Ejercicio Dinamica

EJERCICIOS 1. Un punto punto material se mueve a los largo largo del eje y con una aceleración aceleración a ( t )=5 sen sen wt m / s  siendo w =0.7 rad / s . En el instante inicial ( t =0 ) , 2

2m

el punto se alla

 por encima del origen movi!ndose acia a"ajo

con una celeridad de 5 m / s . a. #eterminar #eterminar la velocidad y la posición posición del del punto en $unción $unción del tiempo. ". Representar Representar gr%&camente la posición, posición, la velocidad y la aceleración. c. #eter #etermin minar ar el despla despla'am 'amien iento to δ   del punto entre t =0 s  y t =4 s . d. #eterminar #eterminar la distancia total recorrida recorrida por el punto entre entre

t =0 s  y

t =4 s .

SO(UCI)* a. Como se se da la aceleració aceleración n en $unción $unción del tiempo tiempo,, la velocidad velocidad y la posición se o"tendr%n sin m%s +ue integrar las de&niciones. rimeramente. dv  = a ( t ) =5 sen( 0.7 t ) dt 

Integrando se tienev ( t )=−5 −

5

 [cos ( 0.7 t ) −1 ]

0.7

#onde se a tomado la constante de integración de manera +ue v =−5 m / s  cuando

satis$aga la condición inicial aora. dy 5  = v ( t ) =−5 − [ cos ( 0.7 t )−1 ] dt  0.7

Se tiene y (t )=2 −5 t −

5 0.7

[

sen ( 0.7 t ) 0.7

−1

]

t =0 . Integrando

". En la &gura se an representado gr%&camente la posición, velocidad y aceleración del punto. O"s!rvese +ue la aceleración es positiva durante los primeros cuatro segundos y por tanto, la pendiente de la gr%&ca de la velocidad tam"i!n ser% positiva durante dico tiempo. nalógicamente, la velocidad es negativa la pendiente de la gr%&ca de la posición. #espu!s del instante t/1.0s la velocidad es positiva as como tam"i!n la pendiente de la gr%&ca de la posición. En el instante t/1.0s la velocidad en nula2 v ( t )=dy / d t =0  y la posición pasa por su valor mnimo.

c. El despla'amiento del punto entre t =0 s  y t =4 s  no es mas +ue a di$erencia de posición entre dicos instantes.

d. (a distancia recorrida entre

t =0 s

 y

t = 4 s

 es mayor +ue el

despla'amiento ya +ue el punto se a movido por de"ajo del origen y despu!s por encima de !l. El lugar donde el punto interviene el sentido de su movimiento se alla determinando cuando v ( t )=−5 −

5

dy  = 0 dt 

 [cos ( 0.7 t ) −1 ]=0

0.7

(o cual da t =1.809 s .  Entonces s =| y ( 1.809 ) − y ( 0 )|+| y ( 4 )− y ( 1.890 )|

¿ 5.858 + 11.011=16.87 m 3. Un punto material +ue depende de un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo +ue a ( x )=−4 x m / s  y +ue la velocidad del punto es de 2 m / s  acia 2

arri"a cuando pasa por el origen a. #eterminar la velocidad del punto en $unción de su posición. ". Si el punto se alla en el origen en el instante t =1 m , determinar su posición, velocidad y aceleración en $unción del tiempo. SO(UCIO* a. Como se da la aceleración en $unción de la posición, ser% necesario escri"ir la de&nición "%sica de la aceleración ecando mano de la regla de la cadena a ( x )=

dv dv dx dv  =  = v dt  dx dt  dx

Entonces se podr% o"tener la velocidad integrando esta relación

∫

∫ (−4 x ) dx

vdv = a ( x ) dx =¿

(o cual da

∫¿

v

2

−v

2 0

2

2

=−2 ( x − x ) 0

2

Utili'ando las condiciones dadas de +ue

v = v 0= 2

m  x = x 0=0 y s   cuando

reagrupando t!rminos, se tiene v ( x )=2 √ 1 − x

2

". Se puede integrando aora esta 4ltima e5presión para o"tener la posición en $unción del tiempo. (a de&nición da dx  = v ( x )= 2 √ 1− x 2 dt 

6ue se puede escri"ir en la $orma dx

√ 1− x

2

=2 dt 

Integrando esta ecuación se tiene −1

sen  x =2 t + c o x ( t )= sen (2 t −2 )

#onde se a tomado la constante de integración de manera +ue aya cuando

t = 1 s

 x =0

. plicando esta e5presión en la $órmula +ue se a dado para la

aceleración se tiene a ( t )=−4 x =−4 sen ( 2 t −2 )

(a ecuación de la velocidad en $unción del tiempo se puede o"tener o "ien sustituyendo en la ecuación

a

a ( t )=−4 x =−4 sen ( 2 t −2 )

(a ecuación de la velocidad en $unción del tiempo se puede o"tener o "ien sustituyendo en la ecuación

a

v ( x )=2 √ 1 − x

2

=2 √ 1− sen ( 2 t − 2 )=2cos ( 2 t − 2 ) 2

O "ien por derivación directa de la posición v ( t )=

dx  = 2cos ( 2 t −2 ) dt