ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INVESTIGACIÓN OPERATIVA DEBER 1 Luis Gabriel Cuasque Bautista
13.Romans Food Market, localizado en Saratoga, Nueva York, vende una variedad de comida especializada de todo el mundo. Dos de los productos líderes de la tienda usan el nombre de Romans Food Market: Romans Regular Coffee y Romans DeCaf Coffee. Estos cafés son mezclas de granos de café Brazilian Natural y Colombian Mild, los cuales se compran a un distribuidor localizado en la ciudad de Nueva York. Como Romans compra cantidades grandes, los granos de café pueden comprarse cuando se necesite a un precio 10% mayor que el precio de mercado que el distribuidor paga por los granos. El precio de mercado actual es $0.47 por libra para Brazilian Natural y $0.62 por libra para Colombian Mild. Las composiciones de cada mezcla de café son las siguientes:
GRÁFICO
TABULACIÓN Mezcla Costo Costo Brazilian Colombia producció empaqueta n $/lb do $/ lb Natural n Mild Romans Regular Coffe Romans Decaf
75% 40%
$ 25% 0,80 60% $ 1,05
$ 0,25 $ 0,25
Precio de venta $/lb $ 3,60 $ 4,40
Subto tal libras 1000 500
Coffe
Precio normal Brazilian Natural Colombian Mild
$ $
0,47 0,62
Precio incrementado $ $
0,52 0,68
FUNCIÓN OBJETIVO Max U= Utilidad total Max U= Utilidad Regular + Utilidad Decaf Max U= 3.6(#libras BN-R + # libras CM -R) – 0.8(#libras BN-R + # libras CM-R) – 0.25(#libras BN-R + # libras CM-R) – 0.52#libras BN-R – 0.68# libras CM-R + 4.4(#libras BN-D + # libras CM-D) – 1.05(#libras BN-D + # libras CM-D)– 0.25(#libras BN-D + # libras CM-D)-0.52#libras BN-D – 0.68# libras CM-D VARIABLES DE DECISIÓN X11: # de libras de café Brazilian Natural para café Regular X12: # de libras de café Colombian Mild para café Regular X21: # de libras de café Brazilian Natural para café Decaf X22: # de libras de café Colombian Mild para café Decaf FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN
EN
FUNCIÓN
DE
LAS
VARIABLES
DE
Max U= 3.6(x11+x21) – 0.8(x11+x21) – 0.25(x11+x21) – 0.52x11 – 0.68x21 + 4.4(x12+x22) – 1.05(x12+x22) – 0.25(x12+x22) -0.52x12 – 0.68x22 Max U= 2.03x11 + 1.87x21 + 2.58x12 + 2.42x22 RESTRICCIONES # de libras de café Brazilian Natural para café Regular debe ser del 75% 0.25x11 – 0.75x21= 0 : # de libras de café Brazilian Natural para café Decaf de ser del 40% 0.6x12 – 0.4x22= 0 MODELO ESTRUCTURADO Max U= 2.03x11 + 1.87x21 + 2.58x12 + 2.42x22 S a:
0.25x11 – 0.75x21= 0 0.6x12 – 0.4x22= 0 RESOLUCIÓN Var decisión Regular Decaf
x11
UTILIDAD Regular Decaf
x11
x21 750 0
x12 250 0
x21 2,03 0
x22 0 200
x12 1,87 0
0 300
x22 0 2,58
0 2,54
RESTRICCIONES x11 Regular
x21
x12
0,25
-0,75
0
0
Decaf x11
x21
x22
0,6 x12
-0,4 0
0
=
0
x22
Regular
1
1
0
0
Decaf
0
0
1
1
MAX U
0 =
> 100 1000 = 0 > 500 = 500
$ 3.268,00
14.El gerente de producción de Classic Boat Corporation debe determinar cuántas unidades del modelo Classic 21 producir durante los siguientes cuatro trimestres. La empresa tiene un inventario inicial de 100 latas Classic 21 y la demanda para los cuatro trimestres es 2 000 unidades en el trimestre 1, 4 000 en el 2, 3 000 en el 3 y 1500 en el 4. La empresa tiene una capacidad de producción limitada en cada trimestre. Es decir, hasta 4 000 unidades pueden producirse en el trimestre 1, 3 000 en el 2, 2 000 en el 3, y 4000 en el 4. Cada lata guardada en inventario en los trimestres 1 y 2 incurre en un costo de mantenimiento en inventario de $250 por unidad; el costo de mantenimiento para los trimestres 3 y 4 es $300 por unidad. Los costos de producción para el primer trimestre son $10,000 por unidad; se espera que este precio aumente 10% cada trimestre debido a los incrementos en los costos de mano de obra y del material. La gerencia especificó que el inventario final para el trimestre 4 debe ser por lo menos de 500 latas.
a. Formule un modelo de programación lineal que se utilice para determinar el programa de producción que minimizará el costo total de cumplir con la demanda en cada trimestre sujeto a las capacidades de producción en cada trimestre y también al inventario final requerido en el trimestre 4. b. Resuelva el programa lineal formulado en el inciso a). Luego elabore una tabla que muestre el número de unidades a fabricar para cada trimestre, el inventario fi nal y los costos incurridos. c. Interprete cada uno de los precios duales que corresponden a las restricciones elaboradas para satisfacer la demanda en cada trimestre. Con base en estos precios duales, ¿qué consejo le daría al gerente de producción? d. Interprete cada uno de los precios duales que corresponden a la capacidad de producción en cada trimestre. Con base en estos precios duales, ¿qué consejo le daría al gerente de producción? GRÁFICO
TABULACIÓN INVENTAR DEMAND IO INCIAL A
CAPACID AD
T1
100
2000 <= 4000
T2
0
4000 <=3000
T3
0
3000 <=2000
T4
0
1500 <=4000
COSTO INVENTAR IO $/U $ 250,00 $ 250,00 $ 300,00 $ 300,00
COSTO PRODUCCI ÓN $/U $ 10.000,00 $ 11.000,00 $ 12.100,00 $ 13.310,00
Ivent Final
>=500
FUNCIÓN OBJETIVO Min Costo= Costo primer trimestre + Costo segundo trimestre + Costo tercer trimestre + Costo cuarto trimestre
Min C= # unidades producidas T1 * precio1 + # unidades producidas T2 * precio2 + # unidades producidas T3 * precio3 + # unidades producidas T4 * precio4 + # unidades producidas T1 * precio5 + # unidades producidas T2 * precio6 + # unidades producidas T3 * precio7 + # unidades producidas T4 * precio8 VARIABLES DE DECISIÓN X1: # de unidades producidas para T1 X2# de unidades producidas para T2 X3: # de unidades producidas para T3 X4: # de unidades producidas para T4 Y1: # de unidades inventariadas para T1 Y2# de unidades inventariadas para T2 Y3: # de unidades inventariadas para T3 Y4: # de unidades inventariadas para T4 FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN
EN
FUNCIÓN
DE
LAS
VARIABLES
DE
Min C= 10000x1 + 11000x2 + 12100x3 + 13310x4 + 250y1 + 250y2 +300y3 300y4 RESTRICCIONES Demanda Inventario trimestre anterior + producción actual – inventario final de trimestre = Demanda 100 +x1 – y1 = 2000 y1 + x2 – y2 = 4000 y2 + x3 – y3 = 3000 y3 + x4 – y4 = 1500 Capacidad de producción X1 <= 4000 X2 <= 3000 X3 <= 2000 X4 <= 4000 Y4 >= 500
x1 – y1 = 1900
MODELO ESTRUCTURADO Min C= 10000x1 + 11000x2 + 12100x3 + 13310x4 + 250y1 + 250y2 +300y3 300y4 S a: x1 – y1 = 1900 y1 + x2 – y2 = 4000 y2 + x3 – y3 = 3000 y3 + x4 – y4 = 1500 X1 <= 4000 X2 <= 3000 X3 <= 2000 X4 <= 4000 Y4 >= 500 RESOLUCIÓN VARIABLES DE DECISIÓN
LATAS PRODUCIDAS LATAS INVENTARIADAS X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Y3 Y4 4000 3000 2000 1900 2100 1100 100 500
COSTO DE PRODUCCION
COSTO MTTO INVENTARIO
1000 1100 1210 1331 0 0 0 0 RESTRICCIONES DEMANDA X1
CAPACIDAD
25 0
25 0
X2
30 0
X3
300
X4
Y1
1
0
0
0
-1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3 Y4
190 0 400 -1 0 0 0 300 1 -1 0 0 150 0 1 -1 0 0
Y2
0
=
190 0 400 0 300 0 150 0
400 < 0 = 0 300 <
400 0 300
0
= = =
Y3 Y4
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
INVENTARIO FINAL
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
X1
X2 0
Costo mínimo
X3 0
X4 0
$ 123.469.000,00
Y1 0
0
Y2 0
0 200 0 0 190 0 0
= < = < =
0 200 0 400 0
> =
500
Y3 Y4 0
1 500
15.Seastrand Oil Company produce dos grados de gasolina: regular y alto octanaje. Las dos gasolinas se producen al mezclar dos tipos de petróleo crudo. Aunque ambos tipos de petróleo crudo contienen los dos ingredientes importantes requeridos para producir las dos gasolinas, el porcentaje de ingredientes importantes en cada tipo de petróleo crudo difieren, al igual que el costo por galón. El porcentaje de ingredientes A y B en cada tipo de petróleo crudo y el costo por galón se muestran enseguida:
GRÁFICO
TABULACIÓN Costo por galón $/gl Regular Alto octanaje
Demanda diaria
0,1 0,15
800000 500000
FUNCIÓN OBJETIVO Min Costo= Costo gasolina Regular + Costo gasolina Alto octanaje Min C= (# galones p1 * precio + # galones p2* precio)Regular + (# galones p1* precio + # galones * precio) Alto octanaje VARIABLES DE DECISIÓN X1: # de galones de p1 para producir gasolina regular X2: # de galones de p2 para producir gasolina regular X3: # de galones de p1 para producir gasolina de alto octanaje X4: # de galones de p2 para producir gasolina de alto octanaje FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN
EN
FUNCIÓN
DE
LAS
VARIABLES
Min C= 0.1*x1 +0.15*x2 +0.1*x3 + 0.15*x4 RESTRICCIONES La gasolina regular debe tener como mínimo 40% del componente A
DE
-0.2*x1 + 0.1*x2 <= 0 La gasolina de alto octanaje debe tener como máximo 50% del componente B 0.1*x3 – 0.2x4 <= 0 MODELO ESTRUCTURADO Min C= 0.1*x1 +0.15*x2 +0.1*x3 + 0.15*x4 S a: -0.2*x1 + 0.1*x2 <= 0 0.1*x3 – 0.2x4 <= 0 RESOLUCIÓN
VARIABLES DE DECISIÓN REGULAR ALTO OCTANAJE COSTO RESTRICCIONES
PETROLEO 1 PETROLEO 2 266667 333333 0,1 PETROLEO 1
REGULAR
PETROLEO2
-0,2
0,1
0,1
-0,2
ALTO OCTANAJE
533333 166667 0,15
> 0 = < 0 =
0 0
DEMANDA PETROLEO 1
PETROLEO2
REGULAR
1
1
ALTO OCTANAJE MIN COSTO=
1
1
> 800000 = > 500000 =
800000 500000 165000
16.Ferguson Paper Company produce rollos de papel para usar en las máquinas sumadoras, las calculadoras de escritorio y las cajas registradoras. Los rollos, que miden 200 pies de largo, se producen en anchos de 11/2, 21/2 y 31/2 pulgadas. El proceso de producción proporciona rollos de 200 pies sólo con un ancho de 10 pulgadas. La empresa debe, por consiguiente, cortar los rollos a los tamaños de producto fi nal deseados. Las siete alternativas de corte y la cantidad de desperdicio generada por cada rollo son las siguientes:
Los requerimientos para los productos son
a. Si la empresa quiere minimizar el número de rollos de 10 pulgadas que deben fabricarse, ¿cuántos rollos de 10 pulgadas se procesarán en cada alternativa de corte? ¿Cuántos rollos se requieren y cuál es el desperdicio total (pulgadas)? b. Si la empresa quiere minimizar el desperdicio generado, ¿cuántos rollos de 10 pulgadas se procesarán en cada alternativa de corte? ¿Cuántos rollos se requieren y cuál es el desperdicio total (pulgadas)? c. ¿Cuáles son las diferencias en los incisos a y b para este problema? En este caso, ¿qué objetivo prefiere usted? Explique por qué. ¿Qué tipos de situaciones harían que el otro objetivo fuera preferible? GRÁFICO
TABULACIÓN ANCHO in 1-1/2 2-1/2 3-1/2 Subtotal
LARGO FT
10
20 20 20 200
UNIDADES REQ. 1000 2000 4000
FUNCIÓN OBJETIVO PRODUCCIÓN MÍNIMA = # de rollos producidos para la alternativa 1+ # de rollos producidos para la alternativa 2 + # de rollos producidos para la alternativa 3 + # de rollos producidos para la alternativa 4 + # de rollos producidos para la alternativa 5 + # de rollos producidos para la alternativa 6 + # de rollos producidos para la alternativa 7 VARIABLES DE DECISIÓN X1: # de rollos producidos para la alternativa 1
X2: # de rollos producidos para la alternativa 2 X3: # de rollos producidos para la alternativa 3 X4: # de rollos producidos para la alternativa 4 X5: # de rollos producidos para la alternativa 5 X6: # de rollos producidos para la alternativa 6 X7: # de rollos producidos para la alternativa 7 FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN
EN
FUNCIÓN
DE
LAS
VARIABLES
DE
Min P = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +x7 RESTRICCIONES Según las presentaciones del producto se tiene 6x1 + 2x3 + x5 + x6 +4x7 >= 1000 4x2 + x4 + 3x5 + 2x6 >= 2000 2x3 + 2x4 + x6 + x7 >= 4000 X1 + 0.5x4 + x5 + 0.5x7 = 0 MODELO ESTRUCTURADO Min P = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +x7
S a: 6x1 + 2x3 + x5 + x6 +4x7 >= 1000 4x2 + x4 + 3x5 + 2x6 >= 2000 2x3 + 2x4 + x6 + x7 >= 4000 X1 + 0.5x4 + x5 + 0.5x7 = 0 RESOLUCIÓN A 1 ROLLOS 10 IN CORTES 1-1/2 2-1/2
2 125
0 1
2 6 0
3
3 0 4
4 1500
500 4 2 0
5 0 1
5
6 1 3
6 0
7 0
0
7 1 2
> 4 1000 = 0 2000 >
1000 2000
3-1/2 DESPERDICI O
0
0
2
2
0
1
1
0
0
0,50
1
0
= > 1 4000 = > 0,50 750 =
4000
En la tabla anterior se muestra la cantidad de rollos de 10 in por alternativa en total se fabrican 2125 rollos. De la alternativa 4 se tiene el total de desperdicio 750 in B 1 ROLLOS 10 IN
0
2 3 50 0 2000
4 0
5 0
6 0
7 0 RESTRICCIO NES
CORTES
1
2
3
4
5
6
7
1-1/2
6
0
2
0
1
1
4
2-1/2
0
4
0
1
3
2
0
3-1/2
0
0
2
0
1
DESPERDICIO
1
0
2 0,5 0 0
1 DESPERDICIO GENERADO
0
2 0
3
4 0
0
1
5 0
> 100 4000 = 0 > 200 2000 = 0 > 400 4000 = 0 > 0 =
1 0,5 0 0
6 0
7 0
TOTAL 0
Para minimizar el desperdicio las cantidad de rollos por alternativa se muestran en la tabla anterior, la cantidad de rollos necesario es de 2500, el desperdicio que se genera es de 0. C Al trabajar con el mínimo desperdicio se generaría una sobre producción de material cortado, si este materia no se degrada con el tiempo y el costo de inventario no es muy grande se debería trabajar con la alternativa de mínimo desperdicio. 17.Frandec Company fabrica, ensambla y reconstruye equipo para manejo de material empleado en almacenes y centros de distribución. Un producto, llamado Liftmaster, se ensambla a partir de cuatro componentes: un armazón, un motor, dos soportes y un asa de metal. El
programa de producción de la empresa exige que se fabriquen 5 000 Liftmasters para el mes siguiente. Frandec compra los motores a un proveedor externo, pero la empresa puede, ya sea fabricar los armazones, los soportes y las asas, o comprarlos a un proveedor externo. Los costos de manufactura y compra por unidad se muestran en la tabla:
COMPON ENTE
COSTO DE MANUFACTUR A
COSTO DE COMPRA
ARMAZON
38
51
SOPORTE
11.5
15
ASA
6.5
7.5
Hay tres departamentos involucrados en la producción de estos componentes. El tiempo (en minutos por unidad) requerido para procesar cada componente en cada departamento y la capacidad disponible (en horas) para los tres departamentos son los siguientes:
COMPON ENTE
CORTE
FRESADO
MOLDE ADO
ARMAZO N
3.5
2.2
3.1
SOPORTE
1.3
1.7
2.6
ASA
0.8
-
1.7
CAPACIDA D (h)
350
420
680
a) Formule y resuelva un modelo de programación lineal para esta aplicación de hacer o comprar. ¿Cuántos de cada componente deben fabricarse y cuántos comprarse? b) ¿Cuál es el costo total del plan de manufactura y compra? c) ¿Cuántas horas de producción se usan en cada departamento? d) ¿Cuánto está dispuesto a pagar Frandec por una hora adicional de tiempo en el departamento de moldeado? Otro fabricante ha ofrecido vender armazones a Frandec por $45 cada uno. ¿Podría mejorar Frandec su posición al aprovechar esta oportunidad? ¿Por qué?
GRÁFICO
TABULACIÓN COSTO FABRICACIÓN ARMAZON SOPORTE ASA CAPACIDAD
COSTO COMPRA
3.5 11.5 6.5
51 15 7.5
T. CORTE min
T. FRESADO min
3.5 1.3 0.8 21000
2.2 1.7 25200
T. MOLDEADO min 3.1 2.6 1.7 40800
FUNCIÓN OBJETIVO Costo total =# unidades armazón * precio manu + # soportes * precio manu + # unidades de asa * precio manu + # armazón * precio comprado + # soportes * precio comprado + # asa * precio comprado + motor VARIABLES DE DECISIÓN X11: # de armazones fabricados X12: # de soportes fabricados X13: # de asa fabricados X21: # de armazones comprados X22: # de armazones comprados X23: # de armazones comprados
FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN
EN
FUNCIÓN
DE
LAS
VARIABLES
DE
Costo total = 38x11 + 11.5x12 + 6.5x15 + 51x21 + 15x22 + 7.5x23 + motor RESTRICCIONES Según capacidad de producción 3.5x11 + 1.3 x12 + 20.8x13 <= 21000 2,2x11 + 1.7x12 <= 25200 3.1x11 + 2.6x12 + 21.7x13 <=40800 MODELO ESTRUCTURADO Costo total = 38x11 + 11.5x12 + 6.5x15 + 51x21 + 15x22 + 7.5x23 + motor S a: 3.5x11 + 1.3 x12 + 20.8x13 <= 21000 2,2x11 + 1.7x12 <= 25200 3.1x11 + 2.6x12 + 21.7x13 <=40800 RESOLUCIÓN VARIABLES DE DECISION ARMAZO SOPORT N E FABRICA 4909.090 3857.142 DO 91 86 COMPRA 90.90909 6142.857 DO 09 14 ARMAZO N SOPORTE FABRICAD O COMPRAD O Tcorte (min/u) Tfres (min/u) Tmold (min/u) T total(min/ u)
ASA 5000 0
ASA
38
11.5
6.5
51
15
7.5
3.5
1.3
0.8
2.2
1.7
0
3.1
2.6
1.7
8.8 43200
11.2 43200
2.5 12500
TIEMPO REPOSICION 98900
<
1 MES 43200
=
ARMAZO N SOPORTE FABRICAD O COMPRAD O PRODUCCI ON DEMANDA
ASA
1
1
1
1
1
1
5000 = 5000
10000 = 10000
5000 = 5000
