Estadística I Ejercicios de distribuciones 3.27. Se diseña un complicado sistema electrónico con cierta cantidad de componentes de seguridad con sus subsistemas. Uno de ellos cuenta con 4 componentes idénticos, cada uno con una probabi lidad de fallar de 0.2 en menos de 1000 horas. El subsistema funcionará si dos de los 4 compo nentes están trabajando. Suponga que cado uno opera de manera independiente. a) Determine la probabilidad de que dos de los cuatro componentes rindan más de 1000 horas. b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione más de 1000 horas. n = 4 ; x = 2 ; p = 0.2 ; q = 1-p ; q = 0.8 P(x) = nCx *(p^x)* (q^(n-x)) P(x) = 4C2*(0.2^29*(0.8^2) P(x) = 0.1536 n = 4 ; x = 4 ; p = 0.2 ; q = 1-p q = 0.8 P(x>=4) = 1-P(x<=3) P(x<=3) = nCx *(p^x)* (q^(n-x)) P(x<=3) = 4C3*(0.2^3)*(0.8^1) P(x) = 0.0256 P(x) = 1-0.0256 P(x) = 0.9744 3.28. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad gastrointestinal es de 0.8. Suponga que se sabe que 20 personas contraen la enfermedad a) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen 14 pacientes? b) ¿Qué probabilidad existe de que se recuperen por lo menos. lO? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen por lo menos 14, pero no más de 18? d) ¿Qué probabilidad hay de que se recuperen 16 como máximo? P(x=14) = 20C14 * (0.8^20) * (0.2^6) P(x=14) = 0.1090 P(x>=10) = 1-P(x<10) P(x<10) = (10C0*(0.8^0)*(0.2^10))+(10C1*(0.8^1)*(0.2^9))+ (10C2*(0.8^2)*(0.2^8))+ (10C3*(0.8^3)*(0.2^7))+ (10C4*(0.8^4)*(0.2^6))+ (10C5*(0.8^5)*(0.2^5))+ (10C6*(0.8^6)*(0.2^4))+ (10C7*(0.8^7)*(0.2^3))+ (10C8*(0.8^8)*(0.2^2))+ (10C9*(0.8^9)*(0.2^1)) P(x<10) = 0.603220 P(x>=10) = 1-P(x<10) P(x>=10) = 0.396779 P( 18>=x>14) = P(x=15)+P(x=16)+ P(x=17)+ P(x=18) P(x>14 ^ x<=18) = (20C15*(0.8^15)*(0.2^5))+ (20C16*(0.8^16)*(0.2^4))+ (20C17*(0.8^17)*(0.2^3))+ (20C18*(0.8^18)*(0.2^2))
1
P(x>14 ^ x<=18 ) = 0.705031 3.29 Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con cinco respuestas posibles, de las cuales sólo una es correcta. Suponga uno quede los alumnos que lo presenta contesta cada una de las preguntas mediante aleatoriedad independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 10 de sus respuestas sean correctas? n=15 P(correcta)=1/5=0.2 P(x>=10)=1-P(x<=0)=0.03529 P(x<=9) =0.964702 P(x=1) =0.31941 P(x=2) =0.23439 P(x=3) =0.2501 P(x=4) =0.4876 P(x=5) =0.1031
P(x=6)=0.04299 P(x=7)=0.01381 P(x=8) =3.45476 P(x=9) =6.71759
3.30. Muchos empresarios se percataron de que algunas personas que contratan no son lo que afirman ser. Detectar aspirantes que dan información falsa en sus solicitudes ha generado un nuevo negocio: el servicio de revisión de credenciales. US. El News and world report (13 de julio de 1981) publicó esta situaciónse destacó con un servicio del tipo mencionado descubrió en un periodo de 2 meses que. 35% de las credenciales investigadas eran falsas. Suponga que usted contrató a cinco empleados la semana pasada y que la probabilidad de que alguno de ellos haya mentido en su solicitud es de 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que los datos proporcionados en por lo menos una de lascocin solicitudes sean falsos? ¿Cuál es la probabilidad de que la información proporcionada en dos o más solicitudes sea falsa? P(x>=5) = 1-P(x<5) P(x<5) = P(0)+P(1)+ P(2) + P(3)+ P(4) P(x<5) = (5C0*(0.35^0)*(0.65^5))+(5C1*(0.35^1)*(0.65^4))+ (5C2*(0.35^2)*(0.65^3))+(5C3*(0.35^3)*(0.65^2))+ (5C4*(0.35)^4*(0.65)^1) P(x<5) = 0.994752 P(x>=5) P(x>=5) P(x>=2) P(x>=2)
= = = =
1-0.994752 0.005248 1-P(x<2) 0.235171
3.31. Muchas compañías de servicios públicos promueven el ahorro de energía ofreciendo descuentos a los consumidores que mantengan el consumo de energía por debajo de ciertas normas de subsidio establecidas. Un informe reciente de la EPA (Environmental Protection Agency) destaca que70% de los residentes de la isla de Puerto Rico redujo el consumo de energía lo suficiente corno para obte ner el descuento. Si se eligen aleatoriamente cinco suscriptores residentes en San .Juan, Puerto Rico, determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) Los cinco reúnen los requisitos para recibir el descuento. b) por lo menos cuatro se hacen merecedores de la rebaja
2
a)
P(x=5) = 5C5*(0.7)^5*(0.3)^0 P(x=5) = 0.1681
b) P(x>=4) = 1-P(x<4) P(x<4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) P(x<4) = (5C0*(0.7^0)*(0.3^5))+ (5C1*(0.7^1)*(0.3^4))+ (5C2*(0.7^2)*(0.3^3)) + (5C3*(0.7^3)*(0.3^2)) P(x<4) = 0.47178 P(x>=4) = 1-0.47178 P(x>=4) = 0.528222 3.32 La probabilidad de que una nueva técnica quirúrgica tenga éxito es de suponga que la operación se realiza cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro. a)¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones tengan éxito 0.8 si p= b) ¿Qué probabilidad hay de que cuatro operaciones tengan éxito p=si0.6 c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos tengan éxito= si 0.3. p n=5 (a) P=0.3 P(x=5)=
5
(0.8)^5(1-0.8)^5-5
= 0.32763
(0.8)^4(1-0.8)^5-4
= 0.2592
5
(b) P=0.6 P(x=4)=
5 4
(c) P=0.3 P(x<2) = P(x<=1) = 0.52822 P(x=1)=
5
(0.8)^1(1-0.8)^5-1
= 0.3605
1
P(x=2)=0.16807 3.33 Una alarma contra incendios emplea tres celdas sensibles a la temperatura que operan de manera independiente, de tal norma que una o varias pueden activarla, La probabilidad de que cada celda active la alarma cuando la temperatura alcanza los 100°C o más pes=de 0,8. Si Y es el número de celdas que activan la alarma cuando la temperatura alcanza los 100
3
C, determine su distribución de probabilidades. Calcule la probabilidad de que la alarma funcione cuando la temperatura alcance los 100°C. n=3 P=0.8 P(x>=1)=1-P(X<=0)=0.992 3 P(x=0)=
0
(0.8)^0(1-0.8)^3-0
= 0.008
3.44. Se descubrió que a determinada concentración una sustancial química, encontrada en agua contaminada, resultó mortal para 20% de los peces que se exponían a ella por más de 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque de agua que contiene esta concentración de químicos. a) Determine la probabilidad de que sobrevivan 14 peces. b) Estime la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan. c) Determine qué probabilidad existe de que cuando mucho sobrevivan 16. d) Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes. a)
P(x=14) =20C14*(0.2)^14*(0.8)^6 P(x=14) = 0.000001664
b)
P(x>=10) = 1-P(x<10) P(x<10) = (20C0*(0.2^0)*(0.8^20))+ (20C1*(0.2^1)*(0.8^19))+ (20C2*(0.2^2)*(0.8^18))+ (20C3*(0.2^3)*(0.8^17))+ (20C4*(0.2^4)*(0.8^16))+ (20C5*(0.2^5)*(0.8^15))+ (20C6*(0.2^6)*(0.8^14))+ (20C7*(0.2^7)*(0.8^13))+ (20C8*(0.2^8)*(0.8^12))+ (20C9*(0.2^9)*(0.8^11)) P(x<10) = 0.9974 P(x>=10) = 0.0026 P(x=16) = 20C16*(0.2)^16*(0.8)^4 P(x=16) = 0.000000013 E(x) = n*p E(x) = 20(0.8) E(x) = 16
son los que sobreviven
V(x) = n*p*q V(x) = (20*0.8*0.2) V(x) = 3.2 la varianza de los peces que sobrevivieron
3.45 . De los donadores de sangre de una clinica, 80% tiene el factor Rh presente en el torrente sanguíneo.
4
a)Si se elige de manera aleatoria a cinco de los donadores, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno carezca del factor Rh? b)Si se selecciona al azar a cinco voluntarios, ¿qué probabilidad hay de que a lo sumo cuatro tengan el factor Rh? c)¿Cuál es la cantidad mínima de donadores que debemos elegir si deseamos estar por lo menos 90% seguros de que por lo menos cinco de los escogidos tienen el factor Rh? a)
P(x>=1) = 1-P(x<1) P(x<1) = (5C0*(0.2^0)*(0.8^5)) P(x<1) = 0.32768 P(x>=1) = 1-0.32768 P(x>=1) = 0.67232
b)
P(x<=4) = 1-P(x>4) P(x>4) = (5C5*(0.8^4)*(0.2^0)) P(x>4) = 0.32768 P(x<=4) = 1-0.32768 P(x<=4) = 0.67232
c)
E(x) = np 0.8 = n*0.1 n=8 3.46. Goransony Hall (1980) explican que la probabilidad de detectar una fisura en el ala de un aeroplano es igual al producto de P1, la probabilidad de encontrar un avión con un ala averiada; P2' la probabilidad de inspeccionar la parte en que se encuentra la fisura, y Por la probabilidad de detectar el daño a) ¿Qué suposiciones justifican la multiplicación de estas probabilidades? b) Suponga queP, = 0.9,P2 = 0.8 Y P3 = 0.5 para cierta flotilla de aviones. Si se inspeccionan tres de los aeroplanos que la integran, determine la probabilidad de detectar una fisura en el ala en por lo menos uno de ellos. porque tanto p1,p2 y p3 que son las probabilidades de las partes averiadas pertenecen a un solo elemento que es el avión b) p1 = 0.9; p2 = 0.8; p3 = 0.5 P(x>=1) = 1-P(x<1) P(x<1) = P(0) (3C0*(0.8^0)*(0.2^3)) P(x<1) = 0.008 P(x>=1) = 0.992 donde se encuentra la fisura P(x>=1) = 1-P(x<1) P(x<1) = P(0) (3C0*(0.5^0)*(0.5^3)) P(x<1) = 0.125 P(x>=1) = 0.875 donde se detecta el daño P(x>=1) = 1-P(x<1) P(x<1) = P(0) (3C0*(0.9^0)*(0.1^3)) P(x<1) = 0.001 P(x>=1) = 0.999 encontrar el ala averiada 3.51.Suponga que 30% de solicitantes de empleo en una industria están capacitados en programación de computadoras. Los candidatos son elegidos al azar entre la
5
población y entrevistados en forma. Determine Ia probabilidad de encontrar en Ia quinta entrevista al primer aspirante de conocimientos en programación. P(x=5) = p*(q)^x-1 P(x=5) = ((0.30)*(0.70^4)) P(x=5) = 0.07203 /// es la probabilidad de encontrar el primer aspirante en la 5º entrevista 3.53. Poco antes de las elecciones presidenciales de noviembre de 1992, en Estados Unidos, una encuesta de Gallup indicó que un porcentaje sin precedentes, casi 73%, de la población adulta no esta satisfecha con la forma en que marchaban las cosas (GallufJ MOthly Poli, septiembre de I5 Suponga que al mismo tiempo usted realiza una encuesta telefónica preguntando aleatoriamente a gente si se siente insatisfecha con el estado del país. Determine la distribución de probabilidades Y , el número de llamadas que se realizan hasta que se encuentra a la primera persona satisfecha . 73% de la población no esta satisfecha, q=0.73; p = 0.27, 27% de las personas satisfechas x=1 primer éxito de persona satisfecha P(x=1) = (0.27*(0.73^0)) = 0.27 P(x=1)= (1-0.27)^1-1
(0.27)=0.27
3.54. Un explorador de petróleo hará una serie de perforaciones en determinada área para localizar el pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un ensayo es de 0.2. a)¿Cuál es la probabilidad de que encuentre un pozo productivo hasta la tercera perforación! b)¿Cuál es la probabilidad de que el explorador no encuentre un pozo productivo si sólo puede perforar a lo más diez pozos? P(x<=3) = P(1)+P(2)+P(3); p = 0.2 y q = 0.8 P(x<=3) = (0.2*(0.8^0))+(0.2*(0.8^1))+(0.2*(0.8^2)) P(x<=3) = 0.488 P(x<=10) = P(1)+P(2)+P(3)+ P(4)+P(5)+P(6)+ P(7)+P(8)+P(9)+P(10); p = 0.8 y q =0.2 P(x<=10) = (0.8*(0.2^0))+(0.8*(0.2^1))+(0.8*(0.2^2))+(0.8*(0.2^3)+ (0.8*(0.2^4))+(0.8*(0.2^5))+(0.8*(0.2^6))+ (0.8*(0.2^7)+(0.8*(0.2^8))+(0.8*(0.2^9)) P(x<=10) = 0.9999 3.55 Sea Y una variable aleatoria geométrica¡¡ con una probabilidad de éxito p. a) Demuestre que para un entero positivo a, P(Y > a) = q b) Demuestre que para los enteros positivos a y b, P(Y> a + b l Y > a) = q h = P(Y > b ) 3.56
6
Si lanzamos diez veces una moneda perfecta y obtuvimos cero caras ¿Cuál es la probabilidad de debemos lanzar la moneda por lo menos dos veces mas para obtener Ia primera cara.
P=1/2 =0.5 P(x=11) =0.5) (1-0.27)^11-1 P(x=12)=(0 .5) (1-0.27)^12-1
P(11<=x<=12)=0.000732421 =0.000488281 =0.00024414
3.57 " Un contador Público halla que en nueve de diez auditorias empresariales se cometieron errores Si, en consecuencia, revisa una serie de compañías, ¿cuál es In probabilidad de q a) la primera cuenta que contiene errores serios sen la tercera contabilidad revisada? b) la primera cuenta con errores serios se encontrará después de revisar la tercera? P = 9/10 =0.9 (a) P(x=3)=(0.9) (1-0.9)^3-1 =0.009 (b) P(x>3)=1-P(x<=3)=1-0.999 =0.001 P(x=1) = 0.9 P(X=2) = 0.09 P(x=3) = 0.009 3.58 ¿cual es la media y la desviación estándar de numero de cuenta que deben revisarse para determinar la primera que tiene errores considerables? E(x) = 1/P =1/0.9 =1.11 V(x) =(1-P)/P^2=(1-0.9)/(0.9)^2=0.1235 S = (0.1235)^1/2 = 0.351426
3.59 La prob a b ilida d de que u n clie nte lle gue al m o stra do r de un a tie nd a de abarrote e n cua l quie re r pe riodo de un segundo es de 0.1. Suponga que los compradores se presentan aleatoriamente en grupo, por lo que la llegada de uno de ellos en un segundo en particular es independiente de la llegada de los otros. a) Determine la probabilidad de que el primer comprador se presente durante el tercer intervalo de un segundo b) determine la probabilidad de que el primer cliente no se presente en el mostrador hasta al menos el tercer intervalo de un segundo. P=0.1 (a) P(x=3)= (0.1) (1-0.1) ^3-1 =0.081 (b) P= (0.9) P(x<=3) =0.999 P(x=1)=(0.9) (1-0.9)^1-1 =0.9 P(x=2)=(0.9) (1-0.9)^2-1 =0.09 P (x=3)=(0.9) (1-0.9)^3-1 =0.009
7
3.60. En una población,60% de los consumidores dice preferir un dentífrico marca A. Si se entrevista en forma aleatoria a un grupo, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar exactamente a cinco personas para encontrar al primero que prefiere laA? marca ¿Cuál es la probabilidad de que haya que entrevistar por lo menos a cinco consumidores?
P(x=5) = (0.6*(0.4^4)); P(x=5) = 0.01536
p = 0.6 y q = 0.4
P(x>=5) = 1-P(x<5) P(x<5) = P(1)+P(2)+P(3)+P(4) P(x<5) = (0.6*(0.4^0))+(0.6*(0.4^1))+(0.6*(0.4^2))+(0.6*(0.4^3) P(x<5) = 0.9714 P(x>=5) = 1-0.9714 P(x>=5) = 0.0256
3.61 en una encuesta sobre un tema controversial se pregunta por ejemplo ,” ¿alguna vez ha fumado mariguana ¿ mucha gente prefiere responder que no deduzca la distribución de probabilidad para y. que es el numero de persona que sea necesaria entrevistar para obtener una sola respuesta afirmativa , sabiendo que 80% de la población respondería veridicamente “ no ”a la pregunta y que de 20% que debería contestar afirmativamente ,70miente. P(no)=0.8 P(si) =0.20
P(miente)=0.70 14% P (verdad) =0.30 6% P(y=1)=(0.06) (1-0.06)^1-1 =0.06
3.62. Dos personas se alternan para lanzar un dado equilibrado hasta que una obtiene un 6. Comienza el individuoA, a éste le siguen, A lanza en tercer lugar, y así sucesivamente. Si A arroja el primer 6, ¿cuál es la probabilidad de que n obtenga el primer 6 en su segundo lanzamiento (es decir, en el cuarto lanzamiento general)? P(x obtenga 6 ) = 1/6 ; p = 0.1666 ; q = 0.8333 P(x=4) = (0.1666*(0.8333^3)) P(x=4) = 0.964 3.63¿ cuantas veces debe usted esperar lanzar una moneda para obtener la primera cara?
8
P= ½ =0.5 E(x)= 1/P =1/0.25 =2 3.64 ¿ el explorador perfora varios pozos hasta localizar uno productivo. ¿Cuantas perforaciones deberías esperar hacer? Interprete su respuesta en forma intuitiva. F(x) = 1/P =1/o.2 =5 3.72. Se somete a los empleados de una empresa que fabrica material aislante a un análisis para d e t e c ta indicios r de asbesto en los pulmones. Después se solicita a la empresa que envíe a tres de los trabajadores cuyos resultados hayan sido positivos a un centro médico para que se les practiquen mas pruebas. Si 40% de los empleados muestran resultados positivos de asbesto en los pulmones, mine la probabilidad de que se tenga que examinar a diez operarios para encontrar tres con re dos positivos. x = 10; r = 3; p = 0.4; q = 0.6 P(x=10) = (x-1)C(r-1)*par*(q^(x-r)) P(x=10) = (9C2*(0.4^3)*(0.6^7)) P(x=10) = 0.06449 3.73. Refiérase al ejercicio 3.72. si cada examen cuesta 20 dólares , calcule el valor esperado y la varianza del costo total de las pruebas que es necesario realizar para detectar los tres que dan resultados positivos….
3.74 Suponga que10% de los motores armados en una línea de montaje están defectuosos. Si seleccionan en forma aleatoria uno por 1 y se prueba, ¿qué probabilidad hay de localizar el primer. motor que no tiene defecto en el segundo ensayo? x = 2; r = 1; p = 0.10; q = 0.9 P(x=2) = (x-1)C(r-1) *(q^(x-r)) *p^r P(x=2) = (1C0*(0.1^1)*(0.9^1)) P(x=2) = 0.09 3.75. Remitase al ejercicio 3.74. Encuentre la probabilidad de localizar el tercer motor sin defecto: a)en el quinto ensayo. b)en el quinto ensayo o antes. En el quinto ensayo. P(x=5) = (4C2*(0.1^2)*(0.9^3)) x = 3; r = 5 P(x=5) = 0.04374 b)
En el quinto ensayo o antes.
P(x=5 o antes) =2C2*(0.1^0)*(0.9^3))+(3C2*(0.1^1)*(0.9^3)) +(4C2*(0.1^2)*(0.9^3)) x = 3,4,5; r = 3 P(x=5 o antes) = 0.99144
9
3.76. Remitase al ejercicio 3.74. Determine la media y la varianza del número de ensayo en el que se localiza: A ) el primer motor sin defecto. E(x) = r/p ; r=1 E(x) = 1/0.9 = 1.11 V(x) = rq/p^2 V(x) = (1*0.1)/(0.9^2)
= 0.123
b) El tercer motor sin defecto. E(x) = r/p` r=3 E(x) = 3/0.9 = 3.33 V(x) = rq/p^2 V(x) = (3*0.1)/(0.9^2)
= 0.37
3.77. Refiérase al ejercicio 3.74. Si los dos primeros motores probados estaban defectuosos. cual es probabilidad de que se tengan que probar por lo menos dos o mas antes de localizar el primero que no tenga defecto? x = 3; r = 2 P(x) = 2C1*(0.1)^1*(0.9)^2 P(x) = 0.1 3.78 Las líneas telefónicas de una oficina de reservaciones de una línea aérea están ocupadas alrededor del 60% del tiempo. a) Si usted llama a esta oficina, ¿Cuál es la probabilidad de que entre su llamada en el primer intento?¿De que entre en el segundo? ¿ O en el tercero? b) Si usted y un amigo deben Lamar a esta oficina,¿Cuál es la probabilidad de que tengan que hacer cuatro intentos para lograr comunicarse?
P=0.4 (a)
K=1
P(x=1) = 1 - 1
X=1,2,3
0.4 1 (1 – 0.4)1-1
=0.4
0.4 1 (1 – 0.4)2-1
=0.24
0.4 1 (1 – 0.4)3-1
=0.288
1 - 1
P(x=1) = 2 - 1 1 - 1
P(x=1) = 3 - 1 1 - 1 (b) P =0.4
K =2
X=4
10
P(x=1) =
4 - 1
0.4 2 (1 – 0.4)4-1
=0.1728
2 - 1
3.84. Una urna contiene diez canicas. de las cuales cinco son verdes, dos azules y tres rojas. Se van a extraer tres canicas de la urna, una por una sin reemplazo ¿Qué probabilidad hay de que las tres que se saquen sean verdes? 5 verdes, 2 azules y 3 rajas = 10 N = 10; n = 3; r =5; x =3 P(x) = (rCx*(N-r)C(n-x))/NCn P(x=3) = (5C3*5C0)/10C3 P(x=3) = 0.083 3.85. En un almacén hay diez impresoras, de las cuales cuatro están defectuosas. una empresa escoge cinco máquinas al azar, suponiendo que todas funcionan. ¿Cual es la probabilidad de que las cinco estén en buen estado? N = 10; n = 5; r =5; x =5 P(x) = (rCx*(N-r)C(n-x))/NCn P(x=5) = (6C3*6C0)/10C5 P(x=5) = 0.023 3.86 La compañía repara la impresora defectuosa a un costo de 50 dólares cada una. Determine la media y la varianza del costo total de reparación.
3.87. Un grupo de seis paquetes de programas para resolver problemas de programación lineal se clasifi caron del número I al 6 (del mejor al peor). Una empresa de ingenieros, que ignora la clasificación, elige aleatoriamente y compra dos paquetes. YesSiel número de paquetes adquiridos, los cuales pueden estar clasificados 3,4, con 5 o 6, proporcione la distribución de probabilidades de Y. N = 6; n = 2; r =4; x =0,1,2 P(x) = (4Cx*2C(2-x))/6C2 3.88 Una corporación muestra sin reemplazo n=3 empresa para decidir a cual le comprara suministros. La muestra se tomara de una población de seis compañías, de las cuales 4 son locales y dos son foráneas. Denote por y el numero de empresa foráneas entre las 3 que se eligen. a) determine p( y=1). b) Encuentre p(y>=1) c) Determine p(y>=1).
11
3.89 Las especificaciones exigen que se someta a prueba a una resistencia termica entre los 9000 y los 10000 ohms a 25C . se dispone de diez , resistencia ,entre las cuales se van a elegir 3 para utilizarse . Si y es la cantidad de resistencias de las 3 elegidas que se ajustan a las especificaciones , determine la distribución de probabilidad de y (en forma tabular) con las siguientes condiciones: a) hay 2 resistencias entre las disponibles que no cumplen las especificaciones. b) Entre las 10 resistencias de que se dispone, 4 que no se ajustan a las especificaciones. 3.91 Un jurado se integro con 6 persona elegidas de un grupo de 20 candidatos, de los cuales eran afro americano y 12 blancos. se supone que se selecciono a los miembros en forma aleatoria , pero solo uno es afro americano .¿ cree que haya alguna razón para dudar de la aleatoriedad de la selección ?
3.92 Si el proceso de selección fuera aleatorio, ¿cual seria la media y la varianza del numero de miembros afroamericanos que forman parte del jurado?
3.93. Suponga que un radiorreceptor tiene 6 transistores, dos de los cuales están defectuosos. Se eliga tres al azar, se retiran del aparato y se revisan. Si Y es el número de piezas con defecto observa y si Y = O , 1 o 2, determine la distribución de probabilidad para Y. Exprese sus resultados de manera gráfica en un histograma de probabilidad
N = 6; n = 2; r =3; x =0,1,2 P(x=0) = (3C0*3C2)/6C2 P(x=0) = 0.2 P(x=1) = (3C1*3C1)/6C2 P(x=0) = 0.6
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
P(x=2) = (3C2*3C0)/6C2 P(x=0) = 0.2
0.1 0
12
1
2
3.94. Haga una simulación del experimento descrito en el ejercicio 3.93 marcando seis canicas o monedas manera que dos representen piezas defectuosas y cuatro piezas sin imperfecciones. Coloque canicas en un sombrero, revuélvalas, extraiga tres y anote Y, el número de piezas defectuosas observadas. Vuelva a colocar las canicas en el sombrero y repita el proceso hasta obtener n = 100 resultados para y. Construya un histograma de frecuencias relativas para esta muestra y compárelo con la distribución de probabilidad poblacional (ejercicio 3.93) .. N = 6; n = 3; r =2; x =0,1,2
0.6
P(x=0) = (2C0*4C3)/6C3 P(x=0) = 0.2
0.5
P(x=1) = (2C1*4C2)/6C3 P(x=0) = 0.6 P(x=2) = (2C2*3C1)/6C3 P(x=0) = 0.2
0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
2
3.95. En una linea de producción de robots industriales se pueden ensamblar cajas de engranajes en minuto cada una, cuando existen las perforaciones adecuadas, y en 10 minutos si es necesario volver a perforadas. En el almacén hay 20 cajas de engranajes: 2 con perforaciones mal hechas, entre que sc tienen que elegir cinco para instaladas en los siguientes cinco robots. a) Calcule la probabilidad de que 5 cajas de engranajes ajusten correctamente 1 » Determine ) la media, la varianza y la desviación estándar del tiempo que requiere instalar la cajas de engranajes N = 20; n = 5; r =18; x =5 P(x=5) = (15C5*5C0)/20C5 P(x=5) = 0.553 b)
E(x) = n*(r/N) E(x) = 5*(18/20) E(x) = 4.5 V(x) = n*(r/N)*((N-r)/N) V(x) = 4.5*(2/20) V(x) = 0.45
3.100
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3.98 . determine la probabilidad de que exactamente 2 clientes lleguen dentro de un intervalo de 2 horas: a) entre las 14:00 y 16:00 horas(un periodo continuo de 2 horas) b) entre las 13:00 y 14:00 horas o entre las 15:00 y 16:00 horas (2 periodos separados de una hora , que suman 2 horas).
3.101. La cantidad de veces que se equivoca una mecanógrafa tiene una distribución de poisson con un promedio de 4 errores por cuartilla si excede este número. Debe volver a menografiar la pagina completa ¿que probabilidad hay de que no necesite repetirlas λ = 4; x = 0,1,2,3,4; P(x<=4) = (e^(-λ)*λ^x)/x! P(x<=4) = P(0)+ P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4) P(x<=4) = 0.018315+0.073262+0.146525+0.195366+0.195366 P(x<=4) = 0.628834 3.103. El número de nudos que hay en cierto tipo de madera tiene una distribución de Poisson con un promedio de 1.5 nudos por 10 pies cubicos. Calcule la probabilidad de que un trozo de madera de 1O pies cúbicos tenga por lo menos un nudo. λ = 1.5; x = 0 P(x>=1) = 1-P(x<1) -> (e^(-λ)*λ^x)/x! P(x<1) = P(0) P(x<1) = 0.223 P(x>=1) = 0.7768 3.104. la cantidad promedio de automóviles que pasa por un túnel es de uno cada periodo de 2 minutos el paso de muchos vehiculo en un periodo breve hace que sea peligroso recorrerlo. Determine la probabilidad de que el número de automóviles que pasan por alli durante un periodo de 2 minuto sea superior a tres: ¿Es conveniente usar la distribución de Poisson para resolver este problema λ = 2; x = 0,1,2 P(x=0,1,2) = P(0)+P(1)+P(2) P(x=0,1,2) = e^-2+2*e^-2+e^-2 P(x=0,1,2) = 0.5413
3.106. Considere un experimento binomial con n = 20 Y P = 0.05. Utilice la tabla 1 del apéndice III para calcular las probabilidades binomiales Yde= O , 1, 2, 3, 4. Estime las mismas probabilidades mediante la distribución de Poisson Acon .= np Y compare los resultados.
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λ = n*p; n = 20; p = 0.05 x = 0,1,2,3,4 P(x=0,1,2,3,4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) P(x=0,1,2,3,4) = e^-1+e^-1+e^-1/2+e^-1/6+e^-1/24 P(x=0,1,2,3,4) = 0.996 3.107 un vendedor descubre que la probabilidad de hacer una venta en una sola entrevista con clientes es de 0.03 aproximadamente. Si se acerca a 100 posibles clientes .¿ cual es la probabilidad de hacer por lo menos una venta?
3.109 La probabilidad de que un ratón vacunado contraiga cierta enfermedad es de 0.2. Mediante la distribución de polisón calcule la probabilidad de que a lo mas 3 de 30 ratones inoculados enfermen.
3.110 sea y una distribución de poisson con media a .estime e | y( y -1 )| y utilice el resultado para demostrar que v(y) =
3.111. El número de defectos Y por pie en la producción diaria de cierto tipo de cuerda tiene una distribución de poisson con media A = 2. Las utilidades por pie que se obtienen al venderla están represen t adas por X, donde X = 50 – 2y – y^2. Calcule las ganancias esperadas por pie. E(x) E(x) E(x) E(x)
= = = =
E(50-2x-x^2) 50E(1)-2E(x)-E(x^2) 50 –2(2) –6 40
V(x) = E(x^2)-(E(x))^2 E(x^2) = V(x)+(E(x))^2 E(x^2) = µ + µ ^2 = 2+4
= 6
E(x) = sqrt(E(x^2)-V(x)) E(x) = sqrt(µ ^2 - µ ) =
sqrt(6-2 ) = sqrt(4) = 2 3.112 el propietario de una tienda saturado su almacen con cierto articulo y decid lanzar la siguiente promocion para reducir su invierno . el precio del articulo es de 100 dolares .
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por cada liente que lo compre en un dia determinado , el dueño reducira su precio a la mitad . de modo que el primer cliente pagara 50 por el , el segundo 25 , y asi sucesivamente . suponga que la cantidad de clientes que adquieren el articulo en el transcurso del dia tienes distribucion de poisson con una media de a) calcule el costo esperado del articulo al final del dia .[sugerencia : el costo del articulo al final del dia es de 100(1/2) donde y representa la cantidad de clientes que lo compran.] 3.113 un fabricante de productos alimenticios utiliza una maquina de extrusión ( para elaborar bocadillos) que generen utilidades a razón de 200 dólares por hora , sin embargo , la maquina se descompone un promedio de dos veces al día . si y representa el numero de averías por día , el ingreso diario que genera la maquina esta dado por r=1600=50y^2. calcule el ingresó diario esperado.
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