UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
Trabajo encargado
Curso: Est´atica atica
Docente: Ing Nestor Suca Suca
Presentado Por: Edwin Denis Sucasaca Canaza
Puno - Per´ u
Unaa barra barra y un unaa riost riostra ra resist resisten en una fuerza fuerza de 25kN 25kN en la forma que se Ejercicio 1. Un indica la figura. Determinar la componente F u de la fuerza seg´ un un el eje AB de AB de la barra y la componente F v de la fuerza seg´ un un el eje BC de BC de la riostra.
Soluci´ on on
Determinamos los angulos a´ngulos θ y β de de la figura θ =tan = tan
−
1
25 75
θ =18, =18 ,43o
θ + β + β =tan θ + β + β =45o por lo tanto β = 26, 26,27o 1
1
−
75 75
al paralelogramo asi construido se le puede aplicar el teorema del seno para determinar las fuerzas F u y F v ya que se conocen los angulos a´ngulos del tri´angulo. angulo. F u F v 25 = = sen108 sen108,,43o sen45 sen45o sen26 sen26,,57o de donde 25 (sen108 sen108,,45o ) o sen26 sen26,,57 F u =53, =53 ,02 kN F u =
25 (sen45 sen45o ) o sen26 sen26,,57 =39,52 kN F v =39, F v =
bloque de anclaje anclaje de la figura figura se apli aplica can n tres tres fuerz fuerzas as media mediant ntee cable cables. s. Ejerci Ejercicio cio 2. Al bloque Determinar
−→
a. El m´odulo odulo direcci´ on on y sentido (´angulo θ angulo θx, θy y θz ) de la resultante resultante R de las tres fuerzas.
−→
b. El m´odulo odulo de la componente rectangular de la fuerza F 1 seg´ un un la recta soporte de la fuerza F 2 .
−→
−→ −→
c. El ´angulo α angulo α que forman las fuerzas F 1 y F 2
2
Soluci´ on on Determinamos los vectores unitarios
Vector unitario de OA
−→ u = a
(2, (2,4, 2,7, 3,6)
2,42 + 2, 2,72 + 3, 3,62 8 9 12 ua = , , 17 17 17
−→
3
Vector unitario de OB (0, (0,6, 1,8, 2,7) b 0,62 + ( 1,8)2 + 2, 2,72 2 6 9 uv = , , 11 11 11
−→ u = −→
−− −
Vector unitario de OC (3, (3,6, 1,2, 0,9) 3,62 + ( 1,2)2 + 0, 0,92 12 4 3 uc = , , 13 13 13
−→ u = c
−→
−− −
Expresamos las fuerzas en forma vectorial cartesiana
−→ −F → = F −→ 8− → 9 −→ 12 −→k ) = 64−→i + 72−→ u = 136( i + j + j + 96 k 1
1
a
17
17
17
→k ) = 42, −→ −F → = F −→ 2− 9− → −6 −→ −→ 136,36→ − j + 204, u = 250( i + j + 42,45 i − 136, 204,54 k 2
2
b
11
11
11
→k ) = 300−→i − 100−→ −→ −F → = F −→ 12 − 3− → −4 −→ u = 325( i + j + j + 75 k 3
3
c
13
13
13
−→
La resultante R de la tres fuerzas es:
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ R = F + F + F = R i + R j + R k 1
2
x
3
y
z
45,45 + 300 = 409, 409,45N 45N Rx =64 + 45, Ry =72 136, 136,36 100 = 164, 164,36N 36N Rz =96 + 204, 204,54 + 75 = 375, 375,54N 54N
−
−
−
El modulo de la resultante es R =
Rx2 + R + Ry2 + R + Rz2
R = 409, 409,452 + 164, 164,362 + 375, 375,542 R =579, =579,39N 39N
−
Determinamos los angulos
θx =cos = cos
−
1
θy =cos
−
1
θz =cos
−
1
Rx R Ry R Rz R 4
= 45, 45,03
◦
= 106, 106,48 = 49, 49,60
◦
◦
−→
el modulo de la componente rectangular de la fuerza F 1 seg´ un la recta de soporte de la un fuerza F 2
−→ · −→
F 1A = F 1 uA = (64, (64, 72, 72, 96) (
·
8 9 12 , , ) = 136 17 17 17
−→ −→ −F → · −F → α =cos = cos−1 F F
El angulo ´angulo α que forman las fuerzas F 1 y F 2
− 1
2
1
2
12726, 12726,72 136, 136,25
α =cos = cos 1 α =68, =68 ,02
◦
Ejercicio 3. Tres cilindros cilind ros homog´eneos eneos lisos A, B y C estan estan apilados en un cangil´on on ed la forma de V de V ,, tal como se indica en la figura. Cada cilindro pesa 500 N y y tiene un di´ametro ametro de 125mm 125mm.. Determinar Dete rminar el m´ınimo ınimo valor que puede tener el angulo a´ngulo θ para que haya equilibrio.
Soluci´ on on
+
→
F x = 0;N 0;N B senθ
− N senθ = senθ = 0
N B = N C C
5
C C
+
↑
F y = 0;N 0;N B cosθ + cosθ + N N C C cosθ
− W − W − W A
B
C C
=0
(N B + N + N C cosθ = 1500 C )cosθ = N B cosθ = cosθ = 750
DCL(cuerpo A)
De las condiciones de equilibrio tenemos +
+
↑
→
F y = 0;R 0;RAB cos30 cos30 + RAC cos30 cos30
F x = 0;R 0;RAB sen30 sen30
◦
−R
sen30 sen30 = 0 ◦
AC
RAB = R AC
◦
◦
500 2cos30 cos30 500 3 RAC = 3 DCL(cuerpo B ) De las condiciones de equilibrio RAC =
√
+
→
0;N B senθ F x = 0;N
− W = 0 A
◦
− R − R cos60 cos60 250 2 50 N senθ = senθ = R R + √ 3 B
BC
BC
6
AB
◦
=0
De la ultima u ´ltima condici´ cond ici´on on y de N B cosθ = cosθ = 750 se tiene
√ √
RBC 3 + 250 tanθ = tanθ = 750 3 θ =tan = tan
−
1
√ 3 + 250 √ 750 3
RBC
Para que θ sea se a m´ınim ın imo, o, RBC = 0 θ = tan = tan
−
1
√ 250 750 3
θ = 10, 10,89 cuerpos que pesan pesan 750N 750 N y y 1000 N , Ejercicio 4. Dos cuerpos N , respectivamente, se apoyan sobre un cilindro y est´an a n unidos por una cuerda seg´ un se indica en la figura. Hallar las reacciones un del cilindro sobre los cuerpos, la tensi´on o n en la cuerda y el angulo a´ngulo θ. Suponer ausencia de rozamiento en todas las superficies.
Soluci´ on on DCL(cuerpo2)
F x = 0;R 0;R2 senθ + senθ + T T sen sen(90
− θ) − W = 0 2
R2 senθ + senθ + T T cosθ cosθ = = W W 2 F y = 0;Tcos 0;Tcos(90 (90
− θ) − R cosθ = cosθ = 0
(1)
2
Tsenθ = Tsenθ = R R 2 cosθ
DCL(cuerpo1)
7
(2)
F x = 0;R 0;R1 senθ
− Tcosθ = Tcosθ = 0
R1 senθ = senθ = Tcosθ Tcosθ F y = 0;Tsenθ 0;Tsenθ + + R R1 cosθ
(3)
− W = 0 1
Tsenθ + Tsenθ + R R1 cosθ = cosθ = W W 1
(4)
Reemplazando (3) en (1) R2 senθ + senθ + R R1 senθ = senθ =W W 2 (R1 + R + R2 )senθ = senθ =W W 2
(5)
Reemplazando (2) en (4) R2 cosθ + cosθ + R R1 cosθ = cosθ =W W 1 (R1 + R + R2 )cosθ = cosθ =W W 1
6
Dividiendo Dividiendo (5)
÷ (6) (R1 + R + R2 )senθ W 2 = (R1 + R + R2 )cosθ W 1 W 2 tanθ = tanθ = W 1 θ =tan = tan
−
1
θ =36, =36 ,87 en (2) R2 =
W 2 W 1
◦
Tsenθ = Ttanθ cosθ
En (1) Ttanθsenθ + Ttanθsenθ + T T cosθ cosθ = =W W 2 T ( T (sen2 θ + cos + cos2θ) =W 2cosθ =600N T T =600N R2 = 450N 450N 8
R1 =Tcotθ = Tcotθ R1 =800N =800N
Ejercicio Ejercicio 5. El disco circular de la figura pesa 2, 2, 5kN . kN . Determinar la tensiones de los cables A, B y C .
Soluci´ on on
−→ −→ −→ → −k ) −→i − −→ 10(1, 10(1 , 3 j + 1, 1 , 3 −u→ = √ 438 −→ −→ −→ −u→ = (− i −√ j + 2 k ) 6 − → −→ −→ −u→ = 10(−1,3 i√ + j + 1,1,3 k ) 438
Determinamos los vectores unitarios uA ,uB y uC A
B
C
9
Expresar las tensiones y el peso del disco en forma vectorial
−T → = √ 10T 10T
A
A
−→ −→ − −→ j + 1, 1,3 k )
(1, (1,3 i
438 T B T B = ( i j + 2 k ) 6 10T 10T C C T C ( 1,3 i + j + 1, 1,3 k ) C = 438
−→ √ −−→ − −→ −→ −→ √ − −→ −→ −W → = − 2,5−→k (kN (kN ))
−→
Determinamos la resultante y por la condici´ on de equilibrio tenemos on
−→ R =
−→
−→ −→ −→ −→ −→
F = T A + T B + T C C + W = 0
→ −→ 13T 13T T 13T 13T − 10T 10T T 10T 10T − 13T 2T 13T 13T − → → 13T R = ( √ − √ − √ ) i + (− √ − √ + √ ) j + ( √ + √ + √ ) k 438 6 438 438 6 438 438 6 438 A
B
C C
A
B
C C
13T 13T T 13T 13T √ √ √ − − =0 438 6 438 A
B
C C
10T 10T T 10T 10T √ − √ − + √ =0 438 6 438 A
B
C C
13T 13T 2T 2 T 13T 13T √ + √ + √ =0 438 6 438 A
B
De donde tenemos T A =2, =2,012kN 012kN T B =0kN =0kN T C =2,012kN 012kN C =2,
10
C C
A
B
C C
cilindros ros A, B y C de 175N ,, 275N 275N y 700N 700N , Ejercicio 6. Los pesos de los cilind C de la figura son 175N respectivamente. Determinar las fuerzas que ejercen las superficies horizontal y vertical sobre los cilindros A y B . Se suponen lisas las superficies (no hay rozamiento).
Soluci´ on on De los datos de l problema tenemos ra =4cm =4 cm rb =5cm =5 cm rc =8cm =8 cm
De la figura x2 + y 2 =(r =(rb + r + rc )2 x2 + y 2 =132 x = tambi´ mb i´en (16 (16
2
132
−y
2
+ (y (y + 1) 2 =(8 + 4)2 2 + (y (y + 1) 2 =(12)2
− x) − x)
11
de donde tenemos
− 32x 32x + x + x − y + 13 − y 282 − 32 256
256
− 32
132
2
2
2
+ y 2 + 2y 2y + 1 =144
2
+ y 2 + 2y 2y + 1 =144
132 y2 + 2y 2y =0 257y 257y 2 + 282y 282y 23383 =0
− −
y = 10, 10,103 y =9, =9 ,0057
−
para el caso consideramos y = 9,0057cm 0057cm de de donde x = 9,3754cm 3754cm = tan θ =tan
−
1
θ =43, =43 ,85 β =tan
−
9,0057 9,3754
◦
1
β =56, =56,49
10, 10,0057 6,6246
◦
DCL(cuerpo C)
F x = 0;R 0;RBC cosθ
−R
cosβ = 0
AC
RAC cosβ cosθ F y = 0;R 0;RBC senθ + senθ + R RAC senβ RBC =
− W = 0 senβ − W
RAC cosβ senθ + senθ + R RAC cosθ W C C RAC = cosβtanθ + cosβtanθ + senβ senβ 513,1426N 1426N RAC = 513, RBC = 392, 392,8374N 8374N 12
C C
C C
=0
DCL(cuerpo A)
F x = 0;R 0;RAC cosβ
F y = 0;R 0;R3
F x = 0;R 0;R1
F y = 0;R 0;R2
− R = 0 4
R4 = R AC cosβ R4 = 283, 283,2971N 2971N
−R
senβ
AC
− W
A
=0
R3 = 513, 513,1426sen 1426sen56 56,,49 + 175 R3 = 602, 602,8529N 8529N ◦
DCL(cuerpo A)
−R
BC
cosθ = cosθ = 0
−R
BC
R1 = R BC cosθ R4 = 283, 283,2970N 2970N senθ
− W
B
=0
392,8374sen 8374sen43 43,,85 + 275 R2 = 392, R2 = 339, 339,3152N 3152N ◦
13
horizontales Ejercicio 7. A un Anillo situado en lo alto de un poste se aplican dos fuerzas horizontales como se indica en la figura. El poste s´ olo puede transmitir una fuerza axial compresiva. para olo matener en equilibrio al anillo se utilizan dos vientos AC y BC . BC . Determinar la fuerza que transmite el poste y las fuerzas en los dos vientos.
Soluci´ on on Determinamos los vectores unitarios
−→ − 10−→k −u→ = 4 i √ 2 29 −→k − → 2 i − 5 −u→ = √ 29 − → −→ −→ − 4 i + 2 j − 10 k √ u = 2 30 −→ −→ −→ − 2 i + j − 5 k √ 30 u = A
A
B
B
Expresamos las fuerza en forma vectorial
√ T 29 (2−→i − 5−→k ) T −→ −→ −→ = √ (−2 i + j − 5 k ) 30 −→ −R→ = R = R k −F → = −400−→i −F → = −500−→ j
−T → = T = T u A
−T → = T u B
B
A A
=
A
B
B
1
2
1
14
1
Por la condici´on on de equilibrio
T −→ −→ −→ + R −→k − 400−→i − 500−→ √ T 29 (2−→i − 5−→k ) + √ (−2 i + j − 5 k ) + R j = 0 30 −→ 2T 2T 5T 5T −→ T −→ ( √ − √ − 400) i + ( √ − 500) j + (− √ − √ + R ) k = 0
F R = 0;
A
B
1
A
B
B
A
B
29
30
30
29
30
de donde tenemos 2T 2T √ √ − − 400 =0 29 30 A
B
T √ − 500 =0 30 B
5T 5T √ − √ − + R =0 29 30 A
B
1
√ √
T B =500 30N 30N T A =700 29N 29N R1 =6000N =6000N
15
1
aplica una fuerza fuerza de 534N 534N al conjunto palanca-´ arbol, arbol, seg´ un un se indica la Ejercicio 8. Se aplica figura. Determinar la componente escalar del momento en el punto O respecto al eje OB OB..
Soluci´ on on Determinamos el vector unitario C A
−C→A =(−50, 50, 350, 350, −400)mm 400)mm −C→A =(− 1 , 7 , − 2 )m 20 20
5
−−→
el vector unitario uCA
√ 20114 (− 201 , 207 , − 25 )
−→u
CA
=
−→u
CA
=(
1 7 8 − √ 114 , √ , − √ ) 114 114 16
expresamos la fuerza F en F en forma vectorial
−→ →u F =F − −→ 534 7(534) 8(534) F =(− √ , √ , − √ ) 114 114 114 CA
Determinamos el vector unitario OB 3 √ 40157 ( 11 , 0, ) 40 20
−→u
OB
=
−→u
OB
=(
6 √ 11157 , 0, √ 157 )
el vector posici´on on
−→r
OA
=(
11 7 , , 0) 40 20
−→
Luego el momento de la fuerza F respecto F respecto al eje OB es:
−→ · −→ × −→ F ) )
M o = u OB ( r OA
M o =
M o =
11 157 11 40 534 114
√ − √ √ √
0
7 20 3738 114
6 157 0 4272 114
√
− √
17898 − 30527 = −68, 68,4N m ˙ 59660
aplica una fuerza fuerza de 1kN 1kN a a un conjunto palanca-´ arbol, arbol, seg´ un un se indica en Ejercicio 9. Se aplica la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje OC . Expresar el resultado en forma vectorial vectorial cartesiana. cartesiana.
Soluci´ on on 17
−→ −→
Determinamos el vector AB
−AB =(150 → 175, −125)mm 125)mm AB =(150,, 175, −AB → =( 3 , 7 , − 1 )m 20 40
8
El vector unitario AB es:
√ 40110 ( 203 , 407 , − 18 )
−→u
=
−→u
=(
AB
AB
6 7 5 √ 110 , √ , − √ ) 110 110
expresamos la fuerza F en F en la forma vectorial cartesiana
−→ →u F = F −
=(
AB
6 7 5 √ 110 , √ , − √ ) 110 110
−→
determinamos el vector posici´ on on r OA
−→r −→ −→u −→u
OA
= (
9 3 , , 0) 20 8
Determinamos el vector unitario u OC OC
=(0,cos =(0,cos30 30 ,sen30 ,sen30 )
OC
=(0, =(0,
◦
◦
√ 3 1 2
, ) 2
El momento respecto al eje OC es
M OC OC
→u · (−→r =− OC
OA
M OC OC =
× −→ √ √ √ ) = F )
0 9 20 6 110
√ 3 2 3 8 7 110
√
(18 + 45 3) 110 (kN m) 4400
· ·
1 2 0 5 110
− √
tres fuerzas a un soporte en V en V tal tal como se indica en la figura. Las Ejercicio 10. Se aplican tres tres fuerzas se pueden escribir asi en forma vectorial cartesiana:
−→ )N −→ −→ −→ F = (−500 i − 400 j + 300 k )N (0.1) −→ )N −→ −→ −→ F = (600 i − 500 j − 400 k )N (0.2) −→ )N → −F = (300−→i + 450−→ j − 250 k )N (0.3) −→ Sustituir este sistema de fuerzas por una fuerza R que pase por el punto O y un par C A
B
C
18
on on respecto al punto O Soluci´ on on Determinamos los vectores posici´ 1 im 5 6 km OB = 25 9 j m OC = 20
−→r −→r −→r
=
OA
La fuerza resultante es
−→ −→ −→
−→ −→ −→ −→ R = F + F + F −→ −→ −→ −→ R = 400 i − 450 j − 350 k A
B
C
El m´odulo odulo de la fuerza resultante es R =
R2x + R + Ry2 + R + R2z
√
R =50 194 Los angulos a´ngulos directores que situan a la recta soporte de la fuerza son: θx =cos = cos
−
1
θy =cos
−
1
θz =cos
−
1
Rx R Ry R Rz R
1
= cos
−
= cos
−
= cos
−
1
1
√ −√ −√
400 = 54, 54,94 50 194 450 = 130, 130,25 50 194 350 = 120, 120,17 50 194 ◦
◦
◦
el momento M o del par resultante es
−M → =−→r × −→ →r × −→ →r × −→ F + − F + − F −→ 6 −→k × (600−→i − 500−→ −→ 9 −→k × (300−→i + 450−→ −M → = 1 −→i × (−500−→i − 400−→ j + 300 k ) + j − 400 k ) + j 5 25 20 −M → = − 185 1 85 i − 36 j 36 j − 55k 55k(N · · m) 2 −→ determinamos el modulo de M o
OA
A
OB
B
OC
C
o
o
o
M o =
M x2 + M y2 + M z2 19
113,48N 48N m M o = 113,
Ejercicio 11. Una viga esta sometida a un sistema de cargas que se puede representar por el diagrama de cargas de las figuras. determinar, la resultante del sistema de cargas distribuidas localizar su recta soporte respecto al apoyo izquierdo
el area encerrada es 4
F 1 =
w dx
0
4
F 1 =
200x 200x
0
200(16) 2 3200 F 1 = N 3 F 1 =
2
− 25x 25x
dx
− 25(64) 3
determinamos el centro de gravedad de F 1
x dA dA 4 3 x1 = x(200x (200x 25x 25x2) dx 3200 0 4 3 x1 = (200x (200x2 25x 25x3 ) dx 3200 0 3 200(64) 25(256) x1 = ( ) 3200 3 4 5 x1 = m 2 x1 =
−
−
−
determinamos el valor de F 2 F 2 =(400N/m =(400N/m)(2 )(2m m) F 2 =800N =800N x2 =5m =5m la fuerza resultante es R = F = F 1 + F + F 2 5600 R = 3 20
la recta de soporte de la resultante se situa resoecti al apoyo izquiero M A =Rd = Rd = = F F 1 x1 + F + F 2 X 2 3200(5) + 800(5) 3(2) d = 5600 3 25 d = m 7 sometidaa a un sistema sistema de cargas cargas que se puede puede represent representar ar Ejercicio 12. Una viga esta sometid por el diagrama de carga de la figura. determinar la resultante R de este sistema de cargas on on distribuidas y localizar su recta soporte respecto al apoyo izquierdo de la viga Soluci´
Determinamos la fuerza resultante de este sistema 1
F R =
6w dx
0
1
F R =
√
6200 x dx
0
F R =
25600 kN 3
La recta soporte respecto al apoyo izquierdo es
21
F R x =
x dA
1
F R x =
6x(w) dA
0
1
F R x =
√
6x(200 x) dx
0
F R x =200
1
0
F R x =81920 81920 x = F R 81920(3) x = 25600 48 x = m 5
22
3
6x dx 2
