Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.1 Clasifique Clasifique las siguiente siguientess señales como como señales señales de energía energía o señales de potencia. potencia. Encuent Encuentre re la Energía normalizada o la Potencia normalizada de cada una. f 0 t ) a) x(t ) = A cos( 2π
E X
∞
∫ = ∫
E X =
2
x (t ) dt
−∞ ∞
2
−∞
A cos
2
2
− ∞ < t < ∞
para ∞
f t ) ) dt ∫ ( A cos( 2π (2π f t ) dt = A ∫ cos (2π f t )dt E X =
2
0
−∞
2
0
∞
u = 2π f 0 t
2
0
−∞
∞
2
du = 2π f 0 t ∞
2
1 A 1 1 E X = cos (u )du = u + en( 2u ) f 0 t + en( 4π f 0 t ) π = ∫ 2π f 0 −∞ 2π f 0 2 4 f 0 4 −∞ 2π −∞ A
E X
∞
A
2
A 2 1 A 2 f 0 ( ∞ − ( −∞) ) + en(4π f 0 ∞) − en( 4π f 0 ( − ∞) ) = π = ∞−0 2π f 0 4 f 0 2π
[
]
[
]
du
= 2π f 0t
E X = ∞ T
1 " X = T
1 x (t ) dt = − T 2
∫
2
2 T
" X
= =
∫ ( A cos(2π f t )) 2 T
−
0
2
dt
= 2π f 0t
u
2
T
T
1 A 2 1 1 2 2 2 cos ( u ) du u en ( 2 u ) = + T −T − T 2π f 0 4 2 2
1 A 2 " X = T 2π f 0 " X
T
∫
2
T
1 A 2 1 2 f t en ( 4 f t ) π π = + 0 0 −T T 2π f 0 4 2
T 1 A 2 T T 1 T π f 0 + + en 4π f 0 − en 4π f 0 − T 2π f 0 2 2 2 4 2 1 A 2 T 2π f 0
[π + 0 + 0] =
A 2
" X
2
=
A 2 2
T = T
0
=
1 f 0
[! ]
De acuerdo a la teoría es una señal de potencia
T 0 T 0 1 A cos(2π f 0t ) para − ≤ t ≤ donde T 0 = b) x(t ) = 2 2 f 0 0 en otro cao E = ∫ x (t )dt E = ∫ ( A cos(2π f t ) ) dt T 0
∞
X
2
−∞ T 0
E X
E X
= ∫
2 T 0
−
=
2
2 T 0
X
−
0
2
A cos (2π f 0 t )dt = A 2
2
T 0
2
2
A
2
T 0
2π f ∫
2 T 0
0
−
2
cos (u )du
2
=
2
∫
2 T 0
−
2
cos (2π f 0 t )dt
= 2π f 0 t
=
π f t + 1 en(4π f t ) 2 0 0 2π f 0 4 −T 0
du
= 2π f 0 t
2
1
T 0
1 2 u en ( 2 u ) + T 0 2π f 0 2 4 − A
u
2
A
2
T 0
2
T 0 T 0 1 T 0 T 0 4π f 0 − en 4 f en π + − π f 0 − − 0 2π f 0 2 2 4 2 2 2 2 2 A 1 A 1 A E X = f 0 ( T 0 ) + [ en( 2π f 0T 0 ) − en( − 2π f 0T 0 ) ] = [π + 0] π π + [ en( 2π ) ] = 2π f 0 4 2π f 0 2 2π f 0 E X
=
A
2
2
E X
=
A T 0 2
[ % / #$ ]
Capitulo I de Bernard Sklar
" X
" X
= T lim →∞
x T ∫
= T lim →∞ = T lim →∞ 0
" X
2 T 0
−
0
" X
T 0
1
= T lim →∞ 0
2
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
(t ) dt = lim
T 0 →∞
2
1 A 2 T 0 2π f 0 1 A 2 T 0 2π f 0 1 A
2
T 0 2π f 0
T 0
∫
2 T 0
−
T 0
1
( A cos(2 f t )) T ∫ 2 T 0
−
0
u = 2π f 0 t
2 u +
1 2 en( 2u ) 4 −T 0
2
du = 2π f 0 t
2
cos 2 (u ) du = lim
T 0 →∞
2
dt
π 0
1 A 2 T 0 2π f 0
T 0
1
= T lim →∞
T 0 T 0 1 T T π f 0 + + en 4π f 0 0 − en 4π f 0 − 0 2 2 4 2 2
[ + 0 + 0] = lim →∞ π
T 0
A
2
" X
2
=
A
2
2
[! ]
No es de energía ni de potencia
A exp(− at ) para t > 0, a > 0
x(t ) =
c)
0
en otro cao
∞
E X
= ∫ −∞ x 2 (t )dt
E X
= A 2 ∫ 0 exp( − 2at )dt
E X
= A
u
= −2at
A 2
∞
E X
= A
du
= −2adt A 2
∞
∫ exp( − 2at )dt = − 2a ∫ exp( u) dt = − 2a [exp( − 2at ) ]
A
=−
" X
∞
= ∫ 0 A 2 ( exp( − at ) ) 2 dt
0
E X
" X
E X
∞
2
2
2a 2
0
A
∞ 0
2
[exp( − 2a∞) − exp( 2a0)] = − 2a [0 −1] [ % / #$ ]
2a
1
T
1
T
= T lim →∞
x (t ) dt = lim ∫ A ( exp( − at ) ) dt T ∫ T
= T lim →∞
1
2
2
T →∞
0
A T
2
2
2
0
T
2
0
2
∫ exp( − 2at ) dt 2
0
u = −2at
du = −2adt
T A2 A2 − 2a T − exp( 0) 2 = − [ " exp( − 2at ) ] 0 lim exp X = lim − T →∞ 2aT T →∞ 2 aT 2 A2 A2 = − − ∞ − [ [ ] ( ) " exp( − aT ) − 1] lim exp a 1 X = lim − T →∞ 2a∞ T →∞ 2 aT " X = 0
Por lo tanto es una señal de Energía d) x(t ) = cos(t ) + cos(2t )
para
− ∞ < t < ∞
1 A 2 T 0 2π f 0 T 0
=
π f t + 0 1 f 0
T 0
1 2 en( 4π f 0 t ) 4 −T 0 2
Capitulo I de Bernard Sklar
E X
∞
= ∫ −∞ x 2 (t )dt
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
E X
∞
= ∫ −∞ ( cos(t ) + cos(2t ) ) 2 dt
E X
= ∫ −∞ (cos 2 (t ) +10 cos(t ) cos(2t ) + 2 cos 2 (2t ))dt
E X
= ∫ −∞ cos 2 (t )dt +10∫ −∞ cos(t ) cos(2t )dt + 2∫ −∞ cos 2 (2t )dt
∞ ∞
∞
∞
∞ ∞ ∞ 1 1 en( − t ) en( "t ) 2 1 E X = t + en( 2t ) +10 + + t + en( 4t ) 4 ! 2 −∞ − 2 −∞ 2 4 −∞ 1 1 en( ∞) − en( − ∞) + en("∞) − en( − "∞) E X = ∞ + ( en( 2∞) − en( − 2∞) ) +10 4 2 ! ! 2 2 2 1 + ∞ − ∞ + ( en( 4∞) − en( − 4∞) ) 2 4 2 1 E X = ∞ + 0 + 0 +10( 0 − 0 + 0 − 0) + E X = ∞ ( ∞ − ∞ + 0 − 0) 2 2
" X " X
1
T
1
T
( cos t + cos( 2t ) ) T ∫
= T lim →∞
x T ∫
= T lim →∞
(cos (t ) + 10 cos(t ) cos(2t ) + 2 cos (2t ))dt T ∫
2 T
−
1
2
(t )dt = lim
T →∞
2
2 T
−
2
dt
2
T
2 T
−
2
2
2
T T T 2 2 2 2 2 = + + " lim cos ( t ) dt 10 cos( t ) cos( 2 t ) dt 2 cos ( 2 t ) dt T X ∫ −T 2 ∫ −T 2 T →∞ T ∫− 2 T T T 2 2 1 1 1 en( − t ) en( "t ) 2 2 1 Es una una + " t + en2t T + 10 T + t + en( 4t ) T X = lim T →∞ T 2 4 ! − 2 4 − − 2 − 2 2 2 "T en 1 T 1 T 1 2 2 + T + en( 2T ) " + enT + 10 en + X = lim T →∞ T 2 2 " 2 4 2 1 enT 10 T 10 "T 2 2 1 2 + + + + + = 1"[! ] " en + en en( 2T ) " X = lim X = T →∞ 2 2T T 2 2 2 "T 2 2 #T
1
señal de potencia$
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.2.- determine la densidad de energía espectral de un pulso cuadrado donde rect (t / T ) es igual a 1 para − T / 2 ≤ t ≤ T / 2 e igual a cero para cualquier otro valor. Calcule la energía normalizada en el pulso.
1 x(t ) = rect (t / T ) = 0
− T / 2 ≤ t ≤ T / 2 %tro &alor a).'plicando la transormada de ourier* ∞
∫
t X (ω ) = x (t )e − &ϖ dt
− ∞
+omo x(t) es una señal par * ∞
X (ω )
= 2∫ x(t )$Co(ω t )dt 0
T / 2
X (ω )
=2
∫ (1)$Co(ω t )dt 0
X (ω )
=
2
[ Sen(ω t )] ω
T / 2 0
=
ω T ω 2 2 fT 2π X ( f ) = Sen 2π f 2 2
X (ω )
=
X ( f )
=
X ( f )
= T $Sinc( fT )
Sen
(
f π
Determinando la ED* 2 Ψ( f ) = X ( f ) Ψ( f ) = T 2 Sinc 2 ( fT ) b).- Encontrando la Energía normalizada ∞
E x
= ∫ x 2 (t )dt −∞
T / 2
E x
=
∫ (1)
2
dt
−T / 2
E x E x E x
= [1]T −T / 2/ 2 T = T − 2 2 =T
)
Sen π fT
ω T Sen Sen ( 0 ) − ω 2 2
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.! Encuentre una e"presi#n para la potencia promedio normalizada de una señal peri#dica en t$rminos de los coeficientes comple%os de la &erie de 'ourier.
Densidad espectral de potencia ' x ( f ) ∞
' x ( f )
= ∑C n
2
δ ( f
n =−∞
−nf 0 )
Potencia media normali-ada ∞
" x
∞ ∞
= ∫ ' x ( f ) df = ∫ ∑C n
−nf 0 )df
δ ( f
−∞n=−∞
−∞
2
∞
" x =
2
∑C
n
n =−∞
'.ora deiniendo C n De la serie trigonomtrica de ourier f (t ) =
1 2
∞
a0 +
∑[a
n
cos(nω 0t ) + (n sin(nω 0t )
]
n=−∞
'plicando la orma alternati&a complea de esta expresin
(
)
1 &nω 0t + e − &nω 0t e 2 1 e &nω 0t −e − &nω 0t sin( nω 0t ) = 2 & cos(nω 0t ) =
(
)
Entonces los coeicientes compleos de la serie de ourier sern* C 0
=
1 2
a0 ,
C n
=
1 2
(an
− &(n ) ,
C −n
= 1 (an + &(n ) 2
Entonces* ∞
f (t )
= C 0 + ∑(C n e &n n=−1
f (t )
t
ω o
= C 0
∞
+∑ n =1
&nω ot
C n e
+C −n e − &n −∞
t
ω o
+ ∑C n e &n
)
t
ω o
n=−1
Por lo tanto ∞
f (t )
= ∑C n e &n n =−∞
ω o t
orma +omplea de la serie de ourier
% tam3ien C n se puede o3tener a partir de*
Capitulo I de Bernard Sklar
C n
=
1
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
T
f (t ) e T ∫
− &nω 0t
dt
donde
n
=0,±1, ±2,±",$$$
0
De donde C n es complea por lo tanto*
= C n e &φ − &φ C −n = C n e C n
n
n
% tam3in se puede o3tener a partir de los coeicientes a n (n C n
=1
2
a 2n
+ (2n
5 se reempla-a en* ∞
" x
∞ ∞
= ∫ ' x ( f ) df = ∫ ∑C n −∞
−∞n=−∞
2
( f δ
−nf 0 )df
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.( sando el tiempo promedio* encuentre la potencia media normalizada en la señal "+t),1 Cos 1t 2 Cos 2t T 0
" X
=
1 T 0
2
∫
x 2 ( t ) dt
T 0
−
2
Para lo anterior de3emos encontrar 60 ω 1
=
2π
ω 2
=
2π
T 1 T 2
= 10 → T 1 =
π
= 20 → T 2 =
π
10
π
T 1 T 2
=
π
= 2 → T 1 = 2T 2 =
π
10
De donde al aplicar el teorema de la periodicidad podemos &er 7ue si cumple 7ue* x(t) 9 x(t 8 60 ) 9 10 +os 10(t 8 60 ) 8 20 +os 20(t 8 60 ) x(t) 9 10 +os (10t 8 10(π /)) 8 20 +os (20t 8 20(π /)) x(t) 9 10 +os (10t 8 2π ) 8 20 +os (20t 8 2π ) x(t) 9 10 (+os10t +os2π : en10t en2π ) 8 20 (+os20t +os2π : en20t en2π ) x(t) 9 10 (+os10t : 0) 8 20 (+os20t : 0) x(t) 9 10 +os 10t 8 20 +os 20t (l$7$7$d$)
;ue lo reempla-amos en la primera ecuacin* π
" X
=
10
π
∫ (10cos10t + 20cos 20t ) dt
− π 10 π
" X
=
π
10
∫ (100 cos
2
10t
+ 400 cos 10t cos 20t + 400 cos
2
)
20t dt
− π 10
10 10 10 2 2 100 ∫ ( cos 10t ) dt + 400 ∫ ( cos10t cos 20t ) dt + 400 ∫ ( cos 20t ) dt " X = π − − − 10 10 10 π
π
π
π
π
π
10
10
π
π
10
" X
π
1 cos 20t 1 cos 40t en( "0t ) + " en( 10t ) = 100 ∫ + + 400 ∫ + dt + 400 dt π 2 2 !0 2 2 − − − π
" X
π
10
10
π
10
t π 10 t π 10 π π 1 1 10 10 = 100 + ( cos 20t ) −π + 0 + 400 + ( cos 40t ) −π 10 10 π 2 −π #0 2 −π 10 40 10
Capitulo I de Bernard Sklar
π π + 100 400 π 10 10
" X
=
" X
= 20 !
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1./.- 0epita el e%ercicio 1.( utilizando la suma de coeficientes espectrales. sando el tiempo medio encontrar la potencia normalizado en la forma de onda x ( t ) = 10 cos(10t ) + 20 cos(20t )
Primer mtodo de o3tener los coeicientes compleos de ourier*
cos ( t )
(e 2
1
=
&ωt
+ e− &ω t )
(e 2
10
10cos ( 10t )
=
20 cos ( 20t )
=
20
10
=
C1
= C −1 =
C2
= C −2 =
2 20
&10t
(e 2
2
+ e− &10t )
& 2<10t
+ e− & 2<10t )
= 10
egundo mtodo de calcular los coeicientes compleos de ourier* cn = 1 1
To / 2
T ∫ cn = ∫ π cn = ∫ π cn = ∫ π cn = { ∫ π cn =
x(t ) ×− e(
−To / 2
To / 2
−To / 2
π /10
−π /10 π /10
−π /10
dt
[ 10cos(10t ) + 20cos(20t ) ] ×e(
− & ×10×t )
dt
[ 10cos(10t ) + 20cos(20t ) ] ×[ cos(10t ) −
& sin(10t) ] dt
[ 10cos(10t ) ×cos(10t ) + 20cos(20t) ×cos(10t) − & ×10 ×cos(10t ) ×sin(10t ) − & ×20 ×cos(20t ) ×sin(10t ) ] dt
π /10
−π / 10
cn =
− & ×)×t )
[ 10 cos(10t ) ×cos(10t ) ] dt +
sin(10t )cos(10t ) + 10t
∫
π / 10
−π / 10
[ 20 cos(20t ) ×cos(10t) ] dt −
sin("0t ) + " ×sin(10t )
cn = C n−1
{ π }
π =
∫
π / 10
−π / 10
" ×cos("0t ) − cos(10t )
+ − & 2 " " π 2 1 π 2 1 cn = + 0 − & − ÷− & − ÷− − + 0 − & − ÷− & − ÷÷ π 2 " 2 2 " 2 π 2 1 π 2 1 cn = + & + & − − + & + & ÷ " 2 2 " 2 π 2 π 2 1 π 2 1 cn = + & + & + − & − & " 2 2 " 2 π 2 π π cn = + π 2 2 π
&
[10 cos(10 t) ×sin(10 t) ] dt − π /10
− ( cos(10t ) ) 2 −& 2 −π /10
∫
π / 10
−π /10
}
[ 20 cos(20 t) × sin(10 t) ] dt
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
cn = 2 1
To / 2
T ∫ cn = ∫ π cn = ∫ π cn = ∫ π cn = { ∫ π cn =
−To / 2
x (t ) ×− e(
To / 2
−To / 2
π /10
−π /10 π /10
−π /10
− &×)×t )
dt
[ 10cos(10t ) + 20cos(20t ) ] ×e(
dt
[ 10cos(10t ) + 20cos(20t ) ] ×[ cos(20t) −
& sin(20t) ] dt
[ 10cos(10t ) ×cos(20t ) + 20cos(20t ) ×cos(20t) − & ×10 ×cos(10t ) ×sin(20t ) − & ×20×cos(20t ) ×sin(20t ) ] dt
π /10
[ 10 cos(10t ) ×cos(20t ) ] dt + −π / 10
cn =
− & 210 × ×t )
sin("0t ) + "sin(10t )
∫
π /10
[ 20 cos(20t ) ×cos(20 t) ] dt − −π /10
sin( 20t ) cos (20t ) + 20t
∫
π / 10
[10 cos(10 t) ×sin(20 t) ] dt − −π / 10
−" ×cos(10t) − cos ("0t ) &
+ − ! 2 2 1 2 1 cn = 0 + π − & ÷− & − ÷− 0 − π − & ÷− & − ÷÷ π " 2 " 2 2 1 2 1 cn = π − & + & − −π − & + & ÷ " 2 " 2 π 2 1 2 1 cn = π − & + & + π + & − & " 2 " 2 π π
&
!
−
− ( cos(20t ) ) & 2
2
∫
π /10
π /10
−π /10
{ π + π } π cn = { 2π } π C n−1 = 10
Para otros &alores de n* cn90 Por lo tanto la densidad espectral de potencia esta dada por* 'x( f ) =
∑ Cn
2
δ ( f
− nfo )
n =−∞ 2
− 1 × + 2 δ f + 1 × + 10 2 δ f − 2 × + 10 2 δ f + 2 × ÷ ÷ ÷ ÷ π π π π
'x( f ) = δ f "x =
∞
∫ 'x( f ) ×df
−∞
"x = 2 + 2 + 100 + 100 "x = 20 )
}
[ 20 cos(20 t) × sin(20 t) ] dt −π /10
cn =
∞
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1. determine cual o ninguna de las siguientes funciones tiene las propiedades de una funci#n de autocorrelacion. ustifique su determinaci#n.
1 para − 1 ≤ τ ≤ 1 a) x(τ ) = 0 otro *alor 1$ + x (τ )
= +x (−τ )
i cumple a 7ue para cual7uier &alor en el inter&alo =:1,1> la uncin es 1 indistintamente del signo, para cual7uier otro &alor es cero igualmente sin importar el signo$ 2$ + x (τ ) ≤ + x (0)
∀τ
i cumple a 7ue el &alor en cero es 1, el maor de la uncin$ "$ + x (τ )
↔ψ x ( f ) 1
ψ x ( f )
1
= ∫ −11 ⋅ e
− & 2π ft
e − & 2π ft e − & 2π f e & 2π f sin( 2π f ) = − + = dt = − f −1 f & 2π f π f & 2π & 2π
0.2
0.1
f -10
-5
5
10
-0.1
-0.2
Esta uncin tiene partes negati&as, por lo 7ue no puede ser una uncin de densidad espectral de energía$ b)
x (τ )
= δ (τ ) + sin( 2π f 0τ )
1$ + x (τ )
= +x (−τ )
No cumple con esta condicin puesto 7ue el seno es un a uncin impar$ c)
x(τ ) = e
1$ + x (τ )
τ
= +x (−τ )
i cumple con esta condicin puesto 7ue el exponencial est ele&ado al &alor a3soluto de tau, por lo 7ue es igual para &alores positi&os negati&os$ 2$ + x (τ ) ≤ + x (0)
∀τ
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
No cumple con esta condicin a 7ue el &alor de la uncin en el punto cero es uno, para cual7uier otro &alor es e ele&ado a la tau, 7ue es maor 7ue uno$
1− τ para − 1 ≤ τ ≤ 1 x(τ ) = 0 otro *alor
d)
= +x (−τ )
1$ + x (τ )
i cumple con esta condicin puesto 7ue a uno se le resta el &alor a3soluto de tau, por lo 7ue es igual para &alores positi&os negati&os$ 2$ + x (τ ) ≤ + x (0)
∀τ
i cumple, a 7ue el &alor en cero es uno, el cual es el mximo para la uncin$ "$ + x (τ ) 1
↔ψ x ( f ) 0
∫ (1 − t )e− π dt + ∫ − (1 + t )e − π dt ψ ( f ) = ∫ e − π dt − ∫ t ⋅ e − π dt + ∫ e − π dt + ∫ t ⋅ e − − − ψ x ( f ) =
& 2 ft
0
1
x
& 2 ft
1
1
& 2 ft
0
& 2 ft
0
0
& 2 ft
1
1
0
& 2π ft
dt
1
1
0
0
e − & 2π ft e − & 2π ft e − & 2π ft e − & 2π ft 1 1 t + + − + − + t ψ x ( f ) = − − − & 2π f & 2 f & 2 f & 2 f & 2 f f π π π π −1 & 2π 0 0 −1 − & 2π − & 2π f f & 2 f & 2 f e 1 e 1 1 1 e π 1 e π 1 1 + ψ x ( f ) = − + + − − + − + −1 2 2 & 2π f & 2π f & 2π f & 2π f ( & 2π & 2π f & 2π f ( & 2π f ) & 2π f & 2π f f ) ψ x ( f ) =
e
2
−
+
& 2π f
e
( & 2π f ) 2 ( & 2π f ) 2 ( & 2π f ) 2
ψ x ( f ) = − ψ x ( f ) =
− & 2π f
e & 2π f + e − & 2π f + 2 2 2 4π 2 f 2 2 2π f 1
1 2
2π f
2
−
cos(2π f ) 2
2π f
2
&oule / hert$ 0.02
0.015
0.01
0.005
f -10
-5
5
10
Esta uncin no tiene partes negati&as, por lo 7ue puede ser una uncin de densidad espectral de energía$
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.3.- 4etermine cu5l* si alguna* de las siguientes funciones tienen las propiedades de funciones de densidad espectral de potencia. ustifique si determinaci#n. f (a) X ( f ) = δ ( f ) + cos2 2π
1$ X ( f ) ≥ 0 δ ( f )
(cos 2π f ) 2
2$ X ( f ) = X (− f ) δ ( f )
=0
cos 2π f
"$ X ( f ) ↔ + x (τ )
si esta en el origen siempre tendr &alores reales positi&os si para f ≠ 0 , a sea + f o − f es una uncin par si
X ( f )
4$
es par ∞
" x =∫ X ( f ) df − ∞
" x =2
si
∞
∫ X ( f )df 0
$ + x ( f ) ≤ + x (0) +epueta N%
no
(3) X ( f ) = 10 + δ ( f −10) 1$ X ( f ) ≥ 0
si
X ( f )
tiene &alores reales positi&os
2$ X ( f ) ≠ X ( − f )
no
X ( f )
es impar
"$ X ( f ) ↔ + x (τ )
no
X ( f )
4$
es impar ∞
" x =∫ X ( f ) df − ∞
" x ≠2
si
∞
∫ X ( f )df 0
$ + x ( f ) ≤ + x (0) +epueta N%
no
(c) X ( f ) = exp(−2π ? f −10 ?) 1$ X ( f ) ≥ 0
si
X ( f )
2$ X ( f ) ≠ X ( − f )
tiene &alores reales positi&os no
X ( f )
"$ X ( f ) ↔ + x (τ ) X ( f )
es impar no es impar
Capitulo I de Bernard Sklar
4$
∞
" x =∫ X ( f ) df − ∞
" x ≠2
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
si
∞
∫ X ( f )df 0
$ + x ( f ) ≤ + x (0) +epueta N%
no
(d) X ( f ) = exp=−2π ( f 2 −10)> 1$ X ( f ) ≥ 0
si
X ( f )
tiene &alores reales positi&os
2$ X ( f ) = X (− f )
si
X ( f )
es par
"$ X ( f ) ↔ + x (τ )
si
X ( f )
4$
es impar ∞
" x =∫ X ( f ) df − ∞
" x =2
si
∞
∫ X ( f )df 0
$ + x ( f ) ≤ + x (0) +epueta @
si
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.6 Encuentre la funci#n de auto correlaci#n de periodo +(τ ) =
en t$rminos del
. Encuentre la potencia promedio normalizada de "+t)* usando
T 0 2
1
∫
x(t ) ⋅ x(t + τ )dt T 0 − T 0 2
para
− ∞ 〈 τ 〈 ∞
x(t + τ ) = A cos(2π f 0 (t + τ ) + φ ) +(τ ) = +(τ ) = +(τ ) =
T 0 2
1
∫
A cos(2π f 0 t + φ ) ⋅ A cos(2π f 0 t + 2π f 0τ + φ )dt T 0 − T 0 2 T 0 2
A 2
∫ 2 [ cos(2π f t + φ − 2π f t − 2π f τ − φ ) + cos(2π f t + φ + 2π f t + 2π f τ + φ )] dt 0
T 0 A
1
0
0
0
0
− T 0 2
2 T 0 2
∫
[ cos(− 2π f 0τ ) + cos(4π f 0t + 2φ + 2π f 0τ )] dt 2T 0 − T 0 2
T 2 T 2 +(τ ) = ∫ cos(− 2π f 0τ )dt + ∫ cos(4π f 0 t + 2φ + 2π f 0τ )dt 2T 0 − T 2 − T 2
A2
0
0
0
+(τ )
+(τ ) +(τ ) +(τ ) +(τ ) +(τ )
= =
A
2
2T 0 A 2 2T 0
=
A
=
A
=
A
=
A
2
2T 0
0
T 2 cos(u ) du cos(−2π f 0τ )T 0 + ∫ π 4 f 0 −T 2 1 T 2 cos(−2π f 0τ )T 0 + 4π f [sin(u )] −T 2 0 0
0
0
0
[ cos(−2 f
]
2
2
cos(−2π f 0τ )
2
2
cos(
2
2
cos(
" x = + ( 0) A 2 " x = 2
)T 0
π 0τ
=! >
− 2πτ T 0 2πτ ) T 0
)
f 0
=
1 T 0
cos( − A) = cos( A) ∴
0
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.7.- se los resultados del e%ercicio anterior para encontrar a).- la funci#n de autocorrelaci#n +(τ ) de la forma de onda x (t ) = 10Co10t + 20Co 20t . b).- se la relaci#n " x = + 0 para encontrar la potencia media normalizada en X ( f ) compare las respuestas con los resultados del problema 1.( 8 1./
( )
a). x(t )
= 10Co10t + 20Co 20t A 2
+ x
( )=
+ x
( ) = (10) Co(10 ) + ( 20) Co( 20 ) 2 2 ( ) = 0Co (10 ) + 200Co( 20 )
τ
2
(
)
Co 2π f 0τ 2
+ x
2
τ
τ
τ
τ
b). " x
= + x ( 0)
( A) " = x
2
2
(10) + ( 20) " = 2
x
2 2 " x = 0 + 200 " x
= 20[! ]
2
τ
τ
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
f 0t * calcular 1.1 Para la funci#n x(t ) =1 + cos 2π a) El valor promedio de x (t )
En un proceso ergdico el &alor promedio es* - X = lim
1
T →∞
Pero como x (t ) es peridica con periodo 1 f 0
T 2
x( t )dt T −T 2
∫
=T 0
2π 1 cos + T t ÷ dt T0 −T ∫ 2 0 T 2 T 2 2π 1 - X = 1 dt cos + T t ÷dt ∫ T0 −T∫ 2 0 −T 2 -
= X
T 0 2
1
0
0
0
0
- X =
- X =
1 T 0
0
2π sin T t ⋅T 0 T 2 0 t −T 2 + 2π
T 0 2
0
0
1 T 0 T 0
[
−T 0
2
+0 ]
- X =1
3) la potencia ac de x (t )
[ E { X ( t )} ]
= -2 X = " cc [ E { X 2 ( t )}] = "otencia Total .or-ali$ad a 2 σ X = " ca 2
5 estas potencias se relacionan de la siguiente manera*
{
E X ( t ) 2
}=
2
σ X
+-
2
X
P69Pca8Pcc Ao 7ue .aremos es encontrar P ca de la siguiente manera* 2
σ X
= E { X ( t ) } − 2
2
X
Pca9P6:Pcc En un proceso ergdico la uncin de autocorrelacin est dada por* + X (τ ) = lim
T →∞
1
T 2
∫
x(t ) x (t +τ ) dt T −T 2
'plicando una de las propiedades de la autocorrelacin
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
( ) Potencia total promedio de una señal x (t ) (0) = E { X ( t )} = "
+ X (0) = E { X 2 t } + X
2
T
" T = + X (0) = lim
T →∞
" T = lim
T →∞
1
T 2
∫
x (t ) x (t + 0) dt T −T 2
T 2
1
∫ x
2
T −T 2
(t ) dt
+omo x (t ) es peridica con periodo 1 f 0
1 " T = T 0 1 " T = T 0 " T
=
1
T 0 1
T 0 2
∫ (1 + cos 2π t T ) dt 2
0
−T 0
2
T 0 2
∫ [cos (2π t T ) + 2 cos(2π t T ) +1]dt 2
0
−T 0
2
T 0 T
0
=
" cc
= -2 X
+omo a o3tu&imos el &alor de - X 91 " cc
=1
5 la potencia ca ser igual a* σ 2 X
= E { X 2 ( t )} − - 2 X
σ 2 X
= −1
σ 2 X
=
"
2 1
// 2 c) El &alor rms de x (t )
{
}
" r- = E X 2 (t ) " r- =
0
sin(2π t T 0 ) cos(2π t T 0 )T 0 + sin(2π t T 0 )T 0 + "t 4π 2 π −T T "T 0 = " 2 2
" T
T 0
=T 0
" 2
//
→ " T
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.11. Considere un proceso rand#mico dado por "+t) , 9 cos +2πf 0t + ) donde 9 8 f 0 son constantes 8 es una variable rand#mica que est5 uniformemente distribuida a trav$s +.2:). &i "+t) es un proceso erg#dico* el tiempo promedio de ;+t) en el límite t<=* son iguales al correspondiente ;+t).
a)
Bse el tiempo promedio a tra&s de un numero entero de periodos para calcular las aproximaciones al primero segundo momento de C(t)$ Primero* T 0
x ( t )
=
1 T 0
∫ x ( t ) dt
−T 0 2 T 0
x ( t )
=
1 T 0
=
∫ A cos(2π f t + φ )dt 0
−
1 T 0
2
T 0
T 0
x ( t )
2
2
2
∫ A cos(2π f t ) cos ( φ ) − en(2π f t )en(φ ) dt 0
−
T 0
0
2
T en(2π f t ) cos φ T 2 ( ) cos(2π f 0 t ) en(φ ) 2 0 A + 2π f 0 t 2π f 0 t −T T − 2 2 0
x ( t )
=
1 T0
0
0
0
A
x ( t )
=
x ( t )
=0
T 0
[ 0 + 0]
egundo T 0
x( t )
=
1 T 0
∫
x ( t ) dt
−
T 0
T 0
x( t )
x( t )
x( t ) x( t )
=
= = =
1 T 0 A
2
T 0
2
2
2
2
∫ A
2
cos (2π f 0 t + φ )dt 2
−T 0 2 T 0
2
∫
cos (2π f 0 t + φ )dt 2
−T 0 2
2 A T 0
T 0 2 A
2
2
3) Bse las ecuaciones 1$2! 1$2# para calcular el total promedio aproximado al primero segundo momento de C(t)$ +ompare los resultados con su respuesta en la parte a)$
alor medio*
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
∞
{ }
E Φ =
∫ x(φ ) p(φ )d
−∞
( ) = 21π en el espacio de (0,2)
teniendo en cuenta 7ue p φ
2π
E { Φ}
1
= ∫ A cos( 2π f 0t + φ ) d φ 2π −0
E { Φ}
=
2π
1 2π 1
E { Φ}
=
E { Φ}
=
E { Φ}
=0
T 0 A T 0
∫ A cos(2π f t ) cos ( φ ) − en(2π f t )en(φ) d φ 0
0
0
A cos(2π f 0t )en(φ ) 0
2π
2π + en(2π f 0t ) cos ( φ ) 0
[ 0 + 0]
alor medio cuadrtico*
∞
{ } = ∫ x (φ ) p(φ )d φ
E Φ
2
2
−∞ 2π
{ } = ∫ A
E Φ
2
2
f 0 t + φ ) cos (2π 2
0
1 2π
d φ
2 2π
{ } = 2π ∫ cos (2π f t +φ )d φ
E Φ
2
A
2
0
0
{ } = AT
2
E Φ
2
π
0
{ } = A2
2
E Φ
2
+omo podemos o3ser&ar am3os mtodos cumplen en el anlisis de esta señal de3ido a 7ue la naturale-a de dic.a señal así lo permite$
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.12 >a transformada de fourier de una señal "+t) esta definida por ;+f),sinc+f) donde la funci#n sinc esta definida en la ecuaci#n 1.!7* encontrar la autocorrelacion de la funci#n 0"+t) de la señal "+t)
( ) = sinE( E f f )
sinc f
( )
sinc =
(
sin E /
)
E
ψ x ( f ) = sinc f
{
2
}
+ x (τ ) = ℑ−1 ψ x ( f )
5 en ta3las podemos encontrar esta transormada, Fx(t) esta dado por la siguiente uncin triangular
1G− Fx(G) = 0
para G
1<
cual7uier otro caso
Fx(G)
:1
1
G
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.1! se las propiedades para probar la funci#n del impulso unitario* evaluando las siguientes integrales ∞
(t −t ∫ x (t )δ
0
− ∞
∞
) dt = x (t 0 )
(a)
∫
(3)
∫ 10δ (t )(1 +t )
cos !t δ( t −") dt =cos !(") =cos(1#)
−∞
∞
−∞
∞
δ (t +4)(t 2 (c) ∫ −∞
(d)
∞
∫
−1
dt =
10 1 + (0)
=10
+!t +1)dt =(−4) 2 +!(−4) +1 =−H
exp(− t 2 )δ (t −2) dt =exp(−2 2 ) =exp( − 4) =0$01#
−∞
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.1(.- Encuentre X 1 ( f ) < X 2 ( f ) para el espectro mostrado en la figura
X 2 ( f ) = k [δ ( f − f o ) + δ ( f + f o ) ] X 1 ( f ) ∗ X 2 ( f ) = X 1 ( f ) ∗ k [δ ( f − f o ) + δ ( f + f o ) ] X 1 ( f ) ∗ X 2 ( f ) = X 1 ( f ) ∗ k δ ( f − f o ) + X 1 ( f ) < k δ ( f + f o ) X 1 ( f ) ∗ X 2 ( f ) = kX 1 ( f − f o ) + kX 1 ( f + f o )
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.1/ >os dos lados de la densidad espectral de potencia
de la forma de onda
"+t) esta dada en la figura P1.2
a) Encuentre la potencia promedio normalizada en "+t) sobre la banda de frecuencia de a 1?@z ∞
"x
= 2 ∫ 'x ( f )df "otencia pro-edio nor-ali$ada 0
10 k
f " "x = ∫ 10 f df = 2 ! " <10 0 0 (1000) " "x = 2 ! " <10 10 k
−!
"x
=
2 <10 "
2
!
= !!!$!! 0)
b) Encuentre la potencia promedio normalizada en "+t) sobre la banda de frecuencia de / a ?@z ∞
"x
= 2 ∫ 'x ( f )df "otencia pro-edio nor-ali$ada 0
! k
f " "x = ∫ 10 f df = 2 ! " <10 k k ( !000) " ( 000 ) " − "x = 2 ! " < 10 " <10! "x = 2[ "0"""$""] "x = !0$!! 0) ! k
−!
2
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.1 >os decibelios son medidas logarítmicas de raz#n de potencia* como describe la ecuaci#n +1.(a). 9 veces* una formulaci#n similar es usada para e"presar las mediciones de no potencia en decibelios +referidos a similares unidades determinadas). Como un e%emplo* calcule que cu5ntos decibelios de carne de la @amburguesa usted compraría para entregar 2 @amburguesas a cada persona de un grupo de 1. 9suma que usted 8 el carnicero @an estado de acuerdo en la unidad de AB libra de carne +la cantidad en una @amburguesa) como una unidad de referencia.
100 ⋅ 2 ⋅ 1 2 = 2"dB dB = 10 log 10 1 2
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.13 Considere la ecuaci#n de amplitud del filtro pasa ba%o Dutterort@ # n ( f )
=
a) Encuentre el &alor de n en el 7ue f
1
(
1 + f f u
# ( f )
2
)
2n
n
≥1
es constante entre
±1dB
so3re el rango
≤0$I f u
'nali-amos las relaciones en trminos de :1dJ # n ( f )
2
=
1
(
1 + f f u
10 log # n ( f )
2
)
2n
= −1dB
1 log 1 + f f u
1 = − ( ) 2n 10 [1 + ( f f u ) 2n ] = 101 10 ( f f u ) 2n =101 10 −1 = 0$2#I2 1 log 0$2#I2 n≥ 2 log( f f u ) '.ora so3re el rango f ≤0$I f u f f u = 0$I
Por lo tanto n ≥ !$412" ≈ H
//
3) Kuestre 7ue cuando n se aproxima al ininito las respuesta de amplitud se aproxima a un iltro ideal pasa 3ao
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
# n ( f )
( f f )
2n
u
(
5 conorme n aumenta f f u
)
2n
(
)
2n
→0
1
(
1 + f f u
)
# n ( f )
2n
→1
sigue siendo 0 para f f u menor a 1
( f 5 conorme n aumenta f f u
=
fu
) →∞ 2 n
# n ( f )
se .ace mas grande
→0
∞ para f f
u
maor a 1
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.16. Considere la red en la figura 1.7 cu8a funci#n de transferencia es F+ f ). n impulso G+t) es aplicada al ingreso. Huestre que la respuesta 8+t) es la transformada inversa de 'ourier de F+ f )
∞
X ( f )
= ∫ x (t )e − &
ω t
dt
−∞ ∞
X ( f )
= ∫ δ (t )e − &
ω t
=e t =0 X ( f ) =1 ∴ # ( f ) = 1 ( f ) X ( f )
{
dt
−∞ − &ω t
h(t )
= / (t )
} = h(t ) = / (t )
F −1 # ( f )
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.17 n e%emplo de @olding circuit esta mostrado en la figura determine el impulso de respuesta de este circuito.
uncin* x(t ) = δ (t ) uncin agregada el retardo* g (t )
= δ (t ) −δ (t − to)
Auego de pasar por el integrador* t
h(t )
= ∫ [δ (t ) −δ (t −to)]dt −∞
alida (t)* / (t )
= u (t ) − u (t − to)
Donde u(t) es la uncin escaln unitario 7ue esta deinida de la siguiente orma*
1 u τ ( ) = 0
G> 0 cual7uier otro caso
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
1.2) 4ado el espectro anterior* encuentre el valor del anc@o de banda de la señal utilizando las siguientes definiciones de anc@o de banda. 2
' x ( f ) = 10
a) b) c) d) e) f)
−4
sin[π ( f −10 ! )10 −4 ] −4 ! π ( f −10 )10
9nc@o de banda de la potencia media. 9nc@o de banda del ruido equivalente. 9nc@o de banda nula. 9nc@o de banda al 77I de la potencia. Con una atenuaci#n de !/dD. 9nc@o de banda absoluta.
a) Para calcular el anc.o de 3anda a media potencia necesitamos calcular primero la altura del l3ulo principal, 7ue ser Lx() en el punto 10 !* Bsamos el mtodo de AMospital, deri&amos numerador denominador por separado, para calcular el límite puesto 7ue tenemos una indeterminacin 0/0* lim!
(
−4 2 ! sin π ( f − 10 )10
π 2 ( f − 10 ! ) 2 10 −4
f →10
lim!
(
sin π ( f − 10 )10 2
!
(
0
−4
π 2 ( f − 10 ! ) 2 10 −4
f →10
)=0 )=
(
) (
π sin π ( f − 10 ! )10 −4 cos π ( f − 10 ! )10 −4 2" ⋅ 4 ! 2 ( f − 10 )π 2" ⋅ 4
) (
π sin π ( f − 10 ! )10 −4 cos π ( f − 10 ! )10 −4 lim f →10 ( f − 10 ! )π 2 !
lim!
)=0 0
− (sin(π ( f − 10! )10 −4 ) − cos(π ( f − 10! )10 −4 ) ) ⋅ ( sin(π ( f − 10! )10 −4 ) + cos(π ( f − 10! )10 −4 ) ) ⋅ π 2 24 ⋅ 4 π 2
f →10
=
)
1
=
1
= 0$0001!att / #ert$ 2 4 ⋅ 4 10000 '.ora de3emos igualar L x() a 0$0000, la mitad de la altura del l3ulo principal, despear $ ! −4 − 4 sin (π ( f − 10 )10 ) ' x ( f ) = 10 ! − 4 = 0$0000 ( ) π f − 10 10 2
Para resol&er esta ecuacin, utili-amos el mtodo de NeOton:Fap.son para aproximar una solucin numrica de la ecuacin puesto 7ue es imposi3le resol&erla por mtodos alge3raicos$ Este mtodo utili-a un punto de partida P 0, al 7ue se le resta la uncin e&aluada en ese punto di&idida para la deri&ada de la uncin e&aluada en el mismo punto*
" n +1
= " n −
f ( " n ) f ′( " n )
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
Btili-aremos como punto de partida 1001000, al ca3o de # iteraciones o3tenemos los siguientes resultados* P0 P1 P2 P" P4 P P! PH P#
1001000 100#2I4$1"I#2 III042$0"1# II1"##$"4H1!! 100"H"1$1H044 10044"$4H2# 100442I$4!414 100442I$4!4H1 100442I$4!4H1
Podemos &er 7ue en la iteracin P # o3tenemos el mismo resultado 7ue en la iteracin anterior, por lo 7ue en este punto terminan las iteraciones ese es el &alor aproximado de para L x() 9 0$0000$ Para calcular el anc.o de 3anda le restamos la recuencia de la portadora ( c910!) multiplicamos por dos el resultado o3tenido*
(
)
(
)
B! = 2 ⋅ 10044"0 −1000000 #$ = 2 ⋅ 44"0 #$ = ##!0 #$ = #$#!k#$
3) Para calcular el anc.o de 3anda de ruido e7ui&alente, utili-amos la siguiente rmula*
=
! .
" x ' x ( f c )
+alculamos Px, para esto despla-amos la uncin al 9 0 para acilitar la integracin* 2
sin (π f 10 −4 ) " x = ∫ 10 π f 10 −4 df −∞ 2 f 10 −4 ) −4 ∞ sin (π " x = 2 ⋅ 10 ∫ 0 π f 10−4 df 2 − ∞ sin (π 2 f 10 4 ) " x = f 2 df 2 −4 ∫ 0 π ⋅ 10 ∞
Co-o " x
=
−4
∞ sin 2
∫
x 2
0
2 2 π
( px) dx =
⋅10 −4
⋅
2 π
⋅ 10 −4 2
p
π
2
tene-o *
= 1!
'.ora reempla-amos en la rmula para N, con Px 9 1 L x( c) 9 0$0001, &alores 7ue calculamos anteriormente* B! =
c)
" x ' x ( f c )
=
1
#$ = 10 4 #$ = 10000 #$ = 10k#$ 0$0001
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
Para calcular el anc.o de 3anda entre ceros, necesitamos calcular el &alor 1/6 de la siguiente ecuacin, de3ido a 7ue es el punto en el 7ue el l3ulo principal de la uncin corta en cero*
sin( π ( f − f c )T ) ' x ( f ) = T π ( f − f c )T
2
De esta ecuacin podemos o3tener directamente el anc.o de 3anda* B! = 2 ⋅
1
T
= 2⋅
1 10
−4
#$ = 2 ⋅ 10 4 #$ = 20000 #$ = 20k#$
d) b) El IIQ de potencia raccionada contenida en el anc.o de 3anda$
Para calcular este anc.o de 3anda necesitamos despear o de la siguiente rmula* f 0
∫ −
f 0
' x ( f )df = 0$II ⋅ " x
5a 7ue de3emos calcular el punto o en el 7ue la potencia sea el IIQ del total$ Este proceso lo reali-amos utili-ando un mtodo numrico de aproximacin de Kat.ematica $ @ntegrando la uncin L x() o3tenemos* 2
f 0
∫
− f 0
' x ( f )
f 0
= ∫ − f 10 0
−4
sin (π ( f −10 ! )10 −4 ) = 0$II ! −4 − ( ) f 10 10 π 2
f 0
∫
− f 0
' x ( f )
=
1 π
2
20000 f 0
π f − sin 0 + 10000
π f 0 000
f SinIntegral
π 0
10000 f 0
2
Donde la uncin in@ntegral(-) es*
( ) = ∫ sint ( t ) dt
SinIntegra l $
$
0
El siguiente grico presenta la uncin o3tenida anteriormente*
= 0$II
Capitulo I de Bernard Sklar
Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT
0.002
f 80000
100000
120000
140000
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
'7uí podemos o3ser&ar 7ue existe un corte cerca del punto 101000, por lo 7ue utili-aremos un mtodo numrico para encontrar una solucin a la ecuacin con 101000 como punto de partida$ Btili-amos la uncin indFoot= lhs==rhs, R x, x0S> de Kat.ematica para .allar la raí- de la uncin$
f 0 π f 0 SinIntegral π 2 f 0 π 000 −sin + 1 10000 10000 = 0$II, { f 0 ,101000} In[1] *= Find+oot 2 20000 f 0 2 f 0 π Out [1] *= { f 0 →102##$} De esta manera o3tenemos 7ue la recuencia a la 7ue la potencia raccionada del IIQ contenida en el anc.o de 3anda es* B! = 2 ⋅ f 0
= 2 ⋅102## #$ = 20H1! #$ = 20 $H1! k#$
e) El anc.o de 3anda en el cual la atenuacin es " DJ Para este caso utili-aremos un anlisis similar al del literal (a), con una dierencia, 7ue de3emos igualar la uncin a :"dJ, el nTmero en &eces ser*
a log −
" = "$1!22HH!!01 H E − 4 10
El nTmero al cual de3emos igualar la uncin es el nTmero de &eces por la altura del l3ulo principal 7ue calculamos anteriormente (0$00001), despla-amos Lx() a cero para acilitar la resolucin* "$1!22HH!!01 H E − 4 ⋅ 0$0001 = "$1!22HH!!01 H E − #
