TEORIA DE COLAS Investigación de operaciones II
Ricardo Manuel Alarcón Salinas Rafael Aníbal arcía Rivas David Alcides Me!ía Le"us uiller"o Antonio #ue$ada %a$be&
'(MD
I,DICE • Modelo de colas de Poisson generalizado generalizado • Colas especializadas de Poisson • Notación general de la situación general • • • • •
de colas Medidas de rendimiento de estado estable Modelos de un solo servidor Modelos de servidores servidores múltiples Modelo de servicio de máquinas Formula Pollaczeek-Kintcine !P-K"
I,DICE • Modelo de colas de Poisson generalizado generalizado • Colas especializadas de Poisson • Notación general de la situación general • • • • •
de colas Medidas de rendimiento de estado estable Modelos de un solo servidor Modelos de servidores servidores múltiples Modelo de servicio de máquinas Formula Pollaczeek-Kintcine !P-K"
Modelo de colas de -oisson generali$ado #on aquellos modelos utilizados para l$neas de espera que combinan procesos de llegadas % salidas& ' se basa en las ipótesis de Poisson( el tiempo entre llegadas % de servicio tienen una distribución e)ponencial& Cualquier sistema de colas para por dos *ases básicas( +ransitoria % estable&
,l desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento de estado estable&
• Ecuaciones de balance de .u!o
E!ercicios & ,n una peluquer$a se atiende a un cliente cada vez. % tiene / sillas para los clientes que esperan& #i el lugar está lleno. los clientes van a otra parte& 0as llegadas siguen una distribución de Poisson con una media de 1 clientes por ora& ,l tiempo de un corte de pelo es e)ponencial con 2 min de promedio& 3etermine( a"0as probabilidades de estado estable& b"0a cantidad esperada de clientes en la peluquer$a& c"0a probabilidad de que los clientes va%an a otra parte por estar lleno el local&
λ 4 1 clientes por ora
n 4 6. .7./.1 λn 4 1 λn 4 6 n82 !si está lleno los clientes se van" µn 4 96:2 4 1 clientes por ora
!a" P 4 !1 : P7 4 !1 : 4 P/ 4 !1 : P6 4 P1 4 !1 :
1" P6 4 P6 1"7 P6 4 P6 ∴ P6 ; P ; P7 ;P/ ; P1 1"/ P6 4 P6
P6 ; P6 ; P6 ; P6 ;
1"1 P6 4 P6 -* / +01
!b" 04 n!Pn" ,2"ero esperado 4 6P6 ; P ; 7P7 ; /P/ ;1P1 de clientes 4 :2 !;7;/;1" 4 ) !c" P14!:2"
-3 / *4)
7& 3ado que la tasa de llegada a una tienda es de /6 personas por ora % la tasa promedia de servicio es de 16 personas por ora. ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega no tenga que esperar servicio@
#ea Po 4 la probabilidad de que un cliente que llega no tenga que esperar servicio& ,sto es. Po es la probabilidad de que el sistema este vac$o&
3eterminamos Po de la ecuación Po ; 6&A2Po ; 6&A27Po ; B 4 Po ! ; 6&A2 ; 6&A2 7 ; B" 4 Con la *órmula para la suma de una serie geomtrica obtenemos
-o/*4)1
/& NeDell % Ee son peluqueros que operan de manera independiente& +ienen dos sillas para clientes que esperan su corte. entonces el número de clientes en el sistema var$a entre 6 % 1& Para n4. 7. /. 1. la probabilidad Pn de que a%a e)actamente n clientes en el sistema es P64 :9 . P 4 1:9. P74 9:9 P/4 1:9. P14 :9&
a" Calcule 0& 04n!Pn" 04 6!:9" ; !1:9" ; 7!9:9" ; /!1:9" ; 1!:9" 4 )
que representa el numero promedio de clientes en la tienda. inclu%endo los que están cortándose el pelo& b" 3etermine el numero esperado de clientes que están siendo servidos ,!clientes siendo servidos"4 P ; 7!P7 ; P/ ; P1" 4 1:9 ; 7!9:9 ; 1:9 ; :9" 4 +506
Colas especiali$adas de -oisson #on modelos para l$neas de espera que representa la situación especializada de Colas de Poisson con c servidores paralelos idnticos& Gn cliente en espera se selecciona de la cola para iniciar el servicio con el primer servidor libre&
,otación general de la situación general de colas
,sta notación *ue originada por 3&H& Kendall en I2/ en la *orma !a:b:c" % se le conoc$a como Notación de Kendall& 0uego otros personaJes agregaron las letras !d:e:*"&
Dónde7 • a7 3escribe la distribución de llegadas • b7 3escribe la distribución de salidas • c7 Número de servidores paralelos • d7 3isciplina de cola • e7 Número má)imo !nito o innito" permitido en el sistema !en cola % servicio" • f7 tamaLo de la *uente demandante !nito o innito"
0a notación estándar para representar las distribuciones de llegadas % salidas es( • M( 3istribución de llegadas o salidas Markovianas • D( +iempo constante !determin$stico" • I( 3istribución general del tiempo entre llegadas • ( 3istribución general del tiempo de servicio
epresentación de la 3isciplina de Colas( • -E-S( primero que llega. primero que se
atiende • 'E-S( último que llega. primero que se atiende • SIRO( #ervicio de orden aleatorio • D( disciplina general !cualquier tipo de disciplina"
,Jemplos( !M:3:6"( !3H:N:" !M:M:" (!3H::"
Medidas de rendi"iento de estado estable ,l obJetivo último de la teor$a de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseLo % a la operación de un sistema de colas&
0as medidas de rendimiento o *uncionamiento que se utilizan para evaluar un sistema de colas(
897 es el tiempo promedio de espera 8 ó 8s7 es el tiempo promedio en el sistema -o( Probabilidad de que no a%an clientes en el sistema L97 es la longitud media de la cola ó es el número medio en el sistema&
-:7 es la probabilidad de bloqueo '7 indica la probabilidad de que el servidor est ocupado % la *racción de tiempo que un servidor está ocupado -n( Probabilidad de que e)istan n clientes en el sistema -d7 probabilidad de negación del servicio. si el espacio de espera es nito&
• 0as relaciones entre las medidas de
rendimiento son(
E!ercicios & ,l estacionamiento de visitas de Ozark Oz ark College se limita sólo a cinco caJones& 0os automóviles que lo usan llegan siguiendo una distribución de Poisson con *recuencia de cinco por ora& ,l +iempo de estacionamiento tiene distribución e)ponencial con /6 minutos de promedio& promedio& 0as visitas que no pueden encontrar un lugar vac$o inmediatamente cuando llegan pueden esperar provisionalmente provisionalmente 3entro del estacionamiento asta que salga un automóvil estacionado& 0os caJones Provisionales Provisionales sólo pueden contener tres ve$culos& Otros ve$culos que no se puedan estacionar ni encontrar un espacio de espera temporal se deben ir a otra parte& 3eterminar lo siguiente(
a; 0a probabilidad pn de que a%a n automóviles en el sistema& b; 0a *recuencia e*ectiva de llegada para automóviles que usen en realidad el estacionamiento& c; 0a cantidad promedio de automóviles en el estacionamiento& d; ,l tiempo promedio que espera un automóvil asta que a%a un caJón libre dentro del estacionamiento& e; 0a cantidad promedio de caJones de estacionamiento ocupados & f; 0a utilización promedio de ese estacionamiento&
,l sistema tiene un total de c 4 2 servidores servidores en paralelo la capacidad má)ima del sistema es 2 ;/4 automóviles&
Gn automóvil no podrá entrar al estacionamiento si %a están automóviles en l& ,so quiere decir que la proporción de ve$culos que no pueden entrar al lote es p& ,ntonces.
-erdido / p6 / < = *4*)+*1 / *4+)<5 auto"óviles por >ora ef / ? perdido / < ? *4+)<5 / 14@5@ auto"óviles por >ora 0a cantidad promedio de ve$culos en el estacionamiento !los que esperan o los que ocupan un caJón" es igual a 0s. la cantidad promedio en el sistema& #e puede calcular 0s a partir de pn como sigue(
Ls / *p* +p+ p 6p6 / 54+)6< auto"oviles4
Gn automóvil que espera en los caJones provisionales en realidad es uno en una l$nea de espera& ,ntonces. su tiempo de espera a que a%a un caJón vac$o es Qq& Para determinar Qq se usará la ecuación&
0a cantidad promedio de caJones ocupados es la misma que la cantidad promedio de servidores ocupados.
3e R . se obtiene(
7& 0os automóviles que llegan a una caseta de pagos en una carretera. según una distribución de Poisson con media de I6 por ora& ,l tiempo promedio para pasar por la caseta es de / segundos& 0os co*eres se queJan de un largo tiempo de espera& 0os cobradores están dispuestos a disminuir a /6 segundos. el tiempo de paso por la caseta. introduciendo nuevos mecanismos automáticos& ,sto puede Justicarse únicamente si con el sistema anterior el número de automóviles que esperan e)cede a 2& Sdemás. con el nuevo sistema el porcentaJe de tiempo ocioso de la caseta no deberá ser ma%or del 6T& ?Puede Justicarse la nueva
72T pasara de ocioso el sistema por lo tanto para esta condición no Justica el implemento de este nuevo servicio&
#i Justica porque el número de autos que esperan se reducirán a 7&72 /
/& #uponga que usted observa una peluquer$a los sábados en la maLana % encuentra que los clientes aparecen como un proceso de Poisson % que la rutina de llegada es de 2 por ora& Sdemás que todos los clientes que llegan esperarán asta ser atendidos& #uponga aora que la atención en la peluquer$a por tiempo es apro)imadamente e)ponencial % en promedio dura 6 minutos cada corte de pelo etc&
Sl modelar la anterior in*ormación como M : M : se tiene que(
0o anterior nos da 4 2:9 % de acuerdo con la teor$a
,s el número esperado de clientes en la peluquer$a inclu%endo el que está en la silla
,s el número de clientes esperando sentados para ser peluqueados&
Modelos de un solo servidor Para el caso de un solo servidor !c4" se presentan dos modelos& #e supone que los clientes llegan con una tasa constante de U clientes por unidad de tiempo& 0a tasa de servicio tambin es constante e igual a V clientes por unidad de tiempo&
14+4 Modelo BM0M0+;7 BD0 0 ;
,ste modelo de servidor único no tiene l$mites en la capacidad del sistema o de la *uente de llamadas. con llegadas % salidas de Poisson con tasa medias&
3eniendo obtenemos la siguiente *órmula general para este modelo( Pn = (1- ρ)∗ρn, n = 0, 1, 2,… ( ρ < 1)
0as medidas de desempeLo son(
14) Modelo BM0M0+;7 BD0,0 ;
0a di*erencia de ste modelo % el anterior. la es que tiene número má)imo de clientes permitidos en el sistema N !longitud má)ima de la l$nea de espera es 4 N-"& Cuando a% N clientes en sistema. no se aceptan mas llegadas
Para
endimiento(
λef = λ−λperdido = λ( 1-pN )
0q 4 0s-!le. * :m"4 0s - W! -pN "X:m pN Wq = Lq / λe, f = Ls / [λ( 1-pN)] Ws = Wq +1/ µ = Ls / [λ( 1-p )]
E!ercicios Modelo BM0M0+;7 BD00; & Gn restaurante de comida rápida tiene una ventanilla de servicio para automóviles& 0os ve$culos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson. con una *recuencia 7 cada 2 minutos& ,n el espacio *rente a la ventanilla pueden caber 6 ve$culos cuando muco. inclu%endo al que se está sirviendo& #i es necesario. otros automóviles pueden esperar *uera de este espacio& ,l tiempo de servicio por cliente es e)ponencial. con una media de &2 minutos& Calcule lo siguiente( a" 0a probabilidad de que la instalación este vac$a& b" 0a cantidad estimada de clientes esperando que los atienda& c" ,l tiempo estimado de espera para que un cliente llegue a la ventanilla % aga su pedido&
Modelo BM0M0+;7 BD00; 7& 0os clientes llegan en automóvil a una ventanilla bancaria de acuerdo con una distribución de Poisson. con una media de 6 oras& ,l tiempo de servicio a cada cliente es e)ponencial. con una media de 2 minutos& Ya% / espacios *rente a la ventanilla. inclu%endo el del automóvil que es atendido& #i llegan más ve$culos. deben esperar *uera de este espacio para / ve$culos& a" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda maneJar directamente asta el espacio *rente a la ventanilla@ b" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá que aguardar *uera del espacio indicado@ c" ?Cuánto tendrá que esperar un cliente que llega antes de que comience a dársele servicio@
a;
Modelo BM0M0+; 7 BD0 0 ; /& ,n un servidor en un autoservicio de venta de ca* la tasa de llegada al servidor es 6 ve$culos por minuto. % el tiempo de eJecución en todo el sistema es de 2 segundos. estos tiempos se distribu%en e)ponencialmente& a"?Zu proporción de tiempo está el servidor ocioso@ b"?Cuál es el número promedio de ve$culos esperados en la cola del sistema@
Modelos de servidores "2ltiples <4+4 Modelo BM0M0c;7 BD0 0 ;
,n este modelo los clientes llegan con una tasa constante % un má)imo de c unidades puede ser atendidos simultáneamente& 0a tasa de servicio por servidor activo es tambin constante e igual a
Medidas de desempeLo(
<4)4 Modelo BM0M0c;7 BD0,0 ; c ,
,sta situación de espera diere de la anterior pues se impone un l$mite N sobre la capacidad del sistema !es decir. tamaLo má)imo de la l$nea de espera 4 N-c"&
Medidas de desempeLo
6.3 Modelo de autoservicio (M/M/ ): (GD/ / )
,n este modelo el número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es tambin el servidor& ,ste es normalmente el caso en los establecimientos de autoservicio&
Medidas de desempeLo
Nótese que Qq 4 6 porque cada cliente se atiende a s$ mismo& ,sta es la razón por la que Qs es igual al tiempo de servicio medio :u &
E!ercicios Modelo BM0M0c;7 BD0 0 ; & Gna pequeLa ocina de correos tiene dos ventanillas abiertas& 0os clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con la *recuencia cada / minutos& #in embargo solo el 6T deben ser atendidos en las ventanillas& ,l tiempo de servicio a los clientes es e)ponencial. con 2 minutos de promedio& Ss$ ese 6T de los clientes que llegan se *orman en una cola % llegan a las ventanillas disponibles en disciplina P0P#& a" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue deba esperar en la la@ b" ?Cuál es la probabilidad de que las dos ventanillas estn vac$as@ c" ?Cuál es la longitud promedio de la cola@
a"
b"
c"
Modelo BM0M0c;7 BD0,0
c ,
7& Gn pequeLo taller de aJuste de motores ocupa a tres mecánicos& S principios de marzo cada aLo las personas llevan al taller las segadoras % podadoras que reciben mantenimiento& ,l taller quiere aceptar todas las segadoras % podadoras que le lleven& #in embargo. cuando los clientes que llevan ven que el piso del taller está cubierto con trabaJos en espera. van a otra parte para recibir un servicio más inmediato& ,l piso del taller puede dar cabida cuando muco a 2 segadoras o podadoras. además de las que reciben el servicio& 0os clientes llegan al taller cada 2 minutos en promedio % un mecánico tarda un promedio de /6 minutos en terminar cada trabaJo& ,l tiempo entre llegas % el tiempo de servicio tienen distribución e)ponencial& 3etermine lo siguiente( a" 0a Probabilidad de que el siguiente cliente que llegue reciba servicio
Modelo (M/M/∞): (GD/∞/∞) autoservicio /& S los conductores nuevos se les pide pasar un e)amen por escrito. antes de acer las pruebas de maneJo& 0os e)ámenes escritos suelen acerse en el departamento de polic$a de la ciudad& 0os registros de la ciudad de springdale indican que la cantidad promedio de e)ámenes escritos es de 66 por d$a de oras& ,l tiempo necesario para contestar el e)amen es de /6 minutos. más o menos& #in embargo. la llegada real de los aspirantes % el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios& 3etermine lo siguiente( a" 0a cantidad promedio de asientos que debe tener los departamentos de polic$a en el salón de e)amen& b" 0a probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que a% en el salón de e)amen&
Modelo de servicio de "9uinas @4+ BM0M0R;7 BD0F0F;
Mediante el modelo de servidor de máquinas se propone la idea de disponer de cantidad de tcnicos con el propósito de o*recerle reparaciones a un número [k\ de máquinas&
Gariables en las fór"ulas para el "odelo de servicio de "9uinas7
Medidas de desempeLo
E!ercicios & ,n una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria e)istente en el mercado se realiza en 2 operaciones básicas que se e*ectúan de una manera secuencial] si el tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 2 pasos tiene una distribución e)ponencial con media de 2 minutos& ,stas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 7 máquinas : ora % en la *ábrica solo a% un mecánico que las repara& Calcular las caracter$sticas de operación de la empresa&
7&+oolco opera un taller que contiene 77 máquinas& #e sabe que cada máquina se aver$a cada dos oras. en promedio& #e requiere un promedio de 7 minutos para terminar una reparación& +anto el tiempo entre aver$as como el tiempo de reparación siguen una distribución e)ponencial& +oolco está interesada en determinar el número de mecánicos necesarios para mantener continuamente *uncionando el taller& 0a situación se analiza investigando la productividad de las maquinas como una *unción del número de mecánicos& ,sta medida de productividad se dene
0a productividad asociada es baJa !412&11T"& #i se incrementa el numero de mecanicos a dos. laproductividad salta de /1&AT a 6&2T& Cuando empleamos a tres mecanicos. la productividad aumenta solo &91T a &AIT. mientras que cuatro mecanicos aumentaran la productividad &99T. solo a I6&12T&
S Juzgar por estos resultados. se Justica el uso de dos mecanicos& Contratar tres empleados no sirve por que eleva la productividad en solo &91T& Zuiza una comparacion monetaria entre el costo de contratar una tercera persona % el ingreso atribuido a &91T de aumento en productividad se aprovece para establecer este punto& ,n cuanto a contratar un cuarto mecanico. el magro aumento de &99T en la productividad no Justica tal acción&
/&Gna CompaL$a debe tomar una decisión con respecto a su pol$tica de contratar un mecánico para reparar un mecanismo que se descompone con una tasa promedio de 1 por ora de acuerdo con una distribución Poisson] el tiempo improductivo de cualquiera de los mecanismos está costando ^2666 por ora a la ,mpresa& 0a CompaL$a puede contratar dos tipos distintos de mecánicos( uno lento. pero poco costoso a ^7266 por ora % el otro rápido. pero más costoso a ^1266 por ora] el mecánico lento puede reparar e)ponencialmente los mecanismos a una tasa promedio de 9 por ora. mientras que el mecánico rápido repara e)ponencialmente a razón de por ora& _asándose en los datos anteriores cuál mecánico debe
3onde CO0. CO. C+0 % C+ corresponden a costo ocioso para el mecánico lento. costo ocioso para el mecánico rápido. costo total para el mecánico lento % costo total para el mecánico rápido& 0a decisión es entonces nalmente contratar el mecánico rápido. porque la CompaL$a aorra costo&
Hor"ula -ollac$ee&?F>intc>ine B-?F;
64+ Modelo BM00+;7 BD00; ,l que el tiempo de servicio. t. está representado por cualquier distribución de probabilidad con media ,!t" % varianza var!t"& 0os resultados del modelo inclu%en las medidas básicas de rendimiento. 0s. 0q. Qs % Qq& ,l modelo no proporciona una e)presión de *orma
E!ercicios & ,n una instalación de servicio de lavado de autos. la in*ormación recolectada indica que llegan autos para ser atendidos según una distribución de Poisson con la media de 2 por ora& ,l tiempo para lavar % asear cada automóvil varia. pero se advierte que sigue una distribución e)ponencial con media de 6 minutos por automóvil& 0a instalación no puede dar aloJamiento a más de un auto a la vez& !#upóngase que en el establecimiento de lavado de autos de este eJemplo. el lavado lo realizan maquinas automáticas. de manera que el tiempo de servicio se puede considerar el mismo % constante para todos los autos& ,l ciclo de la maquina lavadora tarda e)actamente 6 minutos"&
7& ,n un ca* e)prs& 0os clientes siguen un proceso Poisson con tasa media de /6 por ora& ,l tiempo necesario para que se sirva a un cliente tiene distribución e)ponencial con media de A2 segundos&
/& 0a%son oong `nc& `nstala teJados en residencias nuevas % vieJas& 0os posibles clientes piden el servicio aleatoriamente. con una *recuencia de nueve trabaJos mensuales !meses de /6 d$as" % se pone en la listad de espera para atenderlos con base P0P#& 0os tamaLos de las casas ar$an. pero es razonable suponer que las supercies de los tecos tiene una distribución uni*orme entre 26 % /66 cuadrados& 0a cuadrilla de trabaJadores suele terminar A2 cuadrados por d$a calcule lo siguiente( a" 0a cantidad de trabaJos que tiene 0a%son oong pendiente al d$a& b" ,l tiempo promedio de espera de los clientes asta que se termine su trabaJo&