O primeiro plan eta descoberto fora do sistem a solar, 51 P egasi B, orbita a estrela 51 Pegasi, completando uma revolução a cada 4,2 dias. A descoberta do 51 Pegasi B, feita por meios espectroscópicos, foi confirmada logo em seguida por observação direta do movimento periódico da estrela devido ao planeta que a orbita. Conclui-se que 51 Pegasi B orbita a estrala estrala 51 Pegasi à 1/ 20 da distância entre entre o Sol e a Terra. Considere as seguintes afirmações: se o semi-eixo maior da órbita do planeta 51 Peg asi B fosse 4 vezes maior do que é então: I- A amplitude do movimento periódico da estrela 51 Pegasi, como visto da Terra, seria 4 vezes maior do que é. II- A velocidade máxima associada ao movimento periódico da estrela 51 Pegasi, como visto da Terra, seria 4 vezes maior do que é. III- O período de revolução do planeta 51 Pegasi B seria de 33,6 dias. Das afirmativas mencionadas: A figura ao lado ilustra os movimentos. O movimento periódico da estrela deve-se ao fato de que, na realidade, os dois astros orbitam o centro de massa do sistema, o que se torna mais perceptível quando o planeta é muito massivo. (1) Um dos muitos movimentos do planeta Terra é um “bamboleio” devido a esse fato. A velocidade angular dos dois corpos em relação ao centro de massa do sistema é igual e assim seus períodos também são iguais. De acordo com a Terceira Lei de Kepler, que pode ser deduzida da Lei da Gravitação de Newton (veja a dedução no apêndice final), num sistema planetário a relação entre o quadrado do período e o cubo do semi-eixo maior é uma constante para o sistema dado.
T2 R3
k
O período de 51 Pegasi B é de 4,2 dias e se o semi-eixo maior quadruplicasse a relação encontrada seria:
4,22 R3
T'2 (4R)3
T' 33,6 dias.
Vamos agora avaliar as assertivas propostas: I- A amplitude do movimento periódico da estrela 51 Pegasi, como visto da Terra, seria 4 vezes maior do que é.
(1) Massivo: dotado de massa expressiva
A amplitude de um movimento periódico é a distância entre duas posições extremas e opostas da oscilação, o que corresponde ao diâmetro da órbita que a estrela descreve em torno do centro de massa do sistema. Teremos de investigar o raio dessa órbita:
O centro de massa do sistema ocupa posição tal, que:
Mr
m(R
r) e quadruplicando-se o semi-eixo maior Mr' m(4R
Mr
m(R
r)
Mr' m(4R r' )
Mr
mR mr
Mr' 4mR mr'
r
r' )
mR mM
r'
4mR mM
r' 4r Vemos que a amplitude do movimento periódico da estrela deve quadruplicar também. A proposição (I) é assim VERDADEIRA. Vejamos a segunda proposição: II- A velocidade máxima associada ao movimento periódico da estrela 51 Pegasi, como visto da Terra, seria 4 vezes maior do que é.
v
2r T
v'
2r' T'
v' v
r' T rT'
v' v
2r.4,2 r.33,6
v' v
0,125
A velocidade seria reduzida. A proposição (II) é FALSA. Enfim III- O período de revolução do planeta 51 Pegasi B seria de 33,6 dias. Já vimos que esse período per íodo seria de 33,6 dias. Proposição VERDADEIRA.
(1) Massivo: dotado de massa expressiva
Apên dice: a dedução da L ei das Órbitas a partir da L ei da Gravitação Universal Vamos considerar que o planeta descreve um movimento circular uniforme em torno da estrela e que a aceleração gravitacional é centrípeta.
F m
GM R2
v2 R
GM R2
2R 2 T2
GM R
T2 R3
4 2 GM
O segundo termo da igualdade é uma constante e só depende da massa da estrela.
(1) Massivo: dotado de massa expressiva
