ESTATICA BEDFORD EJERCICIOS RESUELTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL FA

2.2 Se tienen las magnitudes ⎹

α

FA

⎸= 60N y ⎹

FB

⎸= 80N. El ángulo

es de 45°. Determinar gráficamente la magnitud de la fuerza F = 2 -3

FB

FB

y el ángulo entre

y F.

F A = 120 45 °

FB

X

=

F

F=

√ 1202+2402−2 ( 120 )( 240 ) cos 45 °

F = 176.8 120 =

√ 2402+F 2−2 ( 240 ) ( F ) CosX

14400= 57600 + 31258.24 – 84864CosX 84864CosX = 88858.24 - 14400 LB

84864CosX = 74458.24 X=

2.8 La fuerza F de magnitud 8KN de la figura se encuentra en el plano definido por las líneas LA y LB que se intersecan. Suponga que se quiere separa F en una componente vectorial FA paralela al LA y en una F=8KN componente vectorial LB. Determine las magnitudes de F A y FB (a) gráficamente y (b) usando, la trigonometría.

1 MECÁNINCA PARA INGENIEROS LA

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL

30 20

FX=8 Cos(20°) =7.52

LB

FY=8Sen(20)=2.74

3 2

F=8 Componen te2 F 5

Componente 1= FX

Luego Sen(50) =0.77 0.77=2.74/C2 C2=3.56 LA

2.18 Una Fuerza está dada en función de sus componentes escalares por la F x i + F y j . La componente F x =120 lb . La expresión F = componente

Fy

tiene la magnitud

es negativa y la magnitud de F es de 150lb. ¿Qué valor

F y?

120 lb

X lb

F

2 MECÁNINCA PARA INGENIEROS

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL 1502 = 1202 + X 2 22500 = 14400 + 81 00 =

X2

X2

X = 90 lb

2.21 Si FA = i - 4.5j (kN) y FB = -2 i - 2j (kN), ¿Cuál es la magnitud de la fuerza F = 6FA + 4FB?

FA

F = 6 F =

FA

⃗i −4.5 6¿

+ 4

⃗j

F = 6 i⃗ −27 F = −¿

⃗ = i −4.5

2

⃗j

Λ FB

⃗ = −2 i −2

FB

⃗ ) + 4 ( −2 i −2

⃗j−¿

8

⃗i −35

⃗j

⃗i −8

⃗j

)

⃗j

(KN)

⃗ │ F │=

−35 ¿ ¿ (−2)2 +¿ √¿

⃗ │ F │ = 35.06 (KN)


⃗j

Y

20°


2.24 Se ejerce una fuerza F de 60 lb para meter un cajón en un camión. Exprese F en función de componentes escalares.

Fy = 60.Sen20° F = 60 lb

Fx = 60.Cos20° X F = Fx + F = 60.Cos20° i + 60.Sen20 j F = ( 56,38 i + 20,52 j ) lb



2.27 El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i 16j (a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B? (b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A?

a) Distan cia de A a B: | r AB| =

√ 122+(−12)2 | r AB| =

√ 400

= 20m

b) r AB = (-12i + 16j)m

2.30

Se

mide

la

posición

del

punto

A

y

se

determina

que

r OA =400 i+ 800 j ( m) .Se quiere determinar la posición de un punto B de manera que

|r OA + r AB|=1200 m

.¿Cuales son

las coordenadas cartesianas del punto B?


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL La magnitud en OA es: 2 2 |r OA|=√ ( 400 ) + ( 800 ) =894.4 .

El ángulo β se determina por

tan β=

800 =2, β=63.4 ° . 400

El ángulo α es determinado por la ley de cosenos:

cos ∝=

( 894.4 )2 + ( 1200 )2− ( 400 )2 =0.9689 2 ( 894.4 ) ( 1200 )

∝=14.3 ° Entonces. El angulo de θ es:

θ=β ±∝=49.12 ° , 77.74 Las dos posibilidades de las coordenadas en el punto B son:

{

r OB =1200 ( i cos 77.7+ j sin 77.7 ) =254.6 i+1172.66 j(m) r OB=1200 ( i cos 49.1+ j sin 49.1 )=785.33 i +907.34 j( m)

Las dos posibilidades nos da: B (254,7 m, 1172,7 m) B (785,3 m, 907,3 m ) 2.39 Una cuerda ejerce las fuerzas FA y FB sobre una polea. Sus magnitudes son |FA| = |FB| = 80 Ib. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas?



“α”

│

⃗ FA

│=│

⃗ FB

│ = 80 lb.

Λ

⃗ FB │ = │ ⃗ FR │ = ?

SOLUCIÓN:

⃗ FR │ =

│⃗ FA│ ¿ ¿ │⃗ FB│ ¿ ¿ ¿ √¿

│

⃗ FR │ =

80 ¿ ¿ (80)2+ ¿ √¿

│

⃗ F R │ = 150.35 lb.

│


│

⃗ FA

│+│


2.42. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tienen una suma vectorial igual a cero. Si |FB| =800 lb, |FC|= 1000 lb y |FD|= 900 lb, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo α?

SOLUCIÓN :


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL F A . sen α F A =(−F A .cos α ) i⃗ −¿ )

⃗j

=

F B=(−800.cos 70) ⃗i+ 800. sen 70 ¿ ∘ ⃗ ∘ FC =(1000. cos 30 ) i+(1000. sen 30 ) ⃗j

⃗ F D =(900. cos 20∘ )i−(900 . sen 20∘ ) ⃗j

↔

RESPECTO A

Fx

?

⃗j

= =

800 lb.

1000 lb. =

900 lb.

=0:

(−800.cos 70 )+ ( 1000.cos 30 ∘) + ( 900. cos 20∘ )=( F A . cos α ) 1438.13=F A . cos α … … … … .(1)

↔

RESPECTO A

Fy

=0:

F A . sen α ( 800 . sen 70 ) + ( 1000. sen 30 ∘) −( 900. sen 20∘)=¿ ) 943.9=F A . sen α … … … … .(2)

LUEGO: ↔

DIVIENDO (2) / (1) :

943.9=F A . sen α 1438.13=F A . cos α


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL ∘

0.66=tgα ↔ 33.4 =α

│

⃗ F A │ = (943.9) /

│

⃗ F A │ = 1713.56 lb.

(sen 33.4∘)

2.45 Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada. La magnitud de F B es de 60lb. La suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero. ¿Cuáles son las magnitudes de FA y Fc?

∑ F=0 ∑ Fx=0 FA-FC.cos(30°) => FA=FC.cos(30°)

∑ Fy=0 ∑ F C x . sen ( 30 ° )−F B=0

FB

=> Fc= sen 30 °

Calculando la fuerza C:

60 lb =¿ 120 Fc= sen 30 ° Reemplazando en la ecuación 1 : FA=FC. cos(30°) FA=120. cos(30°) FA=103.92lb


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL 2.48 El peso total de un hombre y su paracaídas es |W|=230lb. La fuerza D de arrastre es perpendicular a la fuerza L de elevación. Su la suma vectorial de las tres fuerzas e igual a cero. Cuáles son las magnitudes de L y D?

Y

L

D

L W 90 ° D

W

W= 230 D= 230Cos(70°)=78.66lb L=230Sen(70°)=216.13


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL 2.51 La tensión en el cable AC del velero mostrado es de 300lb.La suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre la parte superior del mástil C por el cable AC y el cable BC del velero está dirigido hacia abajo - cuál es la tensión en el cable AC. - cuál es la fuerza vectorial total que los dos cables ejercen sobre el mástil. 1 C(5.3,1

300l 10.

4

A(9,1. 2)

B(0,0. [(4x)2 +(10.8x)2 ]1/2 =300

A(1,22. 8)

132.64x2 =90000 X=26 ================= ==========

R

[((5)*(26))2 + ((11.2)*(26))2 ] 1/2 =BC C(5.3,1  [((1)*(26))2 + ((22)*(26))2 ] 1/2 =R R=572.59 RESPUESTA 2

B(0,0.


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL 2.54 Sea r el vector de posición que va del punto C de la figura al punto situado a una distancia de s metros del punto A sobre la línea recta que conecta A con B. Exprese r en términos de componentes escalares. (Su solución estará en función de s.)

⃗e AB=

r⃗ AB ⃗r =( B− A ) |⃗r AB| AB

⃗r AB=( B−A )=[ ( 10−3 ) i+ ( 9−4 ) j ]=7 i+5 j ⃗e AB=

7i+5 j

√ ( 7 ) + (5 ) 2

2

=

1 × ( 7 i+5 j ) √ 74

X P=3 m+s

( √774 )=( 3+0.814 s) m

Y P =4 m+ s

( √574 )=( 4+0.581 s ) m

*El vector r que apunta de C a P es entonces:

r= [ ( 3+ 0.814 s−9 ) i+ ( 4 +0.581 s−3 ) j ] m r= [ ( 0.814 s−6 ) i+ ( 0.581 s+ 1 ) j ] m



2.57 La magnitud del vector F= F X i−120 j−90 k ( lb ) ¿Qué valor tiene

es

|F| =130(lb).

Fx ?

F X i 2 +120 j 2 +90 k 2 =1302 F X i 2 +14400+1600=16900 F X i 2 =16900-16000 F X i 2 =900 F X i= √ 900 F X i=30

2.60 Se dan los vectores U = 3i – 2j + 6k y V = 4i + 12j -3k. (a) Determine las magnitudes de U y V. (b) Determine la magnitud del vector 3U + 2V. (a) Las magnitudes: 2 2 2 |U| ¿ √ 3 +12 +6 |U| ¿ 7 |V| ¿ √ 4 +12 +3 2

2

2

|V| ¿ 13



(b) La magnitud del vector 3U + 2V. 3 U +2V

3 ( 3i−2 j+ 6 k ) +2 ( 4 i+12 j−3 k )

( 9 i−6 j +18 k )+ ( 8i +24 j−6 k ) 17 i+18 j+ 12k 2 2 2 | 3 U +2V | ¿ √17 + 18 + 12 =27,51

2.63 El cable 50 lb sobre ángulo 40° y el y es de de F es (a) Exprese

ejerce una fuerza F de el gancho en O. El entre F y el eje x es de ángulo entre F y el eje 70°. La componente z positiva. F en función componentes

de

escalares. (b) Cuales son los cosenos directores de F? Estrategia: como se dan solo dos de los ángulos entre F y los ejes coordenados, determine primero el tercer ángulo. Luego se pueden obtener las componentes de F con las ecuaciones.



Se calcula el ángulo faltante:

cos 2 α + cos2 β+ cos2 θ=1 2

2

2

cos α + cos (40 °)+cos (70° )=1 cos α =√ 1−cos 2 (40 ° )−cos 2 (70° )

cos α =± 0.54 α =cos−1(0.54)

;

α =cos−1(0.54)

α =57 °

α=123 °

⃗ F =F Cosα i+ F Cosβ j+ F Cosθ k

⃗ F =50 cos ( 57 ° ) i+50 cos( 40 °) j+50 cos (70°) k ⃗ F =27.23i+38.30 j+17.10 k

2.69 Un vector fuerza F apunta en la misma dirección que el vector unitario

2 6 3 e= i− j− k (m) . La magnitud de F es de 90KN. Exprese F en terminos 7 7 7 de sus componentes escalares.

2 6 3 e= i− j− → 700lb 7 7 7



√(

2 2 6 2 3 i + j + 7 7 7

2

)( )()

=700

2

2

2

0.08 x + 0.73 x +0.18 x =700 2

0.99 x =700 X=703.53

2 6 3 ( 703.53 )− (703.53 )− ( 703.53 ) T´ = 7 7 7 T´ = 201.005 ´i

´ - 603.02 j

´ - 301.51 K

2.72 Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura precolombina y obtuvieron las dimensiones mostradas. Determine: (a) La magnitud. (b) Los cosenos directores del vector de posición del punto A al punto B.

 


A (0,16,14)m B (10,8,4)m


a)

B−¿ r´ A ´r A −B=´r ¿ ´r B =[ 10i+8 j+ 4 j ]

^

´r A =[ 0 i+16 j+14 k ]

´r A −B=[ 10 i−8 j−10 k ]

|´r A −B|=√(10)2+(−8)2+(−10)2 |´r A −B|=16,25 m b)

Cosθ x =

10 =0.625 16,25

Cosθ y=

−8 =−0.492 16,25

Cosθ z =

−10 =−0.625 16,25

2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea recta AB es paralela al eje y el r OA en función de sus punto B está en el plano x-z. Exprese el vector componentes escalares. Estrategia:

r OA

se puede descomponer en un vector de O a B y en un

vector de B a A. Luego se puede descomponer el vector de O a B en componentes vectoriales paralelas a los ejes x y z.

  

F y =r OA Sen 30 °=20. Sen30 °=10 pies


UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL   

F B=r OA cos 30° =20. cos 30° =17,32 pies

  

F x =F B Sen 30 °=17,32. Sen 30 °=15 pies

  

F Z =17,32 cos 6 0 °=8,66 pies

Expresado en forma cartesiana:

´r OA =[ 15 i+10 j+8,66 k ]

pies

2.81 El cable AB mostrado ejerce una fuerza FAB de 200 Ib en el punto 'A dirigida a lo largo de la linea de A a B. Exprese FAB en función de sus componentes escalares.

rAB = (0 – 6)i + (6 - 0)j + (8 – 10)k = -6i + 6j – 2k La magnitud es |rAB| =

UAB=

√ 62 +62 +22=8.718 pie

−6 i +6 j−2 k 8.718

UAB= -0.6882i + 0.6882j - 0.2294k FAB = |FAB|UAB = 200(-0.6882i + 0.6882j – 0.2294k) FAB = -137.6i + 137.6j – 45.9k



2.84 Considere la torre descrita en el problema 2.83. La magnitud de la F AB es de 2KN. Las componentes x y z de la suma de vectorial de fuerza las fuerzas ejercidas sobre la torre por los tres cables son igual a cero. F AC F AD ¿Cuáles son las magnitudes de ?

√ ( 40 X ) +( 70 X ) +( X ) 2

2

2

=2KN

( 40 X )2 + ( 70 X )2 + ( X )2=4 6500 X

2

=4

X=0.024

´ ´ ´ F AC = -40x i + 70x j k´ -0.96i + 1.68j – 0.096k

√ ( 0.96 ) +( 1.68 ) +( 0.96 ) 2

2

2

√ 0.92+ 2.82+ 0.92 √ 4.66=2.16 KN


– 40jx

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN – HUACHO FACULTAD DE INGENIERÍA E.P INGENIERÍA INDUSTRIAL ´ ´ F AD =-60x i

´ ´ ´ + 70x j+60 x k=F AD

-1.44i + 1.68j + 1.44k

√ (1.44 ) +( 1.68 ) +( 1.44 ) 2

2

2

√ 2.07+2.82+2.07 √ 6.96=2.64 KN


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