Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo para iluminar e guardar, governar e guiar…
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
SOLUCIÓN DEL EXAMEN CON MATLAB CURSO: METODOS NUMERICOS
ALUMNO:
ROQUE CHARCA, Rosand DOCENTE:
Lic. Faustino Murillo Mamani
UNA - PUNO
2012
Dedicado al alma mater de mi formación académico - científico …Universidad Nacional del Altiplano - Puno
1º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 120min)
alrededor de 1. Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para y use el polinomio para aproximar . Encuentre el valor exacto y halle el error absoluto y relativo.
SOLUCIÓN: Puesto que podemos aplicar el teorema de Taylor de grado 3, además: donde: Para y tenemos: donde: () () donde: entonces cuando x= podemos evaluar con Taylor: Hallamos una cota para el error: || | | el cual es un valor aceptable, ahora hallamos para hacer comparaciones estos resultados error relativo evaluamos y hallamos las posibles raíces con un programa desarrollado en matlab utilizando un algoritmo para esta aproximación: 1º GRAFICAMOS Rosand Roque Charca – V Semestre
1
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GRAFICO Nº 1 EN MATLAB 120
De este grafico nos damos cuenta que existe una posible raíz en el punto o a partir del punto puesto que además se ve que en el punto no existe raíz pues es una asíntota vertical; luego utilizamos un algoritmo de un programa desarrollado en matlab que para este caso utilizaremos newton raphson.
100
80
2
f (x ) (1 x )
60
Y E J E
40
20
0
〈〉
-20
P (x ) 1 2x
) 3x 2 4x 3 R n (x
-40
-60 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
EJE X
Como estamos viendo en el programa en 3 iteraciones ya hacemos una posible aproximación de la raíz que sería de 2.54376, aunque el problema no nos pide la raíz ya entendemos cómo funciona el polinomio de aproximación de Taylor.
∫ , SOLUCIÓN: Puesto que aplicamos el teorema de Taylor de grado 3 para calcular la . Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para 2. Sea F(x)= expandido alrededor de , Aproxime F(0.1) aproximación, además:
Rosand Roque Charca – V Semestre 2
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Donde: Para y tenemos: donde: () () Dónde: entonces cuando x= podemos aproximar la integral con el polinomio de Taylor:
Por tanto: ̂ Una cota para el error en esta aproximación se determina con la integral del residuo de Taylor y el hecho de que ∫ () El error de esta aproximación se halla dentro de la cota, siendo el valor verdadero de esta integral: 3. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones de: a) para b) para c) para
SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio primero gráficamente luego utilizaremos el algoritmo de bisección con nuestro programa. la ecuación donde obtenemos la función asociada despejando tenemos: a) Sea Luego: de la grafica Nº 2 podemos claramente que , es continua en
GRAFICA Nº 2 EN MATLAB 70
60
50
40
x
Y E 30 J E
f 2(x ) 2
20
10
0
f 1(x ) x -10 -6
-4
-2
0
2
4
6
EJE X
Sabiendo que nuestra raíz se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab arroja el resultado de , visto de dos formas en matlab:
Rosand Roque Charca – V Semestre 3
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la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 3” podemos ver es continua en dos intervalos pero nos piden la raíz aproximada en el intervalo
b) Sea claramente que
GRAFICO Nº 3 EN MATLAB 200 180 160 140
f (x ) e
120
x
2 2cos x 6 x
Entonces para hallar la raíz que se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , visto de las dos formas en matlab:
100
80 60 40 20 0 -6
-4
-2
0
2
4
6
x
Rosand Roque Charca – V Semestre 4
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la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 4” podemos ver es continua en el intervalo
c) Sea claramente que
GRAFICO Nº 4 EN MATLAB
200
150
f (x ) e
x
Entonces para hallar la raíz por el método de bisección entre , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , visto de las dos formas en matlab:
x 2 3x 2
100
50
0
-50
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
4. Use el método de Newton para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) b) c) d)
SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio observando su gráfico para que de manera inmediata hallemos el punto de inicio o valor inicial utilizando para ello el algoritmo de Newton Raphson de nuestro programa.
a) Sea podemos ver claramente que próximo a la raíz sería:
la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 5” es continua en el intervalo de donde nuestro valor inicial más ”
Rosand Roque Charca – V Semestre 5
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GRAFICO Nº 5 EN MATLAB
50
0
Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,
-50
f (x ) x
2
e 3x 2 x
-100
-150
-200
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
b) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 6” podemos ver claramente que es continua en varios intervalos, primero en , segundo intervalo , etc., entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el primer intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más próximo a la raíz de: ”
GRAFICO Nº 6 MATLAB
100
50
Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,
0
f
(x ) 3x 2 e x
-50
-100
-150 -6
-4
-2
0
2
4
6
x
Rosand Roque Charca – V Semestre 6
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c) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 7” podemo s ver claramente que es continua en dos intervalos, primero en , segundo intervalo , entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el segundo intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más próximo a la raíz de: ”
GRAFICO Nº 7 EN MATLAB 200 180
Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,
160
140 120
f (x ) e
100
x
2x 2cos x 6
80 60 40 20 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Rosand Roque Charca – V Semestre 7
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d) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 8” podemos ver claramente que es continua en varios intervalos, de los cuales trabajamos en el intervalo , entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en este intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más próximo a la raíz de: ”
GRAFICO Nº 8 EN MATLAB
50
40
Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,
30
f
(x ) x 2 10cos x
20
10
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
5. La función . Use el método de Newton con las siguientes tiene un cero en aproximaciones lineales y explique los resultados gráficamente: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
tiene una asíntota vertical en SOLUCIÓN: La ecuación donde la función no es continua en este punto, entonces ahora vamos analizar la función en los respectivos puntos, el grafico general de la función se muestra en el gráfico Nº 9 donde podemos apreciar los posibles intervalos de continuidad
Rosand Roque Charca – V Semestre 8
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GRAFICO Nº 9 EN MATLAB
5.5
5
4.5
f
(x )
4
4x 7 x 2
Entonces vamos evaluar todos los puntos usando el método de Newton raphson, nuestro programa desarrollado en matlab muestra los siguientes resultados en matlab
3.5
3
2.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
1. Para la primera aproximación de 1.625 que la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000002 lo cual es bastante aproximado a la raíz real y es un valor aceptado.
2. Para la segunda aproximación de 1.875 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000002, que es igual al anterior punto, esto ocurre debido a que newton Raphson trabaja en función a intervalos y por ejemplo un intervalo es
3. Para la tercera aproximación de 1. 5 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor no admitido o no existe respuesta, esto ocurre debido a que newton Raphson trabaja en función a intervalos y por ejemplo la asíntota vertical genera un vecindad donde no es posibles calcular raíces.
4. Para la cuarta aproximación de 1. 95 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000113 lo cual se va alejando de la raíz real y aun así sigue mostrando un valor aceptado.
Rosand Roque Charca – V Semestre 9
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5. Para la quinta aproximación de 3 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de infinito con un error muy grande de 0.998382 lo que significa que la raíz real está muy lejos del intervalo de continuidad.
6. Para la sexta aproximación de 7 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de infinito como en el caso anterior, con un error muy grande de 0.997697 lo que significa que la raíz real está muy lejos del intervalo de continuidad. 6. El valor acumulado en una cuenta de ahorros basada en pagos periódicos regulares puede , en esta ecuación A es la determinarse de la ecuación de vencimiento anual, cantidad en la cuenta, P es la cantidad depositada regularmente, e, i, es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito.
A un ingeniero le gustaría tener una cantidad de $75,000 en una cuenta de ahorros cuando se retire en 20 años y puede, para este fin, depositar $150 al mes. Cuál es la tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone cada trimestre. Cuál es la tasa de interés mínima si el interés es compuesto diariamente
SOLUCIÓN: Se sabe que el interés que genera un capital prestado se acumula al capital, al final cada intervalo de tiempo especificado. Entonces tenemos para> a) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone de cada trimestre.
en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000 Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual que: b) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone diariamente.
en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000 Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual tenemos que: Rosand Roque Charca – V Semestre 10
