ESTRUCTURAS MODELADAS COMO EDIFICIOS SIMPLES EL MODEL MODELO O CON UN SOLO SOLO GRADO GRADO DE LIBER LIBERT TAD PROVEE PROVEE LA RESPU RESPUEST ESTA A DINAMI DINAMICA CA EXACT EXACTA A SOLAME SOLAMENTE NTE CUAND CUANDO O LA ESTRUC ESTRUCTUR TURA A PUEDE PUEDE ASUMI ASUMIR, R, DURANTE DURANTE SU MOVIMIENTO, UNA FORMA UNICA DE DESPLAZAMIENTO. DESPLAZAMIENTO. CUANDO LA ESTRUCTURA PUEDE DESPLAZARSE EN MAS DE UNA FORMA, LA SOLUCION QUE QUE SE OBTI OBTIEN ENE E CON CON UN MODE MODELLO DE UN GRAD GRADO O DE LIBE LIBER RTAD SER SERA SOLA SOLAME MENT NTE E UNA UNA APRO APROXI XIMA MACI CION ON AL VERD VERDAD ADER ERO O COMP COMPOR ORT TAMIE AMIENT NTO O DINAMICO.
LAS ESTRU ESTRUCTU CTURA RAS S NO SIEMPR SIEMPRE E PUEDEN PUEDEN DESCRI DESCRIBIR BIRSE SE DINAMI DINAMICA CAMEN MENTE TE EMPLEANDO UN MODELO CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD Y ES NECESARIO MODELAR LAS ESTRUCTURAS COMO SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBER LIBERTAD. EN REALIDA REALIDAD, D, LAS ESTRUCTUR ESTRUCTURAS AS SON SISTEMAS SISTEMAS CONTINUOS CONTINUOS Y COMO TALES TIENEN INFINITOS GRADOS DE LIBERTAD. EXISTE EXISTEN N METODO METODOS S ANALI ANALITIC TICOS OS PARA ARA DESCRI DESCRIBIR BIR EL COMPOR COMPORT TAMIENT AMIENTO O DINAMICO DE LAS ESTRUCTURAS COMO SISTEMAS CONTINUOS, QUE TIENEN PROPIE PROPIEDA DADES DES DE MATER MATERIAL IALES ES UNIFOR UNIFORMES MES Y GEOMET GEOMETRIA RIA SIMPLE SIMPLE.. ESTOS ESTOS METODOS METODOS DE ANALISIS ANALISIS,, DAN IMPORT IMPORTANTE INFORMA INFORMACION CION SOBRE SOBRE MODELO MODELOS S ESTR ESTRUC UCTU TUR RALES ALES DISC DISCRE RETO TOS, S, SON SON COMP COMPLE LEJO JOS S Y SOL SOLO APLI APLICA CABL BLES ES A ESTRUCTURAS RELATIVAMENTE SIMPLES. EJEMPLO. ECUACION DIFERENCIAL, EN DERIVADAS PARCIALES, DE UNA LOSA RECTANGULAES SOMETIDA A FLEXION.
ECUACION DE RIGIDEZ PARA UN EDIFICO SIMPLE
UN EDIFICIO SIMPLE PUEDE SER DEFINIDO COMO UN EDIFICIO EN EL CUAL NO SE PRODUCEN ROTACIONES EN LOS MIEMBROS HORIZONTALES A LA ALTURA DE LOS PISOS.BSOMETIDO A EXICITACIONES QUE PRODUCEN DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES, TIENE MUCHAS DE LAS CARACTERISTICAS DE UNA VIGA EN VOLADIZO DEFORMADA SOLAMENTE POR EL ESFUERZO DE CORTE. HIPOTESIS:
TODA LA MASA ESTA CONCENTRADA AL NIVE DE LOS PISOS. QUE LAS VIGAS EN LOS PISOS SON INFINITAMENTE RIGIDAS, CON RELACION A LA RIGIDEZ DE LAS COLUMNAS. QUE LAS DEFORMACIONES SON INDEPENDIENTES DE LAS FUERZAS AXIALES EN LAS COLUMNAS.
SE PUEDE IDEALIZAR UN EDIFICIO SIMPLE COMO UNA SOLA COLUMNA, CON MASAS CONCENTRADAS A LA ALTURA DE LOS PISOS O UN MODELO DE RESORTES Y MASAS.
LA RIGIDEZ PARA EL CASO DE UNA COLUMNA CON UN EXTREMO FIJO Y EL OTRO ARTICULADO.
DESPEJANDO: K=3EIL 3 PARA UNA COLUMNA CON SUS DOS EXTREMOS FIJOS, SIN POSIBILIDAD DE ROTACION:
POR ESTATICA, K=!"EIL 3 AHORA, IGUALANDO A CERO LA SUMA DE LAS FUERZAS QUE ACTUAN EN CADA UNA DE LAS MASAS.
EXPRESANDO DE FORMA MATRICIAL: DONDE:
ECUACIONES DE FLEXIBILIDAD:
DE ACUERDO AL METODO DE LAS FLEXIBILIDADES, EL DESPLAZAMIENTO TOTAL EN EL PISO MAS LA SUMA DE FUERZAS DEBIDA A CADA FUERZA INERCIAL ES CERO: #$ % &' $( F$ = )
ASI, PARA EL PISO !: # ! % &' !( F ( = )* CON &' !( F ( = ' !!F!%' !"F"% ' !3F3* F ( = + (# ( F-/ (
VIBRACION LIBRE DE UN EDIFICIO SIMPLE EL ANALISIS DE LA ESTRUCTURA EN MOVIMIENTO LIBRE PROPORCIONA LAS PROPIEDADES DINAMICAS MAS IMPORTANTES DE LA ESTRUCTURA, QUE SON: LAS FRECUENCIAS NATURALES, Y LOS MODOS NORMALES DE VIBRACION. UN RESERVORIO ELEVADO PUEDE MODELARSE COMO UNA ESTRUCTURA DE UN !GL.
EN LA ECUACION DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO DINAMICO TENEMOS: M0 % K# = F, CON F=)* SEG1N LA PRIMERA LEY DE NE2TON, EL SISTEMA PERMANECERA EN REPOSO. SIN EMBARGO, EN EL CASO DE CUERPOS DEFORMABLES, EN USENCIA DE CARGAS EXTERIORES EL CUERPO PUEDE VIBRAR LIBREMENTE EN CIERTAS FRECUENCIAS LLAMADAS PROPIAS O NATURALES4.
ISAAC NE2TON. -"5 DE DICIEMBRE DE !67" LONDRES* ") DE MARZO DE !8"8/ FUE UN F9SICO, FILSOFO, TELOGO, INVENTOR, ALQUIMISTA Y MATEM;TICO INGL
GRADO DE LIBERTAD DINAMICO
EN LOS PROBLEMAS DINAMICOS APARECE LA NECESIDAD DE REPRESENTAR NO SOLO LAS FUERZAS ELASTICAS A TRAVES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA, SINO ADEMAS REPRESENTAR CORRECTAMENTE LA DISTRIBUCION DE LA MASA. A TRAVES DE LA PROPIEDAD DE INERCIA QUE CARACTERIZA A LAS MASA, SE GENERAN LAS FUERZAS DE INERCIA QUE DEBEN TENERSE EN CUENTA EN LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO. GLD SON AQUELLOS QUE TIENEN ASOCIADO AL MISMO UNA CIERTA MASA, ES DECIR LA PROPIEDAD DE GENERAR FUERZAS DE INERCIA. ASI, LAS MASAS ESTAN CONCENTRADAS EN CORRESPONDENCIA CON LOS GLD. PARA LAS MASAS CONCENTRADAS SOLO SE ASIGNA TRASLACION, PERO PUEDE GENERALIZARSE PARA ASOCIAR ROTACION. FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS NORMALES
SIN INCLUIR EL AMORTIGUAMIENTO, EL SISTEMA HOMOGENEO ES: M0 % K# = ) PARA ENCONTRAR UNA SOLUCION NO TRIVIAL # ) SE PROPONE UNA SOLUCION ARMONICA DEL TIPO # = >?@ DERIVANDO DOS VECES: = ">?@ EN EL SISTEMA DE E.D. K# = M0 REEMPLAZANDO # Y SU SEGUNDA DERIVADA: K >?@ # = M ">?@ ELIMINANDO ?@: K > = " M > DADO QUE >4 ES UN VECTOR INDEPEDNDIENTE DEL TIEMPO QUE REPRESENTA LA AMPLITUD DEL MOVIMIENTO ARMONICO DE FRECUENCIA CIRCULAR . EL PROBLEMA ES ANALOGO A UNO DE EIGENVALORES Y EIGENVECTORES EN SU FORMA GENERAL. HACIENDO >=, K=A, M=B: A = B
EL NUMERO DE MODOS DE VIBRAR LIBREMENTE COINCIDE CON EL NUMERO DE GLD. EL PROBLEMA QUEDA REDUCIDO A UNA ECUACION ALGEBRAICA -EC. CARACTERISTICA/, QUE ES UNA POLINOMICA DE GRANO : DET-K " M/ = ) LA CUAL SE RESUELVE:
ORTOGONALIDAD DE LOS VECTORES PROPIOS
SEA A, B MATRICES SIMETRICAS Y DEFINIDAS POSITIVAS: T A ), T B ) Y SEA $ UN VECTOR PROPIO: A $ =$ B $ MULTIPLICANDO POR ( T SE OBTIENE: ( T A $ =$ ( T B $.-!/ INVIRTIENDO EL ORDEN: T$ A ( = ( T$ B ( TRANSPONIENDO: - T$ A (/ T =- ( T$ B (/ T TENER PRESENTE QUE ES UN ESCALAR Y T = ( T A T $ = ( T ( T B T $ = ( ( T B T $ POR SIMETRIA, A=A T , B=B T ( T A $ = ( ( T B $.-"/ -!/ MENOS -"/: ) = -$ (/ ( T B $ PARA $=(, -$ (/=) QUE ES LO MISMO $= ( POR LO QUE REALES POR SER A,B DEFINIDAS POSITIVAS ( T B $), ( T A T $) ES DECIR: T A = T B SIENDO LA UNICA POSIBILIDAD: ) POR LO TANTO, SIEMPRE ES REAL Y POSITIVO. PARA EL OTRO CASO, $( ( T B $=) POR LO QUE:
( T A $ =>$ $( ( T B $ = $ $( NORMALIZACION DE VALORES PROPIOS
SEA A=K, B=M MATRICES SIMETRICAS Y DEFINIDAS POSITIVAS, SI: ( T M $ = $( SE DICE QUE LOS VECTORES PROPIOS ESTAN NORMALIZADOS CON RESPECTO A LA MATRIZ M -MASA/. ESTO SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA: $( - ( T M $/
MOVIMIENTO FORZADO DE EDIFICIOS SIMPLES METODO DE SUPERPOSICION MODAL
SE PLANTEA EL PROBLEMA: M0 % K# = F-/ ESTE ES UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES, ACOPLADO. PARA RESOVER EL SISTEMA CON F-/), ASUMIMOS LA SOLUCION UTILIZANDO EL METODO DE PARAMETROS INDETERMINADOS: #=&, =-/ SI ES EL VECTOR PROPIO NORMALIZADO CON RESPECTO A LA MATRIZ M: T M0 % K# = T F-/ LUEGO: T M % K = T F-/ - TM/ % - TK/ = TF-/ % " = TF-/ DEBIENDO RESOLVERSE LAS EC. DIF. DESACOPLAZADAS PARA . LUEGO SE REEMPLAZA EN: #=&
RESPUESTA A EXCITACIONES DINAMICAS GENERALES LAS ESTRUCTURAS REALES ESTAN SOMETIDAS A EXCITACIONES QUE NOS SON ARMONICAS. PARA SISTEMAS CON !GL LA RESPUESTA PUEDE OBTENERSE MEDIANTE UNA INTEGRAL, EN LOS CASOS QUE LA EXCITACIN PUEDA EXPRESARSE COMO UNA FUNCION SIMPLE, SE RESOLVERA ANALITICAMENTE. PARA CASOS MAS GENERALES, SE INTEGRARA NUMERICAMENTE. INTREGAL DE CONVOLUCION - RESPUESTA A UNA FUERZA ARBITRARIA
UNA FUERZA QUE VARIA DE FORMA ARBITRARIA CON EL TIEMPO PUEDE REPRESENTARSE COMO UNA SECUENCIA DE IMPULSOS. LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DINAMICO LINEAL A UNO DE ESTOS IMPULSOS, ES UNA MAGNITUD MULTIPLICADA POR LA FUNCION DE RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO.
ASI: LA RESPUESTA EN EL TIEMPO ES LA SUMA DE LAS RESPUESTAS DE TODOS LOS IMPULSOS:
INTREGAL DE DUHAMEL – RESPUESTA A UN IMPULSO UNITARIO
JEANMARIE CONSTANT DUHAMEL -SAINTMALO, !88 PARIS, !8"/ FUE UN MATEM;TICO Y F9SICO FRANC
POR LA "DA LEY DE NE2TON:
DESPAJANDO LA VELOCIDAD:
AHORA, A LA IZQUIERDA SE TIENE LA VARIACION DE LA VELOCIDAD, Y EN EL SEGUNDO MIEMBRO AL INTEGRAR EN EL NUMERADOR SE OBTIENE !, QUEDANDO FINALMENTE !+. ASI, UN IMPULSO UNITARIO EN = IMPARTE A LA MASA LA VELOCIDAD !+, SIENDO EL DESPLAZAMIENTO CERO.
EN GENERAL, UN IMPULSO UNITARIO OCASIONA UNA VIBRACION LIBRE DEL SISTEMA DE ! GL DEBIDO A LA VELOCIDAD INICIAL:
AL REMPLAZAR EN LA INTEGRAL DE CONVOLUCION, LA RESPUESTA A UN IMPULSO UNITARIO, SE TIENE LA INTEGRAL DE DUHAMEL:
PARA EL CASO DE OSCILACION SIN AMORTIGUAMIENTO, =), D=. FUERZA CONSTANTE
EL DESPLAZAMIENTO TOTAL EN EL INSTANTE DEBIDO A LA ACCION CONTINUA DE LA FUERZA F ESTA DADO POR LA SUMA O INTEGRAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS DIFERENCIALES #:
PARA UNA FUERZA CONSTANTE FW, Y DEFINIENDO # ? = FWK: LA RESPUESTA DIN;MICA SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA, SE OBSERVA QUE #MAX = "#?
FUERZA RECTANGULAR.
="T:
DEFINIENDO ##?=FD -FACTOR DINAMICO/, Y
SE MUESTRA EL GRAFICO EN EL QUE EN LAS ABSCISAS SE UBICA EL PARTAMETRO T # EN LAS ORDENADAS FD MAX. EL VALOR MAXIMO SE ALCANZA CUANDO T5 QUE CORRESPONDE AL CASO CUANDO FW ES INFINITO. ESTE
TIPO DE DIAGRAMAS, EN EL QUE SE MUESTRA LA RESPUESTA MAXIMA DE UN SISTEMA DE ! GL PARA UNA EXCITACIN ESPECIFICA, SE LLAMA DIAGRAMA ESPECTRAL4.
UNA FUERZA CON UN AVALOR INICIAL FW QUE DECRECE LINELAMNETE HASTA CERO EN . PARA : FUERZA TRIANGULAR.
EN EL DIAGRAMA ESPECTRAL:
DONDE, PARA :
PARA :
EL US ARMY CORPS OF ENGINEERS HA PREPARADO MUCHOS DIAGRAMAS ESPECTRALES PARA UNA GRAN VARIEDAD DE EXCITACIONES IMPULSIVAS.
EL U.S. ARMY CORPS OF ENGINEERS, EN DESIGN OF STRUCTURES TO RESIST THE EFFECTS OF ATOMIC 2EAPONS4. MANUALES 7!7, 7!5 Y 7!6 DE MARZO DE !58. MANUALES 7!8 Y 7! DE ENERO DE !5. MANUALES 7!, 7") Y 7"! DE ENERO DE !6).
