OPERACIONES UNITARIAS
DOCENTE: Dr. HANNIBAL BRITO
EJERCICIOS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS 1. Por la tubería horizontal representada en la figura circula agua. El diámetro de las
secciones 1 y 3 es Ø = 20 cm, reduciéndose en la sección 2 a la m itad. Considere g = 10m/s2.
2.
En la pared lateral de un depósito de agua para riego hay una compuerta circular de radio r= 20cm, situada a un metro del fondo. Calcular la fuerza de empuje sobre la compuerta y la coordenada del centro de empuje, a) cuando el agua alcanza una altura de 8 m, b) cuando el agua alcanza una altura de 6 m,
3.
Dos fluidos se mezclan en forma homogénea quedando burbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total total de 1.2 lit. lit. Si las densidades y masas de cada fluido fluido son gr/cm3, m1 = 600 gr 0.8 gr/cm 3 y m2 = 400 gr, considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule: a) El volumen total total de las burbujas b) La densidad de la mezcla. Solución inciso a): El volumen de la mezcla está dado por la suma de los volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.
Despejando VB, obtenemos 3
V M 1200 cm , el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenes de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos M =
del problema de la siguiente forma: 3
3
V 1 =m1 gr/1cm = 600 cm ; 3 3 V 2 m2 / 400gr/0.8gr/cm = 500 cm 2 = Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:
Solución inciso b): La densidad de la mezcla esta dada por la masa de la mezcla entre el volumen de la misma.
4.
⁄
Se mezclan homogéneamente homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones fracciones de volumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 3 3 1.2 gr/cm ; X2 = 0.46, 2 = 0.85 gr/cm y X 3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm 3, respectivamente. respectivamente. Si el volumen volumen de la 3 mezcla es VM = 766.27 cm , calcular: c) La densidad de la mezcla. Solución: La densidad de la mezcla está dada por
Sustituyendo
5.
, se obtiene
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular: a) La densidad de la aleación, L =? b) El “quilataje” del oro en la aleación Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación. Respuesta: a) Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un cuerpo, , donde m M y VM son datos del
problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.
b) Para obtener el “quilataje” necesitamos saber el porcentaje de masa de oro en el lingote, para lo cual
utilizamos la ecuación 1.10, desarrollada desarrollada con el propósito de conocer, la fracción de volúmenes de los componentes en la mezcla, mezcla, y obtener el porcentaje porcentaje de masa del componente componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 de esta misma sección, en donde observamos que hemos hecho este mismo ejercicio, ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro oro está dado por:
Con
las respectivas fracciones de volumen del oro y del cobre en la aleación. aleación.
Recordando que X Au + XCu = 1, obtenemos:
Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, X Au:
Despejando la masa de oro, de la última ecuación:
Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será X Au %= 5.712Kg/12Kg = 47.6%.
es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates serán:
B1 B1
B
O
V
V
V
O L
B2
B2
B2 (1)
L
O
L
2
(3)
1) Objeto colgando fuera de un vaso con líquido que descansa sobre una balanza B2. La balanza B1 registra el peso real del objeto, mientras que la B2 registra solo los pesos del líquido y del vaso. (2) Mismo objeto suspendido de de una cuerda dentro del líquido, la balanza B2 registra el peso del líquido, el peso del vaso y una tercera fuerza que aparece al entrar el objeto en el fluido, mientras que la balanza B1 registra un peso disminuido del objeto. Figura (3) objeto reposando en el fondo del vaso, vaso, B1 no registra nada, B2 registra los pesos del agua, del vaso y el peso real del cuerpo.
, entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro calculado son:
Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los quilates de oro. 6.
El objeto metálico homogéneo, O, figura (1) ejercicio 9, está suspendido mediante una cuerda de peso despreciable, de una balanza de resorte B 1 (Dinamómetro), que muestra una lectura lectura de 7.25 kg., mientras que la balanza B2 registra la masa de un líquido, líquido, L, (5Kg) y la del vaso que lo contiene, V, (1Kg). (1Kg). En la figura (2) el mismo objeto se encuentra sumergido en el líquido. La balanza B1 indica 6.25 Kg, mientras que la B 2 señala 7 Kg. El volumen del objeto, O, es 0.001 m 3. En la figura 3, el objeto, O, se deja reposando reposando en el fondo del vaso, y la balanza B2 registra la masa del vaso, la masa del líquido y la masa del objeto.
a. ¿Cuál es la fuerza de empuje del líquido sobre el objeto? b. ¿Cuál es la densidad del líquido? c. ¿Qué pasó con las fuerzas fuerzas de empuje y la fuerza aparente del objeto dentro del fluido, en la situación representada por la figura 3? ¿desaparecieron? Solución inciso a) Para un objeto que no flota, se tiene que la fuerza de flotación, F L, está dada por la diferencia entre el peso del objeto fuera del fluido, W O, y el peso dentro del del mismo (peso aparente), W a:
⁄ ⁄
Solución inciso b) Utilizando la fórmula para la fuerza de flotación que proporciona el principio de Arquímedes, obtenemos:
De donde obtenemos la densidad del fluido, que todavía no conocemos, en el que se encuentra el objeto sumergido.
⁄ ⁄
El resultado sugiere que el líquido en el que se sumerge el objeto es agua.
Solución inciso c) En la representación de la figura 3, la balanza B1 no registra nada, mientras que la balanza B2 Registra el peso del fluido, el peso del vaso y el peso del objeto, pero este último es igual al peso aparente mas la fuerza de flotación: W O = W A + F F F. Se construye una lancha rectangular formada formada por seis placas placas de Aluminio, figura, con las siguientes dimensiones: ¼ pulgada de espesor, espesor, 4.0 m de largo por 1.80 m de ancho y 0.70 cm de altura; la cual tiene como armadura unas costillas de refuerzo, compuesta por barras, también de aluminio, con dimensiones de ½ pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte y en total suman 40 m de longitud. Si se deposita una masa de 3 toneladas dentro de la lancha, calcular: a) La profundidad, h, que se mete la lancha en el agua. 7.
Solución. La profundidad h que la lancha se introduce en el agua debido al peso total se obtiene del volumen de fluido desplazado, VFd = A h, cuyo cuyo peso peso es es la fuerza fuerza de flotación flotación (Principio (Principio de Arquímed Arquímedes). es). Las fuerza fuerzass que intervienen con la lancha flotando son: La fuerza de flotación F F, el peso del aluminio estructural de la lancha, W Al, y el peso adicional, W m, proporcionado por la masa de 3 toneladas, de tal forma que la fuerza de flotación sea igual a la suma de las otras como requisito para que flote.
Con Wm = mg =3000Kgx9.8m/s2 = 29400 N, W Al =m Al g
Para calcular la masa de aluminio obtenemos el volumen total del mismo multiplicado por su densidad:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ,
El volumen del aluminio es:
Entonces
Por tanto, la fuerza de flotación queda:
Por el Principio de Arquímedes,
:
Finalmente,
8.
(Teorema de Torricelli). En la figura adjunto se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de
una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm cm de altura (h 3). tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre suelo. Calcular: a) b) c)
La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza. La velocidad a la cual llega el agua al tanque B. El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.
= 1
El 1.5 el
1 h
A
2
h1 3
h2
B
h3
Solución inciso a) Aunque la ecuación para para la velocidad de descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) (carga) y 2 (descarga), (descarga), se tiene: tiene:
Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A 1, es mucho mayor que el área de descarga en el punto 2, A 2, y de acuerdo con la ecuación de continuidad la velocidad de desplazamiento del nivel de líquido en el tanque, v 1, será mucho menor que la velocidad de descarga del fluido, v 2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuación de Bernoulli se reduce a:
√ (⁄⁄) √ [[ ] √ ⁄ []] ⁄
En donde hicimos P 1 = P2 = P ATM y v1 = 0. Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos:
Con h = h1 – h2. Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando
Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura h a la cual se estabiliza estabiliza el nivel de fluido en en el tanque. tanque. Finalmente,
Solución inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos:
Con P2 = P3 = P ATM y sustituyendo v 2 de la ecuación (3), la ecuación anterior queda:
Despejando v3:
Solución inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula a partir de la definición de gasto: Q = V/t en m 3/s.
Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga (mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del tanque es:
⁄
Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte parte ancha y ¾ pulgada en la parte 9. Por un tubo de Vénturi, estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule: a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo H circulan por el tubo? Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi representado por la ecuación de continuidad:
1
2 Figura ejemplo 2
está
A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades e n la parte ancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuación ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de Bernoulli:
El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubería horizontal, por lo que h 1 y h2 están a la misma altura. Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas incógnitas y P1 – P 2 se calc calcul ula a a part partir ir de la dife difere renc ncia ia de altu altura rass H que es dato, entre los dos tubos manométricos manométricos instalados para tal propósito en el tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático, P1 – P2 = g H, como es el caso caso de los dos tubos tubos manométricos midiendo la diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos:
, por lo que
y la ecuación (2) queda:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Despejando v2 de la ecuación anterior:
Entonces el gasto, ecuación (1), será:
10. Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito, que se encuentra conectado conectado al tramo más
angosto de la bomba, a través de un tubo que tiene una altura, h =8 cm, como se muestra en la figura. figura. El diámetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el líquido
en el depósito tiene una densidad de 0.75 gr/cm 3. Considerando una densidad de 1.3x10 1.3x10-3 gr/cm 3 para el aire en la bomba, calcular: a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta, P, mínima para elevar el líquido desde el depósito a una altura h. b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes Aire AAir ancha y estrecha de la bomba. h Soluci Solución ón inciso inciso a) La altura altura h que sube sube el líquid líquido o el depósito está directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.
Donde
I es
Líquido
desde desde
Figura ejemplo 3.Bomba manual para rociar.
⁄ ⁄ ⁄
la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,
Como puede observarse la mínima diferencia diferencia de presiones es suficiente para subir el el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno puede sacar sacar el líquido de un refresco con un un popote al hacer un poco de vacío vacío con la boca. Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli es:
Debido a que v 1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las contenga y esta es la ecuación de continuidad
Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:
⁄
Y
Despejando v2:
Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):
⁄ ⁄
Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha de la tubería, v 2 2, es tal que la presión debe ser muy baja y se s e presenta el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se pulvericen. Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presión en P 1 y recopilar información sobre el fenómeno de cavitación debido a la baja presión en un tubo de Vénturi. 11. Por una tubería de 1/8 de pulgada (0.3175cm) de diámetro pasa aceite de motor. El aceite tiene una
viscosidad = 30x10-3 N.s/m 2, temperatura temperatura de 20°C y densidad de 0.8 gr/cm3, descargando a la atmósfera con un gasto gasto de 0.1ml/s. Para medir la caída de presión en la tubería se colocan dos tubos manométricos separados una distancia de 30 cm como se indica en la figura. Calcule: a) El No. de Reynolds. b) La caída de presión en cm de altura equivalentes entre los dos tubos manométricos.
Solución inciso a): El No. de Reynolds.
⁄ ⁄
Lo que muestra un flujo bajo régimen laminar.
La velocidad del flujo la obtenemos del gasto y el área sección transversal de la tubería: -6
3
-6
2
de
-
2
v = Q/A = (0.1x10 m /s)/(7.92x10 m ) = 1.26x10 = 1.26 cm/s Donde, A =
2
R =
2
-6
2
(0.0015875m) = 7.92 x10 m
30 Distancia entre dos tubos manométricos y la diferencia de alturas debido a la caída de presión de un fluido laminar viscoso.
Solución inciso b): b): La caída de presión entre los dos puntos de la tubería está dada por
⁄ ⁄
La diferencia de altura debida entre l os dos tubos manométricos es, entonces: 3
)(9.8m/s2) = 0.045 m = 4.5 cm
12. Por una tubería lisa de 8” de diámetro continuo y una longitud de 1 Km, se bombea agua a una
temperatura de 20 °C hasta una altura de 30.9 m. La tubería descarga en un tanque abierto a la presión atmosférica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule: a) El tipo de régimen del fluido en la tubería b) c)
La caída de presión en la tubería La potencia de la bomba, necesaria para subir el agua con el gasto indicado
m/s
Solución inciso a) Para saber si el flujo de agua que corre por la tubería es laminar, calculamos el No. de Reynolds.
,
Donde es la densidad del agua, v la velocidad velocidad de descarga, D el diámetro diámetro de la tubería y agua a 20°C. Para conocer v aplicamos aplicamos la ecuación del gasto:
la viscosidad del
⁄ ⁄
A es el área de sección transversal transversal de la tubería, por lo que que la velocidad de descarga es
⁄⁄⁄
, régimen no turbulento.
Solución inciso b) En este ejercicio se presentan dos caídas de presión: la debida a la viscosidad, el diámetro, el gasto gasto y la longitud de la tubería, representada ecuación de Poiseuille, y la segunda debida a la diferencia de alturas entre la bomba y punto de descarga.
0
1 Km
primera
30.9m 30.9 m 0
por
0
Los manómetros indican la caída de presión de un fluido viscoso, en los diversos tramos de la tubería, que descarga a la atmósfera a una altura de 30.9 m .
la el
De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, la caída de presión presión en la tubería, PP, debido a la viscosidad, = 10-3 N.s/m2, la longitud, L = 1 Km, el gasto Q = 0.4x10 -3 m3/s, y el diámetro de la misma D = 20 cm, está dada por:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Por otro lado, la caída de presión debida exclusivamente a la altura que tiene que vencer la bomba, es: , que equivale a 3 atmósferas.
La caída de presión que tendrá que compensar la bomba Estará dada, de acuerdo con la igualdad (1), por:
Es decir, bajo las condiciones de flujo laminar, y un diámetro de 20 cm en la tubería, la caída de presión debida a la viscosidad es despreciable para agua. Si aumentamos el gasto a valores más prácticos, digamos de 4 lt/s, la velocidad aumenta a 0.127m/s y según el Reynolds el tipo de régimen sería turbulento, Re = 25400. En conclusión la ecuación de Poiseuille tiene una aplicación muy reducida y solo se emplea en casos especiales donde el flujo es laminar, lo que generalmente implica gastos pequeños para tuberías que no tienen diámetros grandes.
Solución inciso c) La presión de la bomba está dada por el producto caída de presión por el gasto, es decir
de
⁄
L1
13. Un tubo capilar de 1 pie de largo y 1/64 pulgadas de diámetro
está conectado al fondo de un depósito cilíndrico, que tiene una de 1 pie y diámetro de 6 pulgadas, lleno de agua, se muestra figura adjunto. Calcular: a) El gasto de descarga Q = dV/dt (m3/s, cm 3/hr ) b) La rapidez de caída del nivel del agua agua en el depósito, dh1/dt. Considere un valor de 0.01 poise para la viscosidad del c) La rapidez de movimiento, dh2/dt, del nivel de agua en el capilar esta se agota en el depósito (L1 = 0).
la
L2
Depósito con capilar al fondo. fondo .
interno altura en la
agua. cuando
De acuerdo con la ecuación ecuación de Poiseuille, el gasto de fluido a través del área de sección transversal de un tubo cilíndrico de longitud L y radio R, es:
Donde P es la diferencia de presión entre los puntos separados por la distancia L. Solución inciso a). El flujo de agua a través del capilar se debe a la presión ejercida por el nivel de agua en el depósito más la presión de la columna de agua en el propio capilar, dando lugar a la aplicación de la ecuación de Poiseville en el depósito más la misma en el capilar, lo que se representa de la siguiente forma: 1º. La presión de de la columna de agua en el depósito depósito sobre la parte superior del capilar contribuye contribuye a que se genere un gasto dado por:
Con R el radio del capilar y L 2 la longitud del mismo. Como puede observarse en el problema, la diferencia de presiones es proporcionada por la altura de la columna de fluido, P = gL1 en este caso. 2º. La contribución al gasto en el capilar debida a la presión presión de su propio propio peso, está dada por
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
De tal forma que el gasto total a través del capilar es:
Entonces,
Solución inciso b): Como de líquido en el mismo.
, donde A es el área del depósito y dh1/dt la rapidez con que se baja el nivel
La ecuación (4) queda:
Donde R es el radio del capilar y A 1 el área del depósito, por lo que, sustituyendo valores, la rapidez de bajada del nivel de agua en el depósito para L 1 = 12 pulgadas y L 2 = 12 pulgadas, queda:
⁄ ⁄ ) ( )( ⁄ ⁄
⁄
Solución inciso c): Cuando el depósito se vacía, L 1 = 0, y L2 = 12 pulgadas, la rapidez de bajada del nivel de líquido en el capilar está dada por:
Donde R es el radio del capilar y A 2 su área de sección transversal.
) ( ⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ 3
14. Una instalación fabril consume 40 m /h de agua que toma de un río próximo situado a 15m de desnivel del
depósito de la fábrica. Calcúlese el costo diario de bombeo si el agua se conduce a través de una tubería de 3’’ y de 240m de longitud total, incluyendo los accesorios. El kilovatio – hora cuesta 0,30 ptas, y el rendimiento es del 80%. DATOS: Tubería de 3’’
Q= 40 m 3/h = 0.0111 m 3/s ΔZ= –15 m L=240 m kW-h = 0.3 ptas Rendimiento = 80% D = 0.0779 m A = 0.00477 m2
µ = 0.00089 Kg/m.s – Hallando el índice de Reynold:
– Hallando la velocidad:
2.329
– Hallando la carga de fricción:
– Calculando la carga de trabajo:
– Calculando la potencia de la bomba:
434,63
– Calculando el costo:
……………..Rpta. ……………..Rpta.
15. Para concentrar una disolución de ClNa se bombea desde un depósito almacén hasta un evaporador, a
través de una tubería lisa de cobre de 3 cm de diámetro interno, a razón de 150 m 3/día. A la temperatura de bombeo la disolución tiene una densidad de 1150 Kg/m 2 y su viscosidad es de 2.3 centipoises. Calcúlese:
a) La pérdida de presión por fricción si la longitud total de la tubería es de 50m. b) La potencia necesaria para vencer la fricción: DATOS:
Tubería lisa de Cu Q = 150 m3/dia = 0.001736m3/s D = 3 cm = 0.03 m ρClNa=1150 Kg/m2 μ=2.3 cp = 0.0023 kg/m.s a) Hallamos la velocidad:
– Hallamos el indice de Reynolds:
– Hallando el número de fanin en la figura 1-3, para para un tubo liso.
– Hallamos la carga por fricción
la perdida perdida de presión por fricción: – Hallamos la
13931.1 kgm2
b) Hallando la carga de trabajo:
– Hallando la potencia:
24.184
……………Rpta. ……………Rpta.
16. Una disolución de acido sulfúrico al 40% ha de llevarse con caudal de 10000 L/h a través de una tubería de
25 mm de de diámetro interno y 30 m de longitud. El punto de descarga del acido sulfúrico se encuentra encuentra a 25 m por encima del nivel del mismo en el deposito. La tubería tiene 2 codos de 20 diámetros de longitud equivalente cada uno y su rugosidad relativa es 0.002. Calcúlese la potencia de la bomba, si en las condiciones de bombeo el peso especifico del acido sulfúrico es 1530 Kg/m 3 y su viscosidad cinemática 0.0414 cm 2 /s DATOS: Q = 10000 l/h = 0.002778 m 3/s D = 0.025 m L = 30 m
– hallando la velocidad
ΔZ = –25 m
E/D = 0.002
ρ = 1530 kg/m 3
µcinética = 0.0414 cm 2/s = 4.14x10-6 m2/s 2 codos
– Hallamos la viscosidad dinámica:
– Hallamos el índice de reynold:
– Hallamos el coeficiente de fricción con la fig. 1-4
– Hallamos la longitud total:
– Hallamos la carga de fricción:
– Hallamos la carga de trabajo:
–
Hallamos la potencia de la bomba
………………Rpta. ………………Rpta. 3
17. Se necesita transportar 50 m /h de etanol desde un depósito situado en la planta baja de una fábrica, hasta
un reactor situado 20 m sobre el depósito (en sentido vertical). La conducción se ha de efectuar a través de una tubería de 4", y la instalación tiene una longitud de 40m con 4 codos cerrados y 2 válvulas de asiento. Calcúlese: a) La potencia de la bomba a instalar instalar si el rendimiento del grupo motor-bomba motor-bomba es del 65%. b) El coste de bombeo si el kilovatio-hora cuesta 0.40 ptas. Si la densidad es 789 kg/m 3 y la viscosidad es 1,194x10 -3 kg/m.s DATOS: Tubería de 4’’
Q = 50 m 3/h = 0.014 m 3/h D = 0.1023 m (tabla A.19) A = 0.0082.1 m2 (tabla A.19)
µ = 1.194*10-3 kg/m.s ρ = 789 kg/m
3
a) calculando la velocidad:
1.705
L = 40m ∆Z = 20m
kW-h = 0.40 ptas 4 codos cerrados
2 válvulas de asiento – Calculando el índice de Reynold:
– Calculando la longitud equivalente y total:
– Calculando la carga de fricción:
– Calculando la carga de trabajo:
– Calculando la potencia de la bomba
387.153 kgms
…………..Rpta.
b) calculando el costo de bombeo:
……………….Rpta. ……………….Rpta.
18. A través tr avés de una tuberí a de acero de 2’’ y longitud equivalente de 120 m hay que transportar agua desde un
depósito hasta una cámara de rociado, saliendo por una boquilla de atomización que se encuentra a 20 m por encima del nivel del agua en el depósito. El flujo de agua a de ser de 20 m 3/h y la caída de presión en la boquilla es de 0,8 at. Determínese la potencia de la bo mba a instalar si la eficiencia del motor es del 90% y la de la bomba del 60%. DATOS: Calculando la velocidad
Tubería de 2’’
Diámetro= 0.0525m (tabla A.19) -4
2
A= 21.6x10 m (tabla A.19)
L= 120 m ΔZ= -20 m
Q= 20m3/h = 5.556x10-3 m3/s ΔP= -0.8 at = -8000 Kg/m
2
Calculando el índice de Reynold
-3
µ= 1x10 Kg/m.s γ= 1000 Kgm
3
Motor= 90% (rendimiento) Bomba= 60% (rendimiento) – Hallando el coeficiente de fricción:
– Hallando la carga de fricción:
– Calculando la carga de trabajo:
potencia teórica teórica de la bomba: – Calculando la potencia
– Calculando la potencia potencia real de la bomba:
…………..Rpta.
3
2
19. Una disolución de Acido Sulfúrico, de densidad 1530 kg/m y viscosidad cinemática 0.0414 cm /s; se ha de
bombear desde un depósito hasta el lugar de aplicación, situado en la misma instalación fabril a una altura de 18 m por encima del nivel del Acido Sulfúrico en el depósito. La línea de conducción es de tubería de plomo de 6 cm de diámetro interno y su longitud total (incluidos los accesorios) es de 450 m. Determínese la potencia teórica de la bomba a instalar para efectuar el transporte si se necesita un caudal de 120 l/min. DATOS: 3 ρ = 1530 kg/m µcinetica = 0.0414 cm 2/s =4.14x10-6 m2/s
hallando viscosidad dinámica:
ΔZ = 18 m
D = 6 cm = 0.06 m L = 450 m Q = 120 l/min = 0.002 m 3/s – Hallando la velocidad:
– Hallando el índice de Reynold:
– Hallando rugosidad relativa (fig. 1-3) y coeficiente de fricción (fig. 1-4):
– Hallando la carga de fricción:
– Hallando la carga de trabajo:
– Hallando la potencia de la bomba:
………….Rpta. ………….Rpta.
3
20. Calcúlese la potencia teórica de la bomba necesaria para hacer circular 1 m /min de agua por el interior de
los tubos de un condensador, constituido por un haz de 100 tubos de 1,5 cm de diámetro y 5 m de longitud, situado horizontalmente. El agua entra en los tubos a 15°C y sale a 85°C. DATOS: Q = 1 m 3/min = 0.0167 m 3/s D = 1.5 cm =0.015 m L=5m # de Tubos = 100 – Calculando el area total:
– Hallando la velocidad:
– Hallando el índice de reynold
– Hallando el coeficiente de fricción:
– Hallando la carga de fricción:
– Hallando la carga de trabajo:
–Hallando la potencia teórica:
……………Rpta. ……………Rpta.
2
21. A una conducción de agua de 20 cm de diámetro, en un punto en la que sobrepresión es de 4 Kg/cm , se conecta un tubo horizontal de hierro de ½’’, que tiene una longitud equivalente de 25 m y descarga a la
atmósfera. Determínese el caudal a través del tubo, siendo la temperatura del agua 18°C. DATOS:
10333 g
Tubería de ½’’
L= 25m A= 1.93x10-4 m2 (tabla A.19) D= 0.0157m (tabla A.19) 3
γ= 998.5 Kg/m (tabla A.5)
µ= 1.0692x10-3 Kg/m.s (tabla A.5) – Calculando la carga de fricción
– Calculando el número de Karman:
√ √
– Calculando el coeficiente de fricción:
– Calculando la velocidad:
– Calculando el caudal:
√ (√ (√ )) √ √
…………..Rpta …………..Rpta.
3
22. A través de d e 30 m de una tubería de 1½’’ circula ácido sulfúrico de densidad 1980 Kgm y viscosidad 26,7 2
centipoises. Determínese la velocidad másica, en Kg/m .s, si la pérdida de presión a lo largo de la conducción es de 20 mm de Hg. Calculando el coeficiente de fricción:
DATOS: Tubería de 1½’’
L= 30m ρ= 1980 Kgm
3
µ= 26.7x10-3 Kg/ms ΔP= 20 mmHg
D= 0.0409 m (tabla A. 19)
– Calculando el número de Karman:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2.8723
– Calculando la velocidad:
2.8723
0.1741
– Calculando la velocidad másica:
…….………Rpta. …….………Rpta.
3
23. El abastecimiento de agua fábrica con caudal de 160 m día se hace mediante una tubería de 1” y 2350 m de
longitud, desde un manantial situado a 240 m de altura (sobre el suelo de la fábrica). En las horas de máxima presión de agua desciende considerablemente, y con ello el caudal de agua en algunas de las aplicaciones. Se tratar de renovar la conducción, estableciendo al mismo tiempo un depósito general situado sobre la misma fábrica con la entrada a 48 m del suelo. a) Si se respeta la conexión antigua de 1’’, ¿Cuál será la potencia de la bomba que a de introducirse en la canalización para conseguir el caudal deseado? b) Determínese el diámetro que a de tener la conducción para lograr el caudal deseado sin la necesidad de la bomba. DATOS: Tubería de 1’’
Q = 160 m 3/día = 0.00185 m 3/s L = 2350 m µ = 1.1896x10-3 kg/m.s ρ = 999.1 kg/m 3 D = 0.0267 m
A = 5,6x10-4 m2 a) Hallando la velocidad:
–
Hallando el índice de Reynolds:
– Hallando la carga de fricción:
– Hallando la carga de trabajo:
– Calculando la potencia:
……....……Rpta. ……....……Rpta.
b) Calculando la velocidad en función del diámetro:
– Hallando diámetro diámetro en función de coeficiente de fricción:
– Hallando el índice de Reynold:
fricción: – Haciendo un supuesto de coeficiente de fricción:
– Haciendo el segundo supuesto de coeficiente de fricción: fricción:
– Como:
– Entonces:
…………Rpta. ………… Rpta.
24. Un depósito elevado contiene Alcohol Etílico del 95% a 20° C está conectado con una cuba de esterificación
mediante una tubería de hierro de 1". El arranque de la tubería, en el fondo del depósito, está a 7 m sobre la llegada a la cuba de esterificación. La tubería tiene 3 codos y una válvula de asiento; su longitud total es de 25 m. a) ¿Cuál es el caudal de salida del alcohol al principio de la operación, siendo su nivel nivel 8 m sobre el fondo? b) ¿Cuál es el caudal cuando abandona el depósito la última gota de alcohol? La viscosidad del alcohol es 1.4x10-3 kg/m.s y su densidad 815 kg/m 3 DATOS Tubería de 1’’
-3
D= 26.7x10 m (Tabla A-19) -4 2 A= 5.60x10 m -3 µ= 1.4x10 kg/m.s 3 ρ= 815 kg/m 3 codos 1 válvula de asiento L= 25 m
a) Calculando la carga de fricción:
√ √ √ √ √ √
– Calculamos la longitud total:
– Calculamos el número de Karman:
figura 1-3 – Hallamos la rugosidad relativa mediante la figura
– Hallamos la velocidad:
– Calculamos el caudal:
……….Rpta.
b) Calculamos la carga carga de fricción:
– Calculamos la longitud total:
– Calculamos el numero de karman:
√ √ √ √ √ √
– Hallamos la rugosidad relativa mediante la figura figura 1.3:
– Calculando la velocidad:
– Calculamos el caudal:
…………..Rpta
25. Desde un depósito de agua, situado a 35 m de altura sobre el lugar de utilización, han de conducirse 200
L/min a través de una conducción, cuya longitud es de 150 m, que contiene 4 codos y una válvula de asiento, Determínese el diámetro de la tubería. DATOS: ρ = 998.2 kg/m 3 µ = 1.009 cp = 1.009x10 -3 kg/m.s ΔZ = 35 m Q = 200 l/min = 0.0025 m 3/s L = 150 m 4 codos 1 válvula de asiento
Para iniciar nuestro cálculos suponemos: suponemos: D1 = 2
⁄
– Entonces tenemos de la tabla A. A. 19: 19:
– Hallamos la velocidad:
– Hallamos la la rugosidad rugosidad relativa (de la fig.1.3):
– Hallamos el número de Reynolds:
– El coeficiente de fricción o Fannig (f) lo hallamos con Re y E/D
– Hallamos la pérdida por fricción:
– Hallamos el hf supuesto:
– Comparamos el hf con el h f supuesto y observamos que:
Por lo tanto tenemos que hacer otra suposición. Suponiendo:
D2 = 1
⁄
– Entonces tenemos de la tabla A. 19:
– Hallamos la velocidad:
– Hallamos la la rugosidad rugosidad relativa (de la fig.1.3):
– Hallamos el número de Reynolds:
– El coeficiente de fricción o Fannig (f) lo hallamos con Re y E/D en la fig. 1.4
– Hallamos la perdida por fricción:
– Hallamos el hf supuesto:
– Comparamos el hf con el h f supuesto y observamos que:
Por lo tanto tenemos que hacer otra suposición. Suponiendo:
D3 = 1 ½’’
– Entonces tenemos de la tabla A. 19:
– Hallamos la velocidad:
⁄
la rugosidad rugosidad relativa (de la fig.1.3): – Hallamos la – Hallamos el número de Reynolds:
– El coeficiente de fricción o Fannig (f) lo hallamos con Re y E/D en la fig. 1.4
– Hallamos la perdida por fricción:
– Hallamos el hf supuesto:
– Comparamos el hf con el h f supuesto y observamos que:
Entonces como este valor es el más m ás aproximado:
…………Rpta. …………Rpta. 2
26. Un aceite de viscosidad 1,80 poises y peso especifico 800 Kg/m está contenido en un depósito situado sobre el lugar de aplicación. Del fondo del depósito parte verticalmente una tubería de ½’’ cuya longitud es
de 5 m. El nivel de aceite en el depósito se conserva constante a 1 m sobre el fondo del mismo. Calcúlese la cantidad de aceite descargado por hora. SOLUCIÓN: DATOS:
Tubería de ½’’
µ= 0.18 Kg/m.s
1m
γ= 800 Kg/m 3
1
L= 5 m D= 0.0157 m A= 0.000193 m2
5m
ΔZ= 5m 2
– Calculando la carga de fricción:
– Calculando el número de Karma:
√ √ √ √ √ √ √ √ √
– Calculando el coeficiente de fricción:
0.663
– Calculando la velocidad:
√ 0.663
– Calculando el caudal:
– Calculando el flujo másico:
………………Rpta. ………………Rpta.
toma amoníaco del 20% en un depósito y lo transporta a lo 27. Una bomba de 5 CV con una eficacia del 70%, toma largo de una tubería de 100 m de longitud total hasta el lugar de descarga situado a 15 m por encima del lugar de succión. Determínese el diámetro de tubería a emplear si el caudal que circula por la canalización es de 10 m 3/h. DATOS: Pefectiva = 5 CV = 262,5 kgm/s. Eficiencia = 70% L = 100m. ∆Z = -15 m Q = 10 m 3/h= 2,778 x 10 -3 m3/s. D =??
ρ = 922.9 kg/m 3
µ = 10-5 kg/ms
– Calculando la carga de trabajo:
– Calculando hf :
√ √ √
– Calculando la velocidad velocidad en función del diámetro: diámetro:
coeficiente de fricción: – Calculando el diámetro en función de coeficiente
Suponiendo f 1 = 0,02
– Hallamos el diámetro:
– Hallamos la velocidad 1:
– Hallamos la rugosidad relativa:
– Hallamos Reynolds:
– Hallamos f con la fig. 1-4:
– Como
f supuesto supuesto f hallado:
………………Rpta. ………………Rpta.
28. El hidrógeno empleado en una planta de síntesis de amoníaco ha de entrar en los convertidores a 75 at. Si
en el gasómetro disponemos de hidrógeno a 90 at y la línea de conducción tiene una longitud de 220 m,
determinase el diámetro de tubería a emplear si el flujo de masa ha de ser de 60 Kg/min, en condiciones isotérmicas a 27ºC. DATOS: P1 = 90 at P2 = 75 at. T = 27ºC L = 220 m MH2 = 2 g/mol µ = 0.0089x10-3 kg/m.s W=60 kg/min =1 kg/s – Calculando el flujo másico en función del diámetro:
– Calculando la presión media:
– Calculando la densidad media:
– Calculando el diámetro en función del coeficiente coeficiente de fricción:
– Calculando el índice de Reynolds en funcción del diámetro:
Suponiendo:
– Calculando el diámetro:
– Hallando el índice de Reynolds:
– Hallando E/D de la fig. 1-3.
– Hallando f de la fig. 1-4.
f Tabulado Tabulado = 0,0193 Como f Tabulado Tabulado ≠ f supuesto se hace otra suposición:
Haciendo un segundo supuesto de f:
– Calculando el diámetro:
– Hallando el índice de Reynolds:
– Hallando E/D de la fig. 1-3.
– Hallando f de la fig. 1-4.
Como f Tabulado Tabulado = f supuesto se concluye:
………………Rpta. ………………Rpta.
29. El nitrógeno que se emplea en una planta de síntesis de amoniaco por síntesis se almacena en un
gasómetro a 130 at y 14ºC. Si desde el gasómetro hasta el lugar de utilización se lleva isotérmicamente por una tubería lisa de ¾’’ a razón de 2000 kgh, calcúl ese la pérdida de presión a lo largo de 600 m de tubería. DATOS: Tubería lisa de ¾’’
D = 0.0208 m A = 0.00034 m2 T = 14ºC = 287 K P1 = 130 at W = 2000 kg/h = 0.556 kg/s L = 600 m µ = 0.0172x10-3 kg/m.s – Calculando el flujo másico:
– Calculando la presión media:
– Calculando la densidad media:
– Calculando el índice de Reynolds:
– Calculando el coeficiente de fricción
– Calculando la presión 2:
– Calculando la caída de presión:
………………Rpta. ………………Rpta.
30. Ha de llevarse hidrógeno a presión desde recinto que se encuentra a 20 at. Hasta el lugar de utilización a
donde ha de llegar a la misma presión de 20 at. La tubería de conducción es de acero de 2 y su longitud total es de 500 m. para llevar a cabo la operación es necesario elevar la presión hasta 25 at a la salida del primer recinto por medio de una bomba. Si el flujo de gas se hace en condiciones isotérmicas a 20 determínese el valor y la potencia de la bomba a instalar (se supondrá que el factor de compresibilidad es invariable e igual a la unidad, y para la viscosidad puede formarse el valor poises).
DATOS: Tubería de acero de 2’’
P1 = 25 at P2 = 20 at L = 500 m -6 μ = 9x10 kg⁄ms D = 0.0525 m – Hallamos la presión media:
⁄ ⁄
– Hallamos la densidad media:
– Hallando el flujo másico en función del coeficiente de fricción:
Suponiendo:
– Calculando el flujo másico:
– Calculando el índice de Reynolds:
– Hallando E/D de la fig. 1-3:
– Hallando f en la fig. 1-4:
Como f supuesto ≠ f 1 entonces realizamos una segunda suposición:
Suponiendo:
– Calculando el flujo másico:
– Calculando el índice de Reynolds:
– Hallando E/D de la fig. 1-3:
– Hallando f en la fig. 1-4:
⁄
Como f supuesto = f 2 entonces se concluye:
………………Rpta. ………………Rpta.
31. La cama de agua. Pág. 390 de la séptima edición de serway.
El colchón de una cama de agua mide 2 m de largo por 2 m de ancho y 30 cm de profundidad. A) Encuentre Encuentre el peso del del agua en el colchón. colchón. Hallar el volumen del agua que llena el colchón V = largo x ancho x profundidad V = 2 x 2 x 0,3 = 1,2 m 3 Tabla 1 sustancia Agua pura pura hierro
ρ (kg (kg /m )
1x103 7,86 x 103
ρ = densidad del agua pura = 1x10 3 kg /m3
v = volumen del colchón m = masa del agua en el colchón m = ρ x v m = 1x103 kg /m3 x 1,2 m3 m = 1,2 x10 3 kg
W = peso del agua en el colchón = m x g W = 1,2 x10 3 kg x 9,8 m / seg2 W = 11,76 x10 3 Newton Si la cama de agua se sustituye con una cama regular de 300 lb que se sostiene en sus cuatro patas. Cada pata tiene una sección transversal circular de 2 cm de radio. Que presión ejerce esta cama sobre el suelo?
At = suma del área de las cuatro patas r = radio de la pata de la cama = 2 cm = 0,02 m At = 4 x (π r 2) At = 4 x 3,14159 x (0,02)2 At = 3,14159 x 4 x 10·4
At = 5,0265 x 10·3 m2 m = masa del agua en el colchón = 300 lb 1 Newton 0,2248 lb X 300 lb X = 1334,5195 Newton P=
F A
1334,5195 Newton 3 Newton = 265,4967 x 10 5,0265 x 10 ·3 m 2 m2 Este resultado es casi 100 veces mayor que la presión debida a la cama de agua. El peso de la cama regular es mucho menor que el peso de la cama de agua. P=
32. El elevador de automóviles. Pág. 393 de la séptima edición de serway. En un elevador de automóviles que se usa en un taller de servicio, aire comprimido ejerce una fuerza sobre un pequeño embolo que tiene una sección transversal circular y un radio de 5 cm. Esta presion se transmite por medio de un liquido a un embolo que tiene un radio de 15 cm. Que fuerza debe ejercer el aire comprimido para levantar un auto que pesa 13300 N? Cual es la presion de aire que produce esta fuerza?
r 2 = 15 cm = 0,15 m A2 = π (r 1)2 A2 = 3,14159 (0,15) 2 A2 = 3,14159 (0,0225) A2 = 0,07 m2 F2 = 13300 Newton r 1 = 5 cm = 0,05 m A1 = π (r 1)2 A1= 3,14159 (0,05) 2 A1 = 3,14159 (2,5 x 10·3) A1 = 7,853 * 10·3 m2 F1 * A2 = F2 * A1 A F1 = 1 X F2 A2 ·3 F1 = 7,853 10 m
2
0,07 m 2
13300 Newton
F1 = 1492 Newton La presión de aire que produce esta fuerza es F P= 1 A
1492 Newton 3 Newton = 189,991 x 10 7,853 x 10 ·3 m 2 m2 P = 1,89 * 10 5 Pascales
P=
33. Supuestamente alguien pidió a Arquímedes determinar si una corona hecha para el rey era de
oro puro. La leyenda dice que el resolvió el problema al pesar la corona primero en el aire y luego en agua, como se ve en la figura 14.12 Suponga que la bascula indico 7,84 Newton en aire y 6,84 en agua. Que le dijo Arquímedes al rey?
Por nuestro conocimiento del empuje hidrostático, sabemos que la lectura de la bascula será menor en la fig. 14.12b que en la figura 14.12a. La lectura de la bascula es una medida de una de las fuerzas que actúan en la corona, y reconocemos que la corona esta estacionaria. Por lo tanto, podemos clasificar este como un problema de equilibrio. Para analizar el problema nótese que cuando la corona esta suspendida en el aire, la bascula indica su peso verdadero T 1 = Fg (despreciando (despreciand o la l a fuerza ascensional del aire). Cuando se sumerge en agua, el empuje hidrostático B reduce la lectura de la bascula a un peso aparente de T 2 = Fg − B. Como la corona esta en equilibrio, la fuerza neta sobre ella es cero. Cuando la corona esta en agua. Σ F = B + T 2 − Fg B = Fg − T2 = 7,84 − 6,84 B = 1 Newton
Como este empuje hidrostático es igual en magnitud al peso del agua desalojada, tenemos B = ρ * g * V = 1 Newton 1 V= ρ g g = 9,8 m/seg 2 ρ = Es la densidad del fluido desplazado V = Es el volumen del agua desplazado Vc = volumen de la corona, es igual al volumen del agua desalojada, por que la corona esta completamente sumergida. Vc = V 1 V= ρ g m 1 kg seg 2 1 Newton 3 = = 0,102 m V= kg m kg m 9,8 1 9,8 m3 seg m 3 seg 2 V = 0,102 m3 2
W corona = masa corona * gravedad = 7,84 Newton
ρc = mc
Vc
=
g Vc g
mc
7,84 kg =
7,84 Newton = m 1m3 0,102 m 3 9,8
seg 2
m
seg 2 m seg 2
ρ corona = 7,84 kg /m 3
Tabla 1 sustancia Agua pura pura hierro Oro
ρ (kg /m3)
1x103 7,86 x 103 19,3 x 10
En consecuencia, Arquímedes debió decir al rey que lo habían engañado, por que la corona o estaba hueca o no era de oro puro. Suponga que la corona tenía el mismo peso, pero era de oro puro y no estaba hueco. Cual seria la lectura de la báscula cuando la corona se sumergió en agua? Vc = 0,04145 * 10 −3 m3 Ahora el empuje empuje hidráulico hidráulico sobre la corona corona es ρ B = agua * gravedad * Volumen del agua desplazada = ρ agua agua * gravedad * volumen de la corona B = 1 x 10 3 kg /m3 * 9,8 m/seg 2 * 0,04145 * 10 −3 m3 B = 0,4062 Newton B = Fg − T2 B = 7,84 − T2 0,4062 = 7,84 − T2 T2 = 7,84 Newton − 0,4062 Newton T2 = 7,4338 Newton 34. Calcule la presión a una profundidad de 1000 metros en el océano. Suponga que la densidad
del agua de mar es 1,024 x 10 3 kg/m3 y considere la presión atmosférica P 0 = 1,01 x 10 5 Pa.
P = P0 + ρgh P = 1,01 * 10 5 Pa + (1,024 * 103 kg/m3)(9,8 m/seg2)(1000 m) P = 1,01 * 10 5 Pa + 100,352 x10 5 Pa P = 101,362 * 10 5 Pa Esta cifra es 100 veces más grande que la presión atmosférica. Evidentemente, el diseño y construcción de embarcaciones que soporten presiones tan enormes no es un asunto trivial.
Calcule la fuerza total ejercida sobre el exterior de la ventana circular de 30 cm de diámetro de un submarino a esta profundidad P = 101,362 * 10 5 Pa. PRESION ABSOLUTA P0 = 1,01 * 10 5 Pa. PRESION ATMOSFERICA P− P0 = PRESION MANOMETRICA
101,362 * 10 5 Pa − 1,01 * 10 5 Pa. = PRESION MANOMETRICA PRESION MANOMETRICA = 100,352 *10 5 Pa. d = diámetro de la ventana = 30 cm. = 0,30 m r = = radio de la ventana = 0,15 m A = π r 2 A = 3,14159 * (0,15) (0,15) 2 A = 3,14159 * 0,0225 0,0225 2 A = 0,07 m F = presión manométrica x área de la ventana F = 100,352 * 10 5 Pa. * 0,07 m 2 F = 7,09 * 10 5 Newton Problema 14.1 Serway sexta edición. Problema 14.1 Serway séptima edición. Calcule la masa de una esfera de hierro sólido que tiene un diámetro de 3 cm. ρ=
m
v
m = ρ x v ρ = densidad del hierro = 7860 kg /m 3 v = volumen de la esfera d = diámetro de la esfera r = radio de la esfera d =2 r d 3 r = = = 1,5 cm 2 2 r = 0,015 metros 4 4 v = π r3 v = x 3,14159 x (0,015) 3 3 3 4 4 v = x 3,14159 x v = x 1,06 x 10 ·5 3 ·6 3,375x10 3 v = 1,4136 x 10 ·5 m 3 m = ρ x v m = 7860 kg /m 3 x 1,4136 x 10 −5 m3 m = 11110,89 x10 −5 kg m = 0,1111 kg.
35. Encuentre el orden de magnitud de la densidad del núcleo de un átomo. ¿Qué sugiere este
resultado con respecto a la estructura de la materia? Modele un núcleo como protones y neutrones apretados unos con otros. Cada uno tiene una masa de 1.67 X 10 -27 kg y radio del orden de 10 -15 m.
−15 r = 10 metros 4 4 v = π r3 v = x 3,14159 x (10 ·15 ) 3 3 3 4 4 v = x 3,14159 x 1 v = x 3,14159 x 10 ·45 3 x10·45 3 v = 4,1887 x 10 ·45 m 3
ρ=
m
v 1,67 x 10·27
ρ=
kg
4,1887 x 10·45 m 3
ρ = 0,3986 x 10 −27 x1045 ρ = 0,3986 x 10 18 kg /m3
Problema 14.3 Serway sexta edición. Problema 14.3 Serway séptima edición. Una mujer de 50 kg se balancea en un tacón de un par de zapatos de tacón alto. Si el tacón es circular y tiene un radio de 0.5 cm, ¿qué presión ejerce ella sobre el piso? F P= A m = masa de la mujer = 50 kg. W = peso de la mujer = m x g W=mxg W = 50 kg x 9,8 m / seg 2 W = 490 Newton r = 0,5 cm = 0,05 m A = área del tacón circular circular A = π r 2 A = 3,1415 x (0,05) (0,05) 2 A = 3,1415 x 2,5 x 10·3 A = 7,8539 x 10·3 m2 F P= A 490 Newton Newton = 62,389 x P= m2 10 3 7,8539 x 10 ·3 m 2 P = 6,2389 Newton /m 2
Problema 14.4 Serway sexta edición Las cuatro llantas de un automóvil se inflan a una presión manométrica de 200 kPa. Cada llanta tiene un área de 0.024 m 2 en contacto con el piso. Determine el peso del automóvil. At = suma del área de las las cuatro llantas llantas At = 4 x (área de llanta) At = 4 x 0,024 At = 0,096 m2 P = 200000 Pa = 200000 Newton /m 2 F = P * At F = 200000 Newton /m 2 x 0,096 m 2 F = 19200 Newton Problema 14.5 Serway sexta edición. Problema 14.4 Serway séptima edición ¿Cuál es la masa total de la atmósfera de la Tierra? (El radio de la Tierra es 6.37 X 10 6 m, y la presión atmosférica en la superficie es 1.013 X 10 5 N/m2.) A = área de la tierra (ESFERA) (ESFERA) r = radio de la tierra = 6.37 X 10 6 m A = 4 π r 2 A = 4 * 3,1415 * (6.37 * 10 6 m)2 A = 4 * 3,1415 * 40,5769 40,5769 * 10 12 m2 A = 509,904 * 10 12 m2 P = presión atmosférica P = 1.013 * 10 5 N/m2 F=P*A F = 1.013 * 10 5 N/m2 * 509,904 * 10 12 m2 F = 516,5327 * 10 17 Newton g = 9,8 m/seg 2 F=W=m*g m=
F g
=
516,5327 x 1017 Newton m 9,8 seg 2
=
m 516,5327 x 1017 kg seg 2 m 9,8 seg 2
m = 52,7 * 10 17 kg 36. El resorte del manómetro de presión que se ilustra en la figura 14.2 tiene una constante de fuerza
de 1000 N/m, y el émbolo tiene un diámetro de 2 cm. Cuando el manómetro se introduce en agua, ¿qué cambio en profundidad hace que el émbolo se mueva 0.5 cm? K = 1000 N/m (constante del resorte) d = diámetro del embolo = 2 cm r = radio del embolo A = área del embolo d =2 r r=
d 2 =
= 1 cm
2 2 r = 0,01 metros A = π r 2 A = 3,14159 * (0,01) (0,01) 2 A = 3,14159 * 10−4 m2 X = es el desplazamiento del resorte = 0,5 cm = 0,05 m F=P*A F=K*X Tabla 14.1 sustancia Agua pura pura
ρ (kg /m3)
1x103
K *X = P* A P = ρ * g * h K* X = ρ* g* h * A Despejando Despejando h h=
K X ρ g A
1000
Newton
0,05
m m h= kg m 1 103 9,8 2 3,14159 10·4 m m3 seg 2 m kg 50 Newton = 1,624 seg h= 2 kg 30,7876 kg seg 2
seg 2
= 1,624 m
h = 1,624 metros 37. El émbolo pequeño de un elevador hidráulico tiene un de sección transversal de 3
cm2; el de su émbolo grande 200 cm 2 (figura 14.4). ¿Qué fuerza debe aplicarse al émbolo pequeño para que el elevador levante una carga de 15 kN? (En talleres de servicio, esta fuerza suele aplicarse por medio de comprimido.)
A1 = 3 cm2 A2 = 200 cm 2 F2 = 15000 Newton F1 * A2 = F2 * A1 A1 A
F1 =
F1
=
2
F2
15000 Newton 3 cm 2
2
200 cm
F1 = 225 Newton 38. ¿Cuál debe ser el área de contacto entre una copa de succión (completamente al vacío) y un
techo si la copa debe soportar el peso de un estudiante de 80 kg?
g = 9,8 m/seg 2 F=W=m*g F = W = 80 kg *9,8 m/seg 2 F = W = 784 Newton F = P 0* A P0 = 1,01 * 10 5 Pa. PRESION ATMOSFERICA F 784 Newton = A = P0 1,01 105 Newton 2 m 2 −5 A = 776,237 * 10 m
40. a)Una aspiradora muy potente tiene una manguera de 2,86 cm de diámetro. Sin boquilla en la
manguera, ¿cuál es el peso del ladrillo más pesado que la aspiradora puede levantar? (figura P14.10a) (b) ¿Qué pasaría si? Un pulpo muy poderoso utiliza una ventosa de 2,86 cm de diámetro en cada una de las dos valvas de una ostra, en un intento por separar las dos conchas (figura 14.10b). Encuentre la máxima fuerza que el pulpo puede ejercer en agua salada a 32,3 m de profundidad. Atención: Una verificación experimental puede ser interesante, pero no deje caer un ladrillo en su pie. No sobrecaliente el motor de una aspiradora. No moleste aun pulpo.
5
P0 = 1,01 * 10 Pa. PRESION ATMOSFERICA d = diámetro de la manguera = 2,86 cm r = radio de la manguera A = área de la manguera manguera d=2r d 2,86 r= = = 1,43 cm 2 2 r = 0,0143 metros A = π r 2 A = 3,14159 * (0,0143) (0,0143)2 A = 3,14159 *2,044 *2,044 * 10−4 m2 A = 6,424 * 10−4 m2
F = P 0* A
F = 1,01 * 10 5 Newton/m 2 * 6,424 * 10 −4 m2 F = 64,88 Newton es el peso del ladrillo más pesado que la aspiradora puede levantar b) Encuentre la máxima fuerza que el pulpo puede ejercer ρ = densidad del agua de mar = 1,030 * 10 3 kg/m3 = 1030 kg/m 3
h = profundidad = 32,3 m g = 9,8 m/seg 2 P0 = 1,01 * 10 5 Pa. PRESION ATMOSFERICA P = P0 + ρgh P = 1,013 * 10 5 Pa + (1030 kg/m 3)*(9,8 m/seg2)*(32,3 m) P = 1,01 * 10 5 Pa + 326,03 Pa P = 101300 Pa + 326036,2 Pa P = 427336,2 Newton/m 2 d = diámetro de la ventosa de 2,86 cm. r = radio de la manguera A = área de la manguera manguera d=2r d 2,86 = 1,43 cm r= = 2 2 r = 0,0143 metros A = π r 2 A = 3,14159 * (0,0143) (0,0143)2 A = 3,14159 *2,044 *2,044 * 10−4 m2 A = 6,424 * 10−4 m2 F=W 41. En el fondo de un recipiente que contiene agua se hace un orificio. Si el agua sale con rapidez
de 8 m /seg. Cual es la altura del agua ?. Cual es el caudal, si el radio del orificio es de 2 cm. r = radio del orificio = 2 cm = 0,02 m A = área del orificio A = π r 2 A = 3,14159 * (0,02) (0,02) 2 A = 3,14159 * 4 * 10 −4 m2 A = 1,25663 * 10 −3 m2 Cual es la altura del agua V = velocidad con que sale el agua = 8 m /seg. g = 9,8 m/seg 2 V2 = 2 * g * h 2
⎛⎜8 m ⎟⎞ 2
h=
V 2 g
=
⎝ seg ⎠
64 m m 19,6 2 9,8 seg 2 =
h = 3,26 metros
Cual es el caudal, si el radio del orificio es de 2 cm. Q=A*V Q = 1,25663 * 10 −3 m2 * 8 m /seg. Q = 10,05 * 10 −3 m3 /seg. 3 1000 litros ·3 m Q = 10,05 10 se 1 m3 g
Q = 10,05 litros /seg.
42. Un tanque esta lleno de agua, si a 7,2 metros de profundidad se hace un orificio de diámetro de 4
cm. Con que velocidad sale el agua y cuanta agua sale en 10 minutos. (El nivel del agua en el tanque permanece constante) V = velocidad con que sale el agua = 8 m /seg. g = 9,8 m/seg 2 Con que velocidad sale el agua. V2 = 2 * g * h V 2 g h =
m
V = 2 9,8
7,2 m
=
seg 2
m2
141,1 seg 2 2
V = 11,879 m /seg. d = 4 cm r = radio del orificio = 2 cm = 0,02 m A = área del orificio A = π r 2 A = 3,14159 * (0,02) (0,02) 2 A = 3,14159 * 4 * 10 −4 m2 A = 1,25663 * 10 −3 m2 Cuanta agua sale en 10 minutos. t = 10 minutos = 600 seg. v = volumen de agua que sale por el orificio en 10 minutos v=A*V*t v = 1,25663 * 10 −3 m2 * 11,879 m /seg. * 600 seg. v = 8,956 m 3 43. El agua pasa por un tubo horizontal con caudal de 3,6 litros /seg. Si la sección recta del tubo es
de 4 cm 2. Cual es la velocidad del agua
A = 9 cm 2 = 9 cm 2
V = velocidad con que pasa el agua por el tubo. Q = caudal = 3,6 litros /seg Q=A*V litros 3,6 V=
Q
A
=
seg 9 10·4 m 2
V = 0,4 10 4
litros
1 m3
seg m 2 1000 litros
1m2 100 cm )2 (100
= 9 10
·4
m2
V = 4 m /seg 3
44. Por el tubo horizontal representado en la figura circula agua ( 1 = 1000 Kg/m ) y está conectado a través de un tubo vertical a un recipiente que contiene mercurio ( 2 = 13,6·103 Kg/m3). La distancia entre el nivel del mercurio
en el recipiente y el eje del tubo es h = 50 cm. El tubo horizontal es cilíndrico y consta de tres zonas de diámetros D1 = 5 cm, D 2 = 1,5 cm y D 3 = 3 cm. La velocidad en el punto (1) es v 1 = 0,86 m/s y la altura del mercurio en el tubo vertical es h2. (a).
Calcular la velocidad v2 y la velocidad v 3 con que el agua sale por el extremo del tubo.
(b).
Calcular la presión en el punto 2. ( Patm = 105 Pa ).
(c).
Calcular la altura h2.
Se ha de distinguir entre la situación dinámica (fluido en movimiento) que se da en el tubo horizontal y la situación estática (fluido en reposo) que se da en el tubo vertical y el recipiente de mercurio. Para resolver la parte dinámica se debe aplicar el teorema de Bernouilli y la ecuación de continuidad. Para resolver la parte estática se debe aplicar la ecuación de la estática de fluidos en el campo de la gravedad. Este problema pone de manifiesto, entre otras cosas, que la presión en la parte estrecha del tubo horizontal es inferior a la atmosférica y por ello, el mercurio del recipiente es “absorbido” hacia arriba hasta que la presión en la columna vertical pasa a ser igual a la presión atmosférica. (a).
Ecuación de continuidad (fluidos incompresibles como el agu ):
v 1 s1 v 2 s 2 v 3 s 3 despejando v 2 y v 3 se tiene:
v 2
v 1 s 1 s2
y
v 3
v 1 s 1
de acuerdo con el enunciado sabemos que
s3
v 1 0,86 m s
2
2 D s1 1 2,5 10 2 m 1,96 10 3 m 2 2
2
2 D s 2 2 0,75 10 2 m 1,767 10 4 m 2 2
2
2 D s 3 3 1,5 10 2 m 7,0686 10 4 m 2 2
y por lo tanto
v 2 9,55 m s 388 8m s v 3 2,38 (b).
Aplicando el teorema de Bernouilli entre los puntos 2 y 3,
P 2
1 2
1
H O v 22 H O g z 2 P 3 H O v 32 H O g z 3 2
donde P 3
2
2
2
2
P atm 10 5 Pa , las velocidades se han calculado en el apartado anterior y las alturas z 2 2 y
z 3 son iguales. Por lo tanto:
P 2 P atm
1 2
H O v 32 v 22 105 2
1 2
2 2 103 2,38 388 8 9,55
5725 ,00 002 2 Pa P atm (c).
Si el punto (4) es el que se indica en la figura, entonces en una situación de equilibrio electrostático se tiene:
P 4 P atm ;
y también:
P 4 P 2 Hg g h2 H O g h h2 2
H O Hg g h2 H O g h 2
2
Despejando h2 se obtiene:
h2
P 4 P 2 H O g h
2
Hg H O g 2
0,29 m 29,9 cm
y SC = 9 cm2. La presión en la cámara de aire que hay entre la superficie del agua y la tapa del depósito es de 1,1 atm. El nivel del agua en el deposito se halla a una altura z A = 1,2 m y el diámetro es lo suficientemente grande como para suponer que v A = 0. Sobre el punto B hay conectado un tubo vertical en el que el agua llega a una altura h. Sin tener en cuenta los efectos viscosos, calcular:
45. El agua del depósito tapado de la figura tiene la salida por el tubo B-C con secciones S B = 18 cm
2
(a).
El caudal de agua que sale por el punto C.
(b).
La altura h a la que llega el agua en el tubo vertical.
(c).
¿Cómo variará variará el caudal de agua que sale por por C si aumentamos la presión en la cámara de aire aire del depósito? ( Patm = 105 Pa )
Como en el caso anterior, se tiene una situación dinámica (fluido en movimiento) a lo largo del recorrido A, B y C y una situación estática en el tubo vertical situado por encima del punto B. (a).
Para encontrar el caudal, hace falta calcular primero la velocidad de salida del fluido v C . Para hacerlo aplicamos la ecuación de Bernouilli entre los puntos A y C:
1 2
1 2
P A v A2 g z A P C v C 2 g z C Según el enunciado,
P C 1,1 z A 1,2 v A
5 atm 1,11 114 4 10 Pa
m
0
y además,
P C P atm 10 5 Pa z C
0
Sustituyendo se obtiene:
v C
P A g z A P C 1 2
Recordando la expresión para el caudal:
C C v C sC 156 10 3 m 3 s 6,156 156 l s C C 6,84 m s 9 10 4 m 2 6,156
(b).
Para responder esta pregunta se han de conocer previamente los valores de la velocidad y la presión en el punto B. La velocidad se obtiene aplicando la ecuación de continuidad, o lo que es equivalente, utilizando la definición de caudal en el punto B.
C C v B s B
v C sC
donde se deduce que:
B
C sB
6'156 10 18 10
3
4
m3 s m2
3'42 m s
La presión se obtiene aplicando la ecuación de Bernouilli entre B y C.
P B Y como z B
1 2
1
B2 g z B P C C 2 g z C 2
z C , entonces 1
P B P C
2
v C 2 v B2 117544,6
Pa
Una vez conocida la presión en B, para encontrar la altura de h del agua en el tubo vertical, se aplica la ecuación de la estática de fluidos en el campo de la gravedad. Si D es el punto marcado en la figura, entonces:
P B P D donde P D
g h
P atm 10 5 Pa
Entonces:
h
(c).
P B P D
g
1,75
m
Si en la ecuación planteada en el apartado (a) aumentáramos P A está claro que el valor que hallaríamos para v C sería también más grande y por lo tanto el caudal aumentaría.
P A C
46. En una fábrica de componentes ópticos tenemos un horno de vidrio fundido a una temperatura de 1000 C con un
conducto de evacuación de sección circular que se utiliza para llenar moldes al ritmo de 25 g de vidrio fundido por segundo. Sabiendo que el coeficiente de viscosidad del vidrio a la temperatura mencionada es de 10 4 Po, su densidad 2,5 g/cm 3 y que la longitud del conducto es es de l = 10 m y su diámetro es D 1 = 10 cm, se pregunta: (a).
Determinar el caudal de vidrio fundido que circula por el conducto de evacuación del horno expresado en m 3/s. Determinar la presión del vidrio al principio del conducto de evacuación (punto 2). (P atm = 105 Pa)
(b).
Si la presión en la parte superior del horno horno (punto (punto 1) es es igual igual a la presión presión atmosférica atmosférica (horno abierto), calcular la altura h de vidrio parar obtener el caudal descrito (suponer que el diámetro del horno es muy grande, lo cual implica que el flujo vertical del vidrio se puede considerar ideal).
(c).
Explicar como variaría el caudal de vidrio en los casos siguientes: si aumentamos el diámetro D 1 del conducto; si disminuimos su longitud l; si aumentamos la temperatura del vidrio fundido; si aumentamos la presión del punto (1) (horno presurizado). ¿Variaría la presión del punto (2) en alguno de los casos anteriores? Razonar las respuestas.
(a).
Para calcular el caudal, hay que tener en cuenta: C V
V t
m
Donde V es el volumen del fluido. Según el enunciado, por el punto (3) sale una masa m= 25 g en un tiempo t = 1 s y como = 2,5 3 g/cm , resulta: 3
V
25 10 Kg 2,5 10 Kg m 3
3
10 5 m 3
C 105 m3 s El vidrio fundido es un fluido con una viscosidad muy alta (la del agua es solo 1 cPo i la de la glicerina aproximadamente 1500 cPo) y en su circulación por el tubo horizontal no se puede considerar ideal. Por lo tanto el teorema de Bernouilli deja de tener validez y se tiene que aplicar la ecuación de Hagen-Poiseuille. Por lo tanto, la presión en el punto (2) responde a la ecuación:
P 2 P 3
8 l C
r 4
donde todas las magnitudes son conocidas y
P 3 P atm 10 5 Pa Se tiene entonces:
P 2 10 5
10 m 105 m 3 s 2 4 5 10
8 10 Pa s 3
140743,66 Pa (b).
Analizando la ley de Hagen-Poiseuille se ve que cuanto más ancho es el tubo por donde circula el fluido, menos importantes son los efectos viscosos, ya que en el denominador de la expresión aparece el radio del tubo elevado a la cuarta potencia. El enunciado aclara que el diámetro del horno es muy ancho, es decir, que en el trayecto (1) (2) (2) se puede considerar el vidrio f undido como un fluido casi ideal, con lo cual la ecuación de Bernouilli es una buena aproximación. Entonces:
P 1
1 2
v 12 g z 1 P 2
1 2
v 22 g z 2
donde
P 1 P atm 10 5 Pa v 1
C s1
0
( s1 es muy grande )
P 2 2 se ha calculado en el apartado anterior
v 2
C s2
10
5
5 10 2
2
1,27 10 3 m s
z 2 0 Despejando z 1 se obtiene:
140743,66
z 1 (c).
1 2
2,5 103 1,27 10 3 105 2
2,5 10
3
10
1,63
m
Para responder a esta pregunta hay que tener en cuenta las ecuaciones utilizadas en en (a) y (b), que que son:
P 2 P 3
8 l C
r 4
P 1 g z 1 P 2
1 2
v 22
donde la segunda ecuación es aproximada y la velocidad
2
que aparece en ella sería una velocidad
media, ya que en el tubo horizontal la velocidad no es uniforme.
v 2
C s2
En este caso en concreto, v 2 resulta muy pequeña de manera que el termino
1 v 22 es prácticamente 2
despreciable. El resto de magnitudes que aparecen en la segunda ecuación son:
P 1 P atm 10 5 Pa cte ( en principio )
z 1 1,63
m cte
Por lo tanto, podemos considerar que P 2 2 es constante si P 1 no cambia. Entonces, de acuerdo con la ecuación:
r C si l C si T C si
En cambio, si P 1 entonces P 2 2 aumentará necesariamente de acuerdo con la segunda ecuación y como consecuencia, también aumentará el caudal.
47.
Calcula el volumen que se encuentra sumergido en un barco de 10000 toneladas si la densidad del agua del mar es 1030 kg/m 3
(considerando que le barco no esta hundido, esta flotando; por lo que se considera que el empuje y el peso del barco están en equilibrio)
Si el barco pesa 10,000 toneladas, entonces hacemos su equivalencia en Kilos y nos da 10,000 Ton x 1000 K / 1 Ton = 10,000,000 Kilos Después convertimos esa masa del barco de 10,000,000 kilos para obtener Newtons y nos da 10,000,000 k x 9.81 m/s2 = 98,100,000 N Entonces si tenemos la formula del empuje que dice E= d(densidad) x V (volumen) x g (gravedad) y sustituyendo valores nos queda: 98,100,000 = 1030 x V x 9.81 Despejando V = 98,100,000 98,100,000 / (1030 x 9.81) = 9709 M3 48.
Un objeto de 5 kg se mete en el agua y se hunde siendo su peso aparente en ella de 30 N, calcula el empuje, su volumen y su densidad.
Recuerda manejar Kilos, Metros. y Newtons (cuando uses la fórmula del empuje); entonces Un objeto fuera del agua tiene 5K lo que en Newtons es 5 x 9.81 = 49 N
Adentro del agua su peso es de 30 N, por lo tanto tanto si restamos lo que pesa afuera menos lo que pesa adentro, deducimos que recibe un empuje de 19 N. Para sacar el volumen que tiene, calculamos el volumen del líquido que desalojo; por lo tanto usamos la formula E (empuje)= d (densidad del líquido) x V (volumen que desalojo) x g (gravedad de la tierra) E= 19 Newtos ,
d= 1000 kg/m3 (densidad del agua) , V=?
19 = 1000 x V x 9.81
,
g= 9.81 m/s2
, lo que nos da despejando V = 0.0019368 M3 o lo que es lo mismo
1.9368 x 10(-3) M3
Para sacar la densidad del objeto, utilizamos la fórmula que dice m (masa) = d (densidad) x V (volumen) entonces nos queda despejando la densidad
d= m/V d= 5/0.0019368 d= 2581 k/M3
49. El tanque de una poceta tiene una sección rectangular de dimensiones 20cmx40cm y el nivel del agua está a una
altura h = 20 cm por encima de la válvula de desagüe, la cual tiene un diámetro d2 = 5 cm. Si al bajar la palanca, se abre la válvula: a) ¿Cuál será la rapidez inicial de desagüe por esa válvula en función de l a altura de agua remanente en el tanque? b) ¿Cuál es la rapidez inicial de desagüe? No desprecie la velocidad en la superficie del tanque.
Aplicando la ecuación de Bernoulli
