EJERCICIO ANGULOS DE EULER (zxz) A un rígido solido con un punto fijo se le aplican 3 rotaciones sucesivas según los ángulos eulerianos ,θ y ψ. cada uno de dichos ángulos es igual a π /2 a) determinar la matriz de transformación T b) determinar ángulo de rotación equivalente Φ c) determinar ecuación vectorial del eje de rotación L d) determinar ecuación secular y sus 3 raíces λ1, λ2 y λ3 e) determinar el desplazamiento de las siguientes partículas L, M, N
DESARROLLO a)
0 L :=
50
100 50
M :=
50
50 50
N :=
0
50
Como sabemos, las rotaciones se hacen con respecto a los ejes Z, X' y finalmente Z' por la convención ZXZ.
X, Y, Z sistema inercial (fijo) x1, x2 , x3 sistema móvil
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
En el dibujo se aprecia la primera rotación respecto al al eje Z, en este caso =90°
Ahora con la figura resultante de la primera rotación sigue sig ue la segunda con respecto al eje x2, recordar que las rotaciones se van realizando a partir de los nuevos ejes ya rotados Con un Θ=90°
Finalmente se realiza una tercera rotación ahora con respecto re specto al eje z3 resultado de la rotación anterior, como se muestra en la figura, con un ψ=90°
Cada rotación puede ser escrita como 3 ecuaciones que se transforman en una matriz de
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Para la primera rotación sera así X1
X⋅ cos ( φ )⋅ i + Y⋅ sin sin ( φ )⋅ j
−X⋅ sin ( φ ) ⋅ i + Y⋅ cos cos ( φ )⋅ j
Y1
Z1
Z⋅ k
donde esta claro que i,j y k son versores tongo, i tongo, j tongo t ongo y k tongo. de módulo 1 por ello X1
cos ( φ )
sin ( φ ) 0
X
−sin ( φ ) cos ( φ ) 0 ⋅ Y
Y1
Z1
0
Z
1
0
así, la matriz de la primera rotación es esa. Saltándonos los pasos sencillos para las l as otras 2 rotaciones quedan las siguientes matrices X2
1
Y2
0
0
0
0 cos ( θ)
Z2
X1
1
sin ( θ) ⋅ Y1
−sin ( θ)
0
0
0 cos ( θ)
cos ( θ) Z1
0
−sin ( θ)
cos ( φ )
sin ( θ) ⋅
sin ( φ ) 0
X
−sin ( φ ) cos ( φ ) 0 ⋅ Y
cos ( θ)
0
0
Z
1
y con la tercera rotación en el nuevo eje Z2 Z2 X3
cos ( ψ )
sin ( ψ ) 0
X2
−sin ( ψ ) cos ( ψ ) 0 ⋅ Y2
Y3
Z3
X3
cos ( ψ )
0
0
Z2
1
sin ( ψ ) 0
1
0
cos ( φ )
0
sin ( φ ) 0
X
−sin ( ψ ) cos ( ψ ) 0 ⋅ 0 cos ( θ) sin ( θ) ⋅ −sin ( φ ) cos ( φ ) 0 ⋅ Y
Y3
Z3
0
0
0
1
−sin ( θ) cos ( θ)
0
0
Z
1
estas 3 matrices, se resumen en
cos ( ψ )
sin ( ψ ) 0
1
0
0
cos (φ )
sin ( φ ) 0
−sin ( ψ ) cos ( ψ ) 0 ⋅ 0 cos ( θ) sin (θ) ⋅ −sin(φ ) cos (φ ) 0
0
0
cos( ψ )⋅cos (φ )
0
1
−sin( θ) cos (θ)
0
0
1
cos( φ )⋅ sin(ψ ) sin(ψ ) ⋅ sin( θ) − cos ( θ) ⋅sin( ψ )⋅ sin(φ ) cos ( ψ ) ⋅ sin( φ ) + cos (θ)⋅ cos
sin( ψ ) − cos (ψ )⋅ cos ( θ)⋅ sin(φ ) cos ( ψ ) ⋅ cos (θ)⋅ cos (φ ) − sin( ψ )⋅ sin(φ ) cos (ψ )⋅ sin( θ) −cos ( φ ) ⋅ sin
sin( θ)⋅ sin sin(φ )
−cos (φ ) ⋅ sin(θ)
cos (θ)
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Así se determina la MATRIZ DE TRANSFORMACION O TOTAL DE ROTACIÓN, donde cada uno de los términos de la matriz corresponde al coseno director dir ector entre los ejes inerciales y los ejes móviles y si tenemos los siguientes ángulos π
φ :=
θ :=
2
cos ( ψ ) R :=
π
ψ :=
2
sin ( ψ ) 0
1
0
π 2
0
cos ( φ )
sin ( φ ) 0
−sin ( ψ ) cos ( ψ ) 0 ⋅ 0 cos ( θ) sin ( θ) ⋅ −sin ( φ ) cos ( φ ) 0
0
1 0
0
−sin ( θ)
cos ( θ)
0
0
1
0
0
1
→ 0 −1 0
1
0
0
esa es la matriz de rotación, si la multiplicamos por algún punto del sistema inicial coordenado, el resultado será ese punto en su posición final una vez efectuadas las 3 rotaciones. C) determinar la recta L sobre la cual se ejerce una sola rotación equivalente, esto quiere
decir que existe una recta L que se mantiene fija y a partir de esa se realiza una sola rotación equivalente que resume las 3 rotaciones antes mencionadas
XL
XL
0 −1 0 ⋅ YL
λ ⋅ YL
0 1
0
0
1
0 Z L
Se entiende que la primera matriz es la de rotación que esta rotando al vector, así, no cambia ni su dirección ni sentido (LLAMADO TEOREMA DE EULER)
Z L
Se pasa restando al otro lado 0 − λ
0
X L ⋅ Y 0 L 0 − λ Z L 1
0
−1 − λ
1
0
0 0
0
Se obtiene así un sistema homogéneo de ecuaciones 0 − λ
0
0
−1 − λ
1
0
ZL − XL⋅ λ
X L ⋅ Y 0 L 0 − λ Z L 1
ZL − XL⋅ λ → −YL⋅ ( λ + 1)
X − Z ⋅λ L L
Siempre existe un λ=1 que de hecho debe ser reemplazado
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Se tiene entonces: ZL − XL
0
YL⋅ 2 XL − ZL
0
XL
t
YL ZL
t
Se tiene entonces que ZL=XL , YL=0
0
Ecs paramétrica del eje de rotación L: XL=t, YL=0, ZL=t r ( t)
i y k son i tongo y k tongo
t ⋅i + t⋅ k
Este es un vector, o mejor dicho una recta paramétrica que cumple, que al ser rotada rot ada da la misma dirección y magnitud 0
por ejemplo
0
1
4
0 −1 0 ⋅ 0
1
0
0 4
4 = 0
4
Así se comprueba que al aplicar la matriz de rotación a un punto dentro de esta recta no varia
B) para el ángulo equivalente esta la siguiente ecuación 0
0
1
trasa ⋅ 0 −1 0
1
−1
0
LA trasa corresponde a la suma de la diagonal de la matriz
1 + 2⋅ cos ( Φ)
t11+t22+t33
0
1 + 2 co cos ( Φ)
asi
Φ
180°
Φ := π ANGULO DE ROTACION EQUIVALENTE
Esto quiere decir q si la figura se gira sobre la l a recta L (fija) antes determinada en un ángulo de 180 se tiene el mismo efecto realizado por las 3 rotaciones
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
D) para la ecuación secular y sus 3 raíces
0 − λ
0
1
0
−1 − λ
0
1
0
2
asi
0 − λ
3
λ −λ −λ + 1
0 − λ
0
0 solve , λ →
λ 1 := 1
−1 1
λ 2 := −1
0
1
0
−1 − λ
0
1
0
2
3
→λ −λ −λ +1
0 − λ
en verdad son 1,-1,-1
λ 3 := −1
Ahora multiplicando la matriz de rotación por el punto L inicial i nicial nos entrega el punto L final 0
0
1
0
0 −1 0 ⋅
1
0
50
0 100
100 = −50
0
X Y Z
Lo mismo para M Y N 0
0
1
50
0 −1 0 ⋅ 50
1
0
0 50
0
0
1
0
= −50
50
50
0 −1 0 ⋅ 0
1
50
0 50
50 =
0
50
Si se dan cuenta como N pertenece al eje de rotación ro tación L calculado anteriormente no varia
POSICION INICIAL
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
POSICION FINAL
En AZUL se aprecia el eje de rotación de la figura fig ura
