hoja No.: 1/9 Fecha: 21/01/2016
URL Ingeniería. Ingeniería. Análisis Estr. Estr. 1 Cat.: Ing. José Carlos Gil Ejemplo de Marco con "Ladeo" Resuelto con el Método de Cross
EjEmplo: Marco con Ladeo Resuelto con CROSS La estructura mostrada es de concreto reforza reforzado. do. Sus columnas s on circulares con un diámetro diámetro de 40cm y las vigas son rectangulares rectangulares con c on 30cm de ancho ancho y 50cm de peralte. peralte. Dicha estructura soporta una losa que le t ransmite la carga uniformemente distribuida indicada en la s egunda egunda figura. Además es afectada por una carga horizontal (viento o sismo, por ejemplo) al nivel de la losa. La cimentación es con zapatas zapatas que se c onsidera le propor proporcionan cionan tal rigidez como para para ser modeladas modeladas como empotramientos. empotramientos. Debido a la asimetría asimetría tanto geométrica como de de cargas se espera que la estructura tenga 'desplazamiento lateral'. Analizar dicho marco utilizando utilizando el "Método "M étodo de Distribución de Momentos (CROSS)"
Estructura: 0.30x0.50 m
D=0.40 m 4.00 m
6.00 m
4.00 m
Modelo para el Análisis: w=2.5T/m P=6T D
4
E
5
F
1
2
3
A
B
C
definiendo toneladas, una tonelada igual a 1000 kilogramos fuerza:
T := 100 1000kgf
Momentos de Inercia: Para facilitar el cálculo los momentos de inercia se establecen considerando la sección completa de vigas y columnas, aunque usualmente se trabaja con valores menores, pues al cargarse las estructuras de concreto éstas sufren fisuraciones, lo que reduce su rigidez. COLUMNAS sección circular con diámetro: momento de inercia, círculos:
D := 40cm Icol :=
π D
64
4
Icol
=
4
125664 cm
hoja No.: 2/9 Fecha: 21/01/2016
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VIGAS sección rectangular, dimensiones:
b := 30cm
momento de inercia, rectángulo:
Ivig :=
1 12
h := 50cm
b h
3
Ivig
=
4
312500 cm
Material: CONCRETO, con un módulo de elasticidad estimado de:
E := 220000
kgf 2
cm
Factores de Rigidez: BARRA 1 (columna): L1 := 4m
k 1 :=
4E Icol
k 1
L1
=
2765 T m
BARRA 2 y BARRA 3: mismos datos que barra 1, o sea: L2 := 4m
L3 := 4m
k 2 := k 1
k 3 := k 1
BARRA 4 (viga): L4 := 6m
k 4 :=
4E Ivig L4
k 4
=
4583 T m
k 5
=
6875 T m
BARRA 5 (viga): L5 := 4m
k 5 :=
4E Ivig L5
Factores de Distribución: NUDO A, NUDO B y NUDO C, empotramientos: r ad := 0
r be := 0
r cf := 0
NUDO D (al que llegan las barras 1 y 4) r da := r de :=
k 1 k 1
+
r da = 0.376
k 4
k 4 k 1
+
r de = 0.624
k 4
comprobación:
r da
+ r de =
(se distribuye el 100% del momento. Bien)
1
NUDO E (al que llegan 3 barras: 2, 4 y 5) r eb :=
r ed :=
r ef :=
k 2 k 2
+
k 4
+
k 5
+
k 5
+
k 5
r eb = 0.194
k 4 k 2
+
k 4
r ed = 0.322
k 5 k 2
+
k 4
comprobando:
r ef = 0.483 r eb
+ r ed + r ef =
1
en las tablas de distribución de momentos se aproximó r ef a 0.484 para reducir posibles problemas de redondeo, pues con 0.483 la suma daría 0.999.
hoja No.: 3/9 Fecha: 21/01/2016
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NUDO F (llegan las barras 3 y 5) r fc :=
r fe :=
k 3 k 3
r fc = 0.287
k 5
+
k 5 k 3
r fe = 0.713
k 5
+
comprobando:
r fc
+ r fe =
está bien!
1
Momentos de Extremo Fijo 'MEF' BARRA 4, D-E, carga uniformemente distribuida w := 2.5 L4
=
w=2.5T/m
T m
E
D MEFde
6m 2
w L4
MEFde :=
12
MEFde
=
MEFed
= -7.5 T m
MEF ed
6.00 m
7.5 T m
2
-w L4
MEFed :=
12
BARRA 5, E-F, carga uniformemente distribuida w = 2.5 L5
=
w=2.5T/m
T m
E
4m
MEFef :=
F
MEFef
w L5
4.00 m
MEFfe
2
MEFef = 3.333 T m
12 2
MEFfe :=
-w L5
12
MEFfe = -3.333 T m
Carga Horizontal: al estar aplicada sobre los nudos y éstos es tando inicialmente empotrados no produce momentos. Su influencia sobre la estructura se evaluará posteriormente. A continuación se presenta la tabla de dist ribuc ión de momentos considerando solamente el giro de los nudos. NO se incluye todavía el efecto del desplazamiento lateral o "LADEO", por lo que corresponde a una est ructura similar a la anterior pero con un apoyo adicional (que es 'ficticio') que impide el ladeo, lo que equivale a: w=2.5T/m P=6T Apoyo Ficticio
D
4
E
5
F
1
2
3
A
B
C
hoja No.: 4/9 Fecha: 21/01/2016
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Distribución de Momentos. Tabla No. 1,con el Ladeo Restringido D-A 0.376
extremo: factor Dist. MEF Distrib Transp Distrib Transp Distrib Transp Distrib Transp Distrib Transp Distrib
SUMA
D-E 0.624
E-D 0.322
E-B 0.194
E-F 0.484
F-E 0.713
F-C 0.287
0.000 -2.820 0.000 -0.252 0.000 -0.070 0.000 -0.034 0.000 -0.010 0.000 -0.005
7.500 -4.680 0.671 -0.419 0.185 -0.116 0.092 -0.057 0.025 -0.016 0.013 -0.008
-7.500 1.342 -2.340 0.371 -0.209 0.183 -0.058 0.051 -0.029 0.025 -0.008 0.007
0.000 0.808 0.000 0.223 0.000 0.110 0.000 0.031 0.000 0.015 0.000 0.004
3.333 2.017 1.188 0.557 -0.359 0.275 -0.099 0.076 -0.049 0.038 -0.014 0.010
-3.333 2.376 1.008 -0.719 0.279 -0.199 0.138 -0.098 0.038 -0.027 0.019 -0.013
0.000 0.957 0.000 -0.289 0.000 -0.080 0.000 -0.040 0.000 -0.011 0.000 -0.005
-3.191
3.191
-8.165
1.192
6.973
-0.531
0.531
A-D 0
B-E 0
C-F 0
0.000 0.000 -1.410 0.000 -0.126 0.000 -0.035 0.000 -0.017 0.000 -0.005 0.000
0.000 0.000 0.404 0.000 0.112 0.000 0.055 0.000 0.015 0.000 0.008 0.000
0.000 0.000 0.478 0.000 -0.145 0.000 -0.040 0.000 -0.020 0.000 -0.005 0.000
-1.593
0.594
0.268
Cortante en las Columnas:
aplicando equilibrio estático a los momentos resultantes de la tabla anterior: COLUMNA, 1 A-D: Mad :=
-1.593T m
Mda :=
-3.191T m Msup
S
Md =0:
Vad L1 Vad :=
+
M ad
+
-M ad -
Vsup
Mda = 0
M da
L1
Vad
=
L
1.196 T
COLUMNA 2, B-E: Vinf
M be := 0.594T m S
Me =0:
V be L2 V be :=
+
M be
+
-M be -
L2
Meb := 1.192T m
Meb = 0
M eb
V be = -0.446 T
Minf
hoja No.: 5/9 Fecha: 21/01/2016
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COLUMNA 3, C-F: M cf := 0.268T m S
Mf =0:
Vcf L3 V be :=
+
Mfc := 0.531T m
M cf + Mfc = 0
-M cf -
Mfc
V be
L3
= -0.2 T
Reacción "R" en el Apoyo Fictício Haciendo un cuerpo libre al nivel de las vigas e identificando solamente las fuerzas horizontales (pues lo que se está evitando es el desplazamiento horizontal). Notar que al seccionar las columnas existen también momentos y fuerzas verticales, pero no interesan ahora. R
P=6T D
4
E
1.196T S
Fx=0:
R
+
R :=
1.196T
-
F
0.446T
0.446T
-1.196T +
5
-
0.446T
0.2T +
-
0.2T
0.2T
6T = 0 +
6T
R
=
5.45 T
la reacción R resultó hacia la derecha, lo que indica que la estructura trata de ladearse hacia la izquierda
Evaluando el Efecto del LADEO:
La formulación del método de Cross solamente considera el giro de los nudos, por lo que para incluir el efecto de los desplazamientos se le imponen a la estructura traslaciones en las direcciones correspondientes. Como se supone que las barras no cambian de largo (esto es porque se desprecia la deformación que producen las fuerzas axiales de tensión o compresión) en este marco solo es posible, en los nudos, un desplazamiento: el horizontal de los puntos D-E-F que es igual en todos esos nudos por la misma razón recién descrita. En general en marcos de este tipo existe un desplazamiento horizontal distinto por cada piso. En otros casos pueden existir también desplazamientos verticales. El desplazamiento se impone como se hace con las cargas: impidiendo inicialmente el giro de los nudos, por lo que se generan Momentos de Extremo Fijo, para un valor D aún no definido:
R'
es el valor de la fuerza que produce el desplazamiento D. R'
hoja No.: 6/9 Fecha: 21/01/2016
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En cada barra deformada (las columnas en este caso) los momentos fijos valen:
6E I
Δ
2
L
6E I
Δ
2
L
como las 3 columnas (barras 1,2 y 3) tienen en este ejemplo la misma inercia, material y largo, los momentos en sus extremos valen todos igual que MEFad. Conviene asumir un valor de D para trabajar solamente numeros y mejor si dicho valor produce resultados de momento MEF similares a los de la tabla de Cross No. 1 Asumiendo: Δ := 1cm MEFad :=
6E Icol L1
Δ
2
MEFad
=
10.367 T m
El momento es positivo por el sentido del desplazamiento (la mejor manera de identificar el signo es observando cómo se flexionan los extremos de las barras). Para "liberar" los giros de los nudos, se efectúa entonces una distribución de momentos:
Distribución de Momentos, Tabla No. 2, Efectos del Ladeo extremo: factor Dist. MEF Distrib Transp Distrib Transp Distrib Transp Distrib Transp Distrib Transp Distrib
SUMA
D-A 0.376
D-E 0.624
E-D 0.322
E-B 0.194
E-F 0.484
F-E 0.713
F-C 0.287
10.367 -3.898 0.000 0.628 0.000 -0.420 0.000 0.086 0.000 -0.057 0.000 0.012
0.000 -6.469 -1.669 1.042 1.116 -0.696 -0.228 0.142 0.152 -0.095 -0.031 0.019
0.000 -3.338 -3.235 2.232 0.521 -0.456 -0.348 0.305 0.071 -0.062 -0.048 0.042
10.367 -2.011 0.000 1.344 0.000 -0.275 0.000 0.184 0.000 -0.037 0.000 0.025
0.000 -5.018 -3.696 3.354 0.894 -0.685 -0.598 0.458 0.122 -0.093 -0.082 0.063
0.000 -7.392 -2.509 1.789 1.677 -1.196 -0.342 0.244 0.229 -0.163 -0.047 0.033
10.367 -2.975 0.000 0.720 0.000 -0.481 0.000 0.098 0.000 -0.066 0.000 0.013
6.717
-6.717
-4.317
9 .597
-5.280
-7.676
7.676
A-D 0
B-E 0
C-F 0
10.367 0.000 -1.949 0.000 0.314 0.000 -0.210 0.000 0.043 0.000 -0.029 0.000
10.367 0.000 -1.006 0.000 0.672 0.000 -0.137 0.000 0.092 0.000 -0.019 0.000
10.367 0.000 -1.488 0.000 0.360 0.000 -0.241 0.000 0.049 0.000 -0.033 0.000
8.536
9.969
9.015
hoja No.: 7/9 Fecha: 21/01/2016
URL Ingeniería. Análisis Estr. 1 Cat.: Ing. José Carlos Gil Ejemplo de Marco con "Ladeo" Resuelto con el Método de Cross
Cortante en las Columnas:
de la mis ma forma que se hizo anteriormente: COLUMNA, 1 A-D: M'ad := 8.536T m
M'da
:=
6.717T m Msup
S
Md =0:
V'ad L1 V'ad :=
M'ad
+
+
-M'ad -
Vsup
M'da = 0
M'da
L
V'ad = -3.813 T
L1
COLUMNA 2, B-E: Vinf
M' be := 9.969T m S
Me =0:
V' be L 2 V' be :=
M' be
+
+
-M' be -
M'eb
:=
9.597T m
Minf
M'eb = 0
M'eb
V' be = -4.891 T
L2
COLUMNA 3, C-F: M'cf := 9.015T m S
Mf =0:
V'cf L3
+
M'cf + M'fc = 0
-M'cf -
V' be :=
M'fc := 7.676T m
M'fc
V' be = -4.173 T
L3
Cálculo de la Fuerza R' que Produce el Ladeo Asumido R' D
4
E
3.813T S
Fx=0:
4.891T R'
-
3.813T
-
R' := 3.813T
4.891T
+
-
4.891T
5
F
4.173T
4.173T = 0
+
4.173T
R' = 12.877 T
El apoyo fictício tenía como función impedir el efecto del ladeo, y por lo tanto absorver esa fuerza R' que lo produce, por lo que la reacción en el apoyo ficticío R y la fuerza R' deben anularse entre si. Sin embargo, R' fue calculada a partir de un desplazamiento D cuyo valor se asumió, por lo que no es necesariamente el valor real. Por eso D y R' deben corregirse. Forzando el equilibrio: sea 'n' el factor de corrección S
Fx=0:
despejando:
R
+
n :=
n R' = 0 -R R'
n
= -0.423
El factor de corrección resultó negativo, y esto es como consecuencia que el ladeo, tal y como se había mencionado antes, es hacia la izquierda, mientras que el valor D se aplicó
hoja No.: 8/9 Fecha: 21/01/2016
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hacia la derecha. Si para corregir el valor de R' éste debe multiplicarse por n, como un beneficio de la superposición de efectos todos los resultados que produce R' también pueden ser corregidos si se multiplican por n. En este caso, al multiplicarlos por un valor negativo, esta operación también les cambia su signo y por lo tanto su sentido. Al resultado de la primera tabla faltaba incluirle el efecto del ladeo, por lo que el resultado final es la suma de los momentos que se calcularon en la primera tabla mas los del caso de ladeo, ya corregidos: D-A
ladeo, valor asumido: multiplicando por n, ladeo valor corregido: valor SIN ladeo: SUMA:
E-F
F-E
6.717
-6.717
-4.317
9.597
-5.280
-7.676
7.676
-2.841 -3.191
2.841 3.191
1.826 -8.165
-4.059 1.192
2.234 6.973
3.247 -0.531
-3.247 0.531
-6.032
6.032
-6.339
-2.868
9.207
2.716
-2.716
A-D
ladeo, valor asumido multiplicando por n, ladeo valor corregido valor SIN ladeo SUMA:
D-E
E-D
E-B
B-E
F-C
C-F
8.536
9.969
9.015
-3.611 -1.593
-4.217 0.594
-3.813 0.268
-5.204
-3.623
-3.545
RESULTADOS: A partir de los valores de momento pueden calcularse, empleando el equilibrio estático, los valores de corte. Se presentan a continuación los resultados que presentan ligeras variaciones con respecto a los de la tabla anterior, pues fueron calculados con un mayor grado de aproximación. DIAGRAMA DE CORTE ( T )
URL Ingeniería. Análisis Estr. 1 Cat.: Ing. José Carlos Gil Ejemplo de Marco con "Ladeo" Resuelto con el Método de Cross
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLEXIONANTES (T-m)
Note la influencia de la fuerza horizontal en la forma del diagrama de momento de las columnas ELÁSTICA DE LA ESTRUCTURA DEFORMADA
hoja No.: 9/9 Fecha: 21/01/2016
