Descripción: ejercicios de dinamica de la particula
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PROBLEMAS DE DINAMICA CURSO FI203 UNI
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Descripción: Problemas Propuestos de Dinamica Lineal y Circular.
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INGENIERÍA CIVIL
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INGENIERÍA CIVIL
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Descripción: solucion de ejercicios de vaciado de recipientes conicos
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EJERCICIOS 1. Un punto punto material se mueve a los largo largo del eje y con una aceleración aceleración a ( t )=5 sen sen wt m / s siendo w =0.7 rad / s . En el instante inicial ( t =0 ) , 2
2m
el punto se alla
por encima del origen movi!ndose acia a"ajo
con una celeridad de 5 m / s . a. #eterminar #eterminar la velocidad y la posición posición del del punto en $unción $unción del tiempo. ". Representar Representar gr%&camente la posición, posición, la velocidad y la aceleración. c. #eter #etermin minar ar el despla despla'am 'amien iento to δ del punto entre t =0 s y t =4 s . d. #eterminar #eterminar la distancia total recorrida recorrida por el punto entre entre
t =0 s y
t =4 s .
SO(UCI)* a. Como se se da la aceleració aceleración n en $unción $unción del tiempo tiempo,, la velocidad velocidad y la posición se o"tendr%n sin m%s +ue integrar las de&niciones. rimeramente. dv = a ( t ) =5 sen( 0.7 t ) dt
Integrando se tienev ( t )=−5 −
5
[cos ( 0.7 t ) −1 ]
0.7
#onde se a tomado la constante de integración de manera +ue v =−5 m / s cuando
satis$aga la condición inicial aora. dy 5 = v ( t ) =−5 − [ cos ( 0.7 t )−1 ] dt 0.7
Se tiene y (t )=2 −5 t −
5 0.7
[
sen ( 0.7 t ) 0.7
−1
]
t =0 . Integrando
". En la &gura se an representado gr%&camente la posición, velocidad y aceleración del punto. O"s!rvese +ue la aceleración es positiva durante los primeros cuatro segundos y por tanto, la pendiente de la gr%&ca de la velocidad tam"i!n ser% positiva durante dico tiempo. nalógicamente, la velocidad es negativa la pendiente de la gr%&ca de la posición. #espu!s del instante t/1.0s la velocidad es positiva as como tam"i!n la pendiente de la gr%&ca de la posición. En el instante t/1.0s la velocidad en nula2 v ( t )=dy / d t =0 y la posición pasa por su valor mnimo.
c. El despla'amiento del punto entre t =0 s y t =4 s no es mas +ue a di$erencia de posición entre dicos instantes.
d. (a distancia recorrida entre
t =0 s
y
t = 4 s
es mayor +ue el
despla'amiento ya +ue el punto se a movido por de"ajo del origen y despu!s por encima de !l. El lugar donde el punto interviene el sentido de su movimiento se alla determinando cuando v ( t )=−5 −
5
dy = 0 dt
[cos ( 0.7 t ) −1 ]=0
0.7
(o cual da t =1.809 s . Entonces s =| y ( 1.809 ) − y ( 0 )|+| y ( 4 )− y ( 1.890 )|
¿ 5.858 + 11.011=16.87 m 3. Un punto material +ue depende de un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo +ue a ( x )=−4 x m / s y +ue la velocidad del punto es de 2 m / s acia 2
arri"a cuando pasa por el origen a. #eterminar la velocidad del punto en $unción de su posición. ". Si el punto se alla en el origen en el instante t =1 m , determinar su posición, velocidad y aceleración en $unción del tiempo. SO(UCIO* a. Como se da la aceleración en $unción de la posición, ser% necesario escri"ir la de&nición "%sica de la aceleración ecando mano de la regla de la cadena a ( x )=
dv dv dx dv = = v dt dx dt dx
Entonces se podr% o"tener la velocidad integrando esta relación
∫
∫ (−4 x ) dx
vdv = a ( x ) dx =¿
(o cual da
∫¿
v
2
−v
2 0
2
2
=−2 ( x − x ) 0
2
Utili'ando las condiciones dadas de +ue
v = v 0= 2
m x = x 0=0 y s cuando
reagrupando t!rminos, se tiene v ( x )=2 √ 1 − x
2
". Se puede integrando aora esta 4ltima e5presión para o"tener la posición en $unción del tiempo. (a de&nición da dx = v ( x )= 2 √ 1− x 2 dt
6ue se puede escri"ir en la $orma dx
√ 1− x
2
=2 dt
Integrando esta ecuación se tiene −1
sen x =2 t + c o x ( t )= sen (2 t −2 )
#onde se a tomado la constante de integración de manera +ue aya cuando
t = 1 s
x =0
. plicando esta e5presión en la $órmula +ue se a dado para la
aceleración se tiene a ( t )=−4 x =−4 sen ( 2 t −2 )
(a ecuación de la velocidad en $unción del tiempo se puede o"tener o "ien sustituyendo en la ecuación
a
a ( t )=−4 x =−4 sen ( 2 t −2 )
(a ecuación de la velocidad en $unción del tiempo se puede o"tener o "ien sustituyendo en la ecuación
a
v ( x )=2 √ 1 − x
2
=2 √ 1− sen ( 2 t − 2 )=2cos ( 2 t − 2 ) 2
O "ien por derivación directa de la posición v ( t )=