EJERCICIOS 1
¿De cuántas maneras pueden 10 personas sentarse en una banca si sólo hay 4 puestos disponibles? R// Como el orden en que se sientan las personas no es relevante y que solo hay cuatro puestos dierentes y una persona solo puede ocupar un puesto 10 !
( 10 −4 ) !
!"040 ormas
2
#e quieren sentar " hombres y 4 mu$eres en una ila de modo que las mu$eres ocupen los sitios pares% ¿De cuántas ormas pueden sentarse? R// Como solo las mu$eres pueden sentarse en lu&ares pares tiene 4' (ormas de ser ubicada ubicadas s y los hombres hombres pueden pueden sentarse sentarse en los lu&ares lu&ares restante restante que ser)an "' (ormas y esto nos da como resultado* 4!x5!=2880 formas 3
¿Cuántos n+meros de cuatro ciras pueden ormarse con los l0 d)&itos 0,1,-,.,%%%, si a los n+meros pueden repetirse, repetirse, b si los n+meros no pueden repetirse, repetirse, c si el +ltimo n+mero ha de ser cero y los n+meros no pueden repetirse? R// a Como Como la prim primer era a cir cira a pued puede e ser ser cual cualqu quie iera ra entre entre los los d)&i d)&ito tos s si no tenemos el 0 en cuenta y teniendo en cuenta que se pueden repetir los d)&itos tenemos 210210210!000 n+meros que pueden ormarse b 3l primer n+mero puede ser cualquiera entre y los tres restantes pueden
ele&irs ele&irse e entonce entonces s tenemos tenemos 2225!4".6 ormas ormas,, 3nto 3ntonce nces s son son los n+meros que pueden ormase% c 7a primera cira puede ele&irse entre , la se&unda entre y la tercera entre 5% 3ntonces 225!"04 son los n+meros que pueden ormarse 4
Cuatro libros distintos de matemáticas, seis dierentes de )sica y dos dierentes de qu)mi qu)mica ca se, se, coloc colocan an en un estan estante% te% ¿De ¿De cuánta cuántas s ormas ormas distin distintas tas es posibl posible e orden ordenar arlos los si a los los libro libros s de cada cada asi&n asi&natu atura ra debe deben n estar estar todos todos $unto $untos, s, b b solamente los libros de matemáticas deben estar $untos? R// a 7os libros de matemática se pueden ordenar de 4'!-4 (ormas los seis de )si )sica ca se pued pueden en orde ordena narr de 6'!5-0 orm ormas as y los los dos dos die diere rent ntes es de qu)micas se pueden ordenar en -'!- ormas y los tres &rupos se pueden orde ordena narr de .'!6 ormas ormas enton entonce ces s tenemo tenemos s que que el n+mer n+mero o posibl posible e de ordenar estos libros en &rupos es* 4'26'2-'2.'!-05.60ormas
b #e puede decir que los libros de matemática son uno solo entonces
tenemos que nueve libros se pueden ordenar de ' (ormas teniendo en cuenta que los libros de matemática se pueden ordenar de 4' (ormas por lo que tenemos que el n+meros de ormas que se puede ordenar son* '24' ! 50 1-0 ormas 5
¿De cuántas ormas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa, si a pueden sentarse de cualquier orma, b si dos personas determinadas no deben estar una al lado de la otra? R// a Como se pueden sentarse las siete personas en dierentes partes de la mesa si consideramos a una persona en cualquier parte de la mesa las otras seis que nos quedan se pueden sentar de 6' (ormas que son el total de combinaciones que se pueden &enerar que ser)an* 6'!5-0 ormas b Como en este caso hay dos personas que no deben de estar $untas hay "' ormas para que se sienten las demás y hay -' (ormas para sentar las dos que no deben de estar $untas que se podrán considerar como una sola entonces nos queda que "'2-'!-40 ormas de lo anterior se tiene el n+mero total de ormas en que 6 personas pueden sentarse alrededor de una mesa, de modo quedos de ellas no est8n sentadas $untas es 5-0 9 -4:* 40ormas% 6
De un total de " matemáticos y 5 )sicos, se orma un comit8 de - matemáticos y . )sicos% ¿De cuántas ormas puede ormarse, si a puede pertenecer a 8l cualquier matemático y ()sico, b un )sico determinado debe pertenecer al comit8, c dos matemáticos determinados no pueden estar en el comit8?
( ) y tres )sicos de un total de 5
a Dos matemáticos de un total de cinco
2
() 7
siete
3
5!
(
7!
)
2 ! 5 −2 !
!10
(
)
3 ! 7 −3 !
!."
102."!."0 ormas que pueden salir
( ) dos )sicos restantes de un total 5
b Dos matemáticos de un total de cinco
2
() 6
de seis pueden ele&irse
2
5!
(
6!
)
2 ! 5 −2 !
!10
(
!1"
)
2 ! 6 −2 !
1021"!1"0 ormas que pueden salir c Como dos matemáticos determinados no se pueden ele&ir nos queda
( ) y tres )sicos de un total de siete ( ) 3
7
2
3
3!
(
7!
)
2 ! 3 −2 !
!.
(
)
3 ! 7 −3 !
!."
.2."!10" ormas que pueden salir
7
Con 5 consonantes y " vocales dierentes, ¿cuántas palabras pueden ormarse, que consten de 4 consonantes y . vocales? ;o es necesario que las palabras ten&an si&niicado% R//
() 7
7as 4 consonantes pueden ele&irse de
4
() 5
ormas las tres vocales
3
ormas y las siete letras resultantes cuatro consonantes y tres vocales pueden
( ) !5' 7
ordenarse entre s) de 7!
(
)
4 ! 7 −4 !
!."
7
5!
(
)
3 ! 5 − 3 !
!10
5'!"040
."2102"040!1 564 000 es el n+mero de palabras 8
#e va a conormar un comit8 de . miembros compuesto por un representante de los traba$adores, uno de la administración y uno del &obierno% #i hay . candidatos de los traba$adores, - de la administración y 4 del &obierno, determina cuántos comit8s dierentes pueden conormarse, empleando a el principio undamental de cuenteo y b un dia&rama árbol% R// a Como el comit8 es de tres miembros y hay . candidatos de los traba$adores, - de la administración y 4 del &obierno, como de cada una de
estas se puede esco&er un representante el n+mero de comit8s que se pueden ormar son* .2-24 ! -4 comit8s b
! - candidatos de administración! ! 4 candidatos del &obierno!@ !
T 1 A 1 A 2
G1 G 2 G3 G 4
T 2 T 3
9
¿3l n+mero de permutaciones dierentes de las 11 letras de la palabra AB##B##B<
! .46"0 las permutaciones de estas 11 letras
10
#upon&a que una empresa dispone de máquinas atornilladoras y de espacios en el área de producción% ¿de cuantas maneras dierentes se pueden acomodar estas maquinas en los espacios disponibles? R// Como son máquinas y hay puestos disponibles para que se puedan acomodar tenemos que hay '!40.-0 ormas dierentes para acomodar las maquinas
11
De cuantas ormas posibles podemos contestar un e2amen de 10 pre&untas de selección m+ltiple si cada pre&unta tiene 4 posibles respuestas? R// k
aciendo uso del teorema que nos dice
n
hay
4
10
!104"56 ormas de
responder 10 pre&untas si cada una de ella tiene cuatros posibles respuestas 12
n ladrón quiere abrir una ca$a uerte% :bserva que para abrirla debe manipular un dispositivo de se&uridad ormado por " anillos y cada uno marcado con los d)&itos 1, -, ., 4 y ", pero no sabe la combinación correcta% ¿Cuál es el n+mero má2imo de intentos incorrectos que puede reali=ar antes de encontrar la combinación correcta? R// k
quiere decir que hay
5
n
esto nos
!.1-" que son las combinaciones má2imas que se
pueden dar pero como una es solo la correcta serian .1-4 combinaciones% 13
1- estudiantes van a via$ar en carros distintos a cierta ciudad% #i . de ellos van en un carro, 4 en otro y " en el otro, ¿de cuantas maneras se pueden acomodar si cualquiera puede conducir? R//
( )= 12
12 !
345
3! 4!5!
=27720 formas
