Ejercicios de Resueltos por método de tres momentos (Resistencia de Materiales) .pdf

“ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga” Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil Escuela de Ingeniería Civil

PROBLEM PROBLEMAS AS RESUELTOS RESUELTOS DE RESISTENCIA RESISTENCIA DE MATERIALE MATERIALES S I - II Autor: Calderón Quispe, Gilmer

( [email protected],[email protected] ) Estudiante de Ingeniería Civil

Capítulo

3 Méto Método do de tres tres Mome Moment ntos os

3.1

Definición

L1 m 1

L2

I 1

n 2

B

A

Ecuación Ecuación 1 Ec.

C CG

CG

M A

I 2

m 2

n 1

los 3 momentos

´¯ L1 I 1

` 2M B

´

L1 I 1

`

L2 I 2

¯ ´¯ ” ” ` M C C

L2 I 2

`6E

“ ´6

∆B ´∆A

L1

A1 m1 L1 I 1

`

`

A2 n2 L2 I 2

∆B ´∆C

L2

ı

ı

Proble Problema ma N 1 °

Para em marco mostrado en la figura, por el método de tres momentos calcular 1. Reacciones en los apoyos 2. Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores 5

Ingeniería Civil

3 Método de tres Momentos

3. Momento flector máximo y su respectiva ubicación 2000kgf/m

A

2000kgf-m

B

2I 6m

3I

C 2I

2m

4000kgf

2m

2m

2m

D

Solución:

A1 “ 23 lh “ 36000

A2 “ A 3 “ 1000 A4 “ 8000

De la figura (a) aplicando la ecuación de los tres momentos

A

B

C

D D

h1= 9000

M A M B M C

ˆ˙ ˆ˙ ˆ˙

6 “ 2 M B 2 4 ` 2M C 3 4 ` 2M D 2

ˆ ˙ ˆ˙ „ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ˙ „ ˆ ˙ ˆ ˙  ˆ ˙ „  6 4 4 36000 p3q 1000 1 1000 2 ` ` M C “ ´6 ` p2q ` 2 ´ p 2q 2 3 3 6 ˚ 2 4 ˚ 3 3 4 ˚ 3 3 4 4 4 1000 2 1000 1 8000 ` ` M D “ ´6 p2q ´ p2q ` 2 ´ p 2q 3 2 2 4 ˚ 3 3 4 ˚ 3 3 2 ˚ 4 4 ´8000 ` 0 ` M E p0q “ ´6 p2q 2 2 ˚ 4

pagina 6

Resistencia de Materiales I-II

Ingeniería Civil


Para: M A “ M E “ 0 8.667M B ` 1.333M C “ ´54666 .667

(I)

1.333M B ` 6.667M C ` 2M D “ 12666.667 2M C ` 4M D “ ´12000

(II)

(III)

Resolviendo (I) ,(II)y (III) M B “ ´6732.394 Kg ´ m

M C “ 2760.563 Kg ´ m

M D “ 1619.718 Kg ´ m

Hallando las cortantes isostáticas AB :

"

V AB “ 6000 V BA “ ´6000

BC :

"

V BC “ 500 V CB “ 500

CD :

"

V CD “ ´2000 V DC “ 2000

Factor de corrección de las cortantes 0 ´ p´6732.394q ´6732.394 ´ 2760.563 “ 1122.066 C 2 “ “ ´2373.239 6 4 2760.563 ´ p1619.781q “ 285 .211 C 3 “ 4 C1 “

Hallando las cortantes finales V “ Visot ´ C

V AB “ 6000 ´ 1122.066 “ 4877.934 Kgf

VBA “ ´6000 ´ 1122.066 “ ´7122.066 Kgf

V BC “ 500 ` 2373.239 “ 2873.239 Kgf

VCB “ 500 ` 2373.239 “ 2873.239 Kgf

V CD “ ´2000 ´ 285.211 “ ´2285.211 Kgf

VDC “ 2000 ´ 285.211 “ 1714.789 Kgf

Hallando momento flector máximo(Donde la cortante es cero) enx “ 6 m ñ M ma´xp´q “ 6732.394 Kg ´ m

4877.934 2873.239 +

+

-

-

6 6 0 . 2 2 1 7

V

(Kgf )

7122.066

1 1 2 . 5 8 2 2

+

pagina 7


Ingeniería Civil


6732.394 968.258 2986.258 3 6 5 . 0 6 7 2

-

+

2760.563

(Kgf.m ) 8 1 7 . 9 1 6 1

2000kgf/m

A

+

2000kgf-m

B

2I

4877.934 Kgf

-

M

5633.803

9 5 8 . 9 0 8 1

3I

C 2I

9995.305 Kgf

3m

2873.239 Kgf 2285.211 Kgf

2m

4000kgf

2m

D

2m

2m 1714.789 Kgf

1619.718 Kgf.m

M AB “

2EI p2θA ` θB ´ 0q ´ 266.667 30

M AB “

í

M AB “ 0 .0667EI θB ´ 266.667

2EI p2θA ` θB ´ 0q ´ 266.667 30

Problema N 2 °

Resolver la viga sabiendo que el apoyo B sufrió un asentamiento de 12mm, considerar I “ 80 x107 mm4 y E “ 200 KN {mm2

pagina 8


Ingeniería Civil


80KN

60KN

26KN/m

20KN/m

B

A 3m

C

3m

4m

D 2m

3m

Solución:

A1 “ 360 ; A2 “

2 p 6q p90q “ 360 ; A3 “ 138 .667; A4 “ 180 3

3m

6 360 p3q 360 p3q ´ 12 ˚ 10´3 “ ´6 0 ` ` ` 6E 0 ` 2I 6 ˚ 2I 6 ˚ 2I 6

ˆ ˙ ˆ˙ „  ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ˙ „  ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙

M 0 p0q ` 2M A

7/8m

2m

6 0 ` 2I

` M B

„

´12 ˚ 10´3 360 p3q 360 p3q 6M A ` 3M B “ ´6 ` ` 6EI 6 ˚ 2 6 ˚ 2 6 6M A ` 3M B “ ´3000

M A

6 2I

` 2M B





............................................. (I)

6 4 ` 2I I

„

 „

` M C

„



4 360 p3q 360 p3q 138 .667 p2q “ ´6 ` ` ` I 6 ˚ 2I 6 ˚ 2I 4I

12 ˚ 10´3 12 ˚ 10´3 ` 6E 6 4

3M A ` 14M B ` 4M C “ 3304 ............................................ pII q

M B

4 I

` 2M C

4 5 ` I I

4M B ` 18M C “ ´3872

` M D

5 138.667 p2q 180 p8{3q ´12 ˚ 10´3 “ ´6 ` ` 6E I 4I 5I 4

„

................................................ pIII q

 „



Resolviendo las ecuaciones pI q , pII q y pIII q M A “ ´743.923 K N.m MB “ 487 .847 K N.m MC “ ´323.521 KN.m

Hallando las cortantes isostáticas AB:

#

V AB “ 100 V BA “ ´100

BC :

#

V BC “ 52 V CB “ ´52

CD :

#

V CD “ 36 V DC “ ´24

pKN q pagina 9


Ingeniería Civil


Hallando las correcciones M izq ´ M der L C 1 “ ´205.295 KN C 2 “ 202 .842KN C 3 “ ´64.704KN C i “

Cortantes finales V AB “ 305 .295 KN V BC “ ´150.842 KN V CD “ 100 .704 KN V BA “ 105 .295 KN V CB “ ´254.842 KN V DC “ 40 .704 KN

305.295 245.295

165.295

+

100.704

105.295

+

40.704

V

-

(K N)

150.842

254.842

743.923

328.521 122.113

-

-

M

+

(KN.m ) 487.847

Problema N 3 °

Resolver la viga mostrada en la que los asentamientos de los apoyos son en A “ 10 mm ,en C “ 65 mm, en E “ 40 mm y en G “ 25 mm E “ 200 Gpa , I “ 500 x106 mm4

pagina 10


Ingeniería Civil


ˆ ˙ ˆ˙ „ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ „ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ „

M A0 p0q ` 2M A

4 0 ` I

 ˆ ˙  ˆ ˙ 

4 16 p2q 0 ´ ∆ “ ´6 0 ` ` 6E 0 ` 4I 4 I

` M B

8M A ` 4M B ` 1.5EI ∆ “ ´48

M A

4 I

` 2M B

4 6 ` I I

6 16 p2q 48 p4q ∆ “ ´6 ` ` 6E ` 0 I 4I 6I 4

` M C

4M A ` 20M B ` 6M C ´ 1.5EI ∆ “ ´240

M B

6 I

` 2M C

6 6 ` I I

(i)

(ii)

6 48 p2q 180 p3q “ ´6 ` 6I 6I I

` M D

6M B ` 24M C “ ´636

(iii)

De la figura se observa V A “ 8 KN

Haciendo equilibrio M A ´ M B ` V A p4q ´ 16 “ 0 1 ´ p M A ´ M B ´ 16q “ V A 4 1 ´ p M A ´ M B ´ 16q “ 8 4 M A ´ M B “ ´16

(iv)

Resolviendo las ecuaciones M A “ ´14.174 ;

M B “ 1 .826 ;

M C “ ´26.956 rKN.ms

EI ∆ “ 38 .725 KN m3

“

Cálculo de las cortantes isostaticas AB :

"

V AB “ 4 V BA “ ´4

;

BC :

"

V BC “ 2 .667 V CB “ ´2.667

;

CD :

"

V CD “ 30 V DC “ ´30

‰

rKN s

Cálculo de las correcciones C 1 “

´14.174 ´ 1.826 4

“ ´4 C 2 “

´26.956 1.826 ´ p´26.956q “ 4 .797 ; C 3 “ “ ´4.493 6 6

Cortantes finales V AB “ 4 ´ p´4q “ 8 V BA “ ´4 ´ p´4q “ 0 V BC “ ´2.667 ´ 4.797 “ ´7.464 V CB “ ´2.667 ´ 4.797 “ ´7.464 V CD “ 30 ´ p´4.493q “ 34 .493 V DC “ ´30 ´ p4.493q “ ´25.507rKN s

pagina 14


Ingeniería Civil


ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ 0

0

3 ` 8 I

` 2M A 8 6M A ` 3M B ` 2EI ∆ “ 0 M A0

M A

3 I

` 2M B

3 3 ` I I

` M B

3 I

` 2M C

3 2 ` I I

2 0 ` I 8

` 2M D

2 0 ` I 8

(ii)

(iii)

2 ∆ “ 6 E 0 ` 2 I

` M D

3M B ` 10M C ` 2M D ´ 3EI ∆ “ 0

M C

(i)

3 ∆ “ 6 E 3 I

` M C

3M A ` 12M B ` 3M C ´ 2EI ∆ “ 0

M B

ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˙ ˆ ˙

3 ∆ “ 6 E 0 ´ I 3

` M D0

2M C ` 4M D ` 3EI ∆ “ 0

0

8

“ 6 E ´

∆ 2

(iv)

De la figura obtenemos una ecuacion mas para resolver M A ´ M B ` V AB p3q “ 0 M C ´ M D ` V CD p2q “ 0 1 1 V AB “ ´ p M A ´ M B q V CD “ ´ p M C ´ M D q 3 2 F y “ 0 V AB ´ V DC ´ 5000 “ 0

ÿ

„



1 1 ´ p M A ´ M B q ´ ´ p M C ´ M D q ´ 5000 “ 0 3 2 M A M B M C M D ´ ` ` ´ ´ 5000 “ 0 3 3 2 2

(v)

Resolviendo las ecuaciones M A “ ´2288.961

M B “ 876 .623 ; M C “ 2483.766 ; M D “ ´5405.844 rkgf ˚ ms

Fuerzas cortantes 1 V AB “ V BA “ 0 ´ p´2288.961 ´ 876.623q “ 1055.195 3 1 V BC “ V CB “ 0 ´ p876.623 ´ 2483.766q “ 535 .714 3 1 V CD “ V DC “ 0 ´ p 2483.766 ` 5405.844q “ ´3944.805 rkgf s 2

pagina 17


Ingeniería Civil


5000kgf

2288.961kgf.m A

B

535.714kgf 1055.195kgf

3m

5405.844kgf.m C

D

3m

535.714kgf

2m

3944.805kgf

-

535.714 -

N

(Kgf )

5 0 8 . 4 4 9 3

-

535.714 1055.195 +

535.714

+

V (Kgf )

-

pagina 18


Ingeniería Civil

M A

ˆ˙ ˆ˙ 4 I

` 2M B


ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˆ ˙ ˆ 4 4 ` I I

4 “ ´6 I

` M C

3200 p2q 1800 p2q ` 4I 4I

4M A ` 16M B ` 4M C “ ´15000

M B

4 I

` 2M C

4 0 ` I 8

` M D p0q “ ´6

1800 p2q ` 0 4I

4M B ` 8M C “ ´5400

˙

(i)

˙

(ii)

resolviendo las ecuaciones se tiene M A “ ´1600 M B “ ´421.429 ; M C “ ´464.286 rN.m s

Cálculo de cortantes isostaticas AB :

"

V AB “ 1200 V BA “ ´1200

;

BC :

"

V BC “ 450 V CB “ ´450

rN s

Cálculo de las correcciones C 1 “

´1600 ´ p´421.429q 4

“ ´294.643

C 2 “

´421.429 ´ p´464.286q 4

“ 10 .759

Cálculo de las cortantes finales V AB “ 1200 ´ p´294.843q “ 1494.643 V BC “ 450 ´ 10.459 “ 439 .286

; V BA “ ´1200 ´ p´294.843q “ ´905.357 ; V CB “ ´450 ´ 10.759 “ ´460.759 rN s

464.286 42.429 1600

-

+

M

(N.m )

189.286

457.143

1494.643 439.286

+

800

V

460.759

(N ) 905.357

pagina 20


Ingeniería Civil


La deformación en B y C son iguales por ser simetricas

ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ ˙ ˆ˙ ˆ˙ ˆ˙ ˆ ˙

M A0 p0q ` 2M A

0 `

3 I

3 ´∆ “ ´6 p0q ` 6E 3 I

` M B

6M A ` 3M B ` 2EI ∆ “ 0

M A

3 I

` 2M B

3 5 ` I I

` M C

5 “ ´6 I

0 ` 20.833 p2.5q 5I

3M A ` 16M B ` 5M C ´ 2EI ∆ “ ´62.499

M B

5 I

` 2M C

5 3 ` I I

` M D

3 “ ´6 I

3 I

` 2M D

3 I

∆ 3

20.8333 p2.5q ` 0 5I

5M B ` 16M C ` 3M D ´ 2EI ∆ “ ´62.499

M C

` 6E

` M D0 p0q “ ´6 p0q ` 6E

(i)

` 6EI

(ii)

∆ 3

(iii)

´∆ 3

3M C ` 6M D ` 2EI ∆ “ 0

(iv)

haciendo equilibrio M A ´ M B ` 6 p3q “ 0

ñ

M A ´ M B “ ´18

(v)

V AB “ 6 T n

Resolviendo las ecuaciones M A “ ´14.985 M B “ M C “ 3 .015 ; M D “ ´14.985 rTn.ms

Cortantes isostaticos V AB “ V BA “ V CD “ V DC “ 0

V BC “ ´V CB “ 5 T n

Cortantes finales 1 V AB “ V BA “ 0 ´ p´14.985 ´ 3.015q “ 6 T n 3 V BC “ V CB “ 5 T n 1 V CD “ V DC “ 0 ´ p 3.015 ` 14.985q “ ´6T n 3

pagina 22


Ingeniería Civil


3 3

N

+

(Tn ) 6

5

6

+

5

-

V

(Tn ) 14.985

14.985

3.015

M

(TKn.m )

-

3

+

3.015 3Tn

m n/ T 2

C

14.985Tn.m

D A

2Tn 6Tn

14.985Tn.m

B

3Tn

A

2Tn

6Tn

pagina 23


Ingeniería Civil


Problema N 8 °

Empleando la ecuacion de los tres momentos determinar: 1. Reacciones en los apoyos 2. Diagrama de fuerzas cortantes 3. Diagrama de momento flector 4. Hallar la flecha en el voladizo EI=cte 20Tn 40Tn/m 30Tn.m E

B

A 1m

3m

C 2m

D 3m

Solución:

2 1 A1 “ p3q p45q “ 90 A2 “ p 3q p30q 3 2

1 A3 “ p 1q 2

ˆ˙

B

A

40 20 1 “ A4 “ p 2q 3 3 2

C

ˆ˙

40 40 “ 3 3

D

30

A1

A3

45

A2

A4 40/3

pagina 24


Ingeniería Civil


M A “ ´20 Tn.m M A

ˆ˙ 3 I

` 2M B

ˆ ˙ ˆ ˙ ¨˝ 3 2 ` I I

2 “ ´6 I

` M C

90 p1.5q ` 3I

´¯

20{ 2{ 3 3 3I

`

´ ¯ ˛ ‚

40{ 1 ` 1{ 3 3 3I

3M A ` 10M B ` 2M C “ ´323.333

` 0

10M B ` 2M C “ ´263.333

M B

ˆ˙ 2 I

` 2M C

(i)

ˆ ˙ ˆ ˙ ¨˝ ´ ¯ ˛‚ 2 3 ` I I

3 “ ´6 I

` M D

0 `

45 2{3 p3q 3I

2M B ` 10M C ` 3M D “ ´180

M C

ˆ˙ 3 I

` 2M D

ˆ˙ 3 I

` M D0 p0q “ ´6

3M C ` 6M D “ ´90

(ii)

¨ ´ ¯ ˛ ˝ ‚ 45 1{3 p3q

` 0

3I

(iii)

Resolviendo las ecuaciones M B “ ´24.30 M C “ ´10.165

M D “ ´9.918

Cortantes isostaticas AB :

"

V AB “ 73 .333 V BA “ ´66.667

C 1 “ 1 .433

;

BC :

"

V BC “ 0 V CB “ 0

C 2 “ ´7.068 C 3 “ ´8.23

;

CD :

rT ns

"

V CD “ ´10 V DC “ ´10

rT ns

Cortantes fianles AB :

"

V AB “ 71 .90 V BA “ ´68.10

;

BC :

"

V BC “ 7 .068 V CB “ 7 .068

;

CD :

"

V CD “ ´9.918 V DC “ ´ ´ 9.918

rT ns

Utilizando la ecuación general de los tres momentos para calcular la flecha en el voladizo

M E

`

ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ¨˝ ´ ¯˛ ‚ 1 I

` 2M A

40{ 2{ p2q 3 3 3I

M A ´ 20 T n.m 18.961 Ò ∆ “ ´ EI

4 I

` M B

3 “ ´6 I

10{ p0.5q 90 p1.5q 3 ` ` I 3I

´ ¯

20{ 1{ ` 2 3 3 3I

` 6E p´∆q

MB “ ´24.30 Tn.m

pagina 25


Ingeniería Civil


O C C 1

C

B

B

2 0 / 3

m

16/3m

120KN

CC ' =

D

=

cos b

5D 4

; C1C ' = D tan b =

2m

3D 4

C

A

2m 5

m / N K

D

m

8 1

C

C 1 M A

M B

M D

(2)

M C

5

m / N K

4m

m

8 1

M D

M A

A0

B

A

C

D

D 0

36 120

96

240

ˆ˙ 0

ˆ ˙ ˆ˙ ˆ

˙

ˆ ˙ ˆ˙ ˆ

˙ ¨˝ ˙ ˜

4 0 ` I

` 2M A ` M B 8 8M A ` 4M B ` 1.5EI ∆ “ ´288 M 0A

M A

ˆ˙ 4 I

` 2M B

4 4 ` I I

` M C

4 96 p2q “ ´6 0 ` 4I I

4 “ ´6 I

M B

4 I

` 2M C

ˆ ˙ ˆ˙ ˆ 4 5 ` I I

` M D

5 “ ´6 I

0 ´ ∆ ` 6EI 0 ` 4

96 p2q 240 p2q ` 4I 4I

4M A ` 16M B ` 4M C ´ 2.625EI ∆ “ ´1008

ˆ˙

ˆ

240 p2q ` 0 4I

` 6E

` 6E

4M B ` 18M C ` 5M D ` 2.265EI ∆ “ ´720

M C

ˆ˙ 5 I

` 2M D

ˆ ˙ 5 ` 0 I

` M D0

ˆ˙ 0

8

5M C ` 10M D ´ 1.5EI ∆ “ 0

“ ´6 p0q ` 6

˙

(i)

´ ¯˛ ‚ ¸

0 ´ 3{4 ∆ ´ 0 ` 4 4

´3{ ´ 0 4 4

`

´5{ ´ 0 4 5

(iii)

¨ ´ ¯ ˛ ˝ ‚ 0 ´ ´3{4 5

` 0

(iv) pagina 27


(ii)

Ingeniería Civil

ÿ


M O “ 0

ˆ ˙ ˆ ˙

16 20 ` 4 ` V D 5 ` M A ´ M D ` V A 3 3 28 35 pV A q ` V D ´ 288 “ 0 M A ´ M D ` 3 3

´ 18 p4q

ˆ ˙ 16 ` 2 3

` 120 p2q “ 0

Equilibrio en el miembro AB M A ´ M B ´ 18 p4q p2q ` V A p4q “ 0 M B ´ M A V A “ 36 ` 4

Equilibrio en el miembro CD M C ` V D p5q ´ M D “ 0 M D ´ M C V D “ 5 28 35 M D ´ M C M B ´ M A 36 ` ` M A ´ M D ` 3 4 3 5 7 7 M A ´ M D ` pM B ´ M A q ` p M D ´ M C q “ ´48 3 3 4 7 4 7 ´ M A ` M B ` M D ´ M C “ ´48 3 3 3 3

ˆ

˙ ˆ

˙

´ 288 “ 0

(v)

Resolviendo las ecuaciones se tiene M A “ ´4.149; M B “ ´57.614 ; M C “ ´28.049 ; M D “ 11 .589 rKN.ms EI ∆ “ ´16.234 rKN.m3 s

Cálculo de cortantes 1 V AB “ 36 ´ p´4.149 ´ p´37.614qq “ 22 .634 4 1 V BA “ ´36 ´ p´4.149 ´ p´37.614qq “ ´49.366 4 1 V BC “ 60 ´ p´57.614 ´ p´28.049qq “ 67 .391 4 1 V CB “ ´60 ´ p´57.614 ´ p´28.049qq “ ´52.609 4 1 V CD “ V DC “ 0 ´ p´28.049 ´ 11.589q “ ´7.928 rKN s 5

pagina 28


Ingeniería Civil


120KN B

C 4m

18KN/m

1 1 .5 8 9 K

A 4.149KN.m

22.634KN 2m

67.391KN

2m

49.366KN 3m

N .m

D

52.609KN

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Ejercicios de Resueltos por método de tres momentos (Resistencia de Materiales) .pdf

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