Ejemplo del método de Vogel Una compañía tiene fábricas en A, B, y C, las cuales proveen a los almacenes que están en D, E, F, y G. Las capacidades mensuales de las fábricas son 70, 90 y 115 unidades, respectivamente. Y de los almacenes son respectivamente: 50,60,70 y 95 unidades. Los costos unitarios de embarque son los siguientes: si guientes: Destino Origen A B C
D
E
F
G
17 15 15
20 21 14
13 26 15
12 25 17
Determinar una solución solución básica factible utilizando el método de Vogel. Vogel. D1 O1
17
20
13
12
aj 70
O2
15
21
26
25
90
6
O3
15
14
15
17
115
1
bj
50
60
70
95
P*
D2
0
D3
6
D4
2
P* 1
5
Observamos que existen dos penalidades iguales de la fila 2 y columna 2, para seguir adelante recurrimos al paso 4(a), de acuerdo a esto elegimos la columna (2) que contiene el menor costo (14), luego introducimos la base: x32 = mín. {115, 60}= 60 a3 = a3 – b2 = 115-60= 55
Se elimina la columna 2
:
P* → Penalidad
Las nuevas penalidades son:
D1
D2
D3
D4
O1
17
13
12
aj 70
O2
15
26
25
90
10
O3
15
15
17
115
0
P* 1
bj P*
50
70 0
95 2
5
Como 10 es la mayor penalidad y está en la fila 2, buscamos en esta fila el menor costo que es (15), luego introducimos a la base: X21 = mín. {90, 50} = 50 a2 = a2 – b1= 90-50 = 40 Las nuevas penalidades son: D1
D2
D3
D4
O1
13
12
aj 70
O2
26
25
90
1
17
55
2
P* 1
50
O3
15 20
bj P*
70
95
95 2
5
Como 5 es la mayor penalidad y está en la columna 4 buscamos en esta columna el menor costo (12), luego introducimos a la base: X14 = mín. {70, 95} = 70 b4 = b4 – a1= 95-70 =25 Se elimina la fila (1). Las nuevas penalidades son: D1
D2
D3
D4
aj
P*
25
40
1
17
115
2
O1
O2
26 50
O3
15 20
bj P* En la columna 3 se tiene:
70
95
95 11
8
x33 = min { 55, 70 }= 55 b3 = b3 – a3 = 70-55 = 25 Se elimina la fila 3 y finalmente se tiene: X23 = min { 40, 15 }= 15 a2 = a2 – b3 = 40-15 = 25 Se elimina la columna 3: X24 = min { 25,25 }= 25 Quedando la solución como: D1 O1
17
D2 20
D3 13
D4 12
aj 70
P*
90
1
115
2
70
O2
15
21
26 15
50
O3
15
14
15 60
bj P*
50
25
60
25
17 55
70
95 11
8
El costo de esta solución es: Costo = 12 x70 + 15 x 20 + 26x 15 + 14 x 60 + 15x 55 = 4270 Costo = S/. 4 270. Ejemplo
En el siguiente ejemplo encontrar la solución básica inicial utilizando el método Vogel: D1
D2
D3
D4
O1
4
6
2
3
aj 100
O2
3
1
7
3
200
O3
2
2
3
5
300
bj
80
160
100
260
Solución: D1
D2
O1
4
6
2
3
aj 100
O2
3
1
7
3
200
2
O3
2
2
3
5
300
0
bj P*
80
160
100
260
1
D3
1
D4
1
P* 1
0
La máxima penalidad es 2 que corresponde a la fila 2, en esta fila buscamos el menor costo que es (1), luego introducimos a la base: x22 = min { 200, 160} = 160 a2 = a2 – b2 = 200 – 160 = 40 Se elimina la columna 2 Cálculo de las nuevas penalidades: D1 O1
4
2
3
aj 100
O2
3
7
3
40
0
O3
2
3
5
300
1
bj P* Ps
80 1 0
D3
100 1 1
D4
P* 1
Ps 0
1
260 0
Observamos que existen cuatro penalidades iguales (1) para seguir adelante recurrimos al paso 4(a); vemos que no existe elemento de mínimo costo de las filas y columnas igualadas sino que son iguales ( para nuestro caso es 2). P ---------- Penalidad secundaria (Ps)
Entonces recurrimos al paso (4b) para calcular penalidades secundarias. Aplicando el procedimiento descrito en (4b), calculamos las penalidades secundarias solamente para las filas y columnas igualadas tal como se muestra en el tablero anterior. Observamos que persiste el empate, el método dice que podemos elegir arbitrariamente ya sea la fila o la columna, elegimos la columna 3 y aquí buscamos el elemento de menor costo, luego introducimos en la base: X13 = min { 100,100} = 160 a1 = a1 – b3 = 100 – 100 = 0 Se elimina la columna 3. Cálculo de las nuevas penalidades:
D1 O1
4
3
aj 0
O2
3
3
40
O3
2
5
300
bj P*
80 1
En la fila 3 se tiene: X31 = min { 300,80} = 80 a3 = a3 – b1 = 300 – 80 = 220 Se elimina la columna 1, finalmente: X24 = min { 40, 260} = 40 b4 = b4 – a2 = 260 - 40 = 220
D4
260 0
P* 1
0
Se elimina la fila 2 y : X34 = min { 220, 220} = 220 Quedando la solución como: D1
D2
D3
D4
O1
4
6
2
3
aj 100
O2
3
1
7
3
200 40
160
O3
2
2
3
80
bj
80
300
5 220
160
100
Costo = 2 x 100 + 1 x 160 + 2 x 80 + 5 x 220 = S/. 1740 .
260
