EJERCICIO RESUELTO PROGRAMACION LINEAL Un sastre dispone de los siguientes materiales: 16 yardas cuadradas de algodón, 11 yardas cuadradas de seda y 15 yardas cuadradas de lana. Un vestido de mujer requerido lo siguiente: 2 yardas cuadradas de algodón, 1 yarda cuadrada de seda y 1 yarda cuadrada de lana. Un vestido de hombre requiere lo siguiente: 1 yarda cuadrada de algodón, 2 yardas cuadradas de seda y 3 yardas cuadradas de lana. Si un vestido de mujer se vende en $300 y un vestido de hombre en $500. ¿Cuántos vestidos de hombre y mujer debe confeccionar el sastre con el fin de obtener el máximo ingreso de dinero? PROCEDIMIENTO Se definen la función objetivo y las respectivas restricciones. VESTIDOS
X
Y
Maximizar Función objetivo Restricciones Algodón Seda Lana Solución
300
500
2 1 1 7
1 2 3 2
RHS
<= <= <=
16 11 15 3100
Matemáticamente el MODELO quedaría así: Función Objetivo: Objetivo: Max Z = 300X+500Y Restricciones: 2X + Y <= 16 X + 2Y <= 11 X + 3Y <= 15 X>=0 (OJO: ESTE ES EL PRINCIPIO DE LA NO NEGATIVIDAD QUE DEBE IR EN TODO MODELO) Y>=0
1. SOLUCI SOLUCION ON POR EL METODO METODO GRAFIC GRAFICO O Para graficar se realiza el siguiente procedimiento
a.Convertir las desigualdades en igualdades
2X + Y = 16 X + 2Y = 11 X + 3Y = 15 b.Calcular los interceptos o puntos de corte con los ejes (0,1 (0,16) 6) (8,0 (8,0)) (0,5.5) (0,5.5) (11,0) (11,0) (0,5) (15,0)
NOTA: POR FAVOR TENER EN CUENTA QUE EN LA GRAFICA LA VARIABLE X APARECE COMO X1 Y LA VARIABLE Y APARECE COMO X2
Los interceptos o puntos de corte se hallan por cada ecuación, por ejemplo con la primera ecuación: SI X=0 entonces reemplazamos para hallar Y así 2(0) + Y = 16, entonces Y=16 SI Y=0 entonces reemplazamos para hallar X así 2X + 0 = 16, entonces 2X = 16, entonces X = 16/2, entonces X=8 Y así se realiza para cada ecuación hallando los puntos de corte, pasando a graficar con esos interceptos o puntos de corte
c.Hallar los puntos de esquina
Al observar la grafica, el área sombreada, muestra unos puntos, en ellos existe el corte que hay entre dichas rectas, que se obtienen de la siguiente forma: Llamemos las restricciones ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente: Tomemos las ecuaciones 1 y 2, para conocer su punto de corte, que puede ser por los métodos de sustitución, igualación, eliminación. Aquí aplicaremos el método de eliminación 1) 2X + Y = 16 2) X + 2Y = 11 Multiplicamos la ecuación 2 por (-2) 2X + Y= 16 -2X – 4Y = -22 -3Y = -6 Y=-6/-3 Y=2 Este valor lo reemplazamos en cualquier de las ecuaciones 1 o 2 para encontrar el valor de X: 2X + 2 = 16 2X = 16 – 2 2X = 14 X = 14/2 X=7 De acuerdo a lo anterior podemos decir que el intercepto entre estas ecuaciones es el punto (7,2).
Ahora hacemos lo mismo con las ecuaciones 1 y 3 aplicando el mismo método 1) 2X + Y = 16 3) X + 3Y= 15 Multiplicamos la ecuación 3 por (-2) 2X + Y = 16 -2 X – 6Y= -30 -5Y= -14 Y= -14/-5 Y=14/5 Este valor se reemplaza en las ecuaciones 1 o 3 X + 3(14/5)= 15 X + 42/5 = 15 X= 15 – 42/5 X=33/5 De acuerdo a lo anterior podemos decir que el intercepto entre estas ecuaciones es el punto (33/5,14/5). Y por ultimo tomamos las ecuaciones 2 y 3 y aplicando el mismo concepto 2) X + 2Y = 11 3) X + 3Y= 15 Multiplicamos la ecuación 2 por (-1) -X – 2Y = -11
X + 3Y= 15 Y=4 Reemplazamos este valor en 2 o 3 y tenemos: X + 2(4) = 11 X + 8 = 11 X = 11 – 8 X=3 De acuerdo a lo anterior podemos decir que el intercepto entre estas ecuaciones es el punto (3,4). Con estos puntos podemos determinar los puntos de esquina de la región sombreada( QUE SI LA FUNCION ES DE MAXIMIZAR SE TOMAN LOS PUNTOS INTERNOS Y SI LA FUNCION ES DE MINIMIZAR SE TOMAN LOS PUNTOS EXTERNOS). De la región sombreada los puntos de esquina son: (0,5) (3,4) (7,2) (8,0) Cada uno se remplazara en la función objetivo, y el de mayor valor será la condición de maximización, en este caso al remplazar el punto (7,2), nos da el valor mas alto Z= 300(7) + 500(2) Z= 2100 + 1000 Z = 3100,
Compruébelo con los demás puntos y se dará cuenta que son valores menores
EJERCICIO RESUELTO PROGRAMACION LINEAL 1. SOLUCION POR EL METODO SIMPLEX
PROCEDIMIENTO 1. CONVERTIR LAS DESIGUALDADES EN IGUALDADES Las restricciones que están planteadas como desigualdades (mayor o igual para minimizar o menor o igual para maximizar) se convierten en igualdades Ejemplo: Modelo:
Maximizar Z = 300X + 500Y Sujeto a:
2X + Y menor o igual a 16 X + 2Y menor o igual a 11 X + 3Y menor o igual a 15 X mayor o igual a 0 Y mayor o igual a 0
Al convertir las restricciones en igualdades quedaría: 2X + Y = 16 X + 2Y = 11 X + 3Y = 15 2. ADICIONAR TANTAS VARIABLES DE HOLGURA O SUPERÁVIT COMO RESTRICCIONES HAYA Las HOLGURAS se utilizan en casos de MAXIMIZACION Los SUPERAVIT se utilizan en casos de MINIMIZACION Las holguras o los superávit son aquellos recursos que pueden ………….. Entonces como el presente ejemplo es de maximización se utilizan las HOLGURAS y se denotan con la letra S. Quedarían así: Z = 300X + 500Y + 0S1 + 0S2 + 0S3 (TANTAS HOGURAS COMO RESTRICCIONES, PERO CON VALOR CERO EN LA FUNCION OBJETIVO )
2X + Y + S1 = 16 (LA HOLGURA UNO PARA LA RESTRICCION 1) X + 2Y + S2 = 11 (LA HOLGURA DOS PARA LA RESTRICCION 2) X + 3Y + S3 = 15 (LA HOLGURA TRES PARA LA RESTRICCION 3) El valor de las holguras en cada restricción es de UNO para la holgura correspondiente a esa restricción, las demás tomarán el valor de CERO 3. BAJAR LA INFORMACION DE LAS FUNCION OBJETIVO Y RESTRICCIONES CONVERTIDAS EN IGUALDADES, AL PRIMER TABLERO SIMPLEX
Cj
MEZCLA DE SOLUCION
300
500
0
0
0
X
Y
S1
S2
S3
CANTIDAD
0
S1
2
1
1
0
0
16
0
S2
1
2
0
1
0
11
0
S3
1
3
0
0
1
15
Zj
0
0
0
0
0
0
300
500
0
0
0
Cj - Zj
LUEGO DE BAJAR LOS VALORES DE X, Y, S1, S2, S3 DE LA FUNCION OBJETIVO Y LAS RESTRICCIONES, HALLAMOS Zj, Cj-Zj, ASI: Zj(de X) = Sumatoria Cj (de la primera columna izquierda) x X = 0x2+0x1+0x1=0 Zj(de Y) = Sumatoria Cj (de la primera columna izquierda) x Y = 0x1+0x2+0x3=0 Y así para cada columna PARA HALLAR Cj-Zj: Cj-Zj = Cj (de la primera fila arriba) – Zj (que acabamos de hallar) Cj-Zj (de X) = 300-0=300 Cj-Zj (de Y) = 500-0=500 Cj-Zj (de S1) = 0-0=0 Y así para cada columna
4. HALLAR LA COLUMNA PIVOTE ESTA SE HALLA SELECCIONANDO EL MAYOR VALOR DE Cj-Zj ( ES 500), ENTONCES LA COLUMNA PIVOTE ES LA COLUMNA DE Y (YA SE LAS SEÑALE CON ROJO) 5. HALLAR LA FILA PIVOTE ESTA SE HALLA DE DIVIDIR LA CANTIDAD (ultima columna a la derecha) por la COLUMNA PIVOTE, ES DECIR:
16/1 = 16 11/2 = 5.5 15/3 = 5 DE LOS TRES SE SELECCIONA EL MENOR VALOR Y NO DEBE SER NI NEGATIVO, NI 0. CUAL ES? EL 5 QUE PERTENECE A LA FILA NUMERO TRES (YA SE LAS TENGO SEÑALADA EN EL TABLERO SIMPLEX CON ROJO) 6. HALLAR EL NUMERO PIVOTE ESTE SE HALLA DE LA INTERSECCION DE LA COLUMNA PIVOTE Y LA FILA PIVOTE. EN NUESTRO EJEMPLO ES EL 3 (YA SE LOS TENGO SEÑALADO EN EL TABLERO SIMPLEX CON UN CIRCULO AZUL Y NUMERO EN ROJO) 7. CALCULAR EL SEGUNDO TABLERO SIMPLEX SE CALCULA TENIENDO EN CUENTA QUE LOS NUMEROS DE LA COLUMNA PIVOTE DEBEN CONVERTIRSE EN BINARIOS, ES DECIR, EL NUMERO PIVOTE DEBE CONVERTIRSE EN 1 Y LOS DEMAS DE LA COLUMNA PIVOTE DEBEN CONVERTIRSE EN 0. SE INICIA CALCULANDO LA FILA BASE QUE LA DA LA FILA PIVOTE DEL TABLERO ANTERIOR, ASI:
Cj
MEZCLA DE SOLUCION
300
500
0
0
0
X
Y
S1
S2
S3
CANTIDAD
0
S1
5/3
0
1
0
-1/3
11
0
S2
1/3
0
0
1
-2/3
1
500
Y
1/3
1
0
0
1/3
5
Zj
500/3
500
0
0
500/3
2500
0
0
0
Cj - Zj
133.33 -166.66
LA FILA BASE SE CALCULA TENIENDO EN CUENTA QUE EL NUMERO PIVOTE DEBE TOMAR EL VALOR DE 1, Y COMO TOMA EL VALOR DE UNO? PUES DIVIDIENDOLO POR 3 (3/3=1). TODOS LOS DEMAS VALORES DE ESA FILA HAY ENTONCES QUE DIVIDIRLOS POR TRES, QUEDANDO COMO ESTA SEÑALADO CON COLOR ROJO EN ESTE SEGUNDO TABLERO SIMPLEX. TENIENDO YA CALCULADA LA FILA BASE, SE CALCULAN LAS DEMAS FILAS DEL SEGUNDO TABLERO SIMPLEX, DE LA SIGUIENTE MANERA: COMO LA COLUMNA PIVOTE (DEL PRIMER TABLERO) DEBE CONVERTIRSE EN 0 (EXCEPTO EL NUMERO PIVOTE QUE SE CONVIRTIO EN UNO), ENTONCES TENIENDO EN CUENTA LA FILA BASE, SE CALCULA ASÍ:
PRIMERA FILA DEL SEGUNDO TABLERO: (HAY QUE CONVERTIR EL 1 DEL PRIMER TABLERO SIMPLEX EN 0) F3x(-1) + F1 ES DECIR, EL F3 EN ROJO QUIERE DECIR LA FILA BASE DEL SEGUNDO TABLERO Y EL F1 EN NEGRILLA ES LA PRIMERA FILA DEL PRIMER TABLERO. QUEDA ASI 1/3x(-1) + 2 = 5/3 1x(-1) + 1 = 0 (ESTE ES EL QUE NECESITAMOS QUE DE 0) 0x(-1) + 1 = 1
0x(-1) + 0 = 0 1/3x(-1) + 0 = -1/3 5x (-1) + 16 = 11 (ESTA ES LA COLUMNA DE “CANTIDAD”) SEGUNDA FILA DEL SEGUNDO TABLERO: (HAY QUE CONVERTIR EL 2 DEL PRIMER TABLERO SIMPLEX EN 0):
F3x(-2) + F2 ES DECIR, EL F3 EN ROJO QUIERE DECIR LA FILA BASE DEL SEGUNDO TABLERO Y EL F2 EN NEGRILLA ES LA SEGUNDA FILA DEL PRIMER TABLERO. QUEDA ASI 1/3x(-2) + 1 = 1/3 1x(-2) + 2 = 0 (ESTE ES EL QUE NECESITAMOS QUE DE 0) 0x(-2) + 0 = 0 0x(-2) + 1 = 1 1/3x(-2) + 0 = -2/3 5x (-2) + 11 = 1 (ESTA ES LA COLUMNA DE “CANTIDAD”) DEBEMOS TENER EN CUENTA QUE LA FILA BASE CORRESPONDIA A S3 (EN LE PRIMER TABLERO) Y TENIENDO EN CUENTA QUE LA COLUMNA PIVOTE DEL PRIMER TABLERO ERA LA COLUMNA Y, DEBEMOS REEMPLAZAR LA S3 QUE ESTA EN LA COLUMNA Cj POR LA Y y CON SU CORRESPONDIENTE VALOR DE 500 (VER SEGUNDO TABLERO EN LA FILA BASE) LUEGO DE CALCULADAS LAS FILAS DEL SEGUNDO TABLERO, DEBEMOS CALCULAR NUEVAMENTE LA Zj, Cj-Zj: Zj(de X) = Sumatoria Cj (de la primera columna izquierda) x X = 0x5/3+0x1/3+500x1/3=500/3 Zj(de Y) = Sumatoria Cj (de la primera columna izquierda) x Y = 0x0+0x0+500x1=500 Zj(de S1) = Sumatoria Cj (de la primera columna izquierda) x S1 = 0x1+0x0+500x0=0 Y así para cada columna PARA HALLAR Cj-Zj: Cj-Zj = Cj (de la primera fila arriba) – Zj (que acabamos de hallar) Cj-Zj (de X) = 300-500/3=133.33 Cj-Zj (de Y) = 500-500=0 Cj-Zj (de S1) = 0-0=0 Y así para cada columna 8. HALLAR LA COLUMNA PIVOTE (PARA EL SEGUNDO TABLERO)
SE CALCULA IGUAL QUE EL ANTERIOR……..EL MAYOR VALOR DE Cj-Zj: ESTE ES 133.33 QUE CORRESPONDE A LA COLUMNA DE X (APARECE EN ROJO) 8. HALLAR LA FILA PIVOTE SE CALCULA IGUAL QUE EL ANTERIOR CANTIDAD/ COLUMNA PIVOTE 11/5/3 = 6.6 1/1/3 = 3 5/1/3 = 15 SE SELECCIONA EL MENOR VALOR QUE NO SEA NEGATIVO NI CERO, ESTE ES EL 3 QUE CORRESPONDE A LA SEGUNDA FILA (LA DE S2)
9. HALLAR EL NUMERO PIVOTE INTERSECCION ENTRE LA COLUMNA PIVOTE Y LA FILA PIVOTE. ESTE ES 1/3 10. CALCULAR EL TERCER TABLERO SIMPLEX…………….
Cj
MEZCLA DE SOLUCION
300
500
0
0
0
X
Y
S1
S2
S3
CANTIDAD
0
S1
0
0
1
-5
3
6
300
X
1
0
0
3
-2
3
500
Y
0
1
0
-1
1
4
Zj
300
500
0
400
-100
2900
Cj - Zj
0
0
0
-400
100
OJO…..CONTINUA EL MISMO PROCEDIMIENTO DE LOS ANTERIORES: 11. HALLAR LA COLUMNA PIVOTE (PARA EL TERCER TABLERO) 12. HALLAR LA FILA PIVOTE (PARA EL TERCER TABLERO) 13. HALLAR EL NUMERO PIVOTE . . . . .
14. CALCULAR EL CUARTO TABLERO SIMPLEX…………….
Cj
MEZCLA DE SOLUCION
300
500
0
0
0
X
Y
S1
S2
S3
CANTIDAD
0
S3
0
0
1/3
-5/3
1
2
300
X
1
0
2/3
-1/3
0
7
500
Y
0
1
-1/3
2/3
0
2
Zj
300
500
33.33
233.33
0
3100
Cj - Zj
0
0
-33.33 -233.33
0
CON EL CUARTO TABLERO YA LLEGAMOS A LA SOLUCION OPTIMA. ESTA SOLUCION SE DA CUANDO LAS VARIABLES PRINCIPALES (X, Y) DAN CERO Y LAS VARIABLES DE HOLGURA TAMBIÉN SON CERO O NEGATIVAS EN Cj-Zj COMO SE ANALIZA??????
SE DEBEN PRODUCIR 7 UNIDADES DE X, 2 UNIDADES DE Y PARA MAXIMIZAR LA GANANCIA QUE SERA DE $3100
REVISEN, HAGAN CALCULOS Y SI TIENEN DUDAS ME LLAMAN QUE YO LAS ATENDERE CON MUCHO GUSTO CHAO LILIANA O. NOTA FINAL: COMO PUEDEN USTEDES VER TANTO POR EL METODO GRAFICO COMO POR EL METODO SIMPLEX LOS RESULTADOS DEBEN SER IGUALES
