Ejercicio 15 Resnick Capitulo 32

Ejercicio 15, capítulo 32, Volúmen 2, Física. Resnick R., Halliday D., Krane K. 5a. edición en español. En un experimento nuclear, un protón con energía cinética K P  P  se desplaza en un campo magnético magnético uniforme uniforme describiendo describiendo una trayec trayectori toria a circular. circular. ¿Qué energía debe tener a) una partícula alfa y b) un deuterón para que circulen por la misma órbita? órbita? (En un deuterón deuterón q  = +e; m = 2:0 u; en una partícula alfa, q  = +2e; m = 4:0 u) Solución: Primero debemos determinar el radio del protón, en función de las cantidades conocidas (su carga eléctrica, su masa, su energía cinética y el valor del campo magnético). La energía energía cinética es 2 mP vP 

K P  P  =

por lo tanto

2

vP  =

r 

2K P  P 

mP 

Ahora, la fuerza centrípeta es 2 mP vP 

F P  P  =

r

y la fuerza magnética está dada por la relación F P  P  = evP  B

Igualando las dos expresiones para la fuerza, tenemos 2 mP vP 

1 mP 

vP  de donde r = r B e Usando la velocidad del protón determinada más arriba r=

= evP  B

1 mP 

B e

r 

2K P  P 

mP 

=

1

eB

p 

2mP  K  p

a) Ahora, en el caso de la partícula alfa tenemos la fuerza centrípeta 2 m v

F  =

r

y la fuerza magnética F  = 2ev B

Las igualamos 2 m v

r

= 2ev B

y podemos despejar el radio e igualarlo al que ya conocemos del protón r=

m v 2eB

=

1

eB

p 

2mP  K  p

para obtener la velocidad de la partícula alfa, v =

2

m

p 

2mP  K  p

Ya por último, es muy fácil evaluar la energía cinética y usar el hecho que la masa de la partícula alfa es 4 veces la del proton K  =

2 m v

2

K a = K P  P 

=

m 4 2

2 m

2mP  K  p = 4K  p

mP  m

= 4K  p

mP  4mP 

= K  p

b) Para el deuterón procedemos de manera idéntica, solamente poniendo las variables físicas adecuadas. 1

La fuerza centrípeta es F D =

2 mD vD

r

que en este caso se debe al campo magnético F D = evD B

y por tanto 2 mD vD

r

= evD B

Despejando el radio e igualandolo al que conocemos del protón r=

mD vD eB

=

1

eB

p 

2mP  K  p

obtenemos la velocidad del deuteron vD =

1

mD

p 

2mP  K  p

y …nalmente la energía cinética K D = K D =

2 mD vD

2

K  p

=

mD 1 2

2

mD

2mP  K  p = K  p

2

2

mP  mD

= K  p

mP  2mP 

=

K  p 2