Ejercicios de Ingeniería Económica

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA ECONÓMICA

Enunciado del Interés 15% anual compuesto mensual 15% anual 20% anual compuesto trimestral 8% mensual 12% semanal compuesto continuo 1% mensual 8% anual compuesto mensual 4% trimestral 30% anual compuesto bianual 50% semanal continuo

Tipo de tasa de interés

Período de capitalización


Complete el siguiente cuadro con la información que falta Capita (C)

Monto (M)

Tiempo (n)

1

$ 1,500,000.00

$

2

$

$

10,000.00

3

$

23,800.00

$

25,000.00

4

$

2,000.00

$

3,200.00

32 meses

5

$

$

5,000.00

3 meses

6

$

5,200.00

$

6,000.00

7

$

12,600.00

$

15,200.00

8

$

1,275.00

$

9

$

45,000.00

$

55,000.00

10

$

$

100,000.00

5 años

11

$

$

150,000.00

264 días

100,000.00

Interés Simple (i)

3 meses

19% anual

2 años

16% trimestral 0.02% diario

21% anual 35% semestral

6 meses 5 trimestres

48% anual 3% bimestral 10% trimestral


Ejercicios de Interés Simple: M = C + C x i x n o de otra forma M = C (1 + ni) 1. Una persona quiere conservar intacto un capital de $158,000 que tiene invertido y gastar los intereses mensuales que genera. Si la tasa simple mensual es del 2% ¿Cuánto podrá gastar cada mes? 2. Calcular cuál será el monto de un capital de $7,777 invertido durante 10 meses a una tasa simple trimestral del 6%. (Convertir a tasa mensual) 3. Calcular cuál fue el capital invertido por una persona si retiró al final de 5 meses un importe de $ 45,000 y la tasa de interés simple mensual que le otorgaron fue del 1.8%. 4. Calcular cuánto me prestaron si pagué $8,000 a 10 meses y la tasa simple anual fue de 38% 5. Si en lugar de pagar $ 180,000 dentro de tres meses, decido pagar dentro de 2 meses y la tasa simple semestral es del 42%, ¿cuál será la cantidad a pagar? 6. Carlos participa en una tanda y le toca el decimoctavo mes para cobrar. Si dentro de 18 meses recibirá $ 45,000.00. ¿Cuál será el valor actual de la tanda con un interés simple de 20% anual? 7. Si me prestan $ 8,000 y a los 4 meses pago $ 11,500, ¿A qué tasa simple anual me prestaron? 8. Calcular qué tasa simple cuatrimestral equivale a una tasa simple semestral de 18%. 9. Sergio me compra un pequeño terreno por $ 50,000 pagando un 12% de enganche y el resto a pagar a los 6 meses, ¿De cuánto debo pedirle que me firme el pagaré si la tasa simple anual de interés está al 80% en el mercado? 10. Carlos compró un inmueble por el cual pagó $ 95,000 el primero de enero y lo vende el primero de junio del año siguiente en $115,000. Considerando solo los valores de compra y venta, ¿fue conveniente la operación realizada si la tasa de interés de mercado era del 15%. 11. ¿Cuál es el valor actual de un terreno que se paga con un enganche del 30% y un documento a 3 meses con un valor nominal de $125,000 e interés del 22% anual simple? 12. ¿En cuánto se triplica una inversión con un interés simple del 13% anual simple?


Ejercicios de Interés Compuesto: 1. Se depositan $ 40,000 en un banco a una tasa de interés de 48% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál será el monto acumulado en tres años? 2. Usted obtiene hoy un préstamo bancario de $ 150,000 a un plazo de un año con interés del 22% convertible trimestralmente, ¿cuánto deberá pagar? 3. Determine el monto acumulado de $ 200,000 que se depositan en una cuenta de valores que paga el 10% anual capitalizable mensualmente: a) después de un año y b) después de dos años. 4. ¿A qué tasa anual capitalizada trimestralmente un capital de $ 3,000 crecerá hasta $ 10,000 en un plazo de 5 años? 5. ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $ 100,000 si consideran una tasa de interés de 10 % anual capitalizable mensualmente?, ¿y con una tasa del 12 anual capitalizable bimestralmente? 6. ¿A qué tasa de interés se deben depositar $ 150,000 para disponer de $ 500,000 en un plazo de 5 años?, considerando los siguientes periodos de capitalización: a) semestralmente, b) trimestralmente y c) mensualmente. 7. Si se tiene un capital invertido de $ 4,000 a una tasa mensual de 7% y se mantiene la inversión a 4 meses, elabore una tabla que muestre el capital, los intereses y los montos acumulados en cada mes. 8. Una persona realizó 3 ahorros por cantidades iguales hace 3, 4 y 9 meses. La tasa fue de 3% quincenal. Si al día de hoy tiene $ 76,000, encontrar de cuánto fueron esos ahorros.


Formulario básico utilizando interés compuesto Encontrar

Dado

Factor

Ecuación

Fórmula

P

F

(P/F, i%, n)

P =F(P/F, i%, n)

⎡ 1 ⎤ P = F⎢ n ⎥ ⎣ (1 + i ) ⎦

F

P

(F/P, i%, n)

F = P(F/P, i%, n)

F = P(1 + i ) n

P = A(P/A, i%, n)

⎡ (1 + i ) n − 1⎤ P = A⎢ n ⎥ ⎣ i (1 + i ) ⎦

P

A

(P/A, i%, n)

A

P

(A/P, i%, n)

A = P(A/P, i%, n)

⎡ i (1 + i ) n ⎤ A = P⎢ ⎥ n ⎣ (1 + i ) − 1⎦

A

F

(A/F, i%, n)

A = F(A/F, i%, n)

⎡ ⎤ i A = F⎢ ⎥ n ⎣ (1 + i ) − 1⎦

A

(F/A, i%, n)

F =A(F/A, i%, n)

⎡ (1 + i ) n − 1⎤ F = A⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

F


Ejercicios de Anualidades Vencidas: 1. ¿Cuánto podrá retirar cada uno de los siguientes 30 viernes, si usted invierte $ 300,000 el viernes 29 de agosto de 2008 con una tasa de interés del 8% anual/semanal? 2. Se ofrecen en venta pies de casa. La empresa promotora ofrece facilidades para pagar el 30% de enganche de manera que se le entreguen 15 mensualidades de $ 2,500 empezando dentro de un mes. ¿Cuál será el valor presente del enganche? y ¿cuál es el valor total del pie de casa?, si la tasa de interés es de 18% anual/mensual. 3. Se compró un vehículo con un costo de $ 240,000, se entregó un 30% de enganche y el resto se comprometió a pagar en abonos bimestrales, empezando dentro de un bimestre, durante 5 años hasta liquidar, la tasa de interés es de 39% anual con capitalización bimestral. ¿De cuánto será cada abono? 4. ¿Qué cantidad deberá invertir ahora para retirar $ 7,500 al final de cada mes, empezando dentro de un mes, durante 3 años, si se pagan intereses del 15% anual compuesto mensualmente? 5. ¿Cuánto podrá retirar cada quincena durante 2 años empezando la próxima quincena, si usted deposita $ 250,000 ahora y la tasa de interés es de 24% anual capitalizado quincenalmente? 6. Calcule el costo actual de un terreno que se está pagando a plazo con 60 mensualidades de $ 6,750 empezando en el mes 1, con una tasa de interés del 18% anual/mensual. 7. Calcule el monto mensual equivalente a comprar hoy un departamento en efectivo con valor de $ 800,000, si la tasa de interés se mantuviera constante en 22% anual y el plazo fuera de 10 años. 8. Usted empieza a ahorrar de su sueldo de $ 3,800 cada quincena en una cuenta que le paga el 19.2% anual capitalizable trimestralmente, su primer depósito lo hará la próxima quincena. ¿Qué cantidad tendrá disponible 6 años después? 9. Juan tiene un sueldo que le permite endeudarse hasta por un máximo de $ 7,000 mensuales, si la tasa de interés vigente es del 15% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto es lo máximo que puede pedir prestado si debe pagar en 36 mensualidades?


Ejercicios de Anualidades Anticipadas: 1. El día de hoy inicia un ahorro en un banco y depositará $ 2,500 mensualmente durante 4 años, si la tasa de interés es del 8% anual, ¿cuál es el monto (valor futuro) que acumulará? 2. Indique con cuál alternativa se acumulará más dinero en 3 años: a. Un depósito único de $ 2,000 al principio con una tasa del 30% anual simple. b. Dieciocho (18) pagos bimestrales de $ 170, con intereses del 26% anual/bimestral, iniciando hoy. c. Treinta y seis (36) abonos mensuales de $ 80 con una tasa de interés del 26% anual/mensual, iniciando hoy. d. Seis depósitos semestrales de $ 550 con una tasa del 25% anual/semestral, iniciando hoy. e. Seis pagos mensuales de $ 425, iniciando hoy a una tasa de interés del 28% anual capitalizable mensualmente. 3. ¿Cuánto acumulará José, con 30 depósitos de $ 500 iniciados hoy, manejando una tasa de 6% anual capitalizable mensualmente?


Ejercicios de Anualidades Diferidas: 1. Se quiere gastar $ 1,000 mensualmente durante un año (12 retiros), ¿cuánto necesito ahorrar previamente en forma quincenal durante 30 meses a una tasa del 34% anual capitalizable trimestralmente?. Suponga que el primer retiro de $ 1,000 se da un mes después del último depósito. 2. La tasa de mercado está a 20% efectiva. Una persona tiene 5 opciones para adquirir una computadora que cuesta $ 23,000, y espera poder venderla en $ 3,000 dentro de tres años (excepto con la opción de renta), ¿cuál opción le conviene? a. Pagar $ 2,000 mensuales durante 10 meses con un enganche de $ 7,000. b. Pagar de contado con un 3% de descuento. c. Pagar $ 1,000 quincenales durante un año. d. Pagar $ 3,000 mensuales durante un año, pero iniciando los pagos en ocho meses. e. Rentarla a $ 250 semanales durante los 3 años efectuando pagos al inicio de cada semana. 3. ¿Qué cantidad pagada durante cada uno de 5 trimestres iniciando en el trimestre 1, es equivalente a $ 50,000 pagados 21 meses después de realizar el primer pago trimestral?, considere una tasa de 24% anual capitalizable trimestral. 4. Se obtiene un crédito refaccionario por 20 millones para la adquisición de maquinaria. El plazo de pago es de 3 años (se harán 36 pagos mensuales), el banco concede 6 meses de gracia en el pago de interés y capital, el primer pago se hará al final del mes 7. ¿cuál será el importe de cada uno de los pagos mensuales considerando una tasa de interés de 18% anual/mensual? 5. Usted compra un automóvil, el cual tiene un costo de $ 300,000. Decide tomar un plan de crédito en el que da 35% de enganche y el resto en 18 pagos mensuales iguales. Además se compromete a realizar 4 pagos adicionales de $ 15,000 al inicio del tercer, sexto, noveno y doceavo mes. La tasa de interés es 18% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto será cada pago mensual? 6. Realizando un sondeo de mercado, usted investiga que un inmueble se vendió a crédito con enganche del 20% y el resto financiado bajo el siguiente esquema de pagos: iniciando al final del primer mes se realizarán 6 pagos de 2,000 dólares, siguiendo otros seis meses con pagos de 2,500 dólares y finalmente 4 pagos mensuales de 3,300 dólares. Si adicionalmente al final de los meses 6, 12 y 17 se realizan pagos adicionales por 8,000 dólares. ¿Qué precio de venta de contado considerará estimando una tasa vigente de 16% anual con capitalización mensual?


Ejercicios de uso de factores múltiples: 1. Carlos compra una propiedad entregando $ 500,000 de contado y pagos anuales diferidos de $ 50,000 durante 6 años iniciando dentro de 3 años. ¿Cuál sería el valor de contado si la tasa de interés considerada es de 8% anual efectiva? 2. Un hombre se propone ahorrar para cuando se jubile, de manera que pueda retirar dinero cada año durante los siguientes 30 años, empezando los retiros dentro de 25 años, el primer retiro será un año después del último depósito. Él calcula que podrá empezar a ahorrar dentro de un año y se propone ahorrar $ 5,000 anuales. ¿Cuál será la cantidad anual uniforme que podrá retirar cuando se jubile si la tasa de interés es del 12% anual? 3. Usted compró un edificio y encontró que el aislamiento del techo era insuficiente. Estimó que con 15 cm. de espuma aislante podría disminuir la cuenta de calefacción en $ 250 mensual y el costo del aire acondicionado en $ 200 mensuales. Suponiendo que los 6 primeros meses son de invierno y los 6 siguientes de verano, ¿Cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar por el aislante si espera conservar el edificio solamente por 2 años?, considere una tasa de 1.5% mensual. 4. Calcular el valor de “x” en el siguiente flujo de caja, de tal manera que el valor total equivalente en el mes 7 sea de $ 8,000, utilizando una tasa interés de 1.5% mensual capitalización mensual. Mes

0

Flujo 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

200

200

200

200

x

x

x

x

500

500

500

5. Una compañía petrolera está planeando vender un conjunto de pozos petroleros en producción. Se espera que los pozos produzcan 100,000 barriles de petróleo por año durante 11 años más. Si el precio de venta por barril es actualmente de 35 dólares, ¿cuánto estaría usted dispuesto a pagar por los pozos si se espera que el precio del barril incremente 3 dólares por barril cada 3 años, con el primer aumento al final del año 2?. Suponga que la tasa de interés es de 12% para los primeros 4 años y 15% por año para los años posteriores, además considere que las ventas se hacen al final de cada año. (convención fin de periodo). 6. Para el siguiente diagrama de flujo de caja, calcule la cantidad de dinero en el año 3 que será equivalente a todos los flujos de caja mostrados, utilizando una tasa de interés anual del 11%.


Esquemas de amortizaciones. Cuando se solicita o se otorga un crédito se debe generar una tabla de amortización o de pagos para poder identificar fácilmente cuánto se está disminuyendo del capital inicial, cuánto se está pagando de interés, cuánto se adeuda del capital en cada lapso, etcétera. Es decir, es el detalle de la transacción mostrado en una tabla. Estudiaremos dos métodos de amortización: con pagos iguales y con pagos decrecientes. Ejercicios: esquemas de amortizaciones. 1. Un cliente del banco solicitó un crédito de 5 años por $ 210,000 a una tasa del 25.9% anual efectivo. Calcule el importe de los pagos anuales y muestre la tabla de amortización correspondiente (pagos decrecientes y pagos iguales). Pagos decrecientes: Periodo

Pago

Interés

Capital

Saldo

0 1 2 3 4 5

$ 0.00

TOTAL

Pagos iguales: Periodo

Pago

Interés

Capital

Saldo

0 1 2 3 4 5

$ 0.00

TOTAL

- 1/3 -

2. Marco solicitó un crédito a 1 año por $ 21,000. El banco se lo otorgó con una tasa anual del 30% capitalizable mensual. Calcule los pagos mensuales que Marco debe hacer y muestre la tabla de amortización correspondiente. (Pagos iguales). Periodo

Pago

Interés

Capital

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$ 0.00

TOTAL

3. Un cliente del banco solicitó un crédito a 6 años por $ 750,000 a una tasa del 20% capitalizable anual. Calcule el importe de los pagos anuales y muestre la tabla de amortizaciones correspondientes (pagos decrecientes y pagos iguales). Pagos decrecientes: Periodo

Pago

Interés

Capital

Saldo

0 1 2 3 4 5 6

$ 0.00

TOTAL

- 2/3 -

Pagos iguales: Periodo

Pago

Interés

Capital

Saldo

0 1 2 3 4 5 6

$ 0.00

TOTAL

- 3/3 -


Ejercicios de gradiente: 1. Benjamín adquiere una maquinaria y estima que tendrá los siguientes costos anuales de mantenimiento para los próximos 5 años: Años de uso Costo anual de mantenimiento 1

$ 12,000

2

$ 15,000

3

$ 18,000

4

$ 21,000

5

$ 24,000

Ahora Benjamín desea hacer un depósito para cubrir los gastos de mantenimiento de los próximos 5 años. Si la tasa de interés está al 6% anual capitalización anula, ¿cuánto tendrá que depositar hoy? 2. Martha contrata un crédito con pagos vencidos decrecientes mensuales por un plazo de 12 meses iniciando con un pago de $ 15,000 y decreciendo en $ 500 pesos mensuales. ¿Cuánto es el importe del crédito si se aplica una tasa de interés del 2% mensual? 3. Miguel acuerda pagar un adeudo en 12 pagos mensuales crecientes con un pago inicial vencido de $ 1,000 creciendo cada uno de los restantes en un 10%. Si la tasa de interés es del 1.5% mensual, ¿cuál fue el importe prestado? 4. A Sandra le ofrecen realizar la siguiente inversión con pagos crecientes y vencidos: Mes

1

2

3

4

5

6

7

Flujo de efectivo $ 1,000 $ 1,500 $ 2,000 $ 2,500 $ 3,000 $ 3,5000 $ 4,000

Podrá retirar el monto acumulado hasta el final del mes 12. Considerando una tasa de interés de la inversión de 1% mensual efectiva. ¿Cuánto podrá retirar al final del mes 12? 5. Encuentre el valor presente de una serie de flujos de efectivo que planea ahorrar Felipe, él puede depositar $ 8,000 al final del primer año y aumentar sus depósitos a una tasa del 15% anual durante 20 años (realiza 20 depósitos). Suponga que la tasa de interés es del 12% anual.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA ECONÓMICA

EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1.- Usted invierte $ 500,000 en una cuenta bancaria. Calcule la cantidad acumulada al cabo de 4 años si la tasa de interés anual capitalizable mensual es: a) 25% R= $ 1,345,248.30 b) 35% R = $ 1,987,394.84 c) 48% R = $ 3,285,264.12 2.- Usted obtiene hoy un préstamo bancario de $ 350,000 a un plazo de un año con interés del 18% anual convertible trimestralmente, ¿Cuánto deberá pagar? R = $ 417,381.51 3.- Francisco invierte $ 500,000 el viernes 26 de octubre del 2007. ¿Cuánto podrá retirar cada uno de los siguientes 52 viernes, si le pagan una tasa de interés de 6.24% anual/semanal? (considere 52 semanas en el año). R = $ 9,924.27 4.- Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversión: a) Depósito a plazo fijo al 10% anual. b) Depósito a plazo fijo al 8% anual capitalizable mensual. c) Depósito a plazo fijo al 8.5% anual capitalizable trimestral. d) Depósito a plazo fijo al 9% anual capitalizable semestralmente. Usted tiene $ 300,000, ¿Cuál será la mejor alternativa, considerando que guarda el dinero durante dos años? R = alternativa (a). 5.- Oscar puede ahorrar $ 100,000 que obtuvo en un sorteo, le ofrecen una tasa de 8% anual capitalización semestral, (calcule tasa efectiva anual). ¿Cuánto tendrá en los siguientes plazos? a) 5 años. R = $ 148,024.43 b) 10 años. R = $ 219,112.31 c) 20 años. R = $ 480,102.06 6.- Usted negocia con su tío la compra de una casa y se compromete a liquidar mediante un pago de $ 300,000 en seis meses y otro de $ 500,000 dentro de 18 meses a partir de hoy, ¿Cuánto tendría que pagar para liquidar su deuda en un solo pago? a) El día de hoy. R = $ 685,188.32 b) Dentro de un año. R = $ 787,966.56 c) En un año y medio. R = $ 845,000.00 La tasa de interés vigente es de 15% anual efectiva. 7.-Calcular el valor futuro de una inversión de $ 120,000 depositada a un plazo de 9 meses si la tasa de interés es del 12% anual capitalizable: a) Anualmente. R = $ 130,645.59 b) Mensualmente R = $ 131,242.23 c) Trimestralmente R = $ 131,127.24 8.- José Ángel tiene un rancho que hoy vale $ 4´300,000, aumenta su valor cada año un 5 % en términos reales, ¿Cuánto valdrá dentro de 6 años? R = $ 5,762,411.25 9.- ¿Cuántos meses se deberá dejar un depósito de $ 50,000 invertido al 13.80% de interés anual capitalizable mensual para poder retirar la cantidad de $ 85,000? R = 46.41 meses. 10.- ¿Qué es más conveniente, invertir en un negocio que garantiza duplicar el capital a los 3 años o bien invertir en una caja de ahorro que ofrece el 30% de interés anual capitalizable trimestral? (Período de análisis 3 años) R = Invertir en la caja de ahorro. - 1/3-



11.- Se ofrecen en venta pies de casa. La empresa promotora ofrece facilidades para pagar el 20% de enganche de manera que se le entreguen 15 mensualidades de $ 2,500 empezando dentro de un mes. ¿Cuál es el valor presente del enganche? y ¿Cuál es el valor total del pie de casa?, si la tasa de interés es de 9% anual capitalización mensual. R = $ 176,712.44 12.- Una mina en explotación genera anualmente flujos de efectivo por $ 600,000, se calcula que se agotará en 5 años. ¿Cuál es el valor presente de los ingresos futuros si se considera una tasa 12% anual efectiva? R = $ 2,162,865.72 13.- Oscar renta en $ 750 dólares mensuales una propiedad, esa cantidad se deposita íntegra en un banco, ¿Cuánto se obtendría al final de un año (fin del mes 12) si el banco paga el 6% anual capitalizable mensualmente? (Considere que las rentas se pagan anticipadas). R = $ 9,297.93 14.- ¿Cuál es el valor presente de un terreno si se entregaron $ 12,000 dólares de enganche, mensualidades vencidas de 350 dólares durante cuatro años y un pago final de 4,000 dólares (mes 49)? Considere un interés de 18% anual capitalizable mensualmente. R = $ 25,872.34 15.- Para reestructurar un crédito de $ 120,000 se conviene en pagar 5 pagos iguales semestrales y un pago único de $ 35,000 un año después del quinto pago semestral, si el interés pactado es del 25% anual capitalizable semestral, ¿Cuánto debe pagar cada semestre? R = $ 30,286.38 16.- Desea vender un terreno y tiene dos clientes: a) Rafael ofrece pagarle en 12 mensualidades vencidas de $ 9,300 b) Alfredo pretende darle 18 mensualidades vencidas de $ 7,000. ¿Cuál oferta le conviene más si los intereses anuales capitalizables mensuales son de 15%? R =La oferta de Alfredo. 17.- ¿A qué tasa de interés se deben hacer los depósitos semestrales vencidos (iniciando en el semestre uno) de $ 5,500 para acumular $ 40,000 en 3 años? R = 7.66% semestral/semestral 18.- Si se adquirió un lote de playa con valor de 24,500 dólares y se pagaron 6 mensualidades vencidas de 5,200 dólares, ¿Qué tasa de interés pagó? R = 7.38% mensual/mensual 19.- El costo anual de una póliza de seguro para un edificio es de $ 12,000 mensuales y se debe pagar por adelantado (anticipado), el interés mensual es de 1.5%. ¿Cuánto debe pagarse hoy para asegurarse por un año? R = $ 132,853.41 20.- Se puede comprar un terreno pagando $ 50,000 de inmediato y haciendo 4 abonos trimestrales consecutivos por la misma cantidad, ¿Cuánto vale el terreno al contado si los intereses son del 24% anual capitalizable trimestralmente? R = $ 223,255.28 21.- La renta de un local comercial es de $ 15,000 mensuales anticipados, al 12% de interés anual capitalizable mensualmente ¿Cuál será la renta anual anticipada? R = $ 170,514.42 22.- Para la compra de un bien que vale $ 80,000 se abonan 7 pagos trimestrales vencidos de $ 12,500, ¿Cuál será la tasa de interés de la operación? R = 2.29% trimestral/trimestral 23.- ¿A qué tasa de interés anual con capitalizaciones semanales, 20 depósitos anticipados semanales de $ 950 acumularán $20,000? R = 0.49% semanal/semanal - 2/3-



24.- Si piensas jubilarte cuando juntes el equivalente a tres millones de pesos actuales y puedes hacer depósitos mensuales de $ 5,000 empezando el próximo mes con una tasa real del 4% anual/mensual, ¿Cuánto tiempo falta para que te puedas retirar? R = 330.13 meses

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Método del Valor Presente Neto Análisis y evaluación de un proyecto individual n St VPN = S o + ∑ t t =1 (1 + i ) Donde: VPN = Valor presente neto S o = Inversión inicial

S t = Flujo de efectivo neto del periodo t n = Número de periodos de vida del proyecto i = Tasa de recuperación mínima atractiva Ejemplo 1: Cierta empresa desea hacer una inversión en equipo relacionado con el manejo de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un valor de mercado de $ 100,000 y representará para la compañía un ahorro en mano de obra y desperdicio de materiales del orden de $ 40,000 anuales. Considere también que la vida estimada para el nuevo equipo es de cinco años, al final de los cuales se espera una recuperación monetaria de $ 20,000. Por último, asuma que la empresa ha fijado su TREMA en 25%. ¿Recomendaría adquirir el equipo? Ejemplo 2. Si la empresa en lugar su TREMA en 25% la hubiera fijado en 40%, ¿recomendaría la adquisición del equipo? Selección de proyectos mutuamente excluyentes Valor presente de la inversión total Ejemplo 3. Una empresa desea seleccionar una de las alternativas de inversión mostradas en la tabla siguiente, suponiendo que dicha empresa utiliza para evaluar sus proyectos de inversión una TREMA de 25%. ¿Cuál alternativa seleccionaría? Alternativas de inversión Año A B C 0 - $ 100,000 - $ 180,000 - $ 210,000 1-5 $ 40,000 $ 80,000 $ 85,000 Ejemplo 4. Cierta empresa desea adquirir un montacargas con el cual agilizará el transporte interno en el almacén de productos terminados, investigaciones preliminares sobre los diferentes montacargas disponibles en el mercado han arrojado los resultados mostrados en la siguiente tabla. Considere que la empresa utiliza una TREMA de 20% y que el servicio que van a proporcionar estos montacargas será requerido por un tiempo de al menos 10 años. ¿Cuál alternativa recomendaría adquirir? Montacargas Año A C Inversión inicial - $ 150,000 - $ 250,000 Vida 5 años 10 años Ahorros netos/año $ 55,000 $ 70,000


Valor presente del incremento de la inversión Pasos a seguir: 1. Poner las alternativas en orden ascendente de acuerdo a su inversión inicial. 2. Seleccionar como la mejor alternativa aquella de menor costo (considerar la alternativa de “no hacer nada”). 3. Comparar la alternativa con la siguiente de acuerdo al ordenamiento del paso 1. La comparación entre estas dos alternativas se basa en determinar el valor presente del incremento de la inversión (flujos de efectivo diferenciales). Si este valor presente es mayor que cero, entonces la alternativa retadora se convierte en la mejor alternativa. 4. Repetir el paso 3 hasta que todas las alternativas disponibles hayan sido analizadas. Ejemplo 5. Evaluar las alternativas del ejemplo 3, mediante el valor presente del incremento de la inversión. Ejemplo 6. Existen tres proyectos mutuamente excluyentes en los cuales solo se tiene información de los costos. Considerando que la empresa utiliza una TREMA de 20%, ¿Cuál alternativa de la siguiente tabla seleccionaría? Alternativas de inversión Año A B C 0 - $ 10,000 - $ 12,000 - $ 15,000 1 - 3,000 - 2,500 - 1,500 2 - 3,500 - 3,000 - 1,500 3 - 4,000 - 3,000 - 1,500 Ejemplo 7. Una empresa usa un valor de TREMA de 10%, desea seleccionar una de las alternativas mutuamente exclusivas de la siguiente tabla, ¿Cuál alternativa seleccionaría? Si la empresa cambiará el valor de la TREMA a 18%, ¿sería seleccionada la misma alternativa? Alternativa Año A C 0 - $ 195 - $ 188 1 $ 150 $ 40 2 $ 40 $ 40 3 $ 40 $ 50 4 $ 40 $ 180 Ejemplo 8. Suponga que cierto proyecto de inversión requiere de una inversión inicial de $ 200,000. Sus gastos de operación y mantenimiento son de $ 20,000 para el primer año, y se espera que estos costos crezcan en el futuro a una razón del 10% anual. La vida estimada del proyecto es de 10 años, al final de los cuales su valor de rescate se estima en $ 50,000. Finalmente, suponga que los ingresos que genera este proyecto son de $ 50,000 el primer año y se espera en lo sucesivo que éstos aumenten a una razón constante de $ 4,000/año. Si la TREMA es de 25%, ¿debería este proyecto ser aceptado?


Ejemplo 9. Una compañía está analizando la posibilidad de comprar un compresor. Para ello ya se han iniciado las investigaciones respectivas y los resultados obtenidos son los siguientes: Alternativa Año Compresor I Compresor II Inversión inicial - $ 100,000 - $ 200,000 Gastos anuales $ 40,000 $ 25,000 Valor de rescate $ 25,000 $ 25,000 Vida 5 años 10 años Si la TREMA es de 20%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada? (Utilice el valor presente del incremento de la inversión). Ejemplo 10. Una compañía desea remplazar una bomba que actualmente está utilizando. Con esta bomba la compañía tiene gastos de operación y mantenimiento de $ 50,000 anuales. Además, se sabe que esta bomba puede ser mantenida en la compañía por cinco años más, al final de los cuales tendrá un valor de rescate de cero. La bomba actual puede ser tomada a cuenta de una nueva. Si la compra de la bomba nueva se realiza, se obtiene una bonificación de $ 25,000 por la vieja. El costo inicial de la bomba es de $ 120,000, su vida económica es de 5 años, su valor de rescate después de cinco años de uso se estima en $ 40,000 y los gastos de operación y mantenimiento se espera que sean del orden de $ 20,000/año. Si la TREMA es de 20%, ¿qué alternativa seleccionaría? Ejemplo 11. Una compañía manufacturera paga al final de cada año, regalías de $ 10 por unidad producida durante el año. La patente estará vigente por un periodo adicional de cinco años. Además, se sabe que la producción estimada de los próximos 5 años será de 20,000, 22,000, 24,000, 26,000 y 28,000. Si esta compañía decide pagar en este momento las regalías de los próximos 5 años, ¿Cuánto tendría que pagar si su TREMA es de 25%? Ejemplo 12. Un ingeniero ha terminado sus estudios en automatización en la UAQ, está contemplando la posibilidad de obtener un posgrado en una universidad privada. Esta persona estima que con el título de ingeniero en automatización, su sueldo en los próximos seis años sería de $ 200,000 el primer año y en los subsiguientes el suelo anual estaría aumentando a una razón de 20% anual. Por otra parte, si esta persona decide estudiar un posgrado en la universidad privada seleccionada, el tiempo que tardaría en obtenerlo sería de un año y los gastos en los que incurriría en ese tiempo serían de $ 150,000. Si el TREMA es de 20% y los aumentos de suelo con el posgrado se estiman en 25 % ¿de qué monto tendría que ser el sueldo del primer año después de terminar el posgrado, de tal modo que a esta persona le sea indiferente estudiarla? (Suponga el mismo periodo de seis años).


Problemas del Método de la tasa interna de rendimiento (TIR) La tasa interna de rendimiento es un índice de rentabilidad. Está definida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente, el valor futuro, o el valor anual equivalente de una serie de ingresos y egresos. Es la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversión, de tal modo que el saldo final de la vida de la propuesta es cero. n St =0 ∑ * t t =0 1 + i

(

)

∑ S (1 + i ) n

t =0

* n −t

t

n

∑ S (P / F , i t =0

t

*

=0 , t )( A / P, i * , n) = 0

donde : S t = Flujo de efectivo neto del período t n = Vida de la propuesta de inversión Significado de la tasa interna de retorno 1. La siguiente tabla muestra dos proyectos de inversión cuyas tasas internas de rendimiento son 15%. Cada uno de esos proyectos pueden ser considerado como un acuerdo en el que una persona ha pedido prestado $ 1,000 comprometiéndose a pagar un 15% sobre el saldo, y reducirlo al final del plazo del crédito. Año Propuesta A Propuesta B 0 -$ 1,000 -$ 1,000 1 350 150 2 350 150 3 350 150 4 350 1150 Evaluación de un proyecto individual 2. Suponga que cierto grupo industrial desea incursionar en el negocio de las camionetas utilizadas en la exploración y análisis de pozos petroleros. La inversión inicial requerida por una camioneta es del orden de $ 4’000,000. Por otra parte, suponga que los ingresos netos anuales que se pueden obtener en este tipo de negocio son de $ 1’500,000. Finalmente, suponga que la vida de la camioneta es de 5 años, al final de los cuales se podría vender en $ 500,000 y que la TREMA es de 20%. 3. Suponga que una persona adquirió un bono por la cantidad de $ 1,000. Si la vida del bono es de 5 años, al final de los cuales recupera el valor de la inversión, y los intereses que se ganan al final de cada año son de $ 200, ¿cuál es la TIR que se obtiene en esta inversión? Proyectos mutuamente exclusivos


4. Se desea seleccionar de entre los siguientes proyectos de inversión, el más adecuado. Suponga una TREMA de 15%. Propuesta A Propuesta B Inversión $ 10,000 $ 15,000 Vida 5 años 5 años Ingresos netos/año 3,344 4,500 5. Se desea seleccionar de entre los siguientes proyectos de inversión, el más adecuado. Suponga una TREMA de 15%. Propuesta A Propuesta B Inversión $ 10,000 $ 15,000 Vida 5 años 5 años Costos netos/año 4,000 2,600


Problemas de Valor Anual Equivalente

⎧ n St ⎫ A = − p ( A / p, i %, n) + ⎨∑ ( A / p, i %, n) + F ( A / F , i %, n) t ⎬ ⎩ t =1 (1 + i ) ⎭ donde : A = Anualidad equivalente p = Inversión inicial S t = Flujo de efectivo neto del año t n = Número de años de vida del proyecto i = Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA) Si consideramos la igualdad ( A / p, i %, n) = ( A / F , i %, n) + i % Tambien puede representarse como : A = S − {( p − F )( A / p, i %, n + f (i %)} 1.- Usted está interesado en adquirir una serie de equipos de computación con los cuales podría proporcionar servicios de consultoría a la pequeña y mediana industria. Asuma que investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente información: los equipos tienen un costo de $ 1’000,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso intensivo se considera despreciable, el mercado de este negocio es tal que la utilidad proyectada en los próximos 5 años es de $ 400,000/año. Finalmente, suponga que usted ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria, la cual le cobrará una tasa de interés anual de 20% y le exige devolver el préstamo en cinco anualidades iguales, ¿realizaría usted la inversión? Nota: revisar el uso del costo de capital en lugar de la TREMA, ¿qué sucede si las utilidades proyectadas en lugar de ser $ 400,000/año sean de $ 340,000/año? Selección de alternativas mutuamente exclusivas Ingresos y gastos conocidos 2.- Suponiendo el mismo ejemplo anterior, comparando dos marcas de equipos que proporcionan servicios adecuados, con una TREMA de 25% y los datos de la siguiente tabla, ¿Cuál marca de equipo seleccionaría? HP IBM Inversión inicial -$ 1’000,000 -$ 1’500,000 Ingresos anuales 700 700 Gastos anuales 300 100 Valor de rescate 300 Vida 5 años 5 años


Solamente gastos conocidos 3.- Suponga que Industrias Tuck, S.A., para efectos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones, esté analizando la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos de los posibles proveedores, arrojaron los resultados de la tabla que se muestra. También suponga que la empresa utiliza para evaluar sus proyectos una TREMA de 25%. ¿Cuál alternativa seleccionaría? Cortadora Cortadora (Estados Unidos) (Alemania) Inversión inicial $ 500,000 $ 800,000 Gastos anuales 150,000 80,000 Valor de rescate 100,000 160,000 Vida 5 años 5 años Vidas de las alternativas diferentes 4.- Del ejemplo anterior, cambiar la vida de la cortadora alemana a 10 años en lugar de 5, aumentar su inversión inicial a $ 900,000, sus gastos anuales a $ 60,000 y su valor de rescate a $ 100,000. Si la empresa desea usar la cortadora durante diez años. ¿Cuál alternativa seleccionaría? Cortadora Cortadora (Estados Unidos) (Alemania) Inversión inicial $ 500,000 $ 900,000 Gastos anuales 150,000 60,000 Valor de rescate 100,000 100,000 Vida 5 años 10 años


Problemas de Evaluación de Proyectos 1. La empresa Forrajes Los Arcos, S.A. de C.V., se dedica a la producción de alimentos balanceados para ganado, lleva seis años en el mercado y ha alcanzado su capacidad total de producción. Ante ello, y dado que le solicitan más forraje, está estudiando la posibilidad de ampliar sus instalaciones, lo cual implica una inversión de $ 2’000,000; al realizar la expansión, se podrá vender la maquinaria antigua en $ 200,000 aunque su valor en libros es de solo $ 100,000 por lo que habrá que pagar un impuesto debido a la utilidad generada en la venta del activo, la tasa del impuesto es de 32%. Los costos variables para producir una tonelada de forraje que incluyen materia prima, energéticos, materiales indirectos y otros, ascienden a $ 600/ton. La mano de obra directa para el 2009 se espera que será de $ 300,000 con incrementos de $ 100,000 cada año. Los sueldos y otros gastos administrativos serán $ 500,000 el primer año, con aumentos de $ 200,000 anuales. El capital de trabajo necesario para el primer año es de $ 500,000 ya que se requiere una rotación mensual. El precio de venta es de $ 1,000/ton. La tasa de depreciación es de 20% anual y se estima un valor de rescate del 10% de su valor de adquisición (valor final en libros de $ 0.00). El precio de venta por tonelada de forraje es de $ 1,000. Las ventas pronosticadas son: Año

2009

2010

2011

2012

2013

Ventas (ton)

6,000

7,000

9,000

10,000

10,000

Sin considerar inflación, calcule los flujos de efectivo proyectados y evalúe el proyecto considerando un costo de capital (TMAR) del 10%. Aplique las técnicas vistas en la evaluación del proyecto. Respuesta: Flujo de efectivo Inicial

2009

2010

2011

2012

2013

-$1,832,000.00

$716,000.00

$1,200,666.67

$1,457,333.33

$1,608,666.67

$2,457,333.33

Valor Presente Neto (VPN) Valor Anual Equivalente (VEA) Tasa Interna de Retorno (TIR)

$3,209,693.94 $846,709.18 57.33%


2. El día de hoy usted compra 10 lotes de 120 m2 cada uno a un precio de $ 50,000 por lote, aceptando el vendedor que los terrenos se le paguen en tres pagos iguales mensuales sin intereses (dando el primer pago en este momento). Esto para iniciar en el segundo mes la construcción de 10 viviendas, mismas que serán vendidas a personas con crédito autorizado por el INFONAVIT. Proyecta que la obra se realizará en cuatro meses, prorrateando el costo de construcción en un 20%, 30%, 30% y 20%, respectivamente por mes. El costo de construcción por vivienda es de $ 90,000. El costo del proyecto (estudios, diseño, etc.) y permisos representa el 10% sobre el costo de construcción pagaderos al final del primer mes. El precio esperado de la venta de cada casa es de $ 205,000. El apartado (enganche) de cada vivienda es de $ 10,000. Se venderán (recibiendo el apartado de vivienda) dentro de 5 meses 3 viviendas, cuatro viviendas el sexto mes y las últimas tres el séptimo mes. El INFONAVIT entregará el importe restante dos meses después de la fecha de apartado. Las comisiones de venta son el 6%, 50% pagadero al apartado y 50% al recibir el importe restante del INFONAVIT. La TMAR es de 12% anual con capitalización mensual. Determine los flujos de efectivo de proyecto y evalúe si es o no atractiva la inversión por las técnicas vistas. Respuesta: Mes 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-$166,666.67

-$436,665.67

-$436,664.67

-$269,997.00

-$179,996.00

$11,555.00

$15,406.00

$578,107.00

$755,408.00

$566,559.00

VPN VME TIR

$315,102.61 $36,785.19 4.33%

Ejercicios de Ingeniería Económica

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