Ejercicios Fisica Nuclear 2

Deber Deb er de F´ısica Nuclear Nucl ear Decaimiento Radiactivo y Activación on Alejandro G´ omez omez Espinosa

*

Escuela Polit´ ecnica ecnica Nacional Naciona l Quito - Ecuador

22 de septiembre de 2010

1. Un reactor provee un haz externo de neutrones lentos (E n = 0,025 025eV eV )) cuyo flujo es φ = 6 2 5 × 10 neutrones/cm s. Tomando el tiempo de vida media de los neutrones libres como t1/2 = 1,01 × 103 s. Calcular el n´ umero de neutrones que decaen por cm3 en 1 minuto a medida que emergen desde el reactor. A partir del valor de la energia, obtenemos el valor de la velocidad: v=

  2E = m

2(0, 2(0,025 025eV eV )) = 2,188 × 103 m/s 6 939 × 10 MeV/c2

Calculamos la distancia que recorren en su tiempo de vida: d = vt = 2,188 × 103 m/s(1 m/s(1,,01 × 103 s) = 2, 2 ,210 × 106 m Para calcular el numero de neutrones por cm3 y por en un minuto, realizamos: #neut/cm3 s =

5 × 106 neut./cm2 s = 2, 2 ,263 × 10 2,210 × 108 cm

−2

neut/cm3 s = 1, 1 ,35 35neut/cm neut/cm3 min

2. Determ´ınese ınese la cantidad de P o210 necesaria necesaria para para dotar a una fuente de part´ part´ıculas alfa de una actividad de 5 mCi. El per´ per´ıodo de semi-desintegraci´ semi-desintegraci´ on del de l PolonioP olonio-210 210 es 138 1 38 d´ıas. ıas. El tiempo de semi-desintegración on del P o210 en segundo es: t = 138 dias = 1, 1,19 × 107 s y la actividad inicial es: Ao = 5mCi = 1,85 × 108 des./s Conocemos Conoc emos que q ue la actividad activid ad espec´ es pec´ıfica ıfica es: Ao λN A A = = ¯ (1) M A y que la constante de decaimiento se calcula: Calculo la constante de decaimiento: 

λ=

ln 2 t1/2

(2)

De (1) y (2) obtenemos la cantidad necesaria: M =

¯ Ao A 210gg(1, 210 (1,85 × 108 des./s)1 des./s)1,,19 × 107 s = = 1,107 × 10 ln 2(6 2(6,023 × 1023 at.) λN A at.)

−6

g

3. ¿Cu´ al es la masa de 1µCi de Co 60 , si su tiempo de vida media es de 5.27 a˜ nos? El tiempo de semi-desintegración on del Co 60 en segundo es: t = 5,27 a˜ nos nos = 1, 1,66 × 108 s y la actividad inicial es: Ao = 1µCi = 3,7 × 104 des./s De (1) obtenemos la cantidad necesaria: M = *

60 60gg (3, (3,7 × 104 des./s)1 des./s)1,,66 × 108 s = 8, 8 ,82 × 10 ln2(6, ln2(6,023 × 1023 at.) at.)

−10

[email protected]

1

g

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4. Se extrae regularme regularmente nte cada dos d os d´ıas ıas Rn222 (λ = 2,1 × 10 6 s 1 ) de una muestra de 200 mg de Ra226 (λ = 1,37 × 10 11 s 1 ) ¿Cu´ al es la actividad del Rn en mCi disponible en cada extracci´ on? ¿Qué cantidad cantid ad m´ axima de Rn se podr podr´ ´ıa extraer si se dejase la mezcla de Ra-Rn hasta conseguir su estado de equilibrio? −

−

−

−

Sabemos que 2d 2d = 1,728 × 105 s. Asi con la ayuda de (1 ( 1) calculamos la actividad inicial: Ao =

λN A M 1,37 × 10 = A¯

−11

(6, (6,023 × 1023 at)0 at)0,,2g = 7, 7 ,302 × 109 des/s 226gg 226

Para calcular la actividad del Rn aplico la fórmula ormula de la afiliación on radiactiva: A2 (t) = A01

λ2 λ2 − λ1

[exp(−λ1 t) − exp(−λ2 t)]

2,1 × 10 6 s 1 = 7,302 × 10 des/s 2,1 × 10 6 s 1 − 1,37 × 10 −

(3)

−

9

−

[exp(1, [exp(1,37 × 10

−11

−1

s

−11

−

(1, (1,728 × 105 s)) − exp(−2,1 × 10

−6

s

−1

s

−1

(1, (1,728 × 105 s))]

= 7,302 × 109 (0, (0,304) = 2, 2,222 × 109 des/s = 60 60,,059 059mCi mCi Sabemos que la cantidad máxima axima de una sustancia hija se encuentra cuando su tiempo es m´ aximo, entonces aplicando (4 aximo, (4): ln(1, ln(1,27 × 10 11 /2,1 × 10 = 1,27 × 10 11 − 2,1 × 10 −

tm

−

−6

−1

−

−1

s 6 s

)

= 5, 5 ,721 × 106 s

y con este tiempo calculamos nuevamente (3 ( 3): [exp(1,37 × 10 A2 = 7,302 × 109 [exp(1,

−11

(5, (5,721 × 106 )) − exp(−2,1 × 10

−6

(5, (5,721 × 106 ))]

= 7,301 × 109 des/s = 197, 197,334 334mCi mCi 5. Experimentalmente Experimental mente se encuentra encue ntra que el potasio natural natu ral emite 31 part´ part´ıculas beta por segundo por gramo y 3.4 3 .4 rayos gamma por segundo por gramo. Con estos e stos datos d atos determin d eterminar ar el per´ per´ıodo 40 40 de semi-desintegraci´ semi-desintegraci´ on del K (la concentraci´ on isot´ opica del K es 0,01 0118 18 %) Sabemos que del potasio natural se emiten 31 part´ part´ıculas por segundo por gramo, que con una concentración on de 0.0118 obtenemos: 2, 2,627 × 105 part´ıculas ıculas por segundo por gramo de concentraci´ on. on. As´ı apli a plicand candoo (1 ( 1) y la constante de decaimiento obtenemos: t1/2 =

N A ln 2 6,023 × 1023 (0, (0,693) = = 3, 3 ,971 × 1016 s 5 2,627 × 10 (40) A A¯ 

6. Una muestra de Bismuto 210 ( t1/2 = 5 d´ıas) ıa s) pesa pes a 2 × 10 10 g en un cierto instante t=0. El Bi 210 se desintegra desintegra emitiendo una part´ part´ıcula ıcula beta, dando lugar a un elemento radiactivo radiactivo cuyo per´ per´ıodo es de 183 d´ıas. ¿En qué momento a partir de t=0, el n´ umero de ´ atomos del elemento transformado es m´ aximo? ¿Cu´ al es su n´ umero? −

Calculamos las constantes de decaimiento: λ1 =

ln 2 = 0,139 139dias dias 5dias

−1

= 1, 1 ,609 × 10

−6

−1

s

ln 2 = 3, 3 ,788 × 10 3 dias 1 = 4, 4 ,384 × 10 183dias 183 dias Sabemos que el tiempo máximo aximo para una filiación on radiactiva es: λ2 =

−

−

ln(λ ln(λ /λ )

−8

−1

s



−10

Para saber el número umero calculo la actividad inicial del Bismuto con (1 ( 1) (2 × 10 14 10 uma): uma): −6

Ao =

λN A M 1,609 × 10 = A¯

−1

s

g = 1,205 ×

(6, (6,023 × 1023 at)1 at)1,,205 × 1014 = 5, 5 ,561 × 1029 des/s (5) 210

Con (5 (5) encontramos la actividad final del Bismuto: A = Ao exp(−λt) λt) A = 5,561 × 1029 exp(−0,139 139dias dias

−1

(6)

(26, (26,64 64dias dias)) )) = 1, 1,371 × 1028 des/s

que es el numero de desintegraciones por segundo del elemento decaido. 7. Un elemento A (t1/2 = 2,1h) decae en un elemento B (t1/2 = 4,6h) el cual a su vez decae en otro elemento C. Si la cantidad inicial del elemento B es cero, ¿cu´ al es el valor de la raz´ on N B /N 0A al cabo de 2 horas? Calculamos las constantes de decaimiento para A y B: λA =

ln 2 = 0,330 330h h 2,1h

λB =

ln 2 = 0, 0 ,139 139h h 4,6h

−1

−1

= 5,501 × 10

−3

s

−3

s

= 2,315 × 10

−1

−1

La razón on N B /N 0A al cabo de 2 horas nos da la formula N B λA = (exp(−λA t) − exp(−λB t)) N 0A λB − λA

(7)

y obtenemos: 0,330 330h h 1 0,139 139h h 1 − 0,330 330h h −

=

−

−1

(exp(−0,330 330h h

−1

−1

(2h (2h)) − exp(−0,139 139h h

(2h (2h)))

= −1,728(−0,240) = 0, 0,415 8. La actividad de una muestra de C r55 en un cierto instante es de 19.2 mCi. Despu´ es es de 15 min. la actividad de la muestra es de 0.99 mCi. ¿De qu´ e cantidad de Cr 55 disponemos 20 min. antes de la primera medida? De (6) podemos calcular la constante de decaimiento λ: 1 A 1 0,99 99mCi mCi λ = − ln =− ln = 0,19 19min min t Ao 15 15min min 19 19,,2mCi

−1

(8)

Ahora, con el valor de (8 ( 8) y el tiempo 20 min calculamos la actividad inicial: Ao0 =

A = exp(−λt) λt)

0,99 99mCi mCi = 44 44,,25 25mCi mCi 19min min 1 (20min (20min)) −0,19 −

Finalmente, utilizando (1 ( 1) obtenemos: M =

Ao0 44 44,,25 25mCi mCi = = 44, 44 ,7g A 0,99 99mCi mCi

9. Se bombardea un bloque de hierro de 1000 kg con un flujo de 1014 neutrinos/cm2 s procedentes de un reactor nuclear. Si la secci´ on eficaz para la formaci´ on del M n56 por desinte-



Podemos calcular el número umero de átomos atomos blanco del hierro: 106 g = 1, 1 ,07 × 1028 at. Conocemos que la tasa de producción on de los n´ ucleos activados es igual a: ucleos Q = φN b σ

(9)

donde φ es el flujo del haz de neutrones, N b es el n´ umero umero de n´ ucleos ucleos blanco y σ es la sección on eficaz. As´ As´ı, calculamos calculam os Q: Q = 1014 neutrinos/cm2 s(10

−44

cm2 )1, )1,07 × 1028 at. = 0,0107 0107des/s des/s

Asi calculamos calculamos la actividad actividad neutrónica onica mediante: A = Q(1 − exp(−λt) λt)) = 0,0107 0107des/s des/s(1 (1 − exp(−0,246 246h h

−1

(10)

(24h (24h))) = 0, 0,0107 0107des/s des/s = 0,0107 0107Bq Bq

10. Si el peso actual de una muestra de radio es 1 g ¿Cu´ anto pesar´ a dentro de 100 a˜ nos? t1/2 = 1600 a˜ nos. Calculamos la constante de decaimiento del Radio: λ=

ln 2 = 3,994 × 10 1600yy 1600

−4

y

−1

Con (1 (1) calculamos la actividad inicial: −4

Ao λN A 3,994 × 10 = ¯ = M A

y 1 (6, (6,023 × 1023 ) = 1,064 × 1018 des/gy 226 −

que nos indica que por gramo la actividad inicial es 1, 1 ,064 actividad en 100 a˜ nos: nos: A = A0 exp(−λt) λt) = 1,064 × 1018 des/gy exp(−3,994 × 10

−4

y

−1

×

1018 des/y. des/y. Calculamos la

(100y (100y)) = 1, 1,022 × 1018 des/gy

y finalmente encontramos lo que pasará en 100 a˜ nos: nos: A 1,022 × 1018 des/gy = = 0, 0 ,961 961gg A0 1,064 × 1018 des/y 

M =

11. Cierto elemento radiactivo tiene un t1/2 = 20 d´ıas. Si en el instante instant e inicial hab´ hab´ıa un mill´ mil l´ on de atomos ´ ¿cu´ antos se habr´ an desintegrado d esintegrado durante los 50 d´ıas ıas siguientes? siguien tes? Calculamos la constante de decaimiento del elemento: λ=

ln 2 = 0,035 035d d 20 20d d

−1

y calculamos el n´ umero de desintegraciones con la fórmula: umero ormula: N = N o exp(−λt) λt) = 106 at exp(−0,035 035d d

−1

(11)

(50d (50d)) = 1, 1,768 × 105 at.

12. Una sustancia radiactiva de t1/2 = 100 d´ıas emite emi te part´ıculas ıcul as beta de energ´ıa ıa 5 × 10 7 ergios. Dicha D icha sustancia sustanci a se utiliza utiliz a para activar acti var una u na célula elula termoeléctrica. ectrica. Suponiendo que el e l rendimiento de ésta esta sea de un 10 %. Calc´ ulese en moléculas eculas gramo, la cantidad de sustancia sustanci a radiactiva necesaria necesaria para para generar gene rar una potencia el´ e l´ ectrica ectrica de d e 5 Watts. −

Sabemos que 5 × 10 7 ergios es igual a 5 × 10 14 J. Y que la Potencia es igual al número umero de particulas por su energ´ energ´ıa en el tiempo, tiemp o, es decir: −

−

P

# part

E



13. El per´ per´ıodo del Rad´ on es de 3,8235 d´ıas ¿Qué fracci´ on de una muestr muestra a dada dada de rad´ on se desintegra desintegra en un d´ıa? ıa? El peso at´ omico del rad´ on es 222. Si inicialmente se tiene un microgramo de rad´ on ¿cu´ antos ´ atomos se desintegrar´ an en un d´ıa? Calculamos la constante de decaimiento del Radón: on: ln 2 λ= = 0,167 167d d 3,82 82d d

−1

con (11 (11)) calculamos la fracción on de la muestra que se desintegrará: a: N = exp(−0,167 167d d N 0

−1

(1d (1d)) = 0, 0,846

Ahora si tenemos un microgramo de Radón on inicial, inicia l, esto indicar´ıa ıa que tenemos después es del 15 decaimiento 0, 0,846 846µg µg;; lo que es igual a 2, 2,295 × 10 at. at. 14. El Radio que es un elemento de la serie del Uranio se halla en los yacimientos de Uranio. Si los per per´ıodos ıodos del Radio Radio y del Uranio Uranio son: 1620 a˜ a ˜ nos y 4,5 × 109 a˜ nos. Calc´ ulese las proporciones relativas de dichos elementos en un mineral de Uranio que ha alcanzado el equilibrio y del cual no se ha desprendido ning´ un material radiactivo. Calculamos la constante de decaimiento del Ra y U: λU =

ln 2 = 1,420 × 10 4,5 × 109 y

−10

y

−1

ln 2 = 3, 3 ,944 × 10 4 y 1 1620yy 1620 Sabemos que los elementos alcanzan el equilibrio cuando tienen un tiempo máximo, es decir utilizamos (4 (4): −

λRa =

ln(1, ln(1,420 × 10 10 y 1 /3,944 × 10 1,420 × 10 10 y 1 − 3,944 × 10 −

tm =

−

−

−

−

−4

−1

−

−1

y 4 y

)

= 3, 3 ,46 × 104 y

y para hallar las proporciones relativas utilizamos (7 ( 7): N Ra 3,944 × 10 4 Ra = N U 3,944 × 10 4 − 1,420 × 10 U −

−10

−

−10

(exp(−1,420×10

(3, (3,46×104 ))−exp(3, exp(3,944×10

−4

(3, (3,46×104 ))

= 0,99 15. La actividad de 1 g de Ra226 es un Ci. A partir de esto encuentre la vida media. Utilizamos (1 (1) para obtener la actividad espec´ espec´ıfica del Ra226 : 

A =

Ao 3,7 × 107 des/s = = 3, 3 ,7des/gs M 1g

con esto podemos encontrar la constante de decaimiento: A A¯ 3,7 × 107 des/gs(226 des/gs(226gg ) = = 1,388 × 10 N A 6,023 × 1023 at. 

λ=

−14

s

−1

y finalmente la vida media: t1/2 =

ln 2 0,639 = λ 1,388 × 10 14 s −

−1

= 4,604 × 1013 s = 3, 3 ,504 × 107 y

16. La vida media del Uranio-238 para la desintegraci´ on por emisi´ on alfa es de 4,5 × 109 a˜ nos. Calcule la actividad de un gramo de Uranio en Bequerels. Calculamos la constante de decaimiento del U 238 : ln 2 0,639 λ= = = 1,42 × 10 10 y 9 −

−1

−18

= 6,203 × 10

s

−1

Ejercicios Fisica Nuclear 2

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