TORQUE 2 Fisica 3 Ejercicios Resueltos

Material de Lectura FS100-309-22:

Dinámica de la rotación/ Cálculo del momento de torsión

SECCIÓN 10.6 MOMENTO DE TORSIÓN: EJEMPLO MODELO Serway 10.30 [6ta] La caña de pescar de la l a figura forma un ángulo de 20.0° con la horizontal. ¿Cuál es el momento de torsión ejercido por el pez alrededor de un eje perpendicular a la página y que pasa por la mano del pescador? Solución: El momento de torsión involucra los dos vectores r y F, y su dirección es perpendicualr al plano de r y F. Se puede puede establecer una relación relación matemática entre , r y F usando una nueva operación matemática llamada producto llamada producto vectorial o producto o producto cruz . =rxF

[ec. 11.7 p. 332 Serway 6ta]

donde es la tendencia de giro que puede provocar la fuerza cuando está aplicada aplicada a cierta distancia de un eje de rotación. El punto de aplicación de la fuerza se representa por el vector posición r desde el origen del sistema de coordenadas del plano X-Y hasta el punto de aplicación de F. Lo normal es que por el origen pase el eje de rotación, perpendicular al plano de los vectores r y F, o sea, el eje-Z. La situación del problema puede esquematizarse como en la figura:

Al efectuar la operación de producto cruz: = [(2cos 20°) i + (2sen 20°) j] x [(100cos 37°) i + (-100 sen 37°) j] = (1.879 i + 0.684 j) x (80 i – 60 j) = 150.32 ixi -112.74 ixj + 54.72 jxi -41.04 jxj = -112.74 k -54.72 k = -167.46 k Este resultado indica que el torque tiene una magnitud de 167.46 N-m en la dirección del eje-Z pero con sentido hacia adentro de la página, por el signo negativo. Es decir que el giro es como las manecillas del reloj. Observar que se cumple la regla del producto vectorial de vectores unitarios rectangulares: (ver p. 334 ec. 11.13 Serway 6ta)

ixi=jxj=kxk=0 i x j = -j x i = k ; j x k = - k x j = i ; k x i = - i x k = j

UNAH Valle de Sula/ Materia FS100: Física General I/ Curso 3er Período 2009/ Resp. Ing. J. Bustamante / Página 1 de 3

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Se puede desarrollar el producto cruz en la forma de determinante: τ

i

j

= r x F = x

y Fy

F x τ

k

y z = Fy F z

z x i− Fz F x

x z j+ Fx F z

y k Fy

zFy ) i − ( xFz − zF zFx ) j + ( xFy − yF yFx ) k = r x F = ( yF z − zF

Claro que en el problema ni r ni F tienen componentes en z en z , de modo que = r x F = ( xFy − yF x ) k = (1.879) ( − 60) − ( 0.684) ( 80)  k τ = r x F = −167.46 k τ

Observar que

τ

= r x F = ( xFy − yF x ) k es el conocido teorema de Varignon que es la base

del método para calcular el torque con las componentes horizontal y vertical de la fuerza, que se ilustra en el anterior diagrama. Es decir: la fuerza componente en Y se multiplica por su brazo que es la distancia horizontal y se resta del producto de la componente de fuerza en X, por su brazo que es la distancia vertical. Por supuesto que es indispensable respetar los signos tanto de las coordenadas de posición como los signos de la dirección de las fuerzas: hacia derecha positivo, hacia arriba positivo, etc. Si basta determinar por inspección el sentido del giro que provoca el torque y lo que se desea es obtener la magnitud de esta tendencia de giro, se puede calcular con:

τ = rF sen θ

(ec. 10.19 p. 306)

donde el producto de las magnitudes de los vectores posición y fuerza se multiplica por el seno del ángulo entre estos vectores. Dicho ángulo se puede conseguir prolongando la línea del vector posición y buscando el ángulo menor hasta la línea de acción de la fuerza. O bien se llevan los dos vecotres al origen y se mide (tal vez con más claridad) el ángulo entre ellos:





Es importante entender claramente la manera cómo se determina el ángulo q de la ecuación 10.19. Ahora saquemos más provecho de esta ecuación y organicémosla de las siguientes dos maneras: 1. τ = r (F sen θ) donde Fsen θ representa la componente perpendicular de la fuerza, o sea, aquélla parte de la fuerza verdaderamente verdaderamente efectiva para provocar provocar giro. Es la componente que actúa a 90° de la línea del vector posición y sen 90° es 100%. La otra componente, la paralela a dicha línea no tiene efecto de giro, ya que su ángulo es 0 y sen 0° = 0. 2. τ = F(r sen θ) = Fd donde d es el brazo de palanca que se define como la distancia más corta desde la línea de acción de la fuerza hasta el punto por donde pasa el eje de rotación. Los diagramas a continuación ilustran los dos procedimientos anteriores:

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