo valor que la aceleración de gravedad Lunar? Datos: g = 1,63

m s2

mT = 6x1024 kg

g =

Gm , entonces: R2 Gm g

R=

=

6,67 x10 −11 ⋅ 6 x10 24 1,63

= 15.669 .125 m = 15.669

Y, como R = RT + h, la altura en donde g = 1,63 23.-

m s2

km

es h = 9.299 km

Encuentre la distancia entre Júpiter y el Sol sabiendo que el periodo de rotación del Sol es un año y que el de Júpiter es de casi 12 años terrestres.

Datos: TT = 1 año RT = 1 UA TJ = 12 años

TT2 R 3T

=

TJ2 R 3J

RJ = 3

TJ2 ⋅ R 3T TT2

=


3

12 2 ⋅ 13 11

=

5,24 UA 6

24.-

El planeta Egabbac (situado en otro sistema Solar) posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media de masa igual a la de la Tierra. ¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayor, o menor, que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor: ¿cuánto es el valor?

Datos: R = 2RT ρ =

5.500

kg m3

Si el radio es el doble que en la Tierra, y considerando que tiene la misma densidad que nuestro planeta, entonces la masa de ese planeta es: m = ρV, entonces m = ρ ⋅

4 3 πR 3

= 5.500 ⋅

4 7 3 ⋅ 3,14 ⋅ (1,274 x10 ) 3

=

4,76 x10 25 kg

Entonces, en la superficie del planeta Egabbac la intensidad de campo gravitatorio (aceleración de gravedad) es:

g=

Gm R2

=

6,67 x10 −11 ⋅ 4,76 x10 25

(1,274 x10 )

7 2

= 19,56

m , que es el doble de la que hay en la s2

superficie terrestre, por lo tanto un cuerpo en la superficie del planeta pesaría el doble de lo que pesaría en la superficie terrestre. 25.-

Calcule el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio 2R a una de radio 3 R.

Sabemos que la energía total mecánica se conserva. Por lo tanto, tenemos que la energía total mecánica de un satélite a una distancia 2R del centro de la Tierra es: E = U1 + K1, mientras que a una distancia 3R, es E = U 2 + K2, y según el teorema del trabajo y la energía, se tiene W = - (K 2 – K1), por lo tanto, de la igualdad U1 + K1 = U 2 + K2, entonces K2 – K1 = U1 – U2 se tiene: W = U1 – U2

W

=

Gm T m Gm T m − 2R 3R


=

Gm T m 6R

7

Ejercicios Leyes de Kepler y Gravitación Universal

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