Guia de Ejercicios IV Oscilaciones y Ondas

icf-058 Física I Guía de Ejercicios IV: Oscilaciones y Ondas

FACULTAD DE INGENIERIA y CIENCIAS DEPARTAMENTO DEPARTA MENTO DE CIENCIAS FÍSICAS

01

Un bloque bloque de 2,0 kg, que se se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con constante constante de fuerza de 300 N/m. En t=0, t=0, el bloque tiene una velocidad velocidad de -4,00 m/s y un desplazamiento desplazamiento de +0,200 m. Calcule: a) la amplitud b) el ángulo de fase. c) la posición y velocidad en el tiempo t=0,82 s Respuesta: a) 0,383 m

02

b) 59º

c) 0,029 m; 4,68 m/s

Sobre una pista de aire aire horizontal sin fricción, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal de constante 2,50 N/cm. En la figura la gráfica muestra la aceleración del deslizador en función del tiempo. Encuentre: a) la masa del deslizador; b) el desplazamiento máximo del deslizador desde el punto de equilibrio; la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el deslizador. Respuesta: a) 0,253 kg

03

b) 1,22 cm

c) 3,05 N

Una partícula realiza un MAS en torno torno a un punto de equilibrio. La partícula partícula pasa por x1=2,0 x1=2,0 m con velocidad v1=2,0 m/s, y cuando pasa por x2=2,0 m su velocidad es v2=1,0 m/s. Encuentre la amplitud y la frecuencia angular del movimiento. Respuesta: 2,2 m; 1,0 rad/s

04



Una partícula se mueve con movimiento armónico simple con una amplitud de 1.5 y frecuencia 100 ciclos por segundo ¿Cuál es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleración y su fase cuando su desplazamiento es de 0.75 .

  :  = 200   ,  = 2,59 ∗ 10   ,  = 3 ∗ 10  ,  = 30°.  2

Respuesta

05

4

Una masa m se cuelga de una barra horizontal fija mediante un resorte de largo natural l 0 y constante k . Un estudiante levanta la masa hasta que el resorte vuelve a su largo natural y la suelta

(Ver

figura).

Encuentre

la

función que da cuenta de la posición del bloque en función del tiempo. [Ayuda: Considere que en t = 0: 0: x(0) = 0 y 0 y v(0) = 0]. 0]. Grafique su re sultado.

1


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Respuesta: x(t )

06



   mg  1  cos k t    m  k    

 oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de 1.33 . a) ¿Cuál será la frecuencia si se agregan 0.220  a la masa original, Cuando una masa de 0.750

b) ¿y si se restan de la masa original?

Intente resolver este problema sin calcular la constante de fuerza del resorte. Respuesta: a) f=1.17 Hz, b) 1.58 Hz

07

Una porrista ondea su pompón en MAS con amplitud de 18.0 Calcule a) la magnitud máxima de la aceleración y de la velocidad; b) la aceleración y rapidez cuando la coordenada del pompón es

 y frecuencia de 0.850 .

 = +9.0 ;

2

Respuesta: a) amax=5.13 m/s , vmax=0.961 m/s; b) ax=-2.57 m/s, vx=±0.832 m/s

08

Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 kg de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 m. a) Calcule la constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 cm hacia abajo y luego se suelta. b) ¿Qué periodo de oscilación tiene el pez? c) ¿Qué rapidez máxima alcanzará? Respuesta: a) 5.31x103 N/m, b) 0.695 s, c) 0.452 m/s

09

El siguiente gráfico posición versus tiempo corresponde al MAS de una partícula. x cm 4

2

1

2

3

4

2

4

2

t s



Determine: a) La constante de fase b) La velocidad en t = 0 c) La velocidad máxima 2

Respuestas: a)

10

b) -5.44 cm/s

3

c) 6.28 cm/s

El siguiente gráfico velocidad versus tiempo corresponde al MAS de una partícula. v cm s 100

50

2

4

6

8

10

12

t s

50

100

Determine: a) La amplitud de la oscilación b) La constante de fase c) La posición en t = 0

Respuestas: a) 191 cm

11

b)

5 6

c) -165,4 cm

Un bloque de 400 gramos ejecuta un MAS con un periodo T = 0,55 s. Si el valor máximo de la fuerza responsable del movimiento es de 12 N, determine la amplitud del movimiento. Respuesta: 23 cm

12

Un partícula realiza un MAS con frecuencia de 1000 Hz y una amplitud de 0,40 mm. Determine: a) la aceleración máxima b) la velocidad máxima c) la aceleración cuando tiene un desplazamiento de 0,2 mm d) la velocidad cuando tiene un desplazamiento de 0,2 mm 4

2

Respuestas: a) 1,6 X 10 m/s

b) 2,5 m/s

3

c) -7,9 X 10 m/s

3

2

d) 2.2 m/s



13

Un gran bloque P realiza movimiento armónico simple horizontal mientras se desliza a través de una superficie sin fricción, con una frecuencia f =1.50 Hz. El bloque B descansa sobre él, como se muestra en la figura, y el coeficiente de fricción estática entre los dos es µ s =0.600. ¿Qué amplitud máxima de oscilación puede tener el sistema si el bloque B no se desliza? Respuesta: 6.62 cm

14

La masa de la molécula de deuterio (D2) es el doble de la de la molécula de hidrógeno (H2). Si la 14 frecuencia de vibración del H2 es 1.30 X10 Hz, ¿cuál es la frecuencia de vibración del D2? Suponga que la “constante de resorte” de las fuerzas atractivas es la misma para las dos moléculas. 13

Respuesta: 9.19x10 Hz

15

Una masa m está conectada a dos resortes, con constantes k1 y k2, de dos maneras diferentes, como se muestra en las figuras 14-32a y b. Demuestre que el periodo para la configuración mostrada en a) está dado por

 = 2   +  , 1

1

1

2

y para la configuración mostrada en b) está dado por

 = 2    . 1

1+ 2

Ignore la fricción. 16

Una onda armónica se propaga por una cuerda con amplitud A=0,10 m. Un punto de la cuerda tarda 1,1 s en completar una oscilación y la longitud de la onda es de 50 cm. En el instante en que se empieza a contar el tiempo, t=0 s, el punto de la cuerda situado sobre el origen se encuentra a 0,10 m por encima del punto de equilibrio. a) Determine la función de onda. b) en el instante de tiempo t=0 s, ¿qué puntos de la cuerda tienen elongación máxima, mínima y cero? c) encuentre los valores máximos de velocidad y aceleración de los puntos de esta cuerda Respuesta: a) Y=0,10 sen (12,6x – 5,71t + π/2) (m) ó

Y=0,10 cos (12,6x – 5,71t) (m) 4



b) 2 π n/12,6=0,5n (m); (2n+1) π /12,6=0,25(2n+1) (m); (2n+1)( π /2)/12,6=0,125(2n+1) (m) 2 c) 0,57 m/s; 3,3 m/s 17

Una onda armónica transversal de frecuencia 80 Hz y amplitud 25 cm se propaga a lo largo de una cuerda tensa de gran longitud orientada en el eje X, con una velocidad de 12 m/s en su sentido positivo. Sabiendo que en el instante t=0s el pinto de la cuerda ubicado en x=0m tiene una elongación y=0m y su velocidad de oscilación es positiva, determine a) La expresión matemática que representa dicha onda. b) La expresión matemática que representa la velocidad de oscilación en función del tiempo del punto de la cuerda cuando x=75 cm. c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de oscilación de los puntos de la cuerda. d) La diferencia de fase de oscilación en un mismo instante entre dos puntos de la cuerda separados 37.5 cm Respuesta: a)

,  = 0.25160 −  − ; b) 0.75,  = −40160 − ; 40

2

3

2

21

2

2

c) vmax=±40π m/s, amax=±6400π m/s ; d) Δφ=500π=n(2π) rad, y están en fase. 18

Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa de gran longitud: = 0.03 (2 ), donde x e y están expresados en metros y t en segundos



 −

a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? b) ¿Cuál es la expresión de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda y la velocidad máxima de oscilación? c) Para t=0s, ¿cuál es el valor del de splazamiento de los puntos de la cuerda cuando x=0.5 m y x=1 m? d) Para x=1 m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t=0.5 s? Respuesta: a) v=2 m/s, b) = 0.06 d) y(1,0.5)=0 m.



19

 (2−) m/s,  = 0.06 m/s; c) y(0.5,t)=0.03 m, y(1,t)=0 m;

Un alambre de acero de piano tiene 40 cm de longitud, una masa de 2 g y está sometida a una tensión de 600N. a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? b) ¿Cuál es la longitud de onda en el aire del sonido producido por el alambre con esa frecuencia? c) Si la frecuencia más elevada que un de terminado oyente puede escuchar es de 14000 Hz, ¿cuál es el armónico más elevado producido por el alambre que dicho oyente puede escuchar? (Dato: velocidad del sonido en el aire = 340 m/s) Respuesta: a) 433 Hz; b) 0.786 m; c) 32. 5



20

Una onda armónica transversal se propaga en la dirección del eje x y viene dada por la expresión (en unidades del SI): Y=0,45 cos (2,0x – 3,0t) Encuentre: a) la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda b) la ecuación de movimiento de un punto situado a x=1,0 m. La distancia que separa esta punto de la posición de equilibrio en los instantes t=1,0 s y t=2,0 s c) la velocidad del punto x=1,0 m en los instantes t=1,0 s y t=2,0 s Respuesta: a) 3,1 m; 0,48 Hz y 1,5 m/s b) Y=0,45cos(2,0 – 3,0t); 0,243 m; – 0,294 m c) – 1,14 m/s; 1,02 m/s

21

a) La nota Do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? b) La frecuencia de la nota Do una octava por encima del Do central es el doble que la de éste último. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? Respuesta: a) 1.3 m, b) 0.649 m.  ( x t ) 2

22 Considere la función de dos variables f ( x, t )

 Ae



, con A,  y  constantes positivas.

a) Grafique f ( x, t ) para tres instantes de tiempo t 1 < t 2 < t 3. b)

Usando su respuesta anterior, mencione un sistema físico que puede ser descrito por la función anterior.

Respuesta.: a) Gráficos, b) Pulso propagándose en una cuerda.

23

La función de dos variables f ( x, t )

 A sen(k x   t ) representa una onda propagándose por una

cuerda. a) Grafique la función para tres instantes de tiempo t 1 < t 2 < t 3. b) Usando su respuesta anterior determine la longitud de la onda y la velocidad de propagación de la misma. Respuesta: a) Gráficos, b)  

24

2

k

y v P





k

Una onda armónica con una frecuencia de 80 Hz y una amplitud de 0.025 m se propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. a) Escribir una expresión que represente la onda. b) Determinar la velocidad máxima de un punto de la cuerda. c) Determinar la aceleración máxima de un punto de la cuerda. Respuesta: a) f ( x, t )

 0.025 sen(41.9 x  503t ) [m], x en [m] y t en [s]. 6



b) 12.6 m/s 25

c) 6.33 [km/s2]

a) Una onda viaja a 315 m/s. Si el número de onda es 2.1 rad/s. Determine la longitud de onda y la frecuencia. b) Una onda tiene frecuencia angular 46 rad/s y longitud de onda de 5.2 m. Determine el número de onda y la rapidez de la onda. Respuestas: a) 1.28 m, 246 Hz b) 1.2 m, 38 m/s

26

Una cuerda con densidad lineal de 0.500 gm se mantiene bajo tensión de 20.0 N. A medida que una onda sinusoidal transversal se propaga en la cuerda, los elementos de la cuerda se mueven con máxima rapidez vy,máx a) Determine la potencia transmitida por la onda como función de v y,máx. b) Establezca cómo la potencia depende de v y,máx. c) Encuentre la energía contenida en una sección de cuerda de 3.00 m de largo. Exprésela como función de vy,máx y la masa m3 de esta sección. d) Encuentre la energía que la onda porta al pasar por un punto en 6.00 s. Respuestas: a) b) c) d)

27

Un terremoto o un deslizamiento de tierra produce una onda oceánica de corta duración que transporte gran energía, llamada tsunami. Cuando su longitud de onda es grande comparada con la profundidad del océano d , la rapidez de una onda acuática se conoce aproximadamente por

 =  .

a) Explique por qué la amplitud de la onda aumenta a medida que la onda se aproxima a la playa. ¿Qué se considera constante en el movimiento de cualquier cresta de la onda? b) Suponga que un terremoto se presenta a lo largo de la frontera de una placa tectónica que corre de norte a sur y produce una cresta de onda tsunami recta que se mueve en todas partes hacia el oeste. Si la onda tiene una amplitud de 1.80 m cuando su rapidez es de 200 m/s, ¿cuál será su amplitud donde el agua tenga 9.00 m de profundidad? c) Explique por qué se debe esperar que la amplitud en la playa sea todavía mayor, pero no se puede predecir significativamente mediante su modelo. 28

Una cuerda tiene dos secciones con densidades lineales de 0.10 kg/m y 0.20 kg/m, figura. Una onda incidente, dada por D=(0.050 m) sen(7.5 x -12.0t ), donde x está en metros y t en segundos, viaja a lo largo de la cuerda más ligera. a) ¿Cuál es la longitud de onda sobre la sección más ligera de la cuerda? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? c) ¿Cuál es la longitud de onda cuando la onda viaja sobre la sección más pesada? Respuestas: a) 0.84 m; b) 0.26 N; c) 0.59 m 7



29

La prospección de reflexión sísmica se usa normalmente para trazar mapas de formaciones enterradas profundamente que contienen petróleo. En esta técnica, una onda sísmica generada en la superficie de la Tierra (por ejemplo, mediante una explosión o un peso que cae) se refleja en la formación bajo la superficie y se detecta a su regreso a nivel del suelo. Al colocar detectores a nivel del suelo en varias posiciones relativas a la fuente y observar la variación en los tiempos de recorrido de la fuente al detector, se puede determinar la profundidad de la formación bajo la superficie. a) Suponga que un detector a nivel del suelo se coloca a una distancia x de una fuente de ondas sísmicas y que a una profundidad D existe una frontera horizontal entre la roca subyacente y la formación bajo la superficie (ver figura a) . Determine una expresión para el tiempo t que la onda reflejada tarda en viajar de la fuente al detector, suponiendo que la onda sísmica se propaga con rapidez constante v . b) Suponga que a lo largo de una línea se colocan muchos detectores a diferentes distancias x de la fuente, como en la figura b. Luego, cuando se genera una onda sísmica, se miden los diferentes tiempos de trayecto t para cada detector. Comenzando con su resultado de la parte a), explique cómo se puede usar un 2 2 gráfica de t versus x para determinar D.

 =    +  b) pendiente=  y ordenada en el origen =  

Respuestas: a)

30

2

2

1

2

2

4

2

2

En un terremoto se nota que un puente peatonal oscila de arriba a abajo en un patrón de un solo bucle (onda estacionaria fundamental) cada 1.5 s. ¿Qué otros posibles periodos de movimiento resonantes hay para este puente peatonal? ¿A qué frecuencias corresponden? Respuestas:

31

2

 =

 , n=1, 2, 3,...;  = (0.67 Hz), n=1, 2, 3,...

(1.5 )



El extremo de una cuerda horizontal con densidad 4 lineal de 6.6 X10 kg/m se une a un pequeño oscilador mecánico de 120 Hz y amplitud pequeña. La cuerda pasa por una polea, a una distancia =1.50 m, y de este extremo se cuelgan pesos, figura. ¿Qué masa debe colgarse de este extremo de la cuerda para producir a) un bucle, b) dos bucles y c) cinco bucles de una onda estacionaria? Suponga que la cuerda en el oscilador es un nodo, lo que casi es cierto. d) La longitud de la cuerda se puede ajustar al mover la polea. Si la masa colgante mse fija en





8



32

0.070 kg, ¿cuántos diferentes patrones de onda estacionaria se pueden lograr al variar lentre 10 cm y 1.5 m Respuestas: a) b) c) d) 11 Dos ondas viajeras dirigidas en sentidos opuestos, dadas por 1 = 5.0 mm cos (2.0 m 1 ) (3.0 rad/s )  y  1=5.0 mmcos2.0 m− 1 +(3.0 rad/s )  forman una onda estacionaria. Determine la posición de los nodos a lo largo del eje . Respuesta:

33

 

 

 = ±  +  m,  = 1,2,3, … 1

1

2

4

−

−



Una onda sísmica longitudinal golpea una frontera entre dos tipos de roca a un ángulo de 38°. Conforme la onda cruza la frontera, la gravedad específica de la roca cambia de 3.6 a 2.8. Suponiendo que el módulo elástico es el mismo para ambos tipos de roca, determine el ángulo de refracción. Respuesta:

34

El desplazamiento de una onda transversal que viaja por una cuerda está representado por 1 = 4.2 sen(0.84 47 + 2.1), donde 1 y están en centímetros y en segundos. a) Encuentre una ecuación que represente una onda que, cuando viaje en la dirección opuesta, produzca una onda estacionariacuando se sume a la primera onda. b) ¿Cuál es la ecuación que describe la o nda estacionaria?



− 

Respuesta: a)

35

 



1 = 4.2 sen(0.84 + 47 + 2.1), b) 1 = 8.4 sen0.84 + 2.1cos (47 ),

Los dos pulsos que se muestran en la Figura a se mueven uno hacia el otro. a) Bosqueje la forma de la cuerda e n el momento cuando se traslapan directamente. b) Bosqueje la forma de la cuerda algunos momentos después.

c)

Figura a En la figura b ,en el momento cuando los pulsos pasan uno sobre el otro, lacuerda está recta. ¿Qué ocurrió con la energía en ese momento?

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Guía de Ejercicios IV: Oscilaciones y Ondas

Figura b Respuesta: c) es toda energía cinética (para la a); es toda potencial para la b.

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