grafique el siguiente problema de PL e indique el punto de solucion optima maximizar la utilidad = $3x + $2y sujeto a
2x + y <= !"
2x+ 3y <= 3"" a# cambiaria la solucion optima si la utilidad por unidad de % cambia a $ &#!"' b# (u) sucede si la funcion de utilidad *ubier sido $3x + $3y'
DESPEJANDO y<=(150-2x) y<=(300-2x)/3
x z=3x+2y ax!!z" $%!&!'a'
"*%"!,,!
VALORES y 37.5 75 a=4.50x+2y b=3x+3y 22.5 31.75 3 2 4.5 2 3 3 2 1 2 3
!* ,a&a$a ,a&a$a
337.5
150 300
x
"*%"!,,! 1 0 150 15 120 30 0 45 0 0 30 75 0
10 140 120 100 0
<= <=
150 300
0 40 20 0
0
10
20
"*%"!,,! 2 100 0 0 70 0 50 &$ &$ J
30
&$ &$
40
50
0
70
0
a a "a . a a * a " * * aa" " y 1 "a '* %a&a'"a'.D$"a%* *& !$!* "'$,,!89 *%: '!!b&* 240 "a '* %! y * $*'* $%!&!za" a%a 140 "a '* %!* a'a a,'!,!a'" '* a!"* *'!' "'$, ;25. a'a *%!&a'" *ab&a' $*'* * aa,!a '* ;15. "$&* y "*$*&a *%a !%$ "'$,,!8 '* ""aa,!8 &!*a& a"a * ,b!a,!8 '*9 a,'!,!a'"* '* a!"* y "'$z,a &a aa,!a :x!a. >* *& ?% '* *$!a.
x=a,'!,!a'"* '* a!"* y="a'* *%!&a'"* z=25x+15y "*%"!,,!* a) 3x+2y<=240 b) 2x+y<=140
x 25 3 2 '*** "*%"!,,!* 3x+2y<=24 2x+y<140 x y=(240-3x)/2y=140-2x 0 120 140 10 105 120 20 0 100 30 75 0 40 0 0 50 45 40 0 30 20
70 0 0 100 110
15 0 -15 -30 -45
0 -20 -40 -0 -0
"a * a a "a %* *"!' '* '* a&ab"a' '* %a&a'"a'. * $aaa,!a '* *'!' , $a a,!8 '* *z,&a '* ,%"a" &a *" *%!&a'"* $* "a6, '* $%
VAR@ALES x
y 40
0
>N@ON OJEB@VO 100
,*6,!*%* y 15 2 1
240 140
<= <=
Chart Title &$ 300 250 200 150
&$ D
240 140
50 0 -50 -100 -150
1
2
3
4
5
7
10
11
12
Microsoft Excel 15.0 Informe de condencialidad Hoja de cálculo: ejercicio 1!.xlsx"ejem#lo 1$ Informe creado: 1$%11%&015 05:0!:$' a.m.
ELDAS DE VAR@ALES (inal )educido Celda om+re /alor Coste ;E;22 x 40 0 ;;22 y 0 0
*+jeti,o -ermisi+le -ermisi+le Coeciente umentar )educir 25 5 2.5 15 1.7 2.5
RESBR@@ONES
(inal om+ra )estricci2n -ermisi+le -ermisi+le Celda om+re /alor -recio 3ado derecho umentar )educir ;C;31 240 5 240 40 30 ;C;32 140 5 140 20 20
E& ,a'!'a% a &a a&,a&'a * $ *$*F $*b& a! ;409000 a"a "aa'a '* G&%! !$% * & ' a%*"!"* a &a *&*,,!8. S* $%!&!za": ' %! '* a$ "a'! y %*&*!!8. a'a a$,! '* "a'! ,$*%a ;200 y &&*a a $a 39000 *"a. a'a a$,! %*&*!!8 ,$*%a ;500 y &&*a a $ *%!a' '* 790 *"a. E &a &a*a,!8 '* &a ,aaFa '* "aa &a *Ia '* &a ,aaFa $!*"* &&*a" a %a%a *" , *a !b&*9 a$$* a *%ab&*,!' $* * '*b* $%!&!za" a& * 10 a$,! '* ,a'a %!. A!!9 *& G*" '* a$,! '* "a'! '*b* *" * %a "a'* , *& G*" '* a$,! '* %*&* $:% a$,! '* ,a'a %! * '*b*"a $%!&!za" A ,$:%a *"a &&*a":K
x=a$,! "a'! y=a$,! %*&*!,! z=3000x+7000y "*%"!,,!* a) 200x+500y b) 0x+y=10 ,) x-0=10
C*E(I x 3000 200 0 1
8 a ,!H * 0 'a9
a& !!8. K
x
/)I43E y 10
0
(CI* *46ETI/* 30000
<=40000
CIETE y 7000 500 10 10
2000 0 10
<= <= <=
40000 10 10
10
5
-5
-10
-15
DESPEJE DE RESBR@@ONES 200x+500y=40000 y=(40000-200x)/500 x
x+y=10 y=(10-0x)
x-0=10 y=10-x
y=(40000-20y=(10-0x) y=10-x 0 0 10 5 7 10 10 7 10 15 74 10 20 72 10 25 70 10 30 10 45 50 55 0 5 70 75 0 5 0 5 100 105 110 115 120
2 0 5 5 54 52 50 4 4 44 42 40 3 3 34 32
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -35 -40 -45 -50 -55 -0 -5 -70 -75 -0 -5 -0 -5 -100 -105 -110
7)(IC 0
0
0
1
2
3
4
5
7
1 0 1 1 12 1 3 14 15 1 17 1 1 20 21 22 23 24 2 5
0
0
0 y=(4 00 00 -2 00 x)5 00
y=( 10 -0 x)
y=1 0-x
Microsoft Excel 15.0 Informe de condencialidad Hoja de cálculo: 3i+ro1"ejem#lo 1' Informe creado: 1$%11%&015 0$:$5:$8 a.m.
*&'a '* a"!ab&*
(inal )educido Celda om+re /alor Coste ;E;21 x 10 0 ;;21 y 0 -23000
*+jeti,o -ermisi+le -ermisi+le Coeciente umentar )educir 3000 1.000E+030 2300 7000 23000 1.000E+030
R*%"!,,!*
(inal om+ra )estricci2n Celda om+re /alor -recio 3ado derecho ;C;30 2000 0 40000 ;C;30 2000 0 40000 ;C;31 0 0 10 ;C;32 10 3000 10
-ermisi+le -ermisi+le umentar )educir 1.000E+030 3000 1.000E+030 3000 1.000E+030 10 10 10
La corporasión Outdoor Furniture fabrica 2 productos, bancos y mesas de picnic, para su uso parques. La empresa cuenta con dos recursos principales:sus carpinteros (mano de obra) y el maderade secoya para fabricar muebles. durante el siguiente ciclode producción estn dispo #oras de manode obra de acuerdo con el sindicato. La empresa tambi$n cuenta con un in%ent pies de secoya de buena calidad. ada banco que produce Outdoor Furniture requiere de #or obra y de !" pies de secoya, en tanto que cada mesa de picnic toma * #oras de mano de obr secoya. Los bancos terminados darn una utilidad de + cada uno- y las mesas una utilidad de untos bancos y mesas deber/a fabricar Outdoor Furniture para obtener la mayorutilidad pos m$todo grfico de la L.
VAR@ALES x=ba, y=*a
VAR@ALES
M
a) b)
RESBR@@ONES $9'; 109<5;
z=x+20y
x
VALORES y 22.5
25
>N@ON OJEB@VO 22.5
OE@@ENBE x y 20 4 10 35
1200 3500
DESPEJANDO RESBR@@ON 4+M=1200 en jardines y suministro de ibles !,2"" ario de &,'"" as de mano de y &' pies de +2" cada una. ible0 1tilice el
10+35M=3500 x
y=(1200-4x)/ 0 200 10 13.333333 20 1.7 30 10 40 173.333333 50 1.7 0 10 70 153.333333 0 14.7 0 140 100 133.333333 110 12.7 120 120 130 113.333333 140 10.7 150 100 350 300 250 200 150 100 50 0 1
<= <=
1200 3500
2
3
4
5
M=(1200-4)/ M=(3500-10)/35 y=(3500-10x)35 100 7.142571 4.257143 1.425714 .57142 5.714257 2.57142 0 77.142571 74.257143 71.425714 .57142 5.714257 2.57142 0 57.142571
(
7
- &$. L
)
10
- &$. N
11
12
13
14
15
1(
Microsoft Excel 1$.0 Informe de condencialidad Hoja de cálculo: 3i+ro1"ejercicio 18 Informe creado: 1<%11%&015 1!:$8:1!
*&'a '* a"!ab&*
(inal )educido Celda om+re /alor Coste ;;2 x 22.5 0 ;;2 y 25 0
*+jeti,o Coeciente
-ermisi+le -ermisi+le umentar )educir 4.3333333333 3.25714257 20 11.5 .5
R*%"!,,!*
(inal om+ra )estricci2n Celda om+re /alor -recio 3ado derecho ;D;3 1200 1.4375 1200 ;D;3 3500 0.325 3500
-ermisi+le umentar 200 3500
-ermisi+le )educir 00 500
E& '*,a '*& *%*" &&** I $!* '*b* &a*a" &a I*"%a '* ,$" '* &a *,$*&a a"a *& **%"* '* %F. La '*a'a '* & *%$'!a%* a,* $* *a *,*a"! I"*,*" $ ! '* 30 ,$" '* &!,*,!a%$"a y 20 '* "a' '$"a%* *& **%"*. L ,%"a% '* & "I*"* %ab!? '!,%a $* * I"*z,a a& * 0 ,$" * %%a&. a'a ,$" '* &!,*,!a%$"a !a"%!' ,$*%a a &a $!*"!'a' $ "*'! '* ;29500 * a&a"! '* ',*%*9 y ,a'a ,$" '* "a' ,$*%a ;39000. $:% ,$" '* &!,*,!a%$"a y "a' * '*b*"a !a"%!" * %F9 '* a*"a $* & a&a"! %%a&* '*& "I*"a' * "*'$z,a a& !K VAR@ALES x=,$" &!,*,!a%$"a y=,$" % "a' z=2500x+3000y RESBR@@ONES a) 1x+1y=0 b) 1x+0=30 ,) 0x+1y=20
VALORES y 40
x
20
>N@ON OJEB@VO 10000
OE@@ENBES x y 2500 3000 1 1 1 0 0 1
0 40 20
DESPEJE DE RESBR@@ONES x
= = =
0 30 20
x+y=0 y=(0-x) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 5 70 75 0 5 0 5 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
x+0=30 y=(30-x) 0 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -0 -5 -70 -75 -0 -5
30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -0 -5 -70 -75 -0 -5 -0 -5 -100 -105 -110 -115
0x+y=20 y=(20-x) 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -0 -5 -70 -75 -0 -5 -0 -5 -100 -105 -110 -115 -120 -125
150 100 50 0 -50
1 2 3 4 5 7 10 11 12 13 14 15 1 17 1 1 20 21 22 23 2
-100 -150 -200 -250 -300 -350 &$
&$ L
&$
4 25 2 27 2 2 30
Microsoft Excel 15.0 Informe de condencialidad Hoja de cálculo: 3i+ro1"Hoja1 Informe creado: 1$%11%&015 0$:&$:&! a.m.
*&'a '* a"!ab&*
(inal )educido Celda om+re /alor Coste ;E;23 z=2500x+3000y x 40 0 ;;23 z=2500x+3000y y 20 0
*+jeti,o -ermisi+le -ermisi+le Coeciente umentar )educir 2500 500 2500 3000 1.000E+030 500
R*%"!,,!*
Celda ;C;31 ;C;32 ;C;33
om+re
(inal om+ra )estricci2n -ermisi+le -ermisi+le /alor -recio 3ado derecho umentar )educir 0 2500 0 1.000E+030 10 40 0 30 10 1.000E+030 20 500 20 10 20
La ,""a,!8 SA $%*" Iab"!,a ' '*& '* !!,$%a'"a9 A&a 4 y *%a 5. La *"*a ,%"a%a a ,!, %?,!,9 $* %"abaa 10 "a ,a'a * * $ &*a '* *ab&*. La *"*,!a !!%* * $* * a%*a &* *&* (* '*,!"9 &a 10 "a '* %!*) a"a ,a'a %"abaa'" '$"a%* &a *"a,!* '*& !$!*%* *. S* "*$!*"* 20 "a '* %"aba a"a *ab&a" ,a'a *$! A&a 4 y 25 "a '* %"aba a"a *ab&a" ,a'a '*& *%a 5. SA '**a "'$,!" a& * 10 A&Ia 4 y " & * 15 *%a 5 '$"a%* *& *"!' '* "'$,,!8. La A&Ia 4 **"a ;19200 '* $%!&!'a' " $!'a'9 y &a *%a 5 "'$,* ;1900 ,a'a $a. D*%*"!* *& G*" : "*%ab&* '* ,a'a '*& '* !!,$%a'"a $* * '*b* "'$,!" '$"a%* *& "8x! *.
x=a&a 4 y=b*%a 5 z=1200x+100y "*%"!,,!* a) 20x+25y<=00 b) 1x+0=10 ,) 0+1y=15
x
VAR@ALE y 10 >N@ON OJEB@VO 3000
OE@@ENBE x y 1200 100 20 25 1 0 0 1
15
DESPEJE DE RESBR@@ON 40x+25y=01x+0=10
x
y=(00-40x)/ 0 32 5 24 10 1 15 20 0 25 - 30 -1 35 -24 40 -32 45 -40 50 -4 55 -5 0 -4 5 -72 70 -0 75 - 0 -
40 20 0
1
2
3
4
5
-20
575 10 15
<= <= <=
00 10 15
-40 -0 -0 -100 -120
S 0+y=15
y=(10-x)
y=15-0 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -0 -5 -70
7
&$ L
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
10
&$
11
12
13
&$ N
14
15
1
17
Microsoft Excel 15.0 Informe de condencialidad Hoja de cálculo: ejercicio 1'.xlsx"ejem#lo 1! Informe creado: 1$%11%&015 0$:5=:&' a.m.
*&'a '* a"!ab&*
(inal )educido Celda om+re /alor Coste ;E;22 x 10 0 ;;22 y 15 0
*+jeti,o Coeciente 1200 100
-ermisi+le -ermisi+le umentar )educir 1.000E+030 1200 1.000E+030 100
R*%"!,,!*
(inal om+ra )estricci2n -ermisi+le -ermisi+le Celda om+re /alor -recio 3ado derecho umentar )educir ;C;31 575 0 00 1.000E+030 225 ;C;32 10 1200 10 11.25 10 ;C;33 15 100 15 15
"*I*"*,!a a &a !%$a,!8 '* &a &%*"a '* B*xa '*& "b&*a 7-209 $a $* *& !*"!!%a a ,ab!a' $ a,%!%$' "**,% a &a !*"!8 y '**a ,!'*"a" '* &a !*"!8. A"a *& !*"!!%a '**a !!!za" *& "!* '* !*"* y ,$a' * **"* a& * Q '* "*'!!*%. "$& $ "b&*a '* PL y *,$*%"* &a &$,!8 8%!a. $:% * '*b * ,a'a a,,!8K $:& * *& "!* "*'! '* *%a !*"!8K "*'!!*% *%!a' '* *%a !*"!8K
VAR@ALES x= "%"$!!,a y=*"!,! $b&!, =12+M
)ET)ICCI* 1 RESBR@@ON2
x
191;>?5000 !9$;>?$00000
VALORES y 40000
10000
>N@ON OJEB@VO 5400 OE@@ENBE x
y 0.12 1
0.0 1 4
50000 400000
DESPEJE RESBR@@ONES x+y=5000 x
y=5000-1x) 0 5000 10 40 20 40 30 470 40 40 50 450 0 440 70 430 0 420 0 410 100 400 110 40 120 40 130 470 140 40 150 450 10 440
*& "!* &a !*"!89 *% , "a !*"%!" $:& * *&
120000 100000 0000 0000 40000 20000
<= <=
50000 400000
0
1
2
3
4
x+4y=400000 y=(400000-x)/4 100000 77.5 55 32.5 10 7.5 5 42.5 20 77.5 775 752.5 730 707.5 5 2.5 40
5
7
&$ L
10
11
&$
12
13
14
15
1
17
Microsoft Excel 15.0 Informe de condencialidad Hoja de cálculo: 3i+ro1.xlsx"Hoja1 Informe creado: 1$%11%&015 0<:5<:&0 a.m.
*&'a '* a"!ab&*
Celda om+re ;;2 x ;;2 y
(inal )educido /alor Coste 40000 0 10000 0
*+jeti,o -ermisi+le -ermisi+le Coeciente umentar )educir 0.12 0.015 0.0 0.0 0.0 0.007
R*%"!,,!*
(inal om+ra )estricci2n -ermisi+le -ermisi+le Celda om+re /alor -recio 3ado derecho umentar )educir ;D;37 50000 0.012 50000 50000 5555.555555 ;D;3 400000 0.012 400000 50000 200000
Resuelva el siguiente problema de PL utilizando el método gráfico del punto esquina. En la solución ópti calcule la holgura para cada restricción !a"imizar la utilidad # $% & $' su(eta a )% & *' +*% /' +*% & )' +*-
x
VAR@ALES y 1.75
1.75
>N@ON OJEB@VO 150 RESBR@@ONES a) 3x+5y<=150 b) 1x-2y<=10 ,) 5x+3y<=150 OE@@ENBE x y 4 4 3 5 1 -2 5 3
'*** "*%"!
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 5 70
a,
0 40 20 0 -20 -40 -0 -0
150 -1.75 150
<= <= <=
150 10 150
1
2
,,!* 3x+5y=150 x-2y=10
5x+3y=150
y=(150-3x)/5y=(10-x)/2 y=(150-5x)/3 30 5 50 27 2.5 41.7 24 0 33.3333333 21 -2.5 25 1 -5 1.7 15 -7.5 .33333333 12 -10 0 -12.5 -.33333333 -15 -1.7 3 -17.5 -25 0 -20 -33.3333333 -3 -22.5 -41.7 - -25 -50 - -27.5 -5.3333333 -12 -30 -.7
3
4
5
&$
7
&$ N
10
11
&$ O
12
13
14
15
