Ecuaciones de Rainville

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.Traducción:

ASDRÚBAl flORES lÓPEZ Director del Departamento de Física Escuela de Ciencias Universidad Veracruzana M.a . ANTONIETA GARdA BLANCO Catedrática del Departamento de Física Escuela de Ciencias Universidad Veracruzana

~evisión

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técnica:

FEDERICO GAl VÁN ANA YA Catedrático de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México

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Ecuaciones diferenciales elementales

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Earl D. Rainville

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Catalogación en la fuente

Rainville, Earl David Ecuaciones diferenciales elementales. -México : Trilla~, 1969 (reimp. 1999). 556 p . : grafs. ; 23 cm. Traducción de: Elementary differential equations Incluye bibliografías e índices ISBN 968-24-0123-2

l. Ecuaciones diferenciales. l. t.

D- 515.35'R522e

LC- QA371 'R3.4

195

Título de esta obra en inglés: Elementary differential equations Versión autorizada de la tercera edición en inglés publicada por © The Mcmillan Company Nueva York, N. y, E. U. A .

La presentación y disposición en conjunto de ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la g rabación o cualquier sistema de re cuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor Derechos reservados en lengua española

© 1969, Editorial Trillas , S . A. de C. \/., División Administrativa, Av. Río Churubllsco 385, Col. Pedro María Anaya, C. P 03340, México, D. F Tel. 6884233, FAX 6041364 División Comercial, Calz. de la Viga 1132, C. P OS439 México, D. F Tel. 6330995, FAX 6330870 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Reg. núm. 158 Primera edición en español, 1969 (ISBN 9 68 -2 4-0123-2) Reimpresiones, 1971 , 1975, junio y diciembre 1974, 1975, 1976, 1977, 1979, 198 0,1981, 1.982, 1983,1985, 1987, 1989, 1990, 1 'J 9.J Y 19 95

Decimonovena reimpresió n; julio 1999 Impreso en México Printed in Mexico

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Prefacio a la tercera edición Esta edición incluye cuatro nuevos capítulos dedicados a la transformada de Laplace. Otros tres capítulos han sido reescritos haciendo énfasis en el uso de la transformada en ciertas aplicaciones. Se han dedicado nuevas secciones a otros tópicos que abarcan desplazamientos transversales de una viga, difusión en un sólido en el que una de sus .c uartas partes tiende a infinito, series asintóticas y una introducción a la idea de variables canónicas en ciertos problemas de valores a la frontera. Se ha aumentado ligeramente el espacio dedicado al material presentado en ediciones anteriores. Cerca de un tercio del texto y los ejercicios son nuevos. El número de ejercicios ha sido aumentado a más de 1 800. Casi todos los ejercicios que aparecieron en mi libro recientemente publicado sobre la transformada de Laplace, aparecen aquí. siento procupado por el creciente aumento del número de estudiahtes cuyo gran vocabulario de términos matemáticos avanzados, ideas y teoremas, está aparejado solamente por su completa incapacidad para resolver cualquiera, aun el más simple de los problemas específicos. En un reciente congreso de matemáticas, escuché a un orador que expresó su alarma con respecto a la poca habilidad manipulativa que habían desarrollado sus estudiantes. Tales sucesos todavía no me hacen perder el sueño. Como en todos mis textos, yo he hecho aquí un intento muy serio para ayudar al lector a desarrollar una habilidad considerable . en la resolución de problemas, usando los conceptos matemáticos y las herramientas presentadas. 'o Como en las primeras ediciones, he tratado de exhibir tanto las técnicas para obtener soluciones, como las ideas básicas y las teorías que están subyacentes. Los numerosos ejercicios han sido preparados cuidadosamente con la doble intención de desarrollar la habilidad del estudiante así como de aumentar su comprensión. Las definiciones y enunciados se han hecho con cuidado.

Me

5

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Prefacio a la tercera edición

:&1 material del libro está arreglado para permitir gran flexibilidad en la elección de los temas para un curso semestral. Excepto por lo que hace a los capítulos 1, 2, 7, Y del 18 al 21, y asimismo del 8 Y 9, ó del 10 Y 11, cualquier otro capítulo que trate de las ecuaciones diferenciales ordinarias puede omitirse sin interferir con el estudio de los últimos capítulos. Partes de capítulos pueden también omitirse en algunas circunstancias. Para un curso que tenga la intención de tratar las series de potencias, tan rápidamente como sea consistente con el tratamiento de algunos métodos más elementales, otras omisiones razonables podrían ser los capítulos 4 y 6, los 8 y 9 u 11 y 12, el capítulo 10, las secciones 81 a 84 del capítulo 16, el capítulo _17, Y las últimas partes de los capítulos 18 y 19; así como las aplicaciones que el instructor considere pertinente omitir. El libro tiene suficiente material para un curso de todo un año. Si los diferentes temas son estudiados con bastante atención y detalle, se sugiere un curso anual. Los capítulos del 1 al 19 de este libro aparecen separadamente bajo el nombre A Short Course in Differential Equations, tercera edición. La versión más corta es adecuada para cursos que no incluyan la discusión de los métodos de series infinitas. Estoy agradecido por los comentarios y las sugestiones que he recibido de muchos de mis colegas aquí en Michigan, y de muchos otros instructores y estudiantes de otros colegios y universidades. Es un placer agradecer en particular la ayuda y el estímulo que he recibido de los profesores Jack R. Britton y L. C. Snively y del Dean C. A. Hutchinson, de la Universidad de Colorado; el profesor William N. Huff, de la Universidad de Oklahoma; el profesor Phil1ip E. Bedient, del Colegio Franklin y Marshall; del profesor Ralph L. Shively, del Colegio Swarthmore, así como de los profesores D. G. Dickson, R. V. Churchill, R. C. F. Bartels y G. E. Hay, y Ernest W. Reynolds, Jr., M. D., todos de la Universidad de Michigan. Estoy en deuda también con E. F. Ziegler, M. D., de Pasadena, California. Finalmente, deseo también expresar mi gratitud al profesor Bedient, por su lectura de las pruebas de este libro. EARL

Ann Arbor, Michigan

D.

RAINVILLE


,

Indice general Prefacio a la tercera edición CAPÍTULO

5

1

Definiciones, eliminación de constantes arbitrarias

13

1. Ejemplos de ecuaciones diferenciales - 2. Definiciones 3. Eliminación de constantes arbitrarias '- 4. Familias de curvas. CAPÍTULO

2

Ecuaciones de primer orden y primer grado

29

5. Soluciones generales de ecuaciones diferenciales ordinarias - 6. Separación de variables - 7. Sobre la forma de las soluciones - 8. La notación EXP U - 9. Funciones homogéneas - 10. Ecuaciones con coeficientes homogéneos - 11. Ecuaciones exactas - 12. Métodos de"solución - 13. La ecuación lineal de primer orden.

...

CAPÍTULO

3

Aplicaciones elementales 59 14. Velocidades de escape de la Tierra - 15. Ley de enfriamiento de Newton - 16. Conversión química simple. CAPÍTULO

4

Tópicos adicionales sobre ecuaciones de primer orden y primer grado 69 17. Factores integrantes obtenidos por inspección - 18. Determinación de factores integrantes - 19. Sustitución sugerida por la ecuación dada - 20. Ecuación de Bernoulli - 21. Coeficientes lineales en las dos variables - 22. Soluciones que involucran integrales no elementales. 7

http://carlos2524.jimdo.com/ 8 CAPÍTULO

Indice general

5

Trayectorias ortogonales

95

23. Trayectorias 'ortogonales; coordenadas rectangulares - 24. Trayectorias ortogonales; coordenadas polares - 25. Potencial eléctrico - 26. Temperaturas de estado estable - 27. Flujo de un fluido bidimensional en el estado estable. 6 Funciones hiperbólicas

CAPÍTULO

109

28. Definición de_las funciones hiperbólicas - 29. Fórmulas básicas de trigonometría hiperbólica. CAPÍTULO

7

Ecuaciones düerenciales lineales

115

30. La ecuación lineal general - 31. Independencia lineal 32. El wronskiano - 33. Solución general de una ecuación homogénea - 34. Solución general de una ecuación no homogénea - 35. Operadores diferenciales - 36. Leyes fundamentales de operación - 37. Algunas propiedades de los operadores diferenciales - 38. La enésima derivada de un producto. CAPÍTULO

8

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

133

39. Introducción - 40. La ecuación auxiliar; raíces distintas - 41. La ecuación auxiliar; raíces repetidas - 42. Definición de EXP z para z imaginaria - 43. La ecuación auxiliar; raíces imaginarias. CAPÍTULO

9

Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados

147

44. Construcción de una ecuación homogénea a partir de una solución especificada - 45. Solución de una ecuación no homogénea - 46. Método de coeficientes indeterminados - 47 Solución por inspe~ción. 10 Operadores düerenciales inversos

CAPÍTULO

165

48. El cambio de la exponencial - 49. El operador l/f(D) 50. Evaluación de [l/f(D)]ellZ - 51. Evaluación de (D2 + a2)-:.1 sen ax y (D2 + a 2fl cos ax - 52. Evaluación de [l//(D)]x'" - 53. Observaciones adicionales sobre el método operacional.

http://carlos2524.jimdo.com/ Indice genera l

9

11 La transformada de Laplace 183 54. El concepto de la transformada - 55. Definición de la transformada de Laplace - 56. La transformada de funciones elementales - 57. Funciones seccionalmente continuas - 58. Funciones de orden exponencial - 59. Funciones de clase A - 60. Transformadas de derivadas - 61. Derivadas de transformadas - 62. La función gama - 63. Funciones periódicas.

CAPÍTULO

12 Transformadas inversas CAPÍTuLO

207 64. Definición de una transformada inversa - 65. Función escalón - 66. Un teorema de convolución - 67. · Fracciones parciales - 68. Problemas elementales de valores a la frontera - 69. Ecuaciones integrales especiales.

13 Aplicaciones

CAPÍTuLO

237 70. Vibración de una cuerda - 71. Vibraciones no amortiguadas - 72. Resonancia - 73 . Vibraciones amortiguadas 74. El péndulo simple - 75. Vigas.

CAPÍTULO

14

Sistemas de ecuaciones

261

76. El método de la transformada de Laplace - 77. El método del operador diferencial. CAPÍTULO

15

Circuitos eléctricos y redes

269

78. Circuitos - 79. Redes simples. 16 . ariación de parámetros y otros métodos

CkPÍTULO

279 80. Variación de parámetros - 81. Solución de y" + y = f(x) - 82. Ecuación lineal general de segundo orden - 83. Reducción de orden usando factores del operador - 84. Tercer método: cambio de variable dependiente.

CAPÍTULO

17

La existencia de soluciones

293

85. Observaciones preliminares - 86. Naturaleza de las soluciones de una ecuación particular - 87. Teorema de existencia.


CAPÍTULO

Indice general

18

Ecuaciones de orden uno y ':.llayor grado

299 88. Factorización del miembro izquierdo - 89. Soluciones singulares - 90. Ecuación con discriminante e - 91. Ecuación con discriminante p - 92. Eliminación de la variable dependiente - 93. Ecuación de Clairaut - 94. Eliminación de la variable independiente.

CAPÍTULO

19

Ecuaciones especiales de orden dos

321

95. Variable dependiente perdida - 96. Variable independiente perdida - 97. Catenaria. CAPÍTULO

20

El método de series de potencias

329

98. Ecuaciones lineales y series de potenciaos - 99. Ecuaciones de mayor orden y grado - 100. Convergencia de las series de potencias - 101. Puntos ordinarios y puntos singulares - 102. Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario - 103. Soluciones cerca de un punto ordinario. CAPÍTULO

21

Soluciones cerca de puntos regulares singulares

345

104. Puntos regulares singulares - 105. Ecuación indicial 106. Forma y validez de las soluciones cerca de un punto regular singular - 107. Ecuación indicia! con diferencia no entera de raíces - 108. Diferenciación de un producto de funciones - 109. Ecuación indicial con raíces iguales - 110. Ecuación indicial cuya diferencia de raíces es un entero positivo, caso no logarítmico - 111. Ecuación indicial cuya diferencia de raíces es un entero positivo: caso logarítmico - 112. Sumario. CAPÍTuLo

22

Ecuaciones de tipo hipergeométrico

379

113. Ecuaciones que se tratarán en este capítulo - 114. Función factorial - 115. Ecuación hipergeométrica - 116. Polinomios de Laguerre - 117. Ecuación de Bessel con índice no entero - 118. Ecuación de Bessel con índice entero - 119. Polinomios de Hermite - 120. Polinomios de Legendre 121. Ecuación · confluente hipergeométrica.


fndice general

CAPÍTULO

11

23

Tópicos adicionales sobre soluciones en series de potencias

391

122. Relaciones de recurrencia de muchos términos; puntos ordinarios - 123. Relaciones de recurrencia de muchos términos; punto regular singular - 124. Limitación de los errores en los cálculos - 125. Solución para x grandes - 126. Ecuación con un punto irregular singular - 127. Papel de las series divergentes - 128. Solución de ciertas relaciones lineales de recurrenCla - 129. Ecuaciones no homogéneas. CAPÍTULO

24

Métodos numéricos

423

130. Observaciones generales - 131. Método del incremento - 132. Método de aproximación sucesiva - 133. Mejora del método procedente - 134. Tratamiento puramente gráfico 135. Series de potencias. CAPÍTULO

25

Ecuaciones diferenciales parciales

433

136. Notas sobre las ecuaciones diferenciales parciales - 137. Ecuaciones diferenciales parciales en matemáticas aplicadas - 138. Métodos de separación de variables - 139. Problema sobre la conducción del calor en una plancha. CAPÍTULO

26

Conjuntos ortogonales

449

140. Ortogonalidad - 141. Conjuntos simples de polinomios - 142. Polinomios ortogonales - 143. Ceros de polinomios ortogonales - 144. Ortogonalidad de los polinomios de Legendre - 145. Otros conjuntos ortogonales. CAPÍTULO

27

Series de Fourier

457

146. Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos - 147. Series de Fourier: Un teorema de desarrollo - 148. Ejemplos numéricos de series de F:ourier - 149. Series senoidales de Fourier - 150. Series cosenoidales de Fourier - 151. Análisis numérico de Fourier - 152. Electrocardiografía - 153. Artificios para obtener mayor rapidez en la convergencia.


CAPÍTULO

Indice general

28

Problemas de valores a la frontera

489

154. Ecuación térmica unidimensional - 155. Verificación experimental de la validez de la ecuación térmica - 156. Temperaturas superficiales que varían con el tiempo - 157. Conducción térmica en una esfera - 158. Ecuación simple de onda - 159. Ecuación de Laplace en dos dimensiones. CAPÍTULO

29

Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

511

160. Series de potencias y transformadas inversas - 161. La función error - 162. Funciones de Bessel- 163. Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables. CAPÍTULO

30

Ecuaciones düerenciales parciales; métodos de transformación

527

164. Problemas de valores a la frontera - 165. La ecuación de onda - 166. Difusión en un sólido semiinfinito - 167. Variables canónicas - 168. Difusión en una losa de anchura finita --169. Difusión en un sólido en el que una de sus cuartas partes tiende a infinito. Indice analítico

549

"6


CAPÍTULO

1


l.

EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES U na ecuación diferencial es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función desconocida. Como en la ecuación (3) a continuación, una derivada puede estar involucrada implícitamente a través de la presencia de diferenciales. Nuestro propósito es resolver ecuaciones diferenciales, esto es, encontrar la función desconocida, o funciones que aparezcan. Las ecuaciones diferenciales aparecen frecuentemente en física·, ingeniería y química, y ocasionalmente en materias como biología, fisiología, psicología y economía. La solución de ecuaciones diferenciales desempeña un papel importante en el estudio del movimiento de cuerpos celestes tales como planetas, lunas y satélites artificiales. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales dy

(2)

.

- = cosx dx '

(1 )

d2

----.E. + Fy = O, dX2 13


(3)


+ y2)

(X2

(5)

a2v

(6)

(9)

a2 V

ax2 + ay2 = 0,

2

(8)

C

2U ou = h2 + 02U\ ot ox2 oy2)' d 2° dO 1 L dt! + R d; + e i = Ew cos wt,

(4)

(7)

dx - 2xydy = 0,

[Capo 1

Wy -xy-+w=O dw dx '

(d dX2

d3x dy3

dx

+ x dy

- 4xy = 0,

~~ + 7 (~~y - 8y = d 2y dt2

( 10)

of

(11 )

x ay

0,

d 2x_

+ dt 2 -

x,

af

+ y ax = nlo

Cuando una ecuación contiene una o más derivadas con respecto a una variable particular, a esa variable se le llama variable independiente. Una variable es llamada dependiente si una derivada de esa variable aparece en la ecuación diferencial. En la ecuación d2 ° dO 1 (5) L dt! + R d~ + e i = Ew cos wt

i es Ía variable dependiente, t la variable independiente, L, R, e, E, y w

se llaman parámetros. La ecuación

(6) tiene una variable dependiente V y dos variables independientes. Ya que la ecuación (3)

(X2

se puede escribir como

+ i) °dx -

2xydy = O


§2]

15

Definici"ones

o

(X2

+ r)

dx dy -2xy = 0,

podemos considerar a cada variable como la dependiente y la otra será la independiente. (Por ejemplo, si x es independiente, y es dependiente y viceversa.) EJERCICIO ORAL

Identifique las variables independientes, las variables dependientes y los parámetros en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta sección.

2.

DEFINICIONES

Una relación que define una función explicita se llama una solución de una ecuación diferencial si satisface la ecuación en el sentido ordinario de comprobación por sustitución directa. Por ejemplo, venfiquemos que y = e~" o

es una solución de la ecuación

( 1) Sustituimos nuestra solución tentativa en el miembro izquierdo de la ecuación (1) Y encontramos que _

d 21y 2 0+ d _ 6y = 4e2" dX2 dx o_o

+ 2e 2"

-

6e 2" =

o

° '

lo cual completa la verificación deseada. Consideremos, sin embargo, la ecuación diferencial (2)

y la relación (3)

en donde e es constante. Resolver la ecuación (3) para x o y, seguramente no es conveniente. Sin embargo, diferenciando ambos miembros de (3) tenemos 4x3 dx - y3 dx - 3xy2 dy + 2y dy = 0,



[Cap. 1

la cual es solamente otra disposición de (2). Si x y y están relacionadas por la ecuación (3), entonces x, y, dje, dy, están relacionadas por (2). Por tanto, llamemos a la reláción (3) una solución de la ecuación ( 2) . Esto sugiere una definición más amplia del término solución, que enunciaremos así: Cualquier relación libre de derivadas, que contenga una o más de las variables y que sea consistente con la ecuación diferencial, soerá llamada una solución de la ecuación.

U na ecuación que contenga derivadas parciales es llamada una ecuación diferencial parcial; una ecuación que contenga derivadas ordinarias se le llama ecuación diferencial ordinaria. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación. Por ejemplo, 2 . d y + 2b (dy)S + y = O (4) dx2 dx es una ecuación de "orden dos". También se le llama "ecuación de segundp.....ordenl ' • El grado de una ecuaClOn diferencial ordinaria es el grado algebraico de la derivada de más alto orden en la ecuación. * La ecuación

es de tercer grado, porque la segunda derivada es la de más alto orden y está elevada al cubo, por lo tanto es una ecuación cúbica. La ecuación (4) es de primer grado. Cualquier ecuáción de la forma (5)

M(x,y) dx

+ N(x,y)

dy = O

es de primer orden y primer grado. Todas las ecuaciones que resolveremos en el capítulo 2 pueden escribirse en la forma (5) . Un concepto muy importante es el de la linealidad y no linealidad de una ecuación diferencial. Una ecuación se dice que es lineal si

* En otras palabras es el exponente de la derivada de más alto orden. Es conveniente hacer notar que para obtener el grado hay que racionalizar la ecuaci6n diferencial respecto a las derivadas que contenga y eliminar estas de los denominadores, además no todas las ecuaciones diferenciales tienen un grado definido. [N. del T .]

http://carlos2524.jimdo.com/ §3]

17

Eliminación de constantes arbitrarias

cada término de la ecuación es lineal en todas las variables dependientes y sus derivadas sucesivas o bien no contiene ninguna de ellas. De lo contrario la ecuación ' se llama no lineal. El término y

:~.

es de grado

dos en y y su derivada, por tanto, no es lineal. Cualquier ecuación lineal es de primer grado, pero no cualquier ecuación de primer grado es lineal. Nótese que la ecuación (4) no es lineal. La ecuación x2y" + xy' + (X2 - n2)y = 4x 3 es lineal en y. La forma en la que la variable independiente aparece en la ecuación, nada tiene que ver con la propiedad de linealidad. EJERCICIOS ORALES

Para cada uno de los ejercIcIos siguientes, establézcase si la ecuación . es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y dése su orden y grado. 1.

3. 5.

~: + k x = o. (X2 + y2) dx + 2xydy = y'" - 3y' + 2y = O. 2

2

azu

a u

O.

11. (x

13.

+ y)

(~:~y

15. y"

3.

-

+

d2 x y dt 2 = el

dx

-

+

Q (x) .

6. yy" = x.

12.

~! + Ri = E. x(y") + (y')4 -

Y = O.

14.

~~ =

y.

10. L

(3X2 - 1) dy = O.

2 (~~y

+ p (x) y =

d4y 8. dx 4 = w(x).

(Fu

7. -. +-=0. ax2+ay2 OZ2 d2 y 9. x dt 2

4. y'

+ yw = o.

2y' - 8y = X2

+

cosx.

3

16. a da

1 - xy

+ b db

+

= O.

ELIMINACIóN DE CONSTANTES ARBITRARIAS

En la práctica, las, ecuaciones diferenciales aparecen de muchas formas, algunas de las cuales encontraremos más tarde. Hay up camino para llegar a las ecuaciones diferenciales que es útil para intuir la chse de soluciones que se esperan. En esta sec~ión principiaremos con una relación (la solución) que involucra constantes arbitrarias y, por eliminación de esas constantes, llegaremos a una ecuación diferencial satisfecha

http://carlos2524.jimdo.com/ Definiciones, eliminaci6n de constantes arbitrarias

18

[Cap. 1

por la relación original. En cierto sentido lo que hacemos es principiar con la respuesta y encontrar el problema. Los métodos para la eliminación de las constantes arbitrarias varían de acuerdo con la forma en que aparecen las constantes en la relación dada. El método que es eficiente para un problema, puede no serlo para otro. Un hecho persiste en todos los casos. Ya que cada diferenciación produce una nueva relación, el número de derivadas que necesita usarse es el mismo que el de constantes arbitrarias que se eliminen. En cada caso determinaremos la ecuación diferencial que es: a) De orden igual al número de constantes arbitrarias en la relación dada. b) Consistente con la relación. c) Libre de constantes arbitrarias. EJEMPLO

a): Elimineo)(' las constantes arbitrarias

Cl

y C2 de la relación

( 1) Ya que dos constantes deben ser eliminadas, se obtienen las dos derivadas, y' = - 4cle- 2Z + 3c2e 3Z, (2) y" = 4cle-2Z + 9C2~3Z. (3) La eliminación de

Cl

de las ecuaciones (2) Y (3) conduce a

y"

+ 2y' =

15c,e3z •

La eliminación de el de las ecuaciones (1) Y (2) da

y'

+ 2y =

5e2e 3Z.

De aquí

y"

+ 2y' =

3(y'

+ 2y),

o

y" - y' - 6y = O Otro método para obtener la ecuación diferencial en el ejemplo precedente es el que sigue. Sabemos, por un teorema del álgebra elemental que las tres ecuaciones (1), (2) Y (3 ) consideradas como ecuaciones en las dos incógnitas el y e2 pueden tener soluciones solamente si

* Por diferenciaciones y procedimientos matemáticos legítimos y adecuados. No se permite la eliminación usando la goma de borrar.


19

Eliminación de constantes arbitrarias

§3]

e- 2Z es:t - 2e-"2Z 3e sz = O. 4e- 2Z gesz

-y -y -y" I

(4)

Ya que e-"2Z y eS'" no pueden ser cero, la ecuación (4) puede escribirse de otra manera, sin los factores e-2Z y eSz, como

1 1 -2 3 = O 4 9

y

y' y"

de la cual, la ecuación diferencial

y" - y' - 6y =

°

se obtiene inmediatamente.

Este último método tiene la ventaja de hacernos ver fácilmente que la eliminación de las constantes el, e2, . . . ,en de una relación de la forma nos conduce siempre a una ecuación diferencial lineal

d"y dx"

lZo-

d1l-1y

dy

+ a1 - + ... + a.,.-1- + any = dX1l-1 dx

O,

en la que los coeficientes ao, al·, . . . ,a.. son constantes. El estudio de tales ecuaciones diferenciales recibirá mucha atención de nuestr;¡¡. parte. EJEMPLO b): Elimine la constante a de la ecuación

+ y2 ,=

(x - a)2

a2.

La diferenciación directa de la relación nos da

2(x - a)

+ 2yy' =

0,

de la cual

+ yy'.

a= x

Por tanto, usando la ecuación original, encontramos que

(yy') 2

+ y~ =

(x

+ yj/)

2,

o

y2 = X2

+ 2xyy',

que podemos escribir en la forma

(X2 -

r)

dx

+ 2xydy =

O.


[Cap. 1

Definiciones, el im inación de constantes arbitrarias

Otro método será usado en este ejemplo, como una ilustración de un artificio que a menudo es útil. El método se basa en el aislamiento de una constante arbitraria. La ecuación (x - a)2 + y2 = a 2 se puede poner en la forma

X2 o

+ i - 2ax = X2 + y2 --~=

x

0,

2a.

Entonces, diferenciando ambos miembros se obtiene que

x(2xdx

+

2ydy) - (X2 X2

+ y2)

dx =

° ,

o como deseábamos. EJEMPLO e) : Elimine B y a de la relación

x = B cos (wt

( 5)

+ a),

donde w es un parámetro, que no debe eliminarse. Primero obtenemos la primera y segunda derivada de x con respecto a t: (6) (7)

dx dt d 2x

dt 2

-

- OlB sen (Olt

+ a),

- w2 Bcos (wt

+ a).

Comparando las ecuaciones (5) Y (7) se muestra de inmediato que d 2x

dt 2

+wx 2

= O.

EJEMPLO d): Elimine e de la ecuación2 cxy + c x + 4 = inmediatamente obtenemos c(y + xy') + c2 = O. Ya que e =1= 0, e = - (y + xy')

°

y por la sustitución en la ecuación original, llegamos al resultado

X3 (y') 2

+ x yy' + 4 = 2

O.


21

EJERCICIOS

En cada uno de los siguientes ejercicios, elimínese las constantes arbitrarias. 1. X S - 3X2y = C. 2. y sen x - xy2 = c. 3. PV = C. 4. x2y = 1 + cx.

=

5. cy2 X2 + y. 6. x = A sen (wt

(x - 2y) dx - x dy = O.

SOL . SOL.

+ (sen x - 2xy ) dy = O. (X2y + 1) dx + x dy = O. 2xy dx - (y + 2X2) dy = O.

y ( COS x - y) dx SOL. SOL.

3

+ (3); w un parámetro que no debe ser elimi:1ado. d x SOL. -d ' +wx = t2

2

O.

2

d x 2 + C2 sen wt; w un parámetro. SOL . dt2 + w x = O. y = cx + c + 1. SOL. Y = xy' + (y') + 1. y = mx + ~; h un parámetro, m debe ser eliminado. m

7. x = C1 cos wt 8. 9.

2

2

SOL.

10. y2 11. y

= 4ax.

SOL.

= ar + bx + c. 12. y = C1 + C2e21l1.

13. y

i4. y

= 4

Y = xy

SOL. SOL.

= C1 + C2e-3~.

h

+ y"

= O. = O. y" - 2y' = O. y' - 2y = -8. y" + 3y' = O.

2x dy - y dx SOl.;.

+ c1e2Z.

,

SOL.

y'"

y" + 4y' + 3y = O. + 4y' + 3y = 4 + 3X\ 17. Y = Cle" + C2e-2~. SOL. y" + y' - 2y = O. 18. y= X2 + C1e" + C2e- 2". SOL. y" + y' - 2y = 2 ( 1 + x - X2). 19. y = cIe-~ + C2Xe-". SOL. y" + 2y' + y = O. 20. y = Ae 2Z + Bxe2Z . SOL . y" - 4y' + 4y = ' O. 21. y = cIe2Z cos 3x + c2e2~ sen 3x. SOL. y" - 4y' + 13y = O. 22. y = C1eClZ cos bx + C2eClZ sen bx; a y b sor! parámetr:os. SOL. y" - 2ay' + (a2 + b2) y = O. 23. y = CIx + c2e-". S OL. (x + 1) y" + xy' - y = O. 24. y = X2 + CIX + C2e-"'. SOL. (x + 1) y" + xy' - y = X2 + 2x + 2. 25. Y = CIX2 + C2e2x . SOL. x(1 - x)y" + (2X2 - l )y' - 2 (2x - 1)y = O. 15. y 16. y

4.

= c1e-" + C2 e- 3Z. = x + c1e-" + C2e-a".

SOL .

SOL .

y"

FAMILIAS DE CURVAS

U na relación que contiene un pará;:netro, así como una o ambas coordenadas de un punto en un plano, representa una fanúlia de cUIVas, una curva correspondiente a cada valor del parámetro. Por ejemplo, la ecuación


Definiciones, eliminación de constantes arbitrarios

[Co po 1

(1)

o

(2)

X2

+ y2 -

2c (x

+ y)

= O,

puede interpretarse como la ecuación de una familia de circunferencias, cada una teniendo ~u centro sobre la recta y = x y pasando por el origen. La figura 1 muestra algunos elementos o miembros de esta familia. y

FIGURA 1

Si la constante c en la ecuación ( 1) o en la ecuación (2) es tratada como una constante arbitraria y eliminada como en la sección anterior, el resultado es llamado la ecuación diferencial de la familia representada por la ecuación (1 ). En este ejemplo, la eliminación de c se hace fácilmente despejando c, y entonces se diferencia la ecuación respecto a x. Así de

encontramos que (x

Por tanto (3)

+ y)(2x dx + 2ydy) - ( X2 + y2) (dx + dy) (x + y )2 (X2

+ 2xy -

y2) dx -

(X2 - 2xy

+ y2)

= O.

dy = O


"

§4)

.'

'... ~'. :t'V r ,v Famil ias de curvas

23

•

i(.5·t'·~

" ~1~\'·~

es la ~i¿io cfi.f«re C' áJ.~~ la familia de circunferencias representadas \ \V '" \ ~ • por hf e a.8i'Ó\(h)~ Obse~~~iUos que la ecuación (3) asocia a cada punto (x, y) en el plano, ~~a pendiente definida. (4)

dy _ X2 + 2xy _ y2 dx X2 - 2xy _ y2'

excepto donde el denominador en el miembro derecho de (4) es nulo. Un examen del método que hemos usado para ir de (4) a (1) muestra que en cualquier punto (x, y) la ecuación (4) da la pendiente de la curva de la familia (1) que pasa por el punto en cuestión. Es conveniente ahora hacer una comprobación. Cuando el denominador en el miembro derecho de la ecuación (4) es nulo, la curva pasa por el punto que debe tener una tangente vertical. De

X2 - 2xy - y2 = O vemos que (5)

(v2 -

y=

l)x

o

( 6)

y= -

(ti + 1 )x.

En la figura 2, las líneas rectas (5) Y (6) aparecen junto con la familia (1). Se ve que las rectas ( 5) Y (6) cortan a los miembros y

y=H+.j2)x

FIGURA 2



[Cap. 1

de la familia de circunferencias, precisamente en aquellos puntos de tangencia vertical. Para una familia de curvas representadas por dos parámetros la ecuación diferencial será de segundo orden, y no se puede conseguir una interpretación geométrica simple.

a): Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas-, (figura 3), que tienen sus vértices en el ori,gen y sus focos sobre el eje y. EJEMPLO

y

----------~~~~~~-----------x

FIGURA 3

Por la geometría analítica, sabemos que la ecuación de esta familia de parábolas es

(7)

X2

= 4ay.

Entonces de X2

-=4a y

la a puede ser eliminada por diferenciación. De aquí se sigue que (8)

2xydx -

X2

dy = O.

Podemos escribir la ecuación diferencial de la familia (7) como: (9) /

2y dx - x dy = 0,


§4]

Familias de curvas

25

debido a que x = O es todavía una solución de (9), y nada se ha perdido al quitar el factor x del miembro izquierdo de (8). EJEMPLO b): Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias (figura 4) que tienen sus centros sobre el eje y. Como el centro de un miembro de la familia de circunferencias de este ejemplo, puede estar en cualquier lugar del eje y, y su radio puede ser de cualquier magnitud, estamos tratando con una familia de curva.e; representadas por dos parámetros ( 10)

X2

+ (y -

b) 2 = r2

y

Eliminaremos b Y r de la ecuación anterior y llegaremos, por supuesto, a una ecuación diferencial de segundo orden para la familia (10). Inmediatamente x+ (y -b )y'=O,

de la cual

---b~~--------x

x

+ yy' =

b.

y'

Entonces

y'[l

+ yy" + (y') 2] -

y" ( x

+ yy')

= O

(y') 2 la ecuación diferencial deseada es xy" - (y')3 - y' = O

FIGURA 4

EJERCIC10S

En cada uno de los ejercicios obténgase la ecuación diferencial de la familia de curvas planas descritas y bosquéjense algunos miembros representativos de la familia.

1. Rectas que pasan por el origen. SOL. y dx - x dy = O. 2. Rectas que pasan por el punto fijo (h, k). La h y k no deben eliminarse. SOL. (y - k) dx - (x - h ) dy = O. 3. Rectas con pendiente y la intercepción con el eje y, iguales. SOL. y dx - (x + 1) dy = O. 4 .. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje x iguales. SOL. (y') 2 = xy' _ y. 5. Rectas con la suma algebraica de las intercepcior:es iguales a k. SOL. (xy' - y) (y' - 1) + ky' = O.

~.

\


l'

26


[Cap. 1

6. Rectas a la distancia p del origen.

SOL. (xy' _ y )2 = p2[1 + (y' )2]. 7. Circunferencias con centro e:l el origen. SOL. x dx + y dy o. 8. Circunferencias con centros sobre el eje x. SOL. yy" + (y') 2 + 1 = O. 9. Circunferencias de radio fijo r y tangentes al eje x. SOL, (y -+- r ) 2(y' ) 2 + y2 -+- 2ry = o. 10. Circunferencias tangentes al eje x. SOL. [1 + (y') 2]3 = [yy" + 1 + (y') 2)2. 11. Circunferencias con centro sobre la recta y = -x, y que pasen por el origen. SOL. (X2 - 2xy - i) dx + (X2 + 2xy - y2) dy o. 12. Circunferencias'-unitarias. Use el hecho de que el radio de curvatura es igual a uno. SOL. (y")2 = [1 + (y') 2]3. 13. Todas las circunferencias. Use la curvatura. SOL. y'" [1 + (y') 2] = 3y' (y") 2. 14. Parábolas con el vértice sobre el eje x, con el eje paralelo al eje y, y con la distancia del foco al vértice igual a a. SOL. a(y') 2 = y. 15. Parábolas con el vértice sobre el eje y, con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del foco al vértice igual a a. SOL. x (y' ) 2 = a. 16. Parábolas con el eje paralelo al eje y y con l~ distancia del vértice al foco igual a a. SO¡. 2ay" = 1. 17. Parábolas con el eje paralelo al eje x, y con la distancia del vértice al foco igual a a. SOL. 2ay" + (y') 3 = o. 18. Hágase el ejercicio 17, usando la diferenciación respecto a y. d2x SOL. 2a dy2 = 1.

=

=

19. Úsese el hecho de que 2 dx d (dz) dx d (dX) dy2 dy dy dy dx dy

=

=

dx d (dy)-l dx

= dy dx

-y"

= (y')

3

para probar que las soluciones de los ejercicios 17 y 18 son equivalentes. 20. Parábolas con el vértice y el foco sobre el eje x. SOL. yy" + (y') 2 = O. 21. Parábolas con el eje paralelo al eje x. SOD. y'y'" - 3 (y") 2 = o. 22. Cónicas centrales con el centro en el origen y vértices sobre los ejes coordenados. SOL. xyy" + X(y') 2 - yy' = o. 23. Los cónicas centrales confocales

X2

a2 + con a y b fijas. 24. Las cúbicas cy2 =

y2

..\ + b + ..\ 2

SOL. X2

= 1

(xy' - y) (yy'

+

x) = (a 2

(x - a) con a fijQ. SOL.

2x(x - a)y'

-

= y(3x -

b2)y'. 2a).


Famil ias de curvas

§4]

27

25. Las cúbicas del ejercicios 24 con c fija y eliminando a a. SOL. 2cy(xy' - y) = x 3. 2 26. Las cuárticas c y2 = x(x - a)3 con la a fija. SOL. 2x(x - a )y' = y(4x -a ). 27. Las cuárticas del ejercicio 26 con c fija, eliminando a a. SOL . c2(2xy' - y)S = 27,,;4y.

.

28. Las estrofOldes y2 =

x2 (a 4- x) . a-x SOL .

(x 4

-

4x2y2 - y4) dx 4- 4x'1y dy = O.

3

29. Las cisoides y2

= _x_o a- x

SOL.

2x3y'

= y (y2 4- 3X2).

4- x) = X2 (3 a - x) . (3x 4 - 6x2y2 - y4) dx 4- 8x 3y dy = O. 31. Circu:lferencias que pasan por las intersecciones de la circunferencia X2 4- y2 1 Y la recta y X. Úsese la forma "u 4- kv"; esto es, la ecuación X2 4- y2 - 1 4- k(y - x) = O. SOL. (x 2 - 2xy - y2 4- 1) dx 4- (X2 4- 2xy - y2 - 1) dy = O. 30. Las trisectrices de Maclaurin

)I~ (a

SOL-o

=

=

32. Circunferencias que pasen por los puntos fijos (a,O) y (-a,O ). Úsese el método del ejercicio 3I. SOL. 2xy dx 4- (y2 4- a2 - X2) dy = O. 33. Las circunferencias r = 2a (sen O - co!, O) . SOL. (cos O - sen O) dr 4- r (cos O 4- sen 6) dO = O. 34. Las cardioides r = a (1 - sen O) . SOL. ( 1 - sen O) dr 4- r cos OdO = O. 35. Las cisoides r = a sen Otan O. (Ver ejercicio 29. ) SOL. sen Ocos O dr - r(l 4- cos2 O) dO = O. dr 36. Las estrofoides r a (sec O 4- tan O) . SOL. dO r sec O.

=

=

37. Las trisectrices de Maclaurin r = a(4cosO - secO) . (Ver ejercicio 30.) SOL. cos 0(4 cos 2 O - 1) dr 4- r sen 0( 4 cos 2 O 4- 1) dO = O.



CAPÍTULO

:::;¡¡

2

Ecuaciones de priIller orden y priIller grado

5.

SOLUCIONES GENERALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden tiene, en general, una solución que contiene n constantes arbitrarias. * A tal solución podemos llamarle la solución general. Otros ténninos que se usan con frecuencia son solución completa, primitiva completa, integral completa. 6.

SEPARACIóN DE VARIABLES

La ecuación general de primer orden y primer grado es (1 )

Mdx

+

Ndy = O;

donde M Y N pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones del tipo (1) son tan simples que pueden ponerse en la forma

* Una prueba y un enunciado preciso aparecen en E·. L rnce Ordinary Differential Equations, Londres: Longmans-Green, 192i. ' 29

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaci ones de primer orde n y primer grado

30

(2)

+ B (y)

A(x) dx

[Cap. 2

dy = O;

esto es, las variables pueden separarse. Entonces la solución quizá pueda escribirse inmediatamente. Para esto solamente tenemos que encontrar una función F cuya diferencial total sea el miembro izquierdo de (2). Entonces F = e, donde c es una constante arbitraria, es el resultado deseado. EJEMPLO a): Resolver la ecuación 2 (y

(3)

+ 3)

dx - xy dy = O.

Separando las variables llegamos a

°

2 dx _ y dy x y+3-' o

x2 dx - [ 1 -

(4)

y

+3 3]

dy = O.

De aquí podemos escribir la solución como (5)

2In x - y

+ 3ln (y + 3)

= e.

Aun cuando (5) es una solución correcta, la presencia de dos términos logarítmicos, nos sugiere que también podemos poner la constante arbitraria en forma logarítmica. Así, directamente de (4) podemos escribir la solución como 2ln x - y

( 6)

donde

Cl

+ 3 In (y + 3) + In el =

0,

es una constante arbitraria diferente de la e de (5)·

De (6) obtenemos y = 2ln x

+ 3 In (y + 3) + In el,

de la cual se sigue que

(7) que es más compacta que (5). Por supuesto, (5) puede transformarse en (7) fácilmente. De (5) y

o ahora podemos

+e=

2lnx

+ 3ln (y + 3)


Separación de variables

31

y llegamos a ( 7) El problema de cambiar una forma de la solución en otra, es un problema que surge frecuentemente cuando dos o más personas resuelven la misma ecuación diferencial y desean comprobar los resultados obtenidos. A menos de que la solución obtenida sea destinada a un uso específico, hay poca razón para preferir una forma u otra, excepto por consideraciones de compactación, simetría u otras cualidades estéticas. Esta preferencia es esencialmente de carácter individual. La sección 7 contiene explicaciones más amplias sobre la forma de las soluciones. EJEMPLO b): Resolver la ecuación (8)

(1

+ y2)

dx

+

+ X2 ) dy = O, que cuando x = O, Y = -1. (1

con la "condición a la frontera" De la ecuación diferencial obtenemos

.

r

dx

dy

1+x2 +1+Y=0 de la cual se obtiene inmediatamente que (9)

Arctan x

+ Arctan y =

c.

En la solución (9), cada "Arctan" representa el valor principal del inverso de la tangente y está su jeto a la restricción.

- trr < Arctan x < tnLa condición a la frontera y = -1 cuando x = O nos permite determinar el valor de e que debe usarse para obtener la solución particular deseada. Ya que Arctan O = O y Arctan ( -1) = al problema de valores a la frontera es (10)

Arctan x

-!7T, la solución

+ Arctan y =:= - b

Supongamos ahora que deseamos esbozar la curva (10). Acudiendo a procedimientos trigonométricos, tomamos la tangente a cada lado de (10). Ya que tan (Arctan x) = x y

tan (A

+ B)

- tan A + tan B - 1 - tan A tanB'



[Cap. 2

hemos llegado a la ecuación x + y = -1 1 - xy ,

o

xy - x - y - 1 = O.

(11 )

La ecuaclOn ( 11) es la ecuación de una hipérbola equilátera con asíntotas x = 1, Y = 1. Pero si retomamos a (10), vemos de Arctan x = -p - Arctan y que, como (- Arctan y)

< V, Arctan x

< trr.

En consecuencia x < 1, Y la ecuación (10) representa solamente una rama de la hipérbola (11) . .En la figura 5, la curva llena es la gráfica de la ecuación (10), la curva llena y la curva punteada forman, simultáneamente, la gráfica de la ecuación (11). Cada rama de la hipérbola (11) es una solución de la ecuación diferencial, una rama para x < 1, Y la otra pa~a x > 1. En este problema la condición a la frontera y = - 1 cuando x = O ha forzado la solución a ser solamente la rama izquierda de la hipérbola, ecuación (10). y \ \

\ \

, .....

'--

'\

IO,-ll~

FIGURA 5


Sobre la forma de las soluciones

§7]

33

Una diferencia entre las soluciones (10) Y (11) puede verse observando que una máquina computadora, dada la ecuación diferencial (8) Y buscando una solución que pase por el punto (O, - 1) , dibujará solamente la rama ' izquierda de la curva de la figura 5. La barrera ( asíntota) en x = 1 hace que la máquina no compute la otra rama de la hipérbola (11).

7.

SOBRE LA FORMA DE LAS SOLUCIONES Consideremos la ecuación

2x(y

( 1)

+ 1) dx -

y dy = O.

Separando las variables en la ecuación (1) obtenemos

2x dx =

(2)

(1 - _1 _) dy. Y+ 1

Por tanto, la solución general de la ecuación (1) es (3 )

X2

= y - In (y

+ 1) + e.

Supongamos, sin embargo, que queremos resolver el problema de valores a la frontera de la ecuación diferencial (1) Y la condición es que cuando x = O, Y = - 2. Sustituyendo y = - 2 en el miembro derecho de la ecuación (3) deberemos usar el In ( -1 ) . Ya que (- 1) no tiene logaritmo real, preferimos evitar esta complicación. Así que buscaremos otra forma para la solución general de la ecuación (1). Ya que -dy dy dln(-y-1)= ---y-1 y+l es posible escribIr la solución general de (2) en la forma

= Y - In ( - y -1) + Sustituyendo x = O Y Y = - 2 en la ecuación (4) (4)

X2

el.

no causamos mnguna

perturbación. Esto nos lleva a la ecuación

O = - 2 - In ( 1)

+ el

de la cual encontraremos el = 2. De este modo la solución deseada del problema de valores a la frontera es X2

= y

+2-

In ( - y - 1), para y

<-

1

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones de primer orden y primer grado

34

[Cap. 2

podemos ver que la solución (3) es útil para el rango y > - 1, mientras que la solución (4) es útil para y < -1. En fin, dos caminos son posibles para escribir la solución combinando las ventajas de (3) con las de (4). Ya que _ C2 dy _ dy dln[c"l (y + 1)] - C2 (y + 1) - Y + l' la solución general de la ecuación (1) puede escribirse en la fonna

(5) Ajustando la solución (5) a nuestro propósito inmediato, ponemos x = 0, y = - 2 Y encontramos que

o= tal que In seada es

( -C2)

= -2, o

o X2

= y

- 2 - In ( C2

C2) ' .

= _ e-2• De aquí que la solución de-

+2-

In [- (y

..

+ 1 )].

En la ecuación (5), C2 se hará negativa cuando una condición a la frontera requiera que y < - 1 Y positiva cuando se necesite que y > - 1. De la ecuación (5) no es difícil obtener la relación

(6)

(y

+ l)e

Z

'

=

Cs

eY

como otra fonna de la solución de la ecuación diferencial (1). En este libro dejaremos usualmente las soluciones en forma similar a ( 5) o (6). Dondequiera que una respuesta tal como la ecuación (3) se encuentre está implícito que el que usa esta ecuación (3) deberá ajustarla para su propósito práctico. El resultado deberá verificarse directamente en la ecuación diferencial de tal fonna que la validez de la transición de una fonna de solución a otra, no intervenga en la demostración.

8.

LA NOTACIÓN EXP U

La función e" se usa en nuestro trabajo frecuentemente, y . algunas veces el exponente u es complicado. Un simple ejemplo tal como é 1r y2 puede ser indeseable en la impresión tipográfica, porque los exponentes


35

la notación exp u

§8]

se indican usualmente en tipo pequeño. Es habitual en matemáticas avanzadas el uso de la notación expu = e".

( 1)

Esto es, exp se usa para denotar la función exponencial del mismo modo que sen se usa para denotar la función seno.

EJEMPLO a) : Para

e'"~y2

escribimos exp (x'i ).

EJEMPLO b): La ecuación (6) de la sección anterior la podemos escribir como (y

(2)

+ 1) exp (X2)

= Ca exp (y).

Muchas personas usan la notación e" cuando u es simple, también en la misma ecuación la notación exp puede ser usada donde se quiera. La ecuación (2) algunas veces se escribe en la forma (3)

En unos cuantos minutos de práctica el lector puede acostumbrarse a trabajar con el símbolo exp u. Llevando a efecto la verificación de las identidades sencillas que se encuentran a continuación, puede obtenerse cierta familiaridad con esta notación. (4)

exp (x) 'exp (y) = exp ( x

+ y),

(5)

[exp (x)J' = exp (kx),

(6)

exp (lny) =

(7)

exp

(8) (9 )

G)

y,

exp (~) = exp

exp (3 In x)

(r : y2),

= [exp (In x) p = x

3

,

exp (x - 2ln x) = x-2e'".

. Usaremos la notación exp siempre que agregue claridad al resultado Impreso. EJERCIClOS

En los ejercicios 1-26 obténgase la solución general.

=

1. (4 + x)y' y3. 2. exp (y2) dx + x 2y dy O. 3. cos x cos y dx + sen x sen y dy ~~~=b~

=

SOL.

= O.

SOL.

+

= =

2y2 In[e(4 x)] -1. x exp (_y2) + 2 ex. SOL. sen x ecos y.

~

=

~=~



36

5. my dx = nx dy. 6. y' = xy2.

dV -v 7. dP = P' 8. CZ(y - 1) dx

[Cap. 2

SOL.

SOL.

+

2(eZ + 4) dy = O.

SOL.

+

11. (y 1) dx = 2xy dy. 12. x 2 dx+y(x - 1) dy=O. 13. (xy.+ x) dx = (X2y2 X2

+

= cy". O.

PV = C.

(y - 1)2 (e" + 4) = c2. r(l + ecosO) = c.

SOL.

9. dr = e(r sen O dO - cos O dr). 10. (xy - x) dx + (xy.+ y) dy = O.

Xm

+ e) + 2 =

y (X2

SOL.

SOL.

(y - 1) exp (x .+ y) = c(x + 1). SOD. e2Y = cx(y + 1)2.

+ y2 + 1)dy,. In (X2 + 1) = y2 - 2y

+ 41n [c( y + 1)]. 14. X cos 2 y dx + tan y dy = O. SOL. X2 + tan 2 y = c2. • 2 15. x yy' = eY. SOL. x(y + 1) = ( 1 + cx)eY. 2 3 3 16. tan y dy = sen x dx. SOL. cos X - 3 cos x = 3 (tan y - y + e). 17. y' = cos2 x cos y. SOL. 4ln (sec y + tan y) = '2x + sen 2x + c. · 18. y' = y sec X. SOL. Y = c(sec x + tan x). 19. dx = t (1 + t 2) sec 2 x dt. SOL. 2x + sen 2x = e + (1 + t 2) 2. 20. (e 2Z + 4) y' = y. SOL. ya(1 + 4e- 2") = c2 • 21. a dJ3 + f3 da + aJ3(3 da + dJ3 ) = O. SOJ.,. caJ3 = exp (-3a - J3). 22. (1 + lnx) dx + (1 + In y) dy = O. sOL. xlnx + ylny = c. 23. x dx - ...¡ a 2 - X2 dy = O. SOL. Y - e = - ...¡ a2 x 2, la mitad inferior de la circunferencia x2 + (y - e ) 2 = a2 • 2 24. x dx + X2 dy = O. SOL. Y - e = ...¡ a 2 - x 2 , la mitad superior de la circunferencia X2 + (y - e) 2 = a2 • y+c SOL. x = asee-25. ' a 2 dx = x ...¡ X2 - a 2 dy. SOL.

va

26. y In x In y dx

+ dy =

a

O.

+ In In y = x + c.

x In x

SOL .

En los ejercicios 27-33, obténgase la solución particular que satigaga las condiciones a la frontera indicadas.

dr

= -4rt ; cuando t = 0, r = ro. 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. y' = x exp (y - X2) ; cuando x = 0, y = O.

27. dt 28. 29. 30.

31. xy2 dx

+ eZdy =

=

SOL.

SOL . SOL.

y2 = 5x - 1. 5X2 - 2y2 = 2.

2e-1I = 1

+ exp ( _X2).

O ; cuandox~ oo,y~f.

32. (2a2 - r 2 ) dr r a sen OdO; cuando O dv 33. v - = g; cuando x = XQ, V = VQ.

dx

r = rQ exp ( - 2t2).

SOL.

SOL.

Y = e"j(2CZ - x - 1). a.

= 0, r = SOL.

v2 ~

VQ2

= 2g(x - Xo).


37

9.

FUNCIONES HOMOGÉNEAS

Los polinomios en los cuales todos los términos son del mismo grado, tales como x? - 3xy + 4y2,

+ ya, x y + 7y

(1)

X3 4

5,

_

se llaman polinomios homogéneos. Queremos ahora extender este concepto de homogeneidad a la aplicación en funciones que no sean polinomios. Si asignamos una dimensión física, digamos longitud, a cada variable x y y en los polinomios de (1), entonces cada polinomio tiene una dimensión física, longitud a alguna potencia. Esto sugiere la generalización deseada. Si, cuando ciertas variables son consideradas como longitudes, una función tiene dimensión física de longitud a la k-ésima potencia, entonces llamaremos a esa una función homogénea de grado k en esas variables. Por ejemplo, la función (2)

es de dimensión (longitud) 3 cuando x y y son longitudes. Así, esa función se dice que es homogénea de grado 3 en x y y. El grado k puede ser cualquier número. La función Yx + 4y se llama homogénea de grado t en x y y. La función

x

Yx2+ y2 es homogénea de grado cero en x y y. Una definición formal de homogeneidad es la siguiente: se dice que la función f( x, y) es homogénea de grado k en x y y si, y sólo si, (3)

f(AX,AY)

= Akf(x,y).

La definición puede generalizarse fácilmente para funciones de más de dos variables. Para la función f (x, y) de la ecuación (2), la definición formal de homogeneidad nos lleva a considerar

f(AX, Ay)

=

2.\y exp (AY) _ Ax

4 X4 A _ _ ,---

-c-

Ax

+

3.\y

"


38

[Cap. 2

Pero vemos inmediatamente que

f(>'x,>'y) = >.3f(x,y); de aquí f(x, y) es homogénea de grado tres, en x y y, como previamente enunciamos. La demostración de los siguientes teoremas será útil en la siguiente sección.

TEOREMA 1: Si M(x, y) y N(x, y) son ambas homogéneas y del mismo grado, la función

~((x,

y) es homogénea de grado cero. x, y)

TEOREMA 2: Si f(x, y) es homogénea de grado cero en x y y, f (x, y) es una fu.nción de ~ solamente. x

La demostración del teorema 1 la dejamos al estudiante. Demostración del teorema 2: Sea y = vx. Entonces el teorema 2 afirma que si f(x, y) es homogénea de grado cero, f(x, y) es una función de v solamente. Ahora f(x,y ) = f (x, ux) = xOf(1, v) = f(l, v),

(4)

en la que la x está desempeñando el papel de >. en la definición anterior (3) . Por (4), f (x, y) depende solamente de v como enuncia el teorema 2. EJERCICIOS ORALES

Determínese e~ cada ejercicio si la función es homogénea o no. Si es homogénea, diga el grado de la función.

1. 4X2 - 3xy

3. 2y

+ y2.

+ .,¡ X2 + y2.

5. e"'.

2. x 3 4.

xy

-

Vx

+ ya.

- y.

6. tan x.

7. exp

G).

9. (X2

+ y2)

3y 8. tan-o x

exp

+

11. X2 3xy. x - 2y 13. (u 2

+ z?H

(~) + 4xy.

y

x

x

y

10. x sen- - ysen-.


Ecuaciones con coeficientes homogéneos

§ 10]

(X2 _ y2)i 16. (X2 _ y2) t'

X 15. Y2 tan-. y

a

+ 4b

17. a - 4b'

18. In:: . y

19. x In x - y In y.

20. xlnx - xIny.

10.

ECUACIONES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS

Supongamos que los coeficientes M y N en la ecuación de primer orden y primer grado,

+ N(x, y)

M(x, y) dx

( 1)

dy = 0,

son ambas~ funciones homogéneas del mismo grado en x y y. Por lo~ teoremas 1 y 2 de la sección 9, la razón M/N es una función de y/x solamente. De aquí, la ecuación (1) puede ponerse en la forma (2)

dy dx

+ g(2:) = x

°

Esto sugiere la introducción de una nueva variable v al poner y = vx. Entonces (2) será dv , (3) x - + v + g (v) = 0, dx en la cual las variables son separables. Podemos obtener la solución de (3) por el método de la sección 6, insertando y/x por v, y así llegamos a la solución de (1). Hemos mostrado que la sustitución y = vx transformará la ecuación (1) en una ecuación en v y x en la que las variables son separables. El método anterior hubiera tenido el mismo éxito de haber usado x = xy para obtener de (1) una ecuación en y y v. Ver el ejemplo b) más adelante. EJEMPLO a): Resolver la ecuación

(4 )

(X2 - xy

+ y2)

dx - xy dy = O.

Ya que los coeficientes en (4) son ambos homogéneos y de grado dos en x y y, p ongamos y = 7:l.x. Entonces (4) queda r

(X2 -

2

x v

+

2 2 X V )

dx - x 2v(vdx

+ xdv)

= 0,

de la cual el factor X2 puede suprimirse inmediatamente. Hecho esto debemos resolver


40 .

(1 -

., O

V

+v

2

)

dx -

V(V

dx

+ X dx)

[Cap. 2

= O,

(1 - v) dx - xv dx = O. De aquí, separando las variables obtenemos dx + v dv x v - 1

= O.

Entonces de dX+[l +_l_Jdv =O

x

la solución será In x

v- 1

+ v + In (v -

1) = In e,

o x(v -

l)e V = c.

En términos de las variables originalEs, la solución es

o

(y -

x)exp(~) =

c.

EJEMPLO b): Resolver la ecuación (5)

Otra vez, los coeficientes en la ecuación son homogéneos y de grado dos, Podríamos usar y = vx pero la simplicidad relativa del término dx en (5) sugiere que pongamos

x = vy.

+ y dv, y la ecuación (5) se reemplaza por vi ( v dy + y dv) + (V 2y2 + y2) dy = O

Entonces dx =

V

dy

o V(V

dy

+ y dv) + (v + 1) dy = 2

Por tanto necesitamos resolver (6)

vy dv

+

(2v 2 + 1) dy = O.

que nos lleva de inmediato a In (2v 2

+ 1) + 4 In y =

In c,

O,


41

Ecuaciones con coeficientes homogéneos

§10]

o

De aquí la solución deseada es

y4(~ + 1) =

C;

esto es,

(7) Ya que el miembro izquierdo de la solución (7) no puede ser negativo, podemos, por motivos de simetría, cambiar la constante arbitraria por Cl \ escribiendo y2(2x2 + i) = C.1 4 • Para el estudiante que va a resolver la ecuación (5), vale la pena usar y = vx. Este método nos lleva directamente a la ecuación

(v 3

+ 2v)

dx

+ x( v + 1) dv = 2

O.

Frecuentemente en ecuaciones con coeficientes homogéneos, no tiene importancia el uso de y = vx o x = vy. EJERCICIOS


2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15.

+ (2x + y)

dy = O. SOL. In (X2 + y2) + 4 Aretan (y/x) = e. 2(2x 2 + y2) dx - xydy = O. SOL. x 4 = e2 (4x2 + y2). xydx - (X2 + 3y2) dy O. SOL. X2 6y2In (y/e). x 2y' = 4X2 + 7xy + 2y2. SOL. X2(y + 2x) e(y + x). 3xydx + (X2 + y2) dy = O. (x - y) (4x + y) dx + x(5x - y) dy = O. SOL. _x_(_y_+-x.)-=--= -c (y - 2xJ. (5u - u) du + (3u - 7u) du O. SOL. (3u + U)2 e(u - u). (x 2 + 2xy - 4y2) dx - (X2 - 8xy - 4y2) dy = O. SOL. X2 + 4y2 e (x + y) . (x 2 + y2) dx - xydy = O. SOL. y2 = 2x2In (x/e). v 2 dx + x(v - 4x) du = O. SOL. xu 2' = e(u ~ 2x). 3 (2x + y)2dx = xydy. SOL. x (x + y) = e exp (y/x). ydx = (x + yy2 - x 2)dy. SOL. Aresen (x/y) = In (y/e). (3x 2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy. SOL. (y - x) (y + 3x) 3 = ex 3 • [x ese (y/x) - y] dx + x dy = O. SOL. In (x/e) eos (y/x). x dx sen 2 (y/x) [y dx - x dy] = O. SOL. 4x In (x/e) - 2y + x sen (2ylx) = o.

: 1. (x - 2y) dx

=

=

=

+

=

= =

=

http://carlos2524.jimdo.com/ [Cap. 2


42

16. (x - ylny 17. 18. 19.

20.

+ yInx)

dx

+

x (In y - lnx) dy = O. SOL. (x - y) lnx + ylny = cx_+ y. [x - y Arctan (y/x)] dx + x Arctan (y/x) dy = O. . SOL. 2y Arctan (y/x) = X In [C 2(X2 + y2) /x 4]. 2 2 2 2 v(v + u ) du + u(v - u ) dv = O. (yS - 4xy2 - 2X3) dx + x2(2y + x) dy = O. SOL. X2(y _ 2x) 2 C2(X2 + y2). Pruébese que con la ayuda de la sustitución y = vx, podemos resolver cualquier ecuació:1 de la forma y"f(x) dx + H(x, y) (y dx - x dy) = O,

=

donde H (x, y) es homogénea en x y y. En los ejercicios 21-33 encontrar la solución indicada. 21. (x - y) dx

+ (3x + y)

dy = O; cuando x = 2,y = -1. 2(x + 2y) + (x + y) In (x + y) = O. 22. (y- VX2+y2) dx-xdy=O;cuandox= ..[3, y = 1. . SOL. X2 = 9 - 6y. 23. (y + VX2 + y2) dx - x dy = O; cuando x = ..[3, y = 1. SOL. X2 = 2y + 1. 24. [x cos 2 (y/x) - y] dx + x dy = O; cuando x = 1, y = 7!'/4. SOL. tan (y / x) = In (e/x). 25. (y2 + 7xy + 16x2) dx + x 2 dy = O;cuandox'= 1,y = 1. SOL. X Y = 5 (y + 4x) Inx. 26. y2 dx + (X2 + 3xy + 4y2) dy = O; cuando x = 2, y = 1. SOL. 4(2y + x) Iny = 2y - x. 27. xydx + 2(x 2 + 2y2) dy = O; cuando x = O,y = 1. SOL. y4(3x 2 + 4y2) = 4. 28. y(2X2 - xy + y2) dx - x 2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, y = l SOL. y21n x = 2y2 + xy. _ X2. 29. y(9x - 2y) dx - x(6x - y) dy = O; cuando x = 1, y = 1. SOL. 3x3 - x2y - 2y2 = O. 30. Y(X2 + y2) dx + X(3X2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2,y = 1. SOL. 2y5 - 2X2y 3 + 3x = O. 31. (16x + 5y) dx + (3x + y) dy = O; la curva pasa a través del punto (1, -3). SOL. Y + 3x = (y + 4x) In (y + 4x). 32. v(3x + 2v) dx - X2 dv = O; cuando x = 1, v = 2. SOL. 2X3 + 2x 2v - 3v = O. 33. (3x2 - 2y2) y' = 2xy; cuando x := O, y -1. SOL. X2 = 2y2 (y + 1). 34. De los teoremas 1 y 2, página 38, se sigue que si F es homogénea de grado k en x y y, F puede escribirse en la forma SOL.

=

(A)

Usar CA) para probar ~l teorema de Euler: si F es una función homogénea de grado k en x y y.


43

aF + yaF = ax ay

x-

Il.

kF.

ECUACIONES EXACTAS

En la sección 6 hemos observado que cuando una ecuación puede ponerse en la forma A(x) dx + B(y) dy = O la solución general puede determinarse por integración; esto es, encontrando una función cuya diferencial es A(x) dx + B(y) dy. Esta idea puede extenderse a algunas ecuaciones de la forma

( 1)

M(x J y) dx

+ N(xJ y) dy = O

en las cuales la separación de variables puede no ser posible. Supongamos que una función F (x y) puede encontrarse de modo que tenga como diferencial total la expresión M dx + N dy; esto es, J

(2)

dF = M dx

+ N dy.

Entonces, ciertamente (3)

F (xJy ) = e

es la solución general de (1). De (3) se sigue que dF=O o, en vista de (2)

Mdx+ Ndy = O. como se deseaba. Entonces, se necesitan dos cosas: primero encontrar bajo qué condiciones para M y N existe una función F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy; segundo, si esas condiciones se satisfacen, determinar la función F. Si existe una función F tal qtle Mdx

+ Ndy

sea exactamente la diferencial total de F llamaremos a la ecuación ( 1) una ecuación exacta. J

(1)

Mdx

+ Ndy =

O

es exacta, entonces por definición existe F tal que dF = M dx

+ N dy.


Ecuaciones de primer Ordlln y primer grado

[Cap. 2

Pero, del cálculo

oF dF = Ox dx

+ ay dy,

oF

M=oF ox'

N- ay·

así

oF

Estas dos ecuaciones nos conducen a

y

oN 02F ox - oxoy· Otra vez del cálculo sabemos que

aF 2

02F

oyox - oxoy' siempre que esas derivadas parciales sean continuas. Por tanto, si (1) es una ecuación exacta, entonces

(4)

oM oN ay =a;.

De este modo, para que (1) sea exacta es necesario que (4) se satisfaga. Mostraremos ahora que si la condición (4) se satisface, entonces ( 1) es una ecuación exacta. Sea 9' (x, y) una función tal que

09' = M OX

•

La función 9' es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras que y permanece constante. Ahora

02 9' oM oyox =

ay;

así, si (4) satisface, entonces también (5)

02 \0 oN ox ay =-a;.

Integremos ambos miembros de esta última ecuación respecto a x, manteniendo y fija. En la integración con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier función de y. Llamémosla B' (y), para

-

..


§ 11]

45

Ecuaciones exactas

facilitamos el indicar su integral. Entonces la integración de (5) con respecto a x produce

~; =

(6)

+ B' (y) .

N

Ahora puede darse una función F, a saber, F = ff(X, y) - B(y)

para la cual dF = Off dx + ay> dy - B' (y) dy ox ay . = M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy

= Mdx + Ndy. De aqw, la ecua,ción (1) es exacta. Con esto hemos completado la demostración del teorema enunciado a continuación . oM y oN ' . d e x y y, TEOREMA 3: Sz. M , N 'ay' OX son t unczones contznuas entonces una condición necesaria y suficient'e para que (1)

Mdx

+ N dy =

O

sea una ecuación exacta es que oM oN ay - ox·

(4 )

Es más, la demostración contiene el germen de un método para la obtención de la solución, un método usado en los ejemplos a) y b) siguientes. Encontraremos, sin embargo, con un poco de práctica, que podemos escribir las soluciones de muchas ecuaciones exactas por simple inspección. V éanse los ejemplos c) y d). No importa qué método se use, el resultado puede comprobarse por diferenciación. EJEMPLO

(7)

a): Resolver la ecuación 3x(xy - 2) dx

+ (x + 2y) 3

dy = O.

Primero, del hecho que oM ay =

3X2

y

oN _ 3 2 ox - x,

concluimos que la ecuación (7) es exacta. Por tanto, su solución es F ::: c, donde



[Cap. 2

( 8)

Y

oF

-

oy =

(9)

+ 2y.

N = x3

Queremos determinar la F de la ecuación (8). Integrando ambos miembros de ( 8) con respecto a x, manteniendo y constante se obtiene ( 10)

donde la constante arbitraria usual en la integración indefinida, es ahora necesariamente una función T (y), hasta aquí desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de que la función F de la ecuación (10) debe también satisfacer la ecuación (9). En consecuencia x 3 + T'(y) = x 3 + 2YJ T'(y) = 2y. En·la obtención de T(y) no se necesita la constante arbitraria, ya que una se introduce en el miembro derecho de la solución F = c. Entonces

T(y) =

i,

y de (10)

F = X3 y - 3X2

+ y2.

Finalmente la solución de la ecuación (7) es

X3 y - 3X2

+ y2 =

C.

EJEMPLO b): Resolver la ecuación ( 11 ) (2x 3 - xy2 - 2y + 3) dx - (x 2y

+ 2x)

donde

oM Oy

= - 2xy -

oN 2 = a;'

así, la ecuación (11) es exacta. La solución de (11) es F = CJ donde (12)

Y (13)

oF 2 Ox = 2x 3-. ,Xy - 2y

+3

dy = O

-,


47

Ecuaciones exactas

§ 11]

Debido a que (13) es más simple que (12), y por motivos de variedad principiamos la determinación de F de la ecuación (13) . . Inmediatamente de (13) F

==

+ Q(x),

_ix2y2 - 2xy

donde Q(x ) se determinará de (12). La última da

+ Q'(x)

_xy2 - 2y

= 2X3 - xy2 - 2y

Q'(x) = 2X 3 Por tanto

Q(x} = i X4

+ 3,

+ 3.

+ 3x,

y la solución deseada de (11) es

- ix2y2 - 2xy o

x4

-

x 2i

+ i X + 3x = 4

-

4xy

+ 6x =

ie,

c.

EJEMPLO e): Resolver la ecuación del ejemplo a) por inspección. Supóngase que hemos examinado (7) 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O

y hemos encontrado que es exacta. Entonces, podemos escribir la solución general por inspección; esto es, por una cuidadosa observación del miembro izquierdo de (7), encontraremos una función de la cual (7) es la diferencial total. Primero, el término 3x2y dx sugiere la diferencial de x 3y. De aquí buscamos en (7) el término necesario compañero de x 3 dy y agrupamos los dos términos. Cualquier término tal como - 6x dx, que contiene: solamente una variable, es una diferencial exacta tal como se ha puesto. Por tanto, acomodaremos la ecuación (7) en la forma

(3x2y dx

+ x dy) 3

- 6x dx

+ 2y dy =

O,

de la cual se sigue que

X3y - 3X2

+i

= c.

EJEMPLO d): Resolver la ecuación (11) (2x 3 - xy2 - 2y + 3) dx - (X2y del ejemplo' b~ por inspección. El agrupamiento

+ 2x) dy =

O



+ X2y dy)

2X3 dx' - (Xy2 dx

- (2y dx

[Cap. 2

+ 2x dy) + 3dx =

O

lleva de inmediato al resultado

iX2y2 - 2xy + 3x = tc, X .:.... X2y2 - 4xy + 6x = c.

iX

4 4

EJERCICIOS

Examínense cada una de las siguientes ecuaciones para saber si son exactas y resuélvase la ecuación. Las ecuaciones que no son exactas pueden, por supuesto, resolverse por los métodos discutidos en las secciones precedentes. . 1. (x + y) dx + (x ,- y) dy O. SOL. X2 2xy - y2 c. 2. (6x + y2) dx + y(2x -3y) dy = O. SOL. 3X2 + Xy2 - y3 ~ I c. 3. (2xy - 3X2) dx + (X2 + y) dy O. SOL. X2y - X3 + 'b2 c. 4. (y2 - 2xy + 6x) dx - (X2 - 2xy + 2) dy = O. SOL. Xy2 - X2y + 3X2 - 2y = c. 5. (2xy + y) dx + (x 2 - x) dy O. SOL. YCX(X - 1)-3. 6. (x - 2y) dx + 2(y - x) dy O. SOL. X2 2y2 4xy + c. 7. Haga el ejercicio 6 por otro método. 8. (2x - 3y) dx + (2y - 3x) dy = O. SOL. X2 + y2 = 3xy + c. 9. Hacer el ejercicio 8 por otro método. 10. v(2uv 2 - 3) du + (3U 2V 2 - 3u + 4v) dv = O. 2 2 SOL. V(U V - 3u + 2v ) = c. 11. (cOS 2y - 3X2y2) dx (COS 2y - 2x sen 2y - 2x3y ) dy = O. SOL. i sen 2y + x cos 2y - X3y2 = c. 12. (1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O. SOL. 2 Arctan x + In (1 + y2) = c. 13. (1 + y2 + xi) dx + (X2y + y + 2xy) dy = O. SOL. 2x + y2(1 + x)2 = c. 14. (w 3 + wz 2 - z ) dw + (Z3 + w 2z - w) dz O. SOL. (w + z2)2 = 4wz + c. 15. (2xy - tan y) dx + (X2 - x sec 2 y) dy = O. SOL. x2y - x tan y = o. 16. (cosxcosy - cotx) dx - senxsenydy O. , SOL. senxcosy = In (csenx) . 17. (r + senO - cos O) dr + r( sen O + cosO) dO = O. 2 SOL. r + 2r (sen O - cos O) = c. 18. x(3xy - 4ya + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O. SOL. X3y - 2X2y3 + 3X2 - y = c. 19. (sen O - 2r cos 2 O) dr + r cos O(2r sen O + 1) dO = O. SOL. r sen O - r 2 cos 2 O = c. 20. [2 x + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O. SOL. X2 + sen (,",y) = C. 21. 2xy dx + (y2 + X-Z) dy = O. SOL. y(3x 2 + )12) = C.

.+

=

= =

=

= =

+

+

=

=

=

=

http://carlos2524.jimdo.com/ § 12]

Métodos de solución

49

. 22. 2xy dx + (y2 - X2) dy = O. SOL. X2 + y2 = cy. 23. (xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy =0. SOL. X2y2 + 2xy - X2 = c. 24. 3Y (X2 - 1) dx + (x 3 + By - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1. SOL. XY(X2 - 3) = 4 ( 1 _ y2) . 25. (1 - xy)-2 dx + [y2+ x2(1 - xy) -2] dy = O; cuando x 2, y = 1. S OL. Xy4 - y3 + 5xy - 3x = 5. 26. (3 + y + 2y2 sen2 x) dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O. SOL. y2 sen 2x = e + 2x (3 + y +y2 ). 27. 2x[3x + y - yexp ( _ X2)] dx + [x 2 + 3y2 + exp ( - X2)] dy = O. • SOL. x2y + ya + 2X3 + yexp ( _ X2) = c. 28. (xy2 + x - 2y + 3) dx + x 2y dy = 2(x + y) dy; cuando x = 1, y = 1. SOL. (xy - 2)2 + (x + 3.)2 = 2y2 + 15.

=

12.

MÉTODÓS DE SOLUCIóN .

r

Muchos libros de texto presentan el material tratado en los capítulos 2 y 4 de este libro como una colección de métodos para resolver ecuaciones de primer orden y primer grado. El lector algunas veces tiene la impresión de que tales técnicas son métodos aislados, un "saco de trucos". Realmente, las únicas técnicas presentadas aquí son los métodos de integración de una ecuación exacta y dos procedimientos para hacer una ecuación exacta si no lo es en su forma original. Y a vimos, en la sección 11 , cómo manipular una ecuación exacta. Si una ecuación no es exacta, es natural intentar hacerla exacta por la introducción de un factor apropiado, que se llama factor integrante. La separación de variables (sección 6) es un ejemplo simple de la técnic~ del factor integrante. En la sección 13 resolveremos la ecuación lineal general de primer orden obteniendo, primero, un factor integrante. Las secciones 17 y 18 contienen desarrollos adicionales de la misma idea. D n segundo método para convertir algunas ecuaciones en exactas es introducir una nueva variable, o variables escogidas por una apreciación inteligente de la forma de la ecuación. La sección 10 contiene Un ejemplo simple en el cual la homogeneidad de los coeficientes sugiere la razón de las variables originales como la nueva variable debida al teorema 2, página 38. El capítulo 4 contiene otros ejemplos d~ la, elección apropiada de cambios de variable.

13.

LA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN

. Una ecuación que es lineal y de primer orden en la variable dependIente y puede, por la definición (página 16), ser la forma

http://carlos2524.jimdo.com/ -, 50

Ecuaciones de primer orden y primer grodo

('1) .

A(x) dy

+ B (x)y dx =

[Copo 2

C(x) dx.

Al dividir cada miembro de la ecuación ( 1) entre A (x), obtenemos

(2)

dy

+ P ( x) y dx =

Q ( x) dx,

la cual escogemos como la forma estándar para la ecuación lineal de primer orden. Por el momento, supongamos que existe para la ecuación (2) un factor integrante u (x), una función de x solamente. Entonces, (3)

u dy

+ uP (x)y dx =

uQ(x) dx

debe ser una ecuación exacta. Pero (3) fácilmente puede ponerse en la forma M dx + N dy = O con M = uPy - uQ, y

N = u, en la cual u, P y Q son funciones de x solamente" Por consiguiente, si la ecuación (3) es exacta', se sigue de la condición

oM

oN

oy

ox

que u debe satisfacer la ecuación

(4)

du uP = dx'

De (4), u puede obtenerse rápidamente, para dar

du Pdx = - , u

así

In u = ) P dx, o

(5)

u = exp

OP dx) .

Esto es, si la ecuación (2) tiene un factor integrante independiente de y, entonces el factor debe estar dado por la ecuación (5). Lo que resta es mostrar que la u dada por la ecuación (5) es realmente un factor integrante de (2)

dy + P(x)y dx = Q (x) dx


§13]

51

La ecuación linea l de primer orden

Aplicando el factor a toda la (2), .obtenemos (6)

exp () P dx) dy

+ P exp () P dx) y dx = Q exp () P dx)

dx.

El miembro izquierdo de (6) es la diferencial del producto I

,

yexp () Pdx) el miembro derecho de (6) es una diferencial exacta, ya que es independiente de y. De aquí la ecuación (6) es exacta, que era lo que queríamos mostrar. Por supuesto un factor integrante es suficiente. De ahí que podemos usar en el exponente (S P dx) cualquier función cuya diferencial sea P dx. Con un factor de integración a la mano, daremos la siguiente regla para integrar cualquier ecuación lineal de primer orden, a) Poner la ecuación en la forma estándar; dy

+ Pydx =

Qdx;

b) Obtener el factor integrante exp (S P dx) ; e) Aplicar el factor int
Obsérvese que al integrar la ecuación exacta, la integral del miembro izquierdo siempre es el producto variable dependiente y d factor integrante empleado. EJEMPLO a): Resolver la ecuación 2 (y - 4x 2 ) dx

+ xdy = o.

La ecuación es lineal en y. Al ponerla en la forma estándar llegamos a

(7)

dy

+ -2x ydx =

8xdx.

Entonces, un factor integrante es exp(J 2

:x)= exp (21n x) = [exp (In

X)]2

=

X2.

En seguida aplicamos el factor integrante a (7), y obtenemos la ecuación exacta (8)

X2

dy

+

2xy dx = 8x 3 dx



52

La solución de (8) es (9) y debe ser comprobado particularmente, ya que la verificación de este resultado es muy fácil. De (9) obtenemos (8 ) por diferenciación. Entonces, la ecuación diferencial .original se sigue de (8 ) por un simple ajuste. Así (9) es una solución de la ecuación original. EJEMPLO

b); Resolver la ecuación

y dx

+

(3x - xy

+ 2)

dy = O.

Ya que el producto y dy aparece aquí, la ecuación no es lineal en _y. No obstante, es lineal en x. Por tanto arreglamos los términos de la siguiente manera y dx + (3 - y) x dy = - 2 dy y pasamos a la forma estándar

dx

( 10)

Ahora

1) x dy = -

+ (~ -

J(~ -

Y

'¿ dy. y'

1) dy = 3 In y - y

+ el,

así que un factor integrante de la ecuación ( 10 ) es exp (3lny - y) =

exp(~

lny ) • e-V = [exp (lny)]3. e-Y = ie-v.

~plicando este factor integrante a la ecuación (10) llegamos a la ecuación exacta

y3e-Y dx

+ y2 (3

- y) e-Yx dy = - 2y2e-Y dy,

de la cual obtenemos

xy3e-V = - 2 S y2 e-Y dy = 2ie-v

+ 4ye-V + 4e-v + c.

De este modo pasamos a escribir la solución

xy3 = 2y2

+ 4y + 4 + c.eY. EJERCIClOS

En los ejer6cios 1-25, encuéntrese la solución general. 1. (x 5 + 3y) dx - x dy = O. 2. 2(2xy + 4y - 3) dx + (x

+ cx y = 2(x + 2)-1 + c(x + 2) -4.

+ 2)2dJ' = o. SOL.

SOL.

_2y = x 5

3

•


La ecuación lineal de prime r arden

§13]

3. y' = X - 2y. 4. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O.

+ ce-2:e. 20x = 4y - 1 + C(y + 1)-4. SOL. XU = (u 3 + c) e \<.

3u) X du = 3u 2e3U dj¡¡. 6. 3u) X du 3u duo 7. y' = X - 4xy. Resolver por dos métodos.

=

8. y' = csc X + Y cot X . 9. y' = cse X - Y cot X. 10. (2xy + X2 + x 4 ) dx - (1

SOL.

SOL.

11. (y - cos 2 x) dx

+ cos x dy =

XU

SOL.

4y = 1

Y

SOL.

O.

u -

!.

+ c exp ( -

2x2). cos x. y sen X = X + ·c.

= c sen

X -

+ X2) (c + X -,. Arctan x) . y(secx + tan x) = c + x - cosX.

4y sen 2x = c + sen 2x - 2x cos 2x. x.dy = O. SOL. xy sen x = c + sen x - x cos x . SOL.

+

14. dy -my = clem:e, donde Cl y m son consta."ltes. dx SOL.

15. dy _ m2Y = cl.emJ:e, donde C1, dx

11'!0¡"

Y = (C1X

+

C2) em:e.

m2 son constantes y mI =1= m2.

Y = cs em,,,,

SOL.

16. v dx 17. X(X2

= ceS\< -

dy = O. Y = (1

SOL.

12. y' = x - 2y cot 2x. 13. (y - x + xycotx) dx

1

3

SOL.

+ X2)

= 2x -

4y

SOL.

SOL.

+ (1 u dx + (1 -

5. U dx

5'3

+ C2e"""', donde C3 r=

+ (2x + 1 - vx) dv = O. + l)y' + 2y = (X2 + 1)3.

SOL.

xv 2 =

V

Cl m1- m2 + 1 + ceV • _----'0._

SOL'. x2y = i{x2 + 1)3 + C(X2 + 1). 18. 2y (y2 - x) dy = dx. SOL. X = y2 - 1 + cexp (_y2). 19. (1 + xy) dx - ( 1 + X2) dy = O. SOL. Y = x + c(1 + x2)i. 20. 2y dx = (X2 - 1) (dx - dy) . SOL. (x - l)y = (x + l)[c + x - 2Jn (x + 1)]. 21. dx - (1 + 2x tan y) dy O. SOL. 2x cos2 Y Y + c + sen y cos y. 22. (1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y) . , SOL. Y = (1 + cosx) (c + x - sen x) . 23. y' 1 + 3y tan x. SOL. 3y cosa x c + 3 sen x - sen s x. 24. (x + a)y' = bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1. SOL. n(n + l)y = b(nx - a) + c(x + a) -". 25. Re~uélvase la ecuación del ejercicio 24 para los casos n = O Y n -1. SOL. Si n = O, Y = bx + c - ab In (x + a). Si n 1, Y ab + c (x + a) + b (x + a) In (x + a). 26. E:tl la forma estándar dy + Py dx Q dx póngase y vw, de este modo obténgase

=

=

=

=

=

=-

=

=

=

w(dv + Pv dx) + v dw = Q dx. Entonces, escogiendo primero v tal que dv

+ Pv dx =

O



54

y después determinando dy

w, muéstrese cómo completar la solución de

+ Py dx =

Q dx.

En los ejercicios 27-33 encuéntrese la solución particular indicada. + 3)y' Y + (2x + 3)!;~uandox 1,y O. SOL. 2y = (2x + 3);¡n (2x + 3) . 28. y' x 3 - 2xy; cuando x 1, y 1. SOL. 2y = X2 - 1 + 2exp (1 - X2).

=

27. (2x

=-

=

=

=

~~ + Ri = E, donde L, R, YE son constantes; cuando t = 0, i = O.

29. L

SOL.

30.

=

i =

~ [1 -

exp ( -

~t)]

~; + Ri = E sen wt; cuando t = 0, i = O.

+ w L2. Entonces wL cos wt + wL exp ( - ~t) ]

Let Z2 = R2

SOL.

i = EZ-2 [ R sen wt -

2

31. Enco:ltrar la solución de y' = 2 (2x - y) que pasa por el punto (O, - 1) . SOL. Y = 2x - 1. 32. Encuéntrese la solución de y' = 2 (2x - y) que pasa por el punto (0,1) . SOL. Y = 2x - 1 + 2e-2%. 33. (1 + t 2 ) ds + 2t[st2 - 3 (1 + t 2 ) 2] dt O; cuando t 0, s 2, SOL. S = (1 + t 2 )[3 - exp ( - t 2 )].

=

=

=

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

En cada ejercicio, encuéntrese la solución general, a menos que el enunciado del ejercicio estipule lo contrario .

=

=

y' exp (2x - y). SOL. 2e Y e2% + e. (x + y) dx + x dy O. SOL. x(x + 2y) e. y2 dx - x(2x + 3y) dy = O. SOL. y2(X + y) = ex. (X2 + 1) dx + x 2y 2 dy = O. SOL. xy3 = 3(1 + ex _ X2). (X3 + y3) dx + y2(3x + ky) dy = O; k es constante. SOL. ky 4 + 4 xy3 + x 4 = e. 6. y' x 3 - 2xy; cuando x 1, y == 2. SOL. 2y = X2 - 1 + 4exp (1 - X2).

1. 2. 3. 4. 5.

=

=

7.

~~

=

- cos x = cos x tan 2 y.

dy 8. cosx dx

y - senx.

9.

-

=1dr sen (J d(J = -1

10. y(x 11.

~~

+ 3y)

= sec

=

2

dx

SOL.

2

2r cos (J.

+ X2 dy = O.

x sec3 y.

+ sen y cos y + e. y(1 + sen x) = (x + e) cosx. SOL. r sen e = e + cos (J. SOL. x2y = e(2x + 3y). tan x + e = 3 sen y - sens y. 2 sen x = y

SOL.

3


dx - x(2x 3 + y3) dy = O. S OL. 2x2y In (ex) = 4x 3 - ys. ( 1 + X2)y' x 4y4. SOL. x 3y3 + 1 y3( e + 3x - 3 Arctanx). y(3 + 2xy2) dx + 3 (X2y2 + X - 1) dy = O. SOL. X2yS = 3 (e + y - xy). (2X2 - 2xy - y2) dx + xy dy = O. SOlJ. x 3 = e (y - x) exp (y / x) . Y(X2 + y2) dx + X(3X2 - 5y"2) dy = O; cuando x = 2, y = 1. SOL. 2y5 - 2X2y3 + 3x = O. y' + ay = b; a y b son constantes. Resolver por dos métodos. SOL. y = bja + ce-a". (x - y) dx - (x + y) dy = O. Resolver por dos métodos. SOL. X2 - 2xy - y2 =e. dx SOL. 4 1n (sec x + tan x) = 2t + sen 2t + e. - = cos X cos 2 t. dt (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) dy = O. SOL. x sen y + y cos x = e. (1 + 4xy - 4x2y ) dx + (X2 - x 3) dy = O; cuando x = 2, y = t. SOL. 2x4y = X2 + 2x + 21n (x - 1),. 3x 3y' = 2y(y - 3) . SOlJ. Y = e(y - 3) exp (X-2). 4 (2y cos x + sen x) dx = sen x dy; cuando x = !7T, Y = 1. SOL. Y = 2 sen 2 x sen 2 !x. xy(dx - dy) X2 dy + y2 dx. SOL. X Y In (exy) . a"2 (dy - dx) = X2 dy + y2 dx; a es constante. SOL. 2 Arctan (y j a) = 1n [e (x + a) j (x - a)]. (y - sen 2 x) dx + sen x dy = O. SOL. y(cscx - cotx ) = x + e - sen x. (x - y) dx + (3x + y) dy = O; cuando x 2,y = -l. SOL. 2 (x + 2y) + (x + y) In (x + y) = O. y dx = (2x + 1) (dx - dy) . SOL . 3y = (2x + 1) + e (2x + 1) -~ .

12. y( 2X3 - x 2y 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19.

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

55

La ecuación lineal de primer orden

§ 13]

+ y3)

=

=

=

=

=

Al resolver los ejercicios 29-33, recordaremos que el valor principal de Arcsen x de la función inversa del seno está restringido a:

- t7T :::; Arcsen x 29.

Y1=Y2 dx + V 1 -

:::;

h.

X2 dy = O.

+ Arcsen y = e) o + 2elXy + y2 + e1 2 -

~_:'csen x

una parte de la elipse 1 O, donde el cos e. 30. Resuélvase la ecuación del ejercicio 29 con la condición de que cuando x = O, Y = t V3. SOL.

x2

SOL.

X2

+

xy

+

y2 =

!

Arcsea x

=

+ Arcsen y = i,

=

o el arco de elipse

que está indicado en la figura 6 con línea' gruesa.

I


y

I

I I

----~--------~~--------~---x

FIGURA 6

31. Resuélvase la ecuación del ejercicio 29 con la condición de que

cuando x

= O, Y = -i- '-13. SOL.

Arcsen x

+ Arcsen y =

-~, o el arco de la elipse.

X2 + xy + y2 = !, que está indicado en la figura 6 con línea delgada. 32. Muéstrese que después de que las soluciones a los ejercicios 30-31 han sido suprimidas, los restantes arcos de la elipse x 2 +xy+y2 = ! no son soluciones de la ecuación diferencial

'-1 1 -

)12

dx

+ '-1 1 -

X2 dy = O

Para este propósito considérese el signo de la pendiente de la curva. 33. Para la ecuación

'-1 1 34. 35. 36. 37. 38.

y2 dx -

'-1 1 -

X2 ay = O

enúnciense y resuélvanse cuatro problemas análogos a los ejercicios 29-32 anteriores. u du = (e V + 2uu - 2u) du. SOL. u2u = ce 2V - (u + 1)e v . ydx = (3x + y3 - y2) dy; cuando x = l,y = -1. SOL. x = y2 [1 + yln (-y)]. y2 dx - (xy + 2) dy = O. SOL. xy = cy2 - 1. (X2 - 2xy - y2) dx - (X2 + 2xy - y2) dy = O. SOL . (x + y) (x 2 _ 4xy + y2) = c 3. 2 y dx+ (xy +y2 -1) dy=O; cuando x= -1 , y = l. SOL. y2 + 2xy + 1 = 2 ln y.


§ 13]

57

la ecuación lineal de primer arden

=

=

39. y(y2 - 3x 2) dx + x 3 dy o. sov. 2X 6 y2(X4 + e) . 40. y' = cos x - y sec x; cuando x = O, Y = lo SOL. y(1 + sen x) = cos x(x + 2 - cos x). 41. Encuéntrese la solución de y' = 3x + y que pase por el punto (-1,0). SOL. Y = -3(x + 1). 42. Encuéntrese la solución de y' = 3x + y que pase por el punto (-1,1). SOL. y = exp(x+ 1) -3(x+ 1). 43. y' = y tan x + cosx. SOL . 2y = sen x + (x + e) secx. 44. (X2 - 1 + 2y) dx + (1 - X2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1. SOL. (x + l)y = (x - l)[x + 1 + 2ln (x - 1)]. 45. (x 3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O.

SOL.

Y = x - x3

+ c(l

- X2)?!.

47. (y2 + y) dx - (y2 + 2xy + x) dy = O; cuando x = 3, y = 1. SOL. 2y 2 + Y = x. 48. (ya - x 3 ) dx = xy(xdx + ydy). SOL. 2x~ In (x + y) = cx 2 + 2xy _ y2. 49. y' = sec x - y tan x. SOL. Y = sen x + ecos x. SOL. · x In (cxy) = -1. 50. x 2 y' = Y ( 1 - x). 51. xy' = x - y + tan x . SOD. xycosx = e + cosx + xsenx. 52. (3x 4 y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, y = 1. SOL. x 4 y = 2x - 1. 53. y2 dx + X2 dy = 2xy dy. SOL. y2 = x(y + e). 54. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = o. SOL. COS x sen y = In (e sec x) . 55. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, y = 2. SOL. 2X2(X - 2) y = X2 - 5.


\


,

CAPITULO

3

Aplicaciones ele:rnentales

14.

VELOCIDADES DE ESCAPE DE LA TIERRA Muchos problemas físicos involucran ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. Considérese el problema de determinar la velocidad de una partícula que es proyectada en una dirección radial, hacia afuera de la Tierra, y que está BU jeta a la acción de una sola fuerza, la atracción gravitacional de la Tierra. Supondremos una velocidad inicial en una dirección radial de tal forma que el movimiento de la partícula tenga lugar completamente sobre una línea que pasa a través del centro de la Tierra. De acuerdo con la ley de Newton de la gravitación, la aceleración de la partícula será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay de la partícula al centro de la Tierra. Sea r la distancia variable y R el radio de la Tierra. Si t representa el tiempo, v la velocidad de la partícula, a su aceleración, y k la constante de proporcionalidad en la ley de Newton, entonces 59

http://carlos2524.jimdo.com/ Aplicaciones elementales

60

a -

dv

[Cap. '3

k

---¡¡-ro

La aceleración es negativa porque la velocidad es decreciente. Por lo tanto, la constante k es negativa. Cuando r = R, entonces a= -g. la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Por tanto, k - g = R2' de lo que se obtiene

Deseamos expresar la aceleración en términos de la velocidal y la distandv dr Cla. Tenemos a = dt y v = dt' Entonces dv dr dv dv a=-=--=vdt dt dr dr'

de tal forma que la ecuación diferencial para la velocidad se ve que tiene la forma v dv = _ gR~ (1 ) dr r2 • Se aplica el método de separación de variables a la ecuación (1) Y se obtiene inmediatamente la solución

2 R2 r

v 2 =-g-

+ c.

Supóngase que la partícula deja la superficie de la Tierra con una velocidad va. Entonces v = va cuando r = R, de estas condiciones es fácil determinar el valor de la constante C, que es

e=

v0

2

-

2g R.

Entonces, una partícula proYectada en una dirección radial hacia afuera de la superficie de la Tierra, con una velocidad inicial Va, viajará con una velocidad v dada por la ecuación (2)

v

2

2 R2

= ~+ r

v 0

2

-

2gR.

Es de considerable interés determinar cuándo la partícula escapará a la atncción gravitacional de la Tierra. En la superficie de la Tierra,


§14]

Velocidades de escape de la t ierra

61

en r = R, la velocidad es positiva, v = Vo. Examinando el miembro derecho de la ecuación (2) se ve que la velocidad de la partícula permanecerá positiva si, y sólo si (3)

V0

2

-

2gR ~

o.

Si la desiguaJdad (3) es satisfecha, la velocidad dada por la ecuación (2) permanecerá positiva ya que no puede anularse, es continua y positiva en r = R. Por otra parte, si la desigualdad (3) no se satisface entonces v0 2 - 2gR < O, y habrá un vaJor crítico de r para el cual el miembro derecho de la ecuación (2) sea cero. Esto es, la partícula podrá pararse, la velocidad cambiará de positiva a negativa y la partícula volverá a la Tierra. U na partícula proyectada desde la Tierra con una velocidad vo tal que vo ~ V2gR escapará de la Tierra. De aquí que la velocidad mÍnima de proye cción (4)

Ve

= V2gR,

se llama la velocidad de escape. El radio de la Tierra es aproximadamente R = 3 960 millas. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es aproximadamente g = 32.16 pies/seg2 , o g = 6.09 ( 10)-3 millas/seg2 • Para la Tierra se encuentra fácilmente que la velocidad de escape es Ve = 6.95 millas/seg. Por supuesto, el empuje gravitacional de otros cuerpos celestes, la Luna, el Sol, Marte, Venus, etc., ha sido despreciado en el problema ideaJizado que hemos tratado aquí. No es difícil ver que taJes aproximaciones son justificadas, ya que estamos interesados solamente en la velocidad inicial crítica Ve. Q ue la partícula realmente caiga sobre la Tierra, o que se transforme, por ejemplo, en satélite de algún otro cuerpo celeste, no es de consecuencia en el presente problema. Si en este estudio sucede que pensamos en la partícula como una idealización de un cohete de tipo balístico, debemos considerar otros elementos. Por ejemplo, no podemos despreciar la resistencia del aire en las primeras millas del recorrido. Los métodos empkados para sobreponerse a esas dificultades no son tratados aquí. Debe entenderse que la fórmula V e = V2gR se aplica también para obtener la yelocidad de escape de otros miembros del sistema solar, con sólo dar a R y g sus valores apropiados.


15.

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Los experimentos han demostrado que bajo ciertas condiciones se puede obtener una buena aproximación a la temperatura de un objeto, usando la ley de enfriamiento de Newton. Esta ley puede enunciarse de la manera siguiente: La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia, de las ~emperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Supondremos aqw que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya. Supóngase, por ejemplo, que un termómetro que ha marcado 70·o F dentro de una casa, se pone en el exterior donde la temperatura del aire es 10°F. Tres minutos después se encuentra que el termómetro marca 25°F. Deseamos predecir las lecturas del tennómetro para varios tiempos posteriores. Representamos por u ( °F) la temperatura marcada por el termómetro al tiempo t (min), el tiempo será medido desde que el termómetro se coloca en el exterior. Nuestros datos nos indican Hue cuando t = 0, u = 70, y cuando t = 3, u = 25. De acuerdo con la ley de Newton, la velocidad de variación de la temperatura con el tiempo, du/ dt, es proporcional a la diferencia de temperaturas (u - 10). Ya que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, es conveniente escoger (-,- k) como la constante de proporcionalidad. Entonces la u debe ser determinada de la ecuación diferencial du ( 1) -k(u - 10), dt con las condiciones (2)

cuando t = 0, u = 70

Y (3)

cuando t = 3, u = 25.

Necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes debido a que hay dos constantes que deben ser detenninadas, la k en la ecuación (1) y la constante "arbitraria" que se encuentra en la solución de la ecuación (1)· De la ecuación (1) se sigue inmediafamente que u

= 10

+ Ce-1;t,


Conversión químico si mple

63

Entonces, la condición ( 2) nos indica que 70 = 10 C = 60, de tal forma que tenemos

u = 10

(4)

+C

y por tanto

+ 60e-kt

El valor de k será determinado ahora usando la condición (3). Haciendo t = 3 Y u = 25 en la ecuación (4) obtenemos

25 = 10

+ 60e-

3

\

de lo cual e- 3k = i, así que k = ~ In 4. Por tanto la temperatura está dada por la ecuación. (5)

u = 10

+ 60 exp ( - ~t In 4).

Ya que In 4 = 1.39, la ecuación (5) puede reemplazarse por (6)

u = 10

+ 60 exp ( -

O.46t),

que es conveniente cuando se puede conseguir una tabla de valores de e4 .

16.

CONVERSIÓN QUíMICA SIMPLE

Es sabido de los resultados de la experimentación qUlITuca que, en ciertas reacciones en las cuales una sustancia A se convierte en otra sustancia, la velocidad de variación de la cantidad x, de sustancia no convertida, con el tiempo es proporcional a x. Considérese que se conoce la cantidad de sustancia no convertida a algún tiempo dado; esto es, supóngase que x = xo para t = O. Entonces, la cantidad x en algún tiempo t > O está determinada por la ecuación

dx

-

( 1)

dt

= -kx

con la condición de que cuando t = O, x = Xo . Ya que la cantidad x está disminuyendo cuando el tiempo aumenta, la constante de proporcionalidad en la ecuación ( 1) debe ser ( - k ) . De la ecuación (1) se sigue que x = Ce-kt

pero x = Xo cuando t mos el resultado

= O.

Por tanto, C

= Xo.

De aquí que tenga-


64

[Cap. 3

x = XOe-kt

(2)

Vamos ahora a estipular otra condición más, que nos sirve para determinar k. Supóngase que se sabe que al terminar el primer medio minuto, esto es en t = 30 seg., dos tercios de la cantidad original Xo se han convertido. Vamos a determinar cuánta sustancia no convertida queda en t = 60 seg. Cuando dos tercios de la sustancia se han convertido, un tercio permanece sin convertirse. Por lo tanto, x !xo cuando t 30. La ecuación ( 2) nos da ahora la relación

=

=

!xo = xoe- 30k de la cual se encuentra fácilmente que k vale 30 ~ In 3. Entonces si t está medida en segundos, la cantidad de sustancia no convertida está dada por la ecuación

x = Xo exp ( -

(3)

~t

30

In 3) .

En t = 60

x

= xo exp ( -

2 In 3)

= Xo ( 3 ) = 2.xo. -2

9

EJERCICIOS

1. El radio de la Luna es aproximadamente 1 080 millas. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es aproximadamente 0.165g, donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. DetermÍ
Venus Marte Júpiter Sol Ganimedes

0.85g 0.38g 2.6g 28g 0.12g

Radio en millas

3800 2100 43000 432000 1 780

Resp. en mi/seg.

6.3 3.1 37 380 1.6

3. Un termómetro que marca 18°F se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70°F. Un minuto después la lectura del termómetro es


§ 16]

65

Conversión química simple

31°F. Determínese las temperaturas medidas como una función del tiempo y, en particular, encontrar la temperatura que marca el termómetro cinco minutos después de que se lleva al cuarto. SOL. u = 70 - 52 exp (-0.29t); cuando t = 5, u = 58. 4. Un termómetro que marca 75°F se lleva fuera donde la temperatura es de 20°F. Cuatro minutos después el termómetro marca 30°F. Encontrar: a) la lectura del termómetro siete minutos después de que éste ha sido llevado al exterior, y b) el tiempo que le toma al termómetro caer desde 75°F hasta más o menos medio grado con resSOL. a) 23°F. b) 11.5 mino pecto a la temperatura del aire. 5. A la 1: 00 p.m. un termómetro que marca 70°F, es trasladado al exterior donde el aire tiene una temperatura de -10°F, diez grados abajo de cero. A la 1 :02 p.m. la lectura es de 26°F. A la 1 :05 p.m. el termómetro se lleva nuevamente adentro donde el aire está a 70°F. ¿ Cuál es la lectura del termómetro a las 1: 09 p.m? 6. A las 9: 00 a.m. un termómetro marca 70°F y se le traslada al exterior donde la temperatura es de 15°F. A las 9:05 31.m. la lectura del termómetro es 45°F. A las 9: 10 a.m. el termómetro es devuelto a su lugar original donde la temperatura permanece fija a 70°F. Encuéntrese: a) la lectura de las 9: 20 a.m., y b) ¿ a qué hora el termómetro marcará la temperatura correcta del cuarto? (70°F.) SOL. a) 58°F; b) 9:46 a.m. 7. A las 2: 00 p.m. un termómetro marca 80°F y se le traslada al exterior donde la temperatura del aire es de 20°F. A las 2: 03 p.m. la lectura del termómetro es de 42°F. Posteriormente, el termómetro es devuelto al interior donde el aire está a 80°F. A las 2: 10 p.m. la lectura es de 71 °F. ¿ En qué momento el termómetro fue devuelto al SOL. A las 2:05 p.m. interior? 8. Supóngase que una reacció;¡ química Se desarrolla de acuerdo con la ley indicada en la sección 16. Si la mitad de la sustancia A ha sido convertida al finalizar diez segundos, encuéntrese en cuánto tiempo se transforman nueve décimos de la sustancia. SOL. 33 seg. 9. La conversión de una sustancia B sigue la ley empleada en la sección 16 vista anteriormente. Si sólo una cuarta parte de la sustancia ha sido convertida después de diez segundos, encuéntrese cuánto tardan en convertirse nueve décimos de la sustancia SOL. 80 seg. 10. Para una sustancia C, la velocidad de variación con el tiempo es proporcional al cuadrado de la cantidad x de sustancia no convertida. Sea k el valor numérico de la constante de proporcionalidad y sea Xo la cantidad de sustancia no convertida en el tiempo t = O. DeterSOL. X = xo/ (1 xokt). mínese x para toda t ;::: O. 11. Dos sustancias A y B, se convierten en un solo compuesto C. En el laboratorio se ha mostrado que para estas sustancias se cumple la siguiente ley de conversión: la velocidad de variación con el tiempo de la cantidad x del compuesto C es proporcion;.l al pro-

+


66

[Cap. 3

ducto de las cantidades de las sustancias no convertidas A y B. Supóngase que las unidades de medida se eligen de tal forma que una unidad del compuesto e está formado de la combinación de una unidad de A con una unidad de B. Si al tiempo t O hay a unidades de sustancia A, b unidades de sustancia B y :1Ínguna del compuesto e presente, muéstrese que la ley de conversión puede expresarse con la ecuación

=

dx dt

= k (a - x)

(b - x) .

Resolver esta ecuación con la condición inicial dada · b -1ab[exp (b - a)kt - 1] S1 -r- a x . , :- b exp (b - a) kt - a ' si b a, x a 2 kt (akt + 1). En la solución del ejercicio 11, suponer que k > O e investíguese el comportamiento de x cuando t ~ oo. SOL. Sib ~ a, x ~a ; sib ~ a,x~ b. El radio se descompone con una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente. Supóngase que se descubre que en 25 años aproximadamente 1.1 por ciento de una cierta cantidad de radio se ha descompuesto. Determínese aproximadamente qué tanto tiempo tomará el radio para que ~e descomponga la mitad de la cantidad original. SOL. 1 600 años. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar qué tanto tiempo toma al 90 % de la radiactividad para disiparse. SOL. 126 horas. Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento Proporcional a B misma. Si entre el mediodía y las 2: 00 p .m. la población se triplica, ¿ a qué tiempo, si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que al mediodía? SOL. Cerca de las 8: 22 p. m. En el movimiento de un objeto a través de un cierto medio (aire a ciertas presiones, es un ejemplo), el medio efectúa una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto móvil. Supóngase que el cuerpo 'cae por la acción de la gravedad, a través de tal medio. Si t representa el tiempo y v la velocidad positiva hacia abajo, y g es la aceleración de la gravedad constante usual, y w el peso del cuerpo, usando la ley de Newton, fuerza igual a masa por aceleración, concluir que la ecuación diferencial del movimiento es SOL.

12.

13.

14.

15.

16.

=

=

~ dv = w _ kv2 g dt ' donde kv 2 es la magnitud de la fuerza de resistencia efectuada por el medio.


67

Conversión química simple

§16]

17. Resuélvase la ecuación diferencial del ejercicio 16 con la condición inicial de que v Vo cuando t O. Introducir la constante a 2 w/ k . l'f' a +v = a + Vo exp - g para slmp 1 lcar 1as f'ormu1as. SOL. --

=

=

=

a -

v

a -

Vo

(2 t) a

18. EnlÍstese un conjunto consistente de unidades para las dimensiones de las variables y parámetros que aparecen en las ecuaciones de los ejercicios 16-17 anteriores. SOL. ten seg gen pie/ seg 2 ven pie/seg k en (lb) (seg 2 ) / (pie 2 ) w en lb a en pie/ seg 19. Hay medios que oponen una fuerza de resistencia al paso de los cuerpos que los atraviesan proporcional a la primera potencia de la velocidad. Para tales medios, plantéense y resuélvanse problemas análogos a los planteados en los ejercicios 16-18, excepto que, por conveniencia, debe escogerse una constante b = w / k para reemplazar a la constante a2 del ejercicio 17. Mostrar que b tiene las dimensiones de una velocidad. SOL.

20. La: figura 7 muestra un cuerpo que pesa w libras, resbalando por un plano inclinado que forma un ángulo a con respecto a la horizo:1tal. Supóngase que ninguna otra fuerza más que la gravedad está actuando sobre el cuerpo, esto es, que no hay fricción, resistencia del aire, etc. Al tiempo t = O supóngase que x = Xo y que la velocidad inicial es vo. Determinar x para t > O.

V

= b

+ (vo -

b) exp (_

~t)

FIGURA 7

SOL. X = igt2 sen a + vot + xo. 21. Una tabla larga y muy lisa se inclina en un ángulo de 10° con respecto a la horizontal. Un cuerpo empieza a moverse desde el reposo a una distancia de diez pies sobre la parte más baja de la tabla y resbala hacia abajo debido a la acción de la fuerza de gravedad solamente. Encuéntrese cuánto tiempo tarda el cuerpo en llegar a la base de la tabla y determínese la velocidad con que llega. SOL. 1.9 segy 10.5 pie/seg. 22. A las condiciones del ejercicio 20 agréguese esta otra. Hay Una fuerza retardatoria de magnitud kv, donde v es la velocidad. Determínese v y x suponiendo que el cuerpo principia su movimiento desde el reposo con x = xo. Úsese la notación a = kg/w. SOL. X = a- 1 g sen a(1 _ e-at) ; x = Xo + a- 2g sen a (- 1 + e-a t + at).


FIGURA 8

23. Un hombre, parado en 'el punto O de la figura 8, cuelga una cuerda de longitud a, a la cual está atado un peso, originalmente en W o. El hombre camina hacia la derecha arrastrando al peso con él. Cuan· do el hombre está en el punto M, el peso está en W. Encuéntrese la ecuación diferencial de la trayectoria (llamada la tractriz) del peso y resolver la ecuación. a ya"- _ y2 X = a In --'------"-SOL.

+

y

I


CAPÍTULO

4

Tópicos adicionales sobre ecuaciones de pri:rner orden y primer grado

17.

FACTORES INTEGRANTES OBTENIDOS POR INSPECCIóN En la sea.ción 13 hemos encontrado que cualquier ecuación lineal de primer orden puede resolverse con la ayuda de un factor integrante. En la sección 18 se encuentran algunas discusiones de las pruebas usadas para la determinación de los factores integrantes. Hasta ahora nos hemos interesado en ecuaciones que son lo suficientemente simples, tales que permiten encontrar el factor integrante por inspección. La habilidad para hacer esto depende grandemente del reconocimiento de ciertas diferenciales exactas comunes, y de la experiencia. Hay cuatro diferenciales exactas que aparecen frecuentemente, a saber: ( 1)

d (xy) =xdy+ ydy,

(2)

d(~) = y dx - xdy,

(3 )

d (~) = x dy - Y dx

y

X

y2

X2

'

69


Tópicos ad icionales sobre ecuaciones

(4)

d

(Arctan ~) = X dy +- Yy-dx 2?

X

[Cap. 4

•

X

Obsérvese la homogeneidad de los coeficientes de dx y dy en cada una de estas diferenciales. Una diferencial que involucra solamente una variable, tal como x- 2 dx, es una diferencial exacta. EJEMPLO

a): Resolver la ecuación

y dy

(5)

+ (x + x 3y2)

dy = O.

Agrupando los términos del mismo grado, y escribiendo la ecuación en la forma (y dx + X dy) + X3y 2 dy = O. Ahora la combinación (y dx + x dy) atrae nuestra atención, así, reescribimos la ecuación, obteniendo (6)

Ya que la diferencial de xy está presente en la ecuación (6), cualquier factor que sea una función del producto xy no perturbará la integrabilidad de ese término. Sin embargo, el otro término contiene la diferencial dy, de aquí, deberá contener una función de y solamente. Por tantu, dividamos entre (xy ) 3 Y escribamos

d (xy) (xy)3

+ dy =

O.

y

La ecuación anterior es integrable como hemos establecido. Su solución es 1 - -2 2 2 + lny = -In c, xy

2x2y2In ( cy) = 1.

o EJEMPLO

(7)

b): Resolver la ecuación

Y(X3 - y) dx - x(x 3

+ y)

dy = O.

Reagrupemos los términos de (7) para obtener

(8)

X3( y fix - x dy) - y(y dx

+ x dy )

Recordando que

d (~) y

=

y dx - x dy

y2'

= O.

\


§17]

Factores integrantes obtenidos por inspección

71

dividimos los ténninos de la ecuación (8) entre y2 para obtener t

(9) La ecuación (9 ) puede hacerse exacta introduciendo un factor, si este puede encontrarse, para hacer al coeficiente de d (x / y) una {unción de (x/y) y al coeficiente de d(xy) una función de (xy). Puede uno adquirir pericia para la obtención de tales factores, con un poco de práctica. Cuando un factor puede encontrarse por inspección, este método es frecuentemente el más rápido. Se puede emplear un método directo en la ecuación (9) el cual da buenos resultados. Supóngase que el factor integrante deseado es ;rfy'" donde k y n deben determinarse. Aplicando este factor, obtenemos ( 10)

Ya que el coeficiente de d (x / y) es una función de la razón (x / y) , los exponentes de x y y en ese coeficiente deben ser numéricamente iguales, pero de signo opuesto. Esto es,

I

( 11 )

k

+3=

-no

De manera similar, del coeficiente de d(xy) se sigue que debemos poner k=n-l.

(12)

De las ecuaciones (11) Y (12) concluimos que k = - 2, n = - 1. El factor integrante deseado es xr-2y-l y (10) se convierte en

~d(~) - d (xy) = O y

y

x2y2

de la cual la solución es

t(~y + x~ =~. Finalmente, podemos escribir la solución deseada de la ecuación (7) como xa + 2y = cxi. EJEMPLO e): Resolver la ecuación 3x2y dx + (y4 - x 3 ) dy = O. Ya que dos términos en los coeficientes de dx y dy son de tercer grado y el otro coeficiente no es de tercer grado, reagrupamos los ténninos para obtener

http://carlos2524.jimdo.com/ Tópicos adicionales sobre ecuaciones

72

[Cap. 4

o

La forma de los dos primeros términos sugiere el numerador en la diferencial de un cociente, como en d (~) = v du - u dv v2

V

Por tanto, dividimos cada término de nuestra ecuación entre y2 y obtenemos d(X3) - x 3 dy :JI~....'..:..:......!...-2---':~...L. + y2 dy = 0,

y

o • d

(;3) +

y2 dy = O.

De aquí, la solución de la ecuación original es X3

e

y3

-+-=y 3 3 o

3x3

+i

= ey. EJERCICIOS

Excepto cuando los ejercicios indiquen lo contrario, encuéntrese la solución general.

+ 1)

= O. ~

4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11.

12.

=

x(xy + 1) ey. 2xy 3 _ X2 = ey2. SOL. X3 y 3 = - 31n (ex ) . 2t ds + s(2 + s2t) dt O. SOL. 1 + s2t es 2t 2. Y(X4 - y2) dx + x(x 4 + y2) dy = O. SOL. y(3 X4 + y2) = ex 3. y(y2 + 1) dx + X(y2 - 1) dy = O. SOL. X(y2 + 1) = ey. Hacer el ejercicio 6 por un segundo método. y(x 3 - y5) dx - X(X3 + y5) dy = O. SOL. x 4 = y4(e + 4xy). Y(X2 - y2 + 1) dx - X(X2 - y2 - 1) dy = O. SOL. X2 + exy + y2 = l. (x'l + xy2 + y) dx + (y3 + x 2y + x) dy = O. SOL. (X2 + y2) 2 = e -4xy. Y(X2 + y2 - 1) dx + x(x 2 + y2 + 1) dy = O. SOL. xy + Arctan (y/x) = e. (x 3 + xy2 - y) dx + (ya + x2y + x) dy = O. SOL. 2 Arctan (y/x) = e _ X2 - y2.

1. y(2xy

dx - x dy

2. y(y3 - x) dx + x(y3 + x) dy = O. 3. (X 3y3 + 1) dx + x 4 y2 dy = O.

=

SOL.

SOL.

=

I


73

Determinación de factores integrantes

=

=

13. y(re.:tl - y) dx + x(y + x 3e.:tl) dy O. SOL. 2x 2e'"Y + y2 ex2. 14. xy(y2 + 1) dx + (X2y2 - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 1. SOL. X2 (y2 + 1) = 2 + 4 Iº y. 15. y2 ( 1 - X2) dx + X(X2y + 2x + y) dy = O. . SOL. x2y + X + Y = exy2. 16. Y(X 2y2 - 1) dx + X(X2y2 + 1)dy = O. SOL. x2y2 = 2In (ex/y). 2 17. x 4y' = _ x 3y - csc (xy). SOL. 2x2 cos (xy) = ex lo 18. [1 + y tan ' (xy)] dx + x tan (xy) dy = O. SOL. cos (xy) = ce'". 19. Y(X2y2 - m) dx + X(X2y2 + n) dy = O. SOL. x2y2 = 2 In (exm/y,,). 20. X(X2 - y2 - x) dx - Y(X2 - y2) dy = O; cuando x = 2, y = O. sOL.3(X2_y2)2=4 (X3 +4). 21. Y(X2 + y) dx + X(X2 - 2y) dy = O; cuando x = 1, y = 2. SOL. x2y - y2 + 2x = O. 22. Y(X 3y3 + 2X2 - y) dx + X3( xy 3 - 2) dy = O; cuando x = 1,y = 1. 23. y(2 - 3xy) di - x dy ~ 0.. SOL. x2 (1 - xy) = ey. 24. y(2x + y2) dx + X(y2 - x) dy = O. SOL. x(x + y2) = ey. 25. y dx + 2 (y4 - x) dy = O. SOL. y4 + X = ey2. 26. y (3x 3 - x + y) dx + x2(1 - X2) dy = O. SOL. yIn (ex) = x(1 - X2). SOL. x 4 = y2 (1 + ex). 27. 2x 5 y' = y(3X4 + y2). 28. (x"y"+1 + ay) dx + (Xn+ly" + bx) dy = O. SOL. Si n =1= O, x"y" = n In (e,r'y-b) . Si n = O, xy = el,r'y-b. 29. (X"+ly" + ay) dx + (X"yn+l + ax) dy = O. SOL. Si n =1= 1, (n - 1) (xy) n-l (X2 + y2 - e) = 2a. Si n = 1, X2 + y2 - e = - 2a In (xy) .

18.

DETERMINACIóN DE FACTORES INTEGRANTES

Vamos a ver qué tanto podemos progresar en el problema de la determinación de un factor integrante para la ecuación (1 )

Mdx

+ Ndy= O.

Supóngase que u sea, posiblemente, una función tanto de x como de y, y que sea un factor integrante de (1). Entonces la ecuación

(2)

uM dx

+ uN dy =

O

deberá ser exacta. Por lo tanto, el resultado de la sección 11,

a

ay (uM)

a =ax

(uN) .

Aquí, u debe satisfacer la ecuación diferencial parcial


Tópicos adicionales sobre ecuaciones

[Cap. 4

aM au aN au u-+M-=u-+N - , ay oy ax ax o (3 )

u ( aM _ aN) = N ou _ M au . ay ax ox ay

Además, tomando el argumento anterior a la inversa, puede verse que si u satisface la ecuación (3), entonces u es un factor integrante de la ecuación ( 1). Hemos "reducido" el problema de resolver la ecuación diferencial ordinaria (1) al problema de obtener una solución particular de la ecuación diferencial parcial (3). No se ha ganado mucho ya que aún no hemos desarrollado métodos para atacar una ecuación como la (3). Por tanto, volvemos atrás, al problema de resolver ecuaciones diferencial ordinarias y restringimos a u a que sea una función de una sola variable. au au Primero, sea u una función de x solamente. Entonces ;- = O Y ux ay du D ' (3) d se transf orma en ax' e aqm se re uce a

u (OM _ aN) = N du ay ax dx' o

(4)

l(aM _ aN) dx = du N oy ax u

..

Si el miembro izquierdo de la ecuación anterior es una función de x solamente, entonces podemos determinar u de inmediato. En efecto, si (5)

aN)' =f(x) -1 (aM --N ay ox '

entonces el factor integrante deseado es u = exp (S f (x) dx). Por un argumento similar, suponiendo que u es una función de y, sólo llegamos a la conclusión de que si (6)

aN) =g(y), -1 (aM --M oy ax

entonces un factor integrante para la ecuación (1) es u = exp ( - S g(y) dy). Nuestros dos resultados están expresados en las siguientes reglas.

,I

;


75

Determ inación de factores integrantes

Sil(aM _ aN) N

ay

ax

/

= f(x),

es una función de x solamente, entonces exp (5 f( x) dx) es un factor integrante para la ecuación

Mdx

( 1)

+ Ndy =

O.

Si~ (aM _ aN ) = g(y), M

ay

ax

es una función de y solamente, entonces exp ( - S g(y) dy) , es un factor integrante para la ecuación ( 1) . EJEMPLO a): Resolver la: ecuación

(7)

(4xy

AqUÍ M

+ 3y2 -

= 4xy + 3y2 -

x, N

aM aN - - -;;;- = 4x ay ux

+ x(x + 2y) = X2 + 2xy, así

x) dx

+ 6y -

( 2x

+ 2y)

2x

+ 4y

dy = O.

= 2x

+ 4y.

En consecuencia

/

1 ( aM aN ) N ay -

2

ax- = x (x + 2y ) = x'

Por tanto un factor integrante para la ecuación (7) es exp ( 2

f ~x)

= exp ( 2 In

x) =

X2

Regresando a la ecuación original (7), insertamos el factor integrante y obtenemos

(8)

(4.ry

+ 3x2y2 -

x 3 ) dx

+ (x + 2.ry) 4

dy = O,

la cual sabemos que debe ser una ecuación exacta. Los métodos de la sección 11 son aplicables. Hemos llegado a expresar la ecuación (8) en la forma

(4x 3 y dx

+x

4

dy)

de la cual la solución o

se obtiene de inmediato.

+ (3x2y2 dy + 2x y dy) 3

- x 3 dx = O,


Tópicos ad icionales sobre ecuaciones

76

EJEMPLO b): (9)

Resolver la ecuación

+ y + 1) dx + x ( x + 3y + 2)

y (x

dy = O.

Primero formamos

o- M = oy

Entonces vemos que

oM - -oN ='

-

oN

+ 1,

x+ 2y

oy

ox

3x =

+ 3y + 2.

2x

- x - y - 1,

así

1 (O M ON) _ x N ay - ox - - x(x

+y+

1

+ 3y + 2)

no es una función de x solamente. Pero 1

(oM oN) _

x

+ y+ 1

_ 1

M Ty - ox - - y(x + y +l ) - - y ' Por tanto exp (In y ) = y es el factor integrante deseado para (9). Usando el factor integrante, escribimos ' (xy2

o (xy2 dx

+ y3 + y2 ) dx + (X2y + 3xi + 2xy)

+ x2y dy) + (i

dx

+ 3xy2dy) +

(i dx

dy = O,

+ 2xy dy)

'.

Se encuentra entonces que la solución de (9) es ix2y2

+ xy3 + X'y 2 =

= O.

ic,

o xi(x

EJ EMPLO c) :

( 10)

3M = D e Ty

+ 2y + 2)

= c.


+ y) dx + (x + 2y - 1) dy = ú. .x + 2y, a; oN = 1, concl Ulmos ' d e 'mmed'lato que y(x

1. (OM _ oN) = x + 2y N oy OX x + 2y -

1 = 1. 1

En consecuencia eft es un factor integrante para (10) . Entonces (xye'"

+ y e"') dx + 2

(xe'"

+ 2ye'" -

eft ) dy = O

es una ecuación exacta. Agrupando los términos de la siguiente manera:


§18]

77

Determinación de factores integrantes

[xye~

dx

+

( xe~

e~)

-

dy]

+

(y2e" dx

+ 2ye" dy)

= O

llegamos de inmediato a la solución

, e"( x -1)y+ y2e" =c, o

y (x

+y -

1) = ce-4:. EJERCICIOS

Resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones.

+ y2 + 1) dx + x (x - 2y) dy = O. SOL. X2 _ y2 + xy - 1 = cx. 2. 2y(x 2 - y + x) dx + (X2 - 2y) dy = O. SOL. Y(X2 - y ) = ce-2". 3. y (2x - y + 1) dx + x(3x - 4y + 3) dy = O. SOL. xy3( X - y + 1) = c. 4. y (4x + y ) dx - 2 (x 2 - y ) dy = O. SOL. 2X2 + xy + 2ylny = cy. 5. (xy + 1) dx + x (x + 4y - 2) dy = O. SOL. xy + In x + 2y2 - 2y = c. 6. (2y2 + 3xy - 2y + 6x) dx + x (x + 2y - 1) dy = O. ' S OL. X2(y2 + xy - y + 2x) = c. 7. y(y + 2x - 2) dx - 2(x + y) dy = O. SOL. y( 2x + y) = ce". 8. y 2dx + (3xy + y2 - 1) dy = O. SOL. y2(y2 + 4xy - 2) = c. 9. 2y(x + y + 2) dx + .(y2 - X2 - 4x - 1) dy = O. SOL. X2 + 2xy + y2 + 4x + 1 = cy. 10. 2(2y2 + 5xy - 2y + 4) dx + x( 2x + 2y - 1) dy = O. SOL. X4(y2 + 2xy - y + 2) = c. 11. 3(X2 + y2) dx + X(X2 + 3y2 + 6y) dy = O. SOL. X(X2 + 3y2) = ce-I/. 12. y (8x - 9y) dx + 2x( x - 3y) dy = O. SOL. x3y(2x. - 3y) = c. ...1. (X2

I •

/

13. Hacer el ejercicio 12 por otro método. + 1) dx + (x - y) dy O.

=

14. y(2x 2 - xy

y(2x - y) = c exp (_X2). 15. El teorema de Euler (ejercicio 34, página 42) sobre funciones homogéneas, establece que si F es una función homogénea de grado k en x y 'YJ entonces SOl;.

x

aF

aF ax + y ay =

kF.

Úsese el teorema de Euler para probar el resultado de que si M + Ny =F O, entonces

y N son funciones homogéneas del mismo grado, y si Mx

1

Mx + Ny


Tópicos adicionales sobre ecuaciones

78

es un factor integrante para la ecuación

M dx

(1)

+ N dy =

O.

16. En el resultado probado en el ejercicio 15 anterior, hay un caso especial, a saber, cuando Mx + Ny = O. Resuélvase la ecuación (1) cuando Mx + Ny = O. SOL. y = ex.

Úsese el factor integrante del ejercicio 15 anterior para resolver cada una de las ecuaciones 17-20. El estudia:lte deberá darse cuenta, por su experiencia en la resolución de los ejercicios, y no por el contenido del texto, que el método del ejercicio 15 no es el más recomendable.

17. xy dx - (X2 + 2y2) dy = O. 18. v 2 dx + x (x + v) dv = O. 19. v(u
19.

X2 = 4y2 ln (y/e) . xv 2 = e (x + 2v). SOL. u 2 = 2v 2 ln (ev 2 /u ) . ( Ejercicio 9, página 41) . SOL. SOL.

SUSTITUCIóN SUGERIDA POR LA ECUACIÓN DADA

U na ecuación de la forma

Mdx+Ndy = O puede no conducir a uno (o a todos) de los métodos del capítulo 2. Aun entonces la utilidad de esos métodos no está agotada. Puede ser posible, por algún cambio de variables, transfOImar la ecuación dada en otra que pueda resolverse por métodos directos. Una fuente natural de sugestiones para encontrar transformaciones útiles que nos conduzcan a la resolución de una ecuación diferencial es ella misma. Si una función particular de una o ambas variables está separada en la ecuación, entonces vale la pena examinar la ecuación después de que la función ha sido introducida como una nueva variable. Por ejemplo, en la ecuación ,

(1)

+ 2y - 1) dx + 3 (x + 2y) dy = O (x + 2y) aparece dos veces y llama nuestra (x

la combinación De aquí que hacemos

x

+ 2y =

atención.

u,

y como ninguna otra función de x y y está separada, podemos retener a x o a y como la otra variable. La solución se completa en el ejemplo a) que se encontrará más adelante.


§19]

Sustitución sugerido por lo ecuación dado

79

En la ecuación (2)

(1

+ 3x sen y)

dx -

cos y dy = 0,

X2

la presencia de sen y. y su diferencial cos y dy, Y el hecho de que y aparece en la ecuación solamente de esta manera, nos lleva a poner sen y = w y obtener la ecuación diferencial en w y x. (Véase nuestro ejemplo b.) EJEMPLo a) :


(1)

(x

+ 2y -

1) dx

+ 3 (x + 2y)

dy = O.

Como se sugirió antes, hacemos

+ 2y =

x

v

entonces dx = dv - 2 dy Y la ecuación (1) se convierte en

+ 3v dy =

(v - 1)( dv - 2dy)

+ (v + 2)

( v - 1) dv

0,

dy = O.

Ahora las variables pueden separarse. De la ecuación en la forma v -

1

- - 2 dv

v+

obtenemos

+ dy =

0,

y entonces

. v - 3ln (u Pero v = x

+ 2) + y + e =

O.

+ 2y, así nuestro resultado final es x + 3y + e = 3 In (x + 2y + 2).

EJEMPLO b):


(2) . Haciendo sen y

(1

+ 3xseny) dx- x

= w. (1

2

cosydy = O.

Entonces cos y dy

+ 3xw)

dx -

X2

= dw y

dw = 0,

una ecuación lineal en w . De la fonna estándar

(2) se convierte en

http://carlos2524.jimdo.com/ Tópicos odicionoles sobre ecuaciones

80

[Cap. 4

3 dx dw - - wdx=X Jf" se ve que un factor integrante es exp ( - 3 In x) = x-3 La aplicación del factor integrante produce una ecuación exacta x- 3 dw - 3x--4w dx = x-5 dx,

de la cual obtenemos o 4xw = cx4

1.

-

En consecuencia (2) tiene la solución 4x sen y

20.

= cx

4

-

1.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Una ecuación bien conocida que encaja en la categorla de la seco ción 19 es la ecuación de Bemoulli,

(1 )

y'

+ P(x)y =

Q(x)yn.

Si n = 1 en (1), las variables son separables, así que nos concentraremos al caso n =1= 1. La ecuación puede ponerse en la forma y-n dy

(2)

+ py-n+1 dx =

Q dx.

Pero la diferencial de y--n+1 es (1 - n) y-n dy, de tal manera que la ecuación (2) puede simplificarse haciendo de la cual

(1 - n) y-n dy = dz. De este modo la ecuación en x y z es dz

+ (1

- n) pz dx = (1 - n) Q dx,

una ecuación lineal en la forma estándar. De aquí que cualquier ecuación de Bemoulli puede resolverse con la ayuda del cambio anterior de la variable dependiente (a menos que n = 1, en la que la sustitución no es necesaria).

I

http://carlos2524.jimdo.com/ §20j

EJEMPLO a):

(3)

Ecuoción de 6ernoulli

61


+ 2xdy =

y (6y2 - x - 1) dx

O.

Primero agrúpense los términos de acuerdo con las potencias de y, escribiendo 2x dy - y (x + 1) dx + 6y3 dx = O. Ahora puede verse que la ecuación es una ecuación de Bernoulli, ya que involucra solamente términos que contienen, respectivamente, a dy, y, y y" (aquí n = 3). Por tanto, dividimos la ecuación entre ys, obteniendo

2xy-a dy - y-2(X

+ 1)dx =

- 6dx.

Esta ecuación es lineal en y-2, así que hacemos y-2 = v, obteniendo dv = - 2y-3 dy, y necesitamos ahora resolver la ecuación

x dv

+ v(x + 1)

dx = 6 dx,

o

(4)

dv

+ v(1 + X-1)

dx = 6x-1 dx.

Como exp (x

+ In x)

= xe"

es un factor integrante para (4), la ecuación

xe" dv

+

ve" (x

+

1) dx = 6e" dx

es exacta. Su solución

xve" = 6e"

+ c,

junto con v = y-2, nos lleva al resultado final

EJEMPLO b):

(5)


6y2 dx - x(2x 3

+ y)

dy = O.

Esta es una ecuación de Bernoulli con x como variable dependiente, así que puede tratarse de la misma manera que la ecuación del ejemplo a). Este método para resolver las ecuaciones se deja para los ejercicios. La ecuación (5 ) puede tratarse también como sigue. Nótese que si cada miembro de (5) se multiplica por x 2 , la ecuación se convierte en (6)


82

[Cap. 4

En (6) la variable x aparece solamente en las combinaciones de xl' y su diferencial 3x2 dx. De aquÍ, umi forma razonable de escoger una nueva variable es w = xI'. La ecuación en w y y es

2f dw - w (2w

+ y)

dy = 0,

una ecuación con coeficientes homogéneos de segundo grado en y y w. El nuevo cambio de variable w = zy nos conduce a la ecuación

2ydz - z (2z - 1) dy = 0, ~ ---: 2 dz _ dy = O. 2z - 1 -z Y En consecuencia, tenemos 2ln (2z - 1) - 2lnz - lny = In e)

o

(2z - 1) 2 = eyzz. Pero z = w/y =

X3/ y) así

la solución buscada es

( 2x 3 _ y) 2 = eyx6. EJERCICIOS


+ 1) dx + (3x - 2y + 3) dy = O. . SOL. 5 (x + y + e) = 2ln ( 15x sen y(x + sen y) dx + 2X2 cos y dy = O. 2

1. (3x - 2y 2.

lOy

+ 11 ) .

+ sen y ) 3. ~~ = (9x + 4y + 1)2. SOL . 3 tan (6x + e) = 2(9x + 4y + 1) . 4. y' = y - xy eSOL. e = y2(X + e). dy 5. dx = sen (x + y). SOL. + e = tan (x + y) - sen (x + y) . 6. xy dx + (X2 - 3y ) dy = O. SOL. x2y2 = 2y + c. 7. (3 tan x - 2cosy) sec 2 xdx + tanxsenydy = O. SOL . cos y tan x = tan x + c. 8. (x + 2y - 1) dx + (2x + 4y - 3) dy = O. Resolverla por dos méSOL .

3

x 3 sen y = c (3 x

Z ".

2.

2 "

2

X

3

3

2

todos. 9. Resuélvase la ecuación 6y2 dx - x (ax 3

SOL.

+ y)

(x

+

2y -

1 )2

= 2y

+

c.

dy = O

del ejemplo anterior b ) tratándola como una ecuación de Ber:lOuIli en la variable dependiente x.


83

Coeficientes lineales en los dos variables

§21]

__10. 2x 3 y' = y(y2

+ 3X2 ).

Resolver por dos métodos SOL.

11. (3 sen y - 5x ) dx

12. y'

+ 2X2 cot y dy =

= 1 + 6xexp (x -

O. SOL.

y) .

SOL.

x 3 (sen y - x) 2 = e sen Z y. exp (y - x) 3X2 + e.

=

13. du= (u -u )2 -2 (u-u) =2. du SOL. (u - U - 3 exp (4u ) = e (u - u + 1). 14. 2ydx + x(x2lny - 1) dy = O. SOL. y(l + X2 - x2Jny) = ex 2 • 2 2 15. cos y sen 2x dx + (cos Y - cos x) dy = O. SOL. cos 2 x( 1 + sen y) = cos y(y + e - cos y). 2V 2V 2V 16. (ke - u) du = 2e (e + ku ) du. SOL . 2k Arctan (ue- 2V ) = In [e (u 2 + e4V )]. 2 2 17. y' tan x sen 2y = sen x + Cos y. SOL. (sen 2 x + 3 cos 2 y) sen x = e. 18. (x + 2y - 1) dx - (x + 2y - 5) dy = O. 19. y(x tan x + In y ) dx + tan x dy = O. SOL. sen x In y = x cos x - sen x + e. 20. xy' - y x/'y"', donde n =1= 1 Y k + n =1= 1. SOL. (k + n - l)yl-n = ( 1 - n)xl' + exl-n. 21. La ecuación del ejercicio 20 para los valores de k y n no incluidos allí. SOL. Si n 1 Yk =1= O, xl' k In (ey / x) . Si n 1 Yk O, Y ex 2 • Si n =1= 1 pero k + n 1, yl-n (1 - n) xl-n In (ex) . En los ejercicios 22-27 encuéntrese la solución particular pedida. 22. 4 (3x + y - 2) dx - (3x + y) dy = O; cua;-¡do x = 1, Y = O. 21x + 7y - 8 SOL. 7 (4x - Y - 4) = 8ln 13

=

I

=

=

23. y'

= 2 (3x + y)

1; cuando x

= =

= =

=

= O, Y =

1. 4 Arctan (3x + y) = 8x + 7f'. 2xyy' = y2 - 2x 3 • Encuéntrese la solución que pasa por el punto (1,2). SOL. y2 = x(5 - X2). (y' - 2xy ) dx + 3X2 dy O; cuando x 2, y 1. SOL . X2 = f (x + 2). (2y 3 - x 3 ) dx + 3xy2 dy O; cuando x 1, Y 1. Resolverla por dos métodos. SOL. 5x2 y 3 = x 5 + 4. (x 2 + 6y2) dx - 4xy dy O; cuando x 1, y 1. Resolverla por tres métodos. SOL. 2y2 = X2 (3x - 1). 2 -

SOL.

24. 25. 26.

27.

21.

= = =

= = = = = =

COEFICIENTES LINEALES EN LAS DOS VARIABLES

Considérese la ecuación

¿¿',-""--


84

[Cap. 4

en la que las a, las b y las e son constantes. Ya conocemos cómo resolver el caso especial en el que el = y e2 = 0, para este caso los coeficientes en ( 1) son homogéneos y de primer grado en x y y. Es razonable tratar de reducir la ecuación ( 1) a esa situación. En conexión con ( 1) considérense las rectas

°

+ bly + el = a2X + b2y + C2 =

( 2)

alX

0, O.

Las que pueden ser paralelas o intersectarse. No serán dos rectas si al y b1 son cero, o si a2 y b2 son cero, pero la ecuación (1) será entonces lineal en una de sus variables. Si las rectas (2) se intersectan, sea (h) k) el punto de intersección. Entonces la traslación (3)

x= u

+ h)

y = v +k

cambiará las ecuaciones (2) en ecuaciones de rectas que pasan por el origen del sistema de coordenadas uv) esto es,

+ bJ.u = a2U + b2V =

0,

a1X

(4)

Por tanto, como dx

O.

= du y dy = dv) el cambio de variables + h) v + k,

x = u

Y=

donde (h) k) es el punto de intersección de las rectas (2), transformará la ecuación diferencial (1) en (5)

una ecuación que sabemos cómo resolver. Si las rectas (2) no se intersectan, existe una constante k tal que a2X + b"2Y = k(a1x

+

bJ.Y),

así, la ecuación ( 1) aparece en la forma ( 6)

(a1x

+ b1y + el ) dx +

[k (a1x

+ b1Y) + e2] dy =

O.

La recurrencia de la expresión ( a1x + b1y ) en la ( 6) sugiere la introducción de una nueva variable w = a1X + b1y. Entonces la nueva ecuación


§21]

Coeficientes lineales en las das variables

85

en w y x o en w y y, es de variables separables, puesto que sus coeficientes contienen solamente a w y constantes. EJEMPLO a): Resolver la ecuación

(7)

(x

+

2y - 4) dx - (2x

Las rectas

+ 2y 2x + y -

x

+

y - 5) dy = O.

4 = 0,

5=

°

se intersectan en el punto (2, 1) . De aquí hacemos x = u

+ 2,

y = v + 1. Entonces la ecuación (7) se convierte en

(8)

(u

+ 2v)

du - (2u

+ v)

dv = 0,

que tiene coeficientes homogéneos de primer grado en u y v. Por tanto, sea u = vz, la transformación que nos lleva de (8) a

/

(z

+ 2) (z dv + vdz)

- (2z

+ 1)

dv = 0,

o

(Z2 - 1) dv

+

v (z

+ 2)

dz = O.

La separación de las variables v y z nos lleva a la ecuación

dv v

+ (z + 2)

dz = O. r - 1

Con la ayuda de fracciones parciales, podemos escribir la ecuación ancerior en la forma

2 dv + 3 dz _ ~ = O. v z-1 z+l De aquí obtenemos 2 In v

+

3 In (z - 1) - In (z

+

1) = In e

de la cual se sigue que o (vz - V)3 = c(vz

+ v).

Ahora vz = u, así nuestra solución aparece como ( u - V)3 = c(u

+ v) .

http://carlos2524.jimdo.com/ Tópicos od ici onales sobre ecuaciones

86

[Cap. 4

Pero u = x - 2 Y v = y-l. Por tanto el resultado deseado en témúnos de x y y es (x - y - 1) 3 = c(x + y - 3). Para otros métodos de solución de la ecuación ( 7) ver los ejerClClOS 23 y 30 siguientes. EJEMPLO b ): Resolver la ecuación

(9)

+ 3y -

( 2x

+

1) dx

con la condición de que Las rectas

'V

+ 3y + 2)

(2x

dy - O,

= 3 cuando x = 1.

2x

+ 3y -

2x

+ 3y + 2 =

1= O

y

O

son paralelas. Por tanto procedemos como lo haríamos a primera vi3ta de la ecuación, hacemos 2x + 3y = v. Entonces 2 dx == dv - 3 dYJ Y la ecuación (9) se transfo;ma en

( v - 1)( dv - 3dy)

+ 2 ( v + 2) dy = O

o

(v - 1) dv - (v - 7) dy = O.

(lO)

La ecuación ( 10) se resuelve fácilmente, llevándonos a la relación

v- y

+ e + 6ln (v

- 7) = O.

En consecuencia la solución general de (9) es

2x

+ 2y + e =

-6ln (2x

Pero y = 3 cuando x = 1, así e particular requerida es

x

+ y. -

+ 3y -

= -8 -6ln 4.

4 = -31n [i( 2x

+ 3y -

7).

De aquÍ, la solución

7)]. EJERCICIOS

En los ejercicios 1-18 encuéntrese la solución general. 1. (y - 2) dx -

(x - y -

1) dy

= O. SOL.

X -

3 = (2 - y ) In [c(y - 2)].


Coeficientes linea les en las d os variables

§21 ]

2. (x - 4y -

+

9) dx

(4x

+y-

In [( x - 1)2

S OL.

2) dy = O. x _ 1 + (y + 2)2] - 8 Arctan-y+2

= c.

3. (2 x - y ) dx + (4x + y - 6 ) dy=0 . SOL. (x +y-3)s=c ( 2x+y-4)2. 4. (x - 4y - 3) dx - (x 6y - 5) dy = O. SOL . (x - 2y - 1)2 = c (x - 3y - 2). 5. ( 2x + 3y - 5) dx + (3x - y - 2) dy = O. Resolverla por dos mé~

=

todos.

7.

8. 9. 10. 11. 12. 13.

I

+

+

3) dy = O. Usar un cambio de variable. SOL. y + e = - In ( 2x - y + 4) . R esuélvase la ecuación del ejercicio 6 usando el hecho de que la ecuación es lineal en x. (x - y + 2) dx + 3 dy O. SOL. X + e 31n (x - y + 5) . R esuelva el ejercicio 8 por otro método. (x + y - 1) dx + ( 2x + 2y + 1) dy = O. SOL. X + 2y + e = 3 In (x + y + 2) . (3x + 2y + 7) dx + ( 2x - y) dy = O. Resolverla por dos métodos. (x - 2) dx + 4 (x + y - 1) dy = O. S OL. 2 (y + 1) = - (x + 2y) In [c (x + 2y)]' (x - 3y + 2) dx + 3 (x + 3y - 4) dy = O.

6. 2dx

( 2x - y

=

S OL.

=

In [(x - 1) 2 + 9 (y -

+ 2) dx 4y + 4) dx -

1)2] -2 Arctan 3 ty -=- 11 ) = c.

( 2x - y - 1) dy = O. SOL. 3x - y e = 5 In ( 2x - y (9x ( 2x - y 1) dy = O. SOL. y - 1 = 3 (y - 3x - 1) In [e (3x - y + (x 3y - 4) dx (x 4y - 5) dy = O. S OL. Y - 1 = (x 2y - 3) In [e (x 2y (x 2y - 1) dx - (2x y -5 ) dy = O. S OL . (x - Y - 4)3 = c (x y (x -1 ) dx - (3x - 2y - 5 ) dy =0. SOL. ( 2y - x 3)2 = e (y - x

14. (6x - 3y 15. 16. 17. 18.

+ +

+

+

+

+ +

+ 4 ).

+

1)].

+ +

+

3

r

2) .

+ 2) .

En les ejercicios 19-2 2 obténgase la solución par ticular indicada. 19. ( 2x - 3y + 4) dx + 3 (x - 1) dy O; cuando x 3,y 2.

=

SOL.

=

=

3 (y - 2) = -2 (x -

x - 1 1) In - 2- '

20. La ecuación del ejercicio 19, pero con la condición: cuando x = -1, 1- x y = 2. SOL . 3 (y - 2) = -2 (x - 1) In - . 21. (x

+y-

4 ) dx -

(3x - y - 4 ) dy

= O;

2

cuando x

= 4, y = 1.

x - y

+ 2y -

6) = . 3 (x - y) In - - · 3 22. La ecuación del ejercicio 21, pero con la condición : cuando x = 3, SOL.

y

= 7.

2 (x

SOL.

Y - 5x

+

8

= 2 (y -

x) In y - x . 4


T6picos odicionales sobre ecuaciones

88

23. Pruébese que el cambio de variables x

= alu + a2v,

y

=u + v

+

b2y

transfonnará la ecuación

(A)

(a¡x

+

bly

+

Cl) dx

+

(a2x

+

C2) dy

= O.

en una ecuación en la que las variables u y v son separables, si al y a2 son raíces de la eéuación

(B) y si a2 =1= al' Nótese que este método de solución de (A) no es práctico a menos que las raíces de la ecuación (B) sean reales y diferentes.

Resuélvanse los ejercicios 24-29 por el método indicado en el ejercicio 23. 24. El ejercicio 4 anterior. Como una comprobación, la ecuación (B) para este caso es a2

-

5a

+ 6 = O,

=

así que podemos escoger al 2 Y a2 La ecuación en u y v vuelve a ser (v - 1) du - 2 (u

25. 27. 29. 30.

= 3.

+ 2)

dv

= O.

El ejercicio 3 anterior. 26. El ejercicio 10 anterior. El ejercicio 17 anterior. 28. El ejercicio 18 anterior. El ejemplo a) del texto de esta sección. Pruébese que el cambio de variables x

= alU + f3v,

y

=u + v

transformará la ecuación

en una ecuación que es lineal en la variable u, si al es una raíz de la ecuación

(B) y si f3 es cualquier número tal que

f3 =1= al'

Obsérvese que este método no es práctico a menos que las raíces de la ecuación (B) sean reales. Sin embargo, no necesitan ser diferentes como tuvieron que ser en el teorema del ejercicio 23. El método de este ejemplo es particularmente útil cuando las raíces de (B) son iguales. Resolver los ejercicios 31-35 por el método indicado en el ejercicio 30. 31. El ejercicio 16 anterior. El único valor posible para al es (- 2). Entonces f3 puede escogerse como cualquier otro valor.


32. 33. 34. 35.

22.

89

Soluciones que involucra n integrales na elementales

El ejercicio 12 anterior. El ejercicio 15 anterior. El ejercIcIO 18 anterior. El ejercicio 4 anterior. Como vimos en el ejercicio 24, las raíces de la "ecuación a" son 2 y 3. Si se escoge al = 2, por ejemplo, entonces (3 puede tomar cualquier otro valor excepto 2. Por supuesto, si se escoge a l = 2 Y (3 = 3, entonces se ha regresado al método del ejercicio 23 .

SOLUCIONES QUE INVOLUCRAN INTEGRALES NO ELEMENTALES

Al resolver ecuaciones diferenciales frecuentemente nos enfrentamos con la necesidad de integrar una expresión que no es la diferencial de cualquier función elemental.* A continuación se da una pequeña lista de integrales no elementales:

f exp ( - dx f sinx dx f cosx dx X2)

I

2

2

f e: dx f xtanx dx dx fse:x dx f lnx fco;x dx f V 1dx- x z

3

Las integrales que involucran la raíz cuadrada de un polinomio de grado mayor que dos son, en general, no elementales. En casos especiales, algunas de estas integrales pueden degenerar en integrales elementales. El siguiente ejemplo presenta dos caminos para tratar con problemas en los cuales aparecen integrales no elementales. EJEMPLO: Resolver la ecuación

y' - 2xy = 1 con la condición inicial que cuando x

= 0, y = 1.

* Por una función elemental entendemos una función estudiada en los cursos iniciales de cálculo. Por ejemplo, polinomios exponenciales logaritmos funciones trigonométricas directas e inversas. Son elementales también 'todas las fu~ciones obtenidas de ellas por un número finito de aplicaciones de las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces y elevación a potencias. Finalmente, incluimos entre las elementales, funciones tales como sen (seno xl en las cuales el argumento de una función previamente clasificada como element~l es reemplazado por una función elemental.


Tópicos odicionoles sobre ecuociones

90

La ecuación, siendo lineal en y, la escribimos dy - 2xy dx = dx,

obteniendo el factor integrante exp ( - x 2 ) , y preparándonos a resolver ( 1)

exp ( - X2) dy - 2xyexp ( - X2) dx = exp ( - X2) dx.

El miembro izquierdo es, por supuesto, la diferencial de y exp ( - X2). Pero el miembro derecho no es la diferencial de cualquier función elemental; esto es, S exp ( - X2) dx no es la integral elemental. Hay varios procedimientos. Escribiríamos una "solución" en la forma

y exp ( - X2) = S exp ( - X2) dx, pero evidentemente es incompleta. No podemos sati'5facer la condición a la frontera con la forma anterior de solución porque haciendo x = O en la integral indefinida ésta no tiene sentido. Ayudémonos con las series de potencias. De la serie co

¿

exp ( - X2)

( _

"=0

1 ) "x 2n

"

n.

obtenida en cálculo, se sigue que

J

exp ( - X2) dx = e

( -1 ) " x 2n+l + ¿ -'--,-:-::-'--"=0 n! ( 2n + 1) co

Entonces la ecuación diferencial ( 1) tiene la solución 1) " x 2" +l ~ . "=0 n . ( 2n + 1) co

+¿

y exp ( - X2) = e

Como y

= 1 cuando x = O,

(

e puede obtenerse de

1=c+0 Por tanto, la solución particular deseada es ( 2 ).

2

co

_

y exp ( - x ) - 1

+ ~

( -1 ) "x 2n +l n! ( 2n + 1

r

Un procedimiento alternativo es la introducción de una integral definida. En cálculo, la función error definida por (3)

2 fer x = _1 v 7i

f'" exp ( -[32) df3 o

se estudia algunas veces. * Como de (3)

* Véase E. D . Rainville, Unified Calculus and Analytic C eom etry. Nueva York: The M acmillan. 1961 , páginas 605-607.


§22]

Soluc iones q ue invol ucran integrales no elementales

~ exp ( -

.!!:...- fer X = dx

91

X2)

,¡;

podemos integrar la ecuación exacta ( 1) como sigue:

(4 )

yexp ( - x 2 ) = -!y-; fer x +c.

Como fer O = O, la condición de que y = 1 cuando x De aquí, como una alternativa para ( 2 ), obtenemos

= O da e = 1.

y exp ( - X2) = 1 + -! y-; fer x

(5)

La ecuación (5) quiere decir lo mismo que

y exp ( - X2) = 1

( 6)

I

+

J:

exp ( -

13 2)

df3.

Escribiendo una solución en la forma (6 ) se implica que la integral definida se evalúa por series de potencias, una integración aproximada como la regla de Simpson, la cuadratura mecánica, o cualquier otro método disp cnible. Si sucede que, como en este caso, la integral definida es en sí misma una función tabulada, esto es de gran conveniencia, pero no es vital. Lo esencial es reducir la solución a una forma calculable. EJERCICIOS

En cada ejercicio, exprésese la solución con la ayuda de series de potencias o con integrales definidas.

1. y' = y[l - exp ( _ X2)]. 2. (xy - sen x) dx

+ X2 dy =

O.

xy = e

SOL.

+

o y = cx-

3. y' = 1 - 4x 3 y. 4. (y cos

2

X -

X

SOL.

sen x) dx

+ ~o

5. (1

+ xy)

dx - x dy

( - 1) n (2n

Y = exp ( _ x 4 ) [e

+ sen x cos x dy = SOL.

Y sen x = e

= O,cuando x = 1,y = O.

J: + J:

w

exp (w) df3 ]

Y = e'"

(~:) - y] dx + x dy = O, cuando x = 1, Y = 2. SOL.

o

+ 1) (2n + 1) !

+

O.

SOL.

6. [ x exp

J

"' sen w --dw,

x2n

~

1

-! y-; fer x.

In (cy) = x -

SOL.

In x =

13 tan 13 df3.

J'"

f 2 exp ( !// z

1

. e-[3 df3.

13

w) df3.


Tópicos ad ici onales sobre ecuaci ones

92

7. x(2y

+ x)

dx - dy

= O; cuando x = O,y = 1.

SOL.

2y = 2 exp (X2) - X +

1- .,,¡-; exp

(X2) fer x.

MISCELÁNEA DE EJERCICIOS

En cada ejercicio, encuéntrese la solución general a menos que el enunciado del ejercicio estipule otra cosa.

+ (2y - 3) dy = O. SOL. + Y + 1) dx + x(x - 3i - 1) dy =

1. (y2 - 3y - x) dx

21.

y2 - 3y - x + 1 = ee-"'. O. SOL. y3 - xy + y + 1 = ex. (x + 3y - 5) dx- (x- y -1 )'dy=0. SOL. 2 (y - 1) = (x + y - 3) ln[e( x + y - 3)]. (x 5 "_ y2) dx + 2xy dy = O. SOL. x 5 + 4y2 = ex. ( 2x + y - 4) dx + (x - 3y + 12) dy = O. SOL . 2X2 + 2xy - 3y2 - 8x + 24y = e. Resuélvase por dos métodos la ecuación y' = ax + by + e con b =1= O. SOL. b2y = elebllJ - abx - a - eb. y3 sec2 x dx - (t' - 2y 2 tanx) dy = O. S OL. y 2 tanx = In (ey). X3y dx + (3x 4 - y3) dy O. SOL. l5 x 4y12 4y15 + e. (alx + ky + el) dx + (kx + b2y + e2) dy = O. SOL. alx2 + 2kxy + b2y 2 + 2elX + 2e2Y = e. (x - 4y + 7) dx + (x + 2y + 1) dy = O. SOL. (x - Y + 4);\ = e (x - 2y + 5) 2. xydx + (y4 - 3X2) dy = O. SOL. X2 = y4(1 + ei). (x+2y-1)dx-(2x+y - 5 ) dy=0. (5x + 3eY ) dx + 2xeY dy = O. SOL. x3(x + eY ) 2 = e. (3x + y - 2 dx + (3x + y + 4) dy = O. SOL . X + Y + e = 3 In (3x + y + 7). (x - 3y + 4) dx + 2 (x - y - 2) dy = O. SOL. (x + y -8 )4 = e (x -2y +1 ). (x - 2) dx + 4 (x + y - 1) dy = O. SOL. 2(y + 1) = - (x + 2y) In [e(x + 2y )]' y dx = x(1 + x~) dy. S OL. y(5 + xJf) = ex. 2x dv + v(2 + v 2x) dx O, cuando x 1, v i. SOL. xv 2 (5x - 1) = 1. 2(x - y) dx + (3x - y - 1) dy = O. SOL. (x+y- 1)4 =e (4x - 2y -1 ) . (2x - 5y + 12 ) dx + (7x - 4y + 15 ) dy = O. SOL . (x + 2y - 3);\ = e (x - y + 3) . ydx + x(x~y - 1) dy = O. SOL. y2(2x2y - 3) = ex 2 •

22.

~~

2. (y3 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

=

=

=

=

=

= tan y cot x - sec y cos x. SOL .

sen y

+ sen x In Ce sen x)

==

o.


Soluciones que involucra n integrales no elementa les

23. [1

+

(x

+

y) 2] dx

+

[1

+

X(X SOL.

+ y)] dy = O. y2 = (X + y) 2 +

93

2ln (x

+ y) +

c.

Resolver por dos métodos los ejercicios 24 y 25.

24. (x - 2y - 1) dx -

(x - 3) dy = O.

SOL . (x - 3)2 (x - 3y) = c. 4) dy = O. SOL. X2 + X - 3xy - y2 + 4y = c. 26. (4x + 3y - 7) dx + (4x + 3y + 1) dy = O. SOL. X + Y + c = 8 In (4x + 3y + 25). 27. Encuéntrese un cambio de variables que reduzca cualquier ecuación de la forma xy' = yf(xy)

25. (2x - 3y

+ 1) dx

- (3x

+ 2y -

a una ecuación de variables separables.

29. 30.

/

31. 32. 33. 34.

35. 36. 37. 38. 39.

+ 4y + 3)

(2x - y - 3) dy = O. SOL. 3(y + 1) = (x + y) In [c(x + y)]. (3x--':'3y-2)dx - (x - y + 1)dy = 0. SOL. 2 (y - 3x + e) = 5 In (.2x - 2y - 3) . (x - 6y + 2) dx + 2(x + 2y + 2) dy = O. SOL. 4y = - (x - 2y+2 ) ln[c (x - 2y + 2)]. O,cuandox 1,y 2. (x 4 - 4x2y2 - y) dx + 4x3y dy SOL. y2(5 - 3x) = x2(5 + 3x). (x - y - 1) dx - 2(y - 2) dy = O. SOL. (X +y-5) 2(X -2y+ 1) = c. (x - 3y + 3) dx + (3x + y + 9) dy = O. SOL. In [(x + 3)2 + y2] = C + 6 Arctan [(x + 3) /y]. (2x + 4y - 1) dx - (x + 2y - 3) dy = O. SOL. In (x + 2y - 1) = y - 2x + c. 4y dx + 3(2x - 1) (dy + y4 dx) O, cuando x 1, y 1. SOL . y3(2x - 1) (5x - 4) = 1. y(x - 1) dx - (x 2 - 2x - 2y) dy = O. SOL. X2 - 2x - 4y = cy2. (6xy - 3y2 + 2y) dx + 2(x - y) dy = O. SOL. y(2x - y) = ce- 3"'. y' = x - y + 2. Resolverla por dos métodos. SOL. In (x - y + 1) = c - x. (x + y - 2) dx - (x - 4y - 2) dy = O.

28. (x

dx -

=

=

SOL.

40. 4 dx

=

+ (x

- y

=

SOL.

=

+ 4y2] + Arctan x ;; 2 = c. Y + 2 Arctan x - ~ + 2 = c.

In [ (x - 2r

+ 2)2 dy = O.

=



CAPÍTULO

5


23. /

TRAYECTORIAS ORTOGONALES; COORDENADAS RECTANGULARES

Supongamos que tenemos una familia de curvas ( 1)

f (xJ YJ c) = OJ

donde cada c corresponde a una curva dentro de algún rango de valores del parámetro c. En ciertas aplicaciones (sección 25) se desea conocer cuáles son las curvas que tienen la propiedad de que cualquiera de ellas al intersectar a alguna de las curvas de la familia ( 1) lo hace en ángulo recto. Esto es, deseamos determinar una familia de curvas (2)

g(XJYJ k) = O

tal que, en cualquier intersección de una curva de la farÚilia ( 2; con una curva de la familia ( 1), las tangentes a las dos curvas sean perpendiculares. Las familias ( 1) Y (2) se llaman trayectorias ortogonales/~' una con respecto a la otra.

* La palabra ortogonal viene del griego opfJr¡ (derecho) y YWPU> (ángulo) ; la palabra trayectoria viene del latín trajectus (cortar a través de). Así una curva que corta otras formando ángulos rectos se llama trayectoria ortogonal de aquellas otras. ' 95


Trayectorias ortogona les

[Ca p. S

Si dos curvas son ortogonales, en cada punto de intersección las pendientes de las curvas deben ser recíprocas y de signo contrario. Este hecho nos lleva a un método para encontrar trayectorias ortogonales de una familia dada de curvas. En primer lugar encontramos la ecuación diferencial de la familia dada . Después reemplazando ~~ por -

~; en esa

ecuación, se obtiene la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a las curvas dadas. Resta solamente resolver la ecuación diferencial. Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones diferenciales de una sola forma, M dx + N dy = O. Para tal ecuación dy _ M dx N' entonces, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es

dy _ N dx M o

Ndx- Mdy = O. EJEMPLo: Encontrar las trayectorias de todas las parábolas con vértice en el origen y foco sobre el eje x. La ecuación algebraica de tales parábolas es (3)

y2 = 4ax.

En consecuencia, de 2

~ = 4a, x encontramos la ecuación diferencial de la familia (3), que es (4)

2x dy - Y dx = O.

Por tanto las trayectorias ortogonales de la familia (3) deben satisfacer la ecuación (5)

2x dx

+ y dy =

O.

De (5) se SIgue que (6)

donde b es la constante arbitraria. Así, las trayectorias ortogonales de (3) son ciertas elipses (6) con centros en el ongen. Ver la figura 9.


97

y

-------+~--~--+44_------x

FIGURA 9

EJERUCIOS

/

En cada ejercicio, encuéntrense las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada. Dibujar unas cuantas curvas representativas de cada familia donde se pida dibujar la figura. 1. x - 4y == e. Dibujar la figura. SOL. 4x + y == k. 2. X2 + y2 == e 2. Dibujar la figura. SOL. y == kx. 3. X2 - i == el' Dibujar la figura. SOL. xy == e2' 4. Circunferencias que pasan por el origen con centro sobre el eje x. Dibújese la figura. SOL. Circunferencias que pasan por el origen con centro en el eje y. 5. Rectas ca;). la pendiente y la intercepción con el eje y iguales. Dibujar la figura. SOL. (x + 1) 2 + y~ == a 2 • 6. y2 == er. Dibujar la figura. SOL. 2X2 + 3y2 == k 2. 7. e" + e-Y == el' SOL. eV - r == e2. 8. y == el(secx + tanx). SOL . y2 == 2(e2 - sen x). 9. x 3 == 3(y - e) . Dibujar la figura. SOL. x(y - k) == 1. 10. x == e exp (y2). SOL. Y == el exp ( _X2) . 11. Y == ee--""', con m fijo. Dibújese la figura. SOL. my2 == 2(x - el). 12. Elipses con centro en (O, O) Y dos vértices en (1, O) Y (-1, O). SOL. X2 + y2 == 2 In (cx) . 13. X2 _ y2 == ex. SOL. y(y2 + 3X2) == el. 14. Las cisoides, y2 == x 3/ (a - x ) . Véase también el ejercicio 14 de la sección 24. SOL. (x 2 + y2)2 == b(2x2 + y2).



98

15. Las trisectrices de Maclaurin, (a + x) y2 = X2 (3a - x ) . Véase también el ejercicio 15 de la sección 24. (X2 + y2 )5 = ey3 (5x2 + y2). SOL. SOL. ya = kxb. 16. ax 2 + by2 = e, con a y b fijos. 2 17. ax + y2 2aex, con a fijo. SOL . Si a =1= 2, (2 - a)x 2 + y2 = elya. Si a = 2, X2 = - y2 In (e.2Y)' SOL. y3 = -3 In (kx). 18. y(x 2 + e) + 2 O. 19. x" + y" = a", manteniendo n fija y n =1= 2. SOL. x ~" - y2-n = e. 20. y2 = X2 (1 -ro ex). SOL. X2 + 3y2 = ClY' 21. y2 = 4x2(1 - ex) . SOL. 2X2 = 3y2(1 - Cly2). 22. y2 = ax 2 (1 - ex), manteniendo a fija. SOL. Sia=l=2, (a - 2)x2 3y2(1 - Cl~2 ). Si a 2, X2 = -3y2ln (e.2Y)' 23. y(x 2 + 1) = ex. SOL. y2 X2 + 2ln [k(x 2 - 1)]. 24. y = 3x - 1 + ee- 3iZ • SOL. 27x 9y - 1 + ke-971 • 25. y2(2x-2 + y2) = c2. SOL. y2 = 2x2ln (kx) .. 26. ~ c2(x 2 + 4y2). SOL. x8(2x2 + 5y2) k 2. 27. x 4 (4x 2 + 3y2) c2. SOL. y8 k'2(3x.2 + 2y2). 28. Para la familia X2 + 3y2 = cy, encuéntrese el miembro de las trayecSOL.;'2 X2 (3x + 1). torias ortogonales que pase por (1, 2) .

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

24.

TRAYECTORIAS ORTOGONALES; COORDENADAS POLARES

Considérese una curva cuya ecuación está expresada en coordenadas polares. En cálculo se muestra que el ángulo ift (figura 10), medido j>OSitivamente en la dirección contraria a las manecillas del reloj desde el radio vector a la recta tangente al punto, está dado por

dO

tan ift = r dr'

8

8

FIGURA 10

FIGURA 11


Coordenadas polares

. 99

Si dos curvas son ortogonales, como son las mostradas en la figura 11 , entonces "'2= "'1 + 1r/2 Y entonces tan "'2 = - cot./!! = - 1/tan"'l. Por tanto, si dos curvas se cortan en ángulos rectos, entonces en el punto de intersección el valor del producto

dO dr

r-

para una curva debe ser recíproco y de signo contrario con respecto al valor de ese producto para la otra curva. Cuando empleamos las coordenadas polares, suponemos que una familia de curvas tiene la ecuación diferencial.

( 1)

+ Q dO

P dr

= O.

Entonces

dO dr

P Q

---

tal que

I

dO 1- = dr

(2)

Pr Q

En consecuencia, la familia de trayectorias ortogonales de las soluciones de (1) deben ser soluciones de la ecuación dfJ

r- =

dr

O

+~

pi

o

Qdr - rPdO =

(3)

o.

EJEMPLO: Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de cardioides r = a ( 1 + cos O) . Unas cuantas curvas de cada familia se muestran en la figura 12. De r - -- - = a

1

la ecuación diferencial (1

+ cos O

+ cosO) dr + rsenO dO =

O

se encuentra de inmediato. E~tonces, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es r sen O dr -

r

(1

+ cos O)

dO = O


y

I

/'

I / __,I____-+I____~~------+_----+_--x \

" FIGURA 12 o '

sen 8 dr - r( 1

+ cos 8) d8

= O.

Separando las variables, usamos la forma

dr _ ( 1 r

+ cos 8)

d8 = O

sen 8

'

o

dr _ ese 8 d8 - cos 8 d8 = O. r

sen 8

De aquí

1n r - In (csc 8 - cat 8) -In sen 8 = In b, así, las trayectorias ortogonales de la familia original de cardioide:. serán r = b sen 8 ( esc 8 - cot 8 ) , o r = b ( 1 - cas 8) . El estudiante deberá mostrar que esta es la misma familia con la que comenzamos, esto es, la familia de cardioides es ortogonal a sí misma. EJERClCIOS

En cada ejercicio, encuéntrense las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada. Dibújense las figuras en los ejerQcios del uno al ocho. 1. r = a cos 2 8. 2. r = acos 28.

SOL. SOL.

r 2 = b sen 8. r4 = b sen 28.

http://carlos2524.jimdo.com/ Potencial eléctrico

§25)

101

3. r = 2a sen O. SOL. r = 2b cos o. 4. r = 2a (senO + cosO ) . SOL. r = 2b(senO - cosO). 5. r = a( l + sen O) . SOL . r = b(l - sen O). 6. r 2 = a sen 20. SOL. r 2 = b cos 20. 2 7. r = 4a sec Otan O. SOL. r ( 1 + sen 2 O) = b2 • 8. r 2 cos 20 = C1. SOL. r 2 sen 20 = C2' 9. r = kj (1 + 2 cos O). SOL. r 2 senS O = b (1 + cos O). 1O.r=k j( 2+cosO). SOL. rsensO=b(1+cosO)2. 11. r = kj (1 + E COS O) con E fijo . ¿ Qué representan k y E geométricamente? SOL. r< sen<+1 O = b (1 + cos O). 12. r = a (1 - 2 sen O) • SOL. r 2 = b cos O (1 + sen O) . 13. Las estrofoides, r = a(sec O tan O) .' SOL. r = be-sen 8. 2 14. Las cisoides, r = a sen O tan O. SOL. r = b (1 + cos 2 O). 15. Las trisectrices de Maclaurin, r = a ( 4 cos O - sec O) . SOL. r5 = b sen S 0(4 cos 2 O + 1). 2 16. r = a(l + sen 0). SOL. r 2 = bcosOcotO.

25.

I

POTENCIAL ELÉCTRICO

La fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas con electricidad es proporcional a la magnitud de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Un campo eléctrico es una porción de espacio del cual queremos considerar sus propiedades eléctricas. Estas propiedades se determinan por la distribución de cargas eléctricas en el campo:* Muy a menudo, el interés está centrado no sobre todo el campo sino sobre alguna porción del mismo que no contiene ninguna carga eléctrica. La fuerza eléctrica resultante en un punto PJ en un campo eléctrico) es la fuerza que podría ejercerse sobre una carga eléctrica unitaria positiva puesta en PJ sin perturbar la distribución previa de cargas eléctricas en el campo. La fuerza resultante tiene tanto dirección como magnitud en cada punto, es pues un vector. Una curva cuya tangente en cada punto sobre la curva está en la c\ireccÍón de la fuerza eléctrica resultante en ese punto, se llama una línea de fuerza o una línea de flujo. La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos en un campo eléctrico, es la cantidad de trabajo necesario para que la fuerza eléctrica mueva una unidad positiva de carga de un punto a otro. Por tanto, el potencial eléctrico está definido excepto por un signo algebraico y una

*

Las cargas electrostáticas serán la s únicas que se considerarán en este análisis.


Trayectarias ortogonales

[Cap. 5

constante aditiva. Si alguna posición fija en el campo eléctrico se usa como un lugar de potencial cero, y si se introduce una convención de signos, el potencial eléctrico queda completamente definido. Ya que nuestro interés estará concentrado sobre la familia de curvas sobre las cuales es constante el potencial, el concepto de diferencia de potencial es suficiente. * Laplace demostró que en cualquier región del espacio no ocupado por una carga eléctrica, la función potencial V satisface la ecuación diferencial parcial 02V 02V 02V ( 1) OX2 . + oy2 + OZ2 = O donde x, y, z, son las coordenadas espaciales rectangulares en el campo eléctrico. Si la distribución de cargas en el campo es tal que la función potencial es independiente de la coordenada z, el problema es bidimensional y la función potencial deberá satisfacer la ecuación

(2) Restringiremos nuestro estudio a situaciones bidimensionales, pero no estamos aún preparados para atacar el problema relativamente difícil de determinar las soluciones apropiadas de (2). Las curvas a lo largo de las cuales el potencial es constante (3)

V = e,

se llaman curvas equipotenciales. Un teorema importante en electricidad establece que: Las líneas de flujo son las trayectorias ortogonales de las curvas equipotenciales. Dada la función potencial, o la familia de curvas equipotenciales, para un campo eléctrico, determinaremos las correspondientes líneas de flujo. Este es simplemente un problema de encontrar las trayectorias ortogonales a una familia dada de curvas. El material de esta y las siguientes dos secciones corresponden a la naturaleza de interpretaciones físicas de problemas en trayectorias ortogonales más bien que a aplicaciones reales. Por ejemplo, en la práctica, no es necesario acudir a los * Al estudiante que domina cálculo avanzado puede ayudarle el saber que el potencial e.léctr~co es una func.ión de las co?rdenadas, tales que en cada punto la derivada direCCIOnal del potenCial es la negativa de la componente de la fuerza eléctrica en esa dirección.

http://carlos2524.jimdo.com/ §2S]

Potencial eléctrico

103

métodos que hemos estudiado aquí para determinar las líneas de flujo, cuando se conocen las curvas equipotenciales. EJEMPLO: Supónganse dos alambres perpendiculares al plano xy y que lo penetran en los puntos (1, O) Y (- 1, O), llevando cada uno de ellos una carga eléctrica estática de igual intensidad, pero de signo opuesto. Puede mostrarse entonces que las líneas equipotenciales son los círculos

(4 )

X2

+

y2 - 2cx

+

1 = O.

Obtener las líneas de flujo y trazar la figura. De (4) se sigue, por eliminación de c, que la familia de curvas equipotenciales tiene la ecuación diferencial (5)

(X2 - y2 - 1) dx

+ 2xy dy =

O.

Ya que las líneas de flujo deberán ser ortogonales a las soluciones de (5), la ecuación diferencial de la famiJia de líneas de flujo es (6)

/

2xy dx - (X2 -

JI -

1) dy = O.

La ecuación (6 ) es lineal en X2. Puede también resolverse encontrando el factor integrante y-2 por inspección. Por uno u otro de estos métodos, se encuentra que la solución general de la ecuación (6) es

(7)

X2 + y2 - 1 = 2ky.

La ecuación ( 7) es la ecuación deseada de la famiJia de líneas de flujo. De (7) obtenemos

(8)

x2 + (y -k )2=1+k2, y

FIGURA 13


[Cap. 5


de aquí se concluye que las líneas de flujo son círculos con centros sobre el eje y y que pasan a través de los puntos ( 1,0 ) y ( -1 ,0 ). Ver figura 13.

26.

TEMPERATURAS DE ESTADO ESTABLE

Considérese la situación a la cual algún objeto físico ha sido sujeto con el propósito de que sus condiciones de temperatura no varíen, y para que, a su vez, los cambios internos de temperatura cesen. Estas condiciones de invariancia externa de temperatura deb en mantenerse durante largo tiempo. Cuando se ha logrado esta estabilización, se dice que el objeto ha alcanzado una condición de estado estable. Si x, y, z, son las coordenadas espaciales rectangulares y T denota la temperatura del estado estable, puede mostrarse que en el interior del objeto la función T debe satisfacer la ecuación de Laplace.

( 1)

o2T OX2

o2T

+ oy2 +

o2T OZ2 =

o.

Si las condiciones de temperatura son tales que no hay variaclOn de temperatura (no hay flujo de calor) , en alguna dirección, tomada como la dirección del eje z, el problema es bidimensional y la ecuación ( 1) puede reemplazarse por ( 2)

o2T

o2T

-;:;-;; +~ uXuy- = o.

Otra vez no intentaremos resolver la ecuación diferencial parcial (2 ) con sus condiciones a la frontera asociadas. Las curvas a lo largo de las cuales la temperatura es constante,

T = c, se llaman isotermas. Las trayectorias ortogonales a las isotermas son las curvas cuyas tangentes dan la dirección del flujo de calor en cualquier punto. Estas líneas se llaman líneas de flujo. Si las isotermas están dadas determinaremos las correspondientes líneas de flujo. EJEMPLO: Una viga de concreto muy larga cuya sección transversal es un sector circular de ángulo IX y radio R tiene una de sus caras planas a la temperatura T 1 y la otra a la temperatura T2, mientras que la superficie curva está aislada c.ontra la transferencia de calor. Excepto cerca de los extremos de la viga, la variación de la temperatura de estado estable es esencialmente bidimensional y se sabe que T está dada por


105

Flujo de un fluido bidimensional

T = TI

+ T 2 -a

TI

Y Arctan-. X

donde las coordenadas x y y están definidas en la figura 14. Trazar las isotermas y las líneas de flujo. y

FIGURA 14

I

En este problema cuando T es constante, entonces, las isotermas tienen la forma

yl x

también es constante,

y = ex Por tanto, la ecuación diferencial de las isotermas es ydx - xdy = O Y la de las líneas de flujo es xdx

+ y dy

= O.

Por tanto las líneas de flujo son X2

+ y2 =

k2

Ambas familias de curvas se muestran en la figura 14.

27.

FLUJO DE UN FLUIDO BIDIMENSIONAL EN EL ESTADO ESTABLE

Si ciertos problemas en el Hu jo de un fluido son suficientemente idealizados, se transforman en problemas bidimensionales de estado estable, en los cuales las trayectorias ortogonales desempeñan un importante papel. En tales problemas los miembros de una familia de curvas



(1 )

1/1 (x, y) = c

[Cap. 5

se llaman líneas de corriente y los miembros de la familia ortogonal a la familia (1),

(2)

rp(x, y) = k,

se llaman curvas equipotenciales. También, la función 1/1 es conocida como la función de corriente y rp es el potencial de velocidad. Tanto la función 1/1 como la rp son soluciones de la misma ecuación diferencial parcial que se satisface por la temperatura de estado estable y por el potencial electrostático. La derivada direccional del potencial de velocidad representa la componente de velocidad del fluido en esa dirección. Consideraremos el flujo de un fluido bidimensional en el cual las condiciones son idénticas en todos los planos paralelos al plano xy, y donde no hay flujo en la dirección perpendicular al plano xy. Como un ejemplo podemos visualizar un problema en el cual una gran parte del fluido está fluyendo con velocidad uniforme, paralelamente al eje x. Un objeto está sumergido en el fluido donde permanece por un gran tiempo. Estamos interesados en el esquema de líneas de corriente cerca del objeto sumergido, después de que las pequeñas perturbaciones, producidas por la inmersión del objeto, han desaparecido por lo que respecta a los efectos medibles. Ya que las líneas de corriente son quizá más fáciles de visualizar para nosotros y, por tanto, podemos hacer preguntas más interesantes sobre ellas, supondremos que están dadas ya sea las curvas equipotenciales o, lo que es la misma cosa, la función potencial de velocidad. Entonces, determinaremos y trazaremos las líneas de corriente. Las fronteras naturales del flujo son líneas de corriente. EJEMPLO: Considérese el efecto de un objeto cilíndrico largo, sumergido en un fluido que está fluyendo con velocidad uniforme en una dirección perpendicular al eje del cilindro. Más allá de los extremos del cilindro, el esquema de líneas de corriente será idéntico en planos perpendiculares al eje del cilindro. Escojamos como nuestra unidad de longitud el radio del cilindro. Dadas las curvas equipotenciales

(3)

(r2+1)cos8=cr

en coordenadas polares con el origen r = O en el centro de la sección transversal circular, determinar y bosquejar las líneas de corriente.


107

o

8=0

FIGURA 15

Deseamos encontrar las trayectorias ortogonales de la familia (3). Primero, obtenemos la ecuación diferencial de las eqmpotenciales (3) en la forma usual, aislando e y diferenciando ambos miembros de la ecuación para obtener

(1 - ~) cos e dr -

(r

+

De sen

dO

= O,

o

(4)

/

(r2 - 1) cos Odr - r( r2 + 1) sen OdO = O.

Entonces la ecuación diferencial de las líneas de corriente es (5) (r 2 + 1) senO dr + r(r2 - 1) cosO dO = O. De (5) se sigue que

r +

r( r

-

1 d

1) r

+

o '

cos O de = sen

e

o

2r

(r - 1) dr + cos ede = O,

2 -

sen e

r( r2 - 1)

de tal forma que necesitamos solamente la ecuación (6)

:r dr _ dr r--l r

+ cos e de = sen e

O.

La solución de (6) es In (r2

1) - In r

-

+ In sen e =

In k J

que puede escribirse como

(7)

(r 2

-

1) sen e = kr.

La ecuación ( 7) representa la deseada familia de líneas de corriente , algunas de estas líneas están mostradas en la figura 15.



CAPÍTULO

6

Funciones hiperbólicas

28. /

DEFINICIóN DE LAS FUNCIONES HIPERBóLICAS Dos combinaciones particulares de funciones exponenciales aparecen con tal frecuencia tanto en matemáticas puras como en aplicadas, que ha valido la pena el uso de símbolos especiales para esas combinaciones. El seno hiperbólico de x, simbolizado por senh x, está definido por (1 )

senhx=

e--r 2 '

y el coseno hiperbólico de x, simbolizado * cosh x, está defini-

do por

(2)

coshx =

e· - e4

2

.

El uso de sÍmbJlos y nombres tan similares a los de trigonometría puede parecer imprudente. Alguna jUf>tificación aparecerá en la siguiente sección. donde se muestra que las

* Otra notación común es Sh x para reemplazar nuestro senh x, también eh x para reemplazar a cosh x. 109

http://carlos2524.jimdo.com/ Funciones hiperbólicos

110

[Copo 6

fórmulas básicas para estas nuevas funciones tienen sorprendente semejanza con las de trigonometría ordinaria. Se mostrará también que el seno y el coseno hiperbólicos se relacionan con la hipérbola equilátera del mismo modo que el seno y el coseno ordinarios (circulares) se relacionan con la circunferencia. En consecuencia cuatro funciones hiperbólicas más se definen como sigue: 1 tanh x = senh x sech x = --h-' coshx' cos x

1

cschx = - senhx'

1 coth x = --h-. tan x

Al resolver ecuaciones diferenciales usamos las funciones senh x y cosh x más frecuentemente que las otras cuatro funciones.

29.

FÓRMULAS BÁSICAS DE TRIGONOMETRíA HIPERBóLICA

De las definiciones de senh x y cos x se sigue que senh 2 x = i( e2'" - 2 + e- 2"') y

así

(1 )

cosh 2 X

-

senh2 x = 1,

una identidad similar a la identidad bien conocida cos2 x + sen2 x = 1 en trigonometría circular. Véanse también los ejercicios 2 y 3. Directamente de la definición encontramos que

y = senhu es equivalente a

De aquí, si u es función de x, entonces

esto es, (2)

d du senhu = cosh u-o dx dx

-


Fórmulas bósicas de trigonometría hiperbólica

111

El mismo método produce el resultado

d du dx cosh u = senh u dx'

(3)

Las deducciones de las correspondientes fórmulas para las derivadas de las otras funciones hiperbólicas se han dejado como ejercicios. Las curvas y = cosh x y y = senh x y están representadas en la figura 16. Ob.. sérvense las propiedades importantes: a) cosh x ~ 1 para todo real x;

b) el único valor real de x para el cual senh x = O es x = O; e) cosh (-x) = cosh x; esto es, cosh x es una función par de x; d) senh ( - x) = - senh x; senh x es una función impar de x.

/

--------~~--------x

Las funciones hiperbólicas no tienen periodo real. Correspondiendo al periodo 2;r que poseen las funciones circulares, hay un periodo 271'i para las seis funciones hiperbólicas. FIGURA 16 La curva que forman una línea de transrrúsión, un cable, un pedazo de alambre, una leontina, etc., suspendidos entre dos puntos, es un coseno hiperbólico. Este resultado se obtiene en el capítulo 19. Con respecto a la palabra hiperbólico en los nombres de las funciones tratadas aquí, considere las ecuaciones (4)

x

= a cosh t,

y

= a senh t.

En las ecuaciones (4), sea t un parámetro, y a una constante fija. Entonces dichas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una hipérbola equilátera porque de cosh 2 t - senh2 t se sigue que

o

=1

http://carlos2524.jimdo.com/ Funciones hiperbólicas

112

[Cap. 6

Esto es análogo al resultado de que las dos ecuaciones

= a cos t;

x

y

= a sen t

son ecuaciones p ar ámetricas de la circunferencia X2 + y2 = a 2• En 10s textos de trigonometría elemental se da generalmente una representación lineal de las seis funciones trigonométricas en una figura basada en una circunferencia de radio unitario. Se puede obtener una representación lineal similar';':' para las seis funciones hiperbólicas. Las fórmulas usadas para definir el seno y el coseno hiperbólicos también tienen análogos en el estudio de las funciones trigonométricas. La definición dada en la página 141 para la función exponencial con exponentes puramente imaginarios puede emplearse para deducir las fórmulas pertinentes. Los resultados se muestran en el ejercicio 24.

EJERCICIOS

En los ejercicios del uno al dieciséis, pruébense las propiedades establecidas para las funciones hiperbólicas.. Úsense las definicio::les, los resultados del texto, o las propiedades obtenidas en cualquiera de los'ejercicios previos.

=-

=

1. senh ( - x) senh x; cosh ( - x) cosh x; tanh ( - x) 2. sech 2 x = 1 - tanh 2 x. 3. csch 2 X = coth 2 X - 1. 4. e" cosh x senh x; e-2 cosh x - senh x. 2 5. senh y = i(cosh 2y - 1) . 6. cosh 2 y = .} (cosh 2y 1) . 7. cosh 2y = cosh 2 y senh 2 y = 2 cosh 2 y - 1 = 2 senh 2 y 1. 8. senh 2y = 2 senh y cosh y. 9. senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y; senh (x - y) = senh x cosh y - cosh x senh y. 10. cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y; cosh (x - y) = cosh x cosh y - senh x senh y. 11. tanh (x ) tanh x tanh y . +y 1 tanh x tanh y' tanh x - tanh y tanh (x - y) 1 - tanh x tanh y' d du 12. die cosh u = senh u dx'

=

= - tanh x.

=

+

+

+

+

+

+

* Véase C. A. Hutchinson, "Representación lineal de las funciones hiperbólicas", Amer. Math. Monthly, 40, 1933, páginas 413-414.


113

Fórmulas básica s de trigonometría hiperbólica

13.

:!x tanh

U

= sech

2

~~.

U

d du 14. d- csch U = - csch U coth U -d. X

X

d du 15. - sech U = - sech U tanh u-d. dx X

d th h2 du 16 . dx co U = - csc U dx' 17. Obténgase la ecuación diferencial formada por eliminación de las e2 cosh (kx) . constantes el y e2 de y = el senh (kx) d' SOL. -...:1 - k2y = o.

+

d X2

18. Resuélvase la ecuación (ysenhx - y

+ 2x)

x) dy = O.

SOL. y cosh x - xy + X2 = c. (x'Z + 1) (1 - Y tanh y) dy = O. SOL. y2 (X2 + 1) = e cosh 2 y. 20. Resuélvase la ecuación y' senh x = 1 - 2y cosh x. SOL. y senh 2 x = e + cosh x. 21. Encuéntrense las trayectorias ortogonales a las curvas sen x cosh y = c. SOL. COS x senh y = k. 22. Defínase el seno hiperbólico i:1Verso de x, escribiendo y = senh-1 x, por la ecuación. x = senhy o

'19. Resuélvase la ecuación xy dx

I

+ (coshx -

dx

+

x = t(e V

(A)

e-V

-

Póngase (A) en la forma e2V

-

2xev - 1 = O

y de este modo conclúyase que

y

= senh- l x = In (x + V + 1) X2

indicando por qué y = In (x - VX2 + 1) queda excluida. 23. Con la notación del ejercicio 22, muéstrese que dx =-r===== VI + X2

dsenh-lx 24. Para el real x defínase eix como

ei'" = cos x

+ i sen x.

Entonces pruébese que sen x

=

ei'" - e- i '"

2i

' cos x

=

ei'"

+ e- i .. 2

.



CAPÍTULO

7

Ecuaciones diferenciales lineales

30.

LA ECUACIóN LINEAL GENERAL La ecuación diferencial lineal general de orden n puede escribirse como

( 1)

dy

+ bn-l(X) dx + bn(x)y =

R (x).

Las funciones R (x) y b.¡( x); i = 0, 1,' . " n, son independientes de la variable y. Si R (x) es idénticamente igual a cero, la ecuación ( 1) se llama homogénea; si R (x) no es idénticamente igual a cero, la ecuación (1) se Barna no homogénea. Aquí la palabra homogénea se emplea con referencia a las cantidades y, y', y", .. " y(n) ; y nada tiene que ver con la forma en la que x aparece en la ecuación. En este capítulo obtendremos algunas propiedades importantes y fundamentales de las ecuaciones lineales. Usaremos una convención común para simplificar la redacción de la presentación relativa a las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales. Cuando una relación y = f( x) 115


[Ca p 7


es una solución de una ecuación diferencial lineal, también llamaremos a f (x) una solución de la ecuación diferencial. Primero probaremos que si y1 y y2 son soluciones de la ecuación homogénea (2) bo(x)y(n) + b1 (X)y(n-1) + ... + b1>-l (X) Y' + bn(x)y = O,

y si C1 y

C2

son constantes, entonces

y = Clyl

+ {)2Y2

es una solución de la ecuación (2). El enunciado de que yl y y2 son soluciones de (2) quiere decir que ('3 )

y (4)

boY2 (n)

+

b1Y2 (11- 1)

+ ... +

bn-l y'2

+

bn y2 = O•

Ahora multipliquemos cada miembro de (3) por CI, cada miembro de ( 4) por C2, y sumemos los resultados. Obtenemos

(5)

bo[ C1yl (n)

+

C2)12 (n)]

+

+ C:Zy2 + ... + bn _ l [C 1Y; + c y;] + b,.[41Y1 +

bl [ Clyl (n-l)

(11-1)]

2

C2 Y2] = O.

En vista de que C1y: + C2y~ = (ClY'l + C2y2)', etc., la ecuación (5 ) es ni más ni menos que el enunciado de que Clyr + C2y2 es una solución de la ecuación (2) . La prueba está completa. El caso especial C2 = O no vale la pena; esto es, para una ecuación lineal homogénea una solución multiplicada por cualquier constante es también una solución. En forma similar, o por iteración del resultado anterior, se puede ver que si y.; i = 1, 2, "' , k) son soluciones de la ecuación (2), Y si Ci; i = 1,2, .. " k, son constantes, entonces

y = Clyl

+

C'2y2

+ .. . +

Ckyk

es una solución de la ecuación (2) .

31.

INDEPENDENCIA LINEAL

Dadas las funciones fl (x), ... , fn( x), si existen constantes Cn) no todas cero, tales que

Cl

C2, .

( 1) idénticamente en algún intervalo a:S; x :s; b, entonces, las funciones fl( X), f2(X ),· .. ,fn(x) se llaman linealmente dependient'es. Si tal


El wronskiano

§32]

relación no existe, las funciones son llamadas linealmente independi'entes. Esto es, las funciones tI, t2, ... , tn son linealmente independientes cuando la ecuación ( 1) implica que el = e2 = . . . = en = O. Si las funciones de un conjunto son linealmente dependientes, entonces al menos una de ellas es una combinación lineal de las otras; si ellas son linealmente independientes, ninguna es una combinación lineal de las otras.

32.

EL WRONSKIANO

Con las definiciones de la seCClon 31 en mente, obtendremos ahora una condición suficiente para que n funciones sean linealmente independientes en un intervalo a ::; x ::; b. Supongamos que cada una de las funciones f,(X), f2(X),· .. ,fn(X) es diferenciable al menos ( n - 1) veces en el intervalo a ::; x ::; b. Entonces de la ecuación ( 1)

por diferenciación sucesiva se sigue que

eJ; + e2f; + .. . + enf: = 0, eJ:' + e2f~ + ... + e"f~ = 0', elfl ( n-l)

+ e4'2(n-1) + ... + enf,,(n-l)

= O.

Considerando como un sistema de ecuaciones en el, e2, ... , en, las n ecuaciones lineales anteriores no tendrán solución, excepto aquella que tenga todas las e iguales a cero, si el determinante del sistema no es nulo. Esto es, si

f" f'n

t'~

(2)

fl (n-1) f2(n-1)

=i= 0,

f,. (,.-1)

entonces las funciones h, f2, ... ,fn son linealmente independientes. El determinante en ( 2) se llama el wronskiano de las n funciones involucradas. Mostraremos que la no anulación del wronskiano es una condición suficiente para que las funciones sean linealmente independientes. La anulación del wronskiano es un intervalo, no es una condición necesaria para la independencia lineal. El wronskiano puede anularse



[Cap 7

también cuando las funciones son linealmente independientes, como se muestra en el ejercicio 9. Si las n funciones involucradas son soluciones de una ecuación diferenciallineal homogénea, la situación se simplifica como se muestra en el teorema siguiente. La demostración se omite. ~ b, bo(x) =1=- O, bo, bl, . b.., son constantes y yl, y2, ... ,y1l son soluciones de la ecuación

TEOREMA 4: Si, sobre el intervalo a :::; x ( 3)

boy(1I)

+ bly(n-l) + ... + b..-1Y' + b..y =

O,

entonces una condición necesaria y suficient-e para que las yl, ... y .. sean linealmente independientes es la no anulación del wronskiano de yl, ... , y .. sobre el intervalo a ~ x ~ b. Las funciones cos wt, sen (JJt, sen ((JJf + a), en las que t es la variable y a son constantes, son linealmente dependientes debido a que existen constantes Cl, C2, Ca tales que

y

w

Cl

cos wt

+ C2 sen wt + Casen (wt + a)

= O

para toda t. Por cierto, un conjunto de tales constantes es Cl = sen a, C2 COS a, Ca 1. Uno de los conjuntos más conocidos de n funciones de x linealmente independientes es el conjunto 1, x, x 2 , • • • ,X»-l. La independencia lineal de las potencias de x se obtiene de inmediato del hecho de que si el, C2, ... , Cn no todas son cero, la ecuación

=

=-

Cl

+ C2X + ... + CnX..~l =

O

puede tener, a lo más, (n - 1 ) raíces distintas y así no pueden anularse idénticamente en cualquier intervalo. Véase también el ejercicio 1. EJERClCIOS

1. Obténgase el wronskiano de las funciones 1, x, x 2 , • • • , Xn-l para n > 1. SOL. W = 0!1!2! ... (n - 1)!. 2. Demuéstrese que las funciones eX, e 2X, e 3X, son linealmente independientes. SOL. W = 2e 6X =1=- O. 3. Demuéstrese que las funciones eX, cos X, sen X son linealmente independientes. SOL. W = 2ex =1=- O. 4. Por determinación de las constantes Cl, C2' Ca, C4, no todas cero, y tales que cdl + cz/2 + c3f3 + c4f4 = O idénticamente, demuéstrese que las funciones


t1

= X,f2 = e",f3 = Xe",f4 = (2 -

6. 7. 8.

9.

3x)e:r:

son linealmente dependientes. SOL. Un conju:1to de las e es: el O, e2 -2, e3 3, e4 1. Demuéstrese qu~ cos (wt - [3), cos wt, sen ",t son funciones de t linealmente dependientes. Demuéstrese que 1, sen x, cos x son linealmente independientes. Demuéstrese que 1, sen 2x, cos 2 x son linealmente dependientes. Demuéstrese que dos funciones diferenciables de x no nulas, son linealmente dependientes si, y sólo si, su wro:1skiano es idénticamente nulo. Este enunciado sólo es válido para dos funciones. Sea 11 (x) 1 + x 3 para x :s; 0,/1 (x) 1 para x ~ O; 12(x) = 1parax:S;0,f2(x) = 1 +x3 parax~0 ; 13 (x) = 3 + x 3 para toda x. Demuéstrese que: a) 1,1', f" son continuas para toda x para cada una de las 11,/2, /3; b) el wronskiano de 11' 12, 13 es cero para toda x; e) 11,12,13 son linealmente independientes sobre el intervalo - 1 :s; x :s; 1. En la parte e) demuéstrese que si ed1(x) + e-¡h (x) + esf3(x) = O para toda x en el intervalo -1 :s; x :s; 1, el e;2 e3 O. Empléese x = -1, O, 1 sucesivame:1te para obtener tres ecuaciones a resolver en el, e2 Y ca·

=

5.

119

Solución generol de una ecuación homogénea

§33]

=

=

=

=

=

= = =

33.

SOLUCIóN GENERAL DE UNA ECUACIÓN HOMOGÉNEA

Sean yl, Y2,' .. ,Yn soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea

( 1)

bo( x)y
+ bn (x)y =

O.

Entonces, la solución general de la ecuación ( 1) es (2)

donde el, e2, ' " en son constantes arbitrarias. Hasta cierto punto, cada solución particular de la ecuación diferencial lineal (1) es un caso especial, según se escojan las constantes e, de la solución general de (2). Las ideas básicas para la demostración de este importante resultado se muestran aquí para la ecuación de orden dos. No hay complicaciones adicionales para la·s ecuaciones de mayor orden. Considérese la ecuación (3)

bo( x )y"

+

bl (X)Y'

+

b:2(x)y = O.



[Cap 7

Sea la relación (4 )

y = f(x)

cualquier solución particular de la ecuación (3), siendo válida la solución en algún intervalo a < x < b en el cual bo(x ) no es nulo, y en el cual las funciones bd bo y bd bo poseen derivadas de todos los órdenes. Suponemos (puede ser probado) que en x = a, dentro del intervalo estipulado, f (x) se comporta suficientemente bien para garantizar que la serie de Taylor para f (x ) , 00

(5)

f (x) =

k~O

¡
(x _ a )k k! '

converge a f (x) en algún intervalo alrededor de x = a. Entonces, la solución f (x) se determina completamente mediante el conocimiento de f (a) y f' (a ), los valores de f y f' tomados en algún punto a dentro del intervalo. Como podemos dividir entre bo(x), la ecuación (3 ) produce y" en términos de y, y', y los coeficientes conocidos en la ecuación. Entonces, y" ( a) = f" (a) pueden ser determinados. La diferenciación sucesiva de la ecuación y" pr9ducirá derivadas de mayor orden. Así, ¡
I

Considérese la solución

(7 ) de la cual Deseamos escoger Cl y C2 de tal modo que la y de la ecuación (7) pase a ser la solución f (x). Pero, podemos seguramente forzar que la y sea tal que y (a) = f (a) y y' (a) . = f'(a). Esto es, las ecuaciones


121

Solución general de una ecuación no homogéneo

+ C2y2( a) = f (a), + C2y; ( a) = f' (a) ,

Clyl (a) ClY: ( a)

(8)

pueden resolverse para Cl y Cz debido a la desigualdad (6), la no anulación del wronskiano. Entonces, f (x) y y(x) tienen la misma serie de Taylor (5), así ellas son idénticas. Es necesario tener en mente que en la anterior discusión se usa el hecho de que bo(x) =F en el intervalo a < x < b. Es fácil ver que la ecuación lineal xy' - 2y =

°

°

tiene la solución general y = como

cr

y también soluciones particulares tales

O:::; x,

x< O. La solución yl no es un caso especial de la solución general. Pero en cualquier intervalo en el cual b o (x) = x =F 0, esta solución particular es un caso especial de la solución general. Fue construida, por supuesto, poniendo juntas dos partes en x = 0, cada una de ellas extraida de la solución general.

34.

SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACIóN NO HOMOGÉNEA

Sea yp cualquier solución particular (no necesariamente conteniendo constantes arbitrarias) de la ecuación

y sea ye una solución de la ecuación homogénea correspondiente (2)

Entonces y = Ye

(3)

+ yp

es una solución de la ecuación (1). Usando la y de la ecuación (3) vemos que

boy(n)

+ ... + b"y =

( boye(n)

+ ... + b"ye) +

= 0+ R ( x) = R ( x) .

(boyp(n ) +

. .. + bnyp)



[Cap 7

Si yl, y2, . . " y" son soluciones linealmente independientes de la ecuación (2), entonces (4)

en la cual las c son constantes arbitrarias, es la solución general de la ecuación (2). El miembro derecho de la ecuación (4) se llama la función complementaria de la ecuación ( 1). La solución general de la ecuación no homogénea (1) es la suma de la función complementaria y cualquier solución particular. Por ejemplo, considérese la ecuación

y" - y = 4.

(5)

Es fácil ver que y = - 4 es una solución de la ecuación (5). Por tanto la Yv en la ecuación (3) puede tomarse como (- 4). Como veremos adelante, la ecuación homogénea

y"-y = O tiene como solución general

yc = Cl.e'''

+ c2e-!/:.

De este modo la función complementaria para la ecuaClOn (5) es (cle" + c2r ) y una solución particular de (5) es yp' = - 4. De aquÍ, la solución general de la ecuación (5) es

y= en la cual

35.

CI

Cle'"

+ C2e-!/: -

4,

y C2 son constantes arbitrarias.

OPERADORES DIFERENCIALES

Supóngase que D denota la diferenciación con respecto a x. D2 la segunda diferenciación con respecto a x, y así sucesivamente, esto es, para el entero k, dk D ky -- ---.l d~' La expresión

( 1) se Ilama un operador diferencial de orden n. Puede defiJ.irse como el operador que, cuando es aplicado a cualquier función * y, produce el resultado

* Se supone que la función y posee tantas derivadas como las que puedan encontrarse en las operaciones que tengan lugar.


(2)

123

Operadores diferenciales

d"y dxn

Ay = ao- +

d"-'y a,--+ . dX'O-l

Los coeficientes Ck, a,·, . . . , an en el operador A pueden ser funciones de x, pero en este libro solamente usaremos los operadores con coeficientes constantes. Se dice que dos operadores A y B son iguales si, y sólo si, producen el mismo resultado cuando cada uno de ellos actúa sobre la función y. Esto es, A = B si, y sólo si, Ay = By para todas las funciones y que posean las derivadas necesarias para las operaciones involucradas. El producto AB de dos operadores A y B está definido como el operador que produce el mismo resultado que se obtendría usando el operador B seguido del operador A. Así A By = A (By) . El producto de dos operadores diferenciales siempre existe y es un operador diferencial. Para operadores con co.eficientes constantes, pero no generalmente para los de coeficientes variables, es verdad que AB = BA.

a ): Sea A = D Entonces

EJEMPLO

By

+ 2 YB

= (3 D -

= 3D -l.

1) y

= 3 dy dx

Y

y

y)

+ 2) (3 :~ -

A (By) = (D 2

= 3 d y _ dy dX2 dx

+ 6 dy _ dx

2 y

2

= 3 d y + 5 dy - 2 dX2 dx y

= (3D 2 + 5D - 2)y. De aquí AB

= (D + 2) (3D -

1)

= 3D + 5D 2

2.

Ahora considérese BA. Actuando sobre y, el operador BA produce

B (Ay) = (3D - 1)

(:~ + 2Y)

= 3 d~y + 6 dy _ dy - 2 dX2 dx dx y 2

= 3 d y + 5 dv - 2y. dX2 dx


Ecuaciones d iferenciales linea les

[Cap 7

Por tanto

+ 5D -

BA = 3D 2 EJEMPLO

b): Sea

e=

xD

+ 2,

e(Hy) = (xD

2 = AB.

Y H = D - 1. Entonces

+ 2) (~~ -

y)

d2 d d = x~ - x~+ 2~ - 2y dX2 dx dx 2

=

dy x-+ dX2

Así

dy dx

(2 - x)- - 2y,

eH = XD2

+

(2 - x)D - 2.

He = XD2

+

(3 - x)D - 2.

Por otro lado

esto es, Es digno de mencionarse que cuando tenemos dos operadores e y H (uno de ellos con coeficientes variables), su producto depende del orden de los factores. Sobre este tema, véanse también los ejercicios 17-22 de la siguiente sección. La suma de dos operadores diferenciales se obtiene expresando cada uno de ellos en la forma

y sumando los coeficientes correspondientes. Por ejemplo, si

A = 3D2 - D

+x -

2

y

entonces A

+B =

(3

+ X2) D + 3D + x + 5. 2

http://carlos2524.jimdo.com/ Leyes fundamentales de operación

§36)

125

Los operadores diferenciales son operadores lineales; esto es, si A es cualquier operador diferencial, si C1 y C2 son constantes, y si f1 y f2 son funciones cualesquiera de x, cada una poseyendo el requerido número de derivadas, entonces

A (c1f1

36.

+

C'2f2) = c1Af1

+

c2Af2.

LEYES FUNDAMENTALES DE OPERACIóN

Sean A, B Y C operadores diferenciales cualesquiera como los definidos en la sección 35. Con las anteriores definiciones de adición y multiplicación, se sigue que los operadores diferenciales satisfacen las siguientes leyes: 1) La ley conmutativa de la adición:

A

+B=

B

+ A.

A

+ (B + C).

2) La ley asociativa de la adición: (A

+ B) + C =

3) La ley asociativa de la multiplicación:

(A B)C = A(BC). 4) La ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:

A(B+C) = AB+AC. Si A, B y C son operadores con coeficientes constant'es, también satisfacen 5) La ley conmutativa de la multiplicación:

AB = BA. Por tanto, los operadores diferenciales con coeficientes constantes satisfacen todas las leyes de álgebra ordinaria ,+ con respecto a la multiplicación y a la adición. En el capítulo 10 trataremos la división de operadores. Si m y n son dos enteros positivos cualesquiera, entonces

un resultado útil que se obtiene inmediatamente de las definiciones.

* Véase cualquier álgebra elemental, por ejemplo la de J R. Britton y L. C. Snively, Algebra lar Callege Students. Nueva York: Rinehart, 1954, p áginas 31-32.

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones diferenciales lineales

126

[Cap 7

Ya que para propósitos de adición y multiplicación los operadores con coeficientes constantes se comportan exactamente como se conducen los polinomios algebraicos, es legítimo emplear las herramientas del álgebra elemental. En particular, la división sintética puede emplearse para factorizar operadores con coeficientes constantes.

EJERCICIOS

Ejecútense las multiplicaciones indicadas en los ejercicios 1-4. 1. (4D + 1) (D - 2). 2. (2D - 3) (2D + 3). 3. (D + 2) (D2 - 2D + 5). 4. (D - 2) (D + 1) 2.

SOL. SOL. SOL.

4D2 - 7D SOL. 4D2 D3 + D + D3 - 3D -

2. 9. 10.

2.

En los ejercicios 5-16, factorÍcense cada uno de los operadores.

5. 2D2 + 3D - 2. 6. 2D2 - 5D - 12.

12. 13. 14. 15. 16.

+ 2) (2D - 1). 1) (D + 2) (D - 3). D2( J? - 2) (D + 2) . (D

+ 6. SOL. (D 4D3 - 4D2 - lID + 6. D4 - 4D2. SOL. D3 - 3D2 + 4. D3 - 21D + 20. SOL. (D - 1) (D - 4) (D + 5). 2D3 - D2 - 13D - 6. 2D4 + l1D3 + 18D2 + 4D - 8. SOL. (D + 2)3(2D - 1). 8D4 + 36D3 - 66D2 + 35D - 6. D4 + D3 - 2D2 + 4D - 24. SOL. (D - 2) (D + 3) (D2 + 4). DS _ l1D - 20. SOL. (D - 4) (D 2 + 4D + 5).

7. D3 - 2D2 - 5D 8. 9. 10. 11.

SOL.

Ejecútense las multiplicaciones indicadas en los ejercicios 17-22.

17. (D - x) (D

+

+ x).

SOL.

20. (xD - I)D. 21. (xD

+ 2) (xD - 1). + 2) .

22. (xD - 1) (xD 37.

SOL. SOL.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS OPERADORES DIFERENCIALES

Ya que para la constante m y el entero positivo k,

(1 )

D2 + 1 - r. D2 - 1 - X2. SOL. XD2. SOL. XD2 - D. x2D2 + 2xD - 2. x2D2 + 2xD - 2.

SOL.

18. (D x) (D - x). 19. D (xD - 1).


Algunas propiedades de los operadores diferenciales

127

es fácil encontrar el efecto que produce un operador sobre en"". Sea I (D) un polinomio en D,

(2)

I(D) =

+

~D"

+ .. . + a"'-lD +

a 1 Dn+1

ano

Entonces

así f (D) e1WlJ = eP"'f( m).

(3)

Si m es una raíz de la ecuación f (m) = O, entonces en vista de la ecuación (3), f (D)em" = O.

2m 2 o

+

2D 2

EJEMPLO: Sea f(D) f(m) = O es

5D -

+ 5m -

12. Entonces la ecuación

12 = O,

(m +4) (2m -3)=0,

de la cual las raíces son ml = -4 Y m2 = 3/2. Con la ayuda de la anterior ecuación (3) se puede ver que

(2D 2

+ 5D -

12)e-4Z = O

y que

(2D 2

+ 5D -

12) exp

En otras palabras, yl = e- 4" y yz = exp

(2D 2

+ 5D -

(~x) 2

(~x) 2

= O.

son soluciones de

12) Y = O.

Ahora considérese el efedo del operador (D - m) sobre el producto de em: y una potencia de X. Ya que

(D - m) (x"e m,,) = obtenemos Entonces

k~lem"

+ mx"em" -

mx"e""',

(D - m) (x"e m,,) = kx"-le m". (D - m) 2 (x"em,,) = k(D - m)

(~lem.,)

= k(k - 1 )~2em.,. Repitiendo la operación, llegamos a (D - m)"(x"e mz ) = k (k - 1) . .. 2 . lxOe fMJ

= k!e=.


Ecuaciones diferenciales l ineales

Pero (D - m) e"''' = O. Por tanto, para toda n (4)

[Cap 7

> k,

(D - m)n (x"e""') = O.

Será conveniente considerar al exponente de x, en (4) como variable, más bien que el exponente del operador (D - m). De aquí reescribimos (4) como

( 5)

(D - m)" ( xkem Z ) = O para k = O, 1, 2, ... , (n - 1).

La ecuación (5) forma la base para todas las soluciones obtenidas en el siguiente capítulo.

38.

LA ENÉSIMA DERIVADA DE UN PRODUCTO

A menudo conviene tener habilidad para escribir la derivada de un producto de funciones de mayor orden sin haber obtenido las derivadas de menor orden. Por ejemplo, podemos desear saber la forma de la cuarta derivada de la función

y = x 2e3Z pero no tenemos la necesidad de la primera, segunda, o la tercera derivadas. U na fórmula para la enésima derivada del producto de dos funciones fue descubierta por Leibniz. Ya que esta fórmula no siempre es incluida en un primer curso de cálculo, será expuesta aquí. Considérese el producto

( 1)

y = uv

en el cual u y v son funciones de la variable independiente x. Empleemos la notación d"u (n) _ U - dx"' incluyendo u(O) = u Yu(l) = u', junto con notaciones similares para las derivadas de v y y. De la ecuación (1) obtenemos, por 11 regla usual de la derivada de un producto, el resultado

y' = u'v o

(2)

+ uv',

http://carlos2524.jimdo.com/ §38)

129

La enésima derivada de un producto

Ahora diferenciemos ambos miembros de la ecuación (2) con respecto a x, manteniendo en mente que cada término del lado derecho de la ecuación ( 2) es un producto de funciones. De este modo obtenemos y(2)

=

+

U ( 2 ) V ( 0)

U(l)V(l)

+

U(l ) V(l)

+

U(0)V(2),

o

(3)

Otro de estos pasos nos lleva al resultado (4)

y( 3 )

=

U( 3 )V ( 0)

+

3U(2)V(1)

+

3U(1)V(2)

+

U(0)V(3l,

para la tercera derivada de un producto. La semejanza de las ecuaciones (3) Y (4) a los desarrollos binomiales

(a

+ b)

2

= a2

+ 2ab + b

2

y

es notable. Esto alienta a continuar hacia la fórmula general. La regla de Leibniz para la enésima derivada de un producto es: Si y = UV, entonces

yen) =

(5)

n

~ Cn,kU (n-k) V(k), 70=0

en el cual

Cn,k

es el coeficiente binomial

Cn,k

nI n (n-l) ··(n-k+l) = k' (n - k) I = ----'----=-----k,--'--'------'-·

La ecuación (5) puede ser comprobada fácilmente, por inducción, con la ayuda de la relación (6)

Cn,k

+ Cn,k+1 =

Cn+1,k+1,

siendo la anterior una propiedad fundamental del triángulo de Pascal.* La regla de Leibniz es particularmente simple de usar cuando los factores involucrados son exponenciales simples, potencias de x, o senos o cosenos. EJEMPLO a): Encontrar la cuarta derivada del producto

* Véase J. R. Britton y L. C. Snively, Algebra tor College Students. Nueva York: Rinehart, 1954, páginas 277-279.

http://carlos2524.jimdo.com/ [Cap 7

Ecuacianes diferenciales li nea les

130

Primero tenemos en mente los coeficientes del desarrollo binomial de (a + b) 4-0 construimos el triángulo de Pascal lo suficientemente grande para obtenerlos. Los coeficientes requeridos son 1, 4, 6, 4, l. Ahora formamos el producto de cada uno de estos coeficientes con las correspondientes derivadas sucesivas, escribimos entonces,

y después llenamos los espacios vacíos con la sucesión apropiada de derivadas. Llegamos entonces, en paso posterior, con un poco de práctica al resultado y( 4 )

= (X2) (81e 3Z )

+ 4 (2x)

o

y(4)

(27e 3Z )

= 9¿¡3"(9x 2

+ 6 (2)

(ge3") + 4 (0) (3e 3")

+

(O) (e 3Z ),

+ 24x + 12).

EJEMPLO b): Encontrar la tercera derivada de w = e2Z cos 3x. Formamos 2 W ( 3) = (e ") ( ) + 3( ) ( + 3( ) ( ) + ( ) (cos 3x),

y llenando los espacios obtenemos W ( 3)

= (e2") (27sen3x) + 3(2e 2") ( - 9cos'3x) + 3(4e 2") ( - 3 sen3x) + (8e 2" ) (cos3x),

o W ( 3)

= e2Z [( 27 - 36) sen 3x

+ (8 -

54) cos 3x].

Finalmente, tenemos W (3 )

= - e2Z (9 sen 3x + 46cos3x).

El método es particularmente agradable, por supueGto, cuando alguno de los términos se elimina como sucedió en el ejemplo a) EJEMPLO e): Encontrar la cuarta derivada de v = x sen 3x. De inmediato, como 3 4 = 81 Y 3 3 • 4 = 108, escribimos V(4)

= 81x sen 3x -

108 cos 3x. EJERCICIOS

Las soluciones de estos ejercicios pueden verificarse, además de la eficacia del método investigado, obteniendo las derivadas deseadas tambib por diferenciación sucesiva. SOL. y(2) = e" (x 3 + 6X2 + 6x ) . 1. Obténgase y (2) de y = x3e".


131

la enésima derivada de un producto

2. Obténgase y(2) de y = x'e-ll:. 3. Obténgase y(2) de y = x sen 2x. SOL.

y(2) = -4x sen 2x

+ 4 cos 2x.

4. Obténgase y(2) de y = x cos 2x. 5. Obténgase y(3) de y = X 2 cos 4x. SOL'. y (3 ) = 64x2 sen 4x - 96x cos 4x - 24 sen 4x. 6. Obténgase y(S) de y = X2 sen 3x. 3 7. Obténgase V(3) de v = xe 3"'. SOL. V ( 3) = 27e "(x 1). 8. Obténgase V(3) de v = x sen 4x. V (3 ) = 64x cos 4x - 48 sen 4x. Sal;. 2X 9. Obténgase y(4) de y = xe-2X • SOL. y ( 4) = 16e(x - 2). 3 10. Obténgase y(4) de y = xe- "'. 11. Obténgase y(4) de y = x sen 2x. SOL. y(4) = 16x sen 2x - 32 cos 2x. 12. Obténgase y(4) de y = x cos 2x. 13. Obténgase y(4) de y = x 2 e"'. 14. Obténgase y(4) de y = x 2 e-X. 15. Obténgase y(4) de y = X2 sen x. SOL. y(4) = X2 sen x 8x cos x - 12 sen x. 16. Obténgase y(4) de y = X2 cos X.

+



CAPÍTULO

8


39.

INTRODUCCIÓN Dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se presentan en este libro. Una técnica clásica es tratada en este y el siguiente capítulo. Los capítulos 11 y 12 contienen un desarrollo de la transformada de Laplace y su uso en la resolución de ecuaciones diferenciales. Cada uno de los métodos tiene sus ventajas y desventajas. Ambos son teóricamente suficientes; pero los dos son necesarios para un máximo de eficiencia.

40.

LA ECUACIÓN AUXILIAR; RAtCES DISTINTAS

Cualquier ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes,

(1 )

dny aodx"

dn-ly

+ al -+ dXn-l

.. .

dy

+ an-l+ any = dx

° '

puede representarse en la forma

(2)

f(D)y = 0, 133

.

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones 'l ineales con cQéficientes constantes

134

[Cap. 8

donde f (D) es un operador diferencial lineal. Como vimos en el capítulo anterior, si m es cualquier raíz algebraica de la ecuación f( m) = O, entonces f(D)em3: = O, la cual significa simplemente que y = e'nz es una solución de la ecuación ( 2 ). La ecuación

f (m) = O

(3)

se llama la ecuación auxiliar asociada con (1) o (2). La ecuación auxiliar de ( 1) es de grado n. Sean sus raíces mI, m 2, . . " m". Si todas son reales y distintas, entonces las n soluciones

yl

= exp (mlx), y2 = exp (m2x), ... ,y" = exp (m"x)

son linealmente independientes y la solución general de (1) puede escribirse de inmediato. Esto es

y=

CI

exp (mlx)

+ C2exp (m2x) + ... + en exp (mnX) ,

en la cual CI, C2, ... , en son constantes arbitrarias. Las raíces repetidas de la ecuación auxiliar serán tratadas en la siguiente sección. Las raíces imaginarias serán tratadas en la sec'ción 43, donde las correspondientes soluciones serán puestas en una forma accesible. EJEMPLO a): Resolver la ecuación

d 3y d 2 y dy _ -d3 - 4 -?+-d + 6y - O. x x d x· Primero represéntese la ecuación auxiliar

m3

-

4m 2

+m +6=

O,

cuyas raíces m = -1, 2, 3 pueden obtenerse por división sintética. Entonces la solución general es

EJEMPLO b): Resolver la ecuación

(3D 3 La ecuación auxiliar es

+ 5D

2

-

2D)y = O.

http://carlos2524.jimdo.com/ §40J

La ecuación auxiliar; raíces distin tas

135

y sus raíces son m = 0, - 2, -1. Usando el hecho de que eO x = 1, la solución deseada se puede escribir como

y= EJEMPLO

+ C2e- + Ca exp ("kx). ZX

Cl

c): Resolver la ecuación d2x dt Z- 4x=

°

° ~;

con las condiciones de que cuando t = 0, x =

y

= 3.

La ecuación auxiliar es m2

4 = 0,

-

con las raíces m = 2, -2. De aquí que la solución general de la ecuación diferencial sea Lo que resta es hacer cumplir las condiciones en t = O. Ahora . dx - = 2cle 2t - 2cze- zt

dt

x =

ASÍ, la condición de que

°

cuando t =

O = el y la condición de que

~=

'

°

requiere que

+ Cz,

3 cuando t = O requiere que

3=

2Cl -

2cz.

De las ecuaciones simultáneas para Cl y C2 concluimos que y c~ = - !. Por tanto x = ¡(eH - e- zt ),

Cl

=

t

la que también puede ponerse en la fonna

x=

~senh 2

(2t). EJERCICIOS

En los ejerclclOs 1-22, encuéntrese la solución general. Al emplear el operador D se implica que la variable independiente es x. 1. (D2 + 2D - 3)y = O. 2. (D2 + 2D)y = O. 3. (D2 + D - 6)y = O. 4. (D2 - 5 D + 6)y = O.


Ecuaciones lineales c<;m coeficientes constantes

136

5. (D3 + 3D2 - 4D)y = O. SOL. y = Cl + C2ez + c3 e-4 ~. 6. (D 3 - 3D2 - 10D )y = O. "'Í!"( D3 + 6D2 + llD + 6) Y = O. SOL . y = cle"" + C2e-2Z + C3e-3Z. 8. (D 3 + 3D2 - 4D - 12 ) Y = O. 9. (4D 3 - 7D + 3) Y = O. SOL. y = clez + C2exP (ix) + C3 ex P ( - i x ). 10. (4D 3 - 13D - 6 )y = O. 3 2 11. d x d x _ 2 dx =0. dt 3

d3x

+ dt'2

dt

dx

12. dt 3 - 19 dt + 30x = O. 13. (9D 3 - 7D + 2)y = O.

SOl!. y = cl e-3J + C2 exp (ix) + C3 exp (ix). 14. (4D3 - 21D - lO )y = O. / 15. (D3-14D+8)y=0 . SOL. Y = cl e-4Z + C2 exp [(2 + {2 ) x] + C3 exp [(2 - v'2)x] . 16. (D3 - D2 - 4D - 2)y = O. 17. (4D 4 - 8D3 - 7D2 + lID + 6)y = O. z SOL. Y = cle- + C2 e2Z + C3 exp ( - ix ) + C4 exp (~x). 'Í&l( 4D4 - 16D3 + 7D 2 + 4D - 2)y = O. 19. (4D4 + 4D3 - 13D2 - 7D + 6)y = O. 20. (4D5 - 8D4 - 17D3 + 12D2 + 9D) y = O. 21. (D2 - 4aD + 3a2)y = 0, a real O. 22. [D 2 - (a + b )D + ab]y = 0, a y b reales y desiguales.

*

En los ejercicios 23-24, encué:J.trese la solución particular indicada.

= 0, cuando x = O,y = 0, y y' = -4. Z SOL. Y = e- - e3Z . 6)y = 0, cuando x = 0, y = 0, cuando x = 1, Y = e3. 2Z

23. (D 2 - 2D - 3)y 24. (D2 - D -

SOL.

y = (e SZ _ e- )j(1 _ e- 5).

En los ejercicios 25-29, encuéntrese para x = 1 el valor de y que satisface la solución particular pedida.

= 0, cuando x = 0, y = 4 Y y' = O. 1 SOL. Cuando x = 1, Y = e + 3e- = 21.2. (D3 = 4D)y = 0, cuando x = 0, y = 0, y' = 0, y y" = '2. SOL. Cuando x = 1, Y = senh 1. (D2 - D - 6)y = 0, cuando x = 0, y = 3 Y y' = - 1. SOL . Cuando x = 1, Y = 20.4. (D2 + 3D - 10)y = O,cuandox = O,y = O,ycuando x = 2,y = 1. SOL. Cuando x = 1, Y = 0.135. (D3 - 2D2 - 5D + 6)y = 0, cuando x = 0, y = 1, y' = -7, Y y" = - 1. SOL. Cuando x = 1, Y = -19.8.

25. (D2 - 2D - 3)y

3

26.

2

27. 28. 29.


41.

LA ECUACIóN AUXILIAR; RAíCES REPETIDAS

Supóngase que en la ecuación f(D)y = O

( 1)

el operador f (D) tiene factores repetidos; esto es, la ecuación auxiliar f (m) = O tiene raíces repetidas. Entonces el método de la sección anterior no nos da la solución general. Supóngáse que la ecuación auxiliar tiene tres raíces iguales 1nl = b, m2 = b, ma = b. La parte correspondiente de la solución producida por el método de la sección 40 es (2)

y=

(Cl

+ C2, + Ca)e bZ .

Ahora (2) puede reemplazarse por (3)

con C4 = Cl + C2 + Ca. Así, correspondiendo a las tres raíces consideradas, este método ha producido solamente la solución (3). La dificultad se presenta en que las tres soluciones correspondientes a las tres raíces ml = '17Z:2 = ma = b no son linealmente independientes. Lo que es necesario es un método para obtener las n soluciones linealmente independientes que corresponden a las n raíces iguales de la ecuación auxiliar. Supóngase que la ecuación auxiliar f(m) = O tiene n raíces iguales Entonces el operador f (D) debe tener un factor (D - b)lI. Deseamos encontrar n funCiones y linealmente independientes para las cuales (4 )

(D-b)lI y =O.

Volviendo al resultado (5), al final de la sección 37 y escribiendo m = b, encontramos que (5)

(D - b)n(,l'ebZ)

= O para k = O, 1,2, ... , (n -

1).

Las funciones yk = :i"ebz ; k = O, 1,2, '. .. , (n - 1) son linealmente independientes porque además del factor común ebz, contienen solamente las potencias respectivas xo, x\ X2, • • • , Xn-l. La solución general de la ecuación (4) es


Ecuaciones lineales can coeficientes constantes

[Cap. 8

(6)

Además, si f (D) contiene el factor (D - b) "', entonces la ecuación

f(D)y = O

(1 ) puede escribirse

(7)

g(D) (D - b)"y = O

donde g(D) contiene todos los factores de f(D) excepto (D - b)n. Entonces cualquier solución de (4)

es también solución de (7) Y por tanto de (1). Ahora estamos en la posibilidad de escribir la solución de la ecuación ( 1) siempre que la ecuación auxiliar tenga raíces reales solamente. Cada raíz de la ecuación auxiliar es distinta de todas las otras raíces, o pertenece al conjunto de las raíces ig.uales. Correspondiendo a una raíz m. distinta de todas las otras, hay la solución (8)

yi

=

Ci

exp (m ix),

y correspondiendo a las n raíces iguales ml, mil, . . . ,mt>, cada una igual a b, hay la solución (9)

La suma de tales soluciones (8) y (9) produce el número propio de soluciones, un número igual al orden de la ecuación diferencial, debido o que hay una solución por cada raíz de la ecuación auxiliar. Las soluciones, obtenidas de este modo pueden probarse que son linealmente independientes. EJEMPLO a): Resolver la ecuación ( 10)

(D4 -7D 3

+

18D 2

-

20D

+ 8)y =

O.

Con la ayuda de la división sintética, es fácil ver que la ecuación auxiliar m 4 - 7m 3 + 18m 2 - 20m + 8 = O tiene las raíces m = 1, 2, 2, 2. Entonces la solución general de la ecuación (10) es

http://carlos2524.jimdo.com/ La ecuaci ón auxi liar;

§41 ]

o

y = Cle" EJEMPLO

ra íces

139

repeti das

+ (C2 + C3X + c.x2)e 2".

b): Resolver la ecuación 2 3 4 d y + 2 d y + d y = O. 3 4 dx dx dX2

La ecuación auxiliar es

m4

+ 2m + m 3

2

= 0,

con raíces m = 0,0, - 1, - 1. De aquí, la solución deseada es

y = Cl

+ C2X + c3e-" + c1xe-". EJERCICIOS

En los ejercicios 1-20 e:lcuéntrese la solución general. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11.

12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20.

(D2 - 6D + 9)y = O. SOL. y = (Cl + C2X) eS". (D2 + 4D + 4)y = O. (4D3 + 4D2 + D )y = O. SOL. y = Cl + (c 2 + cax ) exp ( - ix). (D3 - 8D2 + 16D )y = O. (D4 + 6D3 + 9D2) Y O. SOL. y Cl + C2X + (Ca + C4X) c 3". (DS - 3D2 + 4)y = O. (4D3 - 3D + l )y = O. SOL. y = cle-" + (C2 + C3X) exp (ix ) . (D4 - 3D3 - 6D2 + 28D - 24 )y = O. (4D4 - 4D3 - 23D2 + 12D + 36)y = O. SOL. y = (c l + c2x)e2" + (c s + c.x) exp ( - ~x). (D3 + 6D2 + 12D + 8)y = O. (DS - DS) y O. SOL. y Cl + C2X + cax2 + C4e" + cse-"; O y = Cl + C2X + C3X2 + C6 cosh x + C7 senh x. (DS - 16D3)y = O. (4D4 + 4Da - 3D2 - 2D + l)y = O. (54D4 - 27D3 - 9D2 + 7D - l)y = O. (D4 - 2Da - 3D2 + 4D + 4)y = O. SOL. y = (Cl + C2X) e-" + (cs + c.x) e2". (4D4 + 4D3 - 3D2 - 2D + l)y = O. (4DS + 4D4 - 9D3 - 11D2 + D + 3)y = O. (DS - 15D3 + lOD2 + 60D - 72)y = O. (D4 + 2D3 - 6D2 - 16D - 8)y = O. SOL. y = (Cl +C2X) e-2"+ca exp [( 1 + V3) x] + c. exp [( 1 - V3) xJ. (D4 - 2D3 - 5D2 + 2)y = O.

=

=

=

=

En los ejercicios 21-26 encuéntrese la solución particular indicada.

21: (D2

+ 4D + 4) Y = O, cuando x =

O, Y

= 1 Y y' = SOL.

1. Y = (1

+ x-)c

2 ".

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140

[Cap. 8

22. La ecuación del ejercicio 21 con la condición de que la gráfica de la solución pase por los puntos (0,2) Y (2, O). SOL. y = (2 - x)e- 2". 23. (D3 - 3D - 2)y = 0, cuando x = 0, y = 0, y' = 9, y" = O. 2 SOL. Y = 2e " + (3x - 2) e-". 24. (D< + 3D3 + 2D2)y = 0, cuando x = 0, y = 0, y' = 4, y" = -6, y'" = 14. SOL . Y = 2(x + e-" - e- 2X ) . 25. La ecuación del ejercicio 24 con las condiciones: cuando x = 0, y = 0, y' = 3, y" = -5, y'" = 9. SOL. Y = 2 - e-X - e- 2:1. 26. (D3 + D2 - D - l)y = 0, cua:::tdo x = 0, y = 1, cuando x = 2, Y = 0, y también cuando x ~ 00; y ~ O. SOL. Y = i(2 - x) e-". En los ejercicios 27-29, encuéntrese para x = 2 el valor de y para la solución particular pedida.

27. (4D2 - 4D

+ 1) y =

0, cuando x = 0, y = - 2, y' = 2.

_ _ SOll.. ~~ando~~ = .4e. )y - 0, cuando x -O, y - -3, y -O, y _ 12. SOL. Cuando x = 2, y = 3e-4 + 6. 29. (D3 + 5D2 + 3D - 9)y = 0, cuando x = O,y = - 1,cuando x = 1, y = 0, y también cuando x ~ 00, y ~ O. SOL. Cuando x = 2, y = e-6 • 3

28. (D

42.

+ 2D

2

_

DEFINICIóN DE EXP z PARA z IMAGINARIA

En vista de que la ecuación auxiliar puede tener raíces imaginarias necesitamos dar ahora una definición de exp z para z imaginaria. Sea z = a + if3 con a y f3 reales. Ya que es deseable mantener válidas las- leyes ordinarias de los exponentes, es prudente pedir que ( 1)

Para que ea con a real, tenemos el significado usual. Ahora considérese eifl , f3 reales. En cálculo se demuestra que para toda x real X X2 x3 x" e"= 1 + - + - + - + ... +-+ (2)

11

21

31

nI

O

(2)

_.; 'x"

ea: _ '"

,,=0

---¡. n.

Si ahora tentativamente ponemos x = if3 en (2) como una definición de eifl, obtenemos ifl _ if3 i2 f32 i S f32 i 4p ... i"f3n (3) e - 1+1!+21+31+41+ +nl+


141

Definición del exp z para z imaginaria

Separando las potencias pares y las potencias nones de f3 en (3 ) obtenemos (4)

o (4)

Ahora i 2k = (- 1 ) le, así podemos escribir (5)

.

f32

e'(3 = 1 - . 2!

. [ /3

/34

( -1 )kf32k

4!

(2k)!

+ - + ... +

/33

+ ...

2k

+ Z Ti - 3! + ... +

( - 1)\8 +1 (2k + l) !

]

+ . .. ,

o

(5)

( - 1 )"f32k ( - 1) "f32k+1 e'(3 = ~ + t. ~ea -':-::-~--'-:c-:--:-"=0 ( 2k)! k=o (2k + 1)!' •

'X)

Pero las series del miembro derecho de (5) son precisamente aquellas para cos f3 y sen f3 tal como se desarrollan en cálculo. De aquí, llegamos al resultado tentativo e i (3 = cos f3

(6)

+ i sen /3.

El lector deberá darse cuenta de que las manipulaciones anteriores no tienen significado por sí mismas en esta etapa (suponiendo que las series infinitas con términos complejos no son una parte del contenido de las matemáticas elementales). Lo que se debe entender es esto: las manipulaciones formales anteriores han sugerido la definición (6) . Combinando (6) con (1) podemos sacar una definición razonable de exp (a + if3), específicamente (7)

exp (a

+ if3)

= ea ( cos f3

+i

sen f3 ), a y f3 reales.

R{;emplazando f3 por ( - f3) en (7) obtenemos un resultado que será de valor en la siguiente sección, exp (a - if3) = ea (cos f3 - i sen f3) . Es interesante e importante observar que cpn la definición (7), la función ett para z compleja retiene muchas de las propiedades que posee



[Cap. 8

la función efIJ con x real. Tales asuntos son a menudo estudiad;k; en detalle en libros sobre variables complejas.-K Aquí necesitamos conocer en particular que si y = exp (a + ib) x, o

con a, b y x reales, entonces (D - a - ib)y = O.

El resultado deseado se obtiene de inmediato por diferenciación, con respecto a x, de la función y = ea.z( cos bx 43.

+ i sen bx).

LA ECUACIóN AUXILIAR; RAtCES IMAGINARIAS

Considérese una ecuación diferencial f (D) Y = O para la cual · la ecuación auxiliar f (m) = O tiene coeficientes reales. Del álgebra elemental sabemos que si la ecuación auxiliar tiene raíces imaginarias cualesquiera, esas raíces deberán encontrarse en pares conjugados. De este m!"ldo, si ml = a + ib es una raíz de la ecuación f( m) = O, con a y b reales y b =1= O, entonces

m2 = a - ib es también una raíz de f (m) = O. Debe tenerse en mente que este resultado es una consecuencia de que los coeficientes en la ecuación f (m) = O son reales. En ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes involucran imaginarios, no necesariamente las raíces imaginarias aparecen por pares. Ahora podemos construir en forma útil soluciones de

(1 )

f(D)y = O

=

correspondiendo a raíces imaginarias de f (m) O. Como suponemos que f( m) tiene coeficientes reales, cualesquiera raíces imaginarias aparecen en pares conjugados ml = a + ib Ym2 = a -ib. Entonces de acuerdo con la sección precedente, la ecuación (1) es satisfecha por

(2)

y=

Cl

exp [( a

+ ib) x] + C2 exp [( a -

ib) xJ.

* Véase R. V. Churchill, Complex Variables and Applications. 2'1- Edición. Nueva York: McGraw Hill Book, 1960, páginas 46-50.


143

La ecuación auxiliar; raíces imaginarias

Tomando a x junto con a y b reales, obtenemos de (2) el resultado (3)

+ isenbx) +

y = C1ea,,(cos bx

c2e~(cos

bx - isenbx).

Ahora (3) la podemos escribir como

+ c2)e~cos bx + i(C1 Finalmente, sea C1 + C2 = C3) e i (C1 - C2) = y = (C1

c2)e~senbx.

C4) donde C3 y C4 son nuevas constantes arbitrarias. Entonces la ecuación (1) se ve que tiene las soluciones (4)

y =

c3e~

+ c4e~ sen bx, m1 = a + ib Y m2 = a -

cos bx

correspondientes a las dos raíces ib) (b =1= O) de la ecuación auxiliar. Tomando a) b) x y y reales, se sigue fácilmente de la ecuación (4) que C3 y C4 son reales. Pero C1 + C2 Ca) e i (C1 - C2) C4) así

=

=

C1 = HC3 - iC4) y

C2 = t(C3

+ iC4)

De aquí, si C4 =1= O, C1 y C2 son números complejos conjugados. La reducción de la solución (2) anterior a la forma deseable (4) se hizo de inmediato y esto es suficiente. Siempre que un par de raíces imaginarias conjugadas de la ecuación auxiliar aparecen, escribimos de inmediató en la forma dada en el miembro derecho de la ecuación (4) la solución particular correspondiente a esas dos raíces. EJEMPLO a): Resuélvase la ecuación

(D 3

3D2

-

+ 9D + 13)y =

O.

Para la ecuación auxiliar

m3

-

3m 2

+ 9m + 13 = O,

una raíz es m1 = - 1, se encuentra fácilmente. Cuando el factor (m + 1) se elimina por división sintética, se ve que las otras dos raíces son soluciones de la ecuación cuadrática

+ 13 = O. Encontramos que esas raíces son m2 = 2 + 3i Y ms m2

-

4m

= 2 - 3i. La ecuación auxiliar tiene entonces las raíces m = -1, 2 + 3i. De aquí, la solución general de la ecuación diferencial es

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144

[Cap. 8

Las raíces imaginarias repetidas llevan a soluciones análogas a las producidas en las raíces reales repetidas. Por ejemplo, si las raíces m = a -+- ib aparecen tres veces, entonces las seis soluciones linealmente independientes que corresponden de la ecuación diferencial son las que aparece en la expresión (CI + C2X + C3x2)'e a,," cos bx + (C4 + CsX -1- C6X2) eOZ sen bx. EJEMPLO

b): Resuélvase la ecuación

(D4 La ecuación auxiliar m 4

+ 8D 2 + 16)y = + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0,

°

2

O.

puede escnbirse como

2

así, las raíces son m = ± 2i -+- 2i. Las raíces mI = 2i Y m2 = - 2i ocurren dos veces cada una. Interpretando a 2i como + 2i Y recordando que e°"" = 1, escribimos la solución de la ecuación diferencial como

°

y = (CI

+ C2X)

cos 2x

+ (C3 + C4X)

sen 2x.

En ejercicios como los siguientes, una comprobación 'puede obtenerse por la sustitución directa del resultado y sus derivadas apropiadas dentro de la ecuación diferencial. La verificación es particularmente efectiva debido a que las operaciones realizadas en la comprobación son diferentes de aquellas realizadas para obtener la solución. EJERCICIOS

Encuéntrese la solución general, excepto cuando el ejercicio estipule otra cosa. 1. Verifíquese directamente que la relació:J. (4 )

satisface la ecuación [(D - a)2

+ 5) Y = '2D + 2)y =

2. (D2 - 2D

+ b2]y =

O.

O. Verifíquese la respuesta. SOllo y = Cle"" cos 2x + C2e"" sen 2x. 3. (D2 O. 4. (D2 + 9)y = O. Verifíquese la respuesta. SOL. y = CI COSo3x + C2 sen 3x.


5. 6. 7. 8. 9.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

+ C2 senh 3x.

(D2 - 9 )y = O. SOL. Y = Cl cosh 3x (D2 + 4D + 5) Y = O. Verifíquese la respuesta. 3 (D2 - 6D + 25 )y = O. SOL. Y = e X(clcOs4x (D3 + D2 + 4D + 4 )y = O. Verifíquese la respuesta. (D2 - l )y 0, cuando x = 0, y Yo Y y' = O.

=

+ l )y = (D4 + 2D3 -

10. (D2

11.

145

l a ecuación auxiliar¡ raíces imagi narias

+ c2sen4x).

=

0, cuando x

= 0, Y = Yo

Y = Yo cosh X.

SOllo

y y' = O.

SOL . Y = Yo cos X. l1D2 - 52D )y = O. (D3+5D2+17D+13 )y = 0, cuando x=O, y = O, y'=l, Y y" = 6. SOL . Y = e-x - e- 2Z cos 3x. (D 5 - 2D3 - 2D2 - 3D - 2 )y = O. (D4 - 2D3 + 2D2 - 2D + 1) y = O. Verifíquese la respuesta. (D4 + 18D2 + 81)y = O. SOL. y = (Cl + C2X) COS 3x + (C3 + C4X) sen 3x. 2(D4 + l1D3 - 4D2 - 69D + 34)y = O. Verifíquese la respuesta. (D6 + 6D4 + 9D2 + 4)y = O. ( 16D3 - l ID - 5 )y = O.

d 2x 19. -d2 t

+ k 2x = 0,

k real, cuando t

dx = 0, x = 0, y -d = t

..

Vo.

VerIfrcar

su resultado completamente SOlio x = (vo/ k) sen kt. 20. (D3+D 2 +4D+4 )y = 0, cuando X=O, y = O, y' = - 1 Y y" = 5. SOL. Y = eX - cos 2x. ~

21. -

~

+ 2b -~ & + k x = 0, k > b > 0, cuando t = 0, x = 2

SOL.

x = (vo/a)

e-bt

°&=

sen at, donde a =

~

y-

Vk

Ve}.

~--

2

-b 2 •

MISCELÁNEA DE EJERCIC.IOS

Obténgase la solución ge:1.eral a menos que se indique otra cosa. Las soluciones pueden ser comprobadas por sustitución directa. 1. (9D4 + 6D3 + D2)y = O. 2. (4D3 - 13D + 6 )y = O. 3. (D3 + 2D 2 - 15D )y = O. 4. (D3 + 2D2 + D + 2)y = O. 5. (D3 - 2D2 - 3D)y = O. 6. (D 3 +3D2-4)y=0. 7. (4D3 - 27D + 27 )y = O. 8. (lOD3 + D2 - 7D + 2 )y = O. 9. (D3+7D2 +19D+1 3) y=0, cuando x=ü, y = O, y'=2, Y y" = -12. 10. (D 2 - D - 6 )y 0, cuando x = 0, y 2 Y y' 1. 11. (D 4 + 6D 3 + 9D 2) y = 0, cuando x 0, y = 0, y' 0, y y" 6, Y así x ~ co, y' ~ 1. Para esta solución particular, encontrar el valor de y cuando x = 1. SOL. Y = 1 - e- 3 • 12. (D3 + 6D2 + 12D + 8 )y 0, cuando x 0, y 1, y' -2, Y y" = 2.

=

=

=

=

= =

=

=

=

=


13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Ecuaciones l ineales con coeficientes constantes

(D3+3D 2 +3D+I)y=O. (D4 - 2D3 - 13D2 + 38D - 24)y = O. (D6 + 9D4 + 24D2 + 16)y = O. (8D3 - 4D2 - 2D + l)y == O. (D4 + D3 - 4D2 - 4D)y = O. (D4 - 2D3 + 5D2 - 8D + 4)y = O. (D4 + 2D2 + l)y = O. (Di + 5D2 + 4)y = O. (D4 + 3D3 - 4D)y = O. (D5 + D4 - 9D3 - 13D2 + 8D + 12)y = O. (D4 - llD3 + 36D2 - 16D - 64)y = O. (D2 + 2D + 5)y = O. (D4 + 4D3 + 2D2 - 8D - 8) Y = O. (4Di - 24D3 + 35D2 + 6D - 9)y = O. (4D4 + 20D3 + 35D2 + 25D + 6)y = O. (Di - 7D3 + llD2 + 5D - l4)y = O. (D3 + 5D2 + 7D + 3)y = O. (D3 - 2D2 + D - 2) Y = O. (D3 - D: + D - l) Y = O. (D3 + 4D2 + 5D)y = O. (D4 - l3D2 + 36 )y = O. (D4 - 5D3 + 5D2 + 5D - 6) Y = O. (4D3 + 8D2 - lID + 3)y = O. (D3 + D2 - l6D - l6 ) y = O. (D4 - D3 - 3D2 + D + 2)y = O. (D3 - 2D2 - 3D + lO)y = O. (D5 + D4 - 6D3)y = O. (4D3 + 28D2 + 61D + 37)y = O. (4D3 + 12D2 + l3D + lO)y = O. (l8D3 - 33D2 + 20D - 4)y = O. (4D4 - 15D2 + 5D + 6)y = O. (D5 + D4 - 7D3 - llD2 - 8D - l2)y = O. (D4 + 3D3 - 6D2 - 28D - 24)y = O. (4D4 - 4D3 - 23D2 + l2D + 36 )y = O. (4DS - 23D3 - 33D2 - 17D - 3)y = O.

[Cap. 8


CAPÍTULO

9

Ecuaciones no hOIllogéneas: Coeficientes indeterIllinados

44.

CONSTRUCCION DE UNA ECUACIóN HOMOGÉNEA A PARTIR DE UNA SOLUCIóN ESPECIFICADA En la sección 34 vimos que la solución general de la ecuación (1)

es

(boDll

+ Q1Dn-l + ... + bn-lD + b,,)y = y = yc + yp,

R (x )

donde yc, la función complementaria, es la solución general de la ecuación homogénea

(2)

(b oDll

+ blDll-1 + ... + bn-1D + bn)y =

O

y yp es cualquier solución particular de la ecuación origi-

nal (1). Varios métodos para la obtención de una solución particular de (1) cuando bo, bl,"', b" son constantes, serán presentados. En la preparación para el método de coeficientes indeterminados es prudente adquirir cierta habilidad para escribir una ecuación diferencial homogénea de la cual una relación dada de forma apropiada, es una solución. 147


Ecuaciones n a homogéneas: coeficientes indeterminados

[Cap. 9

Recordando que en las soluciones de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, ténninos tales como cle llZ se encuentran solamente cuando la ecuación auxiliar f (m) = ha tenido una raíz m = a, y entonces el operador f (D) ha tenido un factor ( D - a). De igual manera, c2xe a", aparece solamente cuando f (D) contiene el factor (D - a) 2, C3x 2e llZ solamente cuando f (D ) contiene a (D - a) 3, etc. Tales términos como cellZ cos bx o cea", sen bx corresponden a las raíces m = a -+-ib, o a un factor [ (D - a)2 + b2J.

°

EJEMPLO a): Encuéntrese una ecuación lineal homogénea, con coeficientes constantes, que tenga como una solución particular

y = 7e 3 '"

+ 2x.

Nótese primero que los coeficientes (7 Y 2) son del todo irrelevantes para el presente problema, mientras que ellos no sean cero. Obtendrerp.os una ecuación satisfecha por y = cle3", + C2X, sin importar cuáles sean las constantes Cl y C2. Un término cle 3'" se encuentra junto con una raíz m = 3 de la ecuación auxiliar. El término C2X aparecerá si la ecuación auxiliar tiene m = 0, 0, esto es, una doble raíz m = O. Hemos reconocido ,que la ecuación o

tiene y = cle 3z + C2X + C3 como su solución general, y por tanto tiene a y = 7e3'" + 2x como una solución particular. EJEMPLO b): Encuéntrese una ecuación lineal homogénea con coeficientes reales constantes que Gea satisfecha por

(3)

y

= 6 + 3xe"' -

cosx.

El ténnino 6 está asociado con m = O, el ténnino 3xe"' con una doble raíz m = 1, 1, Y el ténnino (- cos x) con el par de raíces imaginarias m = O-+- i. De aquÍ, la ecuación auxiliar es

m(m - 1r(m 2

+ 1)

= 0,

o Por tanto la relación (3) es una solución de la ecuación diferencial (4)


Construcción de una ecuación homogénea

§44]

Esto es, de la solución general y =

Cl

+ (C2 + Csx) e'" + C4 COS X + Cs sen x

de la ecuación (4), la relación (3) se encuentra escogiendo apropiadamente las constantes: Cl = 6, C2 = 0, Cs = 3, C4 = - 1, Cs = O. EJEMPLO e): Encuéntrese una ecuación lineal homogénea con coeficientes reales constantes la cual sea satisfecha por

y = 4xe" sen 2x. La ecuaClOn deseada debe tener su ecuación auxiliar con raíces m = 1-+- 2i, 1 -+- 2i. Las raíces m = 1 -+- 2i corresponden a los factores (m - 1) 2 + 4, aSÍ, la ecuación auxiliar debe ser

+ 4)2 =

. [ (m - 1)2

0,

o m4

-

4m 3

+ 14m

2

-

20m

+ 25

= O.

De aquí que la ecuación deseada es (D 4

-

4D s + 14D 2

-

20D

+ 25)y =

O.

Obsérvese que en todos estos problemas una solución correcta (pero indeseable) puede obtenerse insertando raíces adicionales de la ecuación auxiliar. EJERCICIOS ORALES

En los ejercicios 1-14 obténgase en forma factorizada una ecuación diferencial lineal, con coeficientes reales, constantes, que sea satisfecha por las relaciones dadas. 1. 2. 3. 4. 5.

Y = 4e 2"

y y y y

+ 3e-".

= 7 - 2x + ie4"'. = - 2x + ie4 " .

= X2 - 5 sen 3x. = 2e" cos 3x. SOL. (D - 1 - 3i) (D - 1 + 3i)y

+

6. Y = X2 4e". 7. y = 3xe" - 2e-"'.

8. Y = 6 + 2e s". 9. y = 2X2 + 1. 10. Y = sen 2x. 11. y = sen 2x + 3 cos 2x.

SOL.

(D - 2) (D + l)y D2 (D - 4)y = SOL. D2(D - 4)y SOL. I?3(D2 + 9)y =

= O. O. = O.

SOL.

= O; o [( D -

=

O.

1) 2 + 9]y O; o (D2 - 2D + lO)y = O.


Ecuaciones na homogéneas: coeficientes indeterm inados

150

12. Y = cos kx. 13. :r' = .\: sen 2x. H. j' = 2 senh x.

En los ejercicios 15-36, encuéntrense las raíces de la ecuación atL"'.;iliar para una ecuación lineal homogénea con coeficientes reales constantes, teniendo a la relación dada como una solución particular. 15. j' = 3xe 2 .t. 16. Y = x 2 r + 4c". 17. J e-" cos 4.\:. 18. Y 3r cos 4x + 15e-.1: sen 4x. 19. J' = x (e 2Z 4).

= =

SOL.

+

20. j' = 3 + 8e-2J:. 21. J' = 2X 2 - e- 3... 22. J' = 4- + 2x~ - e- 3". 23. y = xc",. 24. J' = xC'" + 5e". 25. j' = 4- cos 2x. 26. :v = 4- cos 2x - 3 sen 2x. 27. j' = x cos 2x - 3 sen 2.\:. 28. y = .\ cos 2.\". 29. Y = e- 2Z cos 3x. 30. )' = C~" ( cos 3x + sen 3x ) . 31. )' = .\2 - X + r (." + cos x) . 32. J' = .\" 2 sen x. 33. )' = .\"2 sen x + x cos x. 34. j' = 8 cos 4x + sen 3x. 35. )' sen s x. Empléese el hecho de que sen 3 x 36. j ' = C05 2 X .

=

45.

SOL. m = 2,2. m = -1, -1, -1, lo SOL. m -1 ± 4i. SOL. m -1 + 4i.

= =

SOL.

m

= 0,0,2,2.

= t (3 sen x

- sen 3x).

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIóN NO HOMOGENEA

Antes de proceder con las bases teóricas y en el verdadero trabajo técnico del útil método de los coeficientes indeterminados, examinemos las ideas fundamentales aplicadas a un ejemplo simple numérico. Consideremos la ecuación

(1 )

D 2 (D - l)y = 3e.t

+ senx.

La función complementaria puede determinarse de inmediato de las raíces l' '»-

m = 0, 0, 1

de la ecuación auxiliar. La función complementaria es


Solución de una ecuación no homogénea

§45]

(3)

Como la solución general de (1) es

y = yc

+ YP

donde yc está dada en (3) Y Yv es una solución particular cualesquiera de (1), todo lo que resta por hacer es encontrar una solución p"articular de (1). El miembro derecho de (1),

+ sen x

R(x) = 3e'"

(4)

es una solución particular de una ecuación diferencial lineal homogénea cuya ecuación auxiliar tiene las raíces

m' = 1,Cti:i.

(5)

Por tanto la relación (4) es una solución particular de la ecuación (D - 1) (D 2

(6)

+ 1) R

= O.

Deseamos convertir (1) en una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, debido a que conocemos cómo resolver tales ecuaciones. Pero, por ( 6), el operador (D - 1) (D 2 + 1) anulará el miembro derecho de (1). Por tanto, aplicamos ese operador a ambos miembros de la ecuación ( 1) y obtenemos

+ 1) D

(D - 1) (D 2

(7)

2

(D - 1) Y = O.

Cualquier solución de ( 1) debe ser una solución particular de (7) . La solución general de ( 7) puede escribir inmediatamente de las raíces de su ecuación auxiliar, esas raíces son m = O, O, 1 de (2) y los valores m' = 1, -+- i de (5). De este modo la solución general de (7) es (8)

Y=

Cl

+

C2X

+

c3e'"

+

c4xe'"

+

Cs

cos x

+

C6

sen x.

Pero la solución general deseada de (1) es

donde

+ yp, Cl + C2X + C3e'",

y = yc

(9)

yc =

las Cl, C2, C3 son constantes arbitrarias como en (8). Así, debe existir una solución particular de (1) que contenga al menos los términos sobrantes de (8). Usando diferentes le~ras como coeficientes para enfatizar que no Son arbitratias, concluimos que (1) tiene una solución particular

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecua ciones no homogéneas, coeficientes indeterminados

152

yp = Axe z

( 10)

[Cap. 9

+ Bcosx + Csenx.

Ahora solamente tenemos que determinar los coeficientes numéricos A, B, C, usando directamente la ecuación original

D2(j) - 1)y = 3e"

( 1)

+ sen x.

De ( 10) obtenemos que Dyp = A (xeZ +.~") - Bsenx

D2yp = A (xe

Z

D 3yp = A (xe"

+ C cosx,

t 2e"' ) . - B cos x - C sen x,

+ 3e") + Bsenx -

C cosx.

La sustitución de yp en (1) produce

(11)

Ae"

+

(B

+ C) sen x +

(B - C) cosx = 3e"

+ senx.

Como ( 11) es una identidad y e", sen x y cos x son linealmente independientes, los coeficientes que correspondan a los dos miembros de ( 11 ) deben ser iguales, esto es, A = 3

B+C=1 B - C = O.

Por tanto A = 3, B = t, C = i. Regresando a (10), encontramos que una solución particular de la ecuación (1) es yP = 3xe"

+ i cosx + i senx.

La solución general de la ecuación original D 2 (D - 1 )y = 3e z

( 1)

+ sen x

po:- tanto se obtiene sumando a la función complementaria la yp encontrada antes:

(12)

Y=

C1

+ C2X + c3e z + 3xe'" + i cos x + i

sen x.

Un análisis cuidadoso de las ideas en que se apoya el proceso empleado muestra que para llegar a la solución ( 12) necesitamos efectuar solamente los siguientes pasos:

a) De ( 1) encuéntrense los valores de m y m' como se muestra en (2)y(5); b) De los valores m y m' escríbanse yc y yp como en (3) Y (1 0);


Método de coeficientes indeterm inados

153

e) Sustitúyase Yv en (1), iguálense los coeficientes respectivos y obténganse los valores numéricos de los coeficientes de Yv; d) Escríbase la solución general de (1). 46.

MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

Examinemos el problema general del tipo tratado en la sección precedente. Sea f (D ) un polinomio en el operador D. Considérese la ecuación (1 )

f (D )y = R (x).

Sean las raíces de la ecuación auxiliar f (m) = O: (2) La solución general de (1) es

(3 )

y = yc

+ Yv

donde yc se obtiene inmediatamente de los valores de m en (2) y donde y = Yv es cualquier solución particular que será obtenida de (1 ). Supongamos ahora que el miembro derecho R (x) de (1) es él mismo una solución particular de alguna ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes. (4)

g(D)R = O

cuya ecuación auxiliar tiene las raÍce,> ( 5)

Recordemos que los valores de m' en (5) se pueden obtener por inspección de R (x) . La ecuación diferencial ( 6)

g(D)f (D)y = O

tiene como raíces de su ecuación auxiliar los valores de m de (2) y m' de (5). De aquÍ que la solución general de (6) contenga la yc de (3) Y por tanto es de la forma

y = yc

+ yq.

Pero también cualquier solución particular de (1) debe satisfacer (6). Ahora, si



f (D) (yc

+ yq)

[Cepo 9

= R (x),

entonces f (D )yq = R (x) debido a que f(D )yc = O. Entonces, suprimiendo la yc de la solución general de ( 6), obtenemos una función yq, la que para algunos valores numéricos de sus coeficientes debe satisfacer (1), esto es, los coeficientes de yq pueden determinarse de modo que yq = YP. La determinación de esos coeficientes numéricos puede llevarse al cabo como en los ejemplos siguientes. Se debe tener en mente que el método de esta sección es aplicable cuando, y sólo cuando, el miembro derecho de la ecuación es él mismo una solución particular de alguna ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes. Los métodos aplicables a ecuaciones con menos restricciones en el miembro derecho serán estudiados en el capítulo 16. ,EJEMPLO a): Resolver la ecuación (7) (D 2 + D - 2)y = 2x - 40 cos 2x. Aquí tenemos m = 1,-2 y

m' = O, O, -+- 2i. Por tanto, podemos escribir

YP = A

+ Bx + C cos 2x + E sen 2x

en la cual Cl y C2 son constantes arbitrarias, mientras que A, B, C y E serán determinadas numéricamente, tales que YP satisfaga la ecuación ( 7 ) . Como Dyp = B - 2C sen 2x + 2E cos 2x y

D2yp = - 4C cos 2x - 4E sen 2x,

la sustitución directa de yp en (7) produce (8)

- 4C cos 2x - 4E sen 2x

+B-

2C sen 2x

+ 2E cos 2x -

2A

-2Bx - 2C cos 2x - 2Esen 2x = 2x - 40 cos 2x. Pero (8) es una identidad en x, así que debemos igualar los coeficientes de cada uno de los conjuntos de funciones linealmente independientes cos 2x, sen 2x, x, 1 que aparecen en la identidad. De este modo se slgue que


Método de coeficientes indeterminados

§46]

-6C

+ 2E =

40, -6E - 2C = O, - 2B = 2, B - 2A = O.

Las ecuaciones anteriores determinan A, B, C y E. Ellas llevan a

B = -1,

c=

A = - t,

E= - 2.

6,

Como la solución general de (7) es y = ye escribir el resultado deseado

y = Cle'"

+ C2e-2:t - t -

x

+ yp,

+ 6 cos 2x -

podemos ahora

2 sen 2x.


(D 2

(9) De inmediato m =

+ 1)y =

i Y m' =

--1-

--1-

senx.

i. Por tanto

ye = el cos x + Cz sen x, YP = Axcos x + Bx sen x. Ahora

y; = A ( -

x cos x - 2 sen x)

+ B( -

x sen.t"

+ 2 cos x) ,

así, la condición de que Yv satisfaga la ecuación (9) produce

- 2A sen x

+ 2B cos x =

sen x,

de la cual A = -t y B = O. La solución general de (9) es

y = Cl

COS X

+ cz sen x -

tx cos x.

EJEMPLO c): Determínese y tal que satisfaga la ecuación ( 10)

y'" - y' = 4e-z

+ 3e z",

con las condiciones de que cuando x = 0, y = 0, y' = -1 , Y y" = 2. Primero, observamos que m = 0, 1, -1, Y m' = -1, 2. Así, que

Cl + cze:t + c3e-z, Yv = Axe-z + Be 2:t.

re=


Ecuaciones no homogéneas, coeficientes indeterminados

156

Ahora y~ y~

= A( - xe-4 + e-4) + 2Be 2X, = A (xe-4 - 2e-4 ) + 4Be 2X ,

y;" =

A( -xe-4

+ 3e-4) + 8Be

2X

Entonces y~'

-

y~

= 2Ae-4

+ 6Be

2X ,

tal que de (10) podemos concluir que A La solución general de ( 10) es

= 2 Y B = 1.

(11 ) Debemos determinar C1, C2, c s. de tal forma que (11) satisfaga las condiciones de que cuando x = 0, y = 0, ')7' = -1 Y y" = 2. De (11) se SIgue que

(12) y

(13)

°

Hacemos x = en (11), (12) Y (13) con el fin de .obtener las ecuaciones para determinar el, C2 y Cs. Las que son

°

=

C1

-1 =

C2 -

2= de las cuales

C1

=

-~, 2

C2

+ C2 + C3 + t, Cs

+ 3,

+ Cs - 2, Cs = 4. Por tanto el resultado final es

C2

= 0,

Un detalle importante que algunas veces pasan por alto los estudiantes, es que la solución general, la y de ( 11), es la que debe satisfacer las condiciones a la frontera. EJERCICIOS

En los ejercicios 1-35, obténgase la solución general. 1. (D2

+ D )y = - cos X. + 9)y = eX.

SOL.

y=

2. (D2 - 6D

3. (D2

+

3D

+ 2)y =

+ c e-x + t cas x - i sen x . SOL . y = (Cl + c2x)eSX + le'". C1

12x2. SOL.

y=

C1e-4

2

+ C2e-2X + 6 X2 -

18x

+ 21.


Método de coeficientes indete rminados

4. (D2 + 3D

+ 2)y = 1 + 3x + X2 .

.t5. (D 2 + 9)y =

11.

12. 13. 14.

15. 16.

17. 18. 19.

20.

21. 22. 23.

24. 25. 26.

27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

5e" - 162x.

SOL . y = Cl COS 3x + C2 sen 3x + fe'" - 18x. 5e" - 162x 2. SOL. y = Cl COS 3x + C2 sen 3x + ie" - 18x 2 + 4. y" - 3y' - 4y = 30e". SOL. y = cle"}) .+ C2 e-x - 5e"'. 4 y" - 3y' - 4y = 30e ". SOL. y = (Cl + 6x) e4" + C2 e-x. 2X - i· 2 2 (D2 - 4)y = e " + 2. SOL . Y = cl e- " + (C2 + !x)e (D 2 - D - 2)y = 6x + 6e-x. SOL . y = Cle-X + C2e2X - 3x + 3/2 - 2xe- x. y" - 4y' + 3y = 20 cos X. SOL . Y = cle x + C2eax + 2 cos x - 4 sen )O. y" - 4y' + 3y = 2 cos x + .4 sen x. SOL. y = cle x + C2esx + cos x. y" + 2y' + y = 7 + 75 sen 2X1. SOL . Y = e-"(Cl + C2X) + 7 - 12 cos 2x - 9 sen 2x. (D2 + 4D + 5yY = 50x + 13e aa1 . SOL. y = e- 2X (cl COSX + C2Se:lx) + 10x - 8 + ie 3 ",. (D2 + l)y = COSX. SOL. Y = ClCOSX + C2sen x + ixsenx. (D2 - 4D + 4 )y = e2~. SOL. y = e2X (Cl + C2X + }x2 ). (D2 - 1) y = e-X (2 sen x + 4 cos x) . (D2 - l )y = 8xe x. SOL . y = cle-X + e"'(c2 - 2x + 2X2). (Da - D )y X. SOL. Y Cl + C2e'" + C3r - !X2. (DS - D2 + D - l)y = 4senx. SOL. y = Cle'" + (C,2 + x) cos x + (C3 - x) sen x. (D3 + D 2 - '4D - 4 )y = 3e-X - 4x - 6. 2 2X + (C3 - x)r + x + l SOL . Y = cle '" + C2e2 (D4 - l )y = 7x • (D4 - l)y = e-X. SOL. y = cle'" + (C2 - '¡x)e-'" + C3COSX + C4senx , (D2 - l)y = 10sen 2 x. Use la identidad sen 2 x = i(1 - cos2x). SOL. y = Cle'" + C2e-X - 5 + cos 2x. (D 2 + l)y = 12 COs 2 x. SOL. Y = Cl COS X + C2 sen x + 6 - 2 cos 2x. (D2 + 4)y = 4sen 2 :;o. SOL. Y = Cl COS 2x + C2 Sen 2x + f( l - xsen 2x). y" - 3y' - 4y = 16x - 50 COS 2.:t'. (D3 - 3D - 2)y = 100 sen 2x. y" + 4y' + 3y = 1.5e2X + e-"'. y" - y = eX - 4. y" ~ y' - 2y = 6x + 6r . y" + 6y' + 13y = 60 cos x + 26. (D3 - 3D2 + 4)y = 6 + 80 cos 2x. (Da + D - 10)y = 2ge 42l • (D3 + D2 - 4D - 4) y = 8x + 8 + 6e-O:.

6. (D2

7. 8. 9. 10.

157

+ 9)y =

=

=

http://carlos2524.jimdo.com/ [Cap'. 9

Ecuaciones no homogéneas, coeficientes indete rminados

158

En los ejercicios 36-44, e:1cuéntrese la solución particular indicada. 36. (D 2 + 1)y lOe2", cuando x 0, y y y' O. SOL. Y = 2 (e 2Z cos x - 2 sen x) . 37. (D 2 - 4 ) y 2 - 8, cuando x 0, y y y' 5. SOL. Y = e2Z - ie- 2 " + 2x - i· 38. (D2 + 3D)y -1 8x, cuando x O,y y y' 5. SOL. Y = 1 + 2x - 3X2 - e- az. 39. (D 2 + 4D + 5)y 10e- a",cuandox O,y 4yy' O. 2 d x dx dx 40. - 2 + 4 -d + 5x 10 , cuando t 0, x y -d O. dt t t 2t SOL. X = 2 (1 - ecos t - 2e- 2t !;en t). 41. x + 4i + 5 8 sen t, cuando t 0, x y x O. Obsérvese que dx d2 x x di' x di2 es una notación común cuando la variable inde-

° °

= = =

= = = = = = = =° = = = = = = =

= =

=

=

=

° =°

=

=

pendiente es el tiempo.*

x = (1 + e-2t ) sen t 42. y" + 9y 81 x2 + 14 cos 4x, cuando x 0, y 43. (Da + 4D 2 + 9D + 10 )y -24e", cuando x 0, y y" = 10. 44. y" + 2y' + 5y 8e--"', cuando x 0, y y y' SOL .

=

°

=

=

=

=

=

e- 2t ) .cos t. y y' 3. y 0, y' - 4

°

(1 -

= = = = = = 8.

En los ejercicios 45-48, obténgase de la solución particular i:1dicada el valor de y y el valor de y' en x = 2. .

+ 2y' + y = x; en x = 0, y = - 3, Y en x = 1, y = -1. SOlJ. En x = 2, y = e- y y' = 1. y" + 2y' + y = x; en x = 0, y = -2 y y' = 2. 2 2

45. y"

2

46.

= =

47. 48. 49.

=

= =

En x 2, y 2e- y y' 1 - e- . 4y" + Y = 2; en x 7r, Y y y' = 1. SOL. Enx = 2,y -0.7635yy' +0.3012. 2y" - 5y' - 3y - 9X2 - 1; en x = O,y = 1 yy' O. SOL. En x = 2, y = 5.64 Y y' = 5.68. (D 2 + D )y x + 1, cuando x 0, y 1, Y cuando x 1, Y t. Calcúlese el valor de y en x = 4. SOL . En x = 4, Y 8 - e-1 - e-2 - e-3. (D 2 + 1)y = .r, cuando x = 0, y = 0, y cuando x = 7r, Y = O. Demuéstrese que este problema de valores a la frontera no tiene solución. (D2 + l)y 2 cosx, cuando x 0, y = 0, y cuando x 7r,y O. Demuéstrese que este problema de valores a la frontera tiene un número ilimitado de soluciones. Obténganse estas soluciones. SOL. y = (e + x) senx.

°

SOL.

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

50.

51.

=

=

* Es evidente la desventaja de tal notación cuando aparecen derivadas d e orden superior. También aparecen otras objeciones, se sabe que en esta notación las moscas pueden efectuar diferenciaciones no d eseadas.


Solución por inspección

§47]

52. Para la ecuación (D 3 + D 2) y = 4, enco:ltrar la solución cuya gráfica tiene un punto de inflexión en el origen con una recta tangente horizontal. SOL. y = 4 - 4x 2X 2 4r. 53. Para la ecuación (D2 - D) Y = 2 - 2x, encuéntrese una solución particular que tenga en algún punto (que debe determinarse) sobre el eje x, un punto de inflexión con una recta tangente horizontal. SOL. El punto es ( 1, O); la solución es y = X2 1 - 2 exp(x - 1).

+

+

47.

SOLUCIóN POR INSPECCIóN

Frecuentemente es fácil obtener una solución particular de una ecuación no homogénea.

por inspección. Por ejemplo, si R (x) es una constante Ro y si b" =1= 0,

Ro b"

YP = -

(2) es una solución de (3)

(boD"

+

b1D,,-1

+ ... +

bn) y = R{); bn =1= 0, Ro constante,

debido a que todas las derivadas de YP son cero, tal que

(boDn

+

b1Dn-l

+ ... +

°

bn)yp

= bnRo/b" = Ro.

Supongamos que b" = en la ecuación (3). Sea Dky la derivada de más bajo orden que aparece en la ecuación diferencial. Entonces, la ecuación diferencial puede escribirse como (4 )

( boD"

+ ... + bn-¡J)k ) y =

R {) ; bn-k =1= 0, Ro constante.

Ahora, Dkx" = k! es constante, así todas las derivadas de mayor orden de x" son cero. Esto nos conduce a que (4) tiene una solución (5)

Rox" YP=-klb . n-k '

entonces

E JEMPLO a): Resolver la ecuación ( 6)

(D2 - 3D

+ 2)y =

16.

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160

[Cap. 9

Por los métodos del capítulo 8 obtenemos la función complementaria, yc =

+ c2e 2:C.

c~e:C

Por inspección, una solución particular de la ecuación original es

= ~ = 8.

YP

2

De aquí la solución general de (6) es

y=

+ c2e 2:C + 8.

Cltr

EJEMPLO b): Resolver la ecuación 5

3

+4d y=

(7)

dy dx 5

De la ecuación auxiliar m 5 De aquí que

+ 4m

yc =

C1

7

dx 3

3

= 0, obtenemos m = 0, 0, 0, + 2i.

+ C2X + C3X2 + C4 cos 2x + Cs sen 2x.

U na solución particular de (7) es

7x 3

7x 3

yp = 31 ·4 = 2{'

Como una comprobación, obsérvese que

(DS

+ 4D

3

)

7x 3 2{ =

°+

7.6

4 . 24 = 7.

La solución general de la ecuación (7) es

y=

Cl

en la cual el, • • El examen de (8)

+ C2X + C3X 2 + .2..x3 + C4 cos 2x + es sen 2x, 24

• , es

son constantes arbitrarias. (D 2

+ 4)y =

sen 3x

nos lleva a buscar una solución proporcional al sen 3x, porque proporcional al sen 3x, también lo es D4y. Por cierto, de (9)

y=Asen3x

obtenemos

D2y = - 9A sen 3x, así (9) es una solución de (8) si (-9+4)A=1;A=

1

s'

SI

y es



§47)

De este modo (8) tiene la solución general

y=

Cl COS

2x

+ C2 sen 2x -

~sen

3x,

un resultado que obtenemos con facilidad mentalmente. Para la ecuación (8), el método general de coeficientes indeterminados nos lleva a escribir m = -+- 2i, m' = -+- 3i,

de tal forma que YI' = A sen 3x

( 10)

+ B cos 3x.

Cuando la YI' de (10) es sustituicia en (8), se encuentra, por supuesto, que A = - ~, B = O. 5 En contraste, considérese la ecuación

(D2

(11 )

+ 4D + 4)y =

sen 3x.

Aquí cualquier tentativa para encontrar una solución proporcional al sen 3x está destinada al fracaso debido a que, no obstante que IYy también será proporcional al sen 3x, el término Dy involucra al cos 3x. No hay otro término en cualquiera de los dos miembros de (11) que compensen ese término cos, así que no hay solución de la forma y = A sen 3x. Para esta ecuación, m = - 2, - 2, m' = -+-3i, Y en la solución particular Yl' = A sen 3x

+ B cos 3x,

deberá tenerse que B =1= O. La tarea no ha sido salvada por la inspección. En situaciones más complicadas, tales como (D 2

+ 4) Y =

x sen 3x - 2 cos 3x,

el método de inspección no ahorrará trabajo.

Para la ecuación (12)

vemos cómo (D 2

+ 4)

eSI&

= 2gesI&, que

es una solución. Finalmente, observemos que si yl es una solución de

http://carlos2524.jimdo.com/ f62


[Cap. 9

y y2 es una solución de entonces es una solución de

I

+ R2(X).

f (D)y = Rl ( X)

Se sigue fácilmente que la tarea de obtener una solución particular de

• f(D)y = R (x) puede dividirse en partes tratando de separar los términos de R (x) independientemente, si ello es conveniente. Veremos los ejemplos siguientes. Esta es la base del "método de superposición" que desempeña un papel importante en las matemáticas aplicadas. EJEMPLO e): Encontrar una solución particular de (13) Como (D2 - 9) eX

(D 2

-

9)y = 3e" + x - sen4x.

= - 8e"', por inspección vemos que yl =

-~

eX

es una solución particular de

~x

En forma similar, vemos que y2 = -

satisface

(D2 - 9)Y2 = y que

2\

ya =

X

sen 4x

satisface

(D2 - 9)ya = - sen 4x. De aquí que

yp = - ~e'" - ;x

+ 2\

sen4x

es una solución de la ecuación ( 13 ). EJEMPLO d): Encontrar una solución particular de

(14 )

(D2

+ 4) y =

De inmediato vemos que yl =

(D2

sen x

+ sen 2x.

i sen x es una solución de

+ 4)yl =

senx.



§47]

Entonces buscamos una solución de

(D2

(15)

+ 4))12 =

sen 2x.

por el método de coeficientes indeterminados. Como m =

+ 2i Y

m' = +- 2i, hacemos

y2 = Ax sen 2x

+ Bx cos 2x

en (15) Y fácilmente determinamos que

4A cos 2x - 4B sen 2x = sen 2x, de la cual A

= 0, B = -

l.

De este modo una solución particular de (14) es

. yp =

i

sen x-lx cos 2x. EJERCICIOS

1. Demuéstrese que si b =1= a, entonces (D2 + a2)y = sen bx tiene la solució:J. particular y = (a 2

-

b 2 )-1 sen bx.

2. Demuéstrese que la ecuación (D2 + a 2 ) y = sen ax . no tiene solución de la forma y = A sen ax, con A constante. Encuéntrese una solución particular de la ecuación. X

SOL.

Y = - 2a cos ax.

En los ejercicios 3-50, encuéntrese la solución particular por inspección. Verifíquese el resultado.

3. (D2 + 4)y = 12. (D2 + 4D + 4 )y = 8. 7. (D3 - 3D + 2)y = -7. 9. (D2 + 4D)y = 12. 11. (D3 + D)y = 15. 13. (D4 - 4D2)y = 24. 15. (D5 - D3)y = 24. 17. (D2 + 4)y = 6 sen x. 18. (D2 + 4)y = 10 cos 3x. 19. (D2 + 4)y = 8x + 1 - 15e". 20. (D2 + D)y = 6 + 3e 2".

?

4. (D2 + 9)y = 18. 6. (D2 + 2D - 3 )y = 6. 8. (D4 + 4D2 + 4)y = - 20. 10. (D3 - 9D)y = 27. 12. (D3 + D)y = - 8. 14. (D4 + D2)y = -1 2. 16. (D5 - 9D3) Y = 27. SOL. Y = 2 sen x. SOL. y = - 2 cos3x. SOL. y = 2x + 1 - 3e". SOL.

y

= 6x

+ ie2".


21. 22. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49.

[Cap. 9

Ecuaciones na homogéneas, coeficientes indeterminados

(D2 + 3D - 4)y = 18e2". (D2 + 2D + 5)y = 4e" - 10. (D2 - l)y = 2e-1". (D2 - 1) y = cos 2x. (D2 + l)y = e" + 3x. (D2+ l)y = -2x + cos 2x. (D2 + 1)y = 10 sen 4x. (D2 + 2D + l)y = 12e". (D2 - 2D + 1)y = 12e-". (D2 - 2D - 3)y = e". (4D2 + 1)y = 12 sen x . (4D2 + 4D + 1)y = 18e" - 5. (D3 - 1)y = e-Z. (D3 - D) Y = e 2". (D4 + 4)y = 6 sen 2x. (D3 - D)y = 5 sen 2x.

Y = 3e2". y = fe" - 2. (D2 - l)y = 2x + 3. (D2 - 1)y = sen 2x. (D2 + l)y = 5e- a". (D2 + 1) Y = 4e-2 ". (D2 + 1)y = _6e-3". (D2 + 2D + 1)y = 7e- u . (D2 - 2D + 1)y = 6e- 2". (D2 - 2D - 3)y = e2". (4D2 + 1)y = 12 cosx. (4D2 + 4D + 1)y = 7e-" + 2. (DS - l)y = 4 - 3X2. (D4 + 4)y = 5e 2". (D4 + 4)y = cos 2x. (D3 - D)y = 5 cos 2x. SOL.

SOL.

24. 26. 28. 30. 32. 34. 36. 38. 40. 42. 44. 46. 48. 50.


CAPÍTULO

10

Operadores diferenciales inversos

48.

EL CAMBIO DE LA EXPONENCIAL

=

Sea D d/dx como es usual, y supóngase que V(x) posee tantas derivadas como podamos encontrar en las operaciones que realicemos. Entonces D[e-lUV(x)] = e-
De aquí, operando nuevamente con D, llegamos a D2[e-
=

La iteración del proceso produce, para n, cualquier entero positivo, D"[e--azV(x)] = e-lU(D - a)"V(x). Usando la linealidad de los operadores diferenciales, concluimos que cuando f(D) es un polinomio en D con coeficientes constantes, entonces

( 1)

f (D)[e-lUV (x)] =

e--az f (D :.- a) V (x) . 165


Ope radores diferenciales inversas

[Cap. 10

En la ecuación ( 1), hacemos e-azV (x) = y. Entonces (1) se transforma en f (D) y = e-=f (D - a) [e-azy ], o

(2) La relación (2) muestra cómo trasladar un factor exponencial de la izquierda de un operador diferencial a la derecha del operador. Esta relación tiene muchos usos, uno de los cuales se demuestra en los ejemplos siguientes. EJEMPLO a) : Resolver la ecuación (3)

Obsérvese que la función complementaria es

(4) Podemos concluir que hay también una solución particular (5)

la cual puede obtenerse por el método del capítulo 9. Pero la tarea de obtener las derivadas de yp y encontrar los valores numéricos de A, E, e y E es un poco tediosa. Podemos simplificarla con el uso del cambio de exponencial (2) . Escribamos (3 ) en la forma

e- a"(D2 - 2 D

+ 5)y =

16xa,

apliquemos entonces la relación (2), con a = - 3. Al trasladar la exponencial e-a,. del lado izquierdo al derecho del operador diferencial, debemos reemplazar D por (D + 3) en toda la expresión, obteniendo así [ (D + 3) 2 - 2 (D + 3) + 5]( e-a,.)') = 16xa, o

(6) En la ecuación (6 ), la variable dependiente es (e-azy) . Sabemos de: inmediato que (6) tiene una solución particular de la forma

(7) Las diferenciaciones sucesivas de ( 7 ) son sencillas. Realmente,


El cambia de la exponencial

§48]

D(cS"'yp) = 3Ax2 + 2Bx D 2 ( e-S"'yp) = 6Ax + 2B,

+ e,

así que de (6) obtenemos

6Ax

+ 2B + 12Ax2 + SBx + 4e + SA~ + SBX2 + sex + SE =

De aquí,

16xs •

SA = 16,

+ SB = 0, 6A + SB + 8e = 0, 2B + 4e + 8E = 0, = 2, B = - 3, e = ~ E = O. 12A

de las cuales A

2'

Por tanto o yP

= (2x 3

-

3X2

+ ~x)e3!JJ

y la solución general de la ecuación original (3) es

y = Cle'" cos 2x

+ cze'" sen 2x + (2x

3

-

3X2

+ :x) e3'" 2

La función complementaria tendría también que haber sido obtenida ' de (6). BJEMPLO

(8)

b): Resolver la ecuación

(D2 - 2D

+ l)y = xea: + 7x -

2.

Aquí no es recomendable el uso inmediato del cambio de la exponencial debido a que quitando el factor ea: del primer término del miembro derecho, solamente se insertaría un factor e-a: en el segundo y tercer términos de la derecha. Los téÍminos 7x - 2 del miembro derecho, no significan ningún problema en la forma en que están. Por tanto, separamos ,( 8) en dos problemas, obteniendo una solución particular para cada una de las ecuaciones. (D 2 - 2D + 1) yl = xea: ( 9) y ( 10)

(D 2 - 2D

+ 1 )Y2 =

7x - 2.

En ( 9 ) usamos el cambio de exponencial, pasando de



168

a (11 )

U na solución particular de (11) se obtiene fácilmente:

e-"Yl = ¡¡Ox s, así que (12) La ecuación (10) se trata como en el capítulo 9. Hacemos

y2 = Ax

+ B.

Entonces Dy2 = A, Y de (10) es fácil encontrar que A De este modo una solución particular de (10) es

y2 = 7x

(13)

= 7, B = 12.

+ 12.

Usando (12) Y (13), y las raíces de la ecuación auxiliar de (8 ), la solución general de (8 ) puede ahora escribirse como:

y=

(Cl

+ C2X) e" + ~xse" + 7x +

1~.

EJEMPLO c): Resolver la ecuación (14 )

De inmediato tenemos m = 0, 0, -4, -4 Y m' = -4. Primero buscamos una solución particular. Por tanto, integramos cada miembro de (14) dos veces antes de emplear el cambio de la exponencial. De ( 14) se sigue que (15) las constantes de integración no se toman en cuenta debido a que solamente buscamos una solución particular. La ecuación (15) produce

e4"(D + 4 )2yv = 6, D2(Yve4") = 6, ype4" = 3x2, Yv = 3x2 e-4". Así, la solución general de (14) es

y=

Cl

+ C2X +

(Ca

+ C4X + 3x2)e-"'.

http://carlos2524.jimdo.com/ El cambio de la exponencial

§48]

169

El cambio de la exponencial es particularmente útil cuando se aplica en conexión con términos para los cuales los valores de m' (usando las notaciones del capítulo 9), son valores repetidos de los de m. EJERCICIOS

En los ejercicios 1-12, úsese el cambio de la exponencial para encontrar una solución particular. 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

(D_3 )2y= e 3" . (D - 1)2y = e". (D + 2 )2y = 12xe-2". (D + 1)2y = 3xe-". (D - 2 )ay = 6xe 2". (D + 4) 3 y = 8xe--4". (D + 3)Sy = 15x 2 e- s". (D - 4) Sy = 15x2 e 4 ". D 2(D - 2)2y = 16e 2". D 2(D + 3)2y = ge- s" . (D 2 - D - 2 ) y = 18xe-". (D 2 - D - 2 ) y = 36xe 2".

SOD.

y = 2x 3 e-2".

SOL.

SOL. SOL.

SOL.

Y = f x 2 e 3".

y = lx 4 e2". y = lx 5 e- 3". y = 2x 2e2".

y= - (3X2 + 2x)e-".

SOlJ.

En los ejercicios 13-18 encuéntrese una solución particular, usan_ o do el cambio de la exponencial en parte de su trabajo, como en el ejemplo b) anterior. 13. (D - 2) 2y = 20 - 3xe2". 14. (D - 2) 2y = 4 - 8x + 6xe2". 15. y" - 9y = 9 (2x - 3 + 4xe3" ). SOL. 16. y" + 4~¡' + 4y = 4x - 6"2,, + 3e". 17. (D + 1) 2y e-" + 3x. 18. (D2 - 4)y = 16xe- 2" + 8x + 4.

=

SOL.

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

y = 5 - ix 3 e 2".

SOL.

Y = 3 - 2x SOL.

Y

+

(3 X2 - x) e 3".

= i x 2e-" + 3x -

Y = - (2x

+

1) (xe- 2"

+

6. 1).

En los ejercicios 19-28, encuéntrese la solución general. y" - 4y = 8xe 2O:. S OL. y = cl e- 2" + (C2 - fx + X2) e2 ,.. S y" - 9y = - 72xe- ". D(D + l)2y = e-". SOL . D2 (D - 2 )2y = 2e 2". SOL. y" + 2y' + y = 48e-" cos 4,X1. y = (Cl + C¡,X - 3 cos 4x ) e-". y" + 4:r' + 4y = 18e- 2" cos 3x. (D - 1)2y = e"sec2 xtan,XI. SOL. y = e"(Cl + C2X + f tanx) . (D2 + 4D + 4)y _ ;c2e- 2". SOL . y e- 2"(Cl + C2X + In x). (D - a)2y e""t"(x). SOL. y e""[cl + C2X + f(x)]. (D2 + 7D + 12)y = e- S"sec2 x (1 + 2tanx) . SOL. y = clr" + e-3"(c2 + tan x).

=

=

= =


- ,. 49.

EL OPERADOR 111(D)

Buscando una solución particular de f(D)y = R(x),

( 1) es natural escribir

1

(2)

Y = f(D) R ( x)

y hacer lo posible para definir un operador 1I f (D ) tal que la función y de (2) tenga significado y satisfaga la ecuación (1).

En lugar de edificar una teoría de tales operadores inversos, adoptaremos el siguiente método de ataque. Manipulaciones puramente formales ( injustificadas) de los símbolos serán realizadas, de este modo llegaremos a una evaluación tentativa de

1

f(D) R(x).

Después de todo, la única cosa que requiere nuestra evaluación es que (3)

1

f(D) • f(D) R (x) = R ( x).

De aquí el peso de la demostración recaerá sobre la verificación directa de la condición (3) en cada caso.

50.

EVALUACIóN de [111(D)Je'lZ

Probamos (páginas 127-128) con notación ligeramente diferente que (1 ) Y (2)

La ecuación (1) sugiere (3 )

1

I(D)e

UZ

- / (a)'

I() =1= O a •

uz

UZ

az _

e

Ahora de (1) se sigue que

f(D) e = f(a)e f (a) f(a)

= e"'''.

http://carlos2524.jimdo.com/ 17 1

[1/f!DJ]e""

Eva l uación d e

§SO]

En consecuencia se comprueba (3). Ahora supóngase que f (a) = O. Entonces f(D) contiene el factor (D - a). Supóngase también que el factor se encuentra precisamente n veces en f (D) ; esto es, sea ~( a)

f(D) = rp(D)(D - a)";

*0.

Con la ayuda de (2) obtenemos ~(D)

(D - a)"(x"e a,,) =

~(D)n!ea$,

de la cual, por (1) se sigue que (4)

~(D)

(D - a) "(x"e llX ) =

n!~(a)ellX.

Por tanto escribimos (5)

1 _ _ _ __ e ax cp(D)(D - a)n

xne u n!cp(a)

= ---,

cp(a);é- 0,

lo que se comprueba fácilmente. De hecho,

"e uz

I (

) az

X ~(D)(D - ar,--= n.~ a e = ellX.

n!~(a)

n ! ~ ( a)

Obsérvese que la fórmula (3) está incluida en la fórmula (5) como el caso especial n = O. Véase también el ejercicio 19 de esta sección. EJEMPLO a): Resolver la ecuación

(D 2

(6)

+ 1)y =

éZ

Donde las raíces de la ecuación auxiliar son m = + i. Además,

f (D) = (D 2 y

f ( 2)

*

+ 1)

O.

En consecuencia, usando (3),

1

yP

e2"

2Z

1

= D2 + 1 e = 2 + 1 = "5 e2", 2

así, la solución de (6) es

Y=

Cl COS X

+ C-2 sen x + -51 e2".

http://carlos2524.jimdo.com/ [Ca p . 10

O pera d o res d ifere ncia les inversos

172

EJEMPLO b) : Resolver la ecuación (7)

Donde m = 0, 0, 1, 1, 1, - 1. Para obtener una solución particular de (7) usamos la fórmula (5) con a = 1, n = 3,
_ 1 Yp - (D - 1)3D2 (D

,, _ X3e " - 3!F . 2

+ 1) e

_

1

S"

- 12 x -e.

Entonces la solución general de (7) es

y= 51.

C1

+ C'1.X + C3e + r

"

(C4

+ C5X + C6X2 + . :. . x 3 ) e" 12

+ a2)-1 sen ax y

EVALUACIóN DE (D2

(D2

+ a2)-1 cos

ax

Ningún artificio especial se necesita para la evaluación de

+ a2t1 sen bx,

(D2 cuando b =1= a. En efecto

D2

1

+a

2

sen bx =

sen bx 2 b 2 ; b =1= a,

a -

como se indicó en el ejercicio 1 de la sección 47, Y un resultado similar es válido para la expresión (D 2 + a2 ) -1 cos bx, cuando b =1= a. Consideremos ahora la evaluación de ( 1)

1 D2

+a

2

sen ax.

Las fórmulas de la sección precedente conviene usarlas aquí, como

senax= - - - -

2i

entonces

x eai'"

=--

2a

+ e-4i'" 2


Eva luación de

ID2

+ a 2)- l

sen

ax y ID2

+ a 2)- l

cas

ax

173

tal que (2)

1 x =-------,.sen ax = - -cos ax. 2 D2 + a 2a

La comprobación de (2) se deja como ejercicio. Otro resultado útil, 1 x =-- -2 cos ax = - sen ax, (3 ) D2 + a 2a se puede obtener del mismo modo. EJERCICIOS ORALES

Dése la solución general de cada una de las ecuaciones. 1. (D2_1)y = e 2"'. 2. (D2 - l)y = e"'. 3. (D2 + 1) Y = sen x . 4. (D2 + 4)y = cos 2x. 5. (D2 + 9)y = e2"'. 7. (4D2 + 1).y = e- 2"'. 9. D (D - 2)2y = e 2"'. 11. (D 2 + 4)y = cos 3x. 13. (D'¿ + 4)y = sen 2x. 15. (D2 + 9 ) Y = sen 3x.

Y = ele'" + e2e-'" + le 2 ' . y = ele'" + e2e-'" + ixe"'. SOL. y = el cos x + C2 sen x-ix cos X. SOD. y = el COS 2x + e2 sen 2x + ix sen 2x. 6. (D2 + 4)y = e3"'. 8. D(D - 2)y = e-"'. 10. D(D + 3)2y = e- 3"'. 12. (D2 + 9)y = cos 3x. 14. (D2 + 36 )y = sen 6x. 16. (D2 + 36)y = cos 6x. SOL.

SOL.

EJERCICIOS

1. Verifíquese la fórmula (2) de la sección 51. 2. Obténgase y verifíquese la fórmula (3) de la sección 51.

3. 4.

5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14.

En los ejercicios 3-18, encuéntrese la solución general. (D2 + 3D - 4)y 12e 2"'. SOL. y el e-4'" + C2e'" + 2e 2"'. 3 (D2 + 3D - 4)y = 21e "'. (D2 + 3D - 4)y 15e:t. SOL. y el fT 4'" + (e2 + 3x)e"'. (D2 + 3D - 4)y = 20e- 4"' . (D2 - 3D + 2)y e'" + e2"'. SOL. y (el - x) e'" + (e2 + x)e 2"'. (4D2 - l )y = e"'/2 + 12e"'. D2(D - 2) 3y = 48e 2"'. SOL. y = el + e2x + (e3 + e4x + e5x2 + 2x3) e2!J1. (D4 - 18D2 + 81) Y = 36e 3 :C. (D2 + 16)y = 14 cos 3x. SOL. Y = el cos 4x + e2 sen 4x + 2 cos 3x. (4D2 + l)y = 33 sen 3x. y" + 16y = 24 sen 4x. SOL. y = (el - 3x) cos 4x + e2 sen 4x. y" + 16y = 48 cos 4x.

= = =

= =

=

http://carlos2524.jimdo.com/ 15. y"

16.

17. 18.

19.

[Cap. 10

Operadores diferenciales inversas

174

+y=

12 cos 2x - sen x. SOL. y = (C1 + tx) cos X + e2 sen X - 4 cos 2x. y" + y = sen 3x + 4 cos x. (D2 - 2D 5) y = eZ cos 2x. Sugerencia: Úsese el cambio de la exponencial seguida por la fórmula (3) de la sección 51. (D2 + 2D + 5)y = e-z sen2x. SOL. y = e-Z (el cos 2x + e2 sen 2x) - ixe-fl! cos 2x. Pruebe que si f(x) = (x - a) "r¡>(x) , entoncesf<") (a) = n!r¡> (a). Después use la ecuación (5) de la secció;¡ 50 para probar que

+

*

donde n es el entero no negativo más pequeño para el cual f
20. Ejercicio 5. 22. Ejercicio 9.

21. Ejercicio 6. 23. Ejercicio 10.

En los ejercicios 24-29, verifíquense las fórmulas enunciadas.*

1 _ f ( -D ) sen ax . . . 24. f (D ) senax_ f (ai )f ( -ai) , f (m) f ( -az) *0. 1 25. f(D) cosax

=

1

26. f(D) se;¡hax = 1

27. f(D ) cosh ax = 1

f ( -D )cosax .. f (ai)f ( -ai) ;f(m)f( - az)

f ( -D ) senh ax f(a)f(-a)

28. (D2

+ a2)"senax =

29. (D2

+a

1

2 )"

;f(a)f( -a ) *0.

f ( -D ) cosh ax f (a)f( -a )

= O.

; f (a) f( -a)

*

O.

x"

(2a)"n! sen (ax - tn7T).

x" cosax = (2a)nn! cos (ax - tn7T).

En los ejercicios 30-33 úsense las fórmulas de los ejercicios 24-25 anteriores. 30. Ejercicio 1, sección 46. 32. Ejercicio 12, sección 46.

31. Ejercicio 11, sección 46. 33. Ejercicio 32, sección 46.

* Las fórmulas de los ejercicios 24-27 fueron obtenidas por C. A. Hutchinson, "An Operational Formula", Amer. Math. Monthly, 40, 1933, páginas 482-483; las de los ejercicios 28-29 fueron dadas también por C. A. Hutchinson, \ "Note on an Operational Formula", Amer. Math. Monthly, 44, 1937, páginas 371-372.


52.

EVALUACIóN DE [1//(D)Jx"

En libros más

avanzados'~'

se prueba que

1

f(D) x

"

se evalúa correctamente si reemplazamos l/f (D) por su desarrollo formal en series de potencias ascendentes de D, llevando al cabo después las operaciones indicadas. Por una evaluación entendemos que si yp es el resultado de la evaluación, entonces f(D)yp = x". La extensión de este método para la evaluación de [1/f (D) ] P(x) , . donde p ( x) es un polinomio en x, deberá ser evidente. Dos comentarios se imponen aquí. Primero, si f (D) tiene un factor Dk, k > O, entonces las potencias negativas de D aparecerán en el desarrollo. Estas son intérpretadas como integraciones iteradas según ilustramos abajo.

Nótese que en la búsqueda de una solución particular, desdeñamos constantes de integración. La .presencia de potencias negativas de D se evita fácilmente como se muestra en el ejemplo b). Segundo, solamente un número finito de términos en el desarrollo de la serie de l/f ( D) afecta al resultado, como para m > n, D"'x" = O. EJEMPLo a): Encontrar una solución particular de la ecuación. Ahora

entonces YP

= D2 + 1 X2 = 1

(1 - D2) X2

= X2

-

2 .

en la cual todos los términos que involucran a D"'X2 para m sido eliminados debido a que cada uno es cero.

>

2 han

* Véase E. L. Ince, Ordinary Differential Equations. Londres: Longmans-Green, 1927, página 140.



176

EJEMPLO b): Resolver la ecuación ( 1)

Primero integremos cada miembro de la ecuación ( 1) tres veces, sin tomar en cuenta las constantes de integración, así obtenemos

Entonces 1

YI'

= D2 _

5

1 . :0

= (-

2

4

1- D - D - D

6 -

• )

x5 60'

de la que X5

YI' = - 60 -

XS

3" -

2x.

La solución general de (1) es a

y = Cle

Il:

x + C2e + + C4X + csx -"3 2

-Il:

Cs

x

5

60'

donde el ténnino (- 2x) de YI' se ha incluido en la función complementaria. Si no deseamos evitar las potencias negativas de 'D, podemos, de (1) escribir de inmediato

YP = DS(D! _ 1) x 2 = D-S( - 1 - D 2 - IY - D 6

~

)x2 . . . ) x 2. •••

= ( - D-s - JFl - D _ D S ~ Ahora D-l X2 = r/3, D-2X2 = x4/12, JFSx2 = x 5 /60, DX2 D 3r = 0, .por tanto

= 2x, y

como antes. EJEMPLO c): Encontrar una solución particular de la ecuación (2)

Aquí

Dividiendo 1 entre ( (3)

b_

+ 2 (2x - x 2 + D + D2), división larga,

YI' = D2

3

).

se encuentra que

yp= (-i-iD-!D2-l'6 Ds- .. ·)(2x-x3 ).


Obse rvaciones adicionales sobre el método operacional

177

De (3) después de un poco de labor, concluimos que y" = i x 3

(4)

+ ix + ~ X + 2

lSl.

El carácter formal del proceso que hemos usado hace imperativa la verificación de nuestro resultado final por sustitución directa en la ecuación diferencial original. Se deja la verificación al estudiante. La brevedad de la solución anterior se debe a la omisión de casi todo el trabajo, por ejemplo, la división larga y la reducción de (3) a (4). Antes de ser demasiado entusiasta de este método, el estudiante deberá resolver la ecuación (2) por el método del capífulo 9, así como efectuar . los pasos omitidos en el desarrollo anterior. Cuando se haga esto se pueden comparar los dos procesos. Parece haber un tipo de ecuación para el cual este método es mucho más ventajoso que los vistos previamente. Véase el siguiente ejemplo. EJEMPLO d): Encontrar una solución particular de la ecuación

(DS - l)y =

X 15 •

AqUÍ

1 Y"-Ds -l

X15

= ( -1 - D S

Pero D S X 1 5 = 15 !x7 /7!. Por tanto y" = 53.

_ X

-

••

· )X 15 •

*

15

-

15 !x7 !7!.

OBSERVACIONES ADICIONALES SOBRE EL MÉTODO OPERACIONAL

Como la ecuación

( 1)

(D - m)y = R (x)

es de primer orden, se puede utilizar un factor integrante e-m",. Se sigue que una solución particular de (1) es y" = ,e",xfe-mXR (x) dx, donde la constante de integración puede ser omitida. De este modo vemos que

*

Para aquellos que la vida haya sido especialmente dura, es admisible que

15!/7!

= 259 459 200.



[Cap. 10

(2 )

Supóngase que f (D) = (D - ml) (D - m2) ... (D - m..), en e! cual los factores son todos distintos. Entonces existe el desarrollo de fracciones parciales

(3) en e! que Al, A2, ... ,A" son constantes. Se puede demostrar * que en [l/f(D)]R (x), e! operador 11t(D) puede ser reemplazado por e! IIÚembro derecho en (3). Entonces, la fórmula (2) o cualquier otra herramienta matemática adecuada puede usarse para calcular cada térrrúno de! tipo Ak( D - mktlR (x). Aun si f(D) involucra factores repetidos, se puede efectuar un cálculo similar al realizado en el caso anterior. Entonces, el desarrollo en fracciones parciales requiere la evaluación de términos de la forma (D - m)-nR (x) con n> 1. Haciendo

yp = (D - mtnR (x) , entonces

(D - m)"yp = R (x) , en la cual el cambio de la exponencial trabaja perfectamente. Así, de

e-tll4: (D - m)nyp = e-"''''R (x ) se sigue que

D" ( e-"''''yp) = e-m",R ( X ) , de tal forma que el valor de yp puede obtenerse con n integraciones. En un paso de la deducción de la fórmula para el cambio de la exponencial, demostramos (sección 48) que para cualquier y

f(D)y = eG.2:f(D

+ a)(e-a",y).

Escojamos

_

az

y - e f(D

1

+ a)

V( ) x.

Entonces

f(D)y = eG.2:f (D + a) [,(D = eazV(x).

~ a) V(x) ]

* E. L . Ince, Ordinary Differential Equations. Londres: Longmans-Green, 1927, páginas 140-141.


Observaciones adicionales sobre el método operacional

§S3]

Por tanto 1 f(D)

- - eU"V(x) = y o

(4)

,

1 1 _ _ [eU"V(x)] = ea.: V(x). f(D) f(D + a)

La relación (4) puede emplearse para hacer el cambio de la exponencial automáticamente al resolver una ecuación tal como

(D 2

(5)

-

2D

= D2

_

+ 5)y =

e'" cos 2x.

Aquí yP

~D + 5 (eX cos 2x) ,

de la cual, debido a (4), podemos escribir -

X

y" - e (D

+ 1)

1

2 _

2 (D '+ 1)

x

1

2

+ 5 cos

x

o _

Y'P - e D 2

+ 4 cos 2x.

Entonces, empleando (3), de la sección 51, obtenemos yp = ixex sen 2x. EJERCICIOS

En cada ejercicio, encuéntrese una solución particular _y verifíquese el resultado.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

(D2_1)y=x3. SOL. y= -x 3 -6x. (D2 - l)y x4. SOL . 'Y _ x 4 - 12x2 - 24. 3 (4D2 + l)y = x • SOL. y = x 3 - 24x. 4 4 (4D2 + l)y x • SOL. y x - 48x2 + 384. (D - 1)2y x~. SOL. y X2 +4x + 6. (D + l)2y X2 + 3x + 3. SOL. Y X2 - X + 3. (D - 1)2y x 3 - 4x2. SOL. y x 3 + 2X2 + 2x. (D + 1) 2y x 3 + 6x2. SOL. y x 3 - 6x + 12. 3 D(D2 + 4)y = 4x + 2,X'. . SOL. Y = iX1 - fx\ D2(D2 + 4)y 12x. SOL. y ix 3 • D2(D + l)y = 12x - 2. SOL. Y = 2X3 7X2. D2(D - l)y 12x - 2. SOL. Y -2x3 - 5xZ,. (D2 - 3D + 2)y 6X2 - 6x - 11. SOL. Y 3X2 + 6x + f. (D2 - 3D + 2)y = 2X3 - 9X2 + 2x - 16. 3 SOL. Y = x - 2x 11.

= = = = = = = =

= =

= = = =

=

=

= =



180

15. (D6 - l)y = x lO • 16. (D3

+ 3D2 -

Y = _ x lO

SOL.

4)y = 16x3

+ 20

2

•

SOL.

y = -4x3

_

lO!

-

4! x 4

5X2 _ 18x _

2/ .

MISCELÁNEA DE EJERCICIOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19.

20. 21.

22. 23. 24. 25. 27.

En los ejercicios 1-18 encuéntrese una solución particular. (D2 - 4D + 4)y = 6X2e2X . SOL. y = ix 4e2"'. 3X (D - 3)2y = e . SOL . y = ix 2e3"'. 2X D (D - 2)y e . SOL. y 1xe2"'. D2 (D + l)y = e-x. SOL. y = xr. (D 2 + 4)y = 8x 5 • SOL. y = 2X5 - 10x3 + 15x. 2X (D2 + 4)y 16xe • SOL. y (2x - 1)e 2x . 2X (D 2 + 4D + 5) Y = 4e- cos X. SOL. y = 2xe- 2X sen x . (D2 - D - 2)y = 4X2 - 3e-x. SOL. y = )Ce-x - 2X2 + 2x - 3. 2 (D2 - 4D + 13 )y = 24e 2Xsen3x. SOL. y = - 4xe Xcos3x. 2X (D2 - 4D + 13 )y 24e senx. SOL. y 3e2 x senx. x (D 2 - 3D + 2)y (x - 2)e . SOL. y _i (X2 - 2x)e"'. (D2 - 3D + 2 )y 72xe-x. SOL . y 2(6x + 5)e-z. (D2 + 4)y 12(sen x + sen 2x ) . SOL . Y 4 sen x - 3x cos 2x. (D 2 + 4)y 20 (e:r - cos 2x). SOL. 'Y 4e x - 5x sen 2x. (D2 + 16)y 8 (x + sen 4x). SOL. Y x(i - cos 4x). (1)2 + 4)y 8 sen x cos X. SOL. y -x cos 2x. (D2 +4 )y = 8cos 2 x. SOL. y = 1+xsen2x. (D4 - 1)y = x 6 • SOL. y = _ x 6 - 360X2.

=

=

=

= = = =

=

= = =

=

=

=

=

= =

=

En los ejercicios 19-28, encuéntrese la solución general. (D2 - 4D + 13)y = 24e 2Xcosx. SOL. y = e2X(cl cos 3x + C2 sen 3x + 3 cos x) . (D2 - 4D 13 )y = 24e 2"'cos3x. SOL. y = e 2"(Cl cos 3x + C2 sen 3x + 4x sen 3x). (D2 + 25)y = sen 5x. SOllo y = Cl COS 5x + C2 sen 5x - O.lx cos 5x. D(D2 + l)y = senx. SOL. y = Cl + C2 COS X + (C3 - ix) sen X. D 2( D2 + l)y = sen x. SOL. Y = Cl + C2X + (C3 + -§;x) cosx + C4 sen x. (D2 - 3D + 2 )y = X2 - 2x. Ejercicio 8, sección 46. 26. Ejercicio 10, sección 46. Ejercicio 18, sección 46. 28. Ejercicio 19, sección 46.

+

En los ejercicios 29-34, encuéntrese la wlución particular indicada. 29. (D 2 + l )y

= 4e x,

cuando x

= O, Y = O Y y' = O. SOL.

y = 2 ( eX cos x - sen x) .

I

http://carlos2524.jimdo.com/ J

Observa ciones adicionoles sobre el método operacionol

§53]

181

+ 4) Y = 2x - e, cuando x = O, Y = 1 Y y' = O. SOL. 4y = 12 cos 2x - sen 2x + 2x - 8. (D2 + 3D + 2 )y = 4x cuando x = O, Y = O Y y' = O. . SOL. Y = 2X2 - 6x + 7 - Be-" + e-

30. (D2 31.

2

,

2

32. (D2 - l)y

= sen 2x,

cuando x

= O, Y = O Y y' = 1.

".

lOy = 7 (e" - e-") - 2 sen 2x; o 5y = 7 se:ili x - sen 2x. 33. (D2 + 2D)y = 2x, cuando x = 0, y = 0, y cuando x = 1, Y = O. SOL. 2y = X2 - x. 34. La ecuación del ejercicio 33 con las condiciones de que cuando SOL. 4y r c- 2X2 - 2x + 1 - e-2". x = 0, y = y y' = O. SOL.

°

En los ejercicios 35-37, obténgase de la solución particular indicada . el valor de y y el valor de y' en x = 1.

+ 2y' + y = x + 2, cua:J.do x = 0, y = 1 Y y' = O. SOL. Enx = l,y:;::: (e - l) j eyy' = (e - l)je. y" + 2y' + Y = x + 2, cuando x = 0, y = O Y y' = O. SOL. En x = 1, y= '(e-l) je y y' = 1. (D2 + l)y = 3, cuando x = 7rj2, Y = y y' = O.

35. y"

36. 37.

SOL.

°=

En x = 1, Y

0.4756 Y y'

= -1.6209.



CAPÍTULO

11

La transformada de Laplace

54.

EL CONCEPTO DE LA TRANSFORMADA El lector se ha familiarizado ya con algunos operadores que transforman funcioneS en funciones. Un ejemplo interesante es el operador diferencial D que transforma cada función de una clase grande (aquellas que poseen derivadas) en otra función. Hemos encontrado que el operador D es útil en el tratamiento de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En este capítulo, estudiamos otra transformación (un mapeo de función sobre función), el cual desempeñaba en las pasadas décadas un papel que ha aumentado de importancia tanto en matemáticas puras como aplicadas. El operador L, de la sección 55, es particularmente efectivo en el estudio de problemas con valores a la frontera involucrados en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Una clase de transformaciones, las cuales se llaman transformaciones integrales, pueden definirse por

(1)

T{F(t)}

=J

00

K(s, t)F( (t) dt

= I(s).

-00

183


la transformada de laplace

[Cap. 11

Dada una función K (S, t), llamada el núcleo de la transformación, la ecuación (1) asocia con cada F ( t ), de la clase de funciones para las cuales la integral anterior existe, una función f (s) definida por (1). Las generalizaciones y abstra<:ciones de ( 1), así como los estudios de casos especiales, se encuentran profusamente en la literatura matemática. Varias elecciones particulares de K (5, t) en ( 1) dan transformadas espe~iales, cada una con sus propiedades particulares para utilizarlas en Circunstancias específicas. La transformada definida por la elección

K (s, t) = 0, para t < 0, = e-st, para t ~ O. es una de las que trataremos en este capítulo. 55.

DEFINICIóN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea F (t) una función cualquiera tal que las integraciones encontradas pueden ser legítimamente efectuadas en F (t). La transformada de Laplace de F(t) se simboliza por L{F(t)} y se define por

( 1)

r

L{F (t)} =

e-stF ( t) dt.

o

La integral en ( 1) es una función del parámetro s; llamada función f (s) . Podemos escribir

(2)

L{F (t)}

=

r o

e-stF(t) ,dt

= f (s).

Se acostumbra referir a f (s), así como al símbolo L{F(t)}, como la transformada o la transformada de Laplace de F (t) . Podemos considerar a (2) como una definición del operador de Laplace L, el cual transforma cada función F ( t) de un cierto con junto de funciones en alguna otra función f (5) . Es fácil demostrar que si la integral en (2) converge, lo hará para toda s mayor que'x, algún valor fijo so. Esto es, la ecuación (2) definirá f (s) para s > so. En casos extremos, la integral puede converger para toda s finita. Es importante hacer notar que el operador L, al igual que el operador diferencial D, es un operador lineal. Si F 1 ( t) Y F 2 ( t ) tienen transformada de Laplace y C1 y C2 son constantes cualesquiera,

* Si la s no se restringe a valores reales, la convergencia tiene lugar para toda r cuya parte real sea mayor que algún valor fijo.


(3)

la transformada de funciones e lementales

L{C,F,(t)

+ c2F2(t)}

= c,L{F,(t)}

185

+ c2L{F2(t)}.

Usando propiedades elementales de las integrales definidas, el estudiante puede fácilmente demostrar la validez de la ecuación (3) . De aquí en adelante debemos emplear la relación (3) sin reparar en el hecho de que el operador L es lineal.

56.

LA TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES

Se obtendrá la transformada de ciertas funciones exponenciales, trigonométricas y de polinomios. Estos resultados aparecerán con frecuencia .en nuestro trabajo. EJEMPLO a): Encontrar L{e kt }. Procederemos como sigue :

L{eTct } =

J~ e- 8t • eTct dt = J~ e- (8-k )t dt.

Para s ~ k, el exponente de e es positivo o cero y la integral diverge. Así, para s > k, la integral converge. Por tanto, para s > k,

L{eTct } = ,

=

1""

e-(B-k)t 'dt

o

[_e- (S -TcJt ]""

s- k o 1 =0+--. s-k Así encontramos que

(1)

L{e1
s> k.

Nótese el caso especial k = O: (2 )

1 L{1} =- , s

s> O.

EJEMPLO b): Obtener L{sen kt}. De cualquier cálculo elemental* o por el empleo de la integración por partes,. dos veces, obtenemos

* Véase E. D. R ainville, Unified Calculu. and Analytic Geometry , Nueva York: The MacmilJan, 1961 , página 345.


Como

[Cap. 11


186

f

az

d

- ·eai: ( a sen mx - m cos mx)

e senmx x -

2

a +m

2

= lco e-at sen kt dl,

L{sen kt}

se sigue que L{ sen k t } = [e-

(3)

+ e.

Bt (

sen kt - k cos 52 + k 2

-5

kt)Jco o'

Para 5 positiva, e-8t ~ O cuando t ~ oo. Más aún, sen kt y cos kt están limitadas cuando t ~ oo. Entonces (3) da _ 1(0 - k) L{senkt} - 0- 2 k2 5

+

,

o (4)

L{sen kt} =

le.

2

5

El resultado

5

L{cos kt} =

(5 )

+k

2

5

+

5> O.

2 ,

k2

5> O,

,

puede obtenerse de manera similar de la fórmula elemental (6)

f

az d - e=(a cos mx + m sen. mx) e cos mx x 2 + 2

a

m

+ c.

EJEMPLO e): Obtener L{f>} para n entero positivo. Por definición L{t"} =

r

e-stt" dt.

o

Resolveremos la integral usando la integración por partes con la elección mostrada en la tabla. tn

- -1 e-st s

nt"-l dt

De este modo obtenemos (7)

r'" e-stt" dl = [ - t"eJo s

st ] '"

o

+!!: 5

rco e-stt"-l dt.

Jo

Para 5 > O Y n > O, el primer término de la derecha en (7) es cero, tenemos entonces


187

La transformada de funciones elementales

S>

O,

o

(8)

L{t"} =

S> O.

2: L{t"-l}, S

De (8) podemos concluir que, para n

>

1,

L{tn-1} = n - 1 L{t"-2}. S

así

(9 ) La iteración de este procesq produce L { t"} :::': n (n - 1) ( n - 2) . . . 2 . 1 L {tO} . s" Del ejemplo a) anterior, tenemos

De aquí, para n entero positivo,

( 10)

L{t n} =

~ S,,+l ,

s > O.

\

La transformada de Laplace de F( t) existirá aun si la función objeto F(t) es discontinua, siempre que la integral en la definición de L{F(t)} exista. En esta ocasión trabajaremos poco con discontinuidades específicas de F ( t ), debido a que métodos más eficientes para la obtención de tales transformadas serán desarrollados más adelante. EJEMPLO d): Encontrar la transformada de Laplace de H(t) donde H(t) = t,

= 5,

0< t

< 4,

t> 4.

Nótese que el hecho de que H (t) no esté definida en t = O Y t = 4 no tiene conexión ya sea con la existencia, o con el valor de L{H (t)}. Volveremos a la definición de L{H(t)} para obtener L{H(t)} = (

=

r o

[stH(t) dt e-stt dt

+ J'" e- st 5 dt. 4

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188

[Cap. 11

Empleando la integración por partes en la integral anterior, llegamos pronto al resultado para 5 > 0, en

[_ ~e-8t - ~e-8tJ4 + [_~e-8tJCO.

L{H (t)} =

5

o

5

5

4

De este modo

L{H (t)} =

4e-48

e- 48

1

5e- ol8

- -5 - -52+ 0+ - 0 +552

EJERCICIOS

1. Empleando la ecuacióa (6) anterior, demostrar que L{cos kt} =

f) 2. Obtener L{t2 -

3t

3. Obtener LUt3

+t

4. Evaluar L{e-4t

+ 3e-

5. Evaluar L{2e 3 t

_

S2

+5 k2'

s> O.

+ 5}. 2

1}.

-

2t

SOL.

}.

2

-

~ + ~,

s> O.

3

SOL .

~

+ ~2 -;,1

s > O.

2(25

(s

+ 7)

+ 2) (s + 4)' SOL.

s S2 _

7. Demostrar que L{senh kt} =

S2 _

k

k2

'

s>

Ikl.

k2

'

s>

Ikl·

s>

s+9 -9' s -

- 2-

s

~ 2.

> 3.

8. Emplee la identidad trigonométrica cos2 A = t( 1 + cos 2A) Y la ecuación (5), sección 56, para evaluar L{ cos 2 kt}. 52 2k 2 SOL. S (S2 + 4k 2 ) , S > O. 9. Por un método semejante al sugerido en el ejercicio 8, obtener 2k 2 2 L{sen kt}. SOL. S(S2 + 4k2)' s> O. 10. Obtener L{sen 2 kt} directameate de la contestación del ejercicio 8. 11. Evaluar L{sen kt cos kt} coa la ayuda de una identidad trigonok métrica. SOL. S 2 + 4k 2 ' s> O. 12. Evaluar L{ e--a t _ e-bt } . b- a SOL . (s + a ) (s + b)' s > Max ( - a, - b) .

+

I

5

~

e- 3t }.

6. Demostrar que L{cosh kt} =

3

SOL.

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189

Funciones seccionalmente continuos

13. Encontrar L{",(t)} donde

", (t) = 4, = 3,

0< t < t>

1, 1.

1 -(4 - e-8) , s>O.

SOL.

5

14. Encontrar L{cp(t)} donde

cp (t) = 1, = t,

0< t < 2, t> 1.

(J

1 SOL.

5

e-28

e-28

5

52

+ - + - , 5 > O.

-15. Encontrar L{A(t)} donde

0< t < 1, 1 < t < 2, t> 2.

A(t) = O, = t, =0, SOL.

(.!. + 2)e52

5

(l + ~) e-

0< t < t>

7r.

8 _

52

28 ,

5

5> O.

16. Encontrar L{B(t)} donde

B(t)

= sen 2t, = O,

SOL.

7r,

2(1 52

57.

e-1TS )

+

--'---::----;4--'--'

s

> O.

FUNCIONES SECCIONALMENTE CONTINUAS

A veces se hace cansado probar cada F ( t) que encontramos para detenninar cuando la integral

( 1)

1rOOo

e- 8 t F ( t) dt

existe para algún rango de valores de 5. Por tanto, buscamos una clase amplia de funciones para las cuales podamos probar que para todas ellas la integral (1) existe. Uno de nuestros intereses reconocidos en la transformada de Laplace es su utilidad como herramienta en la solución de problemas que tienen que ver con aplicaciones más o menos elementales, particularmente en problemas de valores a la frontera en ecuaciones diferenciales. Por tanto, no vacilamos en restringir nuestro estudio a funciones F (t) que sean continuas o aun diferenciables, excepto posiblemente en un conjunto discreto de puntos, en el rango semi-infinito t ~ O.

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190

[Cap. 11

Para tales funciones, la existencia de la integral (1) puede ser comprometida solamente en los puntos de discontinuidad de F ( t) o por la divergencia debida al comportamiento del integrando cuando t ~ oo. En cálculo elemental encontramos que las discontinuidades finitas, o los brincos finitos del integrando, no interfieren con la existencia de la integral. Por tanto introducimos un término para describir funciones que son continuas excepto para tales brincos. DEFINICIÓN:

La función F ( t) se Uama seccionalmente continua sobre

F(t)

I

¡-1

I

, / N O

I

I I I I I

I I I

I

2

3

I

I I I I I I I I I I I I

el intervalo cerrado a ~ t ~ b si este intervalo puede dividirse en un número finito die subintervalos c ~ t ~ d, tal que en cada uno de los subintervalos:

1. F ( t) es continua en el intervalo abierto c < t < d, I I 2. F ( t ) tiende a un límite cuando t I I I , se aproxima a cada extremo del interva5 6 lo desde adentro del intervalo; esto es, FIGURA 17 Lim F ( t) Y Lim F ( t) existen. t-+c+

t~d-

La figura 17 muestra una F ( t) que es seccionalmente cbntinua sobre el intervalo o ~ t ~ b. El lector deberá darse cuenta de que el que F (t) sea seccionalmente continua, no implica la existencia de L{F( t)}. En realidad, podemos encontrar contraejemplos de tal noción. El concepto de funciones seccionalmente continuas en la sección 59, desempeñará un papel en un conjunto de condiciones suficientes para la existencia de la transformada.

58.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Si la integral de e-stf ( t) entre los límites O y to existe para todo to finito positivo, la única amenaza que queda para la existencia de la transformada

(1 ) es el comportamiento del integrando cuando t ~ oo.


191

Funciones de orden exponencial

Sabemos que

J'' ' e -ct dt

(2)

o

converge para c > O. Esto de·spierta nuestro interés por funciones P (t) que están, para t ( t ~ lo), esencialmente lirrútadas por alguna exponencial ebt , tales que el integrando en ( 1) se comporte como el integrando en ( 2) para s suficientemente grandes.

La función P ( t) se llama de orden exponencial cuando si existen las constantes M, b Y a con el valor de t fijo, to, tal que

DEFINICIÓN:

t~ 00

para t

(3)

~

too

Si b está enfatizada, decimos que P(t) es el orden de eht cuando t~ oo. Escribimos también

(4)

t~ 00,

para expresar que P(t) es de orden exponencial, la exponencial será ebt , cuando t ~ oo. Esto es, (4) es otra manera de expresar (3) . La integral en ( 1) puede separarse en partes como sigue:

r

(5)

e-stP (t) dt =

o

r

e-stP(t) dt

o

+

r

e-stP(t) dt.

~

Si P (t) es de orden exponencial, P (t) = O ( ebt ), la última integral en la ecuación (5) existe porque de la desigualdad ( 3 ) se sigue para s> b,

r

(6)

~

le-stP (t ) I dt

r ~

e- st . ebt dt = M exp [-[o( s - b)]. s-b

Para s > b, el úJtimo miembro de (6) tiende a cero cuando t(j~ oo. Por tanto la última integral en (5) es absolutamente convergente* para s > b. Hemos probado el siguiente resultado. TEOREMA 5: Si la integral de e- 8tP(t) entre los límites O y to existe para cualquier to finito y positivo, y si P(t) es de orden exponencial, P (t) = O ( ebt ) cuando t ~ 00, la transformada de Laplace

(7)

L{P (t)}

existe para s

*

>

=

r

e-stP(t) dt

= f(s)

b.

Si se usa s compleja, la integral converge para Re(s)

> b.



[Cap. 11

Sabemos que una función que es seccionalmente continua sobre un intervalo es integrable sobre ese intervalo. Esto nos lleva al caso especial del teorema 5 que es de gran utilidad.

TEOREMA 6: Si F(t) es seccionalmente continua sobre todo intervalo finito en el rango t ~ 0, y si F(t) es de orden exponencial, F ( t) = O (e bt ) cuando t~ co, la transformada de Laplace L{F (t ) } existe para

s> b. Las funciones de orden exponencial desempeñan un papel predominante en nuestro trabajo. Es por esto que deseamos desarrollar una cierta habilidad en determinar cuando una función especificada es o no de orden exponencial. Seguramente, si una constante b existe tal que (8)

Lim [e-btIF(t) IJ t -+ co

existe, la función F ( t) es de orden exponencial, realmente del orden de eot . Para ver esto, sea el valor del límite (8) K =1= O. Entonces para t suficientemente grande le-btF(t) 1 puede estar tan cercana a K como se desee, asi ciertamente le-btF (t) 1 < 2K. Por tanto, para t suficientemente grande,. (9)

con M = 2K. Si el límite en (8) es cero, podemos escribir (9) con M = 1. Por otra parte, si para cada c fija, ( 10)

Lim [e-ct IF(t) IJ = co, t -+ 00

la función F ( t) no es de orden exponencial. Suponemos que b existe, tal que (11 )

t

~

to;

entonces la eIecci6n c = 2b deberá dar, por ( 11), ¡e-2bt F(t) 1 < Me-bt , tal que e- 2bt F(t) ~ 0, cuando t ~ co. Lo cual está en desacuerdo con (10) .

http://carlos2524.jimdo.com/ §S9]

Funciones de clase A

193

EJEMPLO a): Demostrar que t 3 es de orden exponencial cuando t Consideremos, aun sin especificar b,

oo.

Lim (e- bt t 3 ) = Lim t:t' t-+", t-+", e

(12)

> 0, el limite en

Si b

~

3

(12) es de algún tipo tratado en cálculo. En efecto, 2

. t L'1m 3t = L'llT!.b 6t = L'1m 6 = Lun;-¡¡¡= 2bt b3bt bbt t -+", e t-+", e t-+", e t-+", e

° .

Por tanto, t 3 es de orden exponencial.

t 3 = O(re bt ),

t~

8,

'para cualquier b fija positiva. EJEMPLO b): Demostrar que exp (t 2 ) no es de orden exponencial cuando t ~ oo. Considérese (13) si b

~

0, el limite en (13) es infinito. Si b

> 0,

Lim exp W) = Lim exp [t (t - b)] = t-+", exp (bt) t-+",

00

De aquí que no importa qué b fija se use, el límite en (13) es infinito y exp (f) no puede ser de orden exponencial. Los ejercicios al final de la siguiente sección dan una oportunidad adicional para practicar el determinar cuándo una función es o no de orden exponencial.

59.

FUNCIONES DE CLASE A

Por brevedad usaremos de aquí en adelante el término "una función de clase A" para cualquier función tal que a) sea seccionalmente continua sobre cualquier intervalo finito en el rango t Z 0, y b) sea de orden e){ponencial cuando t ~ oo. Podemos entonces enunciar el teorema 6 como sigue.

TEOREMA

7:

Si F(t) es una función de clase A, L{F(t)} existe.

http://carlos2524.jimdo.com/ La transformoda de Laplace

194

[Cap. 11

Es importante darse cuenta que el teorema 7 establece solamente que para que L{F(t)} exista es suficiente que F (t) sea de clase A. La condición no es necesaria. Un ejemplo clásico ' que muestra otras funciones que no son de clase A tienen transformada de Laplace es

F(t) =

t~.

Esta función no es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t ¿ O~ debido a que F ~ co cuando t -7 O. Pero res integrable desde O hasta cualquier positivo to. También t~ ~ O cuando t -7 co, así que t~ es de orden exponencial con M = 1 Y b = O en la desigualdad (3), sección 58. De aquí que por el teorema 5, de la misma sección, L { r-} existe. De hecho, para s > O,

L{r} =

r

e-stt-i dt,

en la cual el cambio de variable ti = {3 da por resultado L{r i } = 2

r o

s> O.

exp ( -sf32 )d{3,

Otro cambio de variable de integración, si{3 = y, da. L{rll } =

2s~

r

s> O.

exp ( - i)dy,

o

En cálculo elemental* encontramos que

r o

exp ( -

i) dy = 1- y-:;'

Por tanto.

( 1)

L{rll } = 2s~' i y-;' =

GY,

s> O,

aun cuando t~ -7 co, cuando t ~ 0+. Se pueden obtener con facilidad ejemplos adicionales y encontraremos algunos de ellos posteriormente en el libro. Si F (t) es de clase A, F(t) está limitada en el rango O ~ t ~ to, (2)

lF(t)1

< Ml,

O ~ t ~ to.

Pero F (t) también es de orden exponencial, (3)

* E. D . Rainville, Unified Calculus and Analyt ic Geometry. Nueva York: The Macmillan, 1961, página 531.


Transformadas de derivadas

§60]

Si escogemos M como el mayor de los valores de M 1 y M z, y c como el el mayor de los valores de b y cero, podemos escribir

IF ( t )1

(4)

<

Me ct ,

t2:0.

Por tanto, para cualquier función F (t ) de clase A,

Ire-8tF( t)dtl
(5)

s>c.

Ya que el miembro derecho de (5) se aproxima a cero cuando s -? hemos probado el siguiente resultado útil:

00,

TEOREMA 8: SiF (t) esdeclaseAysiL{F(t)} =f (s) , Limf(s) = O. 8-> ca

De (5) también podemos concluir el resultado más profundo de que la transformada f(s) de una función F(t) de clase A deberá ser tal que sf (s) está limitada cuando s -? oo. EJERCICIOS

1. Probar que si 1'1 ( t) Y l' z ( t) son de orden exponencial cuando t -?

2. 3.

4. 6. 8. 10. 12. H.

15.

t

16.

60.

00,

entonces F1(t ) • PAt) y 1'dt) + Fz( t) también son de orden exponencial cuando t -? oo. Probar que si F1(t) y F.2( t ) son de clase A, página 193, e:ltonces F1 (t ) + Fz( t ) Y F1 (t ) .Fdt ) tambié:l son de clase A . Demuéstrese que t'e es de orden exponencial cuando t ~ 00, para toda x real. En los ejercicios 4-17, demuéstrese que la función dada es de clase A. En estos ejercicios, n representa a un entero no negativo, y k cualquier número real. sen kt. 5. cos kt. cosh kt. 7. senh kt. 9. t"é t . t". t n sen kt. 11. ttl cosokt. t" senh kt. 13. t n cosh kt. 1 - exp ( -t ) sen kt.

1 - cos kt t

17.

t

.

cos t - cosh t

TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

Cualquier función de clase A, página 193, tiene transformada de Laplace, pero la derivada de tales funciones puede o no ser de clase A. Para la función

http://carlos2524.jimdo.com/ [Cap, 11


: 96

F1 ( t) = sen [exp (t)] con derivada

F; (t) = exp (t) cos [exp (t)], ambas, F1 Y F;, son de orden exponencial cuando t ~ limitada de manera que es del orden de exp (O ' t); exp (t). Por otra parte, la función

00,

F~

Aquí F1 está es del orden

F 2 ( t) = sen [exp (t 2 )] con derivada

F;(t) = 2t exp (t 2 ) cos [exp (t 2 )] es tal que F 2 es del orden de exp (O· t) pero F~ no es de orden exponencial. Del ejemplo b), página 193, ' exp (t 2 ) L 1m = t ..... CtJ exp (bt)

00

para cualquier real b. Ya que los factores 2t cos [exp (t 2 )] aún no se aproximan a cero cuando t ~ 00, el producto F~ exp ( - et) no puede estar limitado cuando t ~ 00, sin importar cuán grande se escoja una e fija. Por tanto, estudiando las transformadas de las derivadas, estipularemos que las derivadas son ellas mismas de clase A. Si F ( t) es continua para t ~ O Y de orden exponencial cuando t ~ 00, y si F' (t) es de clase A, la integral en

L{F'(t)} =

(1 )

r

e-8t F'(t) dt

o

puede simplificarse mediante una integración por partes usando la elección mostrada en el cuadro.

F' (t) dt _se- 8 t dt

F (t)

De este modo obtenemos, para s mayor que algún so fijo,

r

e-8t F'(t) dt = [ e-8t F(t) J~

+

sr

8t

e- F (t)dt,

o (2)

L{F' (t) } = - F (O)

+ sL{F(t)}.


Transformadas de derivadas

197

TEOREMA 9: Si F ( t) es continua para t ;::::: O Y de orden exponencial cuando t ~ 00 y si F' (t) es de claS'e A, página 193, se sigue de L{F(t)} = fes) que (3)

L{F' (t)} = sf(s) - F(O).

Al tratar una ecuación diferencial de orden n, buscamos soluciones para "las cuales la derivada de más alto orden presente, se comporte de manera razonable, digamos seccionaImente continua. La integral de una función seccionalmente continua es continua. De aquí que no perdamos nada al pedir continuidad para todas las derivadas de menor orden que n. La condición de que las diversas derivadas sean de orden exponencial 'se nos impone debido a nuestro deseo de usar la transformada de Laplace como una herramienta. Para nuestro propósito tiene sentido la iteración del teorema 9 para o.btener las transformadas de derivadas de mayor orden. De (3) obtenemos, si F, F', F" están adecuadamente restringidas,

L{F"(t)} = sL{F'(t)} - F'(O), o

(4)

L{F"(t)} = s2f (s) - sF(O) - F'(O),

y el proceso puede repetirse tantas veces como deseemos.

TEOREMA 10: Si F (t), F' (t Y, ... , FCfl.-1) ( t) son continuas para t ¿ O Y de orden exponencial cuando t~ 00, Y si pcn,)(t) es de clase A, entonces de L{F(t)} = f(s) se sigue que

(5)

Así

11--1

L{FC")(t)} = s"f(s) -

~

S1l--1-kFCk)(O).

k=o

L{F(3)(t)} = s3f(s) - s2F(O) - sF'(O) - F"(O), L{F(4)(t)} = s4f(s) - s3F(O) - s2F'(O) -sF" (O) - PC3)(O),etc. El teorema lOes básico en el empleo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. El teorema nos permite transformar tales ecuaciones en ecuaciones algebraicas. La restricción de que F ( t) sea continua puede atenuarse, pero las discontinuidades en F ( t) se presentan en los términos adicionales en la


transformada de P' (t ) . Como un ejemplo, considérese una P (t) que es continua para t ¿ O excepto para un "brinco" finito en t = tI, como en la figura 18. Si P ( t) es también de orden exponencial cuando t~ 00, Y si P' (t) es de clase AJ podemos escribir

BI~

F(t)

I

I

A

I

I

I I I I I I

o

L{P (t)} = FI GURA 18

r

e-8t P' (t) dt

= Jr~ e-stP' (t) dt o

+ J~ e-s tP' ( t)

dt.

t,

Entonces, aplicando la integración por partes a la última de las integrales. obtenemos

L{P' (t)} = [ e-stp( t) ]:'

sr

+

e-st P( t) dt

+ [e-stp ( t)

J:

+ sr e-stP (t)

dt

t,

= sr e-8tP (t) dt o

+ exp (-stl )P(tl-)

- P (O)

+O

~

exp ( - stl)P (tl+) = sL{P (-t)} - P (O) - exp ( - siI) [P(tl+) - P(tl-)]. En la figura l81a distancia dirigida AB es de longitud [P (tl+) - F(tl- )J. TEOREMA 11: Si F ( t) .es de orden exponencial cuando t ~ 00 y F (t) es continua para t ¿ O excepto para un "brinc.o" finito en t = tI, Y si P' (t ) es de clase AJ entonoes de

L{P (t)} = f(s) se sigue que (6)

L{F' (t)} = sf (s) - F (O) - exp (-stl) [F(tl+) - F (iI-)].

Si F ( t) tiene más de una discontinuidad finita, términos adicionales, similares al último término en (6), "aparecerán en la fórmula para L{P'( t)}.

61.

DERIVADAS DE TRANSFORMADAS

Para func;iones de clase A J los métodos de cálculo avanzado muestran que es válido diferenciar la integral de la transformada de Laplace. Esto es, si F ( t) es de clase A de J

.


Derivadas de transformadas

( 1)

f(s) =

se sigue que ( 2)

f'(s) =

r o

r

•

199

e-8t F (t ) dt

( -t )e-8t F(t) dt.

o

La integral del núembro derecho en (2) es la transfonnada de la función ( -t )F ( t). TEOREMA 12: Si F(t) es una función de clase A, se sigue de

L{F (t)} = f(s) que

f' (s) = L{ -tF(t)}.

( 3)

Cuando F(t) es de clase A, ( -t) Ic F(t) también es de clase A para cualquier entero positivo k. TEOREMA 13: Si F (t) 'es de clase A, se sigue de L{F(t)} = f (s) que para cualquier entero positivo n, n d f(s) = L{( -t) nF(t)}. (4) ds" 'Estos teoremas son útiles en varias situaciones. Una aplicación inmediata es la de aumentar nuestra lista de transfonnadas con un poco de trabajo. Sabemos que k ( 5) k2 = L{senkt},

r+ ?

y por tanto, por el teorema 12,

-2ks

(2

s

+ k 2)

2

= L{-tsenkt}.

De este modo obtenemos ( 6)

De la fóm1Ula conocida S

2

s

+ k~

= L{cos kt}

obtenemos diferenciando con respecto a s,

(7)

http://carlos2524.jimdo.com/ la transformada de laplace

200

[Cap. 11

Sumemos a cada miembro de (7) el miembro correspondiente de S2

~P =

L{¡senkt}

para obtener S2

+(S2p ++ k2)2 k2 -

S2

{1

}

= L ksenkt - tcoskt ,

de.la cual se sigue que

(8)

62.

(S2

~ k 2 )2 = L{2~3 (senkt -

ktcoskt)}.

LA FUNCIóN GAMA

Para obtener la transfonnada de Laplace de potencias no integrables de t J necesitamos de una función que generalmente no se trata en matemáticas elementales. La función gama l' (x) está definida pOI

(1) La sustitución de (x (2)

+ 1) 1'(x

por x en (1) da

+ 1)

=

r

e-f3{3" d{3.

Una integración por partes, integrando e-f3 d{3 y diferenciando f3"J da (3)

1'(x

+

1) =

[-e-f3{3"J~ + x

r

e-f3{3"-l d{3.

Como x> O, {3" ~ O cuando {3 ~ O. Ya que x está fija, e-f3{3: ~ O cuando {3 ~ oo. Así (4)

1'(x

+ 1)

TEOREMA 14: Para x

>

= x

r

e- f3{3"-ld{3 = x1'(x).

0, 1'(x

+

1) = x1'(x).

Suponemos a n entero positivo. La iteración del teorema 14 nos da 1'(n

+ 1)

= n1'(n) = n ( n - 1)1'(n - 1) = n(n - 1) (n - 2) .. ·2·1·1'(1). = n!1'(I).


Funciones peri6dicas

§63]

Pero, por definición r ( 1)

=

r

e-~,eo d,8 = [ -e-~ J~ = 1.

TEOREMA 15: Para n entero positivo, r(n-+ 1) = n! En la integral de r (x + 1) en (2), hagamos ,8 = st con s > y t como la nueva variable de integración. Esto produce, ya que t ~ 0, cuando ,8 ~ Y t ~ 00 cuando ,8 ~ 00,

°

°

(5)

r (x

+ 1)

= Joo e-Bti"t"'s dt = 1'+1 JOO e-stt'" dt, o

o

+ 1 > O. Entonces obtenemos r (x + 1) = J'" e-Btt'" dt s> 0, x > 1'+1 o '

que es válido para x

1,

lo cual en nuestra notación de la transformada de Laplace dice que

s> 0,

(6)

x>-1.

Si en (6) ponemos x = - t, obtenemos L{r-i} = r(¡) .

s

ro)!.De aquí Pero ya sabemos que L{t1} = (--; (7)

r(t)

63.

FUNCIONES PERIóDICAS

= ...¡;

Supóngase que la función F ( t) es periódica de periodo w: (1)

F (t

+ w)

= F (t ).

La función está completamente determinada por (1) una vez que la naturaleza de F (t) a lo largo de un periodo, t < w, está dada. Si F ( t) tiene una transformada, L{F(t)} =

(2)

r

°: ;

e-stF(t) dt,

la integral puede expresarse como una suma de integrales, (3)

'"

L{F (t) } = ~ f1.=o

Hagamos t = nw

+ ,8.

J (n+l)W

e-8 tF(t) dt.

nw

Entonces (3) se transforma en


202

L{F ( t ) } = Pero

F(~

(4)

+ 1liü)

~o (

exp ( -snw -

[Cap. 11

s~)F ( ~ + 1liü) d~.

= F ( ~), por iteración de ( 1). De aquí

L{F (t)} =

f

exp ( -sn w )

n=o

r

( - s~)F(~) d~.

exp

o

La integral del miembro derecho de ( 4) es independiente de n y podemos sumar la serie del miembro derecho, 00

~o exp (-sn w )

00

= ~fl [exp ( -swH' = 1 _

1 e-8W

'

TEOREMA 16: Si F ( t) tiene una transformada de Laplaee y F (t + <ó) = F (t),

Sl

(e-8F(~) d~ (5)

L{F(t)}=

1_e-8W

•

Supongamos ahora que una función H (t) tiene un periodo 2e y que p edimos que H(t) sea cero a lo largo de la mitad derecha de cada periodo. Esto es

H (t

(6)

+ 2e)

= H (t ),

H (t) = g(t), O::; t < e, = 0, e ::; t < 2e.

(7)

Entonces decimos que H ( t) es una rectificación de media onda de g ( t) . Empleando (5) podemos concluir que para H ( t) definida por (6) Y (7), c

•

J exp (-s~)g (ft ) dft (8)

L{H (t)} = \

- exp (-2 es )

a): Encontrar la transformada de la función tf¡ (t, e) mostrada en la figura 19 y definida por

EJEMPLO

tf¡(t, e) = 1, = 0,

(9)

tf¡(t

( 10)

+ 2e, e)

0< t e
< e, < 2e;

= tf¡(t,e).

Podemos usar la ecuación (8) Y el hecho de que c

Jo exp

(

- s(3) d(3 , = 1 - exp ( -se) S


¡P (t, e)

o

C

2C

3C

4C

FIGURA 19

para concluir que (11 )

1 1 - exp ( -se) _ 1 L{.p (t, e)} = -; . 1 _ exp ( - 2se) - ~ . 1

1

+ exp (-se)'

EJEMPLO b) : Encontni.r la transformada de la función onda cuadrada

Q(t, e) mostrada en la figura 20 y definida por Q (t, e) = 1,

(12)

Q (t

( 13 )

+ 2e, e)

0< t

< e,

= Q (t, e).

Esta transformada puede obtenerse usando el teorema 16, pero también ( 14)

en consecuencia, de ( 11 ) (15)

L{

Q(

te) } J

= !s [ 1 + exp2 ( -

se)

-IJ =1-. s

l-exp ( - se). 1 + exp ( - se)

Q (t,c)

o

C

2C

3C

4C

-1

FIGURA 20


204

[Cap. 11

Multiplicando numerador y denominador de la última de las fracciones anteriores por exp (-!se), podemos expresar (15) en la forma

L{Q(t, e)} =

(16 )

l

tanh es.

2

5

EJERClCIOS

1 (ñ)~ 1. Demostrar que L{ t! } = 25 ~ ,

(ñ)!

15 ~ , 2. Demostrar que L {ti' } = 8f!

> O.

5

5

> o.

3. Use la ecuación (4), página 197, para deducir L{senkt}. 4. Use la ecuación (4), página 197, para deducir L{coskt}. 5. Compruebe las tra:lsformadas conocidas de sen kt y cos kt una contra otra, empleando el teorema 9, página 197. 6. Si n es un entero positivo, obtener L{tnek t } de la transformada conocida L{ek t } empleando el teorema 13, página 199.

n! SOL.

7. Encontrar L{t 2 sen kt} .

SOL.

8. Encontrar L{t 2 cos kt}.

SOL.

k)n+l' 2 2k (3s - k 2) (5 _

(52

+ P )3 ,

2S (s2 - 3k 2) (S2 + k2) 3 '

5> k. 5>

o.

5> O.

9. Para la función F(t) = t + 1, = 3,

o ~ t ~ 2, t> 2,

grafique F (t) Y F' (t ) . Encuentre L{ F (t) }, Encuentre L{ F' (t)} por dos métodos. SOL. L{F' (t)} = ,1(1 - e- 28 .) , 5> O. 10. Para la función

H (t ) =

t

+ 1,

= 6,

o ~ t ~ 2, t> 2,

encuentre lo mismo que en el ejercicio 9. 11. Definida una función de onda triangular T (t, e) por

T(t, e) = t, o ~ t ~ e, = 2e - t, e < t < 2e; T (t + 2e, e) = T (t, e). Describa T (t, e) y encuentre su transformada de Laplace. SOL.

1 es tanh - . s2

-;


205

Funciones periódicos

12. Demostrar que la derivada de la función T (t, c) del ejercicio 11 es, excepto en ciertos puntos, la función Q (t, c) del ejemplo b) de la sección 63. Obtener L{T(t, c)} de L{Q(t, c)}. 13. Describir una rectificación de media onda de la función sen wt, como se define a continuación, y encontrar su transformada.

F(t ) = sen wt, -r.

= O, F(t

w

+ ~) =

F (t). 1

w

SOL .

S2+ w2.

(S7r) .

l-exp - w

14. Encontrar L{F(t)} donde F(t) = t para 0< t < w y F(t F( t). SOL.

.!.. -

~

52

S

exp ( -sw) = 1 - exp ( - sw )

1. + ~ (1 S2

25

15. Probar que si L{F(t ) } = f(s) y si F(t) It es de clase A.

L{F~t)} =

r

f(f3) df3.

Sugerencia: Aplique el teorema 12, página 199.

_

+

w) =

coth~). 2


I ,


CAPÍTULO

12

Transformadas inversas

64.

DEFINICIóN DE UNA TRANSFORMADA

INVERS~

Supóngase que la función F (t) se determina de una ecuación diferencial con condiciones a la frontera. El operador de Laplace L se emplea para transformar el problema original en un nuevo problema para el cual la transformada se encuentra. Si la transformada de Laplace es efectiva, el nuevo problema deberá ser más simple que el problema original. Primero encontramos f (s) , luego debemos obtener F ( t) de f (s). Por tanto, es deseable desarrollar métodos para encontrar la función objeto F (t) cuando la transformada se conoce. Si L{F (t ) } = f (s), ( 1) decimos que F( t) es una transformada inversa de Laplace, o una transformada inversa de f (s) y escribimos

(2)

F (t) = L-1 {f (s) }.

Ya que ( 1) significa que (3)

r

e-stF (t) dt = f(s), 207


Transformadas ¡n-, ¡ersas

[Cap. 12

se sigue de inmediato que una transformada inversa no es única. Por ejemplo, si F1 (t) y F2( t) son idénticas excepto en un conjunto discreto de puntos y difieren en aquellos puntos, y el valor de la integral en (3) es el mismo para las dos funciones; su transformada es idéntica. Vamos a emplear el término función nula para cualquier función N (t) para la cual

r

(4)

N(t) dt = O

to

para cualquier positivo to. El teorema de Lerch (que no se demuestra aquí) establece que si L{F1(t)} = L{F2 (t)}, entonces F1(t) - F2(t) = N (t). Esto es, una transformada inversa de Laplace es única excepto por la adición de una función nula arbitraria. La única función nula continua es cero. Si una I(s) tiene una inversa continua F ( t), entonces F ( t) es la única función continua inversa de I(s). Si I (s) tiene una inversa F1(t) continua sobre un intervalo cerrado especificado, cualquier inversa que también es continua sobre ese intervalo, es idéntica a F1 (t) sobre el intervalo. Esencialmente, las inversas de la misma 1(s) difieren a lo más en sus puntos de discontinuidad. En las aplicaciones, la falta de unicidad causada por la .adición de una función nula no es vital, debido a que el efecto de la función nula sobre las propiedades físicas de la solución, es nulo. En los problemas que tratamos, la inversa F(t) se pide que sea continua para t ~ O, o bien que sea seccionalmente continua con los valores de F ( t) en los puntos de discontinuidad especificados en cada problema. La F(t) es entonces única. Un método burdo, pero algunas veces efectivo para encontrar la transformada inversa de Laplace, es construir una tabla de transformadas (página 235) Y usarla en sentido inverso para encontrar las transformadas inversas. Sabemos, del ejercicio 1, página 188, que (5)

L{coskt} =

Entonces (6)

1

L-

t2~

s k2

r+ ?

'

F} = cos kt.

Refinaremos el método anterior, y realmente lo haremos bastante poderoso, desarrollando teoremas para los cuales una 1(s) dada puede ser desarrollada en partes componentes cuyas inversas son conocidas (encon-


209

Definición de una transformada inversa

tradas en las tablas). Otros teoremas nos permitirán escribir 1(s) en formas alternadas que nos darán la inversa deseada. El más importante de tales teoremas es el que establece que la transformación inversa es una operación lineal.

TEOREMA 17: Si Cl y C2 son constantes, L-l{Ctll(S)

+ C42(S)}

= clL-l{/t(s)}

+ c2L-l {f2(S)}.

Ahora probaremos un teorema simple, pero extremadamente útil, sobre la manipulación de transformadas inversas. De

I(s) =

(7) obtenemos

f.(s - a) =

=

r r

e-BtP(t) dt,

r

e-(B-
De este modo de L-l{f(s)} = P(t) se sigue que

L-l{f(s - a)} = eOotP(t) , o

(8)

. La ecuación (8) puede representarse con la exponencial trasladada al otro miembro de la ecuación. De este modo obtenemos el siguiente resultado. .

TEOREMA 18: L-l{f(S)} = e-
EJEMPLO a): Encontrar L-

t2 + l;+ Id·

Primero completamos el cuadrado en el denominador.

t2 + L5+ 13} = L-1 t + ~~ 2+ 9}' t2: = 5+ 13} = 5L-1{ (s + :)2 + 9} = 5e- L-1t2: 9} L-l t2 + L 1

L-

Como sabemos que L-l

s

k2}

senkt, procedemos como SIgue: 2t

= 5e-2t sen 3t,

http://carlos2524.jimdo.com/ Transformadas inversas '

210

[Cap, 12

donde hemos empleado el teorema 18.

b): Evaluar L-1 {

EJEMPLO

Escribimos L -1 {

52 + 65+ +1 25} 5

•

52 + 65+ +1 25} -_ L (5 + 3)+21+ 16} . 5

-1 {

5

Entonces

L-

1

t2 : ~ ~ 2s} = e-stL- t: ; ~6} = e-st [L- t2 : 16} - iL- t2 : 16}] 1

1

1

= e-

3t

(cos 4t -

i sen 4t). EJERCICIOS

En los ejercicios 1-10, obtener L-l{f(5)} de la f(5) dadéll.

')

1

.1. S2

+ 2s + 5 . 1

2)

S2 _

3.

S2

4.

S2 _

5.

S2

+ 8s +

6.

S2

+ 8s + 16'

S2

+ 6s + 13'

+

6s s 2s

+

2.

13'

SOL.

e-t(cos2t-isen2t).

SOL.

e3t (cos 2t

+i

1

:JI .

SOL.

s-5

25 - 1

+ 4s + 29' 3s + 1 -1 J 9. (s + 1) . 8.

SOL.

r

SOL.

e~2t (2

t

te-4t.

e-4t(1 -

4t).

(ros 2t - 4 sen 2t).

$2

cos st

e-t

SOL.

4

5) 10. (s + 2)3'

SOL .

11. Demuéstrese que para n, un entero no negativo L-l

1

{ (s

} - _ tne-at _ - n! •

+ a)n+l

sen 2t) .

SOL.

16'

s

7., \ 7

e 3t sen t.

SOL.

10'

+ s·

6~ +

ie-t sen 2t .

SOL.

e-

2t

-

sen st) .

G i ts) . t2

-

(1 - 4t

+ 2t

2

).


Función escalón

§65]

12. Demuéstrese que para m

> 1

L-l { (s

-1 ,

+ a )"H-l

t"'e-at

}

= r (m

+ 1) '

13. Demuéstrese que

L-l{

(s

+ a1)2 + b2}=..!.b e-atsenbt.

14. Demuéstrese que

L-l{

(s

+

s a )2

+

}=..!. e-at( bCosbt-asenbt). b2 b

= F(t)

se sigue que

16. Para a> 0, demuéstrese que de L -l{f(s)} = F(t)

se sigue que

15. Para a> 0, demuéstrese que de L-l {f (s) } L-l{f(as)) =

L-lf{ ( as

65.

~ F G).

+ b)} = ~ exp ( - ~) F

G).

FUNCIóN ESCALóN

Hay aplicaciones que frecuentemente tratan con situaciones que cambian abruptamente en tiempos especificados. Necesitamos una notación para una función que suprimirá un término dado de un cierto valor de t e insertará el término para toda t mayor. La función que vamos a introducir nos da una herramienta poderosa para la construcción de transformadas inversas. . Definamos una función a ( t) mediante 1

( 1)

a (t) =0, = 1,

t

~

O.

La gráfica de IX (t) se muestra en la figura 21. La definición (1) indica que a (t) es cero cuando el argumento es negativo, ya (t) es la unidad cuando el argumento es positivo o cero. Se sigue que (2)

,1"1 1

t< 0,

a (t - e) = 0, = 1,

"'SS, """"'""''0.1 FIGURA 21

t

[Cap. 12


La función a permite escribir fácilmente el resultado de interpretar la gráfica de F ( t). Si la gráfica de

(3)

y=F(t),

t¿O,

es como ·se muestra en la figura 22, la gráfica de

y=a: (t-c )F(t-c),

(4)

y

t¿c,

y

/'

I I I

I I I

01

o

e

FIGURA 22

FIGURA 23

es la que se muestra en la figura 23 . ¡\demás, si F (x ), está definida para - e S x < O, FU - e) está definida para O S t < e y la y de (4) es cero para O S t < c, debido al argumento negativo en a ( t - c). Nótese que los valores de F ( x ) para x negati,-a no se relacionan con este resultado debido a que cada yalor está multiplicado por cero (de la a) ; solamenté se necesita la existencia de F para argumentos negativos. La transfoffi1ada de Laplace de a (t - c )F\ t - c) está relacionada a la de F (t). Considérese

L{a(t - c)F(t - c)} = Como el (t - c ) obtenemos

=

O para O

r

e-sta( t - c)F (t - c) dt.

S t < c

L{a(t - c)F(t - c)} =

y a (t - c)

r

=

1 para t ¿ c,

e-stF (t - c) dt.

Ahora hagamos t - c = v en la integral para obtener

L{a(t - c)F(t - e)} =

r

e-S (C+lJ) F(v) dv

o

= e-cs

r o

e-,vF(v) dv.


Función escal ón

§6S]

Como una integral definida es independiente de la variable de integración

r

r

=

e-8V F(v) dv

o

e-8t F ( t ) dt

o

= L {F (t) } = tes) .

Por tanto hemos demostrado que (5) L{a(t - c)F ( t - e) } = e-CSL{F (t)} = e-CS f (s).

TEOREMA 19: SiL- 1 {f (s)} =

F ( t ) ,sic~O,ysiaF (t)

se le asignan

valores (no importa cuáles) para - e ::;; t < O, ( 6) L-1 {tr C8 f (s)} = F ( t - c)a (t - e ) . EJEMPLO a): Encontrar L{y ( t)} donde (figura 24)

y (t) = t\ = 6,

O < t < 2, t > '2.

y

6

Aquí, el empleo directo de la definición de una transformada nos da

L{y ( t)} =

r ca

t 2e-8t dt

r

+

.4

6e- st dt.

2

Aunque las integraciones anteriores O 2 no son difíciles, una de ellas puede FIGURA 24 (o no puede, dependiendo de la habilidad de la persona que esté efectuando los cálculos ), involucrar dos integraciones por partes. Preferimos usar la función a. Ya que a(t - 2) = O para t < 2 Y a(t - 2) = 1 para t ~ 2 construimos la y( t ) en la forma siguiente. El tanteo burdo y1 = t 2 es adecuado para O < t Por tanto escribimos

<

2, pero deseamos eliminar la t 2 cuando t

y2

= t2

-

> 2.

t2a (t - 2),

Esto nos da t 2 para t < 2 y cero para t> 2. Entonces sumamos el término 6a (t - 2) y llegamos finalmente a

(7)

y (t) = t 2

-

t 2a (t - 2)

+ 6a (t -

2),

La y de ( 7) es la y de nuestro ejemplo y, por supuesto, puede escribirse inmediatamente después de adquirir cierta práctica con la función a. No es necesario emplear pasos intermedios como la formación de y1 y y2.


Transformados inversos

214

Desafortunadamente, la y de ( 7) no está aún en la forma más adecuada para nuestro propósito. El teorema que deseamos emplear nos da

L{F (t - c)a(t - e) } = e- C8 f (s). Por tanto, debemos expresar el coeficiente de a ( t - 2) como una función de (t - 2) . Ya que _t 2

+6=

-

W-

4t

+ 4)

- 4 ( t - 2)

+ 2,

(8) y ( t) = t 2 - ( t - 2) 2a (t - 2) -4 ( t - 2)a (t - 2) +2a (t - 2), de la cual se sigue de inmediato que

L{y (t)} EJEMPLO

2

2e- 28

4e- 28

2e- 2 8

=SS - -SS- - -S2 + -S .

b) : Encontrar y describir una función g (t) para.la cual

,

_4e- + 4e-

g(t) = L-l{~ s Sabemos que L-1

{~} =

8

S2

4t. Por et. teorema 19 obtenemos

/ {4e- } n-l~T

.

3

}.

S2

s

g(l)

S8

y

L-1

• =4 ( t-1)a ( t-1)

{4;;8}= 4( t -

3) a ( t - 3).

Podemos entonces escribir, g (t) = 3 - 4(t - l )a (t - 1) + 4 (t - 3)a (t - 3).

(9)

-5

Para escribir g (t) sin la función a, considérese primero el intervalo

FIGURA 25

0:;;t<1

en el cual a(t - 1)

g (t) =3,

( 10)

Para 1:;; t

< 3,

¿

3)

= O.

Encontramos

O:;;t<1.

a(t - 1) = 1, Y a ( t - 3) = O. De aquí

= 3 -4(t - 1) = 7 -4t, 1:;; t < 3. 3, a(t - 1) = 1 Y a ( t - 3) = 1, así que g (t)

(11) Para t

= O Y a(t -


( 12 )

Función escalón

215

t~3.

g( t)=3-4 (t - l ) +4 (t-3)=-5,

Las ecuaciones ( 10), ( 11 ) Y ( 12) son equivalentes a la ecuación (9). La gráfica de g ( t ) se muestra en la figura 25. . EJERCICIOS

En los ej ercicios 1-8, expresar F(t) en términos de la función a y obtener L{F (t ) }. 1. F (t) = 2,

= 2. F (t) =

= 3. F (t) =

0< t < 1,

t,

1. 6, 0< t < 4, 2t + 1, t > 4. t2, 0< t < 1, 4, t> 1. t2, 0< t < 2, 4, 2:::; t:::; 4, 0, t > 4. t2, 0< t < 2, t - 1, 2 < t < 3,

= 4. F(t) = = = 5. F (t ) = = = 7,

t>

3.

SOL.

e- t ,

6. F (t) = = 0, 7. F (t) = sen 3t,

= , 8. F (t) = sen 3t, = 0,

°

t

~s + e- (~fl + ~) . s 48

~ + e-s (~~ SJ S S2

SOL.

SOL.

~SJ -

e-21

2

-

SJ

-

e-2&

-

S2

S3

al

_

i:).

1 1 - exp ( - 2s - 2 ) SOL. s 1 3 s exp ( -f7l"s) SOL. 9

+

> .1~71" .

+

S2

•

+

3(1 + tr''')

71",

>

~). SJ

-

(·4+ -2)

(~+ ~+~) +tr (~S S S2 S3

0< t < f7l", 0< t <

8

SOL.

'o < t < 2, t> 2. t

~s + e- (~~). fl S

SOL.

t>

SOL.

71".

S2

+9

.

9. Obténgase y descríbase una transformada inversa de Laplace de s

10. Evaluar L-1

ts :8 )a}'

s SOL.

F (t) = 5a (t - 3) - a (t - 1).

i (t -

4)2 exp [- 2 (t - 4)] a (t - 4) .

2

SOD.

11. Si F(t) es continua para t

~ OY

F ( t ) = L -1 { (s :381)

a}

evaluar F (2), F (5) , F (7 ). SOL.

F (2 )

= O, F (5)

= 2e- 2 , F (7)

= 8e-4.



216

~

12. Si F(t) es continua para t

F(t)

OY

= L-1 { (1 -

e-23 ) ( 1 - 3e- 23 ) } 2

'

s

evalúe F ( I ) , F ( 3), F (5). SOL..

F ( I)

= 1, F (3) = -1 , F (5 ) = -4.

00

13. Pruebe que", (t, e) =

~

(-1) na (t - nc ) es la misma función que

11= 0

se empleó en el ejemplo a), sección 63. Obsérvese que para cualquier t específica, la serie es finita; el problema de la convergencia no está involucrado. 14. Obtener la transformada de la rectificación de media onda F (t) de sen t, escribiendo

F (t) = sen t '" (t, 7r) en términos de la '" del ejercicio 13 a:1terior, aplique el hecho de que ( -1) n sen t = sen (t - n7r) Compruebe el resultado con el del ejercicio 13 de la sección 63.

66.

UN TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

Ahora buscamos una fórmula para la transformada mversa de un producto de transformadas. Dado que (1)

L-l{f(S)}

= F (t ) ,

L-l{g(S)}

= G(t),

en las cuales F ( t) Y G ( t ) suponemos que son funciones de clase A, obtendremos una fórmula para

(2)

L-l {f (s) g(s)}.

Como f (s) es la transformada de F ( t) , podemos escribir

(3 )

f (s) =

r

e-stF (t) dt.

o

Como g(s) es la transformada de G(t), (4)

g(s)

=

r

e- 8 !3G (f3) d,f3,

o

en la cual, para evitar confusión, hemos usado f3 en lugar de t, como la variable de integración en la integral definida. Por la ecuación (4) , tenemos . (5)

f (s) g(s) =

r

e- 8 !3f (s) G(f3 ) df3.


Un teorema de conv o luci ón

§66)

En el segundo miembro de (5 ) encontramos el producto e- S !3t (s) . Por el teorema 19 de la sección 65, sabemos que de

L-1 {f (s) } = F (t)

(6 ) se sigue que

(7)

L-l{e- S !3f(s ) } = F (t - (3 )a(t - (3 ) ,

en la que a es la función escalón discutida en la sección 65. La ecuación ( 7) significa que

(8) o

e-SPI(s) = [ e-stF (t - (3 )a (t - (3) dt.

Con la ayuda de (8 ) podemos expresar la ecuación (5) en la forma

(9)

f(s)g (s) =

rr

e- st G «(3)F ( t - (3 )a(t -

Ya que a (t - (3) = O para O < t < ecuación (9) p1,lede expresarse como

( 10 )

f (s)g (s) =

13 y a (t - 13)

rcor e-stG (.(3 )F (t -

Jo

f3~

dt d(3.

= 1 para t ~ (3, la

(3) dtd(3 .

f3

En ( 10), la integración en el plano t(3 cubre la región sombreada mostrada en la figura 26. Los elementos están sumados desde t = (3 hasta t = 00 y luego desde (3 = O hasta 13 = oo. Por los métodos del cálculo avanzado puede demostrarse que, debido a que F ( t ) Y G (t ) son funciones de clase A J es legítimo intercambiar el orden de integración o en el segundo miembro de la ecuación FIGURA 26 ( 10 ) . De la figura 26 vemos que en el nuevo orden de integración, los elementos están sumados desde (3 = O hasta 13 = t, Y por tanto, desde t = O hasta t = oo . Entonces, obtenemos

I(s)g(s) = [ ( e- st G (f3 )F (t - (3) df3 dtJ. o

http://carlos2524.jimdo.com/ Transformadas inversas

218

[Cap. 12

Ya que el segundo miembro de ( 11 ) es precisamente la transformada de Laplace de

r o

G (f3) F (1 - f3 ) df3,

hemos llegado al resultado deseado, que se llama el teorema de convolución para la transformada de Laplace.

=

=

T EOREMA 20: Si L-1{f(S) } F (t), si L-1{g (S)} G (l ), Y si F ( t) Y G (1) son fun ciones de clase A , sección 59, entonces

L t

( 12)

L-1 {¡ (S) g(s) } =

G(f3 )F ( t - f3) df3.

Es fácil mostrar que el segundo miembro de la ecuación ( 12) es también una función de clase A. Por supuesto F y G son intercambiables en (12), · ya que f y g aparecen simétricamente en la ecuación ( 12). Podemos entonces sustituir (12) por (13 )

L-1{¡ (S)g(s) } = ( F (f3)G (t - f3 ) df3.

Este resultado es inmediato de la ecuación ( 12) haciendo un cambio de variable de integración. EJEMPLO: Calcular L -1

{f (:)}.

Si L -1 {¡ (s )} = F ( t) . Ya que

L-

1

{~} =

1,

empleamos el teorema 20 para concluir que L-1

67.

{f(:)} = r: F (f3 ) df3.

FRACCIONES PARCIALES

Al emplear la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales, necesitamos a menudo obtener la transformada inversa de la fracción racional N (s ) ( 1) D (s )'


Fracciones parciales

219

Tanto el numerador como el denominador, de ( 1), son polinomios en 5 y el grado de D (5) es mayor que el grado de N (s). La fracción ( 1) tiene el desarrollo en fracciones parciales empleado en el cálculo.* Debido a la linealidad del operador inverso L-\ el desarrollo en fracciones parciales de ( 1) nos permite sustituir un problema complicado por otro más sencillo, obteniendo una transformada inversa, con un conjunto de problemas simples. EJEMPLO a) : Obtener L - 1

6

2

{

3

s

}

+S 4--:5 + 3S '

Ya que el denominador es un producto de factores lineales distintos sabemos que deben existir las constantes A, B y C tales que

Multiplicando cada término por el más mínimo común denominador obtenemos la identidad

(2)

S2 -

6 = A (s

+ 1) (5 + 3) + Bs (5 + 3) + Cs (5 + 1),

de la que necesitamos ahora determinar A, B y C. Empleando los valores 5 = 0, -1 , -3, sucesivamente en ( 2), obtenemos

= O: 5 = -1: s = - 3:

-6 = A(1)(3),

5

-5=B(-I) ( 2), 3 = C ( -3 )( - 2 ),

de donde A = -2, B = 5/2, C = t. Entonces 52 6 --:----::-::-_::+ _-2 + _ 2_ = _ f- _. + 4s + 3s s 5 + 1 s + 3' Á

S3

Ya que L-1

2

{!} = 1 y L- {_1_}= e-at, obtenemos el resultado deseado. + 1

s

s

a

L-1{sa + 4s- 6+ 3s} = S2 --:

1

EJEMPLO b): Obtener L- {

5s 3 53

-

-2

6s -

+ ~e-t + te-ato

3}

(s + 1) 2

•

Coma el denominador contiene factores lineales repetidos, debemos suponer fracciones parciales de la forma: ... Véase E. D. Rainville, U nified Calculus and Analytic Geometry. Nueva York : The Macmillan, 1961, páginas 357-364.


( 3)


3 5s - 6s - 3 = Al S3(S + 1) 2 S

[Ca p. 12

+ A2+ A3+ ~ + S2 S3 S+ 1

Correspondiendo a un factor denominador (x en general, r fracciones parciales de la forma

~+

A2 • (x - y)-

x-y

De (3) obtenemos (4) 5s3 - 6s - 3 = AlSZ( S + I r

+ ...+

Bz (s + 1)"

yr,

debemos suponer,

Ar ( x-y )

l"

+ A ,s(s + 1) 2 + A 3(S + 1)2 + BlS

3

(S + 1)

+ B2S3,

que debe ser una identidad en s. Para obtener las cinco ecuacionesnecesarias para la deterrrllnación de Al, A z, A 3 , Bl Y B" hay dos métodos elementales que son bastante populares. Estos dos métodos son: emplear los valores específi cos de s en (4) o igualar los coeficientes de iguales potencias de s en los dos miembros de (4). Empleando cualquier combinación de estos dos métodos, se obtienen ecuaciones simples que nos sirven para encontrar Al, A 2, ... , B2. De (4 ) obtenemos - 3= -2 = O= 5 =

A 3 ( 1) , B2( -1 ) , Al + Bl, 2Al + A2 + Bl -6 = A 2 + 2A 3.

s = O: s = -1: coef de S4: coef de S3: coef de s:

+ B2,

Las ecuaciones anteriores nos dan Al = 3, A 2 = O, A3 = -3, Bl = -3, B 2 = 2. Entonces encontramos que L_l{5S3 - 6s - 3} = L-l{~ S3(s + 1) 2 S

= 3I

EJEMPLO e): Obtener L- t (S2

_1 __3_ + S+ 1

S2

~t2 -

3e- t

2 }

(s + 1) 2

+ 2te-t .

~ 4)}

Ya que los factores cuadráticos requieren las correspondientes fracciones parciales para tener numeradores lineales, principiamos con un desarrollo de la forma

16 S(S2 + 4) 2

+ :i. + BIS + C S S2 + 4 . ,

I

= B 2s + C2 (S2

+ 4)

2'


221

Fracciones parciales

De la identidad 16 = A (S2

+ 4 )2 +

(BIS + e l) S(S2 + 4 )

+ (B2S + e 2)S,

no es difícil encontrar los valores A = 1, B1 = -1, B2 = - 4,

e

2

el = o,

= O.

Por tanto obtenemos

L -1 {

16

S(S2 + 4 ) 2

} = L- 1

{lS __+

S_ _

s~

4

4s } (S2 + 4 ) 2

= 1 - ces 2t - t sen 2t Es posible obtener fórmulas para los desarrollos en fracciones parciales de las fracciones racionales que serán tratadas en esta sección. Tales fórmulas son muy útiles en la teoría y no particularmente ineficientes en la práctica. Las téc~cas elementales anteriores, si se aplican inteligentemente, son eficientes en problemas numéricos y son los únicos métodos de fracciones parciales que serán prEsentados aquí. EJERCICIOS

En los ejercicios 1-10, encué:1trese una transformada inversa de la f(s) dada.. 1 1. -.- -. sas s+2 2. S 2 _ 6s 8·

+

SOL.

+

1)

SOL.

+ 5s - 4. + S2 - 2s :1 4 2s + 1 6'j · s (s +1 )2 · 4s + 4 3 2s2

2+

SOL.

· s~

2

5.

S 2 (S _

6.

S3 ( S2

7.

S2

SOL .

SOL.

2) .

1

+ 1) .

SOL.

5s - 2

8.

(s

+ 2) (s -

SOL.

1) .

.,....,-1,......,.--_.,.--:-:(!2 -r a2) (S2 + b 2 ) ,

9 • ( S2

10 • ( S2

s

+a

2 ) ( S2

+a

2

+b

2) ,

S2 ) (S2

+b 2 ) '

1

+ e-t -

3e2t .~p

t - 2

e- 2t •

el _

3te-t •

3 - 2t.

-

-

1 + cos t.

+

el

+

e-2t •

b sen at - a sen bt ab(b 2 - a2 ) cos at - cos bt SOL. b2 _ a 2

SOL .

ab

=1= o.

ab

=1= O.

SOL.

a sen at - b sen bt


[Cap. 12


11. Obténgase las respuestas para los ejercicios 9 y 10 de la obtenida del ejercicio 8. 12. Empléese la ecuación (8) de la sección 61 y el teorema 20 de convolución para obtener t

L-l {

16 S (S2

+ 4)

} = 2

r Jo

(sen 2(3 - 2(3 cos 2(3 ) d(3,

y efectuar entonces la integración para comprobar la respuesta al

ejemplo e) de la sección 67.

68.

PROBLEMAS ELEMENTALES DE VALORES A LA FRONTERA

En vista de lo establecido por el teorema 10, sección 60, el operador de Laplace transformará una ecuación diferencial con coeficientes constantes en una ecuación algebraica en la función transformada. Se tratarán algunos ejemplos en detalle a fin de adquirir alguna familiaridad con las ventajas y desventajas del método de la transformada. Un hecho es evidente desde ei principio: el método de la transformada es el más adecuado cuando las condiciones a la frontera son realmente condiciones iniciales, esto es, aquellas que dan el varor de la función y sus derivadas en el tiempo cero. EJEMPLO a) : Resolver el problema

(1)

y"(t)

+ (32y (t ) = A senwt;

y(O)

= 1,

y'(O)

= O.

Aquí A, B Y ól, son constantes. Ya que (3 = 0, podriamos tratar el problema como uno de cálculo elemental, pues el cambio en el signo de (3 o ól no altera el carácter del problema, podemos suponer que (3 y ól son positivos. Dado Entonces

L{y(t)} = u(s). L{y'(t)} = su(s) - lo L{y"(t)} =

S2U(S) -

S .

1 - 0,

y la aplicación del operador L transforma el problema (1) en

del cual (2)


Prob lemas e le mentales de va lores a la frontera

§68]

Necesitamos la transformáda inversa del segundo miembro de ( 2). La fonna de este inverso depende de que f3 y 00 sean iguales o desiguales. Si w -:f= f3, Aoo

5

u ( 5) = 52 + f32 + f32 -

00 2

(1+ ,S2

00 2 -

1)

52 + [32

5 A (oo f3 = 52 + [32 + f3 ([32 - al) 52 + 00 2 -

oo (3

)

52 + f32 •

Ahora y(t ) = L-l{U (5)} tal que, para oo-:f=f3

y(t) = cosf3t

( 3)

Si

00

+ f3 (f32 A_

( 2 ) (f3sen wt - wsenf3t).

= f3, la transformada ( 2) se convierte en 5

(4)

Af3

u (s) = 52 + [32 + (52 + (32) 2

Sabemos que 1

L- t52 ; (32 ) Por tanto, para

00

2} = 2~ (sen .f3t -

f3t cos .f3t).

= f3 A

y (t) = cosf3t + 2[32 (senf3t - f3tcosf3t).

(5)

Nótese que las condiciones iniciales fueron satisfechas automáticamente por este método cuando se aplicó el teorema 10. Obtuvimos una solución particular que satisfizo las condiciones iniciales deseadas aunque no la solución general con constantes arbitrarias a determinar. El método de la transformada nos da también información acerca de pory f3 sean iguales o qué la solución toma diferentes formas según diferentes. (¡)

EJEMPLO b): Resuélvase el problema

(6)

x"(t)

+ 2x'(t) + x(t) = 3te- t ;

x(O)

= 4,

x'(O)

= 2.

Dado L{x( t)} = y( 5) . Entonces el operador L convierte a la ecuación (6) en

52Y(5) - 45 - 2 + 2[5Y(S) - 4]

+ Y(5)

o

(7)

4s + 10 3 y (s) = (s + 1) 2+ (5 + 1)4'

3



[Cap. 12

Podemos escribir

y (s)=

4 (s + 1) + 6 3 (S+1 )2 + (S+1 )4

4 6 3 = s+ 1 + (s+ 1)2+ (s+ 1)4 Empleando la transformada inversa, obtenemos (8)

Nuevamente la presencia de las condiciones iniciales contribuyó a la eficiencia de nuestro método. Nótese que al usar y obtener la ecuación ( 7 ), aquellos términos provenientes de los valores iniciales x (O) Y x' (O) no fueron combinados con los provenientes de la transformada del segundo miembro de la ecuación diferencial. La combinación de tales términos raramente simplifica el problema y frecuentemente complica la operación de obtener la transformada inversa. De la solución (8)

el lector debe obtener las derivadas

x' ( t ) x" ( t)

( 2 - 6t + ~t2 - W ')e- t , ( -8 + 9t - 3t 2 + 'W)e- t ,

y verificar por consiguiente que la x de (8) satisface tanto la ecuación diferencial como las condiciones iniciales del problema (6). Tal verificación no sólo comprueba nuestro traba jo sino que también elimina la necesidad de justificar suposiciones temporales acerca del derecho para usar los teoremas relativos a la transformada de Laplace sobre la función x ( t) durante el tiempo en que la función es aún desconocida. EJEMPLO e): Resolver el problema (9 )

x" ( t)

+ 4x ( t)

= !f¡ ( t);

x (O) = 1,

x' (O) = O,

en el cual !f¡( t) se define como ( 10)

!f¡(t) = 4t, = 4,

O.::;; t ::;; 1,

t>

1.

Buscaremos, por supuesto, una solución válida en el rango t cual está definido el miembro derecho !f¡ ( t) .

~

O en el


Problemas elementales de valores a la frontera

225

r-

En este problema hace su aparición otra faceta del poder del método de la transformada de Laplace. El hecho de que la función .p(t) en la ecuación diferencial tenga derivadas discontinuas, hace difícil el uso del método clásico de coeficientes indeterminados, en tanto que estas discontinuidades no interfieren en lo absoluto con la simplicidad del método de la transformada de Laplace. Para tratar este problema, hagamos L{x(t)} = h(s). Necesitamos obtener L { .p (t ) }. En términos de la función o: podemos escribir, de (1 0)

(11)

.p(t)=4t - 4(t -1 )0:(t -1 ),

t~O.

De (11) se SIgue que

Entonces la aplicación del operador L transforma el problema (9) en s2h(s) - s - 0+ 4h (s) del cual (12) Ahora 4

1

1

tal que ( 12) se transforma en ( 13)

h(s)

s 1 - -1- - ( 1 - -1 =--+ -) e_. . S2 + 4 S2 S2 + 4 ' S2 S2 + 4

Ya que x (t) = L-1 {h (s)} , obtenemos la solución deseada

( 14) x (t) = cos 2t + t- !sen 2t - [( t -1) -! sen 2 (t - 1) Jo: (t -1) . Es fácil verificar nuestra solución. De (14) se sigue que ~ 2 sen

2t + 1 - cos 2t - [1 - cos 2 ( t - 1 ) Ja ( t - 1 ) ,

( 15 )

x' ( t) =

( 16 )

x" ( t) = - 4 cos 2t

+ 2 sen 2t - 2 sen 2 (t - 1) a (t - 1). = 1 Y x'(O) = O como se deseaba. También de (14)

Entonces x (O) ( 16) obtenemos

x"(t)

+ 4x(t) = 4t -

4(t - 1)0:(t - 1)

= .p(t),

t

~

O.

y



[Cap. 12

EJEMPLO d): Resuélvase el problema

(17)

x"(t)

+ k x (t ) = F (t); 2

= A,

x(O)

x'(O)

= B.

Aqm k, A Y B son constantes y F (t) es una función conocida pero no estipulada. Por el momento, considérese a F(t) como una función cuya transformada de Laplace existe. Dado

L{x (t)}

= u (s),

= f es) .

L{F (t)}

Entonces el operador de Laplace transforma el problema (17) en S2U ( s)

- As - B

+ k 2u (s)

= f ( s) ,

(18) Para obtener la transformada inversa del último término en ( 18), empleamos el teorema de convolución. Por tanto, llegamos a

x(t) = A coskt

+ -senkt + -f F (t k k o

x(t) = A cos kt

+ k sen kt + k

Bit

o

(19)

13 ) senkf3 df3,

L

Bit

F(f3) sen k, (t - 13) df3.

Para el lector que sabe cálculo avanzado y conoce cómo diferenciar una integral definida con respecto a un parámetro (regla de Leibniz), el fácil la verificación de la solución ( 19). Inmediatamente que se hace la comprobación puede quitarse la suposición de que F (t) tiene una transformada de Laplace. No importa qué método se use para obtener una solución (naturalmente esto tiene sus excepciones, por ejemplo en una pregunta de examen) si la validez del resultado puede verificarse a partir del propio resultado. EJEMPLO e): Resuélvase el problema

(2 0 )

w"(x)

+ 2w' (x) + w (x) = Xj

w(O)

=-

3,

w ( 1)

= -1.

En este ejemplo las condiciones a la frontera no son ambas del tipo de condición inicial. Empleando x, en lugar de t, como variable independiente, tendremos (21)

L{w (x )} = g(s).

Sabemos que w (O) = - 3, pero necesitamos también conocer w' (O) para. escribir la transformada de w" (x). Por tanto hacemos

http://carlos2524.jimdo.com/ ~

§68]

Problemas elementales de valores o lo frontero

(22)

w'(O) = B

227

y esperamos detenmnar B posteriormente usando la condición de que

w ( l ) = -l. El problema transformado es

s2g(S) - s( - 3) - B

+ 2[sg (s)

- ( -3)J

1

+ g(s)

del cual (23)

_ -3 (s + 1) g (s)-

+B-

3

(s +1 )2

1 +s2(s +1 )"'

pero, usando el desarrollo en fracciones parciales tendremos

1

2

1

2

1

--,,-,-------,--.,. = - - + - + - - + - -----,. S2(s + 1) 2 S S2 S + 1 (s + 1) 2 ,

tal que (24) de donde se obtiene

(2 5)

+

w(x) = x - 2 - e-:C

(B - 2)xe-".

Tenemos aún que imponer la condición de que w ( 1) = -1. De (25), con x = 1, obtenemos - 1 = 1 - 2 - e- 1

+

(B - 2) e-t,

de modo que B = 3. Por tanto nuestro resultado final es . (26)

w (x ) = x - 2 - e-31

+ xe-".

El problema en el ejemplo e) puede resolverse eficientemente por los métodos' del capítulo 9. Véanse también 10s ejercicios del 21 al 42 siguientes. EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 14 resuélvase el problema por el método de la transformada de Laplace. Verifíquese que la solución satisface la ecuación diferencial y las condiciones a la frontera.

1. x" (t )

~. x"(t)

+ 4x' (t) + 4x(t·) = 4e+ x(t) = 6 cos 2t;

= -1, x' (O) = 4. x(t) = e- (2t2 + 2t = 3, x'(O) = 1.

2t

;

x(O)

• SOL.

x(O)

SOL.

x(t) = 5 cos t

2t

+ sen t -

1).

2 cos 2t.


[Cap. 12


3. y"(t) - y(t) ;. 4. y"(t)

5. x"(t) 6. x"(t)

-% 7.

u"(t)

8. u" (t ) 9. y" (X) 10. y"(X)

11. X"(t) -

*"12. x"(t) 13. X"(t)

= 5 sen 2t;

y(O)

= O,

= 1.

y'(O)

y(t) = 3 se:1h t - sen 2t. y' (O) = O. SOL . y(t) = it 4 e- 3t • + 4x(t) = 2t - 8 ; x(O) = 1, x' (O) = O. SOL. X (t) = 3 cas 2t - i sen 2t + tt - 2. + 2x'(t) = 8t; x(O) = O, x'(O) = O. SOL. x(t) = 2t 2 - 2t + 1 - e-2t • + 4u (t ) 15e t ; u(O) = 1, u' (O) 3. SOL. u (t) = 3.e t - 2 cos 2t. + 4u' (t ) + 3u(t ) = 12; u (O) = 7, u'(O) = 1. SOL. u (t ) = 4 + 5e- t - 2e- st • + 9y(x) = 40e"; y(O) = 5, y'(O) = -2. SOL. y (x) = 4e" + cos 3x - 2 sen 3x. + y(x) = 4e" ; y (O) = O, y'(O) = O. SOL. y (x) = 2 (e" - cos x - sen x) . + 3x'(t) 2x(t) = 4t 2 ; x(O) = O, x'(O) = O. SOL. x(t) = 2t 2 - 6t + 7 - 8e- t + e-2t • - 4x'(t) + 4x (t) = 4cos2t; x(O) = 2, x' (O) = 5. SOL. x(t) = 2e2 t (1 + t) - i sen 2t. + x(t) = F (t ) ; x( O) ~-O;x' (O) ;, O, en la cual

+

6y' (t )

+

9y (t)

= 6t e2

SOL.

3t

y (O)

;

= O,

=

=

+

F (t) = 4, O ~ t ~ 2, = t + 2, t> 2. SOL.

14. x"(t)

x(t ) =4-4 cost+[(t -2 ) -sen (t -2 ) ]a (t-2). x( O) = 1, x'(O) = O, en la cual

+ x(t) = H (t);

H(t) = 3,

O ~ t ~ 4, t 4.

>

= 2t - 5,

SOL. x(t) = 3 - 2cost + 2[t - 4 - sen (t - 4)]a(t - 4). 15. Calcúlese y (trr) y y (2 + i 7T ) para la función y (x) que satisface el problema de valores a la frontera I

y" (X)

+ y(x) =

= O, y' (O) = O. = O, y(2 + lrr) = i7T -1.

(x - 2 )a(x - 2); y( O)

SOL. y (i7T ) 16. Calcúlese x ( 1) Y x (4) para la función x (t ) que satisface el problema de valores a la fantera.

x" ( t)

+ 2x' (t) + x (t) = 2) + (t SOL .

x( 1)

= 2, x' (O) = 1. = 1 + 3e- + 4e-4.

3) a ( t - 3); x ( O)

= 2 + e-\

x(4)

1

17. R esuélvase el problema

x"(t)

+ 2x'(t) + x(t) = F(t ); x( O) = O, x'(O) = O. SOL.

x(t) =

J: {3e-f3F(t -

{3) d{3.


Ecuaciones

integrales

229

especiales

18. Resuélvase el problema

y"(t) - k 2 y (t ) = H(t); y (O) = O, y'(0) = O. t

r H(t k Jo

y (t) =.!.

SOL.

f3) senh kf3 df3.


y"(t)

+4y~(t)

+ 13y(t)

=F(t);y(O) =O,y'(O) =0.


x"(t)

+ 6x'(t) + 9x (t)

= F(t); x(O) = A, x'(O) = B.

+ (B + 3A ) t] + Lf3 e- .BF (t -:t

SOL.

x(t) = e-3t [A

3

f3) df3.

En los ejercicios 21 a 42 aplíquese el método de la transformada de Laplace, teniendo en cuenta que estos ejer--cicios no se hicieron con la técnica de la transformada de Laplace en mente. Compárese el trabajo efectuado con el hecho para resolver los mismos problemas con los métodos del capítulo 9. 21. Ejercicio 1, de la sección 46. 23. Ejercicio 3, de la sección 46. 25. Ejercicio 14, de la sección 46. 27~ Ejercicio 21, de la sección 46. 29. Ejercicio 23, de la sección 46. 31. Ejercicio 37, de la sección 46. 33. Ejercicio 39, de la sección 46. 35. Ejercicio 41, de la sección 46. 37. Ejercicio 43, de la sección 46. 39. Ejercicio 45, de la sección 46. 41. Resuélvase el problema

x"(t) - 4x' (t)

+ 4x(t)

22. 24. 26. 28. 30. 32. 34. 36. 38. 40.

Ejercicio 2, de la sección 46. Ejercicio 11, de la sección 46. Ejercicio 20, de la sección 46. Ejercicio 22, de la sección 46. Ejercicio 36, de la sección 46. Ejercicio 38, de la sección 46. Ejercicio 40, de la sección 46. Ejercicio 42, de la sección 46. Ejercicio 44, de la sección 46. Ejercicio 46, de la sección 46.

= e2t ; x'(O) = O, x( 1) = O.


x"(t)

+ 4x (t) SOL.

69.

= -8t 2 ; x(O) =3, x(h) = O.

x(t) = 2 cos 2t -_

+ (~71'2 -1)sen2t + 1 8

2t 2 •

ECUACIONES INTEGRALES ESPECIALES

Una ecuación diferencial puede describirse de una manera poco precisa, diciendo que contiene la derivada de una variable dependiente, la ecuación contiene una variable dependiente bajo un signo de deri-



[Cap. 12

vada. Una ecuación contiene una variable dependiente bajo un signo de integral se llama ecuación integral. La existencia del teorema de convolución hace que la transformada de Laplace sea una excelente herramienta para resolver una clase muy especial de ecuaciones integrales. Sabemos del teorema 20 que si

L{F(t)} = f(s) y L{G (t)} = g(s), entonces ( 1)

L

{J:F (f3) G (t -

(3) df3} = f (s)g(s).

La relación (1) sugiere el uso de la transformada de Laplace en ecuaciones que contengan integrales de convolución. EJEMPLO a): Encontrar F (t) de la ecuación integral

F (t) = 4t - 3

(2)

r

F({3) sen (t - (3) d{3.

o

La integral en ( 2) es precisamente la forma correcta que permite el . uso del teorema de convolución. Dado que

L{F(t)} = f(s). Entonces ya que 1 L{sen t} = -2--1 ' s + la aplicación del teorema 20, sección 66, nos da

L{J: F(f3) sen (t -

(3) d{3}

= j~) 1

Entonces, el operador de Laplace convierte a la ecuación (2) en (3)

Necesitamos obtener f(s) de (3) y después F(t) de f(s). De (3) obtenemos

(1 + S2: 1)f (S) =7'

o

_ 4 (l + 1) f(s) - S2(S2 + 4) .

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones

§69]

integrales

231

especiales

Entonces, por los métodos de la sección 67, o por inspección,

1 3 f (s) = ~ + S2 + 4 . Por tanto

F(t) =

L-1{~+

+ ~sen 2t.

F (t) = t

(4 )

! 4}'

S2

2

Puede verificarse directamente que la F (t) de (4) es una solución de la ecuación ( 2). Tal comprobación es frecuentemente tediosa. M ostraremos que para la F de (4), el miembro derecho de la ecuación (2) se ~educe al miembro izquierdo de la misma ecuación. Ya que t

MD = 4t - 3

r ({J + ! sen 2{J) sen (t ,Jo

(J) d{J,

2

integramos por partes hadendo la elección de las mismas según se indica en la siguiente tabla

({J

(1

+ ~ sen 2{J) 2

+ 3 cos 2{J)

d{J

sen ( t - f3) df3 cos (t - (J)

Se sigue entonces que MD = 4t - 3 [ ({J

+ ~sen 2{J)

cos (t - {J)I

+ 31:(1 + 2 cos 2f3) cos (t de donde

+ ~ sen2t) + 3

MD = 4t - 3(t

r:

(J) d{J,

cos ( t - f3) d{J

t

+ 9 10 cos 2{J cos (t -

(J) d{J,

o MD = t -

~ sen 2t -3 [sen (t -

{J)J:

+ ~ ro [cos (t + (J) + cos- (t

- 3f3)] df3.

Esto nos conduce al resultado

MD = t -

~ sen 2t + 3 sen t + ~ [sen (t + (J)

= t - ~2 sen 2t

-

i sen (t -

+ 3 sen t + ~ sen 2t + ~ sen 2t 2

2

~ 2

sen t

3{J)

I

+ : sen t 2

'



o

MD

[Cap. 12

= t + ~sen2t = F (t) = MI,

como se deseaba. Es importante darse cuenta que la ecuación original

(2)

F(t)

= 4t -

3 ( F(j3) sen (t - /3) df3.

puede igualmente encontrarse en la forma equivalente

F(t) = 4t - 3 (F(t - f3) senj3 df3. Un ingrediente esencial para el éxito del método usado es que la in~ tegral involucrada sea exactamente la forma de la integral de convolución. Los límites de integración deben ir de cero a la variable de independiente, y el integrando debe ser el producto de una función de la variable de integración por una función de la diferencia entre la variable independiente y la variable de integración. El hecho de que integrales de esta forma aparezcan con alguna frecuencia en problemas de física es el único que ha salvado al tema de esta sección de ser rele~ gado al papel de un juego matemático de salón. EJEMPLO b): Resolver la ecuación

g(x) = iX2 -

(5)

r

(x - y)g(y) dy.

o

Nuevamente la integral involucrada es del tipo de integral de convolu~ ción con x desempeñando el papel de variable independiente. Supóngase que la transformada de Laplace de g(x) es alguna función todavía desconocida h (z) :

L{g (x) } = hez) .

(6 )

= ly L{x} = -; , podemos aplicar el operador Len Z2 z

Ya que LUX2} toda la

ecuació~n

(5) Y obtener hez) =

1_ Z3

h(z) Z2

de la cual

o

h z (

) -

1 Z (Z2

+ 1)

Z2

+ 1 - Z2 + 1)

Z(Z2

_ 1 - ~ -

Z Z2

+1


Ecuaciones

Entonces

g (x) =

integrales

231

especiales

L-1{! __+z_}1 Z

Z2

o

(7)

g (x) = 1 -

COSX.

La verificación de (7) es simple. Para el miembro derecho de (5), obtenemos

MD =

r:

iX2 -

= h

2

(x - y) (1 - cos y) dy

[(X -

-

= ir - 0-

y)(y - senY)J: -

seny) dy

[iy2+ cosyJ :

iX2 -:- cos x + 1 =

= ti2 -

1: (y -

1 - cos x = MI. EJERCICIOS

En los ejercicios 1-4, resuélvase la ecuación dada y verifíquese la solución.

J:F (t - ,8) e- ¡3 d,8. 2. F (t) = + L F(,8) sen (t - ,8) d,8. 3. F (t ) = t + J: F (t - ,8)e-¡3 d,8. 4. F (t ) = 4t J: F(t - ,8)e- d,8. 1: F(t) = 1 + 2

2

SOL .

-t

1

2

SOL.

F (t) = 1 + 2t. F(t) = 1 +

·w.

P

-

SOD.

F(t) = -1

+ 2t + 2t + e2

2t

•

En los ejercicios 5-8 resuélvase la ecuación dada. Si se tiene suficiente tiempo verifíquese la solución.

5. F (t) = t3

+ 1: F((3)

6. F (t) = 8t 2

7. F (t) = t 2 8. F (t ) = 1

3

-

-

J:

sen (t - (3) d(3.

-

J: F (t 2

+ 2~ t

5

•

,8 ) cos,8 d(3.

J: H (t -

.(3) cos,8 d(3.

_l

SOL .

F (t ) = t 2

SOllo

F (t ) = 1 + 2te t .

En los ejercicios 9-12 resuélvase la ecuación dada.

9. H (t ) = ge2t

F(t) = t 3

F (,8 ) sen (t - ,8 ) d(3 .

2[ F (t -,8) senh2,8d(3.

+2

SOL.

3

t4 •



234

10. H (y) = y2

+ J:H (x)

r

11. g (x) = e-" - 2

12. y (t) = 6t

sen (y - x) d».

SOL.

g(f3 ) eós (x - 13 ) df3. SOL.

+ 41: (13 -

g(x) = e-"'(1 - X)2.

t ) 2y( f3 ) df3. y (t ) = e2t - e- t (cos Y3t -

SOL.

Y3sen V3t).

13. Resuélvase la siguiente ecuación para F (t ) con la condición de que

F (O) = 4F' (t ) = t

+ J:F (t -

13 ) cosf3 df3. SOL.

F (t ) = 4

5

1

+ 2" t 2 + 24 t

4

•

14. Resuélvase la ecuación siguiente para F (t) con la condición de que F(O) = O.

F'(t) = sen t

+

J:

F(t - 13) cosf3 df3.

SOL.

F (t) = it2.

15. Demuéstrese que la ecuación del ejercicio 3 puede ponerse en la forma (A )

Diferénciese cada miembro de (A) con respecto' a t' y entonces reemplácese la ecuación integral con una ecuación diferencial. Nótese que F (O) = O. Encontrar F (t ) por este método. 16. Resuélvase la ecuación

L t

F (t - 13 ) e-fJ df3 = t

por dos métodos; usar el teorema de convolución y la idea básica introducida en el ejercicio 15. Nótese que ninguna ecuación diferencial necesita resolverse en esta ocasión.

j


TABLA DE TRANSFORMADAS

Dondequiera que se usa n, representa un entero no negativo. El rango de validez puede determinarse del material apropiado del texto. Muchas otras transfonnadas se encontrarán en los ejemplos y ejercicios. f (s ) = L{F (t ) }

F (t)

f (s - a)

eatF (t)

f(as

+ b)

_1 e- C8 , s

c>O

e-c8 f (s) ,

~ exp ( - ~) F G) a(t - e) = O, °st
c> O

Ií (s) f2 (S)

J:

Fl (f3 ) F2(t - 13) d{3

1 s

-

1

1 S1H-l

tn

-

1 SX+l'

n! t~

x> -1

I' (x

+ 1)

S1

(7rt) 1

-1-

e-at

s+a

/


I (s) = L{F (t) }

F (t)

1

{"e-'L t

+ a)n+l

(s

k S2

+ k2

S2

+ k2

n! sen kt

s

k S2 _ k2 s

senh kt

S2 _ k2

cosh kt

2k 3 (S2 + k 2) 2

sen kt - Ict cos kt

2ks (S2

+ k2) 2

In(l

.-

cos kt

+

+)

In s + k s-k

1 - e- t t

--

2 senh kt t

~:)

t2 (1 -

cosh kt)

+ ~:)

t2 (1 -

cos kt)

In (1 -

In (1

sen kt

t

k Arctan s

sen kt t

--~-

-

-


CAPÍTULO

13

Aplicaciones

70.

VIDRACIÓN DE UNA CUERDA Considérese una cuerda de acero atada a un soporte, colgando hacia abajo. Dentro de ciertos límites elásticos la cuerda obedece a la ley de Hooke: si la cuerda es estirada o comprimida, su cambio en longitud será proporcional a la fuerza ejercida sobre la cuerda y, cuando la fuerza se qu~ta, la cuerda retoma a su posición original y su longitud y otras propiedades físicas permanecen invariables. Hay, entonces, asociada con cada cuerda, una constante numérica, la razón de la fuerza ejercida al desplazamiento producido por esa fuerza. Si una fuerza de una magnitud Q libras alarga e pies la cuerda, la relación

( 1)

Q = kc

define la constante de la cuerda k en unidades de libras por pies. Supóngase que un cuerpo B que pesa w libras es atado al extremo libre de la cuerda (figura 27), y llevado al punto de equilibrio donde permanece en reposo. Inmediatamente 237

http://carlos2524.jimdo.com/ Aplicaciones

238

[Cap. 13

que el peso B es sacado del punto de equilibrio E en la figura 28, el movimiento de B estará determinado por una ecuación diftlrencial y unas condiciones a la frontera asociadas. Sea t el tiempo medido en segundos despuéS de algún momento inicial cuando principia el movimiento. Sea x, en pie.s, la distancia positiva medida hacia abajo (negativa si es medida hacia arriba) desde el punto de equilibrio, como eñ la figura 28. Suponemos que el movimiento de B se realiza completamente en una línea vertical, de tal forma que la velocidad y la aceleración están dadas por la primera E primera y la segunda derivadas de x con respecto a t. Ademas de la fuerza proporcional al FIGURA 27 FIGURA 2 8 . , desplazamIento (ley de Hooke) , habra en general una fuerza retardataria causada por la resi.stencia del medio en el que el movimiento se lleva al cabo o por la fricción. Aquí estamos interesados sol~ente en aquellas fuerzas retardatarias que pueden considerarse como un término aproximadamente proporcional a la velocidad. Esto es debido a que restringimos nuestro estudio a problemas que involucren sólo ecuaciones diferenciales lineales. La contribución de las fuerzas retardatarias a la fuerza total actuando sobre B la designaremo.s por el término bx' ( t), en el que b es una constante que debe ser determinada experimentalmente para el medio en el cual tiene lugar el movimiento. Algunas fuerzas retardatarias comunes, tale.s como las proporcionales al cubo de la velocidad, conducen a ecuaciones diferenciales no lineales a las cuales no es fácil aplicar el tratamiento de la transformada de Laplace. El peso de la cuerda es generalmente dtsdeñable en comparación con el peso B, de tal forma que usaremos, para la masa de nuestro sistema, el peso B dividido entre g, la aceleración constante de la gravedad . Si ninguna otra fuerza más que las descritas actúa sobre el peso, el desplazamiento x debe satisfacer la ecuación /

(2)

~x"(t) g

+

bx'(t)

+ kx ( t )

= O.

Supóngase ahora que se impone sobre el sistema alguna otra fuerza vertical adicional, por ejemplo la debida al movimiento del soporte o a la


239.

Vibración de una cuerda

presencia de un campo magnético. La nueva fuerza dependerá del tiempo y usaremos F ( t ) para denotar la aceleración que esta fuerza causa, sola, al peso B. Entonces la fuerza impuesta es ~ F ( t) Y la ecuación (2) se reemplaza g

~x" ( t) g

(3)

+ bx' (t) + kx(t)

=

W

g

F ( t).

Al tiempo cero, desplacemos el peso una cantidad ~ desde el punto de equilibrio. El peso entonces adquirirá una velocidad inicial Vo . Independientemente o al mismo tiempo xo y vo pueden ser cero en instantes específicos. El problema de determinar la posición del peso en cualquier tiempo t se transforma en el de resolver el problema de valores a la frontera que consiste de la ecuación diferencial (4)

W

g

x"(t)

+ bx' (t) + kx(t)

= !!!.F(t),

g

parat

> O,

y las condiciones iniciales (5 )

x (O)

= Xo,

x'(O)

= Vo.

Es conveniente representar la ecuación (4) en la forma (6)

x" (t)

+

2yx'(t)

+ Wx ( t)

= F(t) ,

en la que hemos hecho bg = 2y, W

Podemos elegir f3 > O y sabemos que y ~ O. Nótese que y = O corresponde a una fuerza retardataria desdeñable. Las fuerzas ejercidas que no tienen un compartamiento matemático adecuado, tales que no existen sus transformadas de Laplace, son muy difíciles de manejar. Suponiendo entonces que

(7)

L{x (t ) } = u(s),

L{F(t)} = fes),

y obteniendo de los problemas (5) y (6) el problema transformado

+ 2y[su (s) - xo] + ¡32U(S) = sXo + vo + 2yxo + f (s) , S2 + 2ys + f32 S2 + 2ys + W

S2U (S) - sXo - Vo

_ us ( ) -

el cual representamos como

f es),


(8)

Aplicaciones

u (S)

=

Xo(S + y) (s + y

+ Vo + yXo +

r + [32 -

y2

[Cap. 13

f(s)

(S + y) 2 + [32 _ . /

la x ( t ) deseada es la transformada inversa de u ( s). Aquí principiamos a obtener beneficios del uso de la transformada de Laplace. Aun antes de obtener x(t) podemos ver que su forma dependerá de que el denominador, en (8), tenga factores lineales reales distintos o iguales, o que sea la suma de dos cuadrados. Esto es, la forma de x(t) dependerá de que f3 < y, f3 = y o f3 > y. Más aún, si y =1= 0, podemos predecir la presencia de un factor de amortiguamiento e-yt en x ( t) . El inverso de la u (s) de la ecuación (8) , puede obtenerse con nuestros métodos estándar, incluyendo el teorema de convolución. Cuando la F (t) es razonablemente simple, por ejemplo uno de los tipos que aparecen frecuentemente en la práctica, el teorema de convolución nos conduce a formas menos deseables que aquellas obtenidas por los otros métodos en el capítulo 12. Consideraremos ahora, separadamente, las situaciones diferentes que surgen de acuerdo con la elección que se haga de los parámetros [3 y y y la función impelente F ( t) en este problema de la cu~rda vibrante. Al estudiar problemas de cuerda vibrante estamos interesados particularmente en las fuerzas ejercidas que conducen a \,lna F(t) de las formas que en seguida se enlistan a) Ninguna fuerza ejercida: F(t) = O; b) Función impelente armónica simple:

F(t) = A 1 sen<üt

+ A2COS<üt;

e) Fuerza constante durante un intervalo de tiempo: F(t) = A, = O,

d)

0< t < to, t> to;

Una forma retrasada de e) :

F(t) = O, = A, = O,

0< t < to, to < t < t1, .t > t1;

e) F ( t ) = la rectificación de media onda de una curva sinusoidal.

Será evidente, cuando estudiemos circuitos ' eléctricos en la sección 78, que todo nuestro estudio presente nos lleva a problemas de circuitos


241

Vibraciones no· amortiguadas

bastante simples solamente con nuevos significados para los parámetros y funciones implicadas en los circuitos. En la teoría de circUitos agregaremos a las formas de F ( t) enlistadas antes las funciones F ( t) igual a una constante y F(t) igual a la función de onda cuadrada que apareció en la sección 63. 71.

Si ( 1)

VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS y

= O en el problema de la sección 70, la transformada es

u.

( ) = xos S

S2

+ Vo + f (s) + W l + 13

2'

. La transformada inversa del primer término del miembro derecho de (1) es .

Xo

cos f3t

Vo + 73 sen f3t}

la cual contribuye a x (t) con un movimiento armónico simple, llamado la componente natural del movimiento, natural porque es independiente de la función impelente F ( t). Del último término de (1) obtenemos la componente forzada, la forma de la cual depende de F (t) • En lugar de pasar de (1) hasta la solución general

(2 )

x(t) = xo cos f3t

L

+ vof3-1 sen f3t + 13-1

t

F(t - v) sen f3v dv,

preferimos obtener x( t) sin una integral de convolución para los tipos específicos de F ( t) que se encuentran a menudo. La ecuación (2) se obtuvo fácilmente, pero deja toda la labor de simplificación al infortunado usuario quien tiene una F (t) particular con la que tiene que tratar. EJEMPLO a): Resolver el problema de la cuerda sin amortiguamiento, pero con una función impelente F(t) = A sen wt. La ecuadón diferencial de movimiento es

!!!. x" ( t) g

+ kx ( t) =!!!. A sen wt g

que fácilmente puede ponerse en la forma

(3)

x"(t)

+ /1 2x(t) = Asenwt

con la introducción de f32 = kg/w. Supondremos las condiciones ciales

lID-


(4)

x(O) = xo,

x'(O) =

[Cap. 13 V
Dado L{x(t)} = u(s). Entonces (3) y (4) dan S2U(S) - sXo - Vo

+ Wu(s) =~, S2 + w 2

o

( 5)

S2

El último término de rentes según que w = f3 Esto lo discutiremos en Si w =1= f3 la ecuación (6 )

+ Vo + Aw + W (S2 + W) (S2 + ( 2)

u (s) = sXo

.( 5) nos conduce a transformadas inversas difeo w =1= f3. El caso w = f3 nos lleva a resonancia. la sección siguiente. (5) nos lleva a

sXo + Vo u (s) = S2 + W

Aw

+ w2 + f32

De (6) se sigue inmediatamente que . (7) x (t) = Xo cos f3t + vof3-1 sen f3t

(1+ W - S2 +1)2 . w

S2

Aw _ f32)

+ f3 (w2

sen f3t -

A

2

w

+ Wsen wt.

Que la x de (7) es una solución del problema (3) Y (4) se puede verificar fácilmente. El estudio de (7) es simple y nos lleva inmediatamente a conclusiones tales como que x ( t) tiene un límite, etc. Los primeros dos términos del miembro derecho de (7) nos dan la componente armónica natural del movimiento, los dos últimos términos la componente forzada. EJEMPLO b): Una cuerda es de un material tal que puede ser alargada 6 pulgadas por un peso de 12 libras. A partir del punto de equilibrio la cuerda y el peso atado a ella son desplazados cuatro pulgadas abajo. Si el movimiento hacia arriba se principia con una velocidad de 2 pies por segundo, describir el movimiento. No se encuentra actuando ninguna otra fuerza o amortiguamiento. Sabemos q~e la aceleración de la gravedad está tomada en cuenta en la expresión para la masa. Deseamos usar el valor g = 32 pies/seg2 y para ser consistentes con las unidades debemos expresar todas las longitudes en pies. Primero determinaremos la constante de la cuerda k del hecho de que el peso de 12 libras alarga la cuerda 6 pulgadas, esto es t pie. Por tanto 12 = tk, y entonces k = 24 libras por pie.


Vibraciones no amortiguadas

§71]

La ecuación diferencial de movimiento es entonces

+ 24x(t)

=--=x"(t) 3 2

(8)

= O.

En el tiempo cero el peso se encuentra 4 pulgadas (i de pie) por deba jo del punto de equilibrio, así que x(O) = i. Si la velocidad inicial es negativa (hacia arriba), así que x' (O) = - 2, entonces nuestro problema consiste en resolver la ecuación (9)

x"(t)

+ 64x(t) = 0,

x(O)

= i,

x'(O)

= -2.

Si hacemos L{x (t)} = u (s) concluimos inmediatamente que S2U(S) - -ls

+ 2 + 64u(s)

= 0,

de, donde

u (s) entonces x(t) = -lcos 8t - i sen 8t.

( 10)

A partir de (10) se obtiene directamente un estudio detallado del movimiento. La amplitud del movimiento es

esto es, el peso oscila entre los puntos 5 pulgadas abajo y arriba de E. El periodo es trr seg. EJEMPLO e): Una cuerda, con una constante de 0.75 libras por pie está sobre una tabla grande y lisa (sin fricción). Un peso de 6 libras se ata a la cuerda y está en reposo (velocidad cero) en la posición de equilibrio. Se aplica una fuerza de 1.5 libras al soporte a lo largo de la línea de acción de la cuerda durante 4 segundos. Analizar el movimiento. Debemos resolver el problema

( 11 )

3

6 2

en el que

x" ( t)

+ ix ( t)

= H ( t) ;

H (t) = 1.5, = 0,

x(O) = 0,

0< t

x'(O) = 0,

< 4,

t> 4.

Ahora H (t) = 1.5[1 - ll.(t - 4)] en términos de la función a de la · sección 65. Entonces representamos nuestro problema (11) en la forma (12)

x"(t)

+ 4x (t) = 8[1

- a(t - 4)]; x(O)

Sea L{x(t)} = u(s). Entonces (12) nos da

= 0,

x'(O)

= O.


244

S2U ( s)

o

+ 4u ( s)

[Cap. 13

8 = - (1 - ¡,r-48), S

_ 8( 1 - e-48)

u(s) -

S(S2

= 2

+ 4)

(1 __r+4 _s_) ?

(1 _ e-48).

S

La solución deseada es

(13)

x(t)

= 2(1 -

cos2t) - 2[1 - cos2(t

+

4)]a(t - 4)

Por ·supuesto, la solución (13) puede descomponerse en las dos relaClones (14 )

Para O ::; t ::; 4,

(15)

Para t

>4

x (t) = 2 (1 - cos 2t) , x(t) = 2[cos 2(t - 4) - cos 2t],

si estas formas· parecen más simples de usarse. La verificación de la· solución (13) o (14) Y (15) es directa. El lector puede demostrar que

Lim x(t) y

= Lim x(t) = 2( 1 -

cos 8) = 2.29

Lim x'(t) = Lim x'(t ) = 4 sen 8 = 3.96.

De (13) o (14) vemos que en el rango O < t < 4, la desviación máxima del peso del punto de partida es de x = 4 pies, y tiene lugar al tiempo t = h = 1.57 seg. Para t = 4, x = 2.29 pies como se muestra líneas antes. Para t > 4, la ecuación (15) es la utilizable y el movimiento de aquí en adelante es armónico simple con un máximo x de 3.03 pies. Realmente, para t > 4 max ¡x(t)¡ = 2 V (1 - COS8)2 + sen 2 8 = 2 V2V1 - cos8 = 2 v2.291O = 3.03. El ejemplo e) es un tipo de problema para el cual el método de la transformada de Laplace es particularmente útil. Tales problemas pueden resolverse por métodos antiguos con mucho menos simplicidad. 72. . RESONANCIA

En el problema de las vibraciones no amortiguadas de una cuerda, uno de los ejemplos que encontramos fue


x"(t)+f3 2x(t) = Asen
(1)

245

Resonancia

x(O)=xo,

x'(O)=vo.

La solución de (1) se encontró haciendo L{x(t)} = u(s) y obteniendo

_ sXo + Vo -lu ( s) - S2 + [32 (S2

(2)

Aw

+ f3 2) (S2 +
2) •

De (2) vemos que la transfonnada inversa difiere eI1 su valor según que
x"(t)

+ f32X(t)

= Asen{Jt;

x(O)

= Xo,

x'(O)

= Vo,

c0n la ayuda de

(4) Sabemos también, sección 61, que

L-t {(S21

Wy} = 213 (sen{Jt -

f3tcosf3t) .

Entonces (4) nos conduce a la solución

(5)

x ( t) = Xo cos {Jt

11 + 7ivo sen f3t + 2f32 (sen f3t

- f3t cos f3t) .

Que (5) satisface todas las condiciones de (3) puede verificarse rápidamente. En la solución (5 ) los términos proporcionales a cos [3t y sen Pt tienen un límite, pero el término con {Jt cos f3t puede hacerse tan grande como se quiera con una elección apropiada de t. Esta construcción de grandes amplitudes en la vibración cuando w = P en (1) se llama resonancia.

EJERCICIOS

1. Una cuerda es de un material tal que un peso de 5 libras la alarga

6 pulgadas. Cuando el cuerpo de libras de peso se suspende de la cuerda ésta se e."1cuentra en equilibrio. A partir de este momento, la cuerda es jalada 3 pulgadas por debajo de su -punto de equilibrio y soltada después con una velocidad inicial, hacia arriba, de 6 pies por segundo. Encontrar la ecuación que nos da la posición del peso en todos los tiempos subsecuentes. SOL. X = !(cos 8t - 3 sen 8t).


Aplicaciones

[Cap. 13

2. Una cuerda es alargada 1.5 pulgadas por un cuerpo de dos libras de peso. Si el cuerpo es empujado hacia arriba 3 pulgadas por encima de E y soltado en esa posición, describir su movimiento. SOL. x = -i cos 16t. 3. Para la cuerda y el peso del ejercicio 2, suponer que el peso es jalado 4 pulgadas por debajo de E, de tal forma que al soltarlo adquiere una velocidad de B pies/seg. Describir el movimiento. SOL. .x = i cos 16t + t sen 16t. 4. Demuéstrese que la respuesta del ejercicio 3 puede escribirse corno x = 0.60 sen (16t 'f) donde'f = Arctan !. 5. Una cuerda es de un material tal que un peso de 4 libras la alarga 6 pulgadas. Supóngase que una fuerza de t cos Bt está actuando sobre la cuerda. Si el peso de 4 libras es sacado de su estado de equilibrio por un movimiento hacia arriba que tiene una velocidad de 4 pies/ seg, determinar la posición del peso como una función del SOL. x = t(t - 2) sen 8t. tiempo. 6. Una cuerda es de un material tal que es alargada 6 pulgadas por un peso de 12 libras. El peso de 12 libras es jalado 3 pulgadas hacia abajo del punto de equilibrio y e..tonces es soltado. Si sobre la cuerda está actuando una fuerza de magnitud 9 sen 4t libras, describir el movimiento. Suponer que la fuerza actúa hacia abajo para t muy SOL. x = t cos Bt - -f sen Bt + i sen 4t: pequeña. 7. Demuéstrese que la respuesta al ejercicio 6 puede escribirse corno

+

x =

t V2 cos (Bt

+ 'Tr/4) + i sen 4t.

8. Una cuerda es de un material tal que un peso de dos libras la alarga t pie. Está actuando sobre la cuerda una fuerza de t sen Bt. Si el peso de dos libras se suelta desde un punto situado tres pulgadas abajo del punto de equilibrio, determinar la ecuació:J. de movimiento. , SOL. X = t(1 t) cos Bt + 2... sen Bt (pies). 3 2

9. Para el movimiento del ejercicio B, encontrar los primeros cuatro tiempos a los cuales la velocidad es cero, y asimismo la posición correspondiente a cada uno de estos estados. SOL. t = 7T/B, 7T/4, 1, 37T/B, (segundos) y x = -0.15, +0.05, +0.03, +0.04 (pies), respectivamente. 10. DeterrIÚnese la posición esperada, si no ocurre ningún frenamiento, a l tiempo de que la velocidad es cero por 65 ava vez, cua..do t = B7T (seg) en el ejercicio B. SOL. X = -6.0 (pies). 11. Una cuerda es de un material tal que un peso de 16 libras la alarga 1.5 pulgadas. El peso se jala 4 pulgadas abajo del punto de equilibrio, dándosele una velocidad hacia abajo de 4 pies/seg. Sobre la cuerda está actuando una fuerza de 360 cos 4t libras. Encontrar la posición y la velocidad del peso a un tiempo t = 'Tr/B segundos. S OL. Ent = 'Tr/B (segs.) , x = -B/3 (pies), v = -B (pies/seg).

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§72]

247

12. Una cuerda es de un material tal que es alargada 3 pulgadas por un peso de 5 libras. Supóngase que el peso es impulsado desde E con una velocidad hacia arriba de 12 pies/seg. Describir el moviSOL. x = - 1.06 sen 11.3t. miento. 13. Para la cuerda y el peso del ejercicio 12, supóngase que el peso es jalado 4 pulgadas hacia abajo de E y que entonces se suelta adquiriendo una velocidad hacia arriba de 8 piesj seg .. Describir el movimiento. SOL. x = 0.33 cos 11.3t - 0.71 sen 11.3t.' 14. Encuéntrese la amplitud del movimiento en el éjercicio 13. . SOL. 0.78 pies. 15. Una cuerda es de un material tal que se alarga 10 pulgadas cuando se cuelga de ella un peso de 20 libras. 'Supóngase que la cuerda se comprime 4 pulgadas y que después se le cuelga el peso de 20 libras dándosele una velocidad hacia abajo de 8 piesj seg. Encontrar qué SOL. 35 pulg. tanto puede caer el peso. 16. Una cuerda es de un material tal que un peso de 8 libras puede alargarla 6 pulgadas. Supóngase que un peso de 4 libras es atado a la cuerda y empujado 2 pulgadas hacia arriba del punto de equilibrio y entonces se suelta. Describir el movimiento. SOL. x = - .!. cos 11.3t. 6 17. Si el peso de 4 libras del ejercicio 16 parte del mismo punto, 2 pulgadas arriba de E, pero con una velocidad hacia arriba de 15 piesjseg, ¿cuándo llega el peso a su punto más bajo? SOL. Aproximadamente en 0.4 seg. 18. Una cuerda es de un material tal que es alargada 4 pulgadas por un peso de 10 libras Supóngase que el peso se jala 5 pulgadas abajo de E y que entonces se le da una velocidad hacia abajo de 15 pies/seg. Describir el movimiento. SOL. x = 0.42 cos 9.8t 1.53 sen 9.8t = 1.59 cos (9.8t - cp), ':londe cp = Arctan 3.64. 19. Una cuerda es de un material tal que es alargada 4 pulgadas por un peso de 8 libras. Supóngase que el peso es jalado 6 pulgadas por debajo de E adquiriendo entonces una velocidad hacia arriba de 8 pies/seg. Describir el movimiento. SOL. x = 0.50 cos 9.8t - 0.82 sen 9.8t. 20. Demuéstrese que la respuesta del ejercicio 19. puede escribirse como x 0.96 cos (9.8t cp) dO:lde cp Arctan 1.64. 21. Una cuerda es de un material tal que un peso de 4 libras la alarga 6 pulgadas. El sistema está en su punto de equilibrio. En ese momento, (t = O) el peso se jala hacia abajo 3 pulgadas y entonces se suelta. Actuando sobre el sistema hay una fuerza armónica simple externa igual a sen 8t. Encontrar los tiempos para los que la velocidad es cero las 4 primeras veces (esto es, el peso se para), después de t = O. Representarla en orden cronológico. SOL. t = 7r/8,t,7r/4,37r/8 (seg).

+

=

+

=


248

[Cap. 13

22. Una cuerda es alargada 1.5 pulgadas por un peso de 4 libras. Supóngase que el peso es llevado 3 pulgadas por debajo del ' punto de equilibrio y entonces soltado repentinamente. Describir el movimiento si hay, actuando sobre la cuerda, una fuerza de 8 sen 16t. SOL. x = 1(1 - 8t) cos 16t + i sen 16t. 23. Para el movimiento del ejercicio 22, encontrar los cuatro primeros tiempos en los que la velocidad es cero y determinar las posiciones SOL. t = i , 7Tj16, 7Tj8, 37Tj16 (seg) y correspondientes. x = +0.11, +0.14, -0.54, +0.93 (pies), respectivamente.

73.

VffiRACIONES AMORTIGUADAS

En el problema general lineal de una cuerda de la sección 70, tratamos la ecuación

(1)

x" (t)

en la cual y

+ 2yx' (t) + Wx (t)

= F(t); x (O) =Xo,

= bgw YW = kg, (3 > O. w L{x (t)}

x' (O) = Vo,

Donde hicimos

= u (s),

L{F (t)}

= f (s)

y obtuvimos

( 2)

( ) - xo (s + y) + vo + YXo + u s - (s + y) 2 + f32 _ y2 (s

{(s)

+ y ) 2 + (32 -

y2 .

Trataremos ahora el caso cuando y > O; esto es, una fuerza retardataria no desdeñable está presente. Sabemos que la forma de la transformada inversa de u (s) depende de que (3 > y, (3 = y, 0(3< y. Si f3 > y, (32 - y2 > O, así que hacemos (3 )

Entonces (2) se transforma en

(4)

u (s)

= xo( s + y) + vo + yXo + (s

+ y) + 8

2

2

{(s)

(s

+ y) + 8 2

2

y llegamos al resultado

(5)

x( t)

= e-yt[xocos8t +

(vo

+ yxo )8-1sen8t~ +

lh (t)

en el que 0/1 (t) es una transformada inversa del último término de (4). La función 0/1 ( t) puede siempre escribirse en términos de F (t) por el teorema de convolución, por ello conduce a complicaciones indeseables para los,casos más comunes de F ( t). En la solución (5), la presencia del


24 9

Vibraciones amortiguada s

factor de amortiguauúento e-yt muestra que la componente natural del movimiento tiende a cero cuando t ~ oo. Si en ( 1) Y (2 ) tenemos f3 = y , la transformada (6)

u(s) = xo( s + y)

+ Vo + YXo+

(S+y) 2

f(s) (S + y )2

nos conduce a la solución

(7)

x (t) = e-yt[xo + (vo

+ YXil)t] + 'h(t), (s + y)-2f(s) que se determina fácil-

en la que ';2( t) es una inversa de mente una vez que F ( t) ha sido estipulada. Nuevamente la componente natural tiene el factor de amortiguamiento e-yt . Si en (1) y (2) tenemos f3 < y,y2 - f3 2 > 0, y hacemos (8)

Entonces ( 2) se transforma en (9)

u (s) - Xo (s + y) + Vo + yxo + (s + y) 2 - a 2 (s

t(s)

+ y)

2 -

a2 '

lo que nos conduce a la solución ( 10)

x( t ) = e-yt [xocoshat

+ (vo + yxo) a-1senhat] + ';a(t),

en la que ';a (t ) es una inversa del último término de (9). Por (8), vemos que y > a, tal que una vez más, la componente natural de x( t ) en ( 10) tiende a cero cuando t ~ oo. Supóngase ahora por el momento que tenemos F(t) === 0, de tal forma que la componente natural del movimiento está toda bajo nuestra consideración. Si f3 > y, la ecuación (5) es válida y el movimiento es de la clase oscilatorio amortiguado. Si f3 = y, se aplica la ecuación (7) }(

Críticamente am o rti gua d o

o FI GU RA 29

http://carlos2524.jimdo.com/ Ap licaciones

250

[Cap. 13

y el movlilllento no es oscilatorio; se llama mOVlilllento críticamente amortiguado. Si [3 < y, aplicamos la ecuación (10) Y el movimiento se dice que es sobreamortiguado; el parámetro y es mayor que el necesario

para quitar las oscilaciones. La figura 29 muestra una gráfica representativa de cada tipo de movimiento de los mencionados en este párrafo, un movimiento oscilatorio amortiguado, un movimiento críticamente amortiguado y un movimiento sobreamortiguado. EJEMPLO: Resolver el problema del ejemplo b)~ sección 71, agregando una fuerza de amortiguamiento de magnitud 0.6Ivl. Tal fuerza de amortiguamiento puede ser obtenida sumergiendo el peso B en un líquido espeso. x

FIGURA 30

El problema de valores a la frontera que debe resolverse es (11)

~x"(t) +0.6x'(t) +24x(t)

=0; x(O) = i, x'(O) = -2.

Haciendo L{x(t)} = u(s). Entonces (11) nos da

(S2

+ 1.6s +64)u(s)

= i(s - 4.4),

de lo que obtenemos

iL-1 { S - 4.4 } ()_ (s + 0.8)2+ 63.36 .

xt

= i exp (-0.8t)L-

1

+-6~·.~6}

{/

Entonces la solución deseada es (12)

x( t) = exp ( -0.8t) (0.33 cos 8.0t - 0.22 sen.8.0t) ,

una parte de

!lU

gráfica se muestra en la figura 30


EJERCICIOS

1. Un cierto movimiento en línea recta está determinado por la ecuación diferencial 2 d x 2 dx 169 O dt2 y dt x =

+

+

y las siguientes condiciones: cuando t = O, x = O Y v = 8 pies/seg. a) Encontrar el valor de y que nos cO:lduce al amortiguamiento crítico, determinar x en términos de t, y trazar la gráfica para O
2. U na cuerda es de tal · material que un peso de 2 libras la alarga ! pie. Actuando sobre la cuerda están dos fuerzas, una motriz de 1 sen 8t y una de amortiguamiento de magnitud Ivl. El peso principia a moverse desde 1 de pie por debajo del punto de equilibrio de la cuerda con U:1a velocidad hacia arriba de 3 pies/seg. Encontrar una fórmula para la pos:ción del peso al tiempo t. SOL. X = 382 e-st( 3 - 8t) - 3\cos8t. 3. Una cuerda es de un material tal que un peso de 4 libras la alarga 0.64 pies. Al momento de principiar el movimiento el peso de 4 libras ha sido llevado hasta una altura de t de pie por encima del punto de equilibrio y entonces soltado con una velocidad hacia abajo de 5 pies/seg. El movimiento tiene lugar en un medio que amortigua al movimiento como si fuera una fuerza de amortiguamiento de una magnitud llvl en todos los tiempos. Encontrar la ecuación que describe la posición del peso en el tiempo t. t SOL. X = te- (2sen 7t cos7t). 4. Una cuerda es de un material tal que un peso de 4 libras la alarga 0.32 pies. El peso está dado a la cuerda y se mueve en un medio que actúa como una fuerza de amortiguamiento de magnitud !Ivl. Al principiar el movimiento el peso está! pie por debajo del punto de equilibrio y adquiere una velocidad inicial hacia arriba de 4 pies/seg. Encuéntrese la posición del peso de ahí en adelante. SOL. x = ie-6t (4 cos 8t \ sen 8t) . 5. Una cuerda es de un material tal que un peso de 4 libras la alarga 0.4 pies. El peso de 4 libras está atado a la cuerda (suspendida de up soporte fijo) y el sistema está en equilibrio. En ese momento el peso, desde el punto de equilibrio, principia su movimiento con una velocidad, hacia arriba, de 2 pies/seg. Supóngase que el movimiento tiene lugar en un medio que actúa como U:la fuerza retardataria de una magnitud' numéricamente igual a la velocidad, en

-


Aplicaciones

[Cap. 13

pies por segundo, del peso móvil. Determínese la posición del peso SOL. x = _ie-4t sen 8t. como una función del tiempo. 6. Una cuerda es alargada 6 pulgadas por un peso de tres libras. Este peso está atado a la cuerda y principia su movimiento desde el equilibrio CO::1 una velocidad hacia arriba de 12 pies/seg. La resistencia del aire actúa como una fuerza retardataria igual en magnitud a 0.03Ivl. Encontrar la ecuación de movimiento. SOL. x = _1.5e-o. 16t sen 8t. 7. Una cuerda es alargada 6 pulgadas por un peso de dos libras. Hay una fuerza amortiguadora presente de una magnitud igual a la magnitud de la velocidad. Actuando sobre la cuerda hay una fuerza motriz (2 sen 8t). Si, en t = O, el peso es soltado desde un punto situado tres pulgadas por debajo del punto de equilibrio, encontrar st - i cos 8t. SOL. X = (i + 4t) esu posición para t > O. 8. Una cuerda es alargada 10 pulgadas por un peso de 4 libras. El peso principia su movimiento desde 6 pulgadas abajo del punto de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 8 pies/seg. Si el movimiento se desarrolla en un medio que actúa como una fuerza retardataria de magnitud llvl, describir el movimiento. SOL. x = e- t [0.50 cos 6.1t - 1.23 sen 6.1t]. 9. Para el ejemplo 8, encontrar los tiempos a los que la velocidad es cero (los primeros tres), y la posición del peso en cada una de estas ocasiones. SOL. t 1 = 0.3 sec., Xl = -12 pulgadas; t:2 = 0.8 sec., X2 = +6 pulgadas; ta = 1.3 seg, X3 = -4 pulgadas. 10. Una cuerda es alargada 4 pulgadas por un peso de dos libras. El peso inicia su movimiento desde el punto de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies/seg. Si la resistencia del aire actúa como una fuerza retardataria de magnitud 0.02 de la magnitud de la velocidad, describir el movimiento. SOL. X = 1.22e-°. 16t sen 9.8t. 11. Para el ejemplo 10, encontrar qué tanto tiempo emplea el factor de amortiguamiento en decaer a un décimo de su valor inicial. SOL. 14.4 seg. 12. Para el ejemplo 10, encontrar la posición del peso en a) la primera parada y b) la segunda parada. SOL. a) X = 1.2 pies; b) X = -1.1 pies. 13. Supóngase que el movimiento del ejercicio 8, sección 72, es retardado por una fuerza de amortiguamiento de magnitud 0.6Ivl. Encuéntrese la ecuación de movimiento. SOL. x = 0.30e-4t cos 6.4t + 0 .22e-4·8t sen 6.4t - 0.05 cos 8t (pies). 14. Mostrar que siempre que t > 1 (seg), la solución del ejercicio 13 puede reemplazarse por x = -0.05 cos 8t. 15. Supóngase que el movimiento del ejercicio 8, sección 72, es retardado por una fuerza amortiguadora de magnitud Ivl. Encontrar la


253

Vibraciones amortiguadas

ecuación de movimiento y determinar también su forma para t > 1 (segundos) . 9 SOL. X = 3 2(8t 1)e-8t - s\cos8t (ft.); para t > 1, x = - 3\ cos 8t. Supóngase que el movimiento del ejercicio 8, sección 72, es retardado por una fuerza amortiguadora de magnitud 5/3Ivl. Encontrar la ecuación de movimiento. SOL. x = 0.30e-(8/3 )t - 0.03e- 24 t - 0.02 cos 8t. Alterar el ejercicio 6, sección 72, introduciendo en el problema una fuerza amortiguadora de magnitud i la magnitud de la velocidad, y detemúnese entonces x. SOL. x = exp (-1t) (0.30 cos 8.0t - 0.22 sen 8.0t) - 0.05 cos 4t + 0.49 sen 4t. Una cuerda es alargada 6 puJgadas por un peso de 4 libras. Cuando el peso es empujado hacia abajo del punto de equilibrio 6 pulgadas, se le comu."1ica una velocidad inicial hacia arriba de 7 pies por segundo. Suponiendo que la fuerza de amortiguamiento tiene dos veces la magnitud de la velocidad, describir el movimiento -y trazar la gráfica a intervalos de 0.05 seg para O ::;; t ::;; 0.3 (seg). SOL. X = ie-8t (1 - 6t). Un objeto que pesa w libras es soltado desde una altura de h pies sobre la superficie de la tierra. Al tiempo t(seg) después de que el objeto ha sido soltado, y suponiendo que la distancia que ha recorrido desde el punto de partida es x (pies), medida positivamente hacia abajo, suponiendo además que la resistencia del aire es desdeñable, demuéstrese que x debe satisfacer la ecuación

+

16.

17.

.18.

19.

W

d 2x

--= w g dt 2 siempre que x < h. Encuéntrese x. SOL. x = igt 2 • 20. Supóngase que al peso del ejer.cicio 19 se le ha dado una velocidad inicial vo. Sea v la velocidad al tiempo t. Determinar v y x SOL. V = gt Vo, x = igt 2 voto 21. De los resultados del ejercicio 20, encuéntrese una relación que no 2 contenga t explícitamente. SOL. v = v0 2 2gx. 22. Si la resistencia del aire actúa como una fuerza adicional proporcional a la velocidad en el movimiento estudiado en los ejercicios 19 y 20, demuéstrese que la ecuación del movimiento se transforma en

+

( A)

~ dx 2

g dt 2

+

b dx = w. dt

Resolver la ecuación (A) dadas las condiciones

(B) Emplee a = bg/w.

cuando t

= O, x = O Y v = Vo.

+ +


Aplicaciones

254

23. Para comparar los resultados de los ejercicios 20 y 22 cuando a -==. bg/w es pequeño, usar la serie de potencias para e- at en la respuesta del ejercicio 22 y descartar todos los términos que involucren arl para n ¿ 3.

= ~ gt 2 + vot - ~ at 2(3vo + gt) + 2\ a 2t 3 (4vo + gt). 24. La ecuación de movimiento de la caída vertical de un hombre con un paracaídas puede estar dada aproximadamente por la ecuación (A) del ejercicio 22. Supóngase que un hombre de 180 libras de peso cae desde una gran altura y alcanza una velocidad de 20 millas por hora después de largo tiempo. Determinar el coeficiente b de la ecuación (A). SOL . 6.1 (lib) (seg) por pie. 25. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ley SOL.

X

d2x dt 2

dx

+ 6 di + 25x =

O.

Si la partícula principia su movimie:1to a partir de x = O con una velocidad inicial de 12 pies/seg, hacia la izquierda, determinar: a) x en términos de t; b) los tiempos a los cuales la partícula se determine, y e) la razón entre los valores numéricos de x en paradas sucesivas. SOL. a) x = - 3e- at sen 4t, b) t = 0.23 in7r, n = O, 1, 2, 3, ... , e) 0.095.

+

74.

EL PÉNDULO SIMPLE

Una varilla de longitud e pies está suspendida por uno de sus extremos de tal manera que puede balancearse libremente en un plano vertical. Supóngase que un peso B de w libras se suspende al extremo libre de la varilla. Supóngase también que el peso de la varilla es desdeñable cuando se le compara con el peso suspendido de ella. Sea e la cantidad en radianes que mide el desplazamiento angular, con respecto a la vertical, tal como se muestra ' en la figura 31, del peso al tiempo t (seg). La componente tangencial de la fuerza w (lib) es w sen e y tiende a hacer que ·e disminuya. Entonces, despreciando el peso de la varilla y usando S = ce como una medida FIGURA 31 de la longitud de arco desde la posición vertical, podemos concluir que (1)


255

Vigas

Ya que S =

ce y

C es constante, (1) se transforma en

g - +-sen8=0 df C . d 2()

(2)

La solución de la ecuación (2) no es elemental; implica la resolución de una integral elíptica. Sin embargo, si 8 es pequeño, sen (J y (J son caSI iguales y ( 2 ) es aproximadamente la ecuación mucho más simple (3 ) La solución de (3) con condiciones a la frontera pertinentes nos da útiles resultados siempre que dichas condiciones sean tales que () permanezca pequeño, digamos de un orden de I(JI < 0.3 (radianes)

75.

VIGAS

Considérese una viga de longitud 2c, como la mostrada en la figura 32. Denótese la distancia, a partir de uno de los extremos de la viga, por x, y su deflexión por y. Si la viga está sujeta a una carga vertical W ( x), la deflexión y deberá satisfacer la ecuación (1 )

d4

El --.14 = W(x) dx '

para O < x

<

2c

en la cual E, el módulo de elasticidad, e l~ un momento de inercia, son constantes conocidas asociadas con esa viga particular La pendiente de la curva de deflexión es y' (x), el momento de flexión es Ely" (x) y la fuerza cortante es El y'" (x). Las condiciones a la frontera comunes son de los tipos siguientes: a) Viga encajada en un soporte: y = O Y y' = O en el punto; b) Viga simplemente soportada: y = O y y" = O en el punto; e) Viga libre: y" = O Y y'" = O en el punto. Los problemas que tienen que ver con el desplazamiento transversal de una viga tienen la forma de la ecuación diferencial (1) con condiciones a la frontera en cada extremo de la viga. Tales problemas pueden resolverse por integración aplicando un poco de álgebra. Sin embargo, hay dos razones para emplear nuestro método de transformadas en tales problemas. Frecuentemente la función de carga, o su derivada, son discontinuas. Los problemas de vigas también nos dan la oportu.:


Apl icaciones

[Cap. 13

nidad de examinar un útil artificio en el cual un problema sobre un rango finito se resuelve con la ayuda de un problema asociado sobre un rango infinito.

I

I

- - - . - - - - - - - -I r - - - - - -

- -

I

2C

C x_

FIGURA 32

EJEMPLO: Encontrar el desplazamiento y a todo lo largo de la viga de la figura 32, en la cual la carga se supone que &crece uniformemente desde wo en x = O hasta cero en x = e, y permanece igual a cero desde x = e hasta x = 2e. El peso de la viga es desdeñable. La viga está encajada en x = O Y libre en x = 2e. Tenemos que resolver el problema (2) (3)

d4 y w E I -4 = _ o [e - x dx e y(O)

+ (x -

= O,

y"(2e) = O,

(4)

para O < x

e)a(x - e)],

< 2e;

= O; y"'(2e) = O.

y'(O)

El lector deberá verificar que el miembro derecho de ( 2 ) es la función de carga estipulada. (5)

W(x)

wo = -(e-x), e

para O ~ x ~ e,

= O,

para e

~

2e.

Para aplicar la técnica de transformadas, con x desempeñando el papel para el cual empleamos generalmente a t, necesitamos primero extender el rango de x de tal fOTIna que tome valores desde O hasta oo.


Vigas

§75]

Esto es, en lugar del problema ( 2 ) , (3), (4), queremos resolver el problema que consiste de para O < x

(6)

<

00,

y las condiciones (3) Y (4). En (6), la función H (x) debemos elegirla con la única restricción que H (x ) debe coincidir con W (x ) sobre el rango O < x < 2e. La solución del problema (6), (3), (4) se usará solamente en el rango O ~ x ~ 2e. De las varias elecciones posibles de H (x) parece la más simple de usar

(7)

H (x ) =

Wo

e

[e - x

+ (x -

e)a (x - e)],

para O < x

<

oo.

Esto es, en la práctica, generalmente retenemos la ecuación (2) Y simplemente extendemos el rango de O < x < 2e hasta O < x < oo. El lector debe, sin embargo, tener en mente que no podemos aplicar el operador de Laplace a la función W (x) de (5) , ya que la función no está definida sobre el rango completo O < x < oo. Deseamos resolver (6 ) Y concluimos que la solución es válida para (2) sobre el rango O ~ x ~ 2e, sobre el cual ( 2) y (6) son idénticas. Supongamos que L{Ely(x) } = u (s); ( 8)

u (s) = El

r

e-B,"y(x) dx.

o

Para transformar Ely(4l(x) necesitamos usar los valores de Ely (x) y sus primeras tres derivadas en x = O. De (3 ) sabemos que

Ely( O) = O,

Ely' (O) = O.

H aciendo (9)

Ely" (O) = A,

Ely'" ( O) = B.

Las constantes A y B deben determinarse usando las condiciones (4) . Por nuestros métodos usuales obtenemos, para la H (x) de (7),

L{H (x) } =

Wo L{e

e

= Wo (~ _ e s

- x

+ (x -

l + e -: S2

e)a(x - e)}

B )

•

s-

Por tanto la ecuación diferencial (6) se transforma en


Apl icocí ones

S4 U

(s) -

S3 •

O-

S2 •

[Cap. 13

e= -Wo (e- __1 + _

O- s. A - B

e

s

S2

CS

S2

)

'

de la cual obtenemos

( 10) Ahora L-l{U(S)} = Ely (x) . Entonces (11) Ely(x) = ~AX2 +~BX3_1 w0 [5cx 4 - x 5 + (x - e) 5a(x - e)]. 120 c . De (11) obtenemos (12) Ely' (x) = Ax + !BX2 + WO [4cx 3 - x4 + (x - 4ra (x - e)], 24e

Ely" (x) = A

(13)

+ Bx +

Ely"'(x) = B

(14)

Wo [3cx 2 - x 3 + (x - e) 3a (x - e)], 6c

+ Wo [2cx 2c

X2

+ (x -

e)2a(x - e)].

Diferenciando ambos miembros de la ecuación ( 14), podemos ver que la y de ( 11) es una solución de (6) sobre un rango infinito y, lo que es más importante, una solución de (2) sobre el rango O < x < 2(;. Con la ayuda de las ecuaciones de la (11) hasta 'la ( 14) podemos ahora determinar A y B para hacer que y satisfaga las condiciones apropiadas en x = 2e, ya sea que la viga esté libre, encajada o fija ahí por medio de un perno. En nuestro ejemplo la viga está libre en x = 2e; la solución debe satisfacer las condiciones

(4)

= 0,

y" (2c)

y"' ( 2e)

= O.

Usando ( 13) y (14), y algunas operaciones, encontramos que (4) requiere que A = ~woe2, B = - ~wo c. Entonces llegamos a la solución (15) Ely (x) = 1\ WOC 2X2 - ,\ woex 3

+ ~ [5ex

°

120e

4

-

x 5 + (x - e)5 a (x - e)],

para :s; x :s; 2e. El lector puede verificar por diferenciaciones y sustituciones apropiadas que la y de ( 15) satisface la ecuación diferencial original (2) y las condiciones a la frontera (3) y (4 ) . De ( 15 ) podemos obtener cualquier información que deseemos. Por ejemplo, en x = fe el momento de flexión es EIY" (') 2e - woe 2[1¡¡

-

'+ G'( -

:;

'+"~ +O ) J 8

' 2. = ..--swoe


EJERCICIOS

1. Un reloj tiene un péndulo de seis pulgadas. El reloj hace tic cada vez que el péndulo completa un balanceo, retornando a su posición original. ¿ Cuántas veces hará tic el reloj en 30 segundos? SOL. 38 veces. 2. Un péndulo de seis pulgadas es soltado desde el reposo en un ángulo de un décimo de radian con respecto a la vertical. Usando g = 32 SOL. 8 = 0.1 cos 8t (rad). (pies/seg 2 ), describir el movimiento. 3. Para el péndulo del ejercicio 2 encontrar la máxima velocidad angular y el tiempo en el cual ocurre por vez primera. SOL. 0.8 (rad/seg) en 0.2 seg. 4. Un péndulo de seis pulgadas principia su movimiento con una velo- . cidad de un radian por segundo, hacia la vertical, desde una posición que está a un décimo de radian de la vertical. Describir el movimiento . . SOL. 8 = 1/ 10 cos 8t - i sen 8t (radianes ). 5. Para el ejercicio 4, encontrar con la máxima aproximación en grados, el máximo desplazamiento angular con respecto a la vertical. SOL.

go.

6. Interprétese como un problema de péndulo y resuélvase 2

d 82 + /328 dt

(A)

(B)

= O' W = ~e' •

d8 cuando t = O, 8 = 80 Y = dt = ti)

SOL . 8 = 80 cos f3t + f3- 1
+

En los ejercicios del 8 al 11, encontrar la y que satisface la ecuación (1), sección 74, con la función de carga W (x) dada y las condiciones iniciales en los extremos de la viga. (Ver a) b) c) sección 75.) Verificar las soluciones. 8. La función de carga W (x) igual a la del ejemplo de la sección 75; la .viga encajada tanto en x = O, como en x = 2c. 2 3 22 SOL. Ely (x) = 4 8 0 WOC X W(Jcx 3

:u

+ 1~~c[5cx4 -

x 5 + (x - C) 5U (X - c)].

9. W(x) = O, para O < x < lC, = Wo, para lC < x < ~c, = O, para fc < x < 2c; viga encajada en x O Y libre en x 2c. SOL. Ely(x) = ~WOC2X2 ~ tW(Jcx3 + /.wo[(x - ~)4a(x - ~c) -

=

=

(x ~ tc ) 4a(x - ~c)].

http://carlos2524.jimdo.com/ [Capo 13

Aplicaciones

260

10. W(x) = wo[l - a(x - c)] (describe la carga); viga encajada en x O Y soportada por un perno (simplemente soportada) en x 2c. SOL. Ely(x) = 69.WOC2X2 - 1\9.WOCXS + /.wo [x 4 - (x - c)4a(x - c)].

=

=

11. W(x) = Wo (2c - x), para O < x c = Wo, para c

<

c,

< x < 2c;

=

=

viga encajada en x O y libre en x 2c. 1" 22 1\ 3+1 EOI() SOL. Y x = 12WOe x - nWoex "",WoX 4

+ 1~~)5ex4 -

x5

+ (x -

e)5 a (x -

en


CAPÍTULO

14


76.

EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

El operador de Laplace puede usarse para transformar

un

sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en un sistema de ecuaciones algebraicas. EJEMPLO: Resolver el sistema de ecuaciones

( 1)

(2)

x" (t) - x(t)

+ 5y' ( t)

= t

J

y" (t) - 4y(t) - 2x'(t) = -2,

con las condiciones iniciales (3 )

x (O) = 0,

x' (O) = 0,

y (O) = 0,

y'(O) = O.

Haciendo L{x( t)} = u (s) y L{y(t)} = v (s). Entonces, la aplicación del operador de Laplace transforma el problema en el de resolver un par de ecuaciones algebraicas simultáneas: (4) (5)

(S2 - 1 )u (s)

-2su (s)

+

+ 5sv (s) = ~, s-

(S2 - 4)v(s) =

-~. s

261



[Cap. 14

Resolviendo las ecuaciones (4) Y (5) obtenemos

(6)

l1s 2 - 4 u (s) = S2( S2 + 1) (s2 + 4)'

(7)

v (s) = s( S2

-2s2

+

+4

1) (S2 + 4

r

Buscando las transformadas inversas de u y v, desarrollamos en primer lugar los miembros derechos de ( 6 ) Y ( 7) en fracciones parciales:

1

5

:f + S2 +

4 1 - S2 + 4'

(8 )

u (s) = -

(9)

1 2s s v es) = -; - S2 + 1 + S2 + 4'

Ya que x(t) deseados ( 10)

(11)

= L-l{U (S)}

y y(t)

x(t ) = - t

= L-l{V (S)}

+ 5 sen t

y (t) = 1- 2cost

-

obtenemos los resultados

2 sen 2t,

+ cos2t,

los cuales pueden verificarse fácilmente por sustitución directa en (1), ( 2) Y ( 3) . El procedimiento anterior es conceptualmente simple y poderoso cuando se aplica a estudios teóricos, sin embargo, para resolver problemas numéricos es de moderada eficiencia. El lector no debe pasar por alto el álgebra, algunas veces tediosa, que se usa para pasar de las _formas, ( 6) Y ( 7 ) a las (8) Y (9). El ejemplo fue deliberadamente construido para que este trabajo fuese simple.

77.. EL MÉTODO DEL OPERADOR DIFERENCIAL Al resolver sistemas de ecuaciones li"neales simultáneas, la notación del operador diferencial es otra herramienta conveniente. Considérese el sistema

(1 )

y" - y 2»' - v"

+ 5v' = + 4v =

x, 2,

con la variable .independiente x y variables dependientes y y v. Es natural tratar el sistema (1) eliminando una variable dependiente para obtener una sola ecuación para la otra variable dependiente. Usando D = di dx, se escribe el sistema (1 ) en la forma


El método del operador d iferencial

§77)

(D2 -

(2)

+ 5Dv =

l)y

2Dy- (D

2

-

x,

4)v = 2.

Entonces la eliminación de una variable dependiente es directa. Podemos, por ejemplo, operar sobre la primera ecuación con 2D y sobre la segunda ecuación con (D 2 - 1), y después restar una de la otra, obteniendo [10D 2 + (D 2 - 1) (D 2 - 4)]v = 2Dx - (D 2 - 1)2, o

(D 4

(3)

+ 5D + 4)v = 2

4.

De modo semejante puede eliminarse v; la ecuación resultante para y es [(D 2 - 1) (D2 - 4) + lOD2Jy = (D2 - 4)x + 5D(2), o

(D4

(4)

+ 5D 2 + 4)y =

-4x.

De las ecuaciones (3) Y (4) se sigue inmediatamente que (5 )

v= 1

+ al COS x + a2 sen x + as cos 2x + ~ sen 2x

y

( 6)

Y= - x

+ bl COS X + b2 sen x + bs cos 2x + b4 sen 2x.

Las a y las b tienen aun que ajustarse para hacer que (5) Y (6) satisfagan las ecuaciones originales. Este a juste debe hacerse en las ecuaciones ( 5) Y (6) más bien en las (3) Y (4), ya que estas últimas resultaron de las originales después de que se efectuaron ciertas eliminaciones. Combinando (por sustitución) Lt v de (5) y la y de (6) con la primera ecuación del sistema (2) llegamos a la identidad (7)

x - 2bl cosx - 2b 2 sen x - 5bs cos 2x - 5b4 sen 2x - 5al sen x

+ 5a2 cos x -

lOas sen 2x

Que (7) sea una identidad en x requiere que (8)

-2bl + 5a2 = 0, -2b2 - 5al = 0, -5bs + 1O~ = 0, -5b4 - lOas = O.

+ 1O~ cos 2x = x.



[Cap. 14

Las relaciones entre las a y las b equivalentes a las relaciones (8) se obtienen de sustituir la v de (5) Y la y de (6) en la segunda ecuación del sistema (2). Concluimos que la solución general del sistema (2) es (9)

v = 1 + al COS x + a2 sen x + a3 cos 2x + (4 sen 2x, y = - x + ~a2 cos x - %al sen x + 2a4 cos 2x - 2a3 sen 2x,

en la que al, a2, a3 y C&4 son 'constantes arbitrarias. Las ec-:tIllciones (3) Y (4) para v y y pueden escribirse con la ayudaje determinantes. Para el sistema (2) anterior podemos escribir inmediatamente (D2 - 1) 5D = (D2 - 1) 2D - (D 2 - 4) v 2D

I I

I

lo cual reduce la ecuación (3) anterior, si tenemos cuidado en la interpretación del miembro derecho. El determinante de la derecha debe interpretarse como (D2 - 1) (2) - 2D (x) y no como el operador diferencial 2 (D2 - 1) - x ( 2D) . Los determinantes son extremadamente útiles en cU'llquier tratamiento de la teoría de sistemas de ecuaciones lineales. Para sistemas simples que surgen en la práctica no se necesita esta herramienta tan poderosa. Hay otras técnicas para tratar un sistema como el (2). Por ejemplo, podemos obtener primero (3) Y de ahí v como en la ecuación (5). En seguida deseamos encontrar una ecuación que nos dé y en términos de v; esto es, buscamos eliminar del sistema (2) aquellos términos que involucren derivadas de y. De (2) obtenemos las. dos ecuaciones ( 10) (2D 2 - 2)y + lODv = 2x, 2D2y - (D 3 - 4D)v = 0, (11 ) la última operando con D sobre cada miembro de la segunda ecuación del sistema (2). De (10) Y (11) se sigue inmediatamente que 2y - D 3v - 6Dv = -2x, o

(12)

y= - x

+ !D3 V + 3Dv.

La v de la ecuación (5), .puede usarse ahora en (12) para calcular la

y que fue dada en la solución (9). En este método de solución no hay necesidad de obtener (4), (6), ( 7) u ( 8 ) .


265

El método del operador diferencial

Ambos métodos delineados aquí se pueden utilizar siempre que el sistema sea lineal con coeficientes constantes. Tales sistemas aparecen naturalmente en el estudio de redes eléctricas, las cuales discutiremos en el capítulo siguiente. Los sistemas de ecuaciones no lineales y los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes variables no serán estudiados en este libro.

EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 8, aplíquese el método de la transformada de Laplace.

+ 2y(t) = 14t + 3, = 1; x( O) = O, x'(O) =0, y(O) = 6.5. SOL. x(t) = 2 - iet - ie 3t _ e- 2t , y(t) = 7t + 5 - e t + %e- 2t . 2. 2x'(t) + 2x(t ) + y'(t) - y(t) = 3t, x'(t) + x(t) + y'(t) + y(t) = 1; x(O) = 1, y(O) = 3. SOL. x(t) = t + 3e- t - 2e-3t , y(t) 1 - t + 2e-3t 3. x'(t) - 2x(t) - y'(t) - y(t) = 6e 3t , 2x'(t) - 3x(t) + y'(t) - 3y(t) = 6e 3t ;x(0) = 3,y(0) = O. SOL. x(t) = (1 + 2t)e t + 2e~t y(t) (1 - t)e t _ esto 4. x"(t) + 2x(t) - y'(t) = 2t + 5, x'(t) - x(t) + y'(t) + y(t) = -2t - 1; x(O) = 3, x'(O) = O, y(O) = -3. SOL. x(t) = t + 2 + e-2t + sen t, y(t) = 1 - t - 3e- 2t - cost. 5. Las ecuaciones del ejemplo de la sección 76, página 261, con las condiciones iniciales x(O) = O, x'(O) = O, y(O) = 1, y'(O) = O. SOL. x(t) = -t - i sen t + ¡sen 2t, y(t) = 1 + ~ cos t - ~ cos 2t. 6. Las ecuaciones del ejemplo de la sección 76, página 261, con las condiciones iniciales x(O) 9, x'(O) 2, y(O) 1, y'(O) O. SOL. X (t) = - t + 15 cos t - 5 sen t - 6 cos 2t + 4 sen 2t, y(t) = 1 + 2 cos t + 6 sen t - 2 cos 2t - 3 sen 2t. 7. x"(t) + y'(t) - y(t) = O, 2x'(t) - x(t) + z'(t) - z(t) = O, x' ( t) + 3x ( t ) + y' (t) - 4y ( t) + 3z ( t ) = O; x(O) O,x'(O ) 1,y(0) O,z(O) o. 8. x." ( t ) - x ( t) + 5y' ( t ) = f3 ( t ), y"(t) - 4y(t) - 2x'(t) = O, en la que f3(t) = 6t, O S; t S; 2, = 12, t> 2; x(O) O, x'(O) O, y(O) O, y'(O) O. 1. x" (t) - 3x'(t) - y'(t)

x'(t) - 3x(t)

+ y'(t)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


Si stema s de ecuaci ones

SOL.

[Cap. 14

x(t) = -2(3t - 5 sen t + sen 2t) + 2[3 (t - 2) - 5 sen (t - 2) + sen 2(t - 2 )]a(t - 2), y(t) = 3 - 4cost + cos2t - [3 - 4 cos (t - 2) + cos 2 (t - 2) Ja (t - 2)

En los ejercicios 9-12 aplíquese el método del operador diferencial. 10. Ejercicio 2. 9. Ejercicio 1. 11. Ejercicio 3. 12. Ejercicio 4. En los ejercicios 13-24, aplíquese el método que se prefiera. Obtener la solución general, a menos de que se indique otra cosa. /' 13. u' - 2u + 2w' = 2 - 4e 2" SOL. u are" + a2e-211l, + 5e 2" - 1, 2u' - 3u + 3w' - w = O. w = fa 1e" - a2(;2" - e 2" + 3. 14. (3D + 2 )u + (D - 6 )w = 5e", (4D + 2) u + (D - 8) w = 5e" + 2x - 3. SOL. U = a1 cos 2x + a2 sen 2x + 2e" - 3x + 5, w = a2 cos 2x - ~ sen 2x + e" - x. 15. (D 2 + 6 )y + D u = 0, (D + 2)y + (D - 2)u = 2. SOL. Y = cle3" + C!2 COS 2x + C3 sen 2x, u = -1 -5c 1e¡¡'" + C3 COS 2x - C2 sen 2,xo. 16. D2y - (2D - 1)u = 1, (2D+ 1)y + (D2-4)u=0. SOL. u = 1 + a1e" + a2e-" + a3 cos x + a. sen x, y = 4 + ale" - 3~2e-" + (a3 - 2a.) cosx + (2a3 + a4) senx. 17. (D2 - 3D )y - (D - 2)z = 14x + 7, (D - 3)y + Dz = 1. SOL. Y = 2 +ale" + a2e3" + a3e-2", z = 7 + 7x + 2ale" - t a3e-2". 18. (D a + D 2 - 1)u + (D3 + 2D2 + 3D + 1)u = 3 - x, . (D - 1)u + (D + 1)u = 3 - x. SOL. U 2x + a1 + a2 cos x + a3 sen x, u = x + a1 - a3 cos x + a2 sen x. 19. (D2 + l)y + 4(D - 1) u = 4e", (D - 1)y + (D + 9 ) u O; cuando x O,y 5,y' 0, u f. SOL. Y = 2e" + 2e-" + e-U' (cos x + 2senx), u = ie-" + e- 2" sen x. d 2x dy 20. dt 2 + x - 2 dt = 2t,

=

=

=

dx - x dt

2-

+ -dy dt

=

=

=

=

2y = 7.

t X = 2t - 2 + ble + b2e- t + b3e- 2t , y = -t - 1 + b1e t - b 2 e- t - ~ b3e- 2t . 21. 2(D + 1)y + (D - 1)w = x + 1, (D + 3)y + (D + 1)w = 4x + 14. SOL.


El método del operador d iferencial

§77]

+ 2 + C1e-1Z cos 2x + C;2e-1Z sen 2x, + 6 + (C2 - C1 ) e- IZ cos 2x - (C1 + C2) e-lZ sen 2x. 22. (D+ l)y+ (D-4)v=6 cos x, (D - l )y + (D2 + 4) v = - 6 sen x. SOL. y = 3 cos x + 3 sen x + a1 + ~ cos 3x + as sen 3x, v = ¡ a1. - Ha2 - 3as) cas 3x - i (3a2 + as) sen 3x. 23. 2Du + (D - 1) v + (D + 2) w = O, SOL.

Y= X w = x

(D+2)u+ (2D-3)v- (D-6)w=0, 2Du - (D + 3)v - Dw = O. SOL.

+ 3C;2e-1Z + 3CaelZ/2, 5C;2e-:t + c selZ/ 2,

U v

=

3c1e21Z

w

=

_4c~e21Z

= 4C1C21Z -

-

4C'2e-1Z -

c se"'/2.

24. D2y + (D - 1) v = O, (2D - l )y + (D - l )w = O, (D + 3) Y + (D - 4) v + 3w O. SOL. y = a~ + a2e


[Cap. 15

La corriente en cada punto en una red puede detenninarse resolviendo las ecuaciones que resultan de aplicar las leyes de Kirchhoff: a) La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero, y

b) Alrededor .de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección especificada, es cero.

Un circuito se trata como una red que contiene solamente una trayectona cerrada. La figura 33 muestra un "circuito RLC" con algunas de las convenciones acostumbradas para R dicar los diferentes elementos. Para un circuito, la ley de corriente KirchL hoff a) indica simplemente que la corriente E(f) es la misma a lo largo de todo el circuito. Esta ley desempeña un gran papel en las ,-----' redes, como veremos posteriormente. FIGURA 33 Para aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff b) , es necesario conocer las contribuciones de cada uno de los elementos idealizados en la figura 33. La caída de voltaje a través de la resistencia es RI, a través de la inductancia es LI' (t), y a través del condensador es C-1Q (t). La fuerza electromotriz introducida al circuito E(t) contribuye al aumento de voltaje. Supóngase que al tiempo t = el interruptor mostrado en la figura no hay corriente fluyendo en el 33 está cerrado. Por tanto, en t = circuito 1 (O) = 0, y si el condensador está inicialmente sin carga, Q ( O) = De la ley de Kirchhoff b), obtenemos la ecuación diferencial

rn-

Te

°°

°

( 1)

LI' ( t)

+ RI ( t) + C-1Q ( t)

= E (t ) ,

en la cual (2)

1 ( t) = Q' (t ) .

Las ecuaciones (1) y (2), con las condiciones iniciales

(3)

ICO)- = 0,

Q(O) = 0,

constituyen el problema a resolver. Para retener el símbolo convencional L para el número de henrys de la inductancia del circuito, denotaremos en esta sección por Lt el operador de Laplace para el cual se usa L en todas las otras secciones del libro.


271

Circuitos

Entonces las transformadas de 1 ( t), Q ( t ), E ( t), estarán denotadas en este caso por:

(4)

Lt{l(t)} = i(s),

Lt{Q(t)} = q(s),

Lt{E(t)} = e(s).

El problema (1),' (2) Y (3) se transforma entonces en

(5)

Lsi(s)

+ Ri(s) + C-1q(s)

= e(s).

i(s) = sq(s).

(6)

De (5) Y (6) encontramos i ( s ), o q ( s) o ambas

. se (s) z(s) - -------'-----'------- Ls2 + Rs + C-1 ' e(s) q (s) = Ls2 + Rs + C-1

(7) (8)

Entonces / ( t) Y Q ( t) se obtienen como transformadas inversas de (7) Y (8). De (7), (8), o la ecuación diferencial (9)

LQ" (t)

+ RQ'(t) + C-1Q(t)

= E(t),

se sigue que el problema del circuito es equivalente a un problema de vibraciones amortiguadas en una cuerda (sección 73). El término resistencia RQ' (t) es el análogo al término de amortiguamiento en el problema de vibración. Las analogías entre los sistemas mecánicos y eléctricos son muy útiles en la práctica. EJEMPLO: En el circuito RL cuyo dibujo esquemático está mostrado en la figura 34, supóngase que el interruptor está cerrado al tiempo t = O. En algún tiempo posterior t = to, el R elemento de corriente directa, la constante E, es quitado del circuito que permanece cerrado. Encontrar la corriente para toda t > O. El problema de valores a la frontera que debe resolverse es (10)

(ll)

LI' ( t )

+ RI(t)

= E(t);

/ (0) = O,

FIGURA 34

E ( t) = E[1 - a(t - to)J.

Sea i (s) la transformada de / (t). Conocemos la transformadas de E (t). Entonces obtenemos el problema transformado



sLí (s)

(12)

+ Rí(s)

[Cap, 15

=E [1 - exp (-tos)], s

del cual ' ( ) _ E[l - exp ( -tos)]

(13)

zs -

Ahora

s (sL

+ R)

1+ R) = R1(1 -

tal que

i(s) =

s(sL

~G

~

- + kL-1) s

.

1)

s + RL-1

,

[1 - exp (-toS)].

Entonces

(14)

I (t)

=~[1

- a(t -

to) -exp (-

~ t)

+ exp { - ~ (t -

to) } a (t - to)

1

El lector deberá verificar (14) Y demostrar que puede escribirse como (15)

ParaO::;t::;to,

(16)

Para t

79.

>

to

I ( t)

=~[l-exp(-:~t)J;

I(t) = I(to) exp [ -

~ (t -

to)].

REDES SIMPLES

Los sistemas de ecuaciones diferenciales se encuentran naturalmente en la aplicación de las leyes de Kirchhoff, sección 78, a las redes eléctricas. El uso del operador de Laplace hace que la solución de tales sistemas sea directa, aunque a menudo laboriosa. Para la teoría general de las redes, el operador de Laplace (o su equivalente de Heaviside) es una herramienta de gran valor. Aquí nos restringiremos exclusivamente a situaciones en extremo simples que sean suficientes para ilustrar el procedimiento generalmente usado. EJEMPLO a): DeteffiÚnese el carácter de la corriente Il(t) en la red que tiene el diagrama esquemático mostrado en la figura 35, bajo la suposición de que cuando el interruptor está cerrado, las corrientes son cero.


Redes simples

§79]

En una red, aplicamos las leyes de Kirchhoff, secclOn 78, para obtener un sistema de ecuaciones que nos sirvan para determinar las corrientes. Ya que hay tres variables independientes, l~, 1t2, 13, necesitamos tres ecuaciones.

FIGURA 35

De la ley de corriente se sigue que (1)

11 = 12

+ 13.

La aplicación de la ley de voltaje al circuito de la izquierda en la figura 35, nos conduce a (2)

Empleando la ley de voltaje sobre el circuito externo, tenemos (3)

RJ1

+ Rala + Lal; =

E.

Puede obtenerse aun otra ecuación del circuito de la derecha en la figura 35: (4)

Ral3

+ Lal; -

L 21; = O.

La ecuación (4) puede tenerse inmediatamente de las ecuaciones (2) y (3); puede emplearse en lugar de (2) o (3). Deseamos obtener 11(t) del problema de valores a la frontera que consiste de las ecuaciones (1) ~ (2), (3) Y las condiciones 11 (O) = 0, 12( 0) = 0, 13( 0) = O. Una de las tres condiciones iniciales es redundante debido a la existencia de la ecuación (1). Dado L{Ik(t)} = ik(S) para cada k = 1, 2, 3. Entonces, haciendo uso del operador L se transforma nuestro problema en otro de naturaleza algebraica que consiste en resolver las ecuaciones (5) (6)

(7)

i1 - i z - i3 = 0,

R 121·

+ SL'

R1i1 + (Ra

Zl.2

E =S

+ SL3)ia =~. s


Ci rcuitos eléctricos y redes

[Cap. 15

Ya que deseamos solamente i 1 ( s ) , usaremos determinantes para escribir la solución

o E

s

-1

-1

sL2

O

O

(R a + sLa)

E

s

= E. Ra + s(L z + L a)

A

S

A

en donde 1

Rl

-1

-1

1

O

- Rl

(R a + sLa)

O

O

O

(SL2 + Rl)

Rl

Rl

Rl (Rl

+ Ra + sLa)

Entonces (9)

A

= L2Las2

+

(RlLz + R aLz

+ RlL3)S + RlR3.

Estamos interesados en fectores de A. Considérese la ecuación ( 10)

A =

O.

La ecuación ( 10) no tiene raíces positivas. Su discriminante

(RlLz

+ R3L2 + RlL3)2 -

4LzL3RlRa

puede escribirse como

(R lL2) Z + 2RILz( R 3L2 + RlL3)

+

(R 3L z + RILa)Z - 4LzL3RlR3,

lo que es igual a ( Rl~ ) Z

+ 2R IL z( R 3L2 + RIL3) +

(R 3L z - R lL3)Z

y es entonces positivo. Por tanto vemos que la ecuación ( 10) tiene dos raíces negativas distintas. Llamémoslas (- al) y (- az). Se sigue enton-

ces que y tenemos, de (8)

( 11 )

il( S)

!i Ra + S(L2 + La) - S L zL3(S + al ) (S + az ) .

El miembro derecho de la ecuación ( 11) tiene un desarrollo en fracciones parciales


Redes simples

§79]

(12) tal que Il(t) Ao

+ Alexp (-alt) + A2 exp (-a2t).

b): Para la red mostrada en la figura 36, escribir las ecua~ ciones para la determinación de las corrientes 11, 1 2 e 13, y la carga Qa. Suponer que cuando el interruptor está cerrado todas las _corrientes y las cargas son cero. Obtener el problema transformado. Usando las leyes de Kirchhoff escribimos las ecuaciones EJEMPLO

(13) ( 14 ) Rl I 1 (15) Rd1

11=12+13, dl2 + L -;¡¡ = 2

E sen wt,

+ R313 + C13Q3 =

Esenwt; FIGURA 36

y la definición de la corriente como la derivada de la carga con respecto al tiempo

13 = dQ3.

(16)

dt

Nuestro problema consiste de las cuatro ecuaciones, de la ( 13) a la ( 16) con las condiciones iniciales (17)

12(0)

= O,

=

= O,

13(0)

Qa(O)

=

= O. = qa(S).

Sea L{Ik(t)} ik(s) , k 1,2,3, Y L{Qa(t)} Entonces el problema transformado es el de resolver el sistema algebraico

i1 - iz

(18)

R l l·t

(19) (20)

(21)

R l l·t

-

+ sL'

.212

i3 = O, Ew 2' = -2-S

+w

+ R'ala + -C1a q a =

Ew

+

-2-2 ,

S

is = sqa. EJERCICIOS

1. Para el circuito RL de la figura 34, página 271, encontrar la corriente I si el elemento de corriente directa E, no se quita del circt!ito. SOL. 1 = ER-1[1 - exp ( -RtL-l)].



[Cap, 15

2. Resuélvase el ejercicio 1, si el elemento de corriente directa es reemplazado por un elemento de corriente alterna Ecos wt. Por conveniencia, empléese la notación

en la que Z se llama la impedancia del estado estacionario de este circuito. SOL. 1 = EZ-2[wL sen wt + R cos wt - R exp (-RtL-1)]. 3. Resuélvase el ejercicio 2, reemplazando Ecos (J)tcon E sen (¡Jt. 4. La figura 37 muestra un circuito Re con un elemento de corriente alterna insertado en él. Suponer que el interruptor está cerrado en t = O, Y que a ese tiempo Q = O e R 1 = O. Úsese la notación

donde Z es la impedancia del estado estacionario del circuito. Encontrar 1 para t> O. 1 = EZ-2[ R sen wt + (wG) -1 cos wt _ (wG) -1 exp ( -'- tR-1G-1) ]. FIGURA 37 5. En la figura 37, reemplácese el elemento de corriente alterna con un elemento de corriente directa E = 50 volts y empléense R = 10 ohms, G = 4 ( 10) -4 farads. Suponer que cuando el' interruptor está cerrado (en t = O), la carga sobre el condensador es de 0.015 coulombs. Encontrar la corriente inicial en el circuito y la corriente para t > O. SOL. 1(0) = 1.25 (amp) , l(t) = 1.25 exp (-250t) (amp). 6. En la figura 33, página 270, encuéntrese 1 (t) si E (t) = 60 volts, R = 40ohms, G = 5 (10) -5 farads, L = 0.02 henrys. Suponer 1(0) =0, Q(O ) =0. SOL. 1= 3000texp(-1000t) (amp). 7. En el ejercicio 6 encuéntrese la corriente máxima. 1 SOL . 1max = 3e- (amp). En los ejercIcIOs del 8 al 11, úsese la figura 33, página 270, con E (t) = E sen (¡Jt y con las siguientes notaciones empleadas para simplificar las fórmulas

_ Ji.

a - 2L'

b2 _

- a

1_ f.l2 LG , 1"

2 __

1_ _ 2 LG a ,

__

-

La cantidad Z es la impedancia del estado estacionario para un circuito RLG. En cada uno de los ejercicios del 8 al 11, encontrar 1(t) suponiendo que 1(0) = O Y Q(O) = O.


Redes simples

§79]

8. Supóngase que 4L < R2C. S.OL. 1 = EZ-2(Rsenwt - ycoswt) + iEb- 1Z- 2[{y(a + b) _ wR} exp { - (a - b) t} + {wR - y (a - b) } exp { - (a + b) t}]. 9. Supóngase que R 2 C < 4L. SOL. · 1 = EZ-2(R sen wt - y cos wt) + Ep--1 Z- 2e-at[j3y cos f3t - a (y + 2W-1C-1) sen f3t]. 10. Supóngase que R2C = 4L. SOL. 1 = EZ-2(R sen wt - y cos (J)t) Ew- 1Z- 2e-at[y(J) - a(yw aR)t]. 11. Muéstrese que la respuesta al ejercicio 10 puede expresarse en la forma 1 = EZ-2 (R sen wt - y cos wt) EZ-2e-at[y + (ay - Rw) t]. 12. En el ejercicio 4, reemplácese el elemento de corriente alterna E sen wt con

+

+

+

+

+

Grafíquese la nueva fme. Determínese la corriente en el circuito. t1 SOL. 1(t) = ~[exp (- t a(t - t exp (- t ) a(t - t1) ]

ido)

o)-

ic

=

=

=

13. En la figura 38, supóngase E 60 volts, R 1 10 ohms, R3 20 ohms, y C 2 = 5 (10) -4 farads.Determínense las corrientes si, cuando el interruptor está cerrado, el condensador lleva una carga de 0,03 coulombs. SOL. 1 1 2(1- e-3oot),12 ~3e-3oot,I3 2 e- 30ot •

=

= +

=

FIGURA 38

14. En el ejercicio 13, supóngase que la carga inicial sobre el condensador es de 0.01 coulombs, sin modificar el resto del problema. SOL. 11 2(1 e-3 oot ) , 1 2 3e- 3iJOt ,13 2 _ e-3oot •

=

+

=

=

FIGURA 39

http://carlos2524.jimdo.com/ Circuitos eléctricos y redes

278

[Cap. 15

15. Para la red de la figura 39, escríbanse las ecuaciones para la determi'n ación de la carga Qs y las corrientes 11 , 12 , 1:,¡. Supóngase que todas estas cantidades son cero al tiempo cero. Transfórmese el problema a la forma algebraica.

FIGURA 40

16. Para la red de la figura 40, encuéntrense las ecuaciones para la determinación de las corrientes. Supóngase que todas las corrientes son O. Encuéntrese i 1(s) L{11(t)} y analícese el cacero al tiempo t rácter de 11 (t) sin hallar explícitamente la función.

=

=


CAPÍTULO

16

Variación de paráIlletros y otros Illétodos

80.

VARIACIóN DE PARÁMETROS

En este capítulo se tratarán tres métodos, cualquiera de los cuales conduce a la solución general de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Por ahor~ todo lo que necesitamos suponer con respecto al miembro derecho R (x) en la ecuación (1 )

f ( D)y = R (x

es que R (x) tiene un comportamiento adecuado para que las integrales que encontremos, existan. Para la ecuación (1), una vez que se conocen las raíces de la ecuación auxiliar f ( m) = 0, la fun :::ión complementaria se escribe por inspección. Supóngase, por ejemplo, que ( 1) es de orden dos y su función complementaria está dada por (2)

donde Cl yC2 son constantes arbitrarias (o parámetros) y las

Variación de parámetros y otros métodos

280

En este caso se sigue el método de variación de parámetros. Primero, reemplazamos las constantes Cl y C2 por funciones desconocidas de x, digamos A y B. Esto es, hagamos (3)

donde A y B pueden ahora considerarse como dos nuevas variables dependientes. Aquí A Y B reemplazan a los parámetros el y C.2 de ( 2), sólo que ahora estas cantidades pueden variar. Esta peculiaridad es lo que da al método su nombre. Ahora tenemos presentes tres variables independientes A, B Y y. Ellas deben satisfacer las ecuaciones (1) Y ( 3 ) aunque, en general, tres variables pueden satisfacer a un conjunto de tres ecuaciones. Por tanto, aquí en este caso, somos libres de imponer una condición más sobre

A, By y. De (3) se SIgue que

(4)

y' = AIf;(x)

+ BIf;(x) + A'lfl(X) + B'1f

2

(X).

Ahora vamos a imponer una tercera condición demandando que (5)

Entonces (4) se transforma en (6)

de lo cual se tiene

que no involucra más que derivadas de primer orden de A y B. Finalmente (3), (6) Y (7) pueden usarse para eliminar y de ( 1), y podemos por tanto obtener una ecuaci.ón en A' y B' para compararla con (5). De aquí se ve que es posible encontrar A' y B', ' Y entonces determinar A y B por integración. U na vez que A y B son conocidas, la ecuación (3) nos da la y deseada. Verlos ejemplos inmediatos. El método se generaliza fácilmente a ecuaciones de un orden mayor que dos, pero no aparecen ideas esencialmente nuevas y los detalles pueden ser tediosos. En esta sección solamente se tratarán ecuaciones de segundo orden. EJEMPLO

(8)

a): Resolver la ecuación

(D2

+ l)y =

secxtanx.


Variación de parámetros

§80]

Por supuesto

yc =

Cl COS X

+

C2

sen x.

Vamos a buscar una solución particular por el método de variación de parámetros. Hagamos

y = A cosx

(9)

+ B sen x)

de lo cual se obtiene

y' = -Asen x

+ B cos x + A' cos x + B' sen x.

En seguida hagamos

A' cosx

(10)

+ B' sen x =

tal que

y' = - A sen x

0,

+ B cos x.

Entonces

(11)

y" = - A cos x - B sen x - A' sen x

+ B' cos x.

Ahora eliminaTemos y combinando las ecuaciones (9) Y (11) con la. ecuación original ( 8). Obtenemos entonces la relación

-A' sen x

(12)

+ B' cosx =

secx tanx.

De (12) Y (10) se elimina fácilmente A'. El resultado es

B' = tan x así que B = Insecx)

( 13)

en la que la constante arbitraria ha sido descartada porque estamos buscando sólo una solución particular para sumarla a nuestra función complementaria yc) previament~ determinada. De las ecuaciones (12) Y (10) se sigue también fácilmente que A' = - sen x secx tan x)

o A' = - tan 2 x.

Entonces

A

= -Jtan2xdx = J(1

- sec 2 x) dx)

así que

( 14 )

A = x - tan x,

otra vez desdeñando la constante arbitraria.



282

Volviendo a la ecuación (9), con la A conocida de la ecuación (14) Y la B conocida de la ecuación (13), escribimos la solución particular Yl' = (x - tan x) cos x

o Yl' =

X

cos x - sen x

+ sen x In sec x

+ sen x In sec x.

Entonces la solución general de (8) es

(15)

Y=

Cl COS X

+ Ca sen x + x cos x + sen x In sec x,

donde el término ( - sen x) en Yl' ha sido absorbido en el término de la función complementaria Ca sen x, ya que Ca es una constante arbitraria. La solución (15) puede, como es usual, verificarse por sustitución directa en la ecuación diferencial original. EJEMPLO b) : Resolver la ecuación (16)

(D

2

3D

-

+

1 2) y = 1 + e-'"

Aquí de tal forma que hacemos (17) Ya que

y' = Ae"

+ 2Be + A'e" + B'e 21t

21t ,

imponemos la condición

A'e" + B'e 21t = O.

(18) Entonces (19) de lo que se sigue que (20)

y" = Ae"

+ 4Be + A'e" + 2B' e 21t

2

"

Combinando (17), (19), (20) y la ecuación original (16) encontramos que (21)

A'e"

+ 2B'tJ2" = 1 +1 e-'"

La eliminación de B' de las ecuaciones (18) Y (21 ) nos conduce a

http://carlos2524.jimdo.com/ Solución de ,,"

§81]

+ " = ¡(x)

283

1

A'e'" =

A' = Entonces Similarmente

así que

o

B = - e-'"

+ In (1 + e-"') .

Entonces, de (17),

+ e-4:)

yp = e'" In (1

- e'"

+ re

2

'"

In (1

+ e-"').

El término ( - e"') en J!p puede absorberse en la función complementaria. La solución general de la ecuación (16) es y = Cae'" + c2e2'" + (e'" + e,2"') In (1 + e-"')

La ecuación (16) puede resolverse igualmente sin el método de variación de parámetros, empleando adecuadamente el método de cambio de exponencial de la sección 48. 81.

SOLUCIóN DE y"

+y =

f(x)

Considérese ahora la ecuación

(D2 + 1)y = f (x),

( 1)

eil la que requerimos que. f(x) sea integrable en el intervalo sobre el cual buscamos la solución. Por ejemplo, f (x) puede ser cualquier función continua o cualquier función con solo un número finito de discontinuidades finitas sobre el intervalo a ::;; x ::;; b. Se aplicará ahora, a la solución de (1), el método de variación de parámetros. Hagamos (2)

)1 =

A cos x

+ B sen x.

Entonces

y' = - A sen x

+ B cos x + A' cos x + B' sen x,

http://carlos2524.jimdo.com/ Variación de paró metros y otros métodos

284

[Cap. 16

y si elegimos A ' cos x

(3)

+ B' sen x =

0,

obtenemos

(4 )

y" = - A cos x - B sen x - A' sen x

+ B' cos x.

De ( 1), (2) Y (4 ) se sigue que -A'sen x

(5)

+ B' cosx =

f (x).

Las ecuaciones ( 3) Y (5) pueden resolverse para A' y B', conduciéndonos a A' = - f(x) senx, B' = f(x) cosx.

Podemos ahora escribir

(fUn senf3df3,

(6)

A = -

(7)

B = J:f (f3) cosf3 df3,

para cualquier x en a :::; x :::; b. Aquí es donde ahora usaremos la condición de integrabilidad de f(x) sobre el intervalo a :::; x :::; b. La A Y la B de (6) Y (7) pueden insertarse en ( 2) para darnos la solución particular yv = - cos x

1: f(f3) sen f3 df3 + sen x J:f (f3) cos f3 df3

= f'f(f3)[sen x cos,B - cos x senf3] df3. a

Por tanto tenemos yv = f' f(f3) sen (x - f3 ) d,B,

( 8)

a

y podemos escribir la solución general de la ecuación (1):

(9)

y=

Cl COS X

+ C2 sen x +

r a

f (f3) sen (x - f3) df3.

Ver la sección 68 para un método simple, pero menos elemental de obtener la solución de (9).


82.

ECUACIóN LINEAL GENERAL DE SEGUNDO ORDEN

El método empleado en la sección 80 se aplica igualmente a la ecuación ( 1)

+ P(x)y' + q(x)y =

y"

f(x),

donde p( x) y q (x) no necesariamente son constantes, en tanto conozcamos las dos soluciones linealmente independientes y = yl (x) Y Y = y2 (x) de la ecuación homogénea correspondiente.

(2)

y"

+ P(x)y' + q(x) y =

O.

Denotemos al wronskiano (página 117) de yl (x) Y y2 (x) por W (x) . (3)

yl (x) W(x) = y~(x)

I

=1= O sobre el intervalo a ~ x ~ b. Entonces el método de variación de parámetros conduce a la siguiente solución particular de la ecuación (1).

y supóngase que W(x)

La solución particular de (1) es, por supuesto, (5) .

Ya que aún no tenemos métodos para obtener yl y y2 a menos que la ecuación (1) tenga coeficientes constantes, la solución (5) es, por el momento, de interés puramente teórico para nosotros. En general, se usan los métodos de serie de potencias para encontrar Yt y y2 cuando la ecuación (1) tiene coeficientes variables. Para el wronskiano (3) de cualesquiera dos soluciones linealmente independientes yl y y2 de la ecuación (1), no es difícil* deducir la fórmula de Abel, (6)

W(x) = e exp [- f P(x) dx],

donde e es una constante.

* Véase E. D . Rainville, Intermediate Differential Equations. York; The MacmilIan, ·1964, página 274.

2~

Edición. Nueva


EJERCICIOS

En los ejercicios 1-20, úsese el método de variación de parámetros, sección 80.

1. (D 2 + l )y = csc x cot X . SOL. y = él COS X + C2 sen x - x sen x - cos x In sen x. 2. (D2 + l )y = cotx. SOL. y = Yc - senxln (cscx + cotx). 3. (D2 + l )y = sec x . SOL. y = Cl COS X + C.2 sen x + x sen x + cos x In cos x. 4. (D2 + l )y = sec 2 x. S O L. y = Yc - 1 + sen x In (sec x + tan x) . 5. (D 2 + l)y = sec3 x. SOl;. Y = Yc + t sec x. 6. (D2 + l)y = sec4 x. SOL. y = Yc - ~ + ~ sec 2 x + fr sen x In (sec x + tan x) . 7. (D 2 + l )y = tan x. S OL . y = Yc - cos x ln (sec x + tanx ). 8. (D2 + l)y = tan 2 x. . ~" S'ÜL. Y = YI - 1, donde Yl es la solución del ejercicio 4. 9. (D2 + l )y = sec x csc X . SOL. y = Yc - cos x In (sec x + tan x) - sen x In (csc x + cot x) . 10. (D2 + l )y = sec 2 xcscx. SOL. y = Yc - sen x In (csc 2x + cot 2x ). 11. (D2 - 2D + 1))> = e~Z(e:t + 1)-2. SOL. Y = Yc ,+ e"' ln ( 1 + eZ). 2Z 12. (D2 - 3D + 2 )y = e /(l + e2"'). SOL. Y = Yc + e'" Arctan (e-"') - ie 2'" In (1 + e- 2"'). 13. (D2 - 3D + 2)y = cos (e-"') . SOL. y = Yc - e2"cos (e-") . 2Z 14. (D2 - l )y = 2(1 - e- )-!. SOL. y = Cle'" + C2e-Z - e'" Arcsen (e-Z) - ( 1 - e- 2Z ) •. 2 15. (D2 - 1) Y = e- " sen e-z. SOL. y = Yc - sen e-" - e'" cos e-Z. 16. (D2 - 5D + 4)y = 6/( 1 + e- 2"). SOL. y = Yc + 2e" Arctan e--" - e2" + é" In (1 + e- 2") . 17. (D 2 - l)y = (1 + e-Z)-2. SOL. y = Yc - 1 + xe-" + e-X In ( 1 + e-Z) . z 18. (D - 1) (D - 3 )y = cos e- • SOL. y = Yc + e3i1l sen e-" - e2" cos e-". 19. (D2 - 3D + 2 )y = 15 ( 1 + e-")~. SOL. y = Cle'" + C2e2" + 4( e" + e2") ( 1 + e-X)~; o y = Yc + 4e 2"(l + e-")~ . 20. (D2 - 3D + 2)y = (1 + e- 2")-lt. SOL. y = Yc + eZ ln [e-" + (1 + e-2"') 2] - e2"(1 + e-2") lt. En los ejercicios 21-28 úsese el cambio de exponencial una o dos veces, como sea necesario, para resolver la ecuación sin usar la variación de parámetros. 21. Ejercicio 11. 23. Ejercicio 13.

22. Ejercicio 12. 24. Ejercicio lS.

http://carlos2524.jimdo.com/ Reducción de orden usando factores de l operador

§83]

287

25. Ejercicio 16. 26. Ejercicio 17. 27. Ejercicio 18. 28. Ejercicio 19. 29. Úsese la variación de parámetros para obtener la solución (4 ), sección 82. 30. Úsese la variación de parámetros para resolver la ecuación

y" SOL.

Y=

C1

e- 2,"

+

+ 4y' + 4y = C2X

e- z,"

f (x) .

+ J: !Ce) (x

- f3) exp [ - 2 (x - f3 ) ] df3 .

83. REDUCCIóN DE ORDEN USANDO FACTORES DEL OPERADOR Considérese la ecuación

(1)

(D - a) (D - b)y = R (x).

El cambio de variable ' dependiente

(2)

(D - b )y = w,

nos conduce a la ecuación (3)

(D - a)w = R (x),

que es lineal de primer orden. Entonces (3) puede representarse en forma estándar (página 50) dw - aw dx = R (x ) dx

y resolverse con la ayuda del factor integrante e -a,". Una vez que w se conoce podemos volver a la ecuaClOn (2) para encontrar y. La ecuación (2) es también de primer orden, de tal forma que puede resolverse de igual modo que (3) . El problema de resolver la ecuación ( 1) de orden dos es reemplazado, por tanto, por una sucesión de dos problemas, cada uno consistt;nte en resolver· una ecuación de orden uno. En general este artificio nos permite reemplazar una ecuación lineal de orden n (con coeficientes constantes), con n ecuaciones lineales sucesivas de orden uno. La única dificultad es la de llevar al <:abo las integraciones. En la práctica, esta dificultad es a menudo bastante seria. EJEMPLO:

(4)


(D2 _ l )y =

e'"

2

+ e-'"

.

http://carlos2524.jimdo.com/ Variación de parámetros y otros métodos

288

[Cap. 16

Interpretando la ecuación (4) en la forma (D

+ 1) (D

=

- 1) Y

+2 e_ ,

e"

Z

hacemos (D-1 )y = w.

(5)

Entonces necesitamos resolver (D

+ 1) w =

e"

2

+ e-z '

que puede escribirse como (6)

dw

+ w dx

2 dx = " _,,' e

+e

'Un factor integrante de (6) es e". Entonces

+

e"dw

2e" dx we"dx=---

e" + e-"

es exacta, por tanto e"w =

2e" dx =

Je" + e-"

J 2e e2 "

2 "

+ 1 dx'

de lo cual se tiene e"w

= In (e 2"

+ 1),

como de costumbre, la constante arbitraria será desdeñada ya que sólo estamos buscando una solución particular. En seguida insertamos la expresión para w en la ecuación (5), la cual se transforma entonces en ( D - 1) Y = e-Z In (e 2" + 1) , dy - ydx = e-"In (e2 " + 1) dx.

Aquí un factor integrante es e-", de tal forma que escribimos e-Z dy - ye--!.C dx = e- 2" In (e 2" + 1) dx, e-"y - Je- 2" In (e 2" + 1) dx. Se puede integrar por partes para reducir la anterior expresión a la forma (7)

e-"y = - ie- 2 " In (e2"

+ 1) + J

Entonces escribimos 2

e-"y = - ie- " In (e

2 "

+ 1) + J[1

e 2"

dx

+1

- e2"e: 1J dx


Tercer método, cambio de variable dependiente

§84]

y por tanto encontramos que e-~y

= -

te-2~

Y=

(8)

In

xe~

+ 1) + x - i In (e 2~ + 1), i(e~ + e-%) ]n (e2~ + 1).

(e2~

-

La ecuaClOn (8) es una solución particular de la ecuaClOn ongtnal (4). La solución general de la ecuación diferencial (4) es entonces y=

84.

cie~

+ c2e-~ + xe~ -

t( e~

+ e-41) In (e2~ + 1).

TERCER MÉTODO: CAMBIO DE VARIABLE DEPENDIENTE

Considérese la ecuación lineal general de segundo orden

( 1)

y"

+ py' + qy =

Supóngase que conocemos una solución y génea correspondiente

= yl

+ py' + qy =

y"

(2)

R. de la ecuación homo-

O.

Entonces la introducción de una nueva variable dependiente v por la sustitución (3 )

Y=~V

nos llevará a una solución de la ecuación (1) en la forma siguiente. De (3) se sigue que

y' = Y1V'

+ y~v,

y" = YIu"

+

2y~v'

+ y~v,

tal que la sustitución de (3) en (1) nos da

Y1U"

+ 2y;u' + y~v + PY1v' + py;u + qyIv =

R,

Y1V"

+ (2y: + P'Y1) v' +

R.

o (4)

(y~

+ py~ + qYI) v =

Pero y = yl es una solución de (2). Esto es, y~

+ py: + qYI =

O

y la ecuación (4) se reduce a

(5)

Y1v"

+

( 2y~

+ PYI) v' =

R.



[Cap. 16

Ahora hagamos v' = w de tal forma que la ecuación (5) se transforme en (6)

una ecuación lineal de primer orden en w. Por el método usual (factor integrante), encontramos w de (6). Entonces obtenemos v de v' = w, por integración. Finalmente y = ylV. Nótese que el método no está restringido a las ecuaciones con coeficientes constantes. Depende solamente del conocimiento que tengamos de una solución particular de la ecuación (2); esto es, de nuestro . conocimiento de la función complementaria. Para propósitos prácticos, el método depende de la habilidad para llevar al cabo las integraciones . . EJEMPLO: Resolver la ecuación

(7)

(D 2

+ l)y =

cscx.

La función complementaria es

yc =

(8)

Cl COS X

+ C2 sen x.

Podemos usar cualquier caso especial de (8) como l;¡¡. yl de la teoría anterior. Hagamos entonces

y = vsenx. Encontramos que

y' = v' sen x y

y" = u" sen x

+ v cos x

+ 2v' cos x -

v sen x.

La ecuación para v es

v" sen x

+ 2v' cos x =

csc x,

o

v"

(9)

+ 2v"cot x =

csc2

X.

Hagamos v' = w; entonces la ecuación (9) se transforma en

w'

+ 2w cot x =

csc 2 x,

o

dw

+ 2w cot x dx =

csc 2

X

dx,

de la cual un factor integrante es sen 2 x. Por tanto ( 10)

sen2 x rlw

+ 2w sen x cos x dx =

dx


291

Tercer método: cambio de variable d ependiente

es exacta. De ( 10) obtenemos w sen 2

x =

XJ

buscando, como de costumbre, solo una solución particular. Entonces w = X csc 2 X

o ,

'-

V

=

?

X

cse- x.

Por tanto

v = Jxcsc 2

X

dx,

o

v = -x cot x

+ In sen XJ

un resultado fácilmente obtenible usando integración por partes. Ahora y = v sen x,

así que la solución particular que buscábamos es Yv = - x cos x

+ sen x In sen x.

:Finalmente, la solución completa de ( 7) se ve que es

y=

el

cos x

+ C2 sen x -

x cos x

+ sen x In sen x. EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 4, aplíquese el método de la sección 83. 1. (D"2

+

2. (D2

+ 2D + 1)y =

2D

+

1)y = (e" - 1)-2.

(e"

SOL.

Y = e-"[c1

+

C2X -

SOL.

Y = e-"[c1

+

C2X

+ 1)-2.

3. (D - 1) (D - 3 )y = sen e-". 4. (D2 - 1)y = 2e X (1

+ e )-2.

SOL.

SOL.

In (1 - e-")].

+ In ( 1 + e-x)]'

Y = Yc - e2X sen e-S: - e3" cos e-".

X

y = Yc

+ 1 + xe x -

(eX

+ e-")

In (1

+ eX).

En los ejercicios del 5 al 9, aplíquese el método de la sección 84. 5. Empléese la sustitución y = v cos x para resolver la ecuación del ejemplo de la sección 84. 6. (D 2 + 1)y = secx. SOL. Véase ejercicio 3, sección 82. 7. (D2 + 1) Y = sec3 x. Empléese y = v sen x. SOL. Véase ejercicio 5, sección 82.



292

8. (D2 + 1) Y = cse3 x. Guíese mediante el ejercicio 7. Empléese y = v cos x, ya que cos x es complementario de sen x justamente como esc x lo es de sec x. 9. (D2 - 3D + 2)y = (1 + e-2"')-~ SOL. Véase ejercicio 20, sección 82. 10. y" + 4y' + 4y = x- 2e- 2"'. Empléese el cambio de exponencial. SOL. y=e-2"(cl+c2x-lnx). 11. En el ejemplo de la sección 83, efectuar la integración necesaria / en la ecuación (7) usando el siguiente artificio

r

r e-

dx

2

'"

dx

2

Je2'" + 1 = J 1 + e-2'" = - i In (1 + e- "'). Por tanto, obtener para la ecuación (4) una solución particular en la forma

y = -ie-"'ln (e 2'" + 1) - ie"'ln (1 + e-2"') y demostrar que esta solución es equivalente a la dada en la ecuación (8). EJERCICIOS VARIOS

1. (D2 - 1) y = 2e-Z( 1 + e- 2")-2.

y = Ye - xe-'" - i e-'" In (1 + e- 2"'). 2 (D2 - 1)y = (1 - e ")-t SOL. Y = Ye - (1 - e "')i. 2 2 (D2 - 1) y = e "'(3 tan e" + e'" sec e"). SOL. y = Ye + e'" In sec e"'. (D2 + l)y = sec2 x tanx. SOL. y = Ye + itanx + icosxln (secx + tan x). Hágase el ejercicio 4 por otro método. (D2 + 1) y = csc x. Empléese el método de variación de parámetros. SOL. Véase el ejemplo de la sección 84. (D2 - 3D + 2)y = sec 2 (e-"'). SOL. y = Cle'" + C2e2'" + e2'" In sec (e-"') . Hágase el ejercicio 7 por otro método. (D2 - 1)y = 2/(1 + e"'). SOL. y = Ye- 1 - xe'" + (e'" - e-Z) In (1 + e"). (D3, + D)y sec2 x. Intégrese directamente. SOL. y = Cl + C2COSX + cssenx - cosxln (secx + tanx). (D2 - l)y = 2/(e'" - e-"'). sou. y = Ye - x,e-Z + He'" - e-"') In (1 - e-2"'). (D2 - 3D + 2)y sen e-"'. SOL. y Ye - e 2 "'sen e-"'. (D2 -l)y 1/(,]2'" + 1). SOL. y Ye - i - cosh x Arctan e-"'. y" + y = sec3 x tan x. SOL. y = Ye + ~ sec x tan x. y" + y = sec x tan 2 x. Verifíquese la solución. y" + 4y' + 3y = sen eX. SOL. y = Ye - e-2'" sen eX - e- 3'" cos e"'. 3 y" + y csc xcotx. SOL. Y Ye +~cotxcscx. SOL.

2. 3. 4.

5. 6.

7. 8. 9. 10.

11.

12. 13. 14. 15. 16. 17.

2

=

=

=

=

=

=

=


CAPÍTULO

17

La existencia de soluciones

85.

OBSERVACIONES PRELIMINARES Los métodos del capítulo 2 dependen estrictamente de ciertas propiedades especiales (variables separables, funciónes homogéneas, exactitud, etc.) que pueden ser poseídas o no por una ecuación individual. Es intuitivamente loable que no se pueda encontrar una colección de métodos que nos permita llegar a una solución explícita, en el sentido del capítulo 2, de todas las ecuaciones diferenciales. Podemos buscar soluciones en otras formas, empleando series infinitas u otros procesos límites; podemos también hacer aproximaciones numéricas. Ante esta situación, el matemático puro frecuentemente reacciona explorando en lo que se conoce como un teorema de existencia. Así, busca determinar las condiciones que son suficientes para asegurar la existencia de una solución con ciertas propiedades. Puede suceder que al descubrir tal teorema y una prueba de él, el matemátrco encuentre un método, práctico o no, para construir una solución más exacta de la ecuación. 293


86.

NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIóN PARTICULAR

Antes de proceder a establecer un teorema de existencia, vamos a examinar con algún detalle las soluciones de una ecuación simple,

(1 )

2y dx - x dy = O.

La ecuación (1) tiene la solución general y = cx 2 , incluyendo la solución x = O por nuestra convención usual. Esta familia de curvas consta de dos ejes y todas las parábolas que tienen el origen como vértice y sus focos sobre el eje y, como se muestra en la figura 41. y

----------~~~~~~--------~'x

FIGURA 41

Las soluciones adicionales de la ecuación ( 1) pueden formarse combinando partes de diferentes elementos de la familia de soluciones pre\'Íamente mencionada. Ya que necesItamos conservar la continuidad de y y dy/ dx, nos peITIlitimos pasar de un elemento de la familia a otro solamente donde los dos se intersectan y tienen una tangente común. En este caso los elementos se intersectan solamente en el origen. Como un ejemplo la curva definida por

y = X2, y = -4x2 ,

O ~ x, < O,

X


Teorema de existencia

295

es una solución de la ecuación (1). Nótese la continuidad de su pendiente en el origen. Dando cualquier punto en el plano xy, podemos encontrar una solución que pase por ese punto. Si el punto dado no es el origen, entonces la solución que pasa por el punto dado es única en la vecindad de ese punto. Ver sección 33. Ahora escríbase la ecuación (1) en la forma

(2)

dy = 2y dx x

El miembro derecho de la ecuación (2) es discontinuo en cad~ punto donde x = O Y continuo en cualquier otra parte. A través de cada punto donde el miembro derecho de la ecuación (2) es continuo, hay una solución única cerca de ese punto. En el origen se esperan problemas debido al acumulamiento de soluciones que hay, como se indicaba previamente. Al buscar soluciones a través de un punto x = O, y = y
dx x dy - 2y'

y considerar a x como una variable dependiente. Entonces la pendiente es dx/ dy y es continua en (O, yo), yo =1= O. Otra vez, existe una solución que pasa por el punto en cuestión y es única cerca de ese punto.

87.

TEOREMA DE EXISTENCIA

Estableceremos ahora, sin prueba, un teorema de existencia para ciertas ecuaciones de primer orden. Una prueba de este teorema puede encontrarse en el libro de Ince *. Considérese la ecuación de orden uno y grado uno, (1 )

dy _ dx-f (x,y).

Supongamos que T denota la región rectangular definida por

Ix - xol ::::; a,

Iy - yol ::::; b,

una reglOn con el punto (X
* E. L. Ince, Ordinary Differential Equations. Londres: Longmans-Green, 1927, páginas 62-66.


[Cap. 17

la existencia de soluciones

lente en T que satisface la "condición de Lipschitz" de que existe una constante K tal que If(x, YI) - f(x, y2) I < KIYI -

y21

para cada par de puntos (x, yl) Y (x, Y2), de la misma abscisa en T. Bajo estas condiciones impuestas sobre f (x, y), existe un intervalo alrededor de xo, Ix - xol ::;; h, Y una función y(x) que tiene las propiedades

a) y = y ( x) es una solución de la ecuación (1) sobre el intervalo Ix - xol ::;; h; b) Sobre el intervalo Ix - xol ::;; h, y( x), satisface la desigualdad Iy(x) - yol ::;; b; e) En x = Xo, y = y(xo) = yo; d) y(x) es única sobre el intervalo Ix - xol ::;; h en el sentido que es la única función que tiene todas las propiedades a), b) Y e). El intervalo Ix - xol ::;; h puede o no ser más pequeño que el intervalo Ix - x{)1 ::;; a en el cual fueron impuestas condiciones sobre f(x, y). En un lenguaje burdo, el teorema establece que si f(x,y) se comporta adecuadamente cerca del punto (xo, yo), entonces la ecuación diferencial

¿

= f(x, y)

(1)

tiene una solución que pasa por el punto (xo, yo) y que esa solución es única cerca de (xo, yo) . Es importante que la solución bajo discusión pueda realmente exhibirse. La función y(x) es el límite de una sucesión de funciones y,,(x); n = 1, 2 . . " definida como sigue: y

= y(x) = Limy,,(x) , "....'"

donde

YI(X) = yo ·+ [f(t,yo) dt,

r

Y2(X)

= yo +

Y3(X)

= yo + J'"

y,,(x) = yo

"'o

"'o

+ J'"

"'o

f[t,YI(t)] dt,

f[t,Y2(t)] dt, f[t,yn-I(t)] dt.


Teorema de existencia

297

El lector deberá emplear este procedimiento para construir una solución del problema de valores a la frontera

ddY = 2y; cuando x = 1, Y = 1. x x .

(2)

Se encuentra que

yl ( x) = 1 + 2 In x, Y2( X) = 1 + 2 In x + 21n 2 x, Y3(X) = 1 + 21nx + 21n2x + ~ ln3x, k=l

Vn(X)

2k In k x

= 1 + ~ -kl-'

y que

y

= exp (2 In x) = X2.



CAPÍTULO

18

Ecuaciones de orden uno y Illayor grado

88.

FACTORIZACIóN DEL MIEMBRO IZQUIERDO

Si una ecuación

f( x, y, y') = O

( 1)

es de grado mayor que uno, puede ser posible factorizar el miembro izquierdo en partes, cada una de grado uno. El problema de resolver (1) se reemplaza entonces por dos o más problemas' de tipo más simple. Estos últimos deben poder resolverse por los métodos de los capítulos 2 y 4. Ya que y' deberá ser elevada a potencias tanto en el ejemplo como en los ejercicios, vamos a simplificar la nomenclatura y escribir de una manera común usando p por y' :

P=

dy

dx·

EJEMPLo: Resolver la ecuación diferencial

(2)

xyp2

+ (x + y)P + 1 =

O.

El miembro izquierdo de la ecuación (2) es fácilmente factorizable. 299


Ecuacion es de orden uno y mayor grado

[Cap. 18

Por tanto, (2) nos conduce a (xP

+ 1) (yp + 1)

de lo cual se sigue ya sea (3 )

yp

+ 1=

= 0,

°

o

xp + 1 = O.

(4)

De la ecuación (3) en la forma

ydy

+ dx =

se sigue que

°

(5) La ecuación (4) puede ser escrita como

°

xdy

+ dx =

dy

dx +-= 0, x

de lo cual, para x =1= 0,

así que (6) La ecuadón (2) puede representarse como sigue

xy(dy)2+ (x

+ y) (dx)(dy) + (dX)2=0,

°

tal que en esa forma se ve que x = es una solución. Pero (6) puede escribirse en la forma x = c se-Y donde C3 = 1/ C2. Entonces x = es un caso especial de esta última solución y no necesita ser enlistada separadamente. Decimos, en un lenguaje burdo, que la solución general de (2) es (5) y (6). Las soluciones particulares pueden construirse de esta solución general; pueden obtenerse de (5) solamente, de (6) solamente, o como un conjunto de partes usando (5) en algunos intervalos y (6) en otros. En un punto donde una solución que proviene de (5) se una con otra proveniente de (6), la pendiente deberá permanecer continua (ver ejercicio 21 más adelante) tal que la parte contigua deberá colocarse a lo largo de la recta y = x. Nótese (ver ejercicio 23) que la segunda derivada, que no interviene en la ecuación diferencial, no necesita ser continua.

°


Factorización del miembro izquierdo

§88)

La. existencia de estos tres conjuntos de soluciones particulares de (2), esto es, soluciones que provienen de (5), de (6) o de ambas, nos conducen a un fenómeno interesante en los problemas de valores a la frontera. Considérese el problema de encontrar una solución de (2) que pase por el punto (- l, 2). Si el resultado es válido para el intervalo -1 < x < --1, hay dos respuestas que se encontrarán en el ejercicio 24 a continuación. Si el resultado es válido para -1 < x < t, hay solamente una respuesta (ejercicio 25), que es una de las dos respuestas del ejercicio 24. Si el resultado es válido en -1 < x < 2, hay solamente una respuesta (ejercicio 26), y esta es diferente de cualquiera de las respuestas del ejercicio 24.

EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 18, encontrar la solución general en el sentido de las ecuaciones (5) Y (6) anteriores.

1. 2. 3. 4. 5.

X2p2 - y2 = O. xp 2 - (2x + 3y) P + 6y = O. X2p2 - 5xyp + 6y2 = O. X2p2 + xp _ y2 - Y = O. xp + (1 - x2y) P - xy = O.

SOL.

Y = ClX, xy = C2.

= CIX S, y = 2x + C2. SOL. y = cl x'2, y = C2X SOL. y = C1X,X(Y + 1) = C'2. 2 SOL. Y = Clexp (lx ),y = -In (C2X). 2 2 6. p2 - (x y + 3)p + 3x y = O. SOL. y = 3x + Cl,X 3 = 3ln (C2Y)' 7. Xp2 - (1 + xy)p + y = o. y = In (ClX),X = In (C2Y)' 8. p2 - x2y2 = O. SOL. x 2 = 2ln (C1y),X 2 = - 2ln (C2Y)' 9. (X+y)2p'2=y2. SOL. x =yln(c1y),y(2x+y) =C2. 10. yp2 + (x - y2) P _ xy = O. SOL. X2 + y2 = C12, y = c2e". 11. P - xy(x + y)P + X3y = O. SOL. Y(X2 + Cl) = -2, Xl = 3ln (C'2y). SOL.

y

S

•

S

13. 14. 15. 16.

17. 18.

+ 6(x -

+ 2x -

5y = O. X + Y = C1, (2x + y)2 = C2(y - x). (x - y)2P y2. SOL. X - yln (C1y),y(2x - y) C2. xyp2 + (xy2 - l)p - Y = O. SOL. y2 2ln (C1X) , X -In (C2Y)' (x 2 + y2) 2p2 4x2y~. SOL. y2 _ x 2 = C1Y, y(3X2 + y2) C2. (y + X)2p 2 + (2 y2 + xy - x 2 )p + y(y - x) = O. SOL. y2 + 2xy C1, y2 + 2xy - X2 C2. xY (X2 + y2) (p2 _ 1) = P(x 4 + x2y2 + y4). SOL. y2(y2 + 2X2) = C1,y2 = 2x2}n (C2 X) . xps._ (X2 + X + y)p2 + (X2 + xy + y)p - xy = O. SOL. Y C1X,y X + C2,X 2 2(y - cs).

12. (4x - y)p2

=

y)p

SOL.

=

=

=

=

=

=

=

=

= =

=

Los ejercicios del 19 al 26 / se refieren al ejemplo de esta sección. En ese caso se demostró que la ecuación diferencial

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones de orden uno y mayor grado

302

(2)

xyp2

+

(x

+ y) P + 1 =

[Cap. 18

O

tenía la solución general (5 ) y

y = - In (C2X).

(6) 19. Demuéstrese que de por el punto (1, 1) para x < ~. 20. Demuéstrese que de por el punto (1, 1) para 0< x.

la familia (5) anterior, la única curva que pasa es y = (3 - 2x) i Y que esta solución es válida la familia (6) anterior, la única curva que pasa es y = 1 - ln .x y que esta solución es válida

. y

--------------~t_----~~~----- x

FIGURA 42

21. Demuéstrese que si una solución de (2) es puesta junto a las soluciones que provienen de (5) Y (6), entonces las pendientes de las curvas deben ser iguales donde las partes se unen. Demuéstrese entonces que las partes deben unirse en un punto de la recta y = x . 22. Demuéstrese que la curva determinada por

y = (3 - 2x )" Y = 1 - In x

para x para 1

~

1,

~ x

es una solución de la ecuación (2) y es válida para toda x. La porción interesante de esta curva está mostrada en la figura 42. 23. Demuéstrese, para la solución dada en el ejercicio 22, que y" no es continua en x = 1. Demuéstrese que cuando x ~ 1-, y" ~ - 1, Y cuando x ~ 1+, y" ~ 1. 24. Encuéntrese aquellas soluciones de (2) que son válidas en el intervalo - 1 < x < - i y cada una de las cuales tiene su gráfica que pasa por el punto ( - -§;, 2). SOL. Y = (3 - 2x)";yy = 2 -ln2 -In (-x).

+


Soluciones singulores

303

25. Encuéntrese la solución de (2) que es válida en el intervalo -1 < x < i y tiene su gráfica que pasa por el punto (-i, 2) . SOL. Y = (3 - 2x)i. 26. Encuéntrese la solución de (2) que es válida en el intervalo -1 < x < 2 Y su gráfica pasa por el punto (-i, 2). SOL. Y = (3 - 2x)iparax::;; 1, Y = 1 - In x para 1 ::;; x.

89.

SOLUCIONES SINGULARES

Resolvamos la ecuación diferencial ( 1)

Aquí

yp =

+

Va

2

-

i,

de tal forma que podemos escribir ydy

(2)

Va 2

-

= dx

i

'

o

ydy

(3)

2

y2

no puede efectuarse)

va - y

o (si la división entre

V a2

-

2

= dx,

. /

(4) De (2) se SIgue que ( 5)

mientras que de (3) se sigue que (6)

Y de (4) que

(7)

y= a o

y = -a.

Gráficamente, las soluciones (5) son semicircunferencias izquierdas con radio a y centradas sobre el eje x; las soluciones (6) son semicircunferencias derechas de radio a, centradas sobre el eje x. Podemos combinar (5) Y (6) en (8)

que es llamada la solución general de (1).


[Cap. i 8

Ecuaciones de orden uno y mayor grado

Para ambas ecuaciones (7) obtenemos p = 0, de tal forma que ellas satisfacen también la ecuación diferencial (1). Pero ninguna de las ecuaciones (7) es un caso especial de (8). Entonces y = a y y = - a son llamadas soluciones singulares. U na solución singular de una ecuación diferencial no lineal de primer orden es cualquier solución que: a) no es un caso especial de la solución general, y b) es, en cada uno de sus puntos, tangente a algún elemento de la familia uniparamétrica que es la solución general.

Una ecuación lineal no puede tener una solución singular. y

--~----~--t--r--rt4---r-+-~~---i---X

FIGURA 43

La figura 43 muestra algunos elementos de la familia de circunferencias dada por la ecuación (8) Y muestra también las dos rectas que representan y = a y y = - a. En cada punto de ambas rectas, la recta es tangente a un elemento de la familia de circunferencias. U na curva que en cada uno de estos puntos es tangente a un elemento de la familia uniparamétrica de curvas se llama una envolvente de esta familia.

90.

ECUACIóN CON DISCRIMINANTE e

Considérese la ecuación diferencial de primer orden, (1)

¡(x, y, p) = O; P = dy dx'

en la cual el miembro izquierdo es un polinomio en x, y y p. Puede no ser posible factorizar el miembro izquierdo en factores que sean ellos mismos polinomios en x, y y p. Se dice entonces que esta ecuación es irreducible.


Ecuación con discri minante e

305

La solución general de ( 1) será una familia uniparamétrica de curvas,

(2)

tp(x,y, e ) = O.

U na solución singular, si existe, para la ecuación ( 1), deberá ser una envolvente de la famiJia (2). Cada punto sobre la envolvente es un punto de tangencia de la envolvente con algún elemento de la familia (2) Y está determinado por el valor de e que identifica a ese miembro de la familia. Entonces la envolvente tiene ecuaciones paramétricas, x = x(e) y y = y (e ) con la e de la ecuación (2) como parámetro. Las funciones x( e) y y( e) son desconocidas todavía para nosotros. Pero la x y la y del punto de contacto deben también satisfacer la ecuación (2), de la cual obtenemos, por diferenciación con respecto a e, la ecuación ( 3)

La pendiente de la envolvente y la pendiente del elemento de la familia correspondiente, deberán ser iguales en el punto de contacto. Dicha pendiente puede determinarse diferenciando la ecuación ( 2) con respecto a x, conservando constante la e. Por tanto, se sigue que (4)

otp + 09' dy = O. ox oy dx

Las ecuaciones (3) Y (4) son válidas ambas en el punto de contacto y de ellas es inmediato que

(5)

Otp = O

oc

.

Ahora tenemos dos ecuaciones, tp = O Y :: = O, las cuales deberán ser satisfechas por x, y y e. Estas dos ecuaciones deberán tomarse como las ecuaciones paramétricas deseadas. Ellas contienen cualquier envolvente de la familia original de curvas, tp = O, que pueda existir. Afortunadamente, no necesitamús expresar estas ecuaciones en la forma x = x(e), y = y (e).



[Cap. 1 B

La ecuación que resulta de la eliminación de e de las ecuaClOnes 9'

09'

= O Ya¡ = O es llamada la ecuación con discriminante c* de la

familia

9'

= O. Es una condición necesaria y suficiente que la ecuación

(2)

9' ( x, y, c) = O,

considerada como una ecuación en c, tenga al menos dos de sus raíces iguales. No hay nada en nuestro trabajo que nos garantice que la ecuación con di<,criminante c, o cualquier parte de ella, será una solución de la ecuación diferencial. Para obtener la ecuación con discriminante c necesitamos la solución general. Durante e! proceso de obtener la soludón general, encontramos también la solución singular, si la hay. 91.

ECUACIÓN CON DISCRIMINANTE p

Supóngase que en una ecuación diferencial irreducible (1 )

f(x, y, P) =0

t

e! polinomio es de grado n en p. Habrá n raíces d6 la ecuación (1), cada una nos conduce a un resultado de la forma

(2)

p = g(x,y) .

Si en un punto (xo, yo) la ecuación ( 1) tiene como una ecuación en p, todas sus raíces distintas, entonces) cerca de (xo, yo) habrá n ecuaciones distintas de! tipo de la ecuación (2) . Cerca de (xo, yo) los miembros derechos de estas n ecuaciones serán univalentes y deberán satisfacer las condiciones de! teorema de existencia descrito en e! capítulo 17. Pero si en (xo , yo) la ecuación (1) tiene al menos dos de sus raíces iguales, entonces al menos dos de las n ecuaciones de la forma ( 2) tendrán miembros derechos que tienen el mismo valor en (xo, yo) • Para tales ecuaciones no hay región, no importa cuan pequeña sea, rodeando a (xo, yo), en la cual el miembro derecho sea univalente. Por tanto, e! teorema de existencia del capítulo 17 no puede aplicarse cuando la ecuación (1) tiene dos o más raíces iguales como una ecuación en p. Entonces deberemos dar condiciones separadas para el lugar

* La ecuación con discriminante e puede contener un lugar geométrico de picos de los elementos de la solución general, y un lugar geométrico de nodos de esos elementos, así como la envolvente que nos interesa.


Ecuaci6n con discriminante

p

307

de los puntos (X, y) para los cuales (1 ) tiene al menos dos de sus raíces iguales. La condición de que la ecuación (1) tenga al menos dos raíces iguales como una ecuación en

p es

que tanto

I=

O como

~~ =

O. Estas

dos ecuaciones en las tres variables x, y y p son las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano xy donde p desempeña el papel de un parámetro. La ecuación que resulta cuando se elimina p de las eouaciones paramétricas I = O Y 01 = O se llama la ecuación con discrimiop nante p. Si una envolvente de la solución general de I = O existe, estará contenida en la ecuación con discriminante p. No se da aquí ninguna prueba de esto último. * Para nosotros, la ecuación con discriminante p es útil en dos formas. Cuando se obtiene una ecuación singular en el transcurso de la solución de una ecuación, como ocurre en las secciones de la 92 a la 94, la ecuación con discriminante p, nos sirve como método de comprobación. Si ninguno de nuestros métodos de tratamiento conduce a una solución general, entonces la ecuación con discriminante p ofrece curvas que pueden ser soluciones particulares (incluyendo la solución singular) de la ecuación diferencial. Entonces, la ecuación con discriminante p puede ser probada para soluciones posibles de la ecuación diferencial. Tales soluciones particulares no contribuyen, por supuesto, al proceso de encontrar la solución general. La ecuación con discriminante p puede contener soluciones singulares, soluciones que no son singulares y curvas que no son soluciones en todo su dominio. EJERCICIOS

1. Para la ecuación cuadrática

f = Ap2 + Bp + C

= 0,

donde A, B, C son funciones de x y y, demuéstrese que el discriminante

p, obtenido al eliminar p de I =

°y op01 = 0, es la ecuación conocida

B2 - 4AC = O. 2. Para la ecuación cúbica p3 + Ap + B = 0, demuéstrese que la ecuación con discriminante p es 4As + 27B2 = o.

* Para detalles mayores sobre las soluciones singulares y los discriminantes, véase E: L. Ince, Ordinary Difterential Equations. L ondres: Longmans-Green, 1927, págmas 82-92.

http://carlos2524.jimdo.com/ [Cap . 18

Ecuaciones d e orden uno y mayor grado

308

3. Para la ecuación cúbica p3 + Ap2 + B = 0, demuéstrese que la ecuación con discriminante p es B (4A3 + 27B) = O. 4. Establecer la condición para que la ecuación x:3p2 + x2yp + 4 = O (ejercicio 1, página 318) tenga raíces iguales como una cuadrática en p. Compárese con la solución singular xy2 = 16. 5. Demuéstrese que la condición para que la ecuación xyp2 + (x + y) P + 1 = O del ejemplo de la sección 88, tenga raíces iguales en p, es que (x - y) 2 = O, Y que la última ecuación no nos conduzca a una solución de la eéuación diferencial. ¿ Había una solución singular? 6. Para la ecuación y2p2 - a2 + y2 = O de la sección 89, encontrar la condición para raíces iguales en p y compararla con la solución singuhi r. 7. Para la ecuación diferencial del ejercicio 6, demuéstrese que la curva definida por

y = [a 2 y=a y = [a 2

8. 9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16.

17.

-

-

(x

+ 2a)2] ~

(x - 2a )2]?!

para -3a < x para -2a ~ x para 2a ~ x

~ ~

<

- 2a, 2a, 3a,

es una solución. Bosquejar la curva y demostrar cómo a partir de la solución general y la solución singular, dadas en las ecuaciones (5), (6) Y (7) de la sección 89 se obtuvo esta solución como un · conjunto de partes. En los ejercicios del 8 al 16, obténgase a) la ecuación con discriminante p, y b) aquellas soluciones de la ecuación diferencial que están contenidas en la ecuación con discriminante p. Xp2 - 2yp + 4x = O. SOL. a) y2 - 4X2 = O; b) Y = 2x, y = - 2x. 3X4 p2 - xp - p = O. SOL. a) x2(1 + 12x2y) = O; b) x = O, 12x2y = -1. p2 - xp - y = O. SOL. a) X2 + 4y = O; b) Ninguno. p2 - xp + y = o. SOL. a) X2 - 4y = O; b) X2 - 4y O. h + 4x 5 p - 12x 4 y = o. SOL. a) X4 (X 6 + 3y) = O; b) 3y ~ _ x 6 • 4y3p - 4xp y = O. SO L . a) (y2 - x) (y2 + x) O; b) Igual que a) . 4y3p2 + 4xp + y = O. Ver también el ejercicio 13. SOL. a) (y2 - x) (y2 + x) = O; b) Ninguno. pa + Xp3 - y = O. SOL. a) y(4x:3 - 27y) = O; b) Y = O. y4p3 - 6xp + 2y = O. SOL. a) yS(y2 - 2x) (y4 + 2xy2 + 4X2) = O; b) Y = O, y2 = 2x. Para la ecuaClon diferencial del ejercicio 4 anterior, se encontrará que la solución general es cxy + 4x + c2 = O. Encontrar la condición para que esta ecuación cuadrática en e tenga raíces iguales. Compárese esta condición con la solución singular

+

= =


Eliminación de la variable dependiente

18. Para la solución general (X2 _ 1)e2

-

2xye

+ y2 -

309

1= O

del ejemplo b), sección 93, encontrar la condición para que la ecuación tenga raíces. iguales cuando se considera cuadrática en e. Comparar la condición con la solución singular dada en este ejemplo. . 19. Considérese la ecuación diferencial Xp2 - 3yp + 9X2 = O del ejemplo a) de la sección 92. Verificar que la solución general y2 = 4x 3 es la envolvente de la familia de curvas dada p~r la solución general r = e(y - e). Esto es, demuéstrese que las últimas dos ecuaciones tienen la solución eil , y 2e, contadas dos veces. Obtener entonces las común x pendientes de las dos curvas en el punto de intersección. Cada pendiente será 3e!.

=

92.

=

ELIMINACIóN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE

Supóngase que la ecuación

( 1)

f (x, y, p) = O; P =

d)J

dx'

es de una fonna tal que podamos fácilmente resolverla para la variable dependiente y y escribir

(2) Podemos diferenciar la ecuación (2) con respecto a x, y ya que dy ., - = p, ob tenemos una ecuaClOn dx

h(X,P,~~) =O

(3)

que involucra solamente a x y a p. Si podemos resolver la ecuación (3) , tendremos dos ecuaciones que relacionan a x, y y p, esto es, la ecuación (2) y la solución de (3). Estas ecuaciones juntas fonnan las ecuaciones paramétricas de la solución (1), considerando ahora a p como parámetro. O bien, si p se elimina entre (2) y la solución de (3), entonces se obtiene una solución en fonna no paramétrica. EJEMPLO

a): Resolver la ecuación diferencial

(4)

Xp2 - 3yp

+ 9r =

3y = xp

+ 9x jp.

Expresando (4) como

(5)

2

O.



[Cap. 1 B

Diferenciando entonces ambos miembros de (5) con respecto a x, y empleando el hecho de que dy = p, obtenemos dx 2

3p = P + 18x+ (x _ 9x )dP p2 dx'

P

o (6)

2p ( 1 - -9X) = x ( 1 - -9x) -dp. p2 ti dx

De (6) se sigue, ya sea

(7) u

(8)

x~~.

2p =

Primero consideremos (8), la cual nos conduce a

así que (9)

Entonces las ecuaciones (4) y (9), con p como parámetro, constituyen una solución de (4), considerada esta ecuación como una ecuación diferencial con p = dy/ dx. En este ejemplo es fácil eliminar p de las ecuaciones (4) y (9). Efectuando esta eliminación tenemos

x . C2 X4

-

3y . cx 2

+ 9X2 =

O.

Descartando por el momento la posibilidad de que x = 0, podemos representar nuestra solución como 2

C X3 -

3cy

+9=

o 3cy =

2

C X3

0,

+ 9.

A,hora hagamos e = 3k para obtener (10) La ecuación 10, con k como una constante arbitraria se llama la solución general de la ecuación diferencial (4).


Eliminación de la variable dependiente

§92]

Puede verse, representando (4) en la forma

X(dy) 2 - 3y(dy) (dx)

+ 9X2 (dX)2

= O,

que x = O es también una solución de la ecuación diferencial. Esta solución puede ser ajw;tada a la solución general por un artificio simple. En la ecuación (10) reemplazamos k por 1/ C1, se obtiene entonces (11 )

=

=

Haciendo C1 O en (11) se obtiene la solución x O. Tenemos aún que tratar con la ecuación (7). Nótese que (7) es una relación algebraica entre x y p en contraste con la ecuación diferencial ( 8) que hemos estado usando. Rawnamos entonces que la eliminación de p de (7) Y (4) puede conducir a una solución de la ecuación diferencial (4) Y que la solución no involucrará tina constante arbitraria. De (7) se ve que p = 3Xi o P = - 3Xi. Cualquiera de estas expresiones para p puede sustituirse en (4) Y llevarnos a (12) No es difícil demostrar que la ecuación (12) es una solución de la ecuación diferencial. Esta solución no es un caso especial de la solución general (10) u (11). Es una solución singular. La ecuación (12) tiene por gráfica la envolvente de la familia de curvas dada por la ecuación ( 11 ). La solución (12) se obtiene también fácilmente de la ecuación con discriminante p. EJEMPLO b): Resolver la ecuación diferencial

(13)

Xp2 - yp - x = O.

La ecuación se resuelve rápidamente para y, obteniéndose x

y = xp --o

p

Entonces, diferenciado con respecto a x se tiene

1 ( x+-x)dP p=p--+ P p2 dx' o

l=X(1 +~)dP. P p2 dx Por tanto hemos llegado a la ecuación diferencial

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones de orden uno y mayor grado

312

dx = p2 X

de la cual

In x

+ P

1 dp

[Cap. 18

,

= tpz + In p + In c,

o (14)

x = cpexp (iPZ).

De la ecuación (13) obtenemos

y=x(PZ-l)/p. Entonces, empleando (14), encontramos y en la forma (15) Las ecuaciones (14) Y (15) son ecuaciones paramétricas de la solución g.eneral de la ecuación diferencial original. Al bosquejar una curva de la familia de soluciones, para cada valor de p insertado en ( 14) Y (15), se obtienen un par de valores de x y y. Por tanto, para cada p empleada obtenemos un punto sobre la curva deseada. El parámetro p podría eliminarse resolviendo la cuadrática ( 13) para p sustituyéndola en ( 14). El resultado podría ser más difícil de bosquejar que la misma curva en forma paramétrica, ( 14) y (15). El lector deberá usar la ecuación con discriminante p para demostrar que la ecuación ( 13) no tiene una solución singular. Sucede frecuentemente, como se ve en las respuestas para algunos de los ejercicios siguientes, que es inconveniente obtener y en términos de p y c solamente. Puede ser mejor dejar la solución en la forma (16 )

rp (x, p) = O

Y

(17)

y = g ( x, P).

Entonces, en los cálculos, elegimos p y determinamos x de la ecuación ( 16), después de lo cual puede encontrarse y de la ecuación (17), usando los valores tanto de x como de p.

93.

ECUACIÓN DE CLAIRAUT

Cualquier ecuación diferencial de la forma

( 1)

y = px

+ f (P),


Ecuación de Clairaut

§93)

donde f (p) no contiene ni a x ni a y explícitamente, puede resolverse de inmediato por el método de la sección 92. La ecuación (1) es llamada ecuación de Clairaut. Diferenciemos ambos miembros de (1) con respecto a x, de donde obtendremos

p= p (2)

[x

+

[x

+ f'(P)]P',

+ f'(P)] ~~ =

O.

Entonces ya sea

(3)

dp = O dx

o

(4)

x + f'(P) = 0.

La solución de la ecuación diferencial (3) es, por supuesto, p = c, donde c es una constante arbitraria. Volviendo a la ecuación diferencial ( 1 ), podemos ahora escribir su solución general como (5)

y = cx

+ f (c) ,

y el resultado puede verificarse fácilmente por sustitución directa en la ecuación diferencial ( 1). Nótese que (5) es la ecuación de una familia de líneas rectas. Considérese ahora la ecuación (4). Ya que f(P) y f'(P) son funciones conocidas de p, las ecuaciones (4) y ( 1)·, juntas constituyen un conjunto de ecuaciones paramétricas que dan x y y en términos del parámetro p. De hecho, de la ecuación (4) se sigue que ( 6)

x= -f' (P),

la cual, combinada con la ecuación (1), nos da

(7)

y = f (P) - pf'( P) .

Si f (P) no es una función lineal de p ni una constante, puede demostrarse (ejercicios 1 y 2 siguientes) que (6) y (7) son ecuaciones paramétricas de una solución no lineal de la ecuación diferencial ( 1). Ya que la solución general (5) representa una recta para cada valor de c, la solución (6 ) y (7) no puede ser un caso especial de (5); es una solución singular.



[Cap. 18

EJEMPLO a): Resolver la ecuación diferencial (8)

Ya que (8) es una ecuación de Clairaut, podemos escribir su solución general y = ex + e3 inmediatamente. y

________________

~~~~~~---x

FIGURA 44

Entonces, empleando (6) Y (7) obtenemos las ecuaciones paramétricas (9)

de la solución singular. El parámetro p puede eliminarse de las ecuaClones (9), obteniéndose la forma

27y2 = -4x3

(10)

para la solución singular. Ver figura 44. EJEMPLO b): Resolver la ecuación diferencial (11 )

(X2 - 1)p2 - 2xyp

Expresando (11) como

+ y2

- 1 = O.


Ecuación de Cla i ra ut

§93]

X2p2 _ 2xyp

+ y2 -

1 - p 2 = O.

Entonces, es claro que la ecuación es de la forma (12)

y que puede ser separada en dos ecuaciones, cada una de la forma de Clairaut. Entonces, la solución general de (11) se obtiene reemplazando p en todas partes por una constante arbitraria c. Esto es, ( 13) (X2 - 1) c2 - 2xyc + y2 - 1 = O es la solución general de (11). La solución (13) está compuesta de dos familias de rectas,

(14) Y (15) De la ecuación con discriminante mente la solución singular

p para (11) obtenemos inmediata-

(16) EJERCICIOS

1. Sea ex un parámetro, pruébese que si f" (a) existe, entonces (17)

x

=-

f'(a) , y

= fea)

- af'(a)

+

2.

En

3. 4.

5. 6.

7. 8.

es una solución de la ecuación diferencial y = px f (p). Sugerencia: Empléese dx y dy para obtener p en términos de y entonces demuéstrese que y - px - f(p) se anula idénticamente. Probar que si f" (a) =F 0, entonces (17) no es un caso especial de la solución general y = ex + f (e). Sugerencia: Demuéstrese que la pendiente de la gráfica de una solución depende de x, mientras que la pendiente de la gráfica de la otra no depende de x. los ejercicios del 3 al 30, encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe. p2 + x 3p - 2x"2y = O. SOL. c2 + cx2 = 2y; sol. sing., 8y = _ x 4 • 5 4 p2 + 4x p - 12x y = O. SOL. 12y c(c + 4x 3 ) ; sol. sing., 3y x6 • 2Xp3 - 6yp2 + x 4 O. SOL. 2c Sx 3 1 - 6c 2p; sol. sir{g., 2y X2. p2 - xp + y O. SOL. y ex - c2; sol. sing., X2 4y. Y px + kp2. SOL. Y ex + kc 2; sol. sing., X2 -4ky. 8 X p2 + 3xp + 9y = O. SOL. XS(y + c2 ) + e O; sol. smg., 4x 6y 1.

=

=

=

=

=

= =

=

ª

=_ = = = =

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones de o rden uno y mayor grado

316

=

9. X4 p2 + 2x 3 yp - 4 O. 10. Xp2 - 2yp + 4x = O.

SOL.

X2

SOL.

11. 3X 4 p2 - Xp - y = O. SOL.

12. Xp2 + (x - y)p+1 SOL. xe2 + (x 13. p(xP - y +k ) + a = SOL. e(xe 14. X6 p3 - 3xp - 3y = O.

=

15. Y X p3 - Xp. 16. Xp4 - 2yp3 + 12x3 17. Xp3 - yp2 18. y = px

+

+ cy) = C2.

y = 0. y)e + 1 - Y = O; sol. sing., (x + y)2 = 4x. O. y + k) + a O; sol. sing., (y - k) 2 4ax.

=

SOL.

=

= e(xe2 - 3) ; sol. sing., 9X3y2 = 4. = e(e 2x - 1) ; sol. sing., 27x3y2 = 4.

3xy xy

SOL.

= O.

+ 1 = O.

x2 ( 1

= C(y - e) ; sol. sing., y = 2x y y = -2x. xy = e(3ex - 1); sol. sing., 12x2y = - 1.

SOL. 6

[Cap. 18

2e 3y = e4 x2 + 12; sol. sing., 3y2 = -+- 8x 3.

xe 3 - ye 2 + 1 = O; sol. sing., 4y3 = 27x 2. pn, para n =1= O, n =1= 1. SOL.

. (x)"

+ en; sol. smg.,:;:; = - (y n _ 1)"-1 . 19. p2 - xp - y = O. SOL. 3x = 2p + ep'y3y = p2 - ePi . . 20. 2p3 + xp - 2y = O. SOL. X = 2p(3p + e) yy = p2(4p + e). 21. 2p2 + xp - 2y = O. SOL. X = 4pln (pe) yy = p2[1 + 21n (pe)] . 22. p3 + 2xp - y = O. SOL. 4x = _ 3p2 + ep y2y = _ p3 + Cp-1. 23. 4Xp2 - 3yp + 3 = O. SOl>. 2x = 3p-2 + ep-4 y 3y = 9p-1 + 2ep..;J. 24. p3 - xp + 2y = O. SOL. X = p(e - 3p) y2y = p2(e - 4p ). 25. 5p2 + 6xp - '2y = O. SOL. P3 (X + p)2 = e y 2y = 6xp + 5p2. 26. 2Xp2 + (2x - y) P + 1 - Y = O. SOL. p 2x = (1 + p)-l + ln[e(1 + p)]y py = 1 + (1 + p) + 2 In [e (1 + p)]. 27. 5p2 + 3xp - y = O. SOL. P3(X + 2p )2 = eyy = 3xp + 5p2. 28. p2 + 3xp - y = O. SOL. P3(5x + 2p)2 = eyy = 3xp + p2. 29. y = xp + p2. SOL. X2 = ep-~ - 2p-1 Y Y = xp' + X3p2. 30. 8y = 3X2 + p2. SOL. (p - 3x )3 = e(p - x) y 8y = 3X2 + p2. SOL.

Y = ex

-2

-1

X

94.

3

ELIMINACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE

Supóngase que una. ecuación diferencial

(1 )

f (x,y,P) =O;p=ix,

puede resolverse fácilmente para la variable independiente x. Entonces podemos proceder en forma similar a la forma como lo hicimos en la sección 92, en esta ocasión, diferenciando con respecto a y y usando el hecho de que


Eliminación de la variable independiente

dx dy

317

1

-p

Esto no es, por supuesto, nada completamente nuevo. Ya que (1) es una ecuación de primer orden, los papeles de las variables dependiente e independiente pueden intercambiarse mediante el uso de la relación

~~ = (~;rl. EJEMPLO: Resolver la ecuación diferencial

yp2 _ Xp -t- 2p = O.

(2)

Primero, resolviendo para x se obtiene (3)

x = yp

+-2y , p

diferenciando entonces ambos miembros de la ecuación (3) con respecto a y, se obtiene

O

! + p + Y (1 -~) dp = O. p2 dy

P

Esto nos conduce a la ecuación (4)

de la que

De aquí que así que (5)

In y = - %nI ( 1

+ P2) + 2 In p + In C

J

y = cp<¿( 1 + p2)_3/2.

De la ecuación (3) se sigue que x = p-ly (P2

+ 2).

Entonces, empleando (5) se puede escribir ( 6)



318

Las ecuaciones (5) Y (6) son un conjunto de ecuaciones paramétricas para la solución general de (2). No hay solución singular de (2).

EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 10, encontrar la solución general y la solución singular en una forma no paramétrica. Esto es, eliminar el parámetro después de obtener las soluciones en forma paramétrica.

1. Xp2 + yp = 3y4. SOL. 2. 9Xp2 + 3yp + yS = O.

3y = e(l

+ exy); sol. sing., 12xy2 =

-1.

e2xya + e + ya = O; sol. sing., 4xy6 = 1. p2 + xy2p + ya = O. SOL. ey(x - e) = 1; sol. sing., x2y = 4. 4xy2 + 4yp - y4 = O. SOL. y( e2x - 1) = 2e; sol. sing., xy2 = -1. 4yp2 - 2xp + y = O. SOL. ex = y2 + e2 + e2; sol sing., x = +2y. 9p2 + 12xy4p + 4y5 = O. SOL. e2y3 + 4exya + 4 O; sol. sing., X2y3 1. 2xy2p2 - y3p - 1 = O. SOL. 2e 2x ey2 + 1; sol. sing., y4 -8x. , p2 + 2xyap + y4 = O. SOL. 4ey2(x - e) = 1; sol. sing., xy = -1. 9y2p2 - 3xp + y O. SOL. ya e(x - e); sol. sing., X2 = 4y3 . . y4p3 - 6xp + 2y = O. SOL . y3 = 18e(x - 6e 2); sol. sing., y2 = 2x. SOl!.

3. 4.

5. 6.

7. 8. 9. 10.

11. 12. 13.

14. 15.

= =

=

=

=

=

En los ejercicios del 11 al 15, encontrar la solució'n general en forma paramétrica xp2 - yp - y = O. SOL. X = e(p + l)e P yy = ep 2eP• y2p3 - xp + y = O. SOL. y = ep-l - !p-a y px = y(yp3 + 1). yp2 - xp + y = O. SOL. X = e(p-2 + 1)e-l / (2 P') yy = ep- l e-l / (2 P'). yp3 - 3xp + 3y = O. SOL. lny = e - p-a - 2lnpy3px = y(p3 + 3). y3pa - xp - y = O. SOL. 5y2 = ep-J - 2p-3 Y 5px = y(2 + epg).

EJERCICIOS VARIOS

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

SOL. exy + 4x + e2 = O; sol. sing., xy2 = 16. 6Xp2 - (3x + 2y)P + y = O. SOL. ya = elx, 2y = x + e2. 9p2 + 3xy4p + y5 = O. SOL. ey3(x - e) = 1; sol. sillg., X2 y3 = 4. 4yap2 - 4xp + Y = O. SOL. y4 = 4e(x - e ); sol. !:ing., y2 = X. X6 p2 - 2xp - 4y = O. SOL. X2 (y - e2) = c; sol. sing., 4x 4y = -1. 5p2 + 6xp - 2y = O. SOL. X = cp- ~ - py 2y = 6cp' _ p2. Hágase el ejercicio 6 por otro método. y2p2 - y(x + l)p + x O. SOL. X2 - y2 = Cl,y2 2(x - C2)'

=

=


+ 12 x yp + 9 = 4y2p3 - 2xp + y = O.

9. 4x sp2 10.

319

Eliminación de la variable independ iente

§94) 4

O. SOL.

x 3(2ey - 1) = e2; sol. sing., X3y2 = 1.

y2 = 2e(x - 2e 2) ; sol. sing., 8x 3 = 27y4. p4 + xp - 3y = O. SOL. 5x = 4p3 + ep! y 15y = 9p4 + ep ~ . Hágase el ejercicio 11 por otro método. Xp2 + (k - x - y) p + y = O, la ecuación del ejercicio 5, página 25. SOL. xe 2 + (k - x - y) e + y = O; " sol. sing., (x - y) 2 - 2k(x + y) + k2 = O. 2 X p3 - 2xyp2 + y2p + 1 = O. S OL. x 2 e3 - 2xye2 + y 2 e + 1 O; sol. sing., 27x _4 y3. 16xp2 + 8yp + y6 = O. SOL. (e 2 x + 1) = 2e; soL sing., xy4 = 1. Xp2 - (x 2 + I)P + x O. SOL. X2 = 2(y - el )'y In (e2x) . p3 - 2xp - y O. SOL. 8x 3p2 + ep-~ y4y p3 - epI". Hágase el ejercicio 17 por otro método. 9xy4p2 - 3ysp - 1 O. SOL . ey3 e2x - 1; sol. sing., y6 -4x. X2p2 - (2xy + l )p + y2 + 1 = O. SOL. x 2e2 - (2xy + 1) e + y2 + 1 = O; sol. sing., 4X2 - 4xy - 1 = O. X6p2 8(2y + xp) . SOL. e2x2 8 (2x2y - e ) ;sol. sing., x4 y -1. X2p2 (x - y) 2 SOL. x(x - 2y) el, Y - x In (e·2x). Xp3 - 2yp2 + 4X2 = O. Véase el ejercicio 10 anterior. SOL. X2 = 4e(y - Be 2); sol. sing., Bya = 27x4 • (p + 1)2(y - px) = 1. SOL. (e + 1)2(y - ex) = l;sol.sing., 4(x + y)3 = 27x 2. p 3 - p2 + xp - y = O. SOL. y = ex + e3 - e2; sol. sing., con ecuaciones paramétricas, x 2a - 3a2y y g2 - 2aS,. Xp2 + y(1 - x)p - y2 O. SOL . xy el, x In (e2Y)' yp2 - (x + y) P + y = O. SOL. py = e exp (p-l) Y px = Y(P2 - P + 1) ; sol. sing., y x. SOL.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

20. 21.

22. 23. 24. 25.

26. 27.

=

=

= =

=

=

=

=

= =

=

= =

=

r

=

=

=

=

=

= =

=



CAPÍTULO

19


95.

VARIABLE DEPENDIENTE PERDIDA

Considérese una ecuación de segundo orden

( 1)

f (x, y', y") = 0,

que no contiene explícitamente a la variable independiente y. Hagamos

y' = p. Entonces

"

dp

Y =dx

y la ecuación ( 1) puede reemplazarse por (2)

f

dx - 0, (x, p, dP)_

una ecuación de orden uno en p. Si podemos encontrar p de la ecuación ( 2) entonces y puede obtenerse de y' = p por integración. EJEMPLO: Resolver la ecuación 321

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones especiales de orden dos

322

xy" -

(3)

[Cap. 19

(y')3 - y' = O

del ejemplo b), página 25. Como y no aparece explícitamente en la ecuación diferencial (3), hacemos y' = p. Entonces " dp Y = dx'

así, la ecuación (3) se transforma en

x

~: - p3 - p. =

O.

La separación de variables nos conduce a dp

p(p2 +

dx x

1)

o dp

P-

pdp _ dx

p2+ 1 --;'

de la cual (4)

lnp - fIn (P2

+

+ lncl

1)

= lnx

se sigue. La ecuación (4) nos conduce a (5)

que es la ecuación por resolver para p. De (5) concluimos que

C1 2P2 = r(1

+ p2),

Pero p = y', así tenemos ( 6)

d - -+-

y- -

.,,¡

xdx C12 -

X2'

La solución de (6) es

Y

-

C 2 --

-(c1 2 -+-

-

X2)~.,

o

(7) La ecuación (7) es la solución general deseada de la ecuación diferencial (3). Nótese que al dividir entre p al principio del proceso hemos descartado las soluciones y = k(p = O), donde k es una constante.


Variable independ iente perdida

§96]

Pero (7) puede Ixmerse en la forma ( 8)

CS( X2

+ y2) + C4y + 1 =

0,

con nuevas constantes arbitrarias Cs y C4. Entonces la elección C4 -l/k nos conduce a la solución y k.

=

96.

Cs

= 0,

=

VARIABLE INDEPENDIENTE PERDIDA

Una ecuación de segundo orden

( 1)

f (y, y', y") =

°

en la que la variable independiente x no aparece explícitamente, puede reducirse a una ecuación de primer orden en y y y'. Hagamos

y' = p, entonces

" _ dp _ dy dp _ y - dx - dx dy -

dp

Pdy'

así, la ecuación (l) se transforma en

(2)

d P)_ f ( y, p, P dy - O.

Trataremos de determinar p en términos de y de la ecuación (2), sustituyendo entonces el resultado en y' = p. EJEMPLO:

(3)


yy"

+

(y) 2

+ 1=

°

del ejercicio 8, página 26. Ya que la variable independiente no aparece explícitamente en la ecuación (3), hacemos y' = p y obtenemos

" _ P dp

y -

dy

como antes, entonces la ecuación (3) se transforma en

(4) en la cual las variables p y y son fácilmente separables. De (4) se sigue que

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones especiales de orden dos

324

[Ca p . 19

pdp dy _ O p2+1+-Y - , de la cual

fIn (p2 + 1) + In Y = In C1,

así que (5 ) Resolvemos la ecuación (5) para p y encontramos que p = +

( C1"2 _ y2P

y

•

.

Entonces

o

+y( C1 2 - y2)-i dy = dx.

Por tanto

-+- (C1' 2 -

y2)!i = X - C2.

de donde obtenemos el resultado final

(x

-

· C2)".l

+ y2

=

C1 2•

EJERCICIOS

=

=

SOl;. X c1 sen (y + C2 ) . 0, cuando x = 2, y = 5 Yy' = - 4. 2 SOL. Y = h + 3x - 3 + 9ln (3 - x). 2 3. x y" + (y' ) 2 - 2xy' = 0, cuando x = 2, y = 5 Yy' = 2. SOL. X2 = 2 (y - 3 ). 4. yy" + (y' ) 2 = O. SOL. Véase el ejercicio 20, página 26. 5. y2y" + (y')a O. SOL. X C1Y - In (C2Y). 6. (y + 1) y" (y') 2. . / SOL. Y+ 1 C2eC1"'. 7. 2ay" + (y')a = O. SOL. (y - c2)2 = 4a (x - C1) ' 8. Hágase el ejercicio 7 por otro método. 9. xy" = y' + x 5, cuando x = 1, y = i y y' = 1. SOL. 24y = x 6 + 9x2 + 2. 10. xy" + y' + x = O,cuandox = 2,y = -1 yy' = - l SOL. y = - iX2 + In (ix) . 11.Y" = 2y(y') 3. . . _ / SOD . y3 = 3(C2 - X - C1Y)' 12. yy" + (y' ) 3 - (y')"2 O. SOL. X Y - c1 In (C 2Y)' 13. y" + f3 2y = O. Compruébese el resultado resolviendo en dos formas la ecuación. 14. yy" + (y') a O. SOL. X C1 + y In (C2Y). 15.y"cosx = y'. SOL. y = C2+ c1 In (1 - senx). 16. y" = x (y' )2, cuando x = 2, y = i7T y y' = - i. OL. x = 2 cot y.

1. yi, X(y')3. 2. x 2 y" + (y' )"2 - 2xy'

=

= =

=

=

=

=

=

=

./


Varia ble independiente perdida

§96]

17. y"

= X(y' ) 2, cuando x = O, Y = 1 Yy' = t. SOL.

Y

= 1+

t In-2+x --· 2- x

= _ e-2Y, cuando x = 3, y = O Y y' = 1. SOL. Y =: In (x - 2). = - e-211, cuando x = 3, y = OYy' = -1. SOL. Y = In (4 - x) . = sen 2y, cuando x = O, Y = 7T/ 2 Yy' = 1. SOL. = - In (ese y + cot y) . 2y" = sen 2y,'cuando x = 0, y = -7T/ 2 Yy' = 1.

18. y" 19. y" 20. 2y"

X

21.

SOL. X = In ( - csc y - cot y) . 22. Demuéstrese que si se pueden hacer las integraciones encontradas, entonces puede resolverse cualquier ecuación de la forma y" = f(y ) . 23. x 2y" - x 2y' = 3 - X2. SOL. Y = x- l + X + Cl X2 + C2' 24. y" = (y')2. SOL. JI = -ln[c2(cl - x)],OX = Cl + Cae-Y. 25. y" = e"'(y') 2. SOL. cly + C'2 = - In (cle- X -1). 26. 2y" = (y') 30 sen 2x, cuando x = 0, y = 1 Yy' = l. SOL. Y = 1 + In (sec x + tan x) . 27. x 2 y" + (y') 2 = O. SOL. C1 2y = ClX + In [C2 (ClX - 1)]. 28. y" 1 + (y') 2. SOL. eY cos (x + Cl) = C2' 29. Hágase el ejercicio 28 por otro método. 30. y" = [1 + (y') 2p. Resuélvase en tres formas, considerando el significado geométrico de la ecuación, y por los métodos de este capítulo. 31. yy" = (y') 2[1 - y' sen y - yy" cos y]. SOL. X = clln (C2Y) - cosy. 32. (1 + y2)y" + (y' ) 3 + y' = O. SOL. X = C2 + ClY - ( 1 + C1 2) In (y + Cl). 33. [yy" + 1 + (y' ) 2]2 = [1 + (y') 2]S. SOL. (y - Cl ) 2 + (x - C2) 2 = c/. 34. x 2y" = y'(2x - y'), cuando x = - l ,y = 5yy' = 1. SOL. 2y - 1 = (x - 2)'2 + 81n (x + 2). 35. x 2y" = y' (3x - 2y' ). SOL. 2y = x 2 + C2 - clIn (X2 + Cl). SOL. 3y = C2 + In (x 3. + Cl )' 36. xy" = y' (2 - 3xy' ) . 4 3 37. x y" = y' (y' + x ), cuando x. = 1, Y = 2 y y' = 1. 2 1+ SOL. Y = 1 + X2 - In 2 x-) .

=

=

38. y" 2x + (X2 - y')2. 39. (y") 2- 2y" + (y') 2- 2xy' 40. (y") 2

-

xy"

+ y' =

+ .'\:'2

(

3y x 30 + C2 - 31n (x + Cl) . = 0, cuando x =O,y = !yy'= 1. SOL. 2y = 1 + X2 + 2 sen x.

SOL.

=

O.

Solución general: 2y = ClX 2 - 2C12X + C2; familia de soluciones singulares: 12y = x 3 + k. 41. (y" ) 3 = . 12y' (xy" .- 2x' ) . SOL. Solución general: y = Cl( X - Cl)3. C2; familia de soluciones singulares: 9y = x' + k. 42. 3yy'y" = (y') 3 - 1. SOL. 27cl(y + Cl )2 = 8(x + C2)3. 43. 4y (y' ) 2y" = (y' ) 4 + 3. sou. 256cl(y - Cl )3 = 243 (x - C2)4. SOL.

+

f


97.

CATENARIA

Supongamos que se tiene un cable de peso uniformemente distribuido w (lb por pie) suspendido entre dos soportes A y B, como se indica en la figura 45. El cable se combará y tendrá su punto más bajo en V tal como lo indica la figura. Deseamos determinar la curva formada por el cable suspendido. La curva se llama catenaria. B

FIGURA 45

Eligiendo ejes de coordenadas como se muestra eti la figura 46, el eje y vertical y pasando por el punto V y el eje x horizontal y pasando a una distancia yo, (que se eligirá posteriormente), por debajo de V. y

------+------------------------x o FIGURA 46

Supóngase que s representa la longitud (en pies) del cable medida desde V al punto variable P con coordenadas (x, y). Entonces la porción del cable desde V hasta P está su jeta a las tres fuerzas mostradas en la figura 46. Estas fuerzas son: a) la fuerza gravitacional ws (lb)


327

Catenaria

actuando hacia abajo a través del centro de gravedad de la porclOn del cable V hasta P; b) la tensión T 1 (lb) actuando tangencialmente en P, y e) la tensión T 2 (lb) actuando horizontalmente (otra vez tangencialmente) en V. La tensión T 1 es variable, la T 2 es constante. Ya que se supone que el sistema está en equilibrio, la suma algebraica de las componentes verticales de estas fuerzas es cero y la suma algebraica d~ las componentes horizontales de estas fuerzas es también cero. Entonces, si '.0 es el ángulo de inclinación desde la horizontal de la tangente a la curva en el punto (x, y) tenemos

( 1)

T 1 sen O - ws = O

Y (2)

T1COSO - Ti2 = O.

Pero tan O es la pendiente de la curva del cable, entonces (3)

tan O = dy dx'

Podemos eliminar la tensión variable T 1 de las ecuaciones (1) Y ( 2) Y obtener (4)

La constante Td w tiene la dimensión de una . longitud. T d w = a (pies). Así, la ecuación (4) se transforma en (5)

Haciendo

tan O =~ . a

De las ecuaciones (3) Y (5) vemos que (6)

s

dy ~= dx'

Sabemos del cálculo, que ya que s es la longitud de arco de la curva, entonces ds = JI + f d (7) dx" \dx

y)2.

De (6) obtenemos .!. ds = cPY, de tal forma que la eliminación de s , a dx dX2 nos conduce a la ecuación diferencial (8)



[Cap. 19

La ecuación deseada de la curva formada por el cable suspendido, es la solución de la ecuación diferencial ( 8 ) que también satisface las condiciones a la frontera dy _ (9) cuando x = O, Y = yo y dx - O.

La ecuación (8) cae dentro de los tipos estudiados en este capítulo; Se deja como un ejercicio para el lector resolver la ecuación diferencial ( 8) con las condiciones (9). El resultado final es ( 10)

x y = a cosh a

+ yo -

a.

Entonces, resulta obvio hacer la elección yo = a, de tal forma que la ecuación de la curva deseada (la catenaria) es a

y = a cosh-. x


CAPÍTULO

20


98.

ECUACIONES LINEALES Y SERIES DE POTENCIAS La solución de ecuaciones lineales con ·coeficientes constantes puede llevarse al cabo por los métodos desarrollados al principio del libro. La ecuación general, lineal, de primer orden nos da un factor integrante como se vio en el capítulo 2. Para ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales, con coeficientes variables y de un orden mayor que uno, el método más general y efectivo de tratamiento es el basado en el uso de series de potencias. Para simplificar el traba jo y el enunciado de los teoremas, las ecuaciones tratadas aquí se restringirán a aquellas que tienen coeficientes polinominales. Las dificultades que se encuentren, los métodos de ataque y los resultados que se obtienen permanecen esencialmente inalterados cuando los coeficientes son funciones que tienen desarrollos en series de potencias válidos alrededor de algún punto. Tales funciones se llaman fun ciones analíticas. Considérese la ecuación lineal homogénea de segundo orden 329


(1 )

[Cap. 20


bo (x)y"

+ bl ( X)Y' + b2( X)Y =

0,

con coeficientes polinomiales. Si bo ( x) no se anula en x = 0, entonces en algún intervalo alrededor de x = 0, que queda lejos del punto más cercano donde bo (x) se anula, se puede dividir entre bo (x ) a todo 10 largo del intervalo. Por tanto, reemplazamos la ecuación ( 1) por ( 2)

y"

+ P(x) y' +

q (x )y = 0,

en la que los coeficientes p (x), q (x) son funciones racionales de x con denominadores que no se anulan en x = O. Demostraremos ahora que es razonable esperar* una solución de ( 2) que es una serie de potencias en x · y que contiene dos constantes arbitrarias. Sea y = y (x ) una solución de la ecuación ( 2 ) . Asignamos arbitrariamente los valores de y y y' en x = O; y (O) = A, y' (O) = B. La ecuación (2) nos conduce a (3 )

y" ( x) = - p ( x ) y' ( x) - q ( x ) y ( x ) ,

así que y" ( O) puede calcularse directament.e, porque p(x) y q (x) se comportan adecuadamente en x = O. De la ecuación (3) obtenemos

(4)

y"'(x) = - P(x)y"(x) - p'(x)y'(x) - q (x)yt (x) - q' (x)y (x),

de tal forma que y'" (O) puede calcularse inmediatamente si y" (O) se conoce. El proceso anterior puede continuarse tanto como lo deseemos~ y entonces determinar sucesivamente y (O) para tantos valores enteros de n como se desee. Ahora, por la fórmula de Maclaurin, del cálculo 00

(5)

y(x) = y(O)

+¿

n=l

xn y(o),; n.

esto es, el miembro derecho de (5) convergirá al valor y (x) a través de algún intervalo alrededor de x = O si y (x) se comporta adecuadamente en, y cerca de, x = O. Por tanto podemos determinar la función y (x) y llegar a una solución en la forma de series de potencias. Para obtener realmente las soluciones de ecuaciones específicas estudiaremos otro método, que será ilustrado con ejemplos; una técnica muy superior al método de fuerza bruta usado anteriormente. Lo que hemos ganado de la presente discusión es el conocirniento de que es razonable buscar una solución en series de potencias. Una vez que sabemos esto,

* Esta no es una prueba. Para probarlo véase E. D . RainvilJe, Intermediate Differential Equations. 2" Edición. Nueva York: The Macmillan, 1964, páginas 67-71.

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuaciones de mayor orden y grado

§99]

331

resta solamente desarrollar buenos métodos para encontrar la solución, y los teoremas que aseguran la validez de los resultados obtenidos.

99.

ECUACIONES DE MAYOR ORDEN Y GRADO

Un examen cuidadoso del procedimiento empleado en la sección 98, muestra que el método desarrollado dependía solamente de que se fuese capaz de resol\(er la ecuación original para y", y determinar de ahí la existencia de las diferentes derivadas del miembro derecho de la ecuación (3) de esa sección. Por tanto, si tenemos a mano una ecuación de la forma y(k) = f ( x, y, y', . . . ,y(k-l») ( 1) de orden k y de cualquier grado, podemos anticipar la existencia de una solución en series de potencias bajo las siguientes condiciones. Supóngase que el miembro derecho f en la ecuación (1) es tal que ella y sus diferentes derivadas con n:sp~cto a x, existen en x = O. Esperamos entonces poder asigna r arbitrariamente los valores de y y sus primeras (k - 1) derivadas en x = O (teniendo por tanto k constantes arbitrarias), y proceder a determinar y(n) (O) para n ~ k de la ecuación (1).

100.

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE POTENCIAS

Del cálculo sabemos que las series de potencias

convergen, ya sea solamente en x = O, o para toda x finita, o la serie converge en un intervalo - R < x < R y diverge fuera de ese intervalo. A menos de que la serie converja en un punto solamente, ella representa en el punto en que converge, una función ¡ (x) en el sentido de que la serie tiene en cada valor x la suma f (x) . Si

'"

¡ (x) = ~ anx",

entonces también

.,=0

'" ¡'(x).... "" 10=0

1 na,.x-,

- R

< x < R,

- R

< x < R,

http://carlos2524.jimdo.com/ El método de series de potencias

332

[Cap. 20

y Z

r

Jo

'f (y) dy =

f n={)

anx"+1, n + 1

-R

< X < R.

esto es, la serie es correctamente diferenciable e integrable en el sentido de que la serie de las derivadas de los términos separados converge a la derivada de la suma de la serie original, y de modo semejante para la integración. Es importante que el intervalo de convergencia permanezca inalterable. No estamos tratando aquí con comportamientos de convergencia en los puntos extremos de ese intervalo. Examinemos ahora más de cerca la razón por la cual una serie tiene un intervalo de convergencia particular más bien que otro. Un ejemplo elemental del cálculo es

1

( 1)

1- x

ca

~ x",

-1

< x < 1.

n=()

Es razonable sospechar que el mal comportamiento de la función 1/ ( 1 - x) en x = 1 es el que determina el hecho de que el intervalo de convergencia termine en x = 1. Que b este intervalo puede extenderse más allá de este punto no ~ evidente. El punto x = - 1 no se modificará en esta ocasión; el intervalo se termina en ese extremo debido a la condición de que debe ser simétrico alrededor de x = O. --r---------r-------~r--a Reemplacemos ahora x en ( 1) por ( - X2) para obtener ( 2) -j

FIGURA 47

- l
vez - 1 < x < 1, pero la función f (x) = 1/( 1 + X2) se comporta adecuadamente para toda x real. N o es claro qué es lo que hace que el intervalo de convergencia termine en x = 1. El hecho es que necesitamos considerar a x como una variable compleja, para entender qué es lo que hay que hacer aquí. Usaremos el diagrama ordinario de Argand para números complejos. Sea x = a + ib, con a y b reales, con i = Y=1, y asociado con el punto ( a, b ) en el plano, el número a + ib. Ahora márquense sobre


Puntos ordinarios y puntos singulares

§101]

el diagrama aquellos puntos (valores de x para los cuales la función 1/ ( 1 + X2) no existe. Los puntos son x i, x i, donde el denominador ( 1 + X2 ) se anula. En los libros sobre funciones de variable compleja se muestra que la serie en ( 2) converge para todos los valores de x dentro de la circunferencia mostrada en la figura 47. El intervalo de convergencia dado en ( 2 ) es simplemente una sección transversal de la región de convergencia en el plano complejo. Una serie de potencias en una variable compleja x siempre tiene como región de convergencia el interior de una circunferencia, si estamos dispuestos a admitir los casos extremos en b los cuales la circunferencia degenera 5i hasta un solo punto, o se extiende sobre todo el plano complejo. Puntos en los cuales el denominador de una función racional se anula son los ejemplos más elementales de singularidades de una función analía tica. La circunferencia de convergen- --~------4-------~~~ 3 4 cia de una serie de potencias no puede tener dentro de ella una singularidad de la función representada por la serie. La circunferencia de convergencia tiene su centro en el origen y pasa por la -5i singularidad más cercana al origen. La función

=

x-2 (x - 3 )( x - 4 )( x 2

=-

FI GU RA 48

+ 2S )

tiene un denominador que se anula en x = 3,4, Si, - Si. La función tiene entonces un desarrollo en serie de potencias válido dentro de una circunferencia (figura 48) con centro en x = O Y que se extiende tan lejos como el más cercano (x = 3) de los puntos donde la función no se comporta adecuadamente. Para x real, el intervalo de convergencia es - 3 < x < 3.

101.

PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES

Para una ecuación diferencial lineal

( 1)

bo(x)y(71)

+ bl (X )y
R (x )



[Cap. 20

con coeficientes polinomiales, el punto x = Xo se llama punto ordinario de la ecuación si b o(xo) =1= O. Un punto singular de la ecuación lineal (1) es cualquier punto x Xl para el cual bO( Xl) O. En este capítulo obtendremos soluciones en series de potencias válidas cerca de un punto ordinario de una ecuación lineal. En el siguiente hallaremos soluciones en series de potencias válidas para una cierta clase de puntos singulares de la ecuación. El conocimiento de la localización de los puntos singulares de una ecuación diferencial puede semos de utilidad posteriormente. Cualquier punto que no es singular es un punto ordinario. Hasta el momento hemos dejado sin analizar el asunto del "punto al infinito" en el plano complejo, que es un concepto de gran utilidad. Este concepto no es necesario para esta discusión elemental. Como resultado de esa omisión, sin embargo, necesitamos ahora asociar las palabras "en el plano finito" a cualquier enunciado que implique enlistar todos los puntos singulares de una ecuación diferencial. La ecuación diferencial

=

( 2)

=

(1 - r) y" - 6xy' - 4y = O

tiene x = 1 Y x = - 1 como sus únicos puntos singulares en el plano complejo finito. La ecuación y"

+

2xy'

+

y = O

no tiene puntos singulares en el plano finito. La ecuación xy"

+

y'

+

xy = O

tiene el origen, x = O, como único punto singular en el plano finito. EJERCICIOS

Para cada ecuación, enlistar los puntos singulares en el plano finito. 1. (X2 + 4)y" - 6xy' + 3y O. SOL. X 2i, -2i. 2. x(3 - x)y" - (3 - x)y' + 4xy = O. SOL. X = 0,3. 3. 4y" + 3xy' + 2y = O. SOD. Ninguno. 4. x(x - 1)2y" +3xy' + (x - l)y = O. SOL. X = O, 1. 5. x 2y" + xy' + (1 _ X2)y = O. 6. x4y" + Y = O. 7. (1 + X2)y" - 2xy' + 6y = O. 8. (X2 - 4x + 3)y" + xy - 4y = O. 9. x 2(1 - x) 3y" + (1 + 2x)y = O. 10. 6xy" + (1 - X2)y' + 2y = O.

=

=

http://carlos2524.jimdo.com/ Val idez de los solucio"'es cerco de un punto ord inario

§102]

335

+ y = O. 12. 4y" + Y = O. 13. X2(X2 - 9)y" + 3xy' - y = O. 14. x2(1 + 4x 2)y" - 4xy' + y = O. 15. (2x + 1) (x - 3)y" - y' + ( 2x + l)y = O. 16. X3(X2 - 4PY' + 2 (x 2 - 4 )y' - xy = O. 17. X(X2 + l )2y" - Y = O. 18. (X2 + 6x + 8 )y" + 3y = O. 19. (4x + l )y" + 3xy' + y = O.

11. 4xy"

102.

VALIDEZ DE LAS SOLUCIONES CERCA DE UN PUNTO ORDINARIO

Supóngase que x = O es un punto ordinario de la ecuación lineal (1 )

bo(x) y"

+ bl(X)Y' + b.2(X)Y =

O.

Se prueba en libros más avanzados que hay una solución ( 2)

que contiene dos constantes arbitrarias, por ejemplo ao y al, y que converge dentro de una circunferencia con centro en x = O Y se extiende hacia el punto singular (o puntos singulares) cercanos a x = O. Si la ecuación diferencial no tiene puntos singulares en el plano finito, la solución ( 2) es válida para todo x finito. Queda, por supuesto, el asunto de encontrar a n para n ~ 2. Esto constituye la mayor parte de nuestro trabajo al resolver una ecuación particular. Es necesario darse cuenta que el teorema citado establece que la serie involucrada converge dentro de una cierta circunferencia. No establece que la serie diverge fuera de esa circunferencia. En un ejem plo particular puede suceder que la circunferencia de convergencia se extienda más lejos que el mínimo dado por el teorema. En cualquier caso, la circunferencia de convergencia pasa por un punto singular de la ecuación - que puede no ser el punto singular más cercano.

103.

SOLUCIONES CERCA DE UN PUNTO ORDINARIO

Al resolver ecuaciones numéricas, es útil la técnica empleada en los siguientes ejemplos.



[Cap. 20

EJEMPLO a): Resolver la ecuación

(1 - X2) y" - 6xy' - 4y = O

( 1)

cerca del punto ordinario x = O. Los únicos puntos singulares que tiene esta ecuación en el plano 'finito son x = 1 Y x = -1. Por tanto, sabemos de antemano que hay una solución (2)

válida en Ixl < 1 con ao y al arbitrarias. Para determinar la an, n > 1, sustituimos la y de la ecuación (2) en el miembro izquierdo de (1). Obtenemos 00

eo

00

¿ n (n - 1) a"xn - 2 n=O

-

¿ n (n - 1) a"x"

~

¿ 6nanxn n= O

11 ::0

00

~

4a"x n = 0,

11 = 0

o 00

¿ n (n - 1) anx

(3)

00

¿ (n2 + 5n + 4 )anx n = O,

n-2 -

n· ~{)

n :::: O

en la que hemos combinado series que contienen 'las mismas potencias de x. Vamos ahora a factorizar el coeficiente en la segunda serie de la ecuación ( 3), escribimos 00

¿ n (n -1 )anxn - 2

(4 )

n=O

00

~

-

(n

+

l )( n

+ 4)anxn

= O.

n=O

Las relaciones para la determinación de an serán obtenidas usando el hecho de que para que una serie de potencias sea idénticamente nula sobre cualquier intervalo, cada coeficiente de la serie debe hacerse cero. Entonces, deseamos en seguida escribir las dos series en la ecuación (4) ert una forma en la cual los exponentes de x sean los mismos de modo que se pueda extraer fácilmente el coeficiente de cada potencia de x. Corramos el Índice en la segunda serie reemplazando n en todas partes por (n - 2). Entonces, la suma principiará desde n - 2 = 0, o lo que es lo mismo desde n = 2, en lugar que desde n = O. Obtenemos entonces (5)

00

00

n~o

n~2

¿ n (n - 1) a"x"-2 - ¿ (n - 1) (n

+ 2) an_2X',-2 =

O.


Soluciones cerca de un punto ord inario

§103J

En la ecuación (5) el coeficiente de cada potencia de x deberá ser cero. Para n = O Y n = 1, la segunda serie no principia aún, entonces obtenemos contribución sólo de la primera serie. En detalle, tenemos

n = O: O· ao = 0, n = 1: O· al = 0,

n

~

2: n (n - 1) an - (n - 1) (n

+ 2) an-2 =

O.

Como espeI;ábamos, ao y al son arbitrarios. La relación para n ~ 2 puede usarse para determinar las otras a en términos de ao y al. Ya que n ( n - 1)

*°

para n

~

2, podemos escribir n

(6)

~

2:

n+2

an = --an-2. n

La ecuación (6) se llama relación de recurrencia. Nos da an en términos de las a precedentes. En este caso particular cada a se determina por la a cuyo subíndice es dos unidades menor que el suyo y, en consecuencia, eventualmente, ya sea por ao o al, de acuerdo con que la a original tenga subíndice par o impar. Una relación de recurrencia es una clase especial de ecuación de diferencia. En las ecuaciones de diferencias los argumentos de la función desconocida (los subíndices en nuestras relaciones) no difieren necesariamente por enteros. Hay libros y cursos sobre ecuaciones de diferencias y el cálculo de diferencias finitas", paralelamente a los libros y cursos sobre ecuaciones diferenciales y cálculo. Es conveniente arreglar los casos iterados de la relación ( 6 ) en dos columnas verticales; dos columnas porque los subíndices en (6) difieren por dos; por tanto, usando sucesivamente n = 2, 4, 6, ... , y n = 3, 5, 7, . . . , para obtener 4

5

"3 al

a2

="2 ao

a3 =

a4

="46 a2

7 as = -a3 5 9 a7 = 'ias

8 as =6a4

/

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338

[Cap. 20

En seguida, obtenemos el producto de los miembros correspondientes de las ecuaciones en la primera columna. El resultado _ 4 . 6 . 8 . .. ( 2k

.

k ~ 1.

+ 2)

2.4. 6 . . . (2k)

a2a4aS ' •• a 2k -

a Oa2a4'"

a.2k-2,

se simplifica de inmediato a k ~ 1:

a 2k

= (k + 1)

ao,

dándonos, por tanto, cada a con subíndice par en términos de a o. De igual modo, de la columna de la derecha en el arreglo anterior tenemos _ 5 . 7 . 9 ... (2k + 3) k ~ 1: a2k+1 - 3 . 5 . 7 . . . (2k + 1) al, o

k

~

1:

obteniéndose por tanto cada a con subíndice impar en términos de al. Necesitamos en seguida sustituir las expresiones que hemos obtenido para las a en la serie supuesta para y, (2)

La naturaleza de nuestras expresiones para las a dependen de que el subíndice sea par o impar, y nos indican que debemos primero separar la serie de (2) en dos series, una que contenga todos los términos con los subíndices pares y la otra que contenga todos los términos con subíndices impares. Escribimos

y usamos entonces nuestros resultados conocidos para. a 2k y obtener la solución general en la forma

a 2k+1

para

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§103]

339

Estas series convergen al menos para Ixl < 1, como sabemos de la teoría. Que estas converjan para ese valor, y sólo ese, puede verificarse aplicando las pruebas elementales de convergencia. Sucede en este ejemplo que la solución (7) puede escribirse más simplemente como (8)

En realidad, las senes pueden sumarse en términos de funciones elementales,

Tales simplificaciones pueden ser importantes cuando se refieren a un problema en particular; en nuestro caso, que la meta fue obtener la ecuación (7), tales simplificaciones pueden parecer irrelevantes. La cantidad de trabajo necesaria para resolver esta ecuación particular se aumenta demasiado por los pasos detallados, muchos de los cuales deben resolverse mentalmente cuando se adquiere una mayor experiencia. EJEMPLO b): Resolver la ecuación

y"

(9)

+ (x

- 1) 2y' - 4 (x - 1) y = O

alrededor del punto ordinario x = 1. Para resolver una ecuación "alrededor del punto x = xo" se necesita obtener soluciones válidas en una región que rodea al punto, soluciones expresadas en potencias de (x - xo). En primer lugar trasladamos los ejes, haciendo x - 1 = v. Entonces la ecuación (9) se transforma en

2 d y + v 2 dy _ 4vy = O. dv 2 dv · ., pura, x - Xo = v, tenemos -dy = dy, etc. Slempre, en una tras1aClOn dx dv Como de costumbre hacemos (10)

(11 )

y de (10) se obtiene 00

(12)

~ n=O

n(n - 1) a"vn-2

+

00

~ n=O

00

na n v,,+l

-

~ n=O

4anv n+1 = O.



340

Agrupando términos iguales en (12) llegamos a 00

1)anvn-2 +

~ n (n n=O

00

~ (n -

4)anv'Hl = 0,

n=O

esta ecuación, con un corrimiento de índice de n a (n - 3) en la segunda serie nos da 00

~

(13)

00

1) anV n-2

n(n -

+ ,¿

( n - 7 )an_3Vn-2 = O.

n=S

n=O

Por tanto, ao y al son arbitrarios y tenemos en seguida

n

= 2:

n

2:: 3:

2a2 = 0, 1)a..

n(n -

+ (n -

7)a",.-s = 0,

n-7

an = - n ( n _ 1) an-s. Ahora juntamos a las a en tres grupos, aquellos que provienen de ao, de al y de a2. Usamos tres columnas:

ao arb.

al arb.

-2

-4

as = - --ao

3.2 -1 a6 = - --as 6·5 2 ag = - --a6 9·8

.

a5 = - --a2 = 5 ·4 a1 = - 7 .6 a.- =

° as

= () a5 =

3 a10 = - - - a7 10·9

°

=

°

=

3k - 7 ask = - 3k( 3k _ 1) aSk-3 a3/m = 0, k 2:: 2

all

°

°

°

aak+2 = 0, k 2:: 1.

Con el esquema usual de multiplicación, la primera columna nos da ( - 1 ) k[( - 4 ) ( - 1) . 2 . . . (3 k - 7) Jao

k 2:: 1: a3k = [3 . 6 . 9 ... (3k) J[2 . 5 . 8 . .. (3k - 1)

r

Para las a que están determinadas por al, vemos que a4 = la1, pero que cada una de las otras es cero. Ya que a2 = 0, todas las a proporcionales a ella, a5, as, etc., son también cero. Para y tenemos ahora -

[

00

y - ao 1+ ~

1< = 1

(_1)k[(-4)(-1).2 ... (3k-7)J v ak ] [3 . 6 . 9 ... (3k) J[2 . 5 . 8 ... (3k - 1)] + a1 (v

+ -!v 4).


Ya que v (

341

Soluciones cerca de un punto ordinario

§103]

=

1, la solución se representa como

x -

14) Y = ao [1

+

k _-_7--:-,)-!:,J(,---X_--:-:1-f)_3k] ~ ~(-=-,1)~/<['---'-(--::-_4-'--.:)('------:-:1:-':-)-:-:;'-;:-;:2:. --::',---'(-'-3 :c _ .. =1

[3· 6 . 9 ... ( 3k) ] [2 . 5 . 8 ... (3 k - 1) ] + a1[(x - 1) + -!(x - 1)4J.

La ecuación diferencial original no tiene puntos singulares en el plano finito, entonces la serie de (14) es convergente para toda x finita. En los cálculos, 'Por supuesto, es de mayor utilidad en la vecindad del punto x = 1. El coeficiente de (x - 1) 3k es suficientemente complicado como para garantizar que puede ser simplificado. En el producto 3 . 6 . 9 . . . (3k) hay k factores, cada uno múltiplo de 3. Llegamos entonces al resultado

3 . 6 . 9 ... (3k) = 3/« 1 . 2 . 3 ... k) = 3/ 2, puede demostrarse que '" 4( -l) /«x - 1)37< (15) Y = ao ~o3/«3k _ 1) (3k -4)k! + al[ (x - 1) + i(x - 1)4J. En los ejerclclOs que aparecen a continuación, la mayoría de las ecuaciones son homogéneas y de segundo orden. Elevando el orden de la ecuación no aparece ninguna complica,ción adicional en el método, como puede verse resolviendo el ejercicio 16. Tampoco las ecuaciones no homogéneas, cuyo miembro derecho tiene un desarrollo en serie de potencias, son más difíciles de manejar que las homogéneas; el resolverlas involucra solamente un problema de igualar coeficientes en las dos series de potencias. El tratamiento de ecuaciones que conducen a relaciones de recurrencia que involucran más de dos a diferentb lo hemos dejado para el capítulo 23. EJERCICIOS

A menos de que otra cosa se especifique, encontrar la solución general de tal manera que sea válida cerca del origen. Establézcase siempre la región de validez de la solución. 1. y"

+ 3xy' + 3y =

O.

SOL.

http://carlos2524.jimdo.com/ ·3 42

[Cap. 20


] (2k + 1) ; válida para toda x finita.

co

( -

3) kX2k+l

+ al [ x + k~l 3 . .5 . 7 ...

+ 4X2 )y"

2. (1

- By = O. co

y = ao(1

SOL.

+x

3. (1

2

)y" - 4xy'

O.

+ x 2)y" + lOxy' + 20y = y=

SOL.

;0

+ 4)y" + 2xy' -

k~O

Y = ao(1 - 3X2) + a¡(x - ix3); válida para toda x finita.

(-l)"k(k (-

+ 3xy' -

3y =

o.

+ al(x

+

::1 co

7. y"

+ 3)x21c

3 l52X .);

válida para Ixl

<

2.

[3 . 5 . 7 . . . (2k + 1) ]X 2k ] (18)k(2k _ l )k!

+ a1X; válida para Ixl < 3. O. _ [ ~ (-1 ) k[5 . 9 . 13 ... (4k + 1) ]X 21c ] y - ao 1 + (:1 (2k) !

+ 2xy' + 5y = SOL.

.

+ al

~ (-1)k[7. 11.15 ... (4k

[ x

+ {:1

el

2k co (-l)k(k + 1)x ] y ~ ao [ 1 + 22k 1 ) k (2k + 3) X 2k+1] , . 3 . 22k ; valIda para Ixl < 2.

SOL.

9. 2y"

+ xy' -

el

+ 4y = o.

+ al [ x

00

( _

+ X2 + 1\ x 4 ) 3 ( _ 1) kX2k+1 22k k! (2k - 3) (2k - 1) (2k + 1) ; válida para toda x finita. SOL.

co

+ al

+ 2X2)y" SOL.

+ 3)]X 2k+1]

(2k + 1) ! ; válida para toda x finita.

+ 4)y" + 6xy' + 4y = o.

8. (X2

10. (1

1) (2k

00 3(-1)k(k+1)X2lc] y = ao [ 1 + k~l 22k (2 k _ 1) (2k _ 3)

y = ao [ 1 -

SOL.

+ 1) (2k+

+ 1) (k + 2) (2k + 3) x3 k+1; válida para Ixl < 1.

1) k (k

12y = O. SOL.

6. (X2 - 9 )y"

< 1-

O.

+ ~1 k~ 5. (X2

( -1 ) k+122kx2k+1 4P _ 1

válida para Ixl

+ 6y =

SOL.

4. (1

+ 4X2) + al ::0

eo

=

Y = ao(l

5xy' + 3y O. _ [1 ~ 3 ( - 1) k[ ( - 1) . 3 . 7 . . . (4k - 5) ]x 2k ] Y - ao + k~l 2kk!(2k _ 3) (2k _ 1) + al (x

+ ix

3

,) ;

válida para Ixl

<

1/ Y2.


343

Soluciones cerca de un punto ordinario

11. y"

+ X2y =

O. Y = ao [ 1

SOL.

el + el 00

+

00

+ al [ x 12. y" - 2 (x "

( -1 ) k X 4k ] 2 2kk! . 3 . 7 . 11 ... (4k - 1) (_1 )kX4k+1 ] 22k k! .5.9. 13 . . . (4k + 1) ; válida para toda x Jinita.

+ 3 ) y' SOL.

3y = O. Resuélvase alrededor de x = -3. ~ 3 . 7 . 11 ... (4k - 1) (x + 3) 2k] Y = ao [ 1 + {;1 (2k) ! J

+ al [( x

+ (x -

~

+ 3) + k~l

'

5·9.13 ... (4k+ 1)(X+3 )2k+1]. (2k + 1) ! ' válida para toda x finita.

= O.

=

Resuélvase alrededor de x 2. 00 (-1)k(x_2)3k ] SOL. Y = ao [ 1 + k;l 3kk![2 . 5 .8 ... (3k "- 1)] 00 ( 1) k (x - 2) 31<+1 ] + al [ (x - 2) + ~13kk![4. 7 . 10 .. . (3k + 1)] ; válida para toda x finita. 14. (1 - 4x 2) y" + 6xy' - 4y = O. 00 1. 5 . 9 . . . (4k - 3) X 2k+1] SOL. Y = ao(1 + 2X2 ) + al [ x k! (4k2 _ 1) ; 13. y"

2) y

el

15. (1

+ 2X2 )y" + 3xy' -

SOL.

16. y'"

Y = alx

+ ao

[

válida para /x/ < 3y = O. 1+

+ x2y" + 5xy' + 3y =

el 00

( _

)

k+1 3 . 7 . 11 . . . (4k - 1) x 2k ] 2k( 2k _ l ) k! ;

válida para /x/ < 1/ V2. O. 00

+~ +

xy'

+

[

X2

+

el 00

00

x

[

3y = X2. 2

SOL.

-1 ) k X 3k

.~ = - 15

]

1) kx3l<+1] 3kk! (_I)k x 3l<+2 ] 4 . 7 . 10 ... (3k + 1) ; válida para toda x finita.

+ al

17. y"

(

Y = ao [ 1 + k~l 2 . 5 .8 ... (3k - 1)

SOL.

t.

+ '5 X2 + ao k;' 1

00

+ ~1

( _

(-I)k(2k + 1)x2k 2 k!

k

+

-1 ) k (k 1) X2k+l ; .. (2k 1) válida para x finita. y = O tanto por series como por métodos 18. Resuélvase la ecuación y" elementales y compárense los resultados. 00

(

+ al k=o ~ 1 .3·5·

+

+


El método de series de potencios

[Copo 20

19. Resuélvase la ecuación y" - 4y = O por series y por métodos elementales. 20. y" + 2xy' + 2y = O. 21. y" + 3xy' + 7y = O. 22. 2y" + 9xy' - 36y = O. 23. (X2 + 4)y" + xy' - 9y = o. 24. (x 2 + 4 )y" + 3xy' - 8y = o. 25. (1 + 9X2 )y" - 18y = O. 26. (X2 - 2x + 2) y" - 4 (x - 1) y' + 6y = O; resuélvase alrededor de x=l. 27. (1 + 3X2) y" + 13xy' + 7y = o. 28. (1 + 2x"2)y" + ll xy' + 9y = O.


CAPÍTULO

21


104.

PUNTOS REGULARES SINGULARES Supóngase que el punto x = ecuación

( 1)

bo(x) y"

Xo

es un punto singular de la

+ b (X) y' + b 1

2

(X) Y = O

con coeficientes polinomiales. Entonces bo(xo) = O, así bQ (x) tiene un factor (x - xo) elevado a alguna potencia. Expresemos la ecuación (1) en la forma

(2)

y" +P(x)y'

+ q(x)y =

O.

Como x = XQ es un punto singular, y ya que p (x) y q (x) son funciones racionales de x, al menos una (o quizá ambas) de p (x) y q (x) tienen un denominador que contiene el factor (x - xo). Si x = Xo es un punto singular de la ecuación (2), Y si el denominador de p (x) no contiene el factor (x - xo) a una potencia mayor que uno, y si el denominador de q (x) no contiene el factor (x - xo) a alguna potencia mayor que dos, entonces x = xo se llama punto regular singular de (2 ). 345

http://carlos2524.jimdo.com/ Soluciones cerca de puntos regulares singulares

346

[Cap. 21

Si X = Xi) es un punto singular, pero no es un punto regular singular, entonces se llama punto irregular singular. EJEMPLO a): ecuación (3)

Clasificar los puntos singulares, en el plano finito, de la

+ 2)y" + x2y'

x (x - 1)2 (x

- (X3

+ 2x -

l)y = O.

Para esta ecuación

p(x) y

X

(x - 1Y(x

+ 2)

_ - (x 3 + 2x - 1) q(x) - x(x - 1) 2(x + 2)'

Los puntos singulares en el plano finito son X = O, 1, -2. Considérese x = O. El factor x está ausente del denominador de p(x) y aparece a la primera potencia en el denominador de q(x). Por tanto, x = O es un punto regular singular de la ecuación (3). Ahora considérese x = 1. El factor (x - 1) aparece a la segunda potencia en el denominador de p (x). Esta es una potencia mayor que la permitida en la definición de un punto regular singular. Por tanto, no importa la forma como aparece (x - 1) en q (x-); el punto x = 1 es un punto irregular singular. El factor (x + 2) aparece a la primera potencia en' el denominador de p (x) , justamente como es permitido por la definición, y tambi~n a la primera potencia en el denominador de q (x), entonces x = - 2 es un punto regular singular. En resumen, la ecuación (3) tiene en el plano finito los siguientes puntos singulares: puntos regulares singulares en x = O, x = - 2; un punto irregular singular en x = 1. Los métodos de la sección 125 mostrarán que (3) tiene también un punto irregular singular "en el infinito". EJEMPLO b ) : Clasificar los puntos singulares en el plano finito para la ecuación X4 (X 2 + l)(x - 1) 2y" + 4x 3 (x - l)y' + (x + l)y = O. Aquí

P(x)

4 X(X2

+

y

q (x)

4

1) (x - 1)

x 4 (x

x (x - i) (x

x+1 + i) (x - i) (x

+

- 1)2'

i)(x - 1)


Puntos regulares singulares

§ 104]

Por tanto, la clasificación deseada es: P.R.S. en x

= i, -

i, 1; P.I.S. en x

= O.

Los puntos singulares de una ecuación lineal de mayor orden son clasificados casi en la misma forma. Por ejemplo, el punto singular x = xo de la ecuación

y'"

+ Pl (X)Y" + P:2 (x)y' + pa(X)Y =

O

"-

se llama regular si el factor (x - xo) no aparece en el denominador de Pl(X) a una potencia mayor que uno, de P2(X) a una potencia mayor que dos, de pa(x) a una potencia mayor que tres. Si no es regular, un punto singular es irregular. Este capítulo está dedicado a la solución de ecuaciones lineales cerca de puntos regulares singulares. Las soluciones cerca de puntos irregulares singulares presentan mayor dificultad y serán tratadas ligeramente en el capítulo 23. EJERCICIOS

Para cada ecuación, localícense y clasifíquense todos sus puntos singulares en el plano finito. (Véase la sección 125 para el concepto de punto singular "en el infinito". )

1. Xl(X - 1)y"· + (x - 1)y'

+ 4xy = SOL.

2. X2(X 2 - 4 )y"

+ 2x y' + 3y = o.

O. P.R.S. en x = 1; P.I.S. en x = O.

3

P.R.S. en x = 0, 2, - 2; no hay P.I.S. No hay P.S. (en el plano finito). SOL. P.R.S. en x = O; no hay P.I.S. SOL. No hay P.R.S.; P.I.S. en x = o. 6. (X2 + 1) (x - 4 ) s.y" + (x - 4)V + y = o. SOL. P.R.S. en x = i, -i; P.I.S. en x = 4. 7. X2(X - 2)y" + 3( x - 2y' + y = o. SOL. P.R.S. en x = 2; P.I.S. en x = O. 8. X2(X - 4 )2y" + 3xy' - (x - 4 )y = O. SOL. P.R.S. en x O; P.I.S. en x 4. 9. X2(X + 2)y" + (x + 2)y' + 4y = o. 10. x (x + 3) y" + y' - y = O. 11. x 3 y" + 4y = o. 12. (x - 1) (x + 2)y" + 5(x + 2)y' + x2y = O. 13. · (1 + 4X2) y" + 6xy' - 9y = O. 14. (1 + 4X2)2y" + 6x ( 1 + 4X2 ) y' - 9y = o. 15. (1 + 4X2) V' + 6xy' - 9y = o. 16. (x - 1)2(X + 4 )2y" + (x + 4 )y' + 7y = O. 17. (2x + 1)4y" + (2x + 1)y' - 8y = O.

3. y" + xy = o. 4. x 2 y" + Y = O. 5. x 4 y" + y = O.

SOL.

SOL.

=

=



[Cap. 21

18. x'y" + 2x'Y + 4y = O. 19. Ejercicio 1, sección 101. 20. Ejercicio 2, sección 101. 21. Ejercicio 3, sección 101. 22. Ejercicio 4, sección 101. 23. Ejercicio 7, sección 101. 24. Ejercicio 8, sección 101. 25. Ejercicio 9, seCClOn 101. 26. Ejercicio 12, sección 101. 27. Ejercicio 13, seCClOn 101. 28. Ejercicio 14, sección 101. 29. Ejercicio 15, sección 101. 30. Ejercicio 16, sección 101. 31. Ejercicio 2, seCClOn 103. 32. Ejercicio 3, sección 103.

105.

ECUACIÓN INDICIAL

Como en el capítulo 20, siempre que deseamos obtener soluciones alrededor de cualquier otro punto que no sea x = O, trasladamos primero el origen a ese punto y procedemos entonces con la técnica usual. Por tanto, concentraremos nuestra atención a soluciones válidas alrededor de

x = O. Sea x = O un punto regular singular de la ecuación

(1 )

y"

+ P(x)y' +

q(x)y = O

donde p y q son funciones racionales de x. Entonces p (x) no puede tener en su denominador el factor x a una potencia mayor que uno. Por tanto

P(x) = r(x) x donde r(x) es una función racional de x y r(x) existe en x = O. Sabemos que tal función racional, esta r (x), tiene un desarrollo en serie de potencias alrededor de x = O. Existe entonces el desarrollo (2)

P(x)

=po X

+ Pl + pzx + P,3X + Z

válido en alguna región alrededor de x = O. Por un argumento similar encontramos que existe un desarrollo (3)

alrededor de x = O.


Ecuación indicial

§105]

Veremos de una manera formal que es razonable esperar que la ecuación (1) tenga una solución de la forma 00

y=

(4)

~

anXn+c = aox c + alx1+C+ a2x 2+C+

11 = '0

eligiendo apropiadamente la e y las an • Esto último será establecido en la siguiente sección. Si ponemosJas series para y, p (x), y q (x) dentro de la ecuación (1) Y consideramos solamente unos cuantos términos, obtenemos c(e - 1)aox C-2 + ( 1 + c)ealx C-l + ( 2 + e) ( 1 + e)a2xC+

+ [p; +Pl+P2X+ .. . J[eaoxC-l+ ( 1+e )alx c+ ( 2+e)a2x1+c+.

+ [;~ + ~ + qz + ... ] [aox c + alxl+C+ azx z+c + ... ]

.]

= O.

Efectuando las multiplicaciones indicadas, encontramos que tenemos e( c - 1)aoxC-2 + ( 1 + e )ealxC-l + ( 2 + e) ( 1 + e)a2x C+ .. + pocaox C-2 + [po ( 1 + e )al + PlcaOJXC-l + ... + qoaox C-2 +

[qoal

+ qlaOJxC-l + ...

= O.

Del hecho de que el coeficiente de x c- z debe anularse, obtenemos (5)

[e ( c - 1)

+ poc + qoJao

= O.

Podemos insistir que ao=1= O porque ao es el coeficiente de la potencia más baja de x que aparece en la solución (4), sin importar qué tan baja sea la potencia. Entonces, de (5) se sigue que (6)

e2 + (po - 1) e

+ qo =

O,

que se llama la ecuación indieial (en x = O) . La po y la q{J son constantes conocidas; la ecuación (6 ) es una ecuación cuadrática que nos da dos raíces, e = el y e = e2. Para distinguir entre las raíces de la ecuación indicial, denotaremos por el la raíz cuya parte real no es más pequeña que la parte real de la otra raíz. Entonces, si las raíces son reales, Cl 2 e2; si las raíces son imaginarias, Re (el) 2 R e(e2 ). Por brevedad llamaremos a el la raíz "grande" . Superficialmente, parece que debería haber dos soluciones de la forma (4), una para cada uno de los valores de e. En cada solución la ~ debería ser arbitraria y las a sucesivas deberían determinarse igualando ..--/



350

a cero los coeficientes de las potencias más grandes de x (x C-\ xc, xl+C, etc. ) en la identidad que está justamente antes de la ecuación (5). Esta conclusión superficial es correcta si la diferencia de las raíces Cl y C2 no es entera. Si la diferencia es entera, sin embargo, puede entrar un término logarítmico en la solución. Las razones para este extraño comportamiento se aclararán cuando desarrollemos un método para obtener las soluciones.

106.

FORMA Y VALIDEZ DE LAS SOLUCIONES CERCA DE UN PUNTO REGULAR SINGULAR

Sea x = O un punto regular singular de la ecuación

(1 )

y"

+ P(x)y' + q(x)y =

O.

,

Puede probarse que la ecuación (1) tiene siempre una solución general de la forma 00 00 y = A ~ anXn+Cl + B ~ bnxn+c, (2) n=O

n=O

o de la forma

y = (A

(3)

+ B In x)

00

~

anXn+c1

n=O

00

+B ~

bnxn+c,

n=O

en la que A y B son constantes arbitrarias. Más aún, se prueba que las series infinitas que se encuentran en las formas anteriores de solución convergen, al menos, en la región anular limitada por dos circunferencias centradas en x = O, una de radio arbitrariamente pequeño, extendiéndose la otra al punto singular (de la ecuación) más cercano a x = O.

107.

ECUACIÓN INDICIAL CON DIFERENCIA NO ENTERA DE RAfCES

La ecuación

(1 )

2xy"

+

(1

+ x)y' -

2y = O

tiene un punto regular singular en x = O Y ningún otro punto singular para x finita. Supongamos que hay una solución de la forma (2)

La sustitución directa de esta y en la ecuación (1) nos conduce a


Ecuación indicial con diferencia no entera de raíces

§107] ~

~

2 (n

+ e) (n + e -

~

+¿

1) anXn+c- l

(n

+ e) anX,,+C-l

n= (}

~

+~

(n

'"

e)anXMC - 2

+

110 = 0

~

anX n+c = 0,

110=0

o ~

~

(3)

(n

+ e) (2n + 2e -

1 )anXn+c- l

+

nd

~

~

(n

+e-

2)anxn+c = O.

nd '-.

Habiendo agrupado términos semejantes, corremos el índice de forma tal de traer los exponentes de x hasta el más pequeño presente. Esto lo hacemos para obtener una relación de recurrencia para an más bien que para an+l o alguna otra a. En la ecuación (3), reemplazamos el índice n en la segunda suma por ( n - 1), obteniendo entonces

(4) ~

~

(n

n=O

l)an x n+c- l

+ e) (2n + 2e -

~

+ n~- l

(n

+e-

3)an-lxn+c- l = O.

Una vez más razonamos que el coeficiente total de cada potencia de

x en el miembro izquierdo de (4) debe anularse. La segunda suma no comienza su contribución sino hasta n = 1. Por tanto, las ecuaciones para la determinación de e y las a son

n

= O:

e(2e - l)ao

n ~ 1: (n

= 0,

+ e) (2n + 2e -

1) an

+ (n + e -

3) an-l = O.

Ya que podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que ao ecuación indicial que determina e, es

(5)

*- 0, la

e(2e-1)=0.

La ecuación indicial siempre viene del término n = 0, cuando se ha empleado la técnica presentada en este libro. De (5) vemos que el = i y e2 = O. La diferencia de las raíces es s = el - e2 = i , que no es entera. Cuando s no es un entero, el método que estamos empleando nos da siempre dos soluciones linealmente independientes de la forma (2), una con cada elección de e. Volvamos a la relación de recurrencia empleando el valor e el i. Tenemos

= =

n ~ 1: (n

+ i) (2n + 1 n~l:

a,,=

1) a"

+ (n + ! -

3 ~ a"~l = 0,

_ 2 (n - 5) an-l 2n(2n + 1) •

\



[Cap. 21

Como de costumbre empleamos un arreglo vertical y formamos entonces el producto para obtener una fórmula para ano Tendremos llo

arb.

( -3)ao

2.3 ( -1 ) al

4·5 _ (1) a2

6·7

a" = -

(2n - 5)an-l 2n(2n 1) ,

+

así que el producto nos da, para n :2: 1, ( 6)

( -1 )"[( -3 )( -1)(1) ... (2n - 5)]ao n 1)]' a = [2 . 4 . 6 .. . (2n)] [3 . 5 . 7 ... (2n

+

La fórmula (6) puede simplificarse a la forma, _____-...:(~-_1.!.) n_,.:,..3a--=o---,--,--_ _ a" 2"n! (2 n - 3) (2n - 1) (2n + 1) ,

( 7)

Empleando ao = 1, la an de (7) ,. y el valor pertinente de e, el = podemos ahora escribir una solución particular. Esta es (8)

00

y1 =

xi

+ "~1 2"n ! ( 2n -

1 )" 3x"+! 3) (2n - 1)( 2n

i,

( _

+ 1) .

La notación y1 es para enfatizar que esta solución particular corresponde a la raíz el de la ecuación indicial. Nuestro siguiente objetivo será obtener una solución particular y2 correspondiente a la raíz más pequeña e2. Entonces, la solución general, si se desea, puede escribirse inmediatamente como y = AY1 + By2 donde A y B son constantes arbitrarias, Al volver a la relación de recurrencia que está justamente antes de la ecuación indicial (5) con la intención de usar e = e2 = 0, es evidente que las a serán diferentes de aquellas con e = el. Por tanto, es deseable cambiar de notación. Emplearemos las b en lugar de las a. Con


Ecuación indicial con diferencia no entera de raíces

353

e = 0, la relación de recurrencia se transforma en n ;;::: 1: n (2n .- 1) b.. + ( n - 3)bn-l = O. El arreglo vertical correspondiente es b o arb.

( -2) bo

1.1 ( -1) b1 2·3 _ ( O) b2 3·5

(n - 3)bn-l n ( 2n - 1) •

°

Entonces b.. = para n ~ 3, Y empleando bo = 1, b 1 Y b2 pueden calcularse, obteniéndose los siguientes valores b1 = 2 Y b2 = ~ b 1 = i. Entonces una segunda solución es (9 )

Ya que la ecuaCIOn diferencial no tiene otro punto singular que x = 0, en el plano finito, concluimos que las soluciones linealmente independientes yl de (8) Y y2 de (9) son válidas al menos para Ixl > O. La validez de (9) es evidente en este ejemplo particular porque la serie termina. El lector deberá asociar con cada solución la región de validez, garantizada por el teorema general de la sección 106, pensando desde ahora sobre las respuestas impresas a los ejercicios, donde hemos omitido la región de validez. EJERCICIOS

Para cada ecuación, obténganse dos soluciones linealmente independientes válidas cerca del origen. Establézcase siempre la región de validez de cada solución que se obtenga. 1. 2x(x - l ) y"

+ 3(x -

l )y' - Y = O. 00

SOL.

Yl = 1 -

~ 4 10=1

x" 2

n -

1; Y2 = x- i - xi.



354

2. 4xy"

+ 3y' -

3y = O. ( -3 )"xn+t

X· + "=ln!5.9.13 ~ ... (4n + ex)

Y1 =

SOL.

ex)

~ n! 3 .

Y2 = 1 + 3. 2X2(X

+ l ) y" + x (7x -

+Y= X + ~

1

( -3 )"x" 7 . 11 . . . (4n - 1)'

O.

l)y'

ex)

SOL.

Y1 =

.

1) '

1\

(-

1) "( 2n

+ 3) (2n + 5) x"+1 ;

n:::1

4. 2xy"

+ 5(1 + 2x )y' + 5y =

ex)

+!

Y2 = x;

(- 1) " (n +

~

ex)

+ 10xy' -

(1

+ x)y =

Y1 = 1 + ~1 n! (2n

3( -5 )"x"

+ 1) (2n + 3) ;

Y2 =

x-~ -

10x-;.

(4n

+ 3) ;

O. x"+.

ex)

SOL.

+ 2) xn+~ .

O.

SOL.

5. 8x 2y"

1) (n

Y1 = X~

+ ~1 2"n!7 . 11 . 15 ...

x"-i . "=12"n!I.5.9 ... (4n -3 ) ex)

y

6. 3xy"

+

- x-; +~

2(2 - x )y' - 2y = O.

ex)

Y1 = ' ,,=0 ~

SOL.

(3n + 4 )Xn+i 4 . 3"n.I

;

(n + l)x" . ,,=12 . 5 . 8 .. . (3n - 1) ex)

y -1+~ 2 -

7. 2x(x

+ 3)y"- 3 (x + l)y' + 2y = O. SOL. Y1 = >" + ":;1 3n-1(2n _ •

8. 2x2y" - x(2x

+ l )y' +

ex)

Y1 =

(1

1

X

ex)

+ 15 "=1 ~ + "=1 ~ ex)

xi

+ 4x)y =

O.

(2n

+ 3) (2n + 5 )Xn+1 . I

n. 1) (n

+ (1 -

Y2 2X2) y' - 4xy = O.

_11 X

+

'

2"-1 (n + + 2) xn+! . 1· 3 . 5 . . . (2n - 1)

h = xs + ~ X: ; 10 ( - 1 ) "x"-~ . ~13nn!(3n _ 5) (3n - 2) SOL.

_

10. 2xy"

.

+ 1) (2n + 3) ,

y2 = 1 +~x +iX2.

Y2 =

+ 3x(x + 3)y' -

-1) "+1xn+~ 1) (2n

(1 - 5x)y = O.

SOL.

9. 9x 2y"

(

ex)


Ecuación indicial can d iferencia no entera de ra íces

§107]

(2 - x)y' + 4y = O.
11. x(4 - x)y"

+

Xn+1

00

SOL.

13. 2xy"

+

+

Y2 = x-s

"

(1

n~l n! 7 . 10 . 13 ... (3n - 4) ;

Yl = X +

+ 2x)y' + 4y =

x1>-s

~

O.

= n=O ~

Yl

(1

+ 2x) y' -

5y = O.

I

n. -1) n2 n (n 1) X" •

;

+

Y2 = 1 + ~ . n=1 1. 3·5··· (2n - 1)
+

+ 3)xn+!

(-1)" (2n 3

SOL.

14. 2xy"

.

n! ( -1 ) . 2 . 5 .. . (3n - 4)

n=l

(

Y1 = Xl; + ~X! + l\X!; 15 ( -1) n+1 x" - 5) (2n - 3) (2n - 1)'

SOL.
15. 2x 2y" - 3x ( 1 - x) y'

Y2 = O.

+ 2y =

n~on!(2n 2

SOL.

+

Y1 = X

n =15 •
Y2 = x' 16. 2x 2y"

+ x(4x -

1) y'

+ 2 (3x -

+

+ ~1

+

1) n3 n (n 1) X"+2 • 7 ·9 .. . (2n + 3)

Y1

_ '" Y2 = X ,+ ~ d 2X2 )y' - xy = O.

=

_

~

(_

1) n2nxn+2 I

h = xl

2

2 ",;

2kx 2 k",.~

+ k;l 7 . 11 Y2

= x e-

n. ( -1 ) n4nxn-!! 3) ( - 1) . 1 ... (2n - 5)" n=O

SOu.

,

( _1 )n+l3 n (2n _ 1) xn+. 2nn! .

1)y = O. SOL.

17. 2xy" - (1

( -

~

=1+

. 15 . . . (4k

::1
x2k

2kk!

+ 3) ;

= exp (iX2) .

18. La ecuación del ejercicio 17 tiene una solución enteramente particular Y2 = exp (iX2) obtenida por el método de series. Hacer un cambio de la variable dependiente en la ecuación diferencial, usando y = v exp (iX2) (el artificio de la sección 84), y obtener entonces la solución general en "forma cerrada". 2 2 SOL. Y = Cl exp (ix ) + C2 exp (ix ) f3!! exp ( - if32) df3.

J:

En los ejercicios 19-22, usar el método de serie de potencias. ¿ Cuál es la causa de que las relaciones de recurrencia degeneren en relaciones de un término?


[Cap. 21


2x 2y" + xy' - )' = O. SOL. Yl = x; Y2 = X-!. 2x 2y" - 3xy' + 2y = O. SOL. Yl X2; Y2 xi. 9xV' + 2y = O. SOL. YI xi ; Y2 x'. 2x 2y" + 5xy' - 2y = O. SOL. YI x~ ; Y2 x- 2. 2 dy d y 23. Obtener - y - en términos de las derivadas de y con respecto dx dX2 a una nueva variable independiente t, relacionada con x por la ecuación/ = In x. 2 dx _ -2t dy d y _ - t [d 2y _ d y ]. S OL. dy - e dt' dX2 - e dt 2 dt 24. Aplíquese el resultado del ejercicio 23 para demostrar que el cambio de variable independiente de x a t, donde t = In x, transforma la ecuación * d 2y ax 2 + bx -dy + cy = O' dX2 dx 19. 20. 21. 22.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

108.

= = =

= = =

con a, b, c constantes, en una ecuación lineal con coeficientes constantes. Resolver los ejercicios 25-34 por el método implicado por el ejercicio 24; esto es, cambiando la variable independiente a t = In x. Ejercicio 19 Ejercicio 20. Ejercicio 21. Ejercicio 22. x 2y" + 2xy' - 12y = O. SOL. Yl = x 30 ; Y2 = x-4. 2 x y" + xy' - 9y = O. SOL. Yl = x 3 ,; Y2 = x-3 • 2 x y" - 3xy' + 4y = O. SOL. y = X 2(CI + c21nx). x2y" - 5xy' + 9y O. SOL. y X3 (CI + C21n x). 2 x 2y" + 5xy' + 5y O. SOL. y X - [CI cos (In x ) + C2 sen (In x ) J. (x 3 Da + 4X2 D2 - 8xD + 8) Y = O. Se necesita extender el resultado del ejercicio 23 a la tercera derivada, obteniendo s d 3y dJy d 2y dy X2 + C3 X-\ SOL. Y = CIX + C2 x dXl = dt 3 - 3 dt 2 + 2 dt .

= =

=

=

DIFERENCIACIÓN DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES

Consideraremos ahora la forma más eficiente de diferenciar un producto ' de funciones. Supóngase que

( 1)

* Una ecuación como la de este ejercicio, que contiene solamente términos de la clase cxkDky con e constante y k 0, 1,2,3, • . " se llama ecuación del tipo de Cauchy o del tipo de Euler.

=


Diferenciación de un producto de funciones

§108]

donde cada una de las u es una función del parámetro e. Supóngase que indicamos la diferenciación con respecto a e con apóstrofos. Entonces de + In Un In u = In Ul + In U2 + In U3 + se sigue que

+ U'n. Un

Por tanto

u'n} +. Un

(2)

Entonces, para diferenciar un producto podemos multiplicar el producto original por un factor de conversión (que convierte al producto en su derivada) que consiste en la suma de las derivadas de los logaritmos de los factores separados. Cuando los factores involucrados son, ellos mismos, potencias de polinomios, hay una manera conveniente de formar mentalmente el factor de conversión. Ese factor es la suma de los factores de conversión de las partes individuales. Sabemos que para diferenciar una potencia de una cantidad se multiplica el exponente, la derivada de la cantidad original, y la cantidad misma con su exponente disminuido en una unidad. Por tanto, si

y = (ae entonces

dy

+ b )\

{ka} +b '

de = y ac

la división entre (ae EJEMPLO

a) :

+ b)

Si U

=

convierte (ac

+ b) " en

( ae

+ b) k-1.

+ 1) (4e - 1) 3( 7e + 2 )6 2

c (e

entonces du de =

{2 U

e+ e +1 1 -

12

4e - 1 -

7e

42 }

+2

.

Nótese que los factores del denominador en la función u se interpretan como factores del numerador con exponentes negativos EJEMPLO

b) :

Si

e+n

y = e(c

+ l)(e + 2)

... (e

+n

- 1)


358

[Cap. 21

entonces

~~ = EJEMPLO

y

t!

e):

n -

!

~-

e

+

2)(e

1- e

!

_1_¡}. e+n-

2- .

Si W

= [(e

+

3) ... (e

+

n

+

1)]2'

entonces

109.

ECUACIÓN INDICIAL CON RAfCES IGUALES

Cuando la ecuación indicial tiene raíces iguales, el método de la sección 107 no puede damos dos soluciones linealmente independientes. El trabajo con un valor de e puede ser una repetición del que hagamos con el otro valor de e. Se necesita un nuevo procedimiento. Considérese el problema de resolver la ecuación x 2y"

( 1)

+ 3xy' + (1

- 2x) y = O

alrededor del punto regular singular x = O. Las raíces de la ecuación indicial pueden volver a ser iguales, pero podemos prever este caso poniendo la ecuación indicial como se desarrolló en la teoría de la página 349. Aquí 3 1 - 2x P(x) = - , q (x) = 2 , X

X

= 3 Y qo = 1. La ecuación indicial es c + 2e + 1 = 0, el = e2 = -1.

de tal forma que

po

2

con raíces Cualquier intento de obtener soluciones haciendo

(2)

=

en la ecuación ( 1) implica, ciertamente, forzamos a elegir e -1 Y por tanto obtener solamente una solución. Sabemos entonces que no debemos elegir e aun cuando queramos obtener dos soluciones. Pongamos entonces la y de la ecuación (2) en el miembro izquierdo de la


Ecuación indicial con raíces iguales

§109]

ecuaclOn ( 1) Y tratemos de acercamos lo más posible al resultado de que el miembro izquierdo de la ecuación sea igual a cero, sin elegir c. Es conveniente tener una notación para el miembro izquierdo de la ecuación ( 1); emplearemos L (y) = x 2y" + 3xy' + (1 - 2x)y. ( 3)

Para la y de la ecuación (2) encontramos que "~

L (y)

~

= n=O ~ (n + e) (n + e -1

)anXn+c + ~ 3(n

~

+ ~ anXn+c ,,=0

+ c)anX

1HC

n=O

~

2anXn+c+1,

~ .. =0

de lo que ~

L (y) =

~

[(n

+ C)2 + 2(n + e) + 1]a xn+c n

.. =0

~

~

2anxn+c+1 •

n=O

Las simplificaciones usuales nos conducen a ~

(4)

L (y) =

~ ,,=0

(n

+ e + 1)2a..xn+c -

~

~2an-:1X"+c. ,,=1

Recordando que la ecuación indicial proviene de hacer el coeficiente del término n = 0, igual a cero, trataremos a propósito de evitar que ese término se anule por lo pronto. Eligiendo las a y dejando e como un parámetro podemos hacer que se anule cada término en L (y) excepto el primero. Entonces, igualamos a cero cada coeficiente, excepto para el término n = 0, de las diferentes potencias de x en la derecha de la ecuación (4); por tanto tenemos (5)

n ~ 1:

(n

+ e + 1)

2

a" - 2an-l = O.

La aplicación sucesiva de la relación de recurrencia (5 ) determinará cada an , n ~ 1, en términos de ao y c. En efecto, del arreglo

2ao

al = (e

+ 2)2

2a1 a2 = - - - (e + 3)2

2an-l

a - ------::-. n -

(e

+ n + 1)

2'

se sigue, por el usual artificio de multiplicación que


Soluciones cerca de puntos regulo res singulares

360

n

> -

2"ao

1: a" = - - - -------..:--- - -- [( C + 2 )( c + 3 ) ... ( c + n + 1) ]2'

Para llegar a una solución específica, elijamos ao = 1. Empleando las a determinadas anteriormente, escribimos una y que es dependiente tanto de x como de c, por ejemplo,

y ( x, c) =

(6 )

XC

+ ¿""

a" ( c ) x M

C ,

n= l

en la que

(7 )

n

2" ~ 1: a,, ( c) = [( c + 2 )( c + 3 ) . .. (c + n + 1 ) ]2'

La y de la ecuación (6) ha sido determinada en tal forma que la y del miembro derecho de la ecuación (4) deberá reducirse a un solo término, el término n = O. Esto es, para la y (x, c) de la ecuación (6), tenemos (8)

Una solución de la ecuación diferencial original es una función y para la cual L (y) = O. Ahora vemos porqué la elección c -1 nos conduce a una solución i esta elección hace que el miembro derecho de la ecuación (8) se anule. Una consecuencia automática de la igualdad de las raíces de la ecuación indicial es que el factor (c + 1) se encuentre al cuadrado en la ecuación (8). Conocemos del cálculo elemental que si una función contiene una potencia de un cierto factor, dependiente de c, entonces la derivada con respecto a c de esa función contiene el mismo factor a una potencia disminuida en una unidad con respecto a la original. Para la ecuación (8) en particular, la diferenciación de cada miembro con respecto a c nos da

=

(9)

oOcL[y (x,C )] = L[OY( ;;C )] = 2(c

+ l )x + C

(c

+

1)2x C l nx,

el miembro derecho contiene el factor (c + 1) a la primera potencia, en la forma como indicaba el teorema citado anteriormente. En (9), el orden de las diferenciaciones con respecto a x y c fue intercambiado. Esta ecuación (9) puede verificarse directamente sustituyendo las soluciones (13) y (14) que se encontrarán más adelante. Esta verificación es directa, pero es larga por lo que se omite aquí. Puede verse, de las ecuaciones (8) Y (9) que las dos soluciones de la ecuación L (y) = O son


Ecuación indicial con raíces igua les

§109]

yI

=

[y (X, C)JC=-I

= y (X,

- 1)

y

yz -- [oy( X, C)] oc C=-1 ya que c = - 1 hace que el miembro derecho de las ecuaciones (8) Y ( 9) se anule. Que yl y yz son linealmente independientes se hará evidente más adelante. Tenemos '( 6)

y ( x, c ) = XC

+

co

~

,, =1

a" ( c ) x"+c

y necesitamos oy (x, c)/oc. De (6) se sigue que

oy(x c) -"-.-,-:--,-'---'- = XC In x oc

+

ce

~

a" ( c ) x"+C In x

+

n=l

ce

~

a'" ( c ) x"+c,

,,=1

lo cual se simplifica de inmediato a la forma

(10)

oy(x c) , = y(x,c) lnx oc

+

'lO

~

,.=1

a',,(c)x1>+c.

Las soluciones yl y y;¡ se obtendrán haciendo c = -1 en las ecuaciones (6) Y (10); esto es co

+ ,,=1 ~ a" ( -1) x"-\

( 11 )

yl =

( 12)

yz = ydn x

;el

+

ce

~

a'" ( -1 ) x"-\

n::::l

Por tanto, calculamos a,, (c) y a',, (c) en c = -1. Sabemos que

2" a,, (c ) = [(c +2) (c+3) ... (c+n+ 1))2 de donde por el método de la sección 108 obtenemos inmediatamente

a'n (C) = -2an (c) {_1_ c+2

+ _1_ + ... + c+3

1 }. c+n+l

Usamos ahora c = - ,1 para obtener

2"

a" ( - 1) = (n!) z y

a'n ( -1 ) = -2 . ~ {1 (n!)Z

+ i + i + ... + l}. n

Una notación frecuentemente empleada para una suma parcial de la serie armónica que es útil aquí es


[Cap. 21


H"

= 1 + !2 + !3 + ... + !n = k=lk ~ !..

Podemos ahora escribir a',,( -1) en forma más simple como

, 2"+1H,, a,,( - I) = - (n!)2' Finalmente, las soluciones deseadas pueden escribirse en la forma

yl = x-

(13)

1

ca 2 "xn-l

+ n=l ~ - 1) ( n. 2

Y (14) La solución general, válida para toda x finita diferente de cero, es

y = AY1

+ BY2,

donde A y B son constantes arbitrarias. La independencia lineal de y1 y y2 se hace evidente por la presencia de In x en y2. En detalle, Xy1 tiene' un desarrollo en serie de potencias alrededor de x = 0, pero Xy2 no lo tiene, entonces no pueden ser proporcionales. El examen del procedimiento empleado para resolver esta ecuación diferencial muestra que el método no depende en ninguna forma de los coeficientes específicos excepto en que la ecuación indicial tiene raíces iguales. Esto es, el éxito del método es debido al hecho de que eltérmino n = en L(y) contiene un factor al cuadrado. Cuando la ecuación indicial tiene raíces iguales, e2 = el, las dos soluciones linealmente independientes aparecen siempre en la forma

°

yl =

XCI

ca

+

~

anX1l+Cl,

"=1

y2 = y1ln x

+

ca

~

b nX1l+ Cl,

n=l

donde el, a", b.. dependen de los coeficientes de la ecuaciÓn particular que se vaya a resolver. EJERCICIOS

Obténganse dos soluciones linealmente independientes válidas alrededor de x = 0, a menos de que se indique otra cosa. 1. x 2 y" - x(l

+ x)y' + y =

O. ca

SOL.

xn+l

Y1 = ~ n=O

= xe rz • Y2 = Y1 In x -

n!'

ca

~

.. =1

H ,.xn+1 - -- o n!


Ecuación indicial con raíces iguales

§109]

3. x 2y"

+ x(x -

3)y'

+ 4y = o. 00

Y2 = Y1 In x

4. x 2y"

+ 3xy' +

(1

+ 4X2) y =

+

(_

h = ~

SOL. 00

( _

~

"=0 1) "+1[n

+

1 ) " (n

+ 1) X"+2

,

n. (n + 1) H n]xn+2

,

n.

11=1

;

.

O.

(-1 ) "X2k--1 (k')2 ; "=0 . 00 ( -1 ) "H"X 2k--1 Y2 = Y1 Inx - k=1 ~ (k'• )2 . 3y = O. 00

Y1 = ~

SOL.

5. x(l

+ x)y" +

(1 +5x )y' SOL.

+

Y1 = 1 +

-i

00

~

(- 1) "( n

+ 1) (n + 2) xn;

00

Y2 = Y1 lnx - i(y~ - 1)

+ -i ~

(-1 )"( 2n

+ 3)x".

6. xy" + y' + xy = O. Ésta se conoce como la ecuación de Bessel sIe índice cero. Se encuentra frecuentemente tanto en matemáticas puras como en aplicadas. (Véanse las secciones 117 y 118.) 00 ( -1 ) kX2k SOL. h = ~O 22k( k! ) 2 ; 2 _ 00 ( _1 )"H"x 2k Y - y¡ln x - k-;l 22"( k!) 2 • 7. x 2y" - x(l + 3x )y' + (1 - 6x) y = O. 00 3"(n + 1) (n + 2 )x"+l SOL. Y1 = ~ . n=O 2 . n! ' 00 3n (n + 1) (n + 2) (Hn+2 - 2Hn - 1 )X7H1 Y2 = Y1 lnx + ~ 2· n! . n=l

8. x2y"

+ x(x -

9. x(x - 2)y"

l )y'

+

+ 2(x SOL.

Y1

(1 - x )y = O. l )y' - 2y = O.

=1-

x; X2

=h

In x

+f •

00

t" -

+ 1 )x" ( n n - 1)

(n

~ 2n

11=2

•

10. Resuélvase la ecuación del ejercicio 9, alrededor del punto x = 2. SOL . Y1 = 1 + (x - 2) ;

Y2 = Y1 In (x _ 2) _ ~ (x _ 2) _

i; (- 1 ) 11=2

(n + 1) (x - 2) n 2n n(n - 1) •

n

http://carlos2524.jimdo.com/ Soluciones cerca ae puntos regulares singulares

364

[Cap. 21

11. Resolver alrededor de x = 4: 4(x - 4)2y" + (x - 4) (x -8 )y' + '" (-l )"(n + 1) (x _ 4)'Hl + xy = O. SOL. YI = ~ 22 " , ; n=O n. ~ (- 1) "( n + 1) (H 11-+1 - 2H" - 1) (x - 4) ,,+1 • Y2 = Yl In (x - 4) + ~ "=1 22"n ! 12. xy" + (1 - X2)y' - xy = O. '" 1· 3 . 5 . . . (2k - 1) X2k SOL. h = 1+ 22k(k!) Y2 = YI In x

el

'" 1 . 3 . 5 ... (2k - 1) {1 + k~l 13. Demuéstrese que 1

2

+ i + .. . + 2k ~

;

1 - Hk} X2k

(2 2k (k!)2

+ %+ .! + ... + __ 1_ = 2k - 1 5

H 2k - !Hk

Y aplicar el resultado para simplificar la fórmula para Y2 en la respuesta al ejercicio 12.

+ X(3 + 2x ) y' + (1 + 3x ) y = O. Al simplificar Y2 empléese la fórmula dada en el ejercicio 13. -1 '" (-1)"1 . 3 . 5 ... (2n 1) X1>-l . SOL. Yl = X + "~1 (n1)2 '

14. x2y"

'" ( -1)"1 . 3 . 5 ... (2n - 1) (2Hz" - 3H,,)X1>-1 1 ( n! ) 2 •

+~ 15. 4x2y" + 8x (x + l )y' + Y = o. _! oc ( -1 ) ,,[ ( -1) SOL. Yl = + n~1 '" Y2 = Yl In x + ~ ,,=1 Y2 =

YI

In x

X

. 1 . 3 . 5 ... (2n - 3) ]x-! . ( n! ) 2 ,

( - 1 ) "[ ( - 1) . 1 . 3 . . . (2n - 3)]( 2H 2,,-2 (n !) 2

16. x2y"

+ 3x(1 + x)y' +

( 1 - 3x)y

= O.

-

H "-1

SOL.

-

2H" - 2) x"-! •

Y1

= x- + 6 + íx; 1

81 '" 2( -3 ) "X"-l Y2 = Y1Inx -1 5--¡-x+ ,,=3n.nn ¿ '( -1 )( n -2)' 17. xy"+ (l - x )y' -y=O. '" x" Y2 = Y1 lnx _ ¿'" H x" SOL. Y1 1+ ¿ eX; 11=1 n. n~l n. 18. Con respecto al ejercicio 17 anterior. Se encontró que una solución es Y1 = eX. Úsese el cambio de variable dependiente, y = ve", para obtener la solución general de la ecuación diferencial en la forma

=

,=

_n_, .


no.

ECUACIóN INDICIAL CUYA DIFERENCIA DE RAfCES ES UN ENTERO POSITIVO, CASO NO LOGARíTMICO

Considérese la ecuación

xy"

(1 )

(4

+ x)y' + 2y =

O.

Como se acostumbra, supóngase que L(y) es el primer miembro de (1) Y hágase
Y = ,¿

(2)

110=0

De inmediato encontramos que para la y de la ecuación (2), el miembro izquierdo de la ecuación (1) toma la forma
L (y) = ~ [( n

+ c) (n + c -

1) - 4 (n

+ c)] anXn+c-

l

n=O 00

- ,¿

(n

+c-

2) anXn+c

n=O

o 00

L(y)

,¿ (n

+ c)(n + c -

00

5) anxn+c-l

-

n=O

,¿ (n

+c-

3)an_1Xn+c-l.

'n =l

La ecuación indicial es c( c - 5) = 0, así que Cl

= 5,

C2

= 0,

S

= Cl -

C2

= 5.

Razonamos que podemos esperar dos soluciones en serie de potencias, una que principie con un término X O y la otra con uno x 5 • Si usamos la raíz mayor c = 5 y tratamos con una serie

es evidente que podemos obtener cuando más una solución; el término X O nunca intervendrá en ella. Por otra parte, si usamos la raíz menor c = 0, entonces una solución al tanteo de la forma

tiene la oportunidad de incluir ambas soluciones ya que el término n = 5 (n = s) contendrá a x 5 •


366

[Cap. 21

Si S es un entero positivo, emplearemos una serie de la forma (2) usando la raíz menor C2. Si ambas, ao y as vuelven a ser arbitrarias, obtendremos la solución general por este método. De otra manera la relación que determinaría a as sería imposible (con nuestra suposición usual de que ao =1= O) y la solución general involucraría un logaritmo como en el caso de raíces iguales. El caso logarítmico será tratado en la sección siguiente. Volvamos ahora al problema numérico. Usando la raíz menor e = 0, sabemos que para

(3 ) obtenemos 00

00

n=O

n= l

¿ n (n - 5)anxn-l - ¿ (n - 3)an_1Xn-l.

L (y)

Por tanto, para hacer que L(y) = 0, debemos tener n

= O:

n

~

O· ao = 0, ( ao arbitraria),

1: n (n - 5 ) an -

(n - 3 ) an-l = O.

Ya que la división entre (n - 5) no puede llevarse al cabo a menos que n > 5, es mejor escribir las relaciones separadas para cada una de las n. Obtenemos por tanto

+ 2ao = 0, - 6a2 + al = 0, -6as + O· a2 = 0,

n = 1: - 4al

n = 2: n = 3: n = 4: -4a4 - as = 0, n = 5: as - 2a4 = 0, ( n - 3) an-l n ~ 6: an = n (n-5 ) .

°.

....:......-,--~-

Se sigue de estas relaciones que al = !ao, a2 = ial

= l\aO,

as = 0,

a4 = 0, O· as = 0, así as es arbitraria. Cada una de las an , n

> 5,

se obtendrá de la as.


Casa no logarítmico

§110]

Se encuentra en la forma acostumbrada que a6 =

3as

6.1' 4a6

a7 = - -

7 . 2' (n - 3 ) a"-l n (n-5) ,

de lo que 3· 4 . 5 ... ( n - 3) as _ 3 . 4 . 5as - - --::--,---:------,-:--:------=-...,....-: [6·7·8 . . . n]( n-5)! (n-2)(n-1)n (n-5)!'

_ a" -

Por tanto, con ao y as arbitrarias, la solución general puede escribirse como

( 1 + 1X 2 y - ao

+ i21 X 2) + as [ x 5 ,,"~":s(n

60x" ] _ 5) !n (n - 1)(n - 2) .

El coeficiente de as puede escribirse también con un corrimiento de Índice en la forma mostrada en seguida

60x"+s

ex)

n~o n! ( n + 5)(n + 4) (n + 3)' Antes de proceder a hacer ejercicios, examinemos una ecuación en la que no se encuentra la situación afortunada de que ao y as son arbitrarias. Para la ecuación

(4)

x2y"

+ X (1 -

x) y' - ( 1 + 3x) y = O

el tanteo nos conduce a ex)

L (y) = ¿ (n n=O

+ e + 1) (n + e -

ex)

1)anx"+c -

¿ (n + e + 2)a"_lx1l+c. ,n :!: l

Ya que el = 1 Y e2 = -1, empleamos e = -1 Y encontramos las relaciones n ~ 1: n (n - 2)a" - (n + 1)a"-1 = O, donde ao es arbitraria. Escribamos ahora las relaciones para las n diferentes )


368

[Cap . 21

n = 1: -a1 - 2ao = O, n = 2: O . a2 - 3a1 = O, _ ( n + 1 )an-1 . n ~ 3: an n(n - 2)

Se sigue que a1 = -2ao, O . a2 = 3a1 =

- 6ao.

Estas relaciones no pueden satisfacerse excepto eligiendo ao = O. Pero, si esto se hace, a2 será la única constante arbitraria y la única solución que se obtendrá del trabajo será la correspondiente al valor mayor de e, e = 1. Este es un caso donde se indica una solución logarítmica. La ecuación será resuelta en la sección siguiente. Una buena manera de desperdiciar tiempo es usar ao = O, a1 = O Y a2 arbitraria para determinar an, n ~ 3, de la relación de recurrencia anterior. En esta forma se puede hacer trabajo extra para obtener una solución, la cual se reobtendrá automáticamente al resolver la ecuación por el método de la sección siguiente. EJERCICIOS

Obténgase la solución general cerca del punto x = O excepto cuando se estipule otra cosa. Establézcase la región de validez de cada solución. 1. x 2y" + 2x(x - 2)y' + 2(2 - 3x)y = O. 6 ( 2)n-3 Xn+1] 4 SOL. y = a~ (X - 2X2 + 2X3) + aa x + ~4 n! . 00

[

+

2. x2(1

2x)y"

+

2x(1

+ 6x)y'

- 2y = O. y = ao(x-2 - 6x-1

SOL.

+ a3 [x + /0 ~4

(_2)n-3(n

+ x(2 + 3x)y' -

3. x2y"

SOL.

4. xy" -

(3

2y = O. 2 y = ao (X- - 3x-1 +~)

+ x) y' + 2y = SOL.

+ a3

[

x

+

00

~

+

2) (n

+

+ 24)

l )xn-2].

2 ( -1) n-33n-2xn-2] I

.

n.

11=4

O.

y = ao( 1 +

2

:¡X

+ ¡¡X + 1

2)

a4

~ 24 (n -

¿.

,

3) x1I

11=4 n. 4y = O. SOL. y = ao(x- 4 + 4x- 3 + 5X-2) + a4 ( 1 + ix + ~X2). 6. Resuélvase la ecuación del ejercicio 5 alrededor del punto x = -1. SOL. Y = ao[1 + (x + 1) + i(x + 1) 2] +

5. x(1

+ x)y" +

(x

+ 5)y' -

a

00

+ l;n~5

( n - 4) (n - 3) (n

+ 1)(x + l )n.

http://carlos2524.jimdo.com/ Caso logorítmico

§ 111 ]

7. x2y"

+ x 2y'

369

- 2y = O. y = ao( x-1 - t )

SOL.

8. x( 1 - x )y" - 3y'

+ 2y =

SOL.

O.

Y = ao(1 +!x

00

+ -kx2) + a.

~

(n - 3)xn.

n=4

9. Resuélvase la ecuación del ejercicio 8 alrededor del punto x = 1. Y = ao[ (x - 1)-2 + 4(x - 1 )-1] + ~[1 + Hx - 1 ) + Hx - 1)2]. 10. xy" + (4 + 3x )y' + 3y = O. 00 (_ 3 ) n-3 x n-3 SOL. y = ao(x-3 - 3x- 2 + ~X-1) + 6a 3 ~ I n=3 n. 11. xy" - 2(x + 2 )y' + 4y = O.

SOL.

y = ao(1 + x + -kx2 (3 + 2x )y' + 4y = O.

SOL.

12. xy"

+

00

+ a s ,,~s (n

60 . 2n - sx" _ 5) !n (n _ 1) (n _ 2) •

SOL.

13. x(x SOL.

+ 3 )y" -

9y' - 6y = O.

00 ( + ~2 - 17x 3) + a. [ x4 + ~~s 2(2 + x)y' + 8y = O.

Y = ao( 1 - ~x

14. x ( 1 - 2x)y" -

+

1) n ( n 1) X"] 5 . 3 " -4 .

00

Y = ao(1+2x+2x2) +-kas ~ 2n--7(n_4 ) (n-3 ) (n+ 1)x n • ,,=5 (x 3 - 1) y' + x 2y = O.

SOL.

15. xy"

+

00 ( -1 ) kX3k [ 00 ( 1) kX3k+2 ] Y = aOk~O 3kk! + a2 X2 + k~15. 8.11 .. . (3k + 2) 16. x 2(4x - 1)y" + x(5x + 1)y' + 3y = O. ... (4n-7 )xn-1J SOL. y -_ ao(x- 1- 1 ) + a4 [ ~. ..3- + 12~13.17.21 ~ ,,=5 (n - 4) ! . n (n - 1)

SOL.

111.

ECUACIóN INDICIAL CUYA DIFERENaA DE RAíCES ES UN ENTERO POSITIVO; CASO LOGARITMICO

En la sección precedente examinamos la ecuación

(1)

x"l. y"

+

X

(1 - x) y' - (1

+ 3x) y =

O

y encontramos que su ecuación indicial tiene raíces C1 = 1, C2 = -1. Ya que no hay solución en serie de potencias que principie con XC" sospechamos la presencia de un término logarítmico y principiamos a tratar la ecuación de la manera que lo lúcimos en el caso logar~ltmico previo de raíces iguales.


370

[Cap. 21

De la forma supuesta n=O

determinamos fácilmente el miembro izquierdo de la ecuación ( 1) 00

L (y) = ~ (n

+e+

1) (n

+e-

1) ClnX n+c -

n=o

00

~

(n

+ e + 3) a nXn+C+1

(n

+ e + 2 ) a n_1Xn+c •

n=O

00

= ~ (n

+e+

1) (n

+e-

1) anXn+c

00

-

~ u =l

Como es común, cada término después del primero en la serie para L (y ) puede hacerse cero eligiendo la an ) n ~ 1, sin hacer una elección de la e. Hagamos entonces

n

. 1. > -

aro --

(n + e + 2 ) a (n+e+1 )( n+e-1 ) '

n- 1 --~----"----

de lo que se sigue inmediatamente que n~1:

an = (e

[(e

+ 2) (e + 3 )

+ 3 ) ( e + 4) . . . (e + n + 2) a o · (e + n + 1)][e (e + 1)·

(e

+n-

1)]'

o

>1

n -

:

an

= (e

(e + n + 2) ao + 2 )[e ( e + 1) . . . (e + n

- 1) J'

Para la a n obtenida en esta forma, todos los términos después del primero en la serie de potencias para L (y) se han hecho cero, entonces

( 2)

Y=

aox C

(e + n + 2) a ox n +c + n~=l ----:,...,.--::-~~,------"-~----,.-,--::(e + 2) [e ( e + 1) . . . (e + n - 1) ] 00

y deberá seguirse que ( 3)

L (y ) = ( e + 1) (e - 1) a ox c •

,

De la raíz grande, e = 1, sólo se puede obtener una solución. De la raíz más pequeña, e = - 1, se pueden obtener dos soluciones siguiendo la técnica de usar y (x) e) y ay ( x) e) / oe como en el caso de raíces iguales si el miembro derecho de (3) contuviera el factor ( e + 1) 2 en lugar de (e + 1) a la primera potencia. Sin embargo, a o todavía es arbitrario de tal forma que podemos tomar ao

= (e

+

1)

para obtener el factor cuadrado deseado en el miembro derecho de la ecuación (3) .


Caso logarítmico

§ 111]

Otra forma de ver que la elección deseable es ao = (e + 1) es como sigue. Sabemos que eventualmente se hará necesario usar e = - 1 en la ecuación (2). Dentro de la serie, sin embargo, el denominador contiene el factor (e + 1) para todos los términos después del término n = 1. No obstante, como lo indica la ecuación (2), los términos para n ¿ 2 podrían no existir con e = -1. Por tanto, quitamos el factor problema (e + 1) del denominador eligiendo ao = (e + 1). Con ao = (e + 1) tenemos (4)

y(x, e) = (e

+ 1)xC +

'"

~ n=l

1) (e + n + 2) xn+c 2) [e (e + 1) . . . (e + n - 1)] (e

(e para la cual (5)

+

L[y(x,e)] = (e

+

+

1)2(e -1)x c •

El mismo argumento que se empleó cuando la ecuación indicial tenía raíces iguales demuestra ahora que las dos soluciones linealmente independientes pueden obtenerse como y1 = y(x, -1),

(6) y

y2 -_ (oy(x,e))

(7)

oc

. C=-l

Naturalmente, es prudente cancelar el factor (e + 1) del numerador y el denominador en los términos de la serie en (4). Por otra parte, el factor (e + 1) no interviene en el denominador sino hasta el término n = 2; entonces, parece mejor copiar los términos que aparecen ahora separadamente. Representamos la ecuación (4) como (8)

y (x, e) = (e

+ ex>

1) XC

+ \~3 (e

+

(e

+

1) (e + 3) X1+C (e + 2)e

+

(e + 4) X2+C (e + 2)e

+ n + 2) x n +c + 2)e[(e + 2)(e + 3) ... (e + n -

+

(e

1)]"

Diferenciando con respecto a e los miembros de la ecuación (8) se obtiene


(9)


oy ( x, e) -,-,:,--"":'" = y ( x, e ) In x oc

[Cap. 21

+ XC

+ (e + 1) (e + 3) Xl+ {_1 _+ _1_ __1__ ~} (e + 2 )e e + 1 e +3 e +2 e ( e + 4) X 2+C { 1 1 1} + (e + 2)e c + 4 - c + 2 - ~ C

00

+~

n=3

1 _~_(_1_+_1_+ ... +

1

(c+n+2)xn+c{

c +n+2 e+2 c c+2 c+3 (e + 2) c[ (e + 2) ( c + 3) ... ( e + n -

1 )}

c+n -1

1]

Todo lo que falta es obtener yi y y2 usando c = -1 en las expresiones anteriores para y ( x, e) y oy ( x, c) j oe. En el tercer término del miembro derecho de la ecuación (9) insertamos primero (mentalmente) el factor (~ + 1) en la cantidad que se encuentra entre llaves. Se encuentra que las soluciones deseadas son yi = O . x-

i

+ O . XO

(n

00

+ '~3

3x

-

(

+ 1) xn-1

-1 ) [1 . 2 .. . ( n - 2) 1

y y2 = ydn x

00

+ n~3

+ x- i - 2xo - 3xU - 1+ 1} + ( n + 1) xn-1 {_1_ - 1+ 1 - (1 + i + ... + _ . _1_)} n+1 n-2 ( -

)

[1 . 2 . . . ( n - 2)]

.

Estos resultados pueden escribirse más brevemente como a continuación se indica: 00 ( n + 1) xn-1 ( 10) yi = - 3x -:¿ ( _ 2) I n=3 n . Y

( 11 )

-

1

y2 - y1 n x

+ x -1 -

2-

x

_~ [ 1- ( n+l ) Hn_2]xn-1

-'"

n= 3

(

_ 2)

n

I

.

.

También es posible absorber un término más en la suma y mejorar la apariencia de estos resultados. El lector puede demostrar que yi = -

00

~

( n + 3 ) x n +1 -'----:--'- n!

n =O

y

- yi 1n x

Y,2 -

+x

-1

-

2-

~ [ 1- ( n+3)Hn]xn+i

~ n= O

,

n.


Coso logarítmico

373

donde se han usado las convenciones comunes (definiciones) H o = O Y 01 = l. La solución general de la ecuación diferencial original es

y = AY1

+ BY2,

Y es válida para toda x finita diferente de cero ya que la ecuación diferencial no tiene otros puntos singulares en el plano finito. La manera de pasar de la ecuación (4) a la (8) deberá usarse regularmente en este tipo de ecuación, con este tipo de solución. Sin el uso de este paso se encontrarán formas indeterminadas que pueden causar confusión. Un punto esencial en este método es la elección ao = (c - Cl!) donde C2 es la raíz más pequeña de la ecuación indicial. EJERCICIOS

Encuéntrense las dos soluciones linealmente independientes válidas alrededor de x = 0, a menos de que se indiqúe otra cosa. 1. xy"

+ y = o.

co ( -1 ) 1IX" Y1=}; ' 11=1 n. ( n - 1)1; . 11 x _ ~ ( -1 )",( H n + H"(1 )X • 11=2 n.(n - 1) .

SOL.

Y2 = Y1 in x

2. x 2y" - 3xy'

+

(3

+ 4x)y =

+ 1+ O.

(-1) 1I+l411 xn+1 n=2 n.' ( n - 2) ., ; co

y¡ =};

SOL.

Y2 = Y1ln x

3. 2xy"

+ 6y' + Y =

+ Y1 + X + 4X2 +

~ (-4) n(Hn

+ H,,-2) Xn+1. n!(n - 2)!

11 =2

O.

co ( -1 ) 11+lxn-2 Y1 = 211 n! (n - 2) ! ; co (-1)n(H + H -'2)X 2 1I n Y2 = y¡ In x + Y1 + x- 2 + ix-1 + }; 211 n !(n - 2) ! n=2 4. 4x 2y" + 2x(2 - x)y' - (1 + 3x)y = O.

"';2

SOL.

1l

x"-!!

co

SOL.

Y1 = 11_1 ~

+ x) y' +

SOL.

Y1

= }; co

11=a

+ X2

Y2 = Y In x + '!'y 1

<

1

_ x3 + .:!x4 2

(n _ 1) ·

H

co

5. x 2y" - x( 6

211 1

+ 2x-?¡ - 11;2 211-1t~1.

Y2 = y¡ In x lOy = O.

+

~ [1 - (n 11=3

-

I ;

•

_

X 1l- '

~ ) !.

(n + 1) xn+2 2 (n - 3)! '

.

+ 1 ) Hn_3]Xn+~

2 (n - 3) !

. '


374

[Cap. 21

6. x2y" + xy' + (X2 - 1) Y = O. Esta es la ecuación de Bessel de Índice uno. Véanse las secciones 117 y 118 SOL.

+x

l nx Y2_y 1

7. xy"

+

(3

+ 2x)y' + 8y =

-1

-

(-1)k(H k +Hk_1)X"2k-1 22kk!(k-1)! .

¿OC>

k=l

O. 00

SOL.

(_

+ 1) xn-2

1) "+12" (n (n -

2) !

~ ( -2 )"[(n + 1)H"-2 + x- 2 + 4x- + n=2 ..:.. (n - 2) !

Y2 = Y1 In x

8. x(1 - x)y"

~2

Y1 =

1

+ 2(1

- x)y'

+ 2y =

O.

;

- 1]X"-2 .

YI = -2 + 2x; 2xn-l 1 - 5x + ~3 (n _ 1) (n _ 2) . SOL.

Y2 = YIln x

+ x- + 1

00

9. Demuéstrese que las respuestas al ejercicio 8 pueden reemplazarse por

10. Resuélvase la ecuación del ejercicio 8 cerca del purto x = 1. SOL.

Y2 = Y1 In (x _ 1)

+ 1_

3 (x _ 1)

+

~

(-

" =2 11. x2y" - 5xy'

+

(8

+ 5x)y =

_

I

12. xy"

+

·2

+ YI + x +

1) n •

5 3

x

00 (-1) n+15 nxn+2 Y1 = n=2 ¿ n.I ( n - 2) .I

;

+ H ,,-2 ) x 1H2 n! (n _ 2) ! .

~ (- 5 ) " ( H n

+ /~2

(3 - x)y' - 5y = O. Y1 = _ ~ (n + 1) (n + 2) X1l-2 . "=2 2 (n-2 ) ! Yz = Y1 In x - tYI + x- 2 - 3x- 1 1) (n + 2) (Hn+2 - Hn - H n_2)x"-2 2(n-2)!

SOL.

~

(n

+

"=2 13. 9x2y" -

+

1) n+1 (n 1) (x n - 1

O. SOL.

Y2 - Y1 n x

Y1 =2 (x-1);

15xy'

+ 7(1 + x)y =

O.


Sumario

§112]

14. x 2 y"

+ x(l

- 2x) y' -

(x

+

l ) y = O.

SOL.

h =

"" 1 . 3 . 5 . . . (2n - 3) X,,-l n! (n - 2) !

"~2

+ 112.

+ x-1 + 1 -

yl + ~ "-[1_._3_._5_._----'-(_2n_-_3.:). c],--,(-;-2-;-H-=2.:.:...n-~2-;::--;-;-H-=,,-'---_H....::1>--=1.'---_H---.:.:..,,-..:.2'-)X_fl_-1. n!(n-2)! n:::2

y2 = yl In X

SUMARIO

Confrontados por una ecuación lineal

(1 )

L (y) = O,

determinamos primero la localización y naturaleza de los puntos sin?;ulares de la ecuación. En la práctica, el uso para el que se van a destinar los resultados, dictará cerca de cuál punto o puntos deberá resolverse la ecuación. Al buscar soluciones válidas alrededor del punto x = Xo, se trasladará el problema siempre al origen, haciendo la transformación x - Xo = v. Las soluciones válidas cerca de un punto ordinario x = O de la ecuación ( 1) tomarán la forma (2)

donde ao y al son arbitrarias si la ecuación (1) es de segundo orden. Si x = O es un punto regular singular de la ecuación (1) Y deseamos obtener soluciones válidas cerca de x = O, hacemos primero (3) n=O

Para la y de (3) obtenemos por sustitución la serie para L (y). Entonces podemos obtener la ecuación indicial del término n = O de esa serie. Cuando la diferencia de las raíces de la ecuación indicial no es un entero, o si las raíces son iguales, la técnica es directa y se sigue del método de la sección 107 o la 109. Cuando las raíces difieren por un entero diferente de cero~ la solución puede o no contener al In x. La relación de recurrencia para n = s, donde s es la diferencia de las raíces, es la raíz crítica. Debemos entonces determinar cuándo sucede que las relaciones para n = 1,2, ... ,s dejan tanto a ao como as arbitrarias. Si esto sucede, tendremos que dos series de potencias de la forma ( 3) serán soluciones de la ecuación


376

[Cap. 21

diferencial. Si ao y a. no son las dos arbitrarias, el caso es el logarítmico y deberá usarse entonces el artificio de la sección 111. La técnica puede variarse, si se desea, eligiendo siempre la an en términos de e de tal forma que la serie para L(y) se reduzca a un solo término. Por tanto, una serie de la forma (4) para la cual (5 ) será determinada, donde k es cero o uno para las ecuaciones que están siendo tratadas aquí y el y e2 son las raíces de la ecuación indicial. Estas raíces pueden determinarse entonces de los coeficientes reales en ( 4) usando ya sea e = C1 o e = C2, en ambos casos se obtendrán dos soluciones de la ecuación diferencial. Si C1 = C2 los resultados deberán ser idénticos y es indicado el uso de 3y (x, c) loc. El otro caso logarí!mica será identificado por el hecho de que alguno o algunos de los coeficientes fn( c) no existirán cuando C = C2 sea la raíz pequeña. Se necesita entonces nuevamente el proceso de diferenciación después de la introducción de ao = C - C2. El método aquÍ esbozado tiene la desventaja de que parece tender al uso automático de reglas, lo cual es siempre un procedimiento peligroso en matemáticas. Sin embargo, cuando el método ha sido completamente entendido en cada uno de los cuatro casos posibles, puede aplicarse con seguridad y facilita mucho los cálculos. La extensión de los métodos de este y el capítulo precedente, es directo a ecuaciones lineales de orden más alto. Como un ejemplo, será tratada inmediatamente una ecuación de cuarto orden cuya ecuación indicial tiene raíces c = 2, 2, 2, l Deberá determinarse una sene para y(x, c),

y(x, c) = ao [xc

+ ~1 fn(c)xn+c]

para la cual el miembro izquierdo de la ecuación se reduzca a un término, tal como L[y(x, c)] = (c - 2) 3(2c - l)aox c. Así, podrían obtenerse cuatro soluciones linealmente independientes

-

y - [Oy(X, a C)] ,y3 = [02 ()( x,2 C)] ,Y4=y(x,i).

Y1-y(x,2),ya-

e

C=2

c

C= 2


EJERCICIOS VARIOS

En cada ejercicio obtener soluciones válidas cerca de x = O.

+ x) y' - y = O. + 2x2y' - 2y = O. 3. x2(1 + X2)y'; + 2x (3 + x 2)y' + 6y = O. 4. 2xy" + (1 + 2x )y' - 3y = O. 5. x(l - X2)y" - (7 + X2)y' + 4xy = O. 6. 4x2y" - 2x(2 + x)y' + (3 + x)y = O. 7. 2xy" + y' + y = O. 8. 4x2y" - x 2y' + Y = O. 9. 2x2y" - x( l + 2x )y' + (1 + 3x ) y = O. 10. 4x 2y" + 3xV + (1 + 3x )y = O. 11. 4x2y" + 2x2y' - (x + 3 )y = O. 12. x 2y" + x(3 + x)y' + (1 + 2x)y = O. 13. x(l - 2x)y" - 2(2 + x )y' + 18y = O. 14. x 2y" - 3xy' + 4(1 + x) y = O. 15. 4x2y" + 2x (x - 4 )y' + (5 - 3x)y = O. 16. x(l - x)y" - (4 + x)y' + 4y = O. a SOL. y = ao( l + x + iX2) + 1;;'~5 (n 1. xY" - (2

2. x 2y"

co

- 4) (n - 3) (n

+ l)x n.

17. Resuélvase la ecuación del ejercicio 16 alrededor del punto x = l. SOL. Y = aof(x - 1)-4 + 4(x - 1)-3 + 5(x - 1- 21 + x4[1 + ~(x - 1) + ~(x - 1)2]. 18. x(l - x)y" + (1 - 4x )y' - 2y = O. 19. Demuéstrese que las soluciones del ejercicio 18 pueden escribirse en la forma

= (1 - X) -2, Y2 = (1 - x)-2(lnx - x). Yl

20. xy"

+

(1 - x)y'

+ 3y =

O. SOL.

2;:¡?

11

3

00

Yl

= 1 - 3x Xn

+ 0"2 -

~X3;

Y2=y 1 lnx+7x-.x-+i2 x -6~ ' ( - 1)( n- 2)( n- 3)' n=4n.nn 21. xy" - (2 + x )y' - 2y = O. 22. 2x 2y" - x(2x + 7 )y' + 2(x + 5)y = O. 23. (1 - X2) y" - lOxy' - 18y = O. 24. y" + .2xy' - 8y = O. 25. 2x(1 - x)y" + (1 - 2x ) y' + 8y = O. 26. 2x2y" - x(1 + 2x )y' + (1 + 4x)y = O. 27. x2y" - x(1 + x 2)y' + ( 1 - X2)y = O. 28. x2y" + X(X2 - 3)y' + 4y = O. 29. (1 + X2 )y" - 2y = O. 30. x2y" - 3x(1 + x)y' + 4(1 - x)y = O. 31. y'" + xy = o.

http://carlos2524.jimdo.com/ Soluciones ce rca d e pun tos re g ulares singulares

378

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

44. 45. 46. 47. 48. 49. SO. 51. 52. 53. 54. 55.

xy" + ( 1 - X2) y' + 2xy = O. x(1 - X2)y" + 5 ( 1 - x 2)y' - 4xy = O. x2y" + xy' - (X2 + 4)y = O. 2xy" + (3 - x)y' - 3y = O. xy" + (2 - x)y' - y = O. y" - 2xy' + 6y = O. X2y" - x( 3 + 2x)y' + (3 - x) y = O. 4x2y" + 2x(x + 2 )y' + (5x - 1)y = O. xy" 3y' - Y = O. 4x2y" (3x 1) y = O x 2y" + x(3x - 1) y' + (3 x + 1) y = O. x 2y" + x (4x - 3 ) y' + (8x + 3 ) y = O. 2(1 + X2)y" + 7xy' + 2y = O. 3xy" 2 (1 - x) y' - 2y = O. xy" - ( 1 + 3x)y' - 4y = O. x 2y" - x(3 2x)y' (4 - x) y = O. 2x( 1 - x) y" + y' + 4y = O. x ( 1 + 4x) y" + (1 + 8x) y' + y = O. xy" + (3 - 2x)y' + 4y = O. x2y" + x( 2x - 3 )y' + (4x + 3 ) y = O. ( 1 - x 2)y" - 2xy' 12y = O. x2( 1 + x) y" + x (3 + 5x) y' + (1 +4x ) y = O. x2y" x 2y' (3x - 2)y = O. 2x2y" 3xy' - (1 x) y = O.

+ +

+

+

+

+

+

+ +

+

+

[Cap. 21


CAPÍTULO

22

Ecuaciones de tipo hipergeornétrico

113.

ECUAcrONES QUE SE TRATARÁN EN ESTE CAPíTULO Con los métodos estudiados en los capítulos 20 y 21 somos capaces ahora de resolver ecuaciones como las que aparecen frecuentemente en la física moderna, en la ingeniería y también en matemática pura. Consideraremos brevemente la ecuación hipergeométrica, la ecuación de Bessel, y las ecuaciones que conducen al estudio de los polinomios de Laguerre, Legendre y Hermite. Hay en la literatura matemática miles de artículos de investigación dedicados completamente o en parte al estudio de las funciones que son soluciones de las ecuaciones que serán estudiadas en este capítulo. Aquí, lo que haremos solamente será llamar la atención del lector sobre la existencia de estas funciones especiales que son de gran valor a físicos teóricos, ingenieros y muchos matemáticos. Una introducción a las propiedades de esta y otras funciones especiales puede encontrarse en el libro Funciones especiales de Rainville, de Macmillan Co., de Nueva York, que fue editado en 1960. 379

/


114.

FUNCIóN FACfORIAL

Será conveniente para nosotros emplear una notación lo más general posible, de tal manera que coincida con la que se usa en matemática avanzada. Definimos la función factorial (a) n para n cero o entero positivo por ( 1)

(a )n = a(a

+ 1) (a + 2 .

. . (a

+n

- 1), para n

~

1;

(a)o = 1 para a =1= O. Por tanto, el símbolo ( a) n denota un producto de n factores que principia con el factor a, cada factor es una unidad mayor que el factor anterior. Por ejemplo

(7) 4 = 7 . 8 . 9 . 10,

(-5)3 = ( - 5)( - 4)(-3), (-i)3 = ( - i)(i)(f)· La función factorial es una generalización del factorial ordinario.

(2)

(1)n = 1 . 2 . 3 . .. n = n!

En nuestro estudio de la función gamma en la sección 62, dedujimos la relación funcional

r (x

(3)

+ 1)

= xr ( x ) .

Empleando repetidamente la relación ( 3), encontramos que si n es un entero, r (a

+ n)

( a+n-1)r ( a+n - 1)

+n

(a

+n

- 1) ( a

+n

- 2 )r ( a

(a

+n

- 1) ( a

+n

- 2) ... ( a )r(a)

- 2)

(a)"r(a).

Por tanto la función factorial y la gamma están relacionadas por (4)

a - r (a n -

+ n) ,

r(a)

n entero, n

> o.

Realmente (4) ,aunque esto no se prueba aquí, es válida para cualquier número a complejo excepto cero o un entero negativo.


115.

ECUACIóN HIPERGEOMÉTRICA

Se puede encontrar demostrado en varios libros* que cualquier ecuación diferencial lineal de segundo orden con solamente tres puntos singulares, cada uno de ellos regular, puede transformarse por cambio de variable en la ecuación hipergeométrica

( 1)

x ( 1 - x) y"

+ [e

-

(a

+ b + 1) x] y' -

aby = O,

en la que a, b y e son parámetros fijos. Resuélvase la ecuación ( 1) alrededor del punto regular singular x = O. Por el momento supóngase que e no es un entero. Para (1) la ecuación indicial tiene raíces cero y ( 1 - e). Hágase entonces

n=O

en la ecuación ( 1) Y lléguese, después de las simplificaciones usuales a ~

(2)

2:

n (n

+e-

~

l )enxn-l -

n=u

2:

(n

+ a) ( n + b)enxn =

O.

1~= O

Corriendo el Índice en ( 2) obtenemos ~

(3)

2:

~

n ( n+c-l)enxn-l-

2:

( n+a-l ) ( n+b-l)en_lxn-1=0.

n=l

n=O

y encontramos por tanto que eo es arbitrario y para n

(4)

en =

¿ 1

( n+a-l )( n+b-l) en-l. n (n+c-l )

La relación de recurrencia (4) puede resolverse usando nuestro artificio acostumbrado. El resultado es para n ¿ 1

(5) \

en = a ( a+l) ( a+2) . . . ( a+n-l) . b ( b+l) ( b+2) . . . ( b+n-l)eo n!c ( c+l) ( c+2)···(c+n-l) .

Pero (5) se simplifica bastante si usamos la función factorial. Representamos (5) como ( 6)

_ (a)n(b)n . en n.' () e n eo.

* Véase E. D . R ainville, Intermediate Differential Equati:ms. 2'1- Edición. Nueva York: The Macmillan Ca., 1964, capítulo 6.



[Cap . 22

Elijamos ahora eo = 1 Y escribamos nuestra primera solución de la ecuación hipergeométrica como n = 1 + ~ ( a ),,( b )nx (7) y1 ..:;.. () I n=l e nn. . La solución particular y1 en ( 7) se llama la función hipergeométrica y se utiliza comúnmente para ella el símbolo F ( a, b; e; x ). Esto es F (a, b; e; x ) = 1

+

00

~ n=l

(a ) ( b ) x n n ~, (c )nn.

y y1 = F ( a, b; e; x) es una solución de la ecuación ( 1) . La otra raíz de la ecuación indicial es ( 1 - e). Podemos por tanto hacer 00

y =

~

fnxn+1-c

n=O

en la ecuación ( 1), determinar fn en la forma usual y llegar a una segunda solución 00 ( a + 1 - c) n( b + 1 - c)"xn +1-C y 2 = X1-C + ~ -'-----~:-'--:-_:_--'---(8) (2 - C)nn! n=1 En la notación hipergeométrica esta segunda solución (8) puede escribirse y2 = X1-C F (a + 1 - e, b + 1 - e; 2 - e; x), la cual significa exactamente lo mismo que (8). Las soluciones ( 7) Y Y (8) son válidas en O < Ixl < 1, una región que se extiende hasta el punto singular más cercano de la ecuación diferencial ( 1). Si e es un entero, una de las soluciones ( 7) u (8) es correcta, pero la otra involucra un denominador cero. Por ejemplo, si e = 5, entonces en (8), (2 - C)n = ( - 3)" Y tan pronto como n :2: 4, ( -3)n = O. Para ( - 3)4 = ( - 3)( -2 )(-1)(0) = O. Si e es un entero, pero a y b no son enteros, una de las soluciones alrededor de x = O de la ecuación hipergeométrica es de tipo logarítmico. Si e y uno, o los dos, de a y b son enteros, la solución puede o no involucrar un logaritmo. Para ahorrar espacio omitiremos aquí las soluciones logarítmicas de la ecuación hipergeométrica.


116.

POLINOMIOS DE LAGUERRE

La ecuación

xy"

( 1)

+

( 1 - x) y'

+ ny =

O

se llama la ecuación de Laguerre. Si n es un entero no negativo, una solución de la ecuación ( 1) es un polinomio. Considérese la solución de ( 1) alrededor del punto regular singular x = O. La ecuación indicial tiene las raÍCes iguales e = O, O. Por tanto, una de las soluciones involucrará un logaritmo. Buscaremos la solución no logarítmica. Hagamos ()()

y = ~ k =o

ad'

en (1) obteniendo en la forma usual ()()

(2)

~

Pakxk- 1 -

k=o

ro

~

(k - 1 - n )ak_1xk-1 = O.

k=l

De (2) encontramos que (k - 1 - n) a"-l k ~ 1: a" = -'--- - -2 ---'--k _ ( - n )( - n + 1) . . . ( - n (k!)2

+k-

1) ao _ ( - n ) k

-

(kT)"2a o.

Si n es un entero no negativo, (-n)" = O para k > n. Por tanto, eligiendo ao igual a la unidad, una solución de la ecuación (1) es ro

y1 =

(3 )

~o

(-n)"xk ( k !) 2 •

El miembro derecho de (3) se llama el polinomio de Laguerre y es generalmente denotado por Ln (x) : (4 )

_

Ln ( x) -

ro

,,~o

( - n )"xk _ (k ! ) 2 -

ro

( -1 )"n !xk 2 (n k) !

k~O (k ! )

El lector deberá probar la equivalencia de las dos sumas de (4) demostrando que _ (-1 )"n! ( -n)" - (n _ k)!' U na solución de ( 1) es y1 = Ln ( x ). La solución logarítmica asociada puede expresarse, después de una simplificación considerable, en la forma -----


(5)


[Cap. 22

- L ( )1 + ~ ( -n) k(H.....k - Hn - 2Hk)X y2 - n X n X;:l (k!) 2 00

+ k~l

(_

k

1) nn ! (k - 1) !x"+n [ ( k + n) 1]2 •

La solución (3 ) es válida para toda x finita; la solución (5) es válida para 0< Ixl < oo.

117.

ECUACIÓN DE BESSEL CON íNDICE NO ENTERO

La ecuación ( 1) se llama la ecuación de Bessel de índice n. La ecuación (1) tiene un punto regular singular en x = O, pero ningún otro punto de esta clase en el plano finito. En x = O las raíces de la ecuación indicial son Cl = n, C2 = - n. En esta sección supondremos que n no es entero. Con los métodos del capítulo 21 es un simple ejercicio demostrar que si n no es entero, entonces hay dos soluciones linealmente independientes de (1), que son 00 ( -1 )kx2k+n (2) Y.l = ~o22kk!(1 + n)k' _ 00 ( -1 )k,i2k-n (3) y2 - k';o22kk!(1 _ n )k' válidas en O < Ixl < oo. La función _ 1 _ " ( -1 )kx2k+n y3 - 2nr(1 + n) yl - k';>J 22k+n k !r(k + n + 1)' que es también una solución de ( 1), se simboliza In (x), y se llama la función de Bessel de primera clase y de índice n. Entonces _

(4 )

_

y3 - ln (x) -

00

( -1 )kX2k+n

"';0 22k+nk !r( k + n + 1)

es una solución de (1) Y la solución general de ( 1) puede escribirse como (5)

Y = Aln(x)

+ Bl-n(x),

donde n no es un entero.

Que l -n(x) es una solución de la ecuación diferencial ( 1) deberá ser evidente del hecho de que el parámetro n interviene en ( 1) sólo en el término n 2 • También es cierto que


1 J--n( X) = 2-nr ( 1 _ n) y2.

lI8.

ECUACIóN DE BESSEL CON íNDICE ENTERO

En la ecuación de Bessel ( 1) supóngase ahora que n es cero o un entero positivo. Entonces 00

( _

1 ) k X 2k +n + n + 1)

y~ = Jn( X) = k~0 22k+nk !r (k

( 2)

es una solución de la ecuación ( 1). Cualquier solución linealmente independiente de (2) deberá conten'er al In x. Ya hemos resuelto la ecuación ( 1) para n = O en el ejercicio 6 de la sección 109, y para n = 1 en el ejercicio 6 de la sección 111. Cuando n es un entero ~ 2, hacemos 00

y =

~

;=0

aix;+c,

y procediendo con la técnica de la sección 111 , determinemos y (x, e) y

~ y (x, e),

oc

empleando e = - n se obtienen las dos soluciones ( -1 )kx2k-n _ n )n-l (k - n ) !k!

00

y2 =

(3) y _

(4)

k~n22k-1 ( 1

+x

y3 - Y,2 ln x

- 10

10-1 ( -1 )kx2k-n + .~ 22k( 1 _ ) k I k=l n k • -1 ) k+1 (Hk-n + Hk - H n--1)X2k-n + k n 22k 1( 1-n)n_l(k-n)!k! .

i(

U n corrimiento del índice en (3) , de k a (k _

y2 Sin embargo, para n

00

(

k~o 22k+2n-1( 1 ~

+ n)

-1 )k+nx2k+n _ n )n--lk! (k

+ n) r

2, (1 - n)n-1 = (-1)n-1(n - 1)!, así que

-1 y2 = 2n-1(n _ 1) ! Jn( X). Podemos entonces reemplazar la solución (3 ) con (5)

nos lleva a

y1 = Jn( X).



386

De igual modo, reemplazamos la solución (4) con (6)

y4 = Jn(X) lnx

+

n-1 (-1 )k+1(n - 1) !x2k-n ~ 22k+1-nk'• ( 1 _ n ) k k=o

+

(-1 )7H1(Hk + Hk+n)X 2/H7I i "=0 ¿ 22k+nk .I (k _ n. ), . 00

Para nJ un entero mayor que uno, las ecuaciones (5) y (6) pueden usarse como el par fundamental de soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel (1).

119.

POLINOMIOS DE HERMITE

La ecuación

+ 2ny =

y" - 2xy'

( 1)

O

se llama la ecuaClon de Hermite. Ya que la ecuaClOn (1) no tiene puntos singulares en el plano finito, x = O es un punto ordinario de la ecuación. Hagamos 00

y= ¿

ajx

j

;=0

y empleando los métodos del capítulo 20, obtenemos la solución general _ [ 00 2" ( - n ) ( - n + 2) . . . ( - n + 2k - 2) X 2k] (2) Y - ao 1 + k~l (2k) ! .

+ aJ.

00

[

x

+ ~l

+ 2)

2k (1 - n) (1 - n

. . . (1 - n (2k + 1)!

+ 2k -

2) X 2"+1]

'

válida para toda x finita y con ao y al arbitrarios. El interés de la ecuación (1) es mucho mayor cuando n es un entero positivo o cero. Si n es un entero ,par, el coeficiente de ao en (2) tiene· un término final, cada término para k ~ H n + 2) será cero. Si n es un entero impar, el coeficientede al en (2) tiene un término final, cada término para k ~ H n + 1) será cero. Por tanto, la solución de la ecuación de Hermite siempre es polinomial, de grado nJ para n cero o entero positivo. Es elemental pero tedioso obtener de (2) una expresión única para esta solución polinomial. El resultado es 1 ) k n ! ( 2x ) n-21< k!(n - 2k)! '

[!nJ ( _

(3)

Hn(x) =

~o

en la que [in] simboliza la parte entera de in.


Pol inomios de legendre

387

El polinomio H n (x) de (3) es el polinomio de Hermite; y = H n (x) es una solución de la ecuación ( 1) .

120.

POLINOMIOS DE LEGENDRE

La ecuación

( 1 - x 2 )y" - 2xy'

( 1)

+ n (n +

l )y = 0,

se llama la ecuación de Legendre. Resolvamos ( 1) alrededor del punto regular singular x = 1. Hagamos x - 1 = v y obteniendo la ecuación transformada d? d (2) v(v + 2) d-~ + 2(v + 1) dY - n (n + l )y = O. v-

v

En v = 0, la ecuación ( 2) tiene como raíces de su ecuación indicial e = 0, O. Por tanto, una solución es logarítmica. Estamos interesados aquÍ exclusivamente en la solución no logarítmica. Siguiendo los métodos del capítulo 21, hacemos

en la ecuación ( 2) Y llegamos entonces a los resultados siguientes: ao es arbitrario y _ - (k - n - 1) ( k + n ) ak-1 (3) k C. 1: al; 2k 2 • Resolviendo la relación de recurrencia ( 3) Y obteniendo _ ( - l )k( -n )k( l 2k ( k ! ) 2

+ n)kaO

al; -

'

con la notación factorial de la sección 114. Podemos ahora escribir una solución de la ecuación ( 1) en la forma (

4) y1

= 1 + ~ ( -l )k( -n )k( n + l )k(x - l )k . k=1 2k ( kW

Como k! = (1) k, podemos expresar (4) en la forma (5)

y1

= 1

+ ~ (k=1

n ) k (n + 1) k (1 ( 1) kk! 2

X) ' k

El miembro derecho de la ecuación (5) es un ejemplo de la función hipergeométrica que tratamos en la sección 115. De hecho


/


388

[Cap. 22

x)

1Y1=F ( -nJn+ 1;1;-2.

(6)

Si n es cero o entero positivo, las series en (4), (5) o (6) tienen un término final. En este caso estas series se llaman polinomios de Legendre y se simbolizan por P,, (x) . Escribimos nuestra solución no logarítmica de la ecuación de Legendre como

121.

ECUACIÓN CONFLUENTE

* HIPERGEOMÉTRICA

La ecuación

( 1)

xy"

+ (e

- x) y' - ay = O

°

tiene un punto regular singular en x = con cero y ( 1 - e) como raíces de la ecuación indicial. La ecuación ( 1) se llama la ecuación confluente hipergeométrica. Si e no es un entero, no hay solución logarítmica de ( 1) alrededor de x = 0, de tal forma que nos restringimos a esta situación simple. Hacemos en la forma usual

en ( 1) y encontramos de aquí que bo es arbitrario y b = (n - 1 + a ) bn-1. n n (n - 1 + e) La relación de recurrencia nos da n 21: bn = ( a) nbo n! (C)n n 21:

en la notación de la función factorial de la sección 114. Por tanto la ecuación (1) tiene una solución (2)

co

y1 = 1

(a) nXn

+ ¿ () e nn.l ' n=l

válida para toda x finita. Nótese que el miembro derecho de (2) se parece mucho a la función hipergeométrica

* El concepto de confluencia de las singularidades está tratado en el capítulo 10 del libro de E . D. Rainville, Intermediate Differential Equations. 2¡¡. Edición. Nueva York: The M acmillan Co., 1964.


00

(3)

389

Ecuación canfluente hipergeométrica

F(a,b;c;x)=+2: n=l

(a) n( b ) nX n

(C) nn.'

de la sección 115. En (2) la serie tiene solamente un parámetro en el numerador, a, y uno en el denominador, c. En (3) hay dos parámetros en el numerador, a y b, yun parámetro en el denominador, c. Se acostumbra entonces usar para el miembro derecho de (2) una notación como la de (3). Escribimos •• _ ro (a)nXn (4) lFl(a, c, x) - 1 + n~l (C)nn!' con los subíndices que están antes y después de F denotando el número de parámetros que hay en el numerador y en el denominador, respectivamente. Cuando es deseable, el símbolo de la función del miembro izquierdo de (3) puede escribirse de modo semejante 2Fl (a, b; e; x). Las funciones de tipo hipergeométrico con cualquier número de parámetros en el denominador o en el numerador han sido estudiadas desde hace muchos años. Los subíndices de la F desempeñan un papel muy útil cuando la naturaleza de la función, pero no la de sus parámetros específicos, está bajo discusión. Por ejemplo, decimos: "cualquier oF1 es esencialmente una función de Bessel de primera clase", y "el polinomio de Laguerre es una serie lF1 que tiene un término final". Establecer esto detalladamente implica las siguientes ecuaciones:

(x/2)n

(5)

Jn(x) = r (n + 1) oF

(6)

Ln (x) = lF1 (

-

1

2

( -

;

n

x + 1; - 4" ' )

n; 1; x) .

Hemos visto que la ecuación diferencial (1) tiene una solución como la indicada en (2),

(7) El lector puede demostrar que otra solución, linealmente independiente de (7), es (8)

cuando e no es un entero. Otra vez omitimos la discusión de las soluciones logarítmicas que - pueden encontrarse si c es entero.

/



CAPÍTULO

23

Tópicos adicionales sobre soluciones en series de potencias

122.

RELACIONES DE RECURRENCIA DE MUCHOS TÉRMINOS; PUNTOS ORDINARIOS En los capítulos 20 y 21 las ecuaciones que se resolvieron fueron escogidas cuidadosamente, de tal manera que condujeran a relaciones de recurrencia que involucraran solamente dos coeficientes diferentes. Ninguno de los métodos que se indicaron tiene una restricción, pero las relaciones de recurrencia obtenidas son las únicas para las que sabemos que puede obtenerse una forma explícita de solución razonablemente útil. Sin embargo, existen relaciones de recurrencia que aunque no pueden obtenerse en una forma exp~cita como las mencionadas anteriormente, pueden ser útiles de todas formas. Considérese la ecuación (1 )

y" - y'

+ xy =

O

que no tiene puntos singulares en el plano finito. Resolvamos la ecuación en la vecindad de x = O. Sabemos que hay una solución que suponemos de la forma 391


Tópicos adicionales en series de potencias

[Cap. 23

(2)

con ao y al arbitrarios, y para la cual la serie de potencias involucrada converge para toda x finita. Para encontrar la a", n > 1, ponemos la y de (2) en la ecuación (1). Obtenemos de aquí, después de un corrimiento apropiado de los índices de la suma, 00

~

00

n (n - 1) anX,,-2 -

"=0

(n - 1) an-lx,,-2

~

+

n=l

00

~

an-3x,,-2 = 0,

fi=3

de lo cual se ve que las relaciones para la determinación de las a son

n

= 2:

2a2 - al

n ~ 3:

= 0,

n(n - l)a" - (n - l)an-l

+ an-3 =

O.

No podemos obtener una fórmula explícita para la a n, pero podemos calcular tantos coeficientes como deseemos conocer de la teoría no probada aquí de que las soluciones en series convergen para toda x finita. El conocimiento de la convergencia tiene mucho iÍlterés para nosotros, ya que en esta ocasión no podemos sujetar a nuestras series a prueba de convergencia, pues no tenemos una fórmula para calcular el término general de la serie. ' A menudo es deseable tabular o representar gráficamente las soluciones de una ecuación particular. Con este propósito en mente vamos a particularizar nuestras constantes ao y al. En tanto que la elección que hagamos de estas constantes conserve a las soluciones linealmente independientes, no importa qué valores usemos. Definamos como yl la solución con ao = 1, al = 0, y como y2 la solución en la que ao = 0, al = 1; entonces yl y y2 serán linealmente independientes. La solución completa de la ecuación diferencial del presente ejemplo es y = Ayl + BY2, donde A y B son constantes arbitrarias; donde )h está dado por (3)

en la que ao

= 1, al = 0, a2 = 0, y para n

en donde

)\2

~

3: a" =

(n -

1) a"-l - an -3 n (n - l) ,

----~~--------

está dada por 00

(4)

y2 = ~ b"x",

"=0


393

Relaciones de recurren cio¡ puntos ord inarios

= O,

en la que b o

b,

= 1, b.2 = i,

y para

> 3'

b = (n - 1) bn-I - bn-3 ." n(n - 1) .

n -

Algunas veces es interesante y presta alguna ayuda el calcular algunos coeficientes de la solución en serie. Para el ejemplo presente puede demostrarse que ( 5)

yl

(6)

y2

= 1 - í XS = x + ~X2

-

2\

x4

-

-

+ ~,il

1

~ o x5

2\X

4

-

+ ! ox + ~ o x + . . . , a'ox5- g\X6 - 16\ ifC7 + .. .. 2

6

6

7

Las ecuaciones ( 5 ) Y ( 6 ) no definen por ningún medio las funciones y1 y y2; no contienen ninguna indicación de los coeficientes de las potencias mayores de x. Para una descripción completa de las series deberemos volver a las ecuaciones ( 3) y (4) con las relaciones para a" y b" dadas por aquellas ecuaciones. EJERCICIOS

Resuélvase cada una de las ecuaciones siguientes alrededor de x = O, a menos de que se indique otra cosa. Establézcase el dominio de validez de las soluciones.

1. y"

+

(1

+ x + X2)y 00

SOL.

Yl

= ,,=0 ~ anx")

= O. en la que ao = 1, al

n Y2

=

00

~

= O,

al!

=

- ~) aa

=-

~

=-

~,

Z 4:

bnx") en la que bo = O, b,

= 1,

b2

= O,

ba

1 n Z 4: b" = - n(n _ 1) (bn_2 + bn-a + b"-4)' 2. Demuéstrese que las series en las respuestas al ejercicio 1 principian como sigue:

+ """ X 5 + /27 x 6 + 2!OX7 + . . I 4- 2'4 I X 5+ l20 1 x6+ 'i'44 1 x 7+ . . '. TIx

y' = 1 - tx2 - txa y Y2

=

X

3. (1 - x ) y"

'l Xa - '6

+

(2

+

2\X4

Q

x) y' - 2y = O. SOL.

Y1

n ~ 2: Y2

n

>_ 2:

=

ro

~ anx") en la que ao 710 = 0

(n - 4)

a" = n (n _ 1) [( n -

=

1) an-1 - an-2];

00

~ b"x") en la que bo

710=0

= 1, al = O, = O, b = 1, 1

b" -- n(n ]· (n -_ 4) 1) [( n - 1). bn-1 - bn-.2

http://carlos2524.jimdo.com/ Tópicos adicionales en series de potencias

394

[Cap. 23

4. Demuéstrese que las respuestas al ejercicio 3 principian como sigue: h = 1 X2 - íx 3 +tux5 l~oX6 8~
+

+

+

+ ..

y

5. En el ejercicio 3 elegir a o = 3, al = 2 y determinar la solución correspondiente de la ecuación diferencial. SOL. Ya 3 2x X2. 6. (1+ x)Y" + 2y' - Y = O.

= + +

00

SOL.

Yl

=.

~ a,.x"', en la que ao

.,.=0

n ~ 2:

a.,. = -a,.-1

= 1, al = O,

+ a.....~l[n(n -

1)];

00

Y2 = ~ b.,.x"', en la que bo = O, b 1 = 1, n :::: Q

n ~ 2:

b.,. = -b"'-1

+ b..... /[n(n 2

1)].

7. Demuéstrese que las series en las respuestas para el ejercicio 6 principian como sigue: Y1 = 1 X2 _ ~ xa ~! x 4 - ~ ~ x 5 ~ ~ ~ x 6

+!

Y2

=

X -

X2

+

+~ x

3

_

;

+

x

4

+ ~~~ x

5

_

+ . . ., ~ >6 + . . ..

8. En las respuestas para el ejercicio 6 pruébese que los coeficientes alternan su signo para n ~ 2. Hacer a.,. = ( - 1)"'t.,. y considerar la relación ' de recurrencia para t.,.. 9. Dado 0'.,. = t,,/t1l-1 donde t.,. = 1a,.1 como en el ejercicio 8, demuéstrese que 1 0'" = 1 n n - 1 0'''-1

+ ( ) y concluir que para n > 4, 1 < 0'" < 21/20.

10. Para O < x < 1, la razón de los valores absolutos de términos consecutivos de la serie para h en el ejercicio 6 está dada por ¡anx"¡

¡a"-1X1'-11 =

O'n X

con la notación del ejercicio 9. Demuéstrese que para n > 4 Y O < x < 0.95 se sigue que O < O'nX < 1. Probar por tanto que para estos valores de x los términos en la serie h decrecen uniformemente en valor numérico. 11. Empléense los resultados de los ejercicios 8 y 10 para probar que si E.,. es el error hecho al reemplazar Yl con la suma de sus términos, incluyendo anx"', entonces para n > 4 Y O < x < 0.95 es cierto que

lE.,. I < lan

+lX

n 1 +

1·

12. Sígase el procedimiento de los ejercicios 9, 10 y 11 y Iléguese a conclusiones similares para la serie Y2 en el ejercicio 6.


Relaciones de recurrencia; punto regular singular

§123]

13. Calcúlense y1 y Y2 del ejercicio 6 corrigiendo a tres decimales cuando x = 0.1. SOL. Y1(0.1) = 1.005, Y2(0.1) = 0.091. 14. Pruébese que para cualquier x fija en el intervalo < x < 1 existe una no tal que para n > no los ténninos en las series para Y1 o Y2 decrecen unifonnemente en sus valores numéricos. 15. Demuéstrese que para n > 4 Y - 0.95 < x < 0,

°

IE"I < lan+1x "+11 . 20 !021X' donde la E" es como la definida en el ejercicio 11. 16. Calcúlese Y1 y Y2 del ejercicio 6 hasta tres cifras decimales para x -0.1. SOL. Y1( -0.1 ) = 1.006, Y2( -0.1) -0.111. 17. Resuélvase la ecuación del ejercicio 6 cerca del punto regular sin00 (x + 1)"-1 guIar x 1. SOL. Ya ~1 n! (n _ 1) ! .;

=

=

=-

Y4 = Ya In (x

+

=

+ 1) + (x + 1)-1 _

f

,,=1

(H"

+ H,....1) (x + 1) ....1. · n!(n-1)!

18. y" - (1 X3)y = O. 19. (1-x)y"+xy'+y=0. 20. Resuélvase la ecuación del ejercicio 19 alrededor de su punto regular singular.

123.

RELACIONES DE RECURRENCIA DE MUCHOS TÉRMINOS; PUNTO REGULAR SINGULAR

Al resolver una ecuación cerca de un punto regular singular sucede a veces que se encuentra una relación de recurrencia de muchos términos. En casos no logarítmicos, los métodos desarrollados en el capítulo 21 se aplican fácilmente y no se encuentran complicaciones, excepto que generalmente se obtiene una fórmula no explícita para los coeficientes. En casos logarítmicos, los métodos introducidos en el capítulo 21, la construcción de y(x, e) y oy(x, c)joc, pueden hacerse embarazosos cuando se presenta una relación de recurrencia de muchos términos. Es entonces cuando se hace necesario un nuevo tratamiento. Considérese el problema de resolver la ecuación

( 1)

L (y) = x2y"

cerca del origen. De

(2) es fácil demostrar que

+ X(3 + x) y' + (1 + x + X2 ) y =

O


~

(3)

[Cap. 23


396

~ (n

L (y)

+e+

l)2a..xn +c

+

~

~ (n

+ C)an_IX71--C

n=Q

n=2

Por tanto la ecuación indicial es (e + 1) 2 = O. Ya que las raíces de la ecuación indicial son iguales, e = -1, -1, se sigue que existen las soluciones (4)

y2 = y, In x

(5 )

+

~

~

bnxn-\

n=l

válidas para toda x finita diferente de cero. La ecuación diferencial nos da la región de validez; la forma de las soluciones puede verse de los razonamientos de la sección 109. Determinaremos la an, n > O, requiriendo que L (YI) = O. Entonces la bn, n ;::: 1 se establecerá en términos de la an bajo la condición de que L(y2) = O. De L (yl) = O se sigue que ~

~

n 2 anxn-1

+

n =O

'"

~

(n - 1) an-Ixn-I

n =l

+

~

~

an_ 2Xn-1 = O.

n=2

Elijamos ao = 1. Entonces el resto de las a está determinado por n

= 1:

n ;::: 2:

+ O . ao = O, n an + (n - l )a?>-1. + an a,

2

-2

= O.

Por tanto una solución de la ecuación diferencial ( 1) es

'" anXn-\ y, = ~

(6)

n:::'Ü

en la que ao

= 1, a, = O (n - 1) an-l n2

+ an-2

En seguida deseamos pedir que L(y2) = O. De (5)

y2 = yl In x

+

'" b llXn-1 ~ n=l

se sigue que y; = y~ In x

+ X-'y, + ~'" n::::: l

(n - 1) b"xn - 2


Relaciones de recurrencia; punto regular singular

§123]

y

y';

=

y~

In x

+ 2x-Iy: -

x-2y I

ca

+

~

(n - 1 ) (n - 2 ) b'11x'11-3.

El cálculo directo de L (y2 ) nos da

L (Y2) = L (YI) In x

+ 2xy; -

YI

+ XYI + 3YI + +

ca

~

ca

~ n 2bnx'n-l

'11=1 (n - 1) bn-1X'n-1

+

ca

~

bn _2X'11 -1•

Ya que L (Y1) = O, la condición L (Y2) = O nos conduce a la ecuación ca

(7)

~

n 2 bnXn - 1

n=l

ca

+

~

(n - 1) bn-1X'n-1

+

u=2

ca

~

bn-2X"'-1

n=3

ca

-

~ n=l

2nanx'11 -1 -

ca

~

an _1X'n-1,

n=l

en la que el miembro derecho ha sido simplificado empleando la ecuación ( 6). De la identidad (7), se siguen relaciones para la determinación de b n a partir de la ano Estas son n = 1: n 2: n ~ 3: n 2b'11

=

+

b1 = -2a1 - ao, 4b2 + b1 = -4a2 - al, (n - 1) bn-1 + bn-2 = - 2na.. - a".-1 .

Por tanto, la ecuación diferencial original tiene las dos soluciones linealmente independientes dadas por la y1 de la ecuación (6) Y por

y2 = y1 In x

( 8)

en la que b1 n

ca

+

~

= -1, b"2 = i, > 3: -

b",x"'-t,

n=l

b", = _ (n - 1) bn-1 + bn-2 _ 2a'11 _ an - 1. n2 n n2

Si la ecuación indicial tiene raíces que difieren por un entero positivo y si existe una solución logarítmica, entonces las dos soluciones tendrán la forma ca

y1 =

~

anX"'+Cl,

n=o

y2 = y1 In x

+

ca

~

b",x"'+c"

n=O

donde C1 es la raíz mayor y C2 la menor de la ecuación indicia!' Las an y b", pueden todavía determinarse por el procedimiento usado en esta sección.

\


124.

LIMITACIóN DE LOS ERRORES EN LOS CALCULOS

Si las soluciones en serie de una ecuación diferencial se emplean en cálculos numéricos, es deseable tener una forma de establecer un límite a los errores hechos cortando la serie en algún término. Si se conocen explícitamente los términos de la serie, como en las respuestas de los capítulos 20, 21 Y 22, el problema se transforma en uno que es tratado generalmente en cálculo. El propósito de esta sección es demostrar que tales límites pueden obtenerse para series cuyos términos son conocidos sólo a través de relaciones de recurrencia de muchos términos, tales como las encontradas en este capítulo. Supóngase que deseamos calcular con las series en las soluciones yl (x) y Y2( X) del ejemplo de la sección precedente. Tenemos

( 1) n='Ü

en la que ao = 1, al = O, ( n - 1) an-l n2

( 2)

+ an-2

Sea En (x) el error hecho al calcular yl (x) usando los términos del miembro derecho de ( 1) solamente e incluyendo el término anX,>-l. Entonces En(x) es igual a la suma de los términos que quedan 00

(3)

En(x ) =

~

a.xs-t,

8=n + l

y 00

(4 )

IEn (X ) 1 S

~

lasx8-ll·

8=n+l

Necesitamos primero limitar la,,1 donde an está determinado por la relación de recurrencia (2). Sabemos que ao = 1, al = O. Calculemos unos pocos términos más, encontrando que a2 = - ¡, as = / 8' a4 = 1 : 2' etcétera. Busquemos una desigualdad sobre lanl que sea satisfecha por un tanteo para valores pequeños de n y que pueda ser probada para toda n por inducción basada sobre la relación de recurrencia (2). Este es el único paso difícil. A menudo se necesita mucha experiencia, algo de maña y muchos tanteos para obtener una desigualdad suficientemente fuerte como para ser útil y lo bastante débil como para poder establecerla. Considérese la desigualdad


399

Limitación de los errores en los cálculos

(5)

que se satisface claramente para k = 1, 2, 3, 4. Supongamos que (5) se satisface para toda k en el rango 1 ~ k < n. Debemos probar que puede deducirse de (2) que (5) se satisface para k = n. De (2) obtenemos, para n ¿ 3, (6)

la,,1 ~~[ (-n n

1) Ia1V-1 I +

Ya que (5) se supone verdadera para k igualdad (6) nos conduce a

[2"-1 (n -

1 an l l
1) (n - l )!

< -2n-2 n 2

la1V-21J .

=n +

1 Yk

=n -

2, la des-

2n -2 ] (n -2)!

[2 1 ] + (n-2)! (n -2)! ...,--------,::-c-:-

3 . 2n-2

< -----::--c:----=:--:--:n (n-2)! 2

< 3 (n

- 1). 2"

4n

ya que 3 (n - 1) probado que

< 4n.

n!

Se sigue entonces por inducción que hemos

2"

la,,1 < l ' n.

(7)

para

n¿

1.

Volvemos ahora a (4) y encontramos que, para n ¿ 1, IEn (X) I <

(8)

281xlB-l

co

¿

--1-·

8 =n+1

s.

Para simplificar la serie en (8) corremos el índice de s a (s y obtenemos

+ n + 1)

(9)

Ya que (s + n + 1) ! es difícil de manejar, lo reemplazamos por algún término más simple y más pequeño, por tanto, el miembro derecho de (9) se hace más grande. Para s y n positivos (n

+ 1) !s! <

(s

+ n + 1) !.


Tópicos ad icionales en series de potencias

Por tanto

28+7H1 Ixl8+" _ 2n+1lxl"

00

8~O

IE,, ( x) 1 <

(n

+

+

1) !s! - (n

[Cap. 23

00

1) ! 8~

281xl8

~'

y, finalmente ( 10)

Calculemos y1 (i) a dos decimales. Sabemos que la yl (x) principia como

= 3,

Si paramos con el término en xs, n - 1 limitar E4(i ). De ( 10)

lE

(~)I 4

< 25 (i)4e~ = ~= 5!

4

960

n

=4

0.0017

y necesitamos

.

Entonces

+ 1\ (i )2 ,+ 1; di )3 0.0625 + 0.0035 + 0.0001

Y1G) = 4 - i (t) = 4 - 3.9411,

con un error menor que 0.0017. Concluimos que, para dos decimales, Y1 (i) = 3.94. Volvamos ahora a Y2(X). Se encontró en la sección 123 que esta serie está dada por Y2(X) = Yl(X) In x

(12)

00

+

~

bnxn-\

n=l

=

en la que bl (13)

n

-1 , b 2

> 3: -

= i,

b n = _ (n - 1) bn-l n2

Demostramos ahora que

+ bn--2 _

Ib,,1 < 2n+1/n!'

2a n _ a"-l. n n2

De ( 13) se sigue que

Supongamos (14) . para 1 :::::; k

<

n. Sabemos que ( 14) se satisface para k

1, 2, 3, 4.


limitación de los errores en los cólculos

§124]

De ( 13 ), ( 14) Y ( 7) se sigue que, para n

~

3, n

Ib,,1

n - 1) 21>-1 ] 2 2"-1 < -n1 [ 2"( + + + -::-:-----:--:--:(n-1 ) ! (n-2)! n·n! n (n-1)! +1

2

2

2" + 2"-1 2 (n-2)! 3 . 2"-1 < n 2 (n-2)!

< 21>-1[3 ( n

5 . 21>-1

+--n·n!

1) n· n!

<

+ 21>-1

2"+1

+ -n·n! ---

-

+ 5]

3n + 2 2"+1 .4n n!

2"+1

<-1' n. ya que 3n

+ 2 ~ 4n

para n

~

2. Por tanto, por inducción

(15) oc

Ahora, sea E" * (x) el error cometido al calcular ~ b"x"-l usando los

"=1

términos superiores a, y que incluyen a brlx n - 1 • Entonces E,,*(x)

y por ( 15)", para n

~

1,

IE,,* (x) I <

así 2

(16)

IEn*(x)1

/"/ < 2n+2Ixlne . (n+1)!

La solución y2 (x) principiará corno sigue )1,2 ( x) =

y1 (

x) In x - 1

+~-

1

~

SX2 -

1

~

! 2X3 +

Calculemos y2 ( i) con dos cifras decimales. Vernos primero que



[Cap . 23

Entonces

)12m

+ ~ -1 ~ 8 m2 -

(3.94)(-1.386)- 1 -6.34.

1~~2(¡)3

EJERCICIOS

Resuélvase cada ecuación alrededor de x = 0, a menos de que se especifique otra cosa. 1. x 2y" + 3xy' + ( 1 +X+X3 )y =0. co

SOL.

YI

= n=o ~ anX n-\

en la que ao

n

~

co

Y2

= ylln x + n-l ~ bnxn-\

en la que bl n ~ 4:

2. 2x(1 - x ) y"

+ (1

- 2x)y'

= 1,

al

YI

n

= 2,

b2

= -t

+ (2 + x)y =

O.

Y2

=

~ bnx

+ y' + x (1 + x) y =

~

YI

=~

= 1,

;

bl

= -2,

b _ 2n (n - 2) bn - l - bn _2. "n(2n - 1)

2:

O.

co

SOL.

= -i,

3) an - l - 2a n-2

en la que bo

,

al

+ 1)

2n (2n

co

n 3. xy"

= 1,

+ 1) (2n -

an = n

9

2a" n

en la que' ao

(2n

2:

= :1,

b3 =/0 8'

b" =

= n=O ~ anx1l+i,

~

~

3:

co

SOL.

= -1,

anx", en la que ao

n ==O

= 1, a¡ = 0,

a2

= -:1,

n ~ 3:

Y2

= yllnx +

co

~ bnx", en la que bl

"=1

n 4. xy' SOL.

+ x(1 + x)y' Y

=

arbitraria,

(1 - 3x

~

4:

= 0,

b2

+ 6X2)y =

O.

~ anx"-\ en la que ao es arbitraria, al n ~

3:

aro

b3 =/7'

bn =

co n=O

=f,

=

2ao, a2 es (n+l)a n _1-6an_2 = - -'----=--'----'.:....::...--..:.:....:. n(n - 2)

5. Demuéstrese que la serie, en la respuesta al ejercicio 4, principia como sigue


limitación de los errores en los cólculos

§ 124]

+ 2 + 4X2 - ~X3 + 's3X • - : ~X5 + .) + a2 (X - ~X2 + ~ ;X3 - ~X· + i :X5 + . . .). + xY' + (1 + x·) Y = O. Aquí la ecuación indicial tiene y

= ao~ X- I

6. xY" como raíces e = O, e = 1, e intentamos obtener una solución completa sin faltar In x . Hacemos entonces

n==O

Y2

'" b"x". = ylln X + ~

El coeficiente bI (s = 1) vuelve a ser arbitrario y lo elegimos igual a cero. Demuéstrese que las YI y Y2 indicadas son soluciones si ao = 1,

> 5:

n

a

n

= _

+ 1) a n - + an -

(n

I

5

n(n+1 )

,

y si las b están dadas por

bo n

= -1 ,

> 5:

bI b

n

= O (así __

-

elegidas ) , b 2

nb n- I + bn - 5 n (n - 1)

= 1,

b3

=-

¡,

(2n - 1) a,,-t + n(n - 1)

_

b. =;~,

a " -2

.

7. Para la

YI del ejercicio 6, probar que la a" alterna su signo. Calcular también los términos de YI hasta el término x 7 •

= X - X2 + ~X3 - kx· + 2'.X5 8. x(x - 2 )2y" - 2(x - 2)y' + 2y = O. SOL.

YI

-

/.X6

+

1

~ ~ sx 7

JI

SOL .

Y2

= YI In x +

x

= - ~,

~ b"x", en la que bl =~, b z 71=1

+ .. .. .

= 1 - i x;\ b3

=-

.11!>

n -2 b" = ~[2(2n - 1) b"-1 - (n - 3 ) b"-1!J.

n>4 :

9. Resuélvase la ecuación del ejercicio 8 alrededor del punto x = 2. SOL. YI = (x - 2) ; Yz = ylln (x - 2)

10. 2xy"

+ (1

- x)y' -

(1

'" ( + ~l -

l )"(x

2"n-

2)"~

•

+ x)y =

SOL.

O. '" YI ~ a"xn+~ en la que ao = 1, al = n=O

n> 2: Yz

=

(2n a" =

'"

+

1) an - l + 2a n -2 2n (2n + 1) ;

~ b"x" en la que bo

n=O

.... 2 n,;:;:-:

i,

= 1,

bI

= 1,

b,, __ _n_bn-:-=-l_+'----b-"''t'-z --= n(2n - 1)


Tópicos adicionales en series d e potencias

[Cap. 23

11. Demuéstrese que las respuestas al ejercicio 10 están dadas también por

Y2 =

125.

eX,

Yl =

r

x

eX

exp ( - YJ2) d(3.

SOLUCIÓN PARA x GRANDES

Las soluciones en series de potencias que han sido estudiadas hasta aquí convergen en regiones alrededor de algún punto x = Xo, por lo común el origen. Tales soluciones, aunque pueden convergir para grandes valores de x, lo harán con una lentitud extraordinaria. Por esta razón y por otras de naturaleza más teórica, investigaremos el problema de obtener soluciones particularmente útiles para x grandes. Considérese la ecuación

bo(x)y"

( 1)

+ bl(X)Y' + b2(X)Y =

O

con coeficientes polinomiales. Hagamos (2)

w

1 =x

Entonces

dy _ dw dy _ dx dx dw

1 dy _ X2 dw

2

dy dw

----- ---- - w y

2 dy dX2

= dw ~(_w2 dy ) = dx dw

dw

2 w2 (_w 2 d y _ 2w d y ) dw 2 dw d2 d = w 4 ---..Z.2 + 2w 3 ---L . dw dw

De aquí, la ecuación ( 1) se transforma en la siguiente ecuación en y y w: (3)

bo(~) w :::2+ [ 2w3bo(!) - W2bl(~)J:~ + b2(~)Y. = O 4

Ya que bo, b 1 y b2 son polinomios, la ecuación (3) puede convertirse rápidamente en una ecuación con coeficientes polinomiales. Si el punto w = O es un punto ordinario o un punto regular singular de la ecuación (3), entonces nuestros métodos de tratamiento anteriores nos conducirán a soluciones válidas para w pequeñas. Pero w = l/x, así w pequeña significa x grande. Como un asunto de terminología se dice que todo lo que es verdadero de la ecuación (3) , alrededor del punto w = 0, es válido para


Solución para x grandes

§125]

la ecuación ( 1) alrededor del " punto en el infinito" . Por ejemplo, si la ecua.cÍón transform ada tiene w = como un punto ordinario, decimos entonces que la ecuación ( 1) tiene un punto ordinario en el infinito. (Véanse ejercicios 1-6 de la sección 125.)

°

EJEMPLO: Obtener soluciones válidas para x grandes de la ecuación

xV' +

(4)

( 3x - l )y'

+Y=

O.

Esta ecuaClOn tiene un punto irregular singular en el origen y no tiene otros puntos singulares en el plano finito. Para investigar la naturaleza de la ecuación (4) para x grandes, hacemos x = 1/ w. Hemos encontrado anteriormente que

(5) Y

2 2 d y = w 4 d y + 2w 3 dy dX2 dw 2 dw

(6)

Con la ayuda de (5) y (6) la ecuación (4) se transforma en

1(w w 2

2

4

d y + 2w 3 dY ) dw 2 dw

+ (1w

1) (_w 2dwdY ) + Y = 0,

o

d2

w 2 --Z2 dw

(7)

d _ w ( l - w)~+ y = 0,

I

dw

una ecuación que deseamos resolver alrededor de w = O. Ya que w = es un punto regular singular de la ecuación ( 7), el punto al infinito es un punto singular de la ecuación (4). De la forma supuesta

°

00

y=

~

anW'HC,

n::::O

se sigue de la ecuación ( 7) por nuestros métodos usuales que 00

L (y) =

~ n=O

(n

+e-

1)2 anw 1l+C

+

00

~

(n

+e-

l)an_lw n+c,

n=l

en la que L (y) representa ahora al miembro izquierdo de la ecuación ( 7 ). La ecuación indicial tiene raíces iguales, e = 1, 1. Establezcamos y,( w, e) como se hace generalmente. De la relación de recurrencia

n+c-1'



406

se sigue que

. Por tanto elegimos

=

an

y( w, c) =

( -1 )nao

------~~--~---------

c( c

Wc

+

+ 1)

(c

+n

- 1) .

00 ( _ 1 ) nw n +c . ~ ---,..:----'.--~-

n"l

c( C

+ 1)

. : . (c

+n -

1)'

y encontramos entonces que

ay(~: c) = y (w, c) In w

-f

( -1 ) nw n +c

{.!c + _1 _ + ... + 1 } c+1 c+n-1.

c( C

n::l

+ 1)

... (c

+n

- 1)

Empleando la raíz c = 1, llegamos a las soluciones

yl =

W

+

00

~

n::l

(_

1 ) nw n +1 I

n.

y

Por tanto, la ecuación diferencial original tiene las dos soluciones linealmente independientes

(8)

Y (9) Estas soluciones son válidas fuera de una circunferencia centrada en el origen y de radio arbitrariamente pequeño. EJERCICtos

En los ejercicios 1-6, los puntos singulares en el plano finito han sido clasificados y localizados. Para cada ecuación determinar si el punto en el infinito es un punto ordinario, un punto regular singular o un punto irregular singular. No resolver las ecuaciones. 1. x 3 (x - l )y"+ (x - l )y'+4xy=O. (Ejercicio 1 de la sección 104.)

2.

2 2 X (X -

4 )y"

+ 2x 3y' + 3y =

SOL . Punto regular singular. O. (Ejercicio 2 de la sección 104. ) SOL. Punto ordinario.


Solución poro x grandes

§125]

+ xy = O. (Ejercicio 3 de la sección 104.) SOL. Punto x y" + Y = O. (Ejercicio 5 de la sección 104. )

3. y"

4.

irregular singular.

4

Punto regular singular.

SOL.

+ Y = O. (Ejercicio 5, de la sección 104.) SOL. Punto regular singular. x y" + 2xY + 4y = O. (Ejercicio 18 de la sección 104.)

5. x 4 y" 6.

4

SOL .

Punto ordinario.

En los ejercicios 7-19 encontrar soluciones válidas para yalores grandes de x, a menos de que se indique otra cosa.

7. x4 y"

+ x(l + 2X2)y' + 5y =

O.

'"

y = ao k;O 2kk ! (2k -

SOL.

8. 2x ay" - x( 2 - 5x )y'

+y=

+

O.

9. x( 1 - x) y" - 3y'

+ 2y =

+

( - 2 ) n (n 1) x- n -1 7 .9 . .. (2n 3) '" (-1) n+1 (2n - 1) x- n Y2 ~ ,

_,

'"

+ n=15. ~

Y1 = x,

SOL.

_15x- 2k 1) (2k - 3) (2k - 5) a1 [x- 1 - ~X-3 + l\X-S].

+

!L.

n=O

O, la ecuación del ejercicio 8 de la

sección 110. SOL·

Y = a.o(x2

+ x(2 -

'" + 2x + 3 ) + laa n=O ~

(n

+ 4 )X-n-1.

3x)y' - (5 - 4x)y = O. Véase ejercicio 13, pág. 364. _ 2 ~ 1 . 3 . 5 . . " (2n - 1) X-n+2 . SOL. Y1 - X + ~ (,n.1) 2 , n=l = ' In (1/ ) + ~ 1·3·5 · . . (2n - 1) (2H2n - 3Hn )x-n+2 y2 Yt x 11":1 (n!)2 11. 2X2 (X - l )y" + x(5x - 3)y' + (x + l )y = O.

10. xY'

x-n -,

'"

~ 2---1" "=0 n12. Resolver la ecuación del ejercicio 11 alrededor del punto x = O. SOL.

Y1 = X-1; Y2 = -

Ya

SOL.

13. 2x2(1 - x)y" - 5x ( 1

+ x)y' + (5 -

SOL.

Yt

=

1\ ~'"

'"

3xn+,

= "=0 ~ 2 3; n +

Y4

=

X-l.

x)y = O.

+ 1) (2n + 3) (2n + 5 )X-H-:1; t ~'" (n + 1) (n + 2) (2n + l )x-n-~. n=O (n

n=O

Y2 =

14. Resolver la ecuación del ejercicio 13 alrededor del punto x = O. SOL .

Ya =

/0

'"

~

(n

n. = O

Y4 = -

'" (n

~

n=O

+ 1) (n + 2) (2n + 5 )xn+~ ;

+

1) (2n -

1) (2n

+

l )x"+1.

I


[Cap. 23


15. X(1

+ x) y" +

( 1 + 5x ) y'

+ 3y =

la sección 109.

0, la ecuación del ejercicio 5 de

Y1 =

SOL.

00

(- 1) 1H1n (n - 1) x-n-l;

~ "»=2

00

+ x-1 + x-2 + ~ (_1)n+1(n2 + n _ l)x-n-l. + X2)y' + y = O. ~ (-1) k[ ( -1 ) . 3 . 7 .. . (4k - 5 ) ]2X-2k. 1 + k~l (2k) ! '

Y2 = Y1ln (l/x) 16. x2( 4 + x 2)y" + 2x (4 SOL.

Yl

=

n=2

-1 00 (-1)10[1.5.9 . .. (4k _ 3)]2X-2k-1 Y2=X +~1 (2k+1)! . 17. x(l - x)y" + (1 - 4x )y' - 2y = 0, la ecuación del ejercicio 18,

página 377.

18. x( l + 4x )y" página 378.

+

SOL.

f

Y1 =

SOL.

nx-n-1 ; Y2 = Y1ln (l/x)

n~ l

(1

+ 8x )y' + y =

Y1 = x

-!t

~

+..:;.. "=1

+ n=O f x-n-1.

0, la ecuación del ejercicio 49,

(-1 )n[1 .3 .5 ... (2n - 1) ]2x-n-!t. 24n ( n.' ) 2 '

\ _ 1 (1/) ~ (_1)n(1 .3.5 ... '(2n - 1)]2(H 2n - H,, )x-n-Ij Y2 - Y1 n x + "~1 24n-2(n !)2 19. La ecuación del ejercicio 6 flnterior. SOL. Y1 = cos (2X-1); Y2 = sen (2X-1). 126.

ECUACIóN CON UN PUNTO ffiREGULAR SINGULAR

En la sección precedente resolvimos la ecuación

( 1)

xV'

+

(3x - 1) y'

+y=

O

para valores grandes de x. Intentemos ahora una solución cerca del punto irregular singular x = O. Procediendo en la forma desarrollada para el tratamiento de puntos regulares singulares, hagamos (2) 1).=0

Así, el miembro izquierdo de la ecuación (1) se encuentra que es 00

00

L (:v) = ~ [( n + e) (n + e - 1 ) + 3 ( n + e) + 1] anX"+c n =O 00

= ~ (n 11=0 00

= ~ (n 11=1

~ (n + e) anXn +c-1 n=O

00

+ e + 1) 2anX1HC -

~ (n

+ e) anX1HC-1

n=O

+ e) 2an_1X'HC-1

00

-

~ (n n=O

+ e) an x 1HC-1.


Ecuación con un punto irregular singular

409

Por tanto la ecuación indicial es e = O. Ha ocurrido ahora algo que no podría ocurrir en un punto regular singular: la ecuación indicial ha degenerado de una ecuación cuadrática a una lineal. Emplearemos esta raíz única e = () con la esperanza de obtener al menos una solución de la ecuación diferencial. La a n determinamos de

o

(3)

Se sigue de inmediato que an = n! ao, de tal forma que la raíz e nos ha conducido a la solución tentativa

=O

00

(4)

yl = 1

+¿

n !xn.

n=l

Ya que estamos tratando con un punto irregular singular, no se pueden aplicar los teoremas antes considerados sobre la convergencia de los resultados, debemos, para proveernos de información, regresar a la prueba estándar de comparación entre series. Con esta prueba es fácil demostrar que la serie en (4) diverge para x =1= O. Evidentemente la serie converge en x = O. Por tanto, no hay ninguna región en la cual la relación (4) sea una solución de la ecuación diferencial desde nuestro punto de vista elemental. Intuitivamente podemos razonar que la ecuación (4) fue determinada a partir de la ecuación diferencial, aun cuando lo haya sido por un proceso no justificado, y que por tanto, en alguna forma, debe condu- / cimos a una solución apropiada de la ecuación diferencial. Procederemos entonces a usar un artificio comúnmente empleado por los matemáticos profesionales. Retirándonos a algún lugar en donde tengamos asegurado el secreto, quizá a un estudio perfectamente oculto, podemos manipular la recalcitrante expresión -para nosotros una serie divergente- con cualquier procedimiento, legítimo o no, que parezca asegurarnos el éxito. Cuando lleguemos finalmente a una posición matemáticamente defendible - la ecuación ( 6) que se encuentra más adelante- salimos de nuestra reclusión y presentamos a los ojos del público una demostración formal y rigurosa de la validez del resultado --esta demostración es la descrita en las ecuaciones (7) a (16) que se encuentran más adelante- sin indicar los métodos que usamos para obtenerla.



[Cap. 23

Hasta ahora conocemos de nuestro estudio de la función gamma que, para n entero y no negativo,

n! = r(n

+ 1)

= [e-tt'1 dt,

una relación que puede obtenerse fácilmente aun sin el conocimiento de la función gamma, haciendo una integración iterada por partes. Representemos entonces la ecuación (4) como (5)

f

yl =

Joo e-ttn dt xll.

n =O

o

Sin fijarnos en la justificación necesaria, intercambiemos el orden de integración y suma para obtener

yl =

r

e- t n~o (xt)n dt,

o

e-t

00

(6)

yl =

Jo -1-- dxt t .

Probaremos ahora que yl de (6) es una solución de la ecuación diferencial (1) sobre el rango semi-infinito x ::;; O. Si sucede que x es compleja, se puede usar la misma clase de discusión para 'demostrar que yl es una solución en la región en la cual la parte real de x es no positiva. En (6) la variable de integración nunca es negativa, t ¿ O. Para x ::;; 0, tenemos por tanto -xt ¿

°

tal que (1 - xt)

(7)

¿ 1, de lo cual concluimos que 0<-1_1_
Debido a (7) la integral de (6) converge: (8)

oo -e-t-dt- I ::;; Jooet=l.

I Jo 1 -

xt

o

En realidad los métodos del cálculo avanzado demuestran que debido a (8) la integral en (6) es absoluta y uniformemente convergente sobre cualquier intervalo cerrado en el rango x::;; O. La misma desigualdad (7) nos conduce a la conclusión de que la derivada formal de yl, , Joo te- t dt 9 ( ) Y = o (1 - xt )2'


411

Ecuación con un punto irregular singular

es la derivada real de yl porque

"" te-t dt I J"" t I Jo (1 - xt) ~ o te-

(10)

2

dt = 1.

Un resultado similar es válido para y~. Ahora que sabemos que la yl de (6) Y sus derivados tienen significado en el rango x ~ 0, la tarea final es demostrar que yl satisface la ecuación diferencial

+

x2y"

(1 )

+Y=

(3x - 1) y'

O.

De (6) Xyl =

(11 )

o

xe-t dt

J -1 -- -xt' 00

y las derivadas de ambos miembros de (11) tienen sentido en vista de la desigualdad (7). Por tanto, sobre el rango x ~ 0, I

XYI

+ JII

-

-

Jooo e-t [ 1 _1 xt

+

J

xt d . (1 _ xt) 2 t,

esto es,

(12) De (12) (13) Integremos por partes el miembro derecho de la ecuación (13) de acuerdo con la elección mostrada en el cuadro siguiente

/

x dt ( 1 - xt) 2

1 - xt Obtenemos por tanto X ?-YII

t

+ XYI

=

o x2y~

[

J"" + J"" -e- t-dt ,

- e-1 - xt

+ Xyl

o

o

= -1

+ yI

1 - xt

Entonces la yI de (6) satisface la ecuación (14)

x2y;

+

(x -

l)Yl = -1.



[Cap. 23

Diferenciando cada miembro de (14) llegamos a x2y~

(15)

+

+ Yl

(3x - l)y~

= O.

Por tanto, la yl de (6) es una solución de la ecuación diferencial (1) sobre el rango x ~ O. De aquí, hemos obtenido una solución útil oo e-t dt (16) x ~ O, Y.:t= - -- , o 1 - xt de la serie divergente

J

(17)

1

+

00

~ n!x

n

•

n::::l

Debe hacerse notar que la validez del resultado que se obtuvo no es afectada por la forma en que llegamos a él. La validez es demostrada haciendo ver directamente que para la yl de la ecuación (6), L(Yl) = O. La discusión anterior deja muchas preguntas sin respuesta y debe considerarse como una introducción más bien burda al tema de soluciones cerca de un punto irregular singular.

127.

PAPEL DE LAS SERIES DIVERGENTES

En la sección precedente la serie divergente

( 1) nos condujo a la función significativa (integral convergente) (2)

Yl(X) =

oo

e-t dt

Jo -1--

xt

x ~

,

O.

Encontraremos ahora que la serie (1) es una herramienta excelente para calcular yl (x) cerca de x = O. Supóngase que una suma parcial de la serie (1) está definida por n

(3)

Sn(X) = 1

+ k=l ~

k!X'.

La diferencia entre la función Yl(X) y la suma parcial Sn(X) es (4)

Sabemos que

Yl(X) - Sn(X) =

oo

e-t dt

-Jo 1 - xt

n

¿ k!X'. k=o


Papel de las series divergentes

§127]

Por tanto podemos escribir

" J"" ~ e-ttkx" dt. k=o o En la serie finita está permitido intercambiar el orden de la suma y la integración. Podemos escribir entonces (5)

(6)

Y1 (X) - Sn (X) =

Yl(X) - Sn(X) =

o

e-t dt

J"" -1-- xt

"" e-t dt- - J"" e-t ~" Jo -1-- xt o k=o

(xt)k dt.

La suma de una serie geométrica finita es conocida del álgebra elemental " I - rn +1 ~ ~ = ---,--k=o I - r Usando r = rt) podemos representar (6) como Y~(x)

_

_ J""

Sn (X ) -

o

e-t dt _ I - xt

J"" e-t[1 o

- (xt) n+1] dt I - xt '

o

(7)

x ::;

o.

Hasta ahora hemos demostrado que O < (1 - xt) -1 ::; I para x en el rango x ::; O. Por tanto, de (7), podemos concluir que

IYl(x) - s,,(x) I ::; Ixl"+1 (t n+1e- t dt, de lo que se sigue que

x ::; O.

( 8)

El examen de la desigualdad (8) Y de ( 1) Y ( 2) nos demuestra que al calcular Y~ (x) por medio de la serie divergente ( 1) , el error que se comete nunca es mayor en magnitud que el primer término omitido./ Para cualquier n fija, el miembro derecho de la primera desigualqad en (8) tiende a cero cuando x ~ 0-. El cálculo se puede hacer tan preciso como se quiera tomando x negativa y suficientemente cerca de cero. Estamos particularmente interesados en cálculos de yl (x) para x cerca de cero ya que de otra manera no podremos resolver la ecuación diferencial alrededor de ese punto. Ya que la serie ( 1) no converge para y1 (x) , (9)

Lim [Yl(X) - Sn(X)] =1= O. " ..... 00



[Cap. 23

Decimos que la serie (1) es asintótica* a yJ. (x) cuando x ~ 0- queriendo significar que Lim Yl ( X) -: s,,(x) = O.

( 10)

n-..O-

X

En un sentido, la ecuación ( 10) dice que la diferencia entre Y,1 (x ) y cualquier suma parcial (n fija) de la serie, tiende a cero más rápidamente que como lo hace xn cllando x ~ 0-. Para nuestro problema, el límite ( 10) se sigue de la desigualdad ,( 8 ) . Comparando la ecuación (10) Y la condición correspondiente para la convergencia, esto es, la condición que dice que el límite en (9) debe ser cero, podemos darnos cuenta de la diferencia esencial que hay entre una serie que es convergente a yl (x) Y una que es asintótica a yl (x). Para la serie que converge a yl, x se mantiene fija y el error (yl - Sn) deberá tender a cero cuando n ~ oo. En la serie que es asintótica a yl, el número n de términos se mantiene fijo y el error (yl - Sn) tiende a cero (con una rapidez específica) cuando x tiende a un valor pertinente. Las dos propiedades son independientes; cada una de ellas, ambas o ninguna, pueden ser verdaderas en un caso e~pecífico.

128.

SOLUCIóN DE CIERTAS RELACIONES LINEALES DE RECURRENCIA

En la sección siguiente encontraremos algunas relaciones lineales de recurrencia no homogéneas del tipo

(1 ) \,

t

en las cuales n, gn, y ao se conocen, debiéndose encontrar an cuando n > O. Un caso especial de (1) es fácil de resolver. Supóngase que conocemos b o y tn, y que (2)

n

> 1:

bn = bn-l

+ tn.

La iteración de la relación nos conduce a

* Una introducción al tema de las series asintóticas puede encontrarse en E. D. RainvilIe, Funciones especiales. Nueva York: The MacmilIan Co., 1960, capítulo 3.


Solució n de ciertos relaciones lineales de recurrencia

b1 = bo b 2 = b1

+t +t

bn = bn-l

415

1,

2,

+ tn,

de tal forma que sumando los miembros respectivos obtenemos

..

bro = bo + ~ t k. k=1

Todo lo que necesitamos hacer para resolver la relación ( 1) es reducirla al caso especial (2). Deseamos eliminar la In. Pasemos tentativamente de la incógnita a" a bn, haciendo

(3 ) donde la 'f" se elegirá de manera tal que se elimine la relación (1) llegamos a

In.

Usando (3) en

o b" = I n'fn-1 b"-1

(4 )

+ gro •

'fro

'fro

Ahora deseamos elegir 'fro tal que 'f.. = lro 'fn~1. Siempre podemos hacer esto utilizando métodos que ya hemos discutido y usado y que serán exhibidos en los ejemplos que aparecerán a continuación. Una vez que 'f.. se ha elegido, la relación (4) es del tipo (2) y se puede resolver fácilmente para bn. Entonces aro está dada por la ecuación (3). EJEMPLO a): Supóngase que ao es arbitraria y encuéntrese, de la relación (5) la an, para n > O (5 )

Hagamos a.. = 'fnb .. con de (5) se obtiene que

'fo

= 1 de

tal forma que ao

n ;;::: 1: 'f"b" = n 2 'fn-lbn-1

debemos ahora escoger (6)

'f..

+

(n

+ 1),

de tal forma que satisfaga

= bo. Entonces


Tópicos ad ici onales en series de potencias

416

Ahora 'P1

=

'P2

=

1 2'P(J, 22'P1,

de donde 'P .. = (n! VCfo = (n!) 2 . La relación para las b se transforma ahora en

n 2:: 1: (n!) 2b.. = n2[(n - 1) tyb"-1 n 2:: 1: b.. = bn-l

(7) con bo =

tlQ.

+

+ n + 1,

n + 1 (n! ) 2 '

De (7) se sigue de inmediato que

.. k + 1 bn = bo + k"2}1 (k!) 2' Por tanto, para n

2:: 1, _

I

2

n

a.. - (n . ) ao + k~1 EJEMPLO

(k

+ 1 )( n! )2 (k ! ) 2

•

b ) : Resolver la relación

n 2:: 1: (n

(8 )

+ 3) (n + 2) a.. + an-l =

1.

Inmediatamente

> l'

n -

-

. an -

(n

- an-l

+ 3) (n + 2)

así que hacemos an = 'P.. bn, con Ifo

+

(n

1

+ 3) ( n + 2)'

= 1, Y pedimos que

(9)

Por supuesto ( -~ 1 )~"~~__~__~ Ifn -_ __ •. ~__~~ [4 . 5 . . . (n + 3) ] [3 . 4 . . . ( n + 2)]

( -1 )n12 (n + 3) !(n + 2)!'

De aquí que con a.. = Ifnb.., se encuentra que la relación para b.. es

( -l) n 12b n (n+3)!(n+2)!

( 10)

+ -

(-1 )n-112bn_l = 1 (n+3)! (n+2)! (n+3)! (n+2)'

n 2:: 1: b.. = bn- 1

+ 1\( -1 )" (n + 2) ! (n + 1) !.

Por tanto n

bn = bo + 1\

¿ ( -1 )k( k+2 )!( k+ 1)!

k=l


Ecuaciones no homogéneas

§129]

y, finalmente n > - 1: an = ( n

~ ( -1 ) -k ( k+2 ) ! ( k+l ) !

12 ( -1 )"ao

+ 3) ! (n + 2 ) ! + k~l

(n

+ 3) ! (n + 2 ) !

.

Con un poco de práctica la 'P" puede obtenerse por inspección. EJERCICIOS

Para cada relación, suponer que la ao es arbitraria y resolver para a n ,

r¡

> O.

1. n

2 1: a" = - na.n-l S O L.

2. n 2 1:

a"

+ 2a.

n-l

SOL.

+ 2. 2

n

_

n

1: a" -

,

n

( - 1) n·ao

+ 2 k~l

( -

1) n+k n ! k! .

= 1. n

2 1: a" = (-2 )"ao + (-2)"

n

~

(-i)k.

k=l

3. Sumar las series en la respuesta al ejercicio 2 y obtener entonces la solución n 21: a,. = ( -2 ) 1Iao + -MI - (-2 ) "]. 4. n 2 1: (n + 1) a" - a,.-l = n. SOL.

5. n 2 1: 6. n 21 :

n

2 1:

ao

SOL . n 2 na" - a"-l = ,. n. n (n l ) a" - a,.-l = n 1. ' ao SOL. n >1 . a" = n., ( n )' 1.

+

+

+

129.

11

k (k!)

+ 1) ! + ~l (n + 1) !' 1: a,. = (ao + H,,) In!.

a" = (n

~ ( k-l ) ! ( k+l ) !

+ k=l ~

,( + 1) ,.

n. n

•

ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS

En muchos casos una ecuación no homogénea

L (y) = R (x) puede resolverse esencialmente por los mismos métodos de series de potencias que hemos usado para las ecuaciones homogéneas. En lugar de usar un espacio considerable para desarrollar completamente este tema, ilustraremos algunos puntos de este desarrollo por medio de dos ejemplos y algunos ejercicios. EJEMPLO a) : Resolver la ecuación

., w

( 1) cerca del punto x = O.

X xy" + y= 1- x

/

http://carlos2524.jimdo.com/ [Cap . 23


418

La ecuación homogénea correspondiente

(2)

xy"

+y=

O

fue resuelta en el ejercicio 1 de la sección 111. Se encontró que su solución es _
y2 = ydn x

(4)

+

1 _ ~ (- 1 ) n (H"

+ H"-I) x"

n! ( n-1)!

n=1

Lo que necesitamos ahora es obtener una solución particular Yv de la ecuación (1) tal que la solución general de (1) pueda, cerca de x = O, escribirse como y = AYl + By2 + YP.

El miembro derecho de la ecuación ( 1) puede desarrollarse en una serie de potencias 1- x

Ahora nuestra ecuación diferencial podría representarse como xy"

(5 )

+y =

~

X1H'2,

n=O

y es natural buscar una solución particular de la forma

(6)

donde la a" y la 'Y deben determinarse. Si la y de la ecuación (6) satisface a la ecuación (5), debemos tener
~

"=0

(n

+ 'Y) (n + 'Y -

1) a"x"..Y-l

+¿

an_1X>HY-l

=

~

X>H2

n=l

idénticamente en alguna región que rodea a x = O. El término de grado más bajo en el miembro izquierdo es 'Y ('Y - 1) aoxY- 1 y en el miembro derecho es X2. Elegimos* por tanto 'Y = 3. Entonces la identidad que se satisface es

* Aquí podrían presentarse complicaciones si la serie del miembro derecho comenzara con un témlÍno xk con k cero o entero negativo.



§ 129J

n=l

n=O

Dos series de potencias que son idénticas en una región tienen sus coeficientes correspondientes iguales, por tanto concluimos que las a" están dadas por las relaciones n

= O:

= 1,

6ao

n ~ 1: (n

+ 3 ) ( n + 2) a" + an-1 =

1.

Es bastante razonable parar en esta etapa de nuestro desarrollo y escribir la solución general de la ecuación diferencial original como

y = AY1

+

By2 + y.p,

en la cual la y1 y y2 están dadas por las ecuaciones (3) Y (4) Y 00

(7 )

Yv =

donde ao

-t

¿

a nXn+a,

n:=Q

y an =

1 - an - l . (n+3 )( n+2 )

Se pueden calcular tantas a como se deseen de la relación dé recurrencia anterior. Puede encontrarse por el método de la sección precedente una forma explícita para la ano En efecto, de acuerdo con el ejemplo b) de esa sección n~1: 12 ( -1 )nao ~ ( - 1 )n+k( k+2 ) ! ( k+1)! a" = ( n + 3) !( n + 2) ! + k=l (n + 3) !( n + 2) ! . Por tanto, ya que ao dicada en ( 7) como ( 8 ) Yv = ~X3

+

00

=t , podemos

1 + ::1 (-

~

[

"

2

escribir la solución particular in-

] ( 1) "Xn+3 1) k ( k + 2) ! ( k + 1)! ( n + 3) ! ( n + 2) !.

Una simplificación posterior de la ecuación ( 8) nos da (9)

_

Yv - - 2Yl - 2x

2

+

x

00

11

+ n~l k~1

( -

1 ) lI+k ( k + 1) ! (k + 2) !Xn+3 (n + 3) ! ( n + 2) !

y ahora el término ( - 2Yl) puede absorberse en la función complementaria si así se desea. Es instructivo interiorizarse en los detalles de cómo se demuestra directamente de (9 ) que

/


[Cap. 23

Tópicos adicionales e n series de potencias

xy;

ex)

+ yP =

~

X'H2.

n=O


+ x (4x -

2x2y"

(10)

+ 2(3 x -

l)y'

l )y

=:r + x

4

cerca de x = O. La ecuación homogénea correspondiente tiene las soluciones linealmente independientes ( -2) "X"+2 (11) y1 = :2: , = x 2 e- 2", ,,=0 n. 00

_

_

y.2 -

(12)

~

X -

( - 4)"xn-~

+ "=1 ¿ (ex)

3)( - 1) ·1·· . (2n - 5)

,

como se indicó en el ejercicio 16 de la sección 107. Si usamos y = ¿ a"xn +y, ex)

n=O

la ecuación (10) se transforma en ex)

:2:

( 2n

ex)

+ 2y + 1) ( n + y -

2) anXn+y

+ :¿

2 ( 2n

+' 2y + 1) an-1X"+Y

n=l

n:::O

Es natural entonces elegir las relaciones

y

= 3. Por tanto las

a serán determinadas por

n = O: 7ao = 1, n = 1: 9 ( 2 ) al + 2 (9 ) ao = 1, n ¿ 2: ( 2n + 7) (n + l)an + 2 (2 n

De aquí, encontramos que ao n

= ~,

> 2: -

al

=-

+ 7)a"-l =

O.

1'2',,'

an = _ 2an-1. n+1

Esta relación de recurrencia tiene la solución an

_ -

( - 2)"-la1 3·4 .. . (n +1)

1 1

---'---'-....,---1 26'

1 ) n-1 . 2" (n+1)! .

( -

En consecuencia una solución particular de la ecuación original es _

13

11

Y - 7X - 12"6 x [

4

ex)

+ ~2

(

_

1 ) n-1 2"Xn+3] (n + 1)! '



§129]

o _

1

y -

'i

X

3

00 ~

1 1

-

(

_

1 ) n-12 n xn+3 + 1) ! .

- ' - _ - - ' -_ __

(n

12"67>=1

Esto se parece a la y1 de (11) en tanto que corramos el índice en la suma para encontrar 1 ) n2n-1 xn+2 _ 13 (13) Y -;¡X - 1 2 6 "'" - ' - - - " - - - : , - - - . n=2 n. 00 ~

11

(

_

La suma involucrada en la ecuación (13) es la misma que la que se encuentra en la expresión para y1 en la ecuación ( 11), excepto que dos términos de (11) no están incluidos en (13) Y se ha introducido un factor 2-1 • Por tanto representamos (13) como

y = ~X3 - /5\(Y1 - x 2

+ 2x3).

Pero el término proporcional a y1 puede absorberse en la función complementaria. Por tanto, la ecuación diferencial (10) tiene una solución particular o

(14) lo cual se puede verificar fácilmente por sustitución directa. Si en este ejemplo elegimos y = 2, una elección menos aparente quizá, entonces las a deben determinarse de las relaciones n = O: n = 1: n=2: n ~ 3:

O· ao

7al

= O, (ao arbitraria),

+ 14ao =

1,

18a2 + 18a1= 1, na,. + 2an-1 = O.

Así forzamos a a2 a ser cero, an al = ao =

= O para n > 2.

1\' 1\ -

~a1 =

2\\ . = 2\\

Si a2

= O,

De aquí que las elecciones de y = 2 Y ao nos conducen a an para n > 2 dándonos otra vez la solución (14).

=O

EJERCICIOS

Para cada una de las ecuaciones siguientes se encuentra la correspondiente ecuación diferencial homogénea en el principio del libro. Se pueden encontrar, en esta referencia, dos soluciones linealmente independientes pata

/

http://carlos2524.jimdo.com/ Tópicos adicionales en series de potencias

422

[Cap . 23

cada ecuación homogénea. Obténgase una solución particular para cada ecuación. 1. xy"

+

(1 - x) y' - y = xj( l - x). Véase ejercicio 17 de la sec-

1J

_ 2 00 [ n (k + 1) xn+2 Yv - i x + ~1 i + k~l k + 2 (n + 2) r 2. Demuéstrese, de la respuesta al ejercicio 1, que otra solución particular de la ecuación diferencial es 00 " (k + 1) 1xn+2 y = - H 1 + x) + "~1 k~l (k + 2) (n + 2) r 3. xy + y = xe"'. Véase ejercicio 1, de la sección 11l. 00 1) "x"+2 SOL. Yv = i X 2 + ~1 1 + k"2J1 (-I )k (k + 1) 1 (n + 2) l(n + 1) r ción 109.

SOL.

[n

] (_

4. Demuéstrese que la respue·sta al ejercicio 3, conduce también a la solución particular 00 " ( -1) n+k (k + 1) 1x"+2 Y=x + "¿= 1 10=1 ¿ (n + 2)1( . n + 1)'· .

+ x (x - l )y' ción 109.

5. x 2y"

+

(1 - x)y =

Véase ejercicio 8 de la sec-

X2.

00 ( _1 )"xn+2 Yv = ~o (n + 1) (n + 1) r y = e'" tiene ulla solución de la

SOL.

6. Demuéstrese que la ecuación xy" forma

+

00

¿

y=

a"x"

n=O

con al arbitrario. Hacer al = O Y determinar la solución particular resultante. SOL.

7. D emuéstrese que la ecuación

L (y )

= x y" + x (x 2

l ) y'

+ (1

- x) y

=x

00

no tiene solución de la forma y =

¿

a"xn+y.

n=O

8. Verificar, por medio del cálculo de L(y) que la ecuación del ejercicio 7 tiene la solución particular

x y = -ln- x 2 ?

00

+ In x »=1 ¿

(-1 ) "xn+l I

n · n.

00

+ »=1 ¿

(-1) ,,+1

G+ H,,)

x ..+1

l .

n · n.


CAPÍTULO

24

Métodos numéricos

130.

OBSERVACIONES GENERALES No hay un método general para obtener una fórmula explícita de la solución de una ecuación diferencial. Se han encontrado ecuaciones específicas para las cuales no se conoce un método de tratamiento que conduzca a una solución, u otras para las que las formas explícitas de las soluciones no se adaptan bien para el cálculo. Por estas razones son importantes los métodos sistemáticos y eficientes para encontrar una aproximación numérica a las soluciones. Desafortunadamente, el empleo de buenos métodos numéricos requiere por lo común que el que los emplee gaste mucho tiempo en practicarlos, así como que tenga a la mano alguna de las eficientes y admirables máquinas modernas de cálculo. Este capítulo está restnngido a una discusión fragmentaria de algunos de los métodos más simples y útiles. El propósito del autor es dar al lector un concepto definido de los principios fundamentales de las aproximaciones a las soluciones. 423

/


131.

MÉTODO DEL INCREMENTO

Queremos obtener la solución de la ecuación diferencial ( 1)

para la que y = 1 cuando x = O. Deseamos conocer la solución y = y(x) en el rango O ~ x ~ i. La ecuación ( 1) puede escribirse en forma diferencial como (2) y

_ _- l_ _ _L -_ _ _ _ _ _....I..-_ _ 'x

o

FIGURA 49

La figura 49 muestra el significado geométrico de la diferencial dy y de Ay, el cambio real en y, que es inducido por un incremento dx (o Ax) aplicado a x. En cálculo se demuestra que cerca de un punto donde existe la derivada, dy puede aproximarse a t..y tanto como se desee si se toma t..x suficientemente pequeño. Así, conocemos el valor de y en x = O; deseamos calcular y para O ~ x ~ i. Supóngase que elegimos Ax = 0.1; entonce~ dy puede calcularse de

dy = (y2 - X2) Ax En realidad, dy = (1 - O) (0.1) = 0.1. Por tanto para x = O + 0.1, el valor aproximado de y es 1 + 0.1. Ahora tenemos x = 0.1, Y = 1.1. Elegimos otra vez t..x = 0.1. Entonces


Método del incremento

§131]

dy = [(1.1)2 -

(0.1) 2] D.x,

así que dy = 0.12. Entonces en x = 0.2, el valor aproximado de y es 1.22. El cálculo completo empleado D.x = 0.1 se muestra en el cuadro siguiente. CUADRO 1 D.X

= 0.1

x

y

y2

X2

(y2 _ X2)

dy

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1.00 1.10 1.22 1.36 1.54 1.76

1.00 1.21 1.49 1.85 2.37

0.00 0.01 0.04 0.09 0.16

1.00 1.20 1.45 1.76 2.21

0.10 0.12 0.14 0.18 0.22

El incremento D.x no necesita ser constante a todo lo largo del intervalo. Donde la pendiente es mayor debe tomarse un incremento más pequeño, sin embargo, para simplificar los cálculos emplearemos aquí siempre incrementos iguales. Es conveniente repetir el cálculo con incrementos más pequeños y notar los cambios que resultan en los valores aproximados de y. El cuadro 2 muestra un cálculo con D.x = 0.05. CUADRO

D.x

2

= 0.05

x

y

y2

X2

(y2 _ x2 )

dy

0.00 0.05 0.10 0. 15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

1.000 1.050 1.105 1.166 1.233 1.307 1.389 1.481 1.585 1.703 1.838

1.000 1.102 1.221 1.360 1.520 1.708 1.929 2.193 2.512 2.900

0.000 0.002 0.ü10 0.022 0.040 0.062 0.090 0.122 0.160 0.202

1.000 1.100 1.211 1.338 1.480 1.646 1.839 2.071 2.352 2.698

0.050 0.055 0.061 0.067 0.074 0.082 0.092 0.104 0.118 0.135

/


Métodos numéricos

426

En el cuadro 3 se muestran los valores de y obtenidos de los cálculos en los cuadros 1 y 2 Y los valores de y obtenidos usando f:>.x = 0.01 (un cálculo que no se ha mostrado) al lado de los valores de y corregidos a dos cifras decimales. Los valores correctos se obtienen por el método de la sección 135. En este caso es accidental que los hayamos tenido a la mano. CUADRO 3 f:>.x

= 0.1

f:>.x

= 0.05

f:>.x

= 0.01

correcto

x

y

y

y

y

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1.00 1.10 1.22 1.36 1.54 1.76

1.00 1.11 1.23 1.39 1.58 1.84

1.00 1.11 1.24 1.41 1.62 1.91

1.00 1.11 1.25 1.42 1.64 1.93

Frecuentemente desconocemos la forma de obtener el valor correcto de y con un grado determinado de precisión. En tales casos se acostumbra acudir al recurso de disminuir el tamaño del incremento hasta que los valores de y muestran cambios, que no son mayores que los errores que estamos dispuestos a permitir. En este caso se espera que el lento cambio de los valores de y sea debido a que nos estamos acercando a la solución correcta más bien que (como sería bastante posible) la lentitud de esta variación fuera debido a la lentitud de convergencia del proceso usado. EJERCICIOS

1. Úsese el método de incrementos con f:>.x = 0.1 para calcular, en el rango O :s; x :s; 1, la solución de la ecuación y'=x+y

=

=

para que la y 1 cuando x O. También, resolver exactamente el problema de valores a la frontera por métodos elementales y comparar los valores de yen intervalos de 0.1 en x. 2. Empléese f:>.x = 00.5 en el problema del ejercicio 1. 3. Empléese el método de incrementos en el problema de valores a la frontera y' = e- ZY , cuando x O, Y O,

=

=

pnmero con f:>.x = 0.2 y después con f:>.x = 0.1, calculando y para el intervalo O :s; x :s; 2.


Método de aproximación sucesiva

§132]

4. Efectúense los mismos cálculos que se hicieron en el problema anterior, pero con el problema y'

132.

=

(1

+

X2

+ y2)-1; cuando x = O, Y =

O.

MÉTODO DE APROXIMACIóN SUCESIVA

Tratemos nuevamente el problema anterior ( 1)

r;

y' = y2 -

x = O, Y = 1,

con la y deseada en el intervalo O :s; x :s; i, por el método sugerido en la discusión del teorema de existencia en el capítulo 17. Aplicando lo establecido en esa discusión, concluimos que la solución deseada es y = y(x) donde y( x) = Lim yn(X) "'->00

y la sucesión de aproximación Yn(X) está dada por yo(x) = 1 y, para n¿1 (2) Para el problema que tenemos a la mano Y1(X) = 1 +

y, ( x) = 1

r:

+x

( 1 - t 2 ) dt, -

h

3

•

En seguida obtenemos una segunda aproximación, encontrando y2 (x) de y1 (x) por medio de (2). Por tanto encontramos que

Y2(X) = 1 +

y2() X

-1+ -

J: [ ( 1 + t X

+ X 2-

1

1t 3)2 - t 2] dt,

¡¡x4 -

2

5+

15x

1

6"3x1 .

Entonces ya (x), y4(x) , .. " pueden obtenerse de modo semejante, cada uno mediante el elemento precedente de la sucesión Yn(X). En el cuadro 4 se muestran los valores tomados por y1 (x), y.2 (x) Y y3(x) en intervalos de 0.1 en x, al lado de los correspondientes valores de y (x), con aproximación a dos cifras decimales, de la misma manera que como se obtuvieron en la sección 135.


CUADRO

4

X

Yl (X)

Y2( X)

Y3( X)

y(X )

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1.00 1.10 1.20 1.29 1.38 1.46

1.00 1.11 1.24 1.39 1.56 1.74

1.00 1.11 1.25 1.41 1.62 1.87

1.00 1.11 1.25 1.42 1.64 1.93

Debe tomarse en cuenta que la utilidad de este método no depende de la habilidad que se tenga para hacer las integraciones en una manera formal. Es mejor efectuar las integraciones mecánicamente, con un planímetro, o por algunos procesos numéricos tales como la regla de Simpson. EJERCICIOS

1. Aplíquese el método de esta sección al problema

y' = x

+ y,

cuando x = O, Y = 1,

del ejercicio 1, sección 131. Obtener Yl (x ) , Y2(x ), Y Y3(x) .

+ ix2; Y2 (x ) = 1 + x + X2 + txa ; = 1 + x + X2 +~xa + z\x4.

SOL.

y~( x)

= 1+ x

Ya( x ) 2. Calcúlese un cuadro de valores con dos cifras decimales de Yl, Y2, Y3 del ejercicio 1 para x = O a x = 1 en intervalos de 0.1. Tabular también los valores correctos de y obtenidos de la solución elemental del problema. 133.

MEJORA DEL MÉTODO PROCEDENTE

En el método usado en la sección 132, cada una de las yn( X) n = 0, 1, 2, ... , nos conduce a una aproximación a la solución y, = y ( x). Es factible que, respecto a una aproximación particular yk (x), la siguiente aproximación más adecuada será su sucesor yk+1 (x) . El problema de valores a la frontera que estamos tratando es

y' =

i -

X2;

X

= 0,

y= 1

Y nos indica inmediatamente que x = 0, la pendiente es y' = 1. Pero en la sección 132, siguiendo con fidelidad la sugestión del capítulo 17, co-


Mejora del método procedente

§133]

menzamos con yo( x) = 1, una recta que no tiene la pendiente correcta en x = O. Es, por tanto, razonable alterar nuestra aproximación inicial escogiendo yo( x ) de m anera que tenga pendiente correcta en x = 0, haciendo que pase aun por el punto deseado x 0, y 1. En consecuencia escogemos yo( x ) = 1 + x

=

=

y procedemos a calcular y.1 (x ), Y.2(x ) , . . . , como antes. Las etapas sucesivas de aproximación a y ( x) serán ahora

r[(

+ o 1 + tr 1 + x + X2;

yl (x ) = 1 yl (x) =

t 2 ] dt,

y

Y.2(x) Y2( X)

+ J: [( 1 + t + t r - t dt, 1 + x + X2 + ~X3 +:X4 + tx5; 2

1

2

]

y así sucesivamente. En el cuadro 5 los valores de y1, y2, y3 obtenidos por este método se muestran junto con los valores correctos de y. CUADRO

5

X

Yl (X)

Y2( X)

Y3(x)

y (x )

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1.00 1.11 1.24 1.39 1.56 1.75

1.00 1.11 1.25 1.41 1.62 1.87

1.00 1.11 1.25 1.42 1.64 1.92

1.00 1.11 1.25 1.42 1.64 1.93

EJERCICIOS

1. Aplíquese el método de esta seCClOn para obtener aproxirb'aciones Yl, Y2, Y3 para el problema del ejercicio 1 de la sección 131. SOL. Y1 (X) 1 + x + X2;Y2( X) 1 + x + X2 + !x:i; Y3(X) = 1 + x + X2 +ix 3 + /2X4. 2. Calcúlese con aproximación a centésimas Y1, Y2, Ya del ejercicicio 1 junto con los correspondientes valores de la solución y (x ) = 2e" - 1 - x.

=

=


134.

TRATAMIENTO PURAMENTE GRÁFICO

Al tratar el problema de valores a la frontera ( 1)

y'

= f ( x, y);

x

= a,

y

= b,

los pasos dados al formar la sucesión de aproximaciones yo(x) , yl ( x) , y2(x), . . . , frecuentemente se obtienen de manera gráfica. En este procedimiento, una curva y = yo(x), una primera aproximación razonable, se grafica con cuidado sobre el intervalo deseado, haciendo que la curva pase por el punto (a, b ) dada por la ecuación ( 1) . Frecuentemente este comienzo, la curva y = y.o(x), puede mejorarse en problemas prácticos empleando información adicional. Por ejemplo, puede saberse o sospecharse que la solución deseada es cóncava hacia arriba en el intervalo que se desea. El empleo de tal información nos permitirá obtener un comienzo más a.decuado al construir nuestra sucesión de aproximaciones. De la aproximación inicial, y = yo(x) , la primera aproximación se obtendría de Yl(X) = b

+

r

f[t, yo (t )] dt,

a

después y2 ( x ) de yl (x) de la misma manera, etc. El proceso se continuaría hasta que la gráfica se asentara, esto es, hasta que dos curvas sucesivas y = Yk(X) y Y = Yk+l(X) no fueran apreciablemente diferentes. Pueden hacerse muchas objeciones al método. Uno de los peligros es que la convergencia del proceso sea tan lenta que no pueda observarse gráficamente ningún cambio apreciable entre dos aproximaciones sucesivas aun cuando exista un error considerable.

135.

SERIES DE POTENCIAS

El problema numérico en el que estamos interesados en este capítulo es el de calcular, para O :::; x :::; i la solución de ( 1)

para la que y = 1 cuando x = O. Supondremos que existe una solución en series de potencias. Haciendo 00

(2)

y=

¿ anX''', »=0


Series de pote ncias

§135]

donde ao = 1, así y = 1 cuando x = O. La sustitución directa en la ecuación ( 1) nos da

o

'" nanX1l-l = - X2

~

'"

+

~ n =O

fr.=l

Con un cambio de índices en el segundo miembro obtenemos ~

'"

c.o

¿

11-=1.

k =o

na"xn-l = - x 2 + ¿

n=l

akan_l_kX1l-l.

Sabemos que ao = 1. Las otras a pueden calcularse, una cada vez de

n = 1: n = 2: n = 3: n ~4:

al = aoao, 2a.2 = aOal + alaO, 3a3 = -1 + ( aOa2 + al al + a2aO), na" = aOa1l-l + alan-2 + . . . + an~2al

+ an-laO.

Unos cuantos términos de la serie deseada están dados en

y= 1

+ x + X2 + ~,il + ix4 + tx 5 + ! ~x~ + : ~ ;x 7 + . .

Es una fortuna, en este ejemplo, que la convergencia de la solución en serie pueda demostrarse por métodos elementales. El cálculo directo ya nos había dado ao = 1, al = 1, a2 = 1, a3 - !, etcétera. Suponemos que (3)

para toda k menor que n, es decir, para O :::; k :::; (n - 1). Ahora sabemos que a" está determinada para n ~ 4, por n- l

(4)

na" =

¿

aka"-1.-k.

k=o

Cada una de las a del miembro derecho de (4) es positiva y no excede a la unidad. Por tanto, cada producto akan-l-k es positivo y no mayor que uno, O < akan-l-k :::; 1. Hay n de estos términos en el miembro derecho de la ecuación (4). En consecuencia de (3) y (4) se sigue que O < na" :::; n, o

(5)

0< a,,:::; 1.

\

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Métodos numéricos

432

Ya que sabíamos que la propiedad (5) se cumplía para n = 0, 1, 2, Y 3, podemos ahora concluir por inducción que (5 ) se cumple para todo entero n. Debido a la desigualdad (5 ) puede verse que la serie 00

y(x) =

~

G.nx'"

n=O

converge al menos para [xl < 1. Para el rango en que estamos interesados, x ::; i, denotaremos el error debido a que sólo consideramos hasta el término G.nx" mediante E .. (x); esto es, sea

°: ;

Ya que 0< a n

::;

[En(x) [ ::;

1, es cierto para toda x del rango O ::; x ::; t que

1<=*+1 [ad'[::;

k~+l (t)7< = it~n+~ =

O)"·

De hecho no es difícil mejorar este límite de error. Pero lo esencial es que para el rango de x en que estamos interesados, podemos limitar el error que cometemos al calcular mediante la serie de potencias. Entonces podemos estar seguros de la exactitud de aproximación a centésimos, cosa que no podía obtenerse tan fácilmente con los métodos descritos al principio de este capítulo.


CAPÍTULO

25


136.

NOTAS SOBRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Una ecuación diferencial parcial es aquella que contiene una o más derivadas parciales. Tales ecuaciones se encuentran en matemática aplicada, también se emplean en la matemática pura. El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales ofrece ramificaciones y dificultades como para ser interesante por sí mIsmo. En este libro, respecto a las ecuaciones diferenciales parciales, estudiaremos exclusivamente problemas de valores a la frontera. Las ecuaciones diferenciales parciales pueden tener soluciones que contengan funciones arbitrarias y soluciones que involucren un número ilimitado de constantes arbitrarias: En el lenguaje común, la solución de una ecuación diferencial parcial de orden n puede definirse como una que contiene n funciones arbitrarias. La solución general de una ecuación diferencial parcial casi nunca es (la ecuación de onda es una de las pocas excepciones ) de uso práctico al resolver problemas de valores a la frontera asociados con esa ecuación 433


137.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES EN MATEMÁTICAS APLICADAS

Ciertas ecuaciones diferenciales parciales se ocupan en matemáticas aplicadas tan frecuentemente y en tantos sentidos que su estudio es notablemente beneficioso. Un estudio exhaustivo de estas ecuaciones podría eventualmente conducir al lector a todas las fases de la matemática clásica y, en particular, lo llevaría de inmediato a establecer contacto con las funciones especiales que se emplean frecuentemente en la moderna teoría cuántica, así como en ingeniería y física teórica. La deducción de las ecuaciones diferenciales que se registraron aquí está más allá del alcance de este libro. Estas deducciones pueden encontrarse (no todas en cada libro) en las obras que aparecen como referencia al final de esta sección. Algunas de las formas en que estas ecuaciones se emplean, aparecerán en las aplicaciones detalladas de los capítulos 28 y 30. Sean x, y, z coordenadas rectangulares en el espacio ordinario. Entonces, como se expuso en el capítulo 5, la ecuación {l2V {lx2

( 1)

+

{l2V {ly2

+

{l2V (lz2

= O

se llama ecuación de Laplace. Se le ocupa en los problemas de determinación de temperatura en los estados estacionarios, potencial electrostático y flujo de fluidos en los estados estacionarios, etc. Si un problema que involucra la ecuación (1), es tal que un objeto físico en el problema es un cilindro circular, entonces es posible que las coordenadas cilíndricas faciliten la solución del problema. Encontraremos más adelante tal problema. Es asunto del cálculo avanzado el cambiar la ecuación (1) en una ecuación en la que las variables independientes son coordenadas cilíndricas r, (J, z relacionadas con x, y, z, de la ecuación ( 1) mediante las ecuaciones x

= r cos (J,

y

= r sen .(J,

z

= z.

La ecuación resultante, la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es (2)

{l2V 1 av 1 a2v {l 2V -{lr 2 + -r -{l r + -r 2 -{l.(J2 + -{lz 2 =

O.

Nótese que el empleo de la z en ambos sistemas de coordenadas no sufre ninguna alteración al hacer el cambio de las variables porque


Ecuaciones en matemáticas aplicadas

§ 137]

no aparece en las ecuaciones con las otras variables. Esto es, en un cambio de variables independientes tal como Z

o sus equivalentes

= HX + Y -

Xl

z) ,

yl

= HX

-

Y - z) ,

Zl

= Z,

se puede llegar a menudo a conclusiones incorrectas como resultado del uso de un subíndice como en Zl, aun cuando Z = Z1. Por ejemplo, del cambio de variables bajo discusión se sigue que

av {lz

De aquí que

all'1 cuando Z = Zl . Retornemos a la ecuación de Laplace. En coordenadas esféricas O, 'P, se relacionan con X, y, Z mediante las ecuaciones X

= P sen O cos 'P,

y

= P sen O sen 'P,

p,

= P cos O,

Z

la ecuación de Laplace es

a2v ( 3)

2 av 1 02V cot O oV esc 2 O a2 V _ O a p2 +p op + p2 {J02 +7 00 +~ {J'P2 - .

Con una variable independiente adicional t qu¡yrepresenta el tiempo, y con una constante representada por a, podemos escribir la ecuación

de onda en coordenadas rectangulares, (4)

a2V _ 2 ( a2 V 02V at 2 - a Ox 2 + ay2

02V)

+ {JZ2

.

La ecuación (4) se presenta en problemas que involucran movimientos ondulatorios. Esto lo trataremos más tarde en el problema de la cuerda vibrante. . Siempre que el problema físico sugiera una diferente selección para un sistema coordenado, por lo común debido a la forma de los objetos contenidos en el problema, la ecuación diferencial parcial pertinente puede transformarse en otra con las variables independientes nuevas que se deseen. El cambio real de variables en las ecuaciones diferenci~les parciales se deja al cálculo avanzado; aquí emplearemos los resultados.



[Cap. 25

Supongamos que para un sólido bajo ciertas condiciones, u representa la temperatura en un punto con coordenadas rectangulares x, y, z a un tiempo t. El origen de coordenadas y el tiempo inicial t = O pueden ser especificados a nuestra conveniencia. Si no existen fuentes de calor presentes, entonces la temperatura u debe satisfacer la ecuación térmica

(5) en que h 2 es una constante física llamada difusividad térmica. La ecuación (5) se deduce bajo las condiciones de que la densidad, el calor específico y la. conductividad térmica, son constantes para el sólido aquí considerado. Más comentarios sobre la cuestión de la validez de la ecuación (5) se harán en la sección 155. La ecuación (5) es la ecuación que se encuentra en muchos tipos de difusión, no solo cuando es el calor el que está difundiéndose. Con frecuencia se le llama ecuación de difusión. En el tema de elasticidad, ciertos problemas de fuerzas planas pueden ser resueltos con la ayuda de la función fuerza de Airy 'f, la que debe satisfacer la ecuación diferencial parcial (6)

Otras numerosas ecuaciones diferenciales parciales se encuentran en las aplicaciones, pero no con la insistencia dominante de las ecuaciones (1), (4) Y (5). En este libro se examinarán dos métodos para resolver problemas a la frontera en ecuaciones diferenciales parciales. La transformación de Laplace que se estudió en los capítulos 11 y 12 y se aplicó en los capítulos 13 al 15, es una herramienta útil para ciertas clases de problemas de valores a la frontera. La técnica de transformación será estudiada en el capítulo 29 y aplicada en el capítulo 30. Un segundo método es el clásico método de la separación de variables que se verá en el resto del capítulo. Encontraremos que otros dos temas, conjuntos ortogonales y series de Fourier, necesitan tratarse antes de que podamos proceder, en el capítulo 28, a usar la separación de variables como un método eficiente para resolver problemas que contengan ecuaciones diferenciales parciales.


REFERENCIAS Churchill, R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems, 2~ Edición. Nueva York : M cGraw-Hill Book, 1936. Churchill, R. V. Operational Math ematics. 2 ~ Edición. Nueva York: M cGraw-Hill Book, 1958. Hopf, L. Differential Equations of Physics. Nueva York: Dover Publications, 1948. ]effreys, H . y ]effreys, B. S. Methods of Math ematical Physics. Cambridge Univ. Press, 1950.

138.

MÉTODOS DE SEPARACIóN DE VARIABLES

Antes de tratar un problema real de valores a la frontera en ecuaciones diferenciales parciales, es prudente dominar un poco la resolución de ecuaciones diferenciales. Cuando hayamos adquirido alguna práctica en obtener soluciones, entonces podremos tratar los problemas más difíciles adaptándolos al mismo tiempo para satisfacer las condiciones a la frontera estipuladas. El artificio que se empleará aquí es útil en relación con las ecuaciones lineales, aunque no es siempre aplicable a tales ecuaciones. Consideremos la ecuación

(1) con h constante. Una solución de la ecuación ( 1) será en general una función de dos variables independientes t y x y del parámetro h. Busquemos una solución que sea producto de una función de t por una función de x. Hacemos

u =

fU) v (x)

en la ecuación ( 1) Y concluimos que (2)

f'(t )v(x) = h2 f (t )v" (x) ,

donde los apóstrofos denotan las derivadas con respectó al argumento indicado. Dividiendo cada miembro de ( 2) entre el producto f (t) v (x) , obtendremos f'(t ) _ hV ' (x ) (3) f (t ) v(x ) Ahora, en la ecuación (3) se dice que tiene variables (las variables independientes) separadas, esto es, el miembro izquierdo de la ecua-



[Cap_ 25

ción (3) es una función de t solamente y el miembro derecho de- la ecuaClOn (3) es una función de x solamente. Ya que x y t son variables independientes, la única forma en que la función de x puede ser igual a la función de t es en el caso en que cada función sea constante. Entonces de (3) se sigue inmediatamente que f'(t) = k (4) f(t ) , 2

(5)

h v" ( X) = k,

v(x)

donde k es arbitraria. Otra forma de obtener las ecuaciones (4) Y (5 ) es la siguiente. Diferenciamos cada miembro de la ecuación (3) con respecto a t (cualquier variable independiente puede usarse y así obtenemos

!!:...f' (t ) =o dt f (t ) , ya que el miembro derecho de la ecuación (3) es independiente de t. Primero obtenemos la ecuación (4) por integración y entonces de la ecuación (5 ) se sigue de (4) y (3 ) . La ecuación (4) también puede escribirse como

df = kf dt

'

de la que es solución general

Antes de ir más adelante en la solución de nuestro problema, intentaremos escoger una forma conveniente de la constante arbitraria introducida en las ecuaciones (4) y (5). La ecuación (5) sugiere que k debe tomarse como múltiplo de h2 • Retornemos a las ecuaciones (4) y (5 ) Y hagamos k = h2 (J2, así tenemos (6) Y

(7)


Métodos de separación de variables

439

Empleando f3 real y la elección k = h 2f32, estaremos implicando que la constante k es real y positiva.* Más tarde obtendremos las soluciones correspondientes a la elección de constantes reales, pero negativas. De las ecuaciones (6 ) Y ( 7) encontramos de inmediato que ( 8)

y (9)

v(x) =

C2

cosh f3x

+ Ca senh f3x.

Como u = t ( t ) v (x), llegamos al resultado de que la ecuación diferencial parcial

( 1) tiene soluciones ( 10)

u = exp ( h2f32t)[a cosh {3x

+ b senh {3x],

en donde (3, a y b son constantes arbitrarias. La a y b de la ecuación (lO) están dadas respectivamente por a = ClC2 y b = CICa en términos de las constantes de las ecuaciones ( 8 ) Y (9 ) . Si retomamos a las ecuaciones (4) Y ( 5 ) con la elección de k = - h 2[l, de tal forma que k se toma como una constante real negativa, entonces encontramos que la ecuación diferencial parcial ( 1) tiene las soluciones (11 )

u = exp ( - h2a 2 t) [A cos ax

+ E sen ax],

en las que a, A y E son constantes arbitrarias. Finalmente sea la constante k será O. Entonces podemos determinar directamente que las soluciones correspondientes de la ecuación diferencial (1 ) son ( 12 ) donde el y C2 son constantes. Es simple verificar que las ecuaciones ( 10), (11) Y ( 12 ) son realmente soluciones de la ecuación ( 1). Ya que, la ecuación diferencial parcial (1) es lineal, podemos construir soluciones por la formación de combinaciones lineales de soluciones. Así de (10), (11) Y ( 12 ) con elecciones diferentes de a, 13, A, E, a, b, el, e2, podemos construir tantas soluciones de ( 1) como queramos.

* La expresión "real positivo" es redundante ; si algo es positivo debe ser real. Tales frases redundantes son útiles en la exposición.


"[Cap. 25


La diferencia entre las ecuaciones (10) Y (11) depende de los parámetros y variables que permanecen reales. Nuestra mira es desarrollar herramientas para resolver problemas de física; por tanto intentaremos conservar cosas reales. EJERCICIOS

Excepto cuando se indique otra cosa, emplear el método de separación de variables; obténganse soluciones en forma real para cada ecuación diferencial. 02U

3t2 --

1.

{j2U

a2 -

ox

2 '

U = [Al cos a[3t + A,2 sen a,Bt][Bl cos,Bx u = (A3 + A4t) (B 3 + B4X) , SOL.

+ B 2 sen ,Bx], .

y

u = [A5 cosh a,Bt + A6 senh a,Bt][B 5 cosh,Bx + B6 senh ,Bx], donde ,B y las A y las B son constantes arbitrarias. 02V 02V . 2. ~ + -::;--z = O. ex ay SOL. V = [A 1 ef3 " + A'2e-¡3"][Bl cos,By + B2 sen ,By], y v = (A3 + A4X) (Ba + B4Y)' donde [3, las A y las B son constantes arbitrarias; los papeles desempeñados por x y y en la primera solución pueden intercambiarse. (Fu OU 02U ' 3. :::;-;¡ + 2b -;- = a2 ::.;-z. ot

ut

uX

Demuéstrese que estas ecuaciones tienen las soluciones

+ B 2 sen kx],

u = g(t) [Bl cos kx

donde g(t) puede tomar una de las siguientes formas e-bt[Aleyt + A 2e-yt ], 1'2 = b2 - a2 k 2 , si b2 _ a2k 2 > 0, o

e-bt[Aa cos 8t o

+ A4 sen 8t], u =

-

b 2, si a2k 2

-

b 2 > 0,

+ A t], si a k b = 0, (A7 + A se- 2bt ) (B3 + B4X).

e- bt [A 5

y las soluciones

82 = a 2k 2 6

2 2

-

2

Hállense todas las soluciones conteniendo el'" y e-kx • 4. OW = yCW.

5.

oy ox ow ow x - = W + yOX oy

SOL.

W = A exp {k (2x SOL.

W

+ y2)],

k Y A arbitrarias.

= AXkJ'-t, k y A arbitrarias.

6. Sométase la ecuación' diferencial parcial del ejercicio 5 al cambio de variable dependiente W = v/y y demostrar que la ecuación resultante para v es

http://carlos2524.jimdo.com/ Métodos de separación de variables

§138]

ov

441

ov

x-= y-o OX oy

7. Demuéstrese que el método de separación de variables no altera la ecuación 22U

ox2 +

(Fu 4 OX ot

02U

+ 5 at2 = o.

8. Para la ecuación del ejercicio 7, búsquese una solución de la forma u = ektf(x)

y por tanto obtener las soluciones u = exp [k (t - 2x)][Al. cos kx

+A

2

sen kx],

donde k, Al, A 2 son arbitrarias. Demuéstrese que también la ecuación Ax + B Y u Ct + D, con del ejercicio 7, tiene las soluciones u A, B, C, D arbitrarias. 9. Para la ecuación 22U eu e2u ex2 + 4x ex + ey2 = 0,

=

=

hacer u = f(x ) g (y) y entonces obtener las soluciones u = [A 1e2kY + A2e-2kY][B1f1(X) + B2 f 2(X) ], donde 1.1(X ) y f2(X ) son dos soluciones cualesquiera linealmente independientes de la ecuación f" + 4xf' + 4k 2f = O. Obtener además las soluciones de la ecuación anterior, cuando k = O. Para k =1= O, las funciones f1 y 1.2 deberán hallarse utilizando el método del capítulo 20. Pueden obtenerse en' la forma (k 2

( - 4) m(k 2

+

+ 2m -

1) (k2 + 3) (k 2 + 5) . . . (k 2 + 2m (2m+l)!

2)x 2m

1) x2m+l

Hállense soluciones similares que involucren cos 2ky y sen 2ky. 10. Emplear el cambio de variable u = el3t g(x) para encontrar las soluciones de la ecuación e2u 02U e2u 2 ex + 2 ex ot + at2 = O. SOL.

U = exp [j3(t - x)] [A 1

+ A2XV


Ecuaciones dife rencia les pa rcia les

442

11. Demuéstrese por cálculo directo que si fl (Y) y f2(Y ) son funciones (y), encualesquiera con segundas derivadas continuas, f~ (y) y tonces u = fl(X - at ) + f2(X + at )

1';

satisface la ecuación simple de onda (ejercicio 1), ¡Fu

¡Fu

-2- a2 -

ot

-

ox

2 •

12. Demuéstrese que v = f(xy) es una solución de la ecuación del ejercicio 6.

13. Demuéstrese que w = f (2x

+ y2) es una solución de la ecuación del + Xf2(t - x) es una solución de la

ejercicio 4. 14. D emuéstrese que u = f 1 (t - x) ecuación del ejercicio 10.

139.

PROBLEMA SOBRE LA CONDUCCIóN DEL CALOR EN UNA PLANCHA

Entre las ecuaciones que se utilizan en la matemática aplicada ya expuestas, está la ecuación para la conducción del calor en coordenadas rectangulares, ( 1)

en donde

w, y, z = coordenadas rectangulares del espacio, t = coordenada del tiempo, h 2 = difusividad térmica, u = temperatura. La constante h 2 y las variables x, y, z, t, u pueden expresarse mediante cualquier conjunto consistente de unidades. Por ejemplo x, y, z en pies, t en horas, u en grados Fahrenheit, y h 2 en pies cuadrados por hora. La difusividad térmica (supuesta constante en nuestro trabajo ) puede ser definida por

en términos de cantidades físicas elementales,

K = conductividad térmica, a = calor específico 8 = densidad,


Problema sobre la conducción de calor en una plancha

443

donde todas estas cantidades pertenecen a la composición del sólido cuya temperatura buscamos. Para nuestro primer problema de valores a la frontera en ecuaciones diferenciales parciales, escogeremos el más simple posible. Construimos un problema de temperatura en tal forma que la temperatura sea independiente de las dos vari'ab1es espaciales, que son y y z. Para tal problema, u será una función de sólo dos variables independientes (x y t) que es el número más pequeño de variables independientes posible en una ecuación diferencial parcial. y

------~-----------+------------e

o

x

FIGURA 50

Consideremos una enorme plancha de concreto, o de algún otro material razonablemente semejante en homogeneidad y textura. Sea el grueso de la plancha e unidades de longitud. Escojamos el origen de las coordenadas sobre una cara de la plancha como indica la figura 50 y supóngase que la plancha se extiende muy lejos en direcciones y y z. Sea f ( x) la temperatura inicial de la plancha (t = O) , una función solamente de x, y supóngase que las superficies x = O, x = e se conservan a la temperatura cero para toda t > O. Si la plancha se considera infinita en las direcciones y y z, o más específicamente, si tratamos sola-



[Cap. 25

mente con secciones transversales cercanas (lejos de las superficies de la plancha), entonces la temperatura u a cualquier tiempo t y posición x está determinada por el problema de valore~ a la frontera au

a2 u h ox2' 2

para 0< t,

(2)

a¡=

(3)

Cuando t -7 O+,

U-7f(x),

para O < x < C;

(4)

Cuando x -7 O+,

U-7 O,

para 0< t;

(5)

Cuando x -7 e,

U-7 O,

para 0< t.

O < x < C;

En este problema de valores a la frontera, el cero en la escala de temperaturas ha sido escogido como la temperatura a la cual se mantienen las superficies de la losa. Entonces la f (x) es realmente la diferencia entre la temperatura inicial real y la temperatura en la frontera constante y subsecuente. Ya que un conjunto de símbolos como t -70+ significa que t se aproxima a cero a través de valores superiores a cero; similarmente, x -7 C significará que x se aproxima a C a través de valores menores que c, "c menos algo" en cada paso durante el proceso de aproximación. Podemos decir entonces, por ejemplo, que x se aproxima a c por ,la izquierda. Es particularmente notable que no necesitemos una condición tal como que la función u(x, t) sea f(x) cuando t = O. Requerimos solamente que cuando t -7 O+, entonces u -7 f (x) para cada x en el rango O < x < c. La cuestión de cuántas condiciones a la frontera se necesitan precisamente, y de qué naturaleza deben ser, de tal forma que asociadas con una ecuación diferencial parcial dada aseguren la existencia y unicidad de una solución, es una cuestión de considerable dificultad. En este libro utilizaremos la guía más popular y práctica, la intuición física. La existencia no es un problema: buscamos una solución, si la encontramos sabemos que existe; si no la encontramos será bastante difícil para nosotros el poder hablar de su existencia. Al serio problema de la unicidad, nosotros le cerraremos completamente los ojos. Intentemos ahora resolver el problema de valores a la frontera, para encontrar una función u (x, t) que satisfaga la ecuación diferencial parcial

(2)

au = h2 02U at OX2'

para O < x < c,

y que satisfaga también las condiciones

O < t;

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§139]

(3 )

Cuando t -,) O+,

u~t ( x),

para O < x < e;

(4)

Cuando x ~ O+,

u~O,

para 0< t;

(5)

Cuando x -,) e-,

u~O,

para 0< t.

445

Ya sabemos cómo obt~ner algunas soluciones de la ecuación diferencial (2). En realidad, en la sección 138, empleamos el método de separación de variables para llegar a las soluciones u = exp ( h2,82t)[a cosh,8x + b senh ,8x], (6) con a b ,8 constantes arbitrarias, y las soluciones J

J

(7) con A B a constantes arbitrarias. Es necesario ahora intentar ajustar las soluciones (6) ó (7) para satisfacer las condiciones a la frontera (3), (4) Y (5). Algunos tanteos muestran rápidamente que es más simple satisfacer primero las condiciones (4) Y (5), y después tratar la (3). Tratemos de satisfacer (4) Y (5) con soluciones en la forma de la ecuación (6) anterior. La condición (4) requiere ahora que cuando x -,) O+, entonces u ~ O para toda t positiva. Si x -,) 0+ en la ecuación (6) concluimos que J

J

O = exp ( h2f32t) [a

+ O], para 0< t.

Por fuerza concluimos que a = 0, de tal forma que la solución (6) se transforma en (8)

Por la condición (5) debemos pedir que cuando x ~ e- entonces, otra vez, u -,) para toda t positiva; esto es de la ecuación (8) Y la condición (5) se obtiene

°

J

b exp ( h2 ,BZt) senh,8e = 0, para

°<

t.

La exponencial exp ( h2 ,BZt) no puede anularse. Para valores reales de ,8 y e la función senh,8e es cero solamente cuando ,8e = O. Por tanto, se sigue que f3 = ó b = 0, así que u O Y no tengamos oportunidad de satisfacer la condición restante (3). Abandonemos entonces la ecuación (6) Y concentrémonos en las soluciones

°

(7)

==

u = exp ( - h 2a 2t) [A cos ax

+ B sen ax].

\


[Cap. 25


Impongamos las condiciones (4) Y (5 ) sobre la u de la ecuación ( 7 ). Primero si x --7 O+, concluimos que 0= exp ( -h2a2t ) [A

+ O], para 0< t

J

entonces debemos elegir A = O, Y ( 7) se reduce a (9)

En seguida imponemos la condición (5 ) de que u --7 O cuando x así que 0= B exp ( -h 2a 2 t ) sen ae, para 0< t.

--7

c+

No debemos elegir B = O, si deseamos tener éxito en satisfacer la condición adicional (3). La función exp ( - h 2a 2t) no se anula. Entonces, para que la u de (9) satisfaga la condición (5), es necesario que senae = O.

( 10)

La función sen es cero cuando, y sólo cuando, su argumento es Uh múltiplo entero de 7T; esto es, sen z es cero cuando z = O, +7T, + 2r., . . . , +n7T, . Por tanto, de ( 10) se sigue que ge = nr., n entero

( 11 )

Ya que e está dado, la ecuación (1 1) sirve para determinar el parámetro arbitrario a- más bien que para restringir los valores de a a aquellos dados por ( 11 ). Con a = n r. I e las soluciones ( 9) anteriores se transforman en J

nr.h) 2t] sennr.x u = B exp [ - ( -ee

con n entero y B arbitraria. Ya que no necesitamos usar la misma constante arbitraria B para valores diferentes de n J es apropiado representar soluciones

(2)

Un

J

nr.x nr.h) 2 t sen= Bn exp [ - ( -e-, n entero. e

No perdemos nada restringiendo la n de la ecuación ( 12 ) a los enteros OY positivos 1, 2, 3, . . . , para n = O tenemos la solución trivial u los valores enteros negativos de n nos conducen esencialmente a las mismas soluciones que los valores enteros positivos. Veamos ahora dónde estamos en este momento. Cada una de las funciones Un definidas por la ecuación ( 12) es una solución de la ecuación diferencial

=


( 2)

Problema sobre la conducción de calor en una plancha

ou = h2 02U

at

para O < x < c,

axz '

447

0< t,

y cada una de aquellas funciones satisface las dos condiciones

(4 )

Cuando x ~ O+,

u ~ O,

para O < t,

u ~ O,

para O < t.

y

(5 )

Cuando x

~

c-,

Nos resta encontrar de las soluciones U n una solución u (x, t) que satisfaga también la condición a la frontera (o inicial ) (3 )

Cuando

t ·~

0+,

U ~

f(x),

para O < x

<

c.

Ya que la ecuación diferencial parcial involucrada es lineal y homogénea en u y sus derivadas,. una suma de soluciones es también una solución. De las soluciones conocidas U1, u Z, Ua • • • , Un • • • , podemos construir otras. Con condiciones de convergencia suficientemente fuertes es verdad que aun la serie infinita 00

U

=

~ u .. n-1

o ( 13)

u (x, t )

00 ~

n7rX Bnexp [(n7rh)2 - - - t] senC

n-1

e

es también una solución de la ecuación diferencial (2). La u ( x, t ) de la ecuación ( 13 ) satisface la ecuación ( 2) y las condiciones a la frontera (4 ) Y (5 ) . Si u ( x, t) satisface la condición (3), entonces para cada x en el intervalo O < x < c, el miembro derecho de la ecuación ( 13 ) deberá tender a f (x) cuando t ~ 0+. Suponemos que podemos intercambiar el orden del límite (cuando t ~ 0+) y la suma y concluir que la condición ( 3 ) formalmente requiere que

(4)

00 n7rX f (x ) = ~ Bn sen-, para O < x

11 -1

C

< c.

Por tanto, podemos resolver el problema bajo consideración si podemos elegir las constantes Bn de tal forma que la serie infinita en el miembro derecho de ( 14 ) tenga f (x) como su suma para cada x en el intervalo O < x < c. Que existen tales coeficientes Bn es evidente. Para una gran clase de funciones f (x ) existe un desarrollo del tipo de la ecuación (14), como se verá en el capítulo 27. Una vez que son conocidas las Bn se insertan en el miembro derecho de la ecuación ( 13 ) , la cual es entonces



[Cap. 25

la solución final del problema de valores a la frontera que consiste de la ecuación (2) Y las condiciones (3), (4) Y (5). Para ser capaces de completar la solución de problemas de valores a la frontera como los aquí considerados, necesitamos adquirir conocimientos acerca de los métodos de desarrollo de funciones en series trigonométricas. El capítulo 27 está dedicado a exponer ese tipo de desarrollo, dándonos herramientas para resolver numerosos problemas de valores a la frontera en el capítulo 28.


-

CAPÍTULO

26


140.

ORTOGONALIDAD Un conjunto defunciones fo (x), fl (X), f2(X), ... , fn (x ), ... , se dice que es un conjunto ortogonal con respecto a una función peso w (x) sobre el intervalo a ~ x ~ b si

Lw ( x)fn (x)fm ( x) dx = 9

O para m

=F n,

=F O para m =

n.

La ortogonalidad es una propiedad que se encuentra con mucha frecuencia en ciertas ramas de la matemática. También se emplea a menudo la representación de funciones en series de la forma n- O

en donde las Cn son coeficientes numéricos y las fn(x) son un conjunto ortogonal. Existe una enorme cantidad de literatura sobre los conjuntos ortogonales de funciones. El lector que desee informarse de la materia más allá de lo que este curso ofrece, podrá 449


\

(\

[Cap. 26


encontrar una buena introducción en los libros sobre polinomios ortogonales, series de Fourier, análisis de Fourieí-, etc. Al final del capítulo 27 se dará una pequeña lista de referencias. Una versión simple de un teorema en el campo de las funciones ortogonales puede establecerse como sigue: Dado un conjunto de funciones

cp,,(X), ••• , linealmente independientes (sección 31) Y continuas en el intervalo

a ::; x ::; b, Y dada una función peso w (x) positiva y continua en el mismo intervalo, entonces existe un conjunto de funciones

con las siguientes propiedades:

a) Cada fn (x) es una combinación lineal de los cp; b) Las fn(x) son linealmente independientes en el intervalo a::; x::; b; c) Las fn(x) fonnan un conjunto ortogonal con respecto a la función peso w ( x) sobre el intervalo a ::; x ::; b.

Ya sabemos que las funciones 1, x, x2 , • • • ,xn , • • • , son linealmente independientes y continuas sobre un intervalo finito. Las combinaciones lineales de potencias de x son polinomios. Por tanto, dado un intervalo y una función de peso apropiada, existe en particular un conjunto ortogonal de polinomios con respecto a la función peso sobre ese intervalo. Dando condiciones adicionales sobre la función peso puede quitarse la restricción de que el intervalo sea finito.

141.

CONJUNTOS SIMPLES DE POLINOMIOS

Un conjunto de polinomios fn(x); n = 0, 1,2,3, ... , se llama conjunto simple si fn (x) es precisamente de grado n. El conjunto contiene entonces un polinomio de cada grado, 0, 1, 2, ... , n, .... Una propiedad importante de los conjuntos simples es que si gm (X) es cualquier polinomio de grado m y fn(x) es un conjunto simple de polinomios, entonces existen constantes Ck tales que (1 )

'" ckfk (X). gm (X) = ,¿ k=Q


Polinomios ortogonales

§142]

PRUEBA. Supóngase que el término de mayor grado en gm (X) sea amXm y el término de mayor grado en fm (X) sea b m :?,. Definamos Cm = ami bm) notando que bm =1= O. Entonces el polinomio

gm (X) - cmfm (x) es a lo más de grado (m - 1). Sobre este polinomio emplearemos el mismo procedimiento que usamos en el caso de gm(X). Se sigue entonces que existe Cm-l tal que

gm( X) - cmfm (x) - Cm-lfm-l (X) es a lo más de grado (m - 2). La iteración de este proceso nos conduce a la ecuación (1) en (m + 1) pasos. Nótese que cualquier Ck excep-' to Cm puede ser cero. 142.

POLINOMIOS ORTOGONALES

En seguida obtendremos para los polinomios una condición, equivalente a nuestra definición (sección 140) de ortogonalidad. TEOREMA 21: Si f... (x) es un conjunto simple de polinomios) una condición necesaria y suficiente para que fn (x) sea ortogonal con respecto a w (x) sobre el intervalo a S x S b es que

L b

(1)

w (x)x"fn (x) dx

= 0,

k

= 0, 1,2,'

=1= 0,

k = n.

.. ', (n - 1) ,

Supóngase que se satisface (1). Ya que x" forma un conjunto simple, podemos escribir PRUEBA.

(2)

Si m

fm (X)

< n) se sigue que m

b

J

a

w (x ) fm( x)f... (x) dx

= k~O ak

Lw(x )x"fn( x) dx = ° b

por (1), ya que cada k involucrada es menor que n. Si m > n, se intercambian los papeles de m y n y se repite el argumento. Si m = n en ( 2), entonces an =1= 0, y tenemos

b Ja w (x)fn

2

n

(x) dx = k~ ak

Jb a

w (x)x"fn(x) dx

Lw (x)xnfn(x) dx =1= o. b

= an

http://carlos2524.jimdo.com/ [Copo 26


452

Vemos por tanto que la condición (1) es suficiente para la ortogonalidad de tn( x ). Supongamos en seguida que tn (X) satisface la condición de ortogonalidad como se estableció en la sección 140. Ya que la tn (X) forma un conjunto simple, podemos escribir k

Si k

~

xk =

(3)

<

bmfm (X).

m::::o

n, se sigue que

r:

w (x)xkfn (X) dx

= mt bm

J: w (x)fm (x )fn (x) dx = O,

ya que ninguna m puede ser igQal a n. Si k = n en (3), entonces bn =1= O y tenemos

( w(x)xnfn(x) dx =

mt bm J: w(x)fm(X)fn(X) dx

= bn

J: w(x)fn (x) dx =1= O. 2

Esto completa la prueba del teorema 21.

143.

CEROS DE POLINOMIOS ORTOGONALES

Mostraremos ahora que los polinomios ortogonales reales tienen todos sus ceros reales, distintos, y en el intervalo de ortogonalidad.

TEOREMA 22: Si fn(x) es un conjunto simple de polinomios ortogonales reales con respecto a w(x) sobre el intervalo a ~ x ~ b, Y si w(x) > O sobre a < x
J: w(x)fn(x) dx = O y w(x) no puede cambiar de signo en a < x < b. Supóngase que fn(x) cambia de signo en a < x < b precisamente en los puntos distintos x = al, <1<2, • • • , as. Las a son precisamente los ceros de multiplicidad impar de fn(x) en el intervalo. Ya que fn(x) es de grado n, tiene n ceros, tomada en cuenta la multiplicidad. Sabemos entonces que s ~ n.

http://carlos2524.jimdo.com/ Ortogonol idad de los polinomios de Legendre

§144]

453

De la función ( 1) Entonces, en a < x < b, if¡ (x ) cambia de signo en x = al, « 2, . . . , as y en ningún otro lado. . Si s < n, if¡ (x) es de grado < n, entonces ( 2)

rw (x) ¡n( x )if¡ (x) dx = O a

por la aplicación del teorema 21 a cada término en la forma desarrollada de if¡ (x). Pero el integrando en ( 2) no cambia de signo en ninguna parte en el intervalo de integración, ya que w (x ) > O y las funciones f,,( x) y if¡(x) cambian de signo precisamente en los mismos puntos. Por tanto, la integral en (2) no puede anularse y la suposición de que s < n nos ha conducido a una contradicción. De aquí que tengamos que s = n. Esto es, entre los n ceros de t,,(x) hay precisamente n de multiplicidad impar en el intervalo abierto a < x < b. Entonces cada cero es de multiplicidad uno y, por tanto, los ceros son distintos. Con esto se completa la prueba del teorema 22.

144.

ORTOGONALIDAD DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE

Los polinomios de Legendre

( 1)

x)

1P,,( x)=F ( -n, n+1 ; 1;-2-

de la sección 120 fueron obtenidos resolviendo la ecuación diferenéial

(2)

( 1 - x2 )y" - 2xy'

+ n (n + l)y =

O.

Los Pn(X) forman un conjuntto simple de polinomios para los cuales obtendremos ahora una propiedad de ortogonalidad. De ( 2) tenemos

( 1 - x2 )P;: (x) - 2xP~(x) ( 3)

D[( 1 - X2) p;, (x)]

+

n (n

+ n(n + +

1) P" (x)

l)P,, (x ) = O,

= O; D =.!!..-. dx

Para el índice m tenemos (4 )

D [ ( l - X2) Y", (X) ]

+ m ( m + l)Pm (x)

= O.



454

Estamos interesados en el producto Pm(X)P,,(x). Entonces multiplicamos (3) por todo el polinomio Pm (x), (4) por todo el p" (x) y restamos para obtener Pm(x)D[ (1 - x 2)P:(x) J - P" (x)D[ (1 - X2)P;" (x) J

+ [n (n + 1)

+ 1)JPm ( x)P,,(x)

- m(m

= O.

La ecuación anterior puede representarse como

(5)

(n2 - m 2 + n - m)Pm ( X)Pn ( X) = Pn(x)D[ (1 - x 2)P;"(x) J - Pm(x )D[ (1 - x 2 )p: (x) J.

Ahora, por la fórmula para diferenciar un producto, obtenemos D [ ( 1 - X2 ) Pn( X) P'm ( x ) J= Pn( X) D [ ( 1- X2 ) P;" ( x )]

+

+ (1 - x 2)P:(x)P;"(x)

y

D[ ( 1-x2)P~ (x)Pm(x) J=Pm(x )D[ (1 -x 2)P: (x) J + + (1-x2)P: (x)P~(x). De aquí que D[ ( 1 - x2){Pn ( x)P~(x) - P:(x)Pm(x)}] = = Pn(x)D[(1 - x 2)P:.. (x)] - P",(x)D[ ( 1 - x 2)P:(x)J. Además, n2 - m 2 + n-m = (n - m) (n + m + 1). Por tanto podemos escribir (5) como

(6)

( n - m) (n

+ m + l)P",(x)Pn(X) = D[ ( 1 - X2) {Pn(x)P'm (x ) - P: ( x )P", ( x) }].

Hemos expresado ahora el producto de dos polinomios de Legendre cualesquiera como una derivada. Las derivadas son fáciles de integrar. La ecuación (6) nos da

(7)

(n - m) (n

+ m + 1) ~: P",(x)P,,(x)

dx =

= [( 1 - X2) {Pn(x)P'm(x) - P:(x)Pm(x)}

I

Podemos elegir cualesquiera a y b que deseemos. Ya que (1 - X2) es cero en x = 1, x = -1-, concluimos que (8)

(n - m) (n

+ m + 1)

r

P",(x)P,,(x) dx = O.

-1

Ya que n y m son enteros no negativos, n si m =f=. n, n-m =f=. O Y de (8) tenemos

+ m + 1 =f=. O.

Entonces

http://carlos2524.jimdo.com/ Otros conjuntos ortogonales

§145]

f1

(9)

455

Pm(X)P.,(x) dx = O.

Los polinomios de Legendre son reales, entonces

1:1 p.,2(X) dx =1= O.

Hemos demostrado que los polinomios de Legendre P., (x) forman un conjunto ortogonal con respecto a la función peso w(x) = 1 sobre el intervalo - 1 < x < 1. Los P., (x) son un con junto simple de polinomios reales y por tanto se les pueden aplicar los teoremas de las secciones 142 y 143. Un estudio más extenso de p.,(x) ocuparía más espacio que el apropiado en un texto elemental de ecuaciones diferenciales. Haremos ahora una lista de algunas de las propiedades, entre los cientos que hay, de estos interesantes polinomios: ( 10)

(1 - 2xt

( 11 )

t

r

00

+ t2ti =

~

10=0

1

(12) (13)

P (x) .,

l

p.,2(X) dx = 2n

+ 1'

1) 1o. D 'dx'

n

= nP.,(x)

2

= -d

= -2 1n! D10 (X2 -

xP~ ( x)

Pn(X)t 1O ,

+ P'n-l(X) ,

(14 )

(X2 - 1) P~ ( x) = nxP.. ( x) - nPn-1 ( X) ,

(15)

nP.. (x) = (2n - l)xPn--l(x) - (n - I)P"_2 (x).

145.

OTROS CONJUNTOS ORTOGONALES

En el capítulo 22 resolvimos algunas ecuaciones diferenciales del tipo hipergeométrico. En la sección 116 encontramos los polinomios de Laguerre L _.. (- n ) "x" _., ( -1 ) "n !x" (1) .. (x) - k~O (k!)2 - ~{) (k!)2 ( n - k)! como una solución de la ecuación diferencial (2)

xL;;(x)

+

(1 - x)L~(x)

+ nL,,(x)

= O.

La ecuación (2) puede expresarse en la forma (3)

de la que se sigue la ortogonalidad de los polinomios de Laguerre (véase el ejercicio 1 siguiente).


Conjuntos ortogona les

456

Los polinomios de Hermite de la sección 119 [nl2 ] (

(4)

Hn (x) =

k~O

-1 )kn ! ( 2x) 1Io-2 k k! (n - 2k)!

'

satisfacen la ecuación diferencial H~ (x)

(5 )

-

2xH~ ( x)

+ 2nH

n

(x) = O.

Esta ecuación puede expresarse en la fonna

(6)

D[exp

( -x 2) H~ (x) J

+ 2n exp ( -x2)H ,,(x)

= O,

de donde se sigue la ortogonalidad de los polinomios de Hennite. (Véase ejercicio 3 de esta sección.) Las funciones de Bessel ln(x) de la sección 118 tienen también propiedades de ortogonalidad, seg{m se puede demostrar; sin embargo, tal demostración está más allá del alcance de este libro. (Véase R. V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems. 2" Edición. Nueva York: McGraw Hill Co., 1963.) EJERCICIOS

1. Empléese la ecuación (3) anterior y el método de la sección 144 para demostrar que los polinomios de Laguerre son ortogonales con respecto a la función peso e-X sobre el intervalo O ~ x < oo. 2. Demuéstrese, con la ayuda del ejercicio 1, que los ceros del polinomio de Laguerre L,, (x) son distintos y positivos. 3. Empléese la ecuación (6) anterior y el método de la sección 144 para demostrar que los polinomios de Hennite son ortogonales con respecto a la función peso r X2 sobre el intervalo - 00 < x < oo. 4. Demuéstrese, con la ayuda del ejercicio 3, que los ceros del polinomio de Hermite Hn (x) son reales y distintos.


CAPÍTULO

27

Series de Fourier

146.

ORTOGONALIDAD DE UN CONJUNTO DE SENOS Y COSENOS Las funciones sen ax y cos ax se encuentran en la solución fonnal de ciertos problemas de valores a la frontera en las ecuaciones diferenciales parciales, como se indicó con amplitud en el capítulo 25. Ahora obtendremos una propiedad de ortogonalidad para un conjunto de funciones con una a determinada. Consideremos un intervalo; escojamos su centro en el origen de tal forma que tenga la fonna simétrica: - c ::; x ::; c. Demostraremos que el conjunto de funciones, sen (n7rxlc), { cos (n7rxlc) ,

(A)

n = 1,2,3,"', n = 0, 1,2,"',

o sen (7rxlc) , sen (2 1Txlc) , sen (37rxlc),. sen (n7rxlc) , ... , (A j { 1, cos(7rxlc),cos (27rxlc ),cos (37rxl c), ... , cos (n7rxlc ), ... , ,

es ortogonal con respecto a la función de peso w(x) = 1 sobre el intervalo - c ::; x ::; c. Esto es, probaremos que la integral 457


Series de Fourier

458

de x = - e a x = + e del producto de dos cualesquiera miembros del conjunto (A) es cero. Consideremos primero la integral del producto de cualquiera de las funciones seno en (A) Y las del coseno de (A). El resultado e

11 =

J

-e

nrrx kTrX sen cos dx = O e e

se sigue inmediatamente del hecho de que el integrando es una función impar de x; en este momento el resultado no depende del hecho de que k y n son enteros. Considérese después la integral del productQ de dos diferentes funciones seno del conjunto (A),

1.2 =

n7TX k7TX sen - sen dx, k =1= n. -e e e e

J

Introduciremos una nueva variable de integración para simplificar la escritura; hagamos rrx = f3 e ' de donde e dx = - df3. Entonces 12 puede escribirse como 12 = :;

f"

sen nf3 sen kf3 df3.

Ahora de la trigonometría obtenemos la fórmula sen nf3 sen kf3 =

ircos (n

- k) f3 - cos (n

+ k) 13]

que es útil para resolver la integral deseada. Así, se sigue que la integral se convierte en 12 = ;7T

f"

+ k)f3] df3 sen (n + k)f3J" , n+k _"

[cos (n - k)f3 - cos (n

= ~[sen (n - k)f3 _ 271 n-k

ya que ni (n - k) ni (n + k) pueden ser cero. Como n y k son enteros positivos, sen(n -k)f3 y sen(n + k)f3 se anulan para f3 = 7T Y f3 = -7T; entonces 12 = O para n, k = 1, 2, 3, ... , y n =1= n.

http://carlos2524.jimdo.com/ Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos

§ 146]

459

Finalmente considérese la integral del producto de dos diferentes funciones coseno del conjunto (A), [3

( = J

n7TX

k7TX

COS -COS - -e C C

dx, ·

donde n, k = O, 1, 2, 3, . . . ; k =1= n. Empleando el mismo método que se utilizó para [2, obtenemos [3

=~[sen (n - k)f3 + sen (n + k)f3]'Ir = O. 27T n-k n +k - 'Ir

Es fácil ver que la integral del cuadrado de cualquier función del conjunto (A) no se anulará, su integrando es positivo excepto en un punto ocasional. Los valores de estas integrales pueden obtenerse fácil· mente. La integral

tiene un integrando par, por tanto puede escribirse como = 2

[4

e

Jo sen

n7Tx 2 --dx. C

Por los métodos elementales de integración obtenemos

7T x) ( ( 1 - cos -2nc= Jo dx =

[ 4

2n7Tx]e c = [ x - 2m¡sen-Co = c. Entonces

re

n7TX

J sen2 --dx = c para n = 1,2,3, . -e

C

En la misma forma se sigue que, para n [5

> O,

n entero

re n7TX = J cos 2 - - dx = C

-e

= [x

7T

2n x]e c + -2 sen - - = n7T c o

Para n = O la integral [5 se convierte en [6

=

r

e

1 . dx

= 2c.

c.


Series de Fourier

460

Así que c

J-c

2

n7rX

COS - -

c

dx

= c para n = 1,2, 3, . = 2c para n = O.

Hemos demostrado que el conjunto sen (n7rx/c), n = 1,2,3,· { cos (m7rx/c), m = 0, 1,2, .

(A)

es ortogonal con respecto a la función peso w (x) = 1 sobre el intervalo - c ::; x ::; c. Hemos también calculado las integrales de los cuadrados de las funciones del conjunto (A).

147.

SERIES DE FOURIER: UN TEOREMA DE DESARROLLO

Con la suposición de que existe un desarrollo en serie del tipo (1) *

f( x) = tao

+

7r 00 ( ~ a" n cos - x

+ b" sen -n 7rx) ,

"=1 C C válido en el intervalo -c::; x ::; c, es una cuestión simple determinar los coeficientes, an y b". Realmente, no haciend~ caso a la cuestión de validez del intercambio de orden de la suma e integración, procedemos como sigue. Multiplicamos cada término de la ecuación (1) por sen(hx/ c) dx, donde k es un entero positivo, e integrando cada término de -c a +c, así llegamos a (2) ( f (x) sen k;x dx = tao

+

00

~

L

sen k;x dx

+

n7rX k7rx a" J cos-sen- dx

[ (

-e

110-1

C

C

+

+

r n7rX k7rx ] b" J sen - - sen - - dx . -c c c C

Como vimos (3)

re

n7rX

k7rx

C

C

J cos -sen -e

dx =

°

para toda k y n,

* Una razón para la notación aparentemente peculiar, constante aparecerá muy pronto en las páginas siguientes.

tao,

para el ténnino


Series de Fourier: un teorema de desarrollo

§147]

y

(4)

k7l"X J( sen -n7l"X sen - dx -e

C

= O para

k =1= n; k ,n

= 1, 2, 3,..

..

C

Por tanto, cada término del miembro derecho de la ecuación (2) es cero excepto para el término n = k. Entonces, la ecuación (2) se reduce a e f(x) sen -k7l"X dx = bk Je sen2 -k7l"X dx. (5)

J-e

-e

C

C

Puesto que e

J sen

2

k7l"X - dx =

C,

C

-e

tenemos bk

= ! Je f(x)

= 1,2,3, .

sen k7l"X dx, k

-e

C

C

de lo cual los coeficientes bn en la ecuación (1) se encuentran por la simple sustitución de k con n; esto es ( 6)

n7l"X dx, n = 1,2,3, .... bn = -1 Je f (x) sene -c

C

Obtengamos la a n de manera semejante. Multiplicando cos (bx/c)dx por toda la ecuación (1) e integrando término por término de x = - e a x = +c, obtenemos

(7)

e J-c f(x)

k7l"x cos- dx = e

+

00

~

iao Je

-c

[Je an

k7l"x cos- dx

+

n7l"X k7l"x cos-cos- dx

-c

11= 1

C

C

+

C

n7l"X k7l"x ] + bn J-ee sen-cos-dx· c e

El coeficiente de b ll en (7) es cero para toda n y k. Si k =1= O, sabemos que e n7l"X k7l"x cos cos dx = O para n =1= k,

J

-e

e

C

= c para n = k, Y también el coeficiente de ecuación (7) se reduce a

re

iao k7l"X

es cero. De aquí que para k =1= O la

J f (x) cos-dx = -c

C

ak

Je -e

k7l"X cos2 -dx, C


Series de Fou rier

462

de lo cual ak y además a pueden encontrarse de la misma forma en que las bk fueron determinadas. Obtenemos por tanto nJ

J

(8 )

1 ( mrx a" =- J f (x) cos-- dX n = 1,2,2,' . J

c

-c

C

En seguida determinemos ao. Supóngase que k = O en la ecuación ( 7) de tal forma que tenemos la ecuación

L

f (x) dx = iao

L

dx

+ + n~1

Los términos que contengan n

[

~

cos n;x dx

+ b,. [

sen n;x dx ]-

1 son cero cada uno. De aquí que

f (x) dx = iao (2c),

[ de donde obtenemos

ao = -1

(9)

an (

c

Je -c

f (x) dx.

La ecuación (9) se adapta a la ecuación (8) en el caso especial en que n = O. El factor i no ha sido insertado como en la ecuación (1), ya que se hubiera necesitado otra fórmula por separado, podemos escribir el desarrollo formal como sigue:

(10)

f (x)

= iao +

con (11 )

a,. = -1 e

(12)

b,. =-

1 e

Je -e

'" ~

(n7rx a,. cos C

n=1

I ( x) cos -n7rX - dx, n = 0, 1, 2, . . . , e

Je I (x) sen-n7rX dx, n -c

+ b,. sen -n7rC x)

e

= 1,2,3, ....

Antes de proceder con los ejemplos específicos y las aplicaciones nos comprometeremos a establecer condiciones bajo las cuales la igualdad ( 10) tiene sentido. Cuando a,. y b,. están dadas por (11) y (12) el miembro derecho de la ecuación (10) se llama serie de FourierJ sobre el intervalo -c <;x <; CJ para la función f (x). Se establecerán de inmediato las condiciones suficientes para asegurar que la serie de Fourier en (10) representa la función f( x) de una manera razonable. Sea f(x) continua y diferenciable en cada punto del intervalo - c <; x <; c excepto para a lo más un número finito de puntos, y en


Series de Fourier: un teorema de desarrollo

463

aquellos puntos consideremos que f ( x) y f' (x) tienen -lúnite derecho e izquierdo. Tal función se muestra en la figura 51. TEOREMA 23: Bajo las condiciones del párrafo anterior la serie de Fourier para f (x), esto es, las series del miembro derecho en la ecuación ( 10) con coeficientes dados por las ecuaciones (11) Y (12), convergen al valor f (x) en cada punto de continuidad de f (x) ; en cada punto de discontinuidad de f (x) la serie de F ourier converg!J a la media arito mética de los límites izquierdo y derecho de f (x) . f(x)

--~~--------~~--------------x e -e O e T

FIGURA 51

Ya que las series de Fourier de f(x) no pueden converger al valor de f (x) en todas partes (por ejemplo, en las discontinuidades de la función), se acostumbra reemplazar el signo de igual por el símbolo ,...., en la ecuación (10), que puede leerse "tiene por serie de Fourier". Escribimos ( 13) con

an

j (x ) ,...., i ao +

w

~ n= l

(n~x n~x) a" cos --+ bnsen--- , e e

y b n dados por las ecuaciones (11) Y ( 12) .


Series de Fou rier

464

Un hecho interesante y útil, frecuentemente usado como una comprobación en problemas numéricos, es que tao es el promedio de f(x) sobre el intervalo - c < x < c. Las funciones seno y coseno son periódicas con periodo 27T, así que los términos en la serie de F ourier ( 13) para f (x) son periódicos con periodo 2c. Por otra parte, la serie representa (converge a) una función que es como la descrita anteriormente para el intervalo - c < x < c y f(x)

• ----~~-+----~--+---~---+----~--~--~---x 3. e 3c -2c 2c

-2

•

>----<

o

---

"2

"2

FIGURA 52

repite tal estructura una y otra vez fuera del intervalo. Para la función mostrada en la figura 51, la serie de Fourier correspondiente deberá converger a la función periódica mostrada en la figura 52. Nótese que la convergencia tiende al valor promedio de las discontinuidades, la periodicidad y la forma en que las dos juntas determinan el valor al que la serie converge en x = c y x = -c. Esta exposición será ampliamente ilustrada con los ejemplos numéricos y los ejercicios de la siguiente sección.

148.

EJEMPLOS NUMÉRICOS DE SERIES DE FOURIER

Ahora construiremos las series de Fourier para funciones específicas.


EJEMPLO

465

Ejemplos numéricos de series de Fourier

§148]

a): Construir la serie de Fourier sobre el intervalo

- 2

para la función definida por f (x) = 2, = x,

( 1)

-2 < x

< 0,

0< x < 2,

Y graficar la función a la que converge. I(x)

-------~2-------0~------~------x

FIGURA 53

Primero grafiquemos f (x), el resultado se muestra en la figura 53. Nótese que f (x ) solamente está definida entre x = - 2 Y x = +2. Para la función descrita en (1) f (x) ,....- lao en donde

r f(x) = 1-L 2

(2)

b"

n~x) + "~l (n~x a" cos"2 + b" sen"2 ' 00

n~x

cosT dx ; n

= 0, 1, 2,'


[Cap. 27

Series de Fourier

y

mrx = i Lr 2 f (x) sen-dx; 2 2

bn

(3 )

n

= 1,2,3, ....

Como la descripción de f (x); está dada por dos fórmulas una para el intervalo - 2 < x < O y la otra para O < x < 2, es conveniente separar las integrales ( 2) y (3) en las partes correspondientes. Así que sustituyendo f (x) de ( 1) en la integral (2) llegamos a la forma

(4)

rO

n7rX

-2

2

an = f J 2 cos -

r2

n7rX

o

2

dx + i J x cos -

dx.

Para estas integrales, el método de integración diferirá de acuerdo con que n = O o n =F O. Si n =F O, entonces

2 n7rX ( -2 an = 2 - [n7rxJo sen-+ i [ -xsen-+ n7T 2 -2 n7r 2 n7r o an =

n 2

7r[0 - OJ +

f [O +

(n:Y

n 7rxJ2 )2cos -2o'

cos n7r - O -

(n:Yl

De donde, para n =F 0, la a.. está dada por la fórmula (5)

an

_ -2 (1 - cosn7r)

-

n 27T 2

n = 1, 2,3, ....

,

Para n = O las integraciones anteriores no son válidas (división entre n), pero regresando a (4), hacemos n = O, y obtenemos

ao = i rO 2 dx

L2

+i

2 r x dx Jll

de donde

La b.. puede obtenerse de la misma manera. De (3) y (1) se sigue que

b.. = i

rO

n7rX

L

2

2

Así que b ..

2

2 sen--dx

7r =~ [cos n xJo mI' 2

+

+ i Jor

n7rX

xsenTdx.

i [- (~) x cos n7rX + (~)2 sen n 7rxJ2, n7T

-2

2

n7r

2

pero como cos ( -n7r) = cos n7r, bn =

2n7r [-1

+ cos n7rJ +

i [- 2. 2 cos n7r + O + O - 0J, n7r

o

http://carlos2524.jimdo.com/ Ejemplos numéricos de series de Fourier

§148]

o b" = -

(6)

~;

n7r

467

n = 1, 2,3, ....

Para n entero, cos n7r = ( -1 )" como se ve examinando ambos miembros para n par e impar. Además, la fórmula (5) puede escribirse como (7)

= -2[1 n7r -: ~ -1 )"J,

n

= 1,2,3, ....

Podemos expresar la serie de Fourier, sobre el intervalo - 2 para la f (x) de este ejemplo, como (8)

~

co

f (x ) .-' ~ - 2 ~ "=1

[1 - ( -1)" n7rX 2 2 cosn 7r 2

n7rx] + -n7r1s e n - . 2

Algunas consideraciones pertinentes pueden hacerse con respecto a ( 8 ). El miembro derecho de (8) converge a la función que está dibujada en la figura 54. Este miembro derecho converge a f (x) en cada punto donde f (x) está definida excepto en la discontinuidad en x = O. Aunque f (O) = 2 la serie converge a una en x = O. Podemos por tanto escribir (9)

f (x) =

~ -2 ~ 2

n =l

[1 - (2 -1 )" cos n7rX + l. sen n7r x] n 7r 2 2 n7r 2

para - 2 < x < O Y para O < x < 2. A veces conviene definir una nueva función ¡p (x) como sigue:

¡p(x) = f (x ),

-2

< x < O,

= 1,

x

= O.

= f (x),

O<

x

< 2,

y

¡p(x

+ 4)

= ¡p (x).

Esta ¡p(x) es la función mostrada en la figura 54. Si ¡p(x) se pone en lugar de f (x) en (8), entonces el símbolo .-' puede reemplazarse por el símbolo = para toda x. Como [1 - ( - 1 ) "] es cero para n par, la sene de F ourier del miembro derecho de (8) puede escribirse en una forma más breve

( 10) Este es un caso en que un rearreglo infinito en el orden de los términos, pasando de (8) a ( 10) es fácilmente justificable. Consideraremos


[Cap. 27

Series de Fourier

( 10) otra vez cuando se estudien las secciones de series senoidales y cosenoidales de F ourier. En seguida usaremos el desarrollo en ( 8) Ó ( 10), para sumar dos series numéricas. Por ejemplo, si hacemos x = O en ( 10), entonces la serie tiene como valor la unidad como se indica antes. I(x)

_ _ _ _ _ _ _ _~_ __L_ _ _ _ _ _~~_ _--~L-~--------x

-6

-4

-2

O

2

4

6

FIGURA 54

Por tanto 4 00 1 __2"'0 ~_ 7T2k =O(2k + 1)2 7T n =l n '

1=i!---~

2 o

( 11 )

'"

7T 2

1

?~o (2k + 1)

2

=

8

Para x = 1, la serie en (10) vale uno otra vez. Usando x ( 10 ), llegamos a

=1

en

1 =!_.!:i: cos [(2k + 1)7T/2] _ 3. ~ sen (n 7T /2) 2 7T 2k=o (2k + 1) 2 7T n=l n • Ahora, cos [(2k + 1 )7T/ 2] = O Y sen (n7T / 2) pueden obtenerse como sigue. Para n par, n = 2k, obtenemos sen

2h

2

= sen k7T = O.


Ejemplos numéricos de series de Fourier

§148]

Para n impar, n = 2k sen (2k

+ 1,

+ 1)71' = sen (b + t7l') = cosk7l' = ( 2

1)7<.

Así llegamos a la ecuación 1 = ~ _ ~~ ( ._ 1)7<, 2 71' 7<=0 2k + 1 o

""( _ 1)7<_71'

~

(12)

7<=02k

+ 1 - -4'

que puede verificarse siempre por el hecho de que el miembro izquierdo representa arctan 1. EJEMPLO b): Obtener la serie de Fourier sobre el intervalo de -71' a 71' para la función X2. Sabemos que

(13)

tao

X2 -

para -71'

< X < 71',

"" [an cos nx

~

»:::1

+ bn sen nx]

donde

1 'Ir a" = - r 71'L'Ir

(14)

+

n = 0,1,2, .

cos nx dx;

X2

1 r'lr b" = :;;: J X2 sen nx dx; n = 1,2,3, ... , -'Ir Ahora X2 es una función par* de x y sen nx es una función impar de x, el producto X2 sen nx es una función impar de x. Por otra parte b" = para toda n. Como X2 cos nx es una función par de x, (15)

°

(16) Para n =1=

°

a" = -2 r'lr 71' o a" =

g[x

2

X2

n =

cos nx dx;

sen nx

+ 2x cos nx

n

71'

n2

0, 1,2," _ 2 sen nx]'Ir na e'

de donde

a"

__2 [271' cos n7l'] __ 4( 71'

n2

1 )",

n2

n = 1,2,3, ..

* La reVlSlon de algunas propiedades de las funciones pares e impares de r. puede ayudar en este punto. Véase C. E. Love y E. D. Rainville, Differential and Integral Calculus. 6" Edición. The Macmillan Co., 1962, páginas 101-104; y también E. D . Rainville, Unified Calculus and Analytic Geometry. Nueva York: The Macmillan Co., 1961, páginas 144-147.


SP.ries de Fourier

470

Se necesita una integración separada para ao. Obtenemos

ao = ~ r"" :C dx = ~. '7T = 2'7T '7T Jo '7T 3 3 3

Por tanto, en el intervalo - '7T 2

2 •

< X < '7T,

'7T 2

'"

3

1>=1

x,-' -+4~

(-

1 ),. cos nx n

2

•

f(x)

---+----~~----+---~~~---+----~~----4---X

FIGURA 55

Realmente, ya que conocemos que la función involucrada es continua, podemos escribir (17)

2 _

x

'7T 2

-3+

4

~

~

7>=1

( - 1 ) ,. cos nx ' n2

para - '7T ::;

X ::;

'7T.

Fuera del intervalo indicado, la serie. del miembro derecho de la ecuación (17) representa la extensión periódica de la función original. La suma de la serie está dibujada. en la figura 55. EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 22 obténganse las series de Fourier sobre el intervalo indicado, para la función dada. Grafíquese siempre las funciones que son las sumas de las series obtenidas.


< x < c;

función f( x) = 0, -c < x < 0, = c - x, < x < c. c c 1[ n7rX n7rx] SOL. f(x),....., "2 ~ --:2 {1 - ( -1 )"} cos n7rsen . 7r ,.=1 n c c 4 Intervalo -c < x < c; función f (x) = x. 2c ~ ( _ 1)1>+1 sen (n7rx /c) f() SOL. x ,....., - '" . 7r " =1 n Intervalo, -c < x < c; función f(x ) = X2 . Compárese la solución con la del ejemplo (b) de esta sección. C2 4c 2 ~ (-l )"cos'(n7rx/c) f( x,....., ) SOL. - 2 '" 2 3 7r 1>=1 n Intervalo, - c < x < c; función f (x) = 0, -c < x < 0, = (c - X)2, O < x < c. c2 SOL. f (x) """'6 + c2 00 1 [ n7rX n7rx] + "2 ~"3 2n7r cos- + {n 27r 2 - 2 + 2( -1 )"'} sen- . 7r 1>= 1 n C C Intervalo, -c < x < c; función f (x) = 0, -c < x < O, = 1, < x < c. 00 1 - ( - 1) 11 n7rx SOL. f (x),.....,! ~ sen-, " =1 n7!' c o f (x) ,. . ., ! ~ i¡ sen [(2k l)7rx/c]. 7r k =o 2k + 1 Intervalo, -c < x < c; función f (x) = x 3 •

l. Intervalo, -c

+

2.

3.

471

Ejemplos numéricos de series de Fourie r

§148]

°

+

00

+

4.

5.

°

+

+

6.

SOL.

71'

7. Intervalo, - 7r

f

f(x) ,.....,2~3

+

(n 7!'2 - 6) ~en (n7rx/ c). n 2

( _1 ) " +1

"=1

función

71';

f (x) = 37r + 2x, = 7r + 2x,

-71'

< X < 0, < 7r.

O< x SOL.

00 sen 2kx f (x) ,....., 27r - 2 "~1 -k-'

+

función f (x) = x(c x), - c < x < O, = (c - x) 2, O < X < e, 2 2 c c 1 [ n7!'X n7rx] SOL. f (x),....., 12 +"2 ~"2 {3 + (-1)"} cos- + n7rsen- . 7r "=1 n c c . 9. Intervalo, -2 < x < 2; función f (x) = x 1, -2 < x < O, = 1, O ~ x < 2. SOL. j(x),.....,!

8. Intervalo, -c

< x < c;

00

+

2

+ "2 ~ 7r 00

11=1

1

"2 [{l n

(-1) ,,} cos !n7rx

+ n7!'( -1) 1>+1 sen !n7rx].


Series de Fourier

472

10. Intervalo, -1

< x < 1; función -

SOL.

°i- <<<

f (x ) = 0, = 1, = 0,

-1

i + ~ ~ ~ [sen n7r cos n7rX + 2 7r,,=1 n -7r < X < 7r; función f(x ) = 0,

f(x),-..'

11. Intervalo,

= x 2, SOL.

1

f (X )

~ 7r

~

2

6

< 0, < i, < 1.

x x x

(1 - cos n7r) sen n7rxJ. 2

°<<

-7r

X X

< 0, < 7r.

~ (- 1) " cos nx + + 2 "'=1 ~ n . 2 + 2(-1)"]sennx. 2

1 +- .~ _g[(_1 )n+1n 27r 2 7r "=1 n X < 7r; función f (x) = cos 2x.

12. Intervalo, -7r

<

13. Intervalo, -7r

< X < 7r;

00

SOL.

f(x),-..' cos 2x.

función f (x) = cos (x/2).

2 4 00 ( 1) n+) cos nx f(x ) ,-..'; + ;"~1 (2n _ 1) (2n + 1) x < 7r; función f(x ) = sen 2 x . SOL. sen 2 x ,-..' i - i- cos 2x. x < e; función f (x) = eX. senh e SOL. f(x ),-..' SOL.

14. Intervalo, :"-'7r

<

15. Intervalo, -e

<

+ 16. Intervalo, - e

<

--+ e

~

2 ( -1 )"senhe[ecos (n7rx/ e) - n7rsen (n7rx/e)] e2 + n 27r 2 ' x < e; función f (x) = 0, - e < x < 0, = e-x, < x < e. 1 - e-e SOL. f(x ),-..' 2e +

°

~ 1-

( -1 ) "e-e (n7rx 2 + 2 2 eCos + n7r sen -n7rx) . e n 7r e e -e < x < e; función f(x) = 0, -e < x < ie, = 1, ie < x < e. SOL. f( x),-..' i 1 1 [ n T o x n7rx] . - - ~ - sen i-n7r cos + (cos n7r - cos in7r) sen-:r "=1 n e c - e < x < e; función f (x) = 0, -e < x < 0, = x, < x < e. SOL. f(x ) ,-..' ie e 00 1 [ n7rX + n7T ( -1 ) " sen -nTox] . - 2 ~ -; {1- ( - 1) ,,} cos Ti n .::;l n c c = x (c - x), < x < c. -4 < x < 4; función f(x) = 1, - 4 < x < 2, = 0, 2 < x < 4. - e < x < e; función f(x ) = 0, -c < x < 0, = x(c - x), < x < e.

+ "'=1 ..:;.

17. Intervalo,

00

18. Intervalo,

19. Intervalo, 20. Intervalo,

°

°

°


Series senoidoles de Fourier

§149]

función f(x) = c + x, = 0, función f (x ) = x 4 •

< x < c; -c < x < c;

21. Intervalo, -c 22. Intervalo,

SOL.

c4

,..,-+ 8c 5

f(x)

00

~

4

(-1 ) "

7>=1

°<< xx << c.

-c

0,

6

n 27T 2 -

n

4

4 7T

n7TX

cos-. c

23. Empléese la solucióh del ejercicio 3 para demostrar que 00

1 ) n+l

( _

~

n2

7>=1

7T 2

=-. 12

24. Empléese la solución del ejercicio 8 para demostrar que

~ ~=

n=l

25. Empléese la solución del ejercicio 22 para demostrar que 1

00

n

2 71"6 •

71"4

~-=-. 4

7>=1

90

n

26. Empléese x = O en la solución del ejercicio 15 para sumar la serie 00

(_1)"

~1 c + n 7T2

SOL.

2

2

c - senh c 2c 2 senh c •

27. Supóngase que c ~ O en el resultado del ejercicio 26, y compárese con el ejercicio 23.

149.

SERIES SENOIDALES DE FOURIER

Al final de la sección 139 encontramos que era necesario tener un desarrollo de una función f(x) en una serie que solamente tuviera funciones senoidales, el desarrollo representa la función original en un intervalo < x < c. Con la notación que hemos venido empleando para las series de Fourier

°

iao

+

~ 00

7>=1

7T x ( a" n cos - + b.. sen -n7T-x) C

C

se reducirá a una serie en que cada término contenga solamente una función senoidal, si de algún modo la a,,; n = 0, 1,2, ... , puede hacerse cero. Un examen de la fórmula para a" en la sección 147, revela que la a" se anulará si la función desarrollada es una función impar sobre el intervalo -c < x < c. Por tanto, para obtener una serie senoidal para f (x), introducimos una nueva función g(x) definida como igual a f(x) en el intervalo < x < c y que sea la extensión impar de esa función en el intervalo restante -c < x < 0, o sea, definimos g(x) por

°

g(x) = f (x), = - f( - x),

0< x < c.

- c
< O.


[Copo 27

Series de Fourier

Entonces g ( x) es una función impar en el intervalo - e tanto de g(x) ,....,iao

se sigue que

+

~ (n~x a"cos-

~

"=1

e

r

1 C n~x a" = - J g(x) cos--dx = O, e -c

< x < c.

Por

+ b"senn~x) e

n = 0, 1,2, · .

e

y que

1 JC g(x) sen -mrx dx = -2 jC f (x) sen-dx. n~x b" = e

e

-c

e

e

o

La serie resultante representa a f(x) en el intervalo O < x < e, puesto que g(x) y f(x) son idénticos en esa porción del intervalo completo. Tenemos entonces

f (x)

( 1)

~

n~x

n=l

e

,...., ~ b" sen -

, O< x

< e,

en la que

(2)

2 b" =-

e

n~x

jo f (x) sen-dx, e C

n = 1, 2, 3, . . . .

La representación (1) se llama serie senoidal de Fourier para f(x) sobre el intervalo O < x < c. Debe hacerse notar que el artificio de introducir la función g (x ) fue una herramienta para llegar a (1) Y ( 2 ) ; no hay necesidad de repetirlo en problemas específicos, o sea, aquellos que resolveremos por uso directo de p) y (2) definidos anteriormente. EJEMPLO: Desarrollar f (x) = X2 en una serie senoidal de Fourier sobre el intervalo O < x < 1. Inmediatamente podemos escribir, para O < x < 1

(3) n:::l

en la qlle (4)

b" = 2

J:

= 2 [_

X2

sen n~x dx X2

cos n~x + 2x sen n~x + 2 cos n~xJ1 n~ ( n~) 2 ( n~) 3 o

= 2 [ _ cos n~ + 2 cos n~ _ _2_J. n~

n"-rr 3

n3.¡¡-3

Por tanto la serie senoidal de Fourier, sobre O < x

<

1, para

~

es


Series senoidóles de Fourier

§149]

(5) La serie del miembro derecho de ( 5 ) converge a la función graficada en la figura 56, esa función se llama la extensión periódica impar, con periodo 2, de la función

f (x) = x2 ,

o < X < 1. f(x}

/

______

--~~~------~~~----~--~~~--~x

-3

3

/ FIGURA 56

EJERCICIOS

En cada ejercicio obtener la serie senoidal de Fourier sobre el intervalo estipulado para la función dada. Grafíquese la función, esto es, la suma de las series obtenidas. 1. .Intervalo, O .( x

< e;

función, f (x)

= lo

f(x).--i ~ sen [(2k + 1)7TX/C]. 7T ' k=o 2k + 1 2. Intervalo, O < x < e; función f(x) = x. Compare su resultado con el del ejercicio 2 de la sección 148. SOL.

3. Intervalo, O < x < e; función f(x) = X2. Compárese la solución con la del ejemplo de la sección anterior. SOL.

22~[ ( -1)"+1 f( x.-) e n7T -

"-:1

2{1-(-1 )"}] n37T3

n7Tx sen -c- .


Series de Fourier

476

4. Intervalo, O < x

< e;

función f(x) = e-x. SOL.

5. Intervalo, O < x

6. Intervalo, O < cios 4 y 5.

8.

9.

10.

12. 13.

14. 15.

00

1 n

n7rX e

¿ -sen-o ,,~1

función f(x) = e-x. SOL. La misma que la del ejercicio 4. x < 4c; función f (x) = e-x. Compare los ejerci-

2c ~ 1 + 3 ( - 1) " n7rx ~ sen-o 7r n~l n 4c Intervalo, O < x < e; función f(x) = x(c - x). f() 8c 2 ~ sen [(2k + 1)7rx/c] SOL. X ~--;;; k~O (2k + 1)3 • Intervalo, O < x < 2; función f(x) = x, O < x < 1, = 2 - x, 1 < x < 2. 8 00 ( _1 )k sen SOL. f( x) ~2 ~ (2k 7r k=o + 1)2 [ (2k + 1)7rx/2]. Intervalo, 0< t < t 1 ; función f(t) = 1, 0< t < t o, = O, too < t < t 1 • 00 n7rt o) sen-o n7rt SOL. f (t) ~ -2 ~ -1 ( 1 - cos-. 7r "=1 n h t1 Intervalo, O < x < 1; función f(x) = O, O < x < i, = 1, i < x ~ 1. x f ()

~-

<

~

( _1 )ne-c] sen (n7rx jc) 2' 2 • e + n-7r e; función f(x) = senh kx. 1 00 ( -1 ) 1>+ 2n7r n7rx SOL. f(x) ~senhkc ¿ (k)2 ( )2 sen n=l e + n7r e

SOL.

16. Intervalo, O < x

f(x)

~ ~ ~ .!. (cos n7r -

cos n7r) sen n7rx. 7r k~l n 2 Intervalo, O < x < 1; función f(x ) = O, O < x < i, = x - t, t < x < 1. 00 [(_1)1>+1 SOL. f(x) ~ ¿ - 2 sen (n7r/2)] 2 2 sen n7Tx. "=1 n7r n 7r Intervalo, O < x < 7r; función f(x) = sen 3x. SOL. f(x) ~ sen 3x. Intervalo O < x < 7T; función f(x) = cos 2x. Nótese el procedimiento especial necesario para el cálculo de b2 • 4 ~ (2k + 1) sen [(2k + 1)x] f() SOL. x~:;;: k":O (2k _ 1) (2k + 3) Intervalo, O < x < 7r; función f (x) = cos X. 8 00 k sen 2kx SOL. f(x) ~::;;: k~l 4k 2 _ 1 . Intervalo, O < x < e; función f(x) = e-z. SOL.

11.

2c 7r

~-

< 2c;

SOL.

7.

f (x)

f () X

~

~ n=l

2n7r[1 -

/


17. Intervalo O < x

< c;

función f (x) = cosh kx. ~ 2n7T[ 1 + (-1 ) 11+1 cosh kc] n7TX f (x) ~ n"'"= l (k)2 senC + ( n7r ) 2 C

SOL.

18. Intervalo, O < x 19.

< c; función f (x) = x SOL. Véase ejercicio 6 de la sección 148. Intervalo, O < x < c; función f (x) = x4. SOL. f( x ) ~ 2c ~ -1 ) J3.... + 24} + 24] sen~. n 7T n 7T n 7T n c Intervalo, O < x < c; función f(x) = x, O < x < ic. = O, ic < x < c. 3

4

[ (

7T

20.

", =1

SOL.


< 1;

\/S OL. •

150.

477

Series cosenoidales de Fourier

§150]

11+1

{! -

c

00

f ( x ) ~"2 ~ 7T

"' = 1

2

•

3

4

5

4

5

(2"2sen---cosn7T n7r) sen-o n7rx n 2 n 2 c 7T

función f (x) = (x - 1)2. 2 00 1 f(x ) ~"2 ~ - d n27r2 - 2 2 ( _1 )"'] sen n7rx. 7T ", =1 n

+

SERIES COSENOIDALES DE FOURIER

De una manera completamente similar a como se obtuvieron las series senoidales de Fourier de una función sobre el intervalo O < x < e, obtendremos una serie de cosenos incluyendo un término constante. En realidad, dada f (x) definida sobre el intervalo O < x < e y satisfaciendo las condiciones estipuladas en la sección 147, podemos definir una función auxiliar h (x), como h(x) = f(x), =f( -x),

O < x < e, -e < x < O.

Entonces h (x) es una función par de x y por supuesto es igual a f (x) sobre el intervalo donde f ( x) está definida. Como h(x) es par, se sigue que en su desarrollo ordinario de Fourier sobre el intervalo -e < x < e, las b", son todas cero, 1 fe n7rX b n = - J h (x) sen- dx = O, e -e e por la imparidad del integrando. Además, como la h (x ) es par, h(x) cos (n7Tx/ e) es siempre par y

Je

2)e

2 n7rX n7rX a", =- h (x ) cos-dx =- f (x ) cos-dx. e o e e o e Como h (x ) y f (x) son idénticos sobre el intervalo O < x < e, podemos escribir lo que habitualmente se llama serie eosenoidal de Fourier para f (x ) sobre tal intervalo, esto es


[Cap. 27

Series de Fourier

f ( x) "'""' iao +

(1 )

co

n7TX

n=l

e

~ a n cos - - , O

< X < e,

en la que 2 JC

an =-

(2)

e o

EJEMPLO:

O< x

n7TX

f(x) cos-dx. e

Hallar la serie cosenoidal de Fourier sobre el intervalo para la función f(x) = x. I(x)

__

~~

-2c

___

~

___

~L-

_ _ _+-_ _ _

-e

~

___

x

e

FIGURA 57

Inmediatamente tenemos

f(x) "'""' itl{¡ en la que an

n7TX + n~co= l an cos-, e

n7TX =-2 JC xcos-dx. e o e

Para n =1= O, la an puede calcularse como sigue

2 [ -xsen--+ e n7TX (e an =e n7T e n7T

)2 cos-n7T xJC e

o


Series cosenoidales de Fourier

§150]

El coeficiente restante ao se obtiene fácilmente;

2

2 e2

e

= -;; 10 X dx = -;; . "2 = e.

ao

Por tanto la serie cosenoidal de Fourier sobre el intervalo O < x para la función f (x) = x es ~

f() x ,....,

~e

2e~1-(-1)"

- 2

.:;.

7f

'2

n

"=1

n7fX cos ,

e

la que también puede escribirse en la forma (3)

f(x) ,....,

te _ 4e 7f2

~ cos [(2k (2k

k=o

+ l)7fx/eJ + 1) '2 .

En la figura 57 se muestra la suma de la serie del miembro derecho de (3), frecuentemente llamada la extensión periódica par de la función x, la suma de la serie es, por supuesto, periódica y de periodo 2e. EJERCICIOS

En cada ejercIcIo obténgase la serie ~osenoidal de Fourier sobre el intervalo estipulado para la función dada, grafíquese la función. 1. Intervalo, O < x < 2; función f(x). = x,

O < x < 1,

= 2 - x, 1 < x

SOL.

4 f (x) ,...., t + "2 7f

2. Intervalo, 0< t <

t 1;

< 1;

2

n

to 2 ,....,-+~

< e;

t1

7f " = 1

función f(x) = (x - 1)2. f(x),...., C'2

<

4

1+2

7f

C'2

~

f() x,...., - - - .:;. 6 7f2 k=l C; función f( x) = c - x. f( ) ,...., SOL.

x

t e

+ 4c

n7ft

k=o

"=1

n

~

cos (2hx/c)

~ cos r(2k (2k O < x < t, t < x < lo

7f2

n7ft

o - sen-cos-. n t1 t1

función f (x) = x (e - x). SOL.

5. Intervalo, O < x

1

f(t)

SOL.

4. Intervalo, O < x

2

función f( x) = 1, 0< t < t·o, = O, t o < t < t 1• SOL·

3. Intervalo, O < x

1 [2n 7f n7fX cos - - 1 -:- (- 1)"] cos-.

~ "2 n=l

< 2.

k2

+ 1)7fx/c1 + 1)'2 •

6. Intervalo, O < x < 1; función f(x) = O, = 1, SOL. f (x) ,...., t _ ~ ~ (-1) k cos [( 2k + 1) 7fX 1. 7f k=o 2k + 1


Series de Fourier

480

7. Intervalo, O < x

<

1; función f(x) = O, = x -

i,

O < x < i, i
~~ (cos mr - cos n-rr) cos n-rrx . . 2 n 8. Intervalo, O < x < 1; función f (x) = i - x, O < x < t, = O, t < x < 1. SOL. f (x),..... i + ~ ~ ~ (1 - cos n-rr) cos n-rrx. 2 -rr n 9. Intervalo, O < x < -rr; función f (x) = cos 2x. SOL. f(x ) ,..... cos 2x. SOL.

i+

f (x) ,.....

22

7i

n::::l

n=1


< -rr;

función f (x) = sen 2x. 8 co cos [ (2k + 1)xl SOL. f(x ) ,..... - :;; k~O (2k _ 1) (2k + 3)· 11. Intervalo, O < x < e; función f(x ) = x, O < x < te. = O, te < x < e. e e 00 1 n-rrx SOL . f (x) ,..... -8 2" ~ 2" [n-rr sen tn-rr - 2 (1 - cos tn-rr)] cos-. -rr n=1 n e 12. Intervalo, O < x < e; función f(x) = e-Z • Nótese cómo el término ao concuerda con los otros esta vez, volviendo innecesaria la integra, 1 _ e-e co 1 _ ( -1 ) ne-e n-rrx ción separada SOL. f (x) ,..... + 2e ~ 2 2 2 COS - .

+

13. Intervalo, O < x SOL.

e

+ n -rr

e

e

< e; función f(x)

,,=1

e

= senh kx.

+

n7r"

e

cosh kc - 1 ~ 2ke[( - 1) n cosh ke - 1] n-rrx ke + n=1 ~ (k e ) 2 + ( n-rr ) 2 COS - . e x < e; función f(x) = x 3 •

f () x,.....

15. Intervalo, O <

3

3

SOL.

16. Intervalo,

e 6c ~ - -1)+ " ,.....-+-2 . 1 4 -rr n -rr O < x < e ; función f( x) = x f(x)

00

2

[( -

2

n=1

2

4

SOL.

151.

,,=1

función f(x) = cosh kx. senh ke 00 2kc( -1 ) n n-rrx f (x),..... k + senh kc ~ (k ) 2 ( ) 2 cos - .

14. Intervalo, O < x SOL.

e

< e;

( - 1) n4

"J

n-rrx cos-· e

•

Véase el ejercicio

22

de la sección 149.

ANALISIS NUMÉRICO DE FOURIER

En las secciones anteriores y en las aplicaciones del siguiente capítulo, las funciones para las que se requieren series de Fourier, están expresadas por medio de fórmulas, como por ejemplo

f (x) = x, = 2 - x,

o< x < 1

1, 2.

Entonces los coeficientes de Fourier an, b n, se obtienen por integraciones formales.


Análisis numérico de Fourier

481

En la práctica ocurre a menudo que una función estará descrita en primer lugar solamente por medio de una gráfica, o bien, por una tabla de valores numéricos. En este caso los coeficientes de Fourier deberán determinarse llevando al cabo las integraciones apropiadas haciendo uso de algún método numérico, mecánico o gráfico. Por ejemplo, en el problema de conducción del calor, que se estudió en la sección 139, la distribución inicial de temperatura f (x) podría haber consistido en una tabla formada por las lecturas de las temperaturas iniciales para puntos que se encuentran unos de otros a diferentes distancias de una de las superficies del bloque. Al final de la sección 139, se ve que la solución ( 13)

J

00 n7rX u (x , t) = ~ Bnexp [(n7rh)2 - t sen-

C

n=1

C

del problema de la temperatura contiene los coeficientes Bn , los que se eligen de manera que ( 14)

f (x) =

00

¿

n7rX

Bnsen-, C

n=1

para O < x

< c.

Ahora podemos ver que la ecuación (14) va a ser el desarrollo de una serie senoidal de Fourier de f (x) . Por tanto los coeficientes Bn están dados por

2 Je

n7rX

Bn =- f (x) sen-dx c o c

a partir de la que los coeficientes Bn serán calculados numéricamente y sustituidos en la ecuación ( 13). Es natural que en este libro haya una marcada tendencia a considerar cada uno de los temas estudiados exclusivamente desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales o bien, como una fase particular de las mismas. Es justo mencionar que las series de Fourier son necesarias en muchos temas de la matemática y en otras ciencias. Si se quiere conocer sobre el método de mínimos cuadrados y sobre el ajuste de curvas, puede consultarse el libro de Churchill: Series de F ourier y problemas de valores a la frontera, citado al final de la sección 137. La siguiente sección es una breve excursión a la aplicación de las series de Fourier, a un campo que no depende exclusivamente de las ecuaciones diferenciales.


152.

ELECTROCARDIOGRAFíA

Puesto que las series de Fourier proporcionan una representación periódica para una amplia gama de fun ciones, es razonable pensar que las series de Fourier, tengan conexión con funciones que sean verdaderamente periódicas en su estado natural. Un cierto tipo de tales funciones que son naturalmente periódicas es ampliamente empleado en medicina, particularmente como una ayuda en el diagnóstico de enfermedades del corazón. Se descubrió hace mucho tiempo que existe una corriente eléctrica causada por la actividad propia del corazón y que era posible registrar gráficamente el voltaje debido a dicha corriente. El producto final se llamó un electrocardiograma. Las figuras 58-61 muestran partes del electrocardiograma.*

,¡

¡-.¡ :1 ;

; ;':

!; FIGURA 58

Un galvanómetro (véase cualquier texto de física elemental) es un instrumento que mide la diferencia en el potencial eléctrico entre dos puntos específicos, una corriente eléctrica, o bien una fuerza electromotriz ( voltaje) asociada con la corriente, dependiendo todo lo anterior de la clase de galvanómetro empleado. Un electrocardiógrafo es un tipo particular de galvanómetro, ya que registra voltajes.

* Estamos en deuda con Ernest W. Reynolds Jr., M. D. d e la University of Michigan Medical Center, por pennitirnos reproducir el electrocardiograma nonnal de la figura 58. La inclusión de los electrocardiogramas de las figuras 59 y 60 fue posible por la generosa colaboración de Collis P. y Howard Huntington Memorial Hospital de Pasadena, Califonúa, y en particular por la colaboración de Alden B. Milis, administrador de esa institución, cuando estos electrocardiogramas fueron hechos. Deseamos también agradecer a Arthur W. Allen, M. D. de Ann Arbor, Michigan, el pel1I1lÍso que nos dio para usar el electrocardiograma de la figura 61.


Electrocordiografía

483

Cuando los médicos desean obtener electrocardiogramas de algún paciente, los técnicos encargados de obtener los datos deseados, siguen ciertos procedimientos cuidadosos que están perfectamente establecidos, los cuales se describen a continuación, sin poner mayor énfasis en los detalles de la técnica. La máquina (electrocardiógrafo ) se conecta en dos puntos sobre el cuerpo del paciente, por ejemplo en el brazo derecho y por arriba de la muñeca y en la pierna izquierda, por arriba del tobillo . g uía "

FIGURA 59

(Este procedimiento se conoce con el nombre de guía lI.) La corriente generada por la actividad del corazón se hace pasar de la pierna izquierda del paciente a través del galvanómetro y después hacia el brazo derecho del paciente cerrando de esta manera el circuito. El electrocardiógrafo mide un voltaje asociado a dicha corriente y lo registra sobre una gráfica a una escala deseada. El resultado que se obtiene es un electrocardiograma (guía lI ) el cual forma parte de la numerosa colección de datos est!1diados por los médicos antes de llegar a un diagnóstico. La porción dañada de un corazón presentará una resistencia total o parcial al flujo de la corriente eléctrica y alterará la apariencia del . electrocardiograma. La forma, el tamaño y la localización de la parte que está causando las desviaciones con respecto al funcionamiento normal servirá como índice para determinar el carácter de la enfermedad o lesión presentes. Se usan varias guías o combinaciones de lugares donde se conecta el galvanómetro al cuerpo. Por medio de las teorías físicas, los experimentos en el laboratorio y las observaciones directas de los pacientes, los médicos y electrocardiólogos han acumulado gran cantidad de datos sobre las correlaciones entre los diferentes electrocardiogramas, lo cual les permite establecer las variaciones que se aparten de lo normal y determinar de esta manera las enfermedades y lesiones cardiacas.*

* Para más detalles véase la excelente exposición de G. E. Burch y Travis Winsor en A Primer 01 Electrocardiography. 2~ Edición. Filadelfia: Lea y Febiger, 1949, 245 páginas.


Series de Fo uri e r

484

Supongamos que t sea el tiempo medido en segundos y 2t 2 la duración de un periodo como se muestra en la figura 58 (guía II ), escojamos como origen el punto medio de alguno de los periodos representativos, en él t = O Y sea F'2 ( t) la ordenada como se muestra en el electrocardiograma (guía II ). Entonces F2( t ) tendrá un periodo 2t2, ( 1)

Para F'2( t ) habrá un desarrollo en serie de Fourier, (2)

F'2 (t) =

tao +

~ 00

n= l

(nTrt cos - + b an

t2

n

nTrt) ,

sen -

t2

para el que los coeficientes an y b n pueden determinarse directamente de los datos gráficos haciendo uso de medios mecánicos, por ejemplo un analizador armónico. guía 11

FIGURA 60

Supongamos que el desarrollo en serie de Fourier, que se hizo anteriormente de la función, representado en el electrocardiograma (guía II) haya sido obtenido de personas normales de ambos sexos y cuyos pesos y edades no difieran significativamente, a fin de que sea posible registrar cualquier cambio notable. Una vez que se tiene la información anterior, puede desarrollarse en serie de Fourier la F2.( t) de un paciente dado y comparar los coeficientes que se obtengan con aquellos que se consideren normales. Lo mismo puede hacerse con electrocardiogramas de otras guías. Es fácil ver que los coeficientes en la serie de F ourier para F 2 ( t ) tendrán marcados cambios conforme pasamos de la figura 58 hasta la 61. La figura 58 es un ejemplo de un electrocardiograma normal. Las figuras 59 y 60 se hicieron durante el diagnóstico y tratamiento de un paciente que sufría una trombosis coronaria. La figura 61 muestra un electrocardiograma del mismo paciente tomado muchos años después. La identificación de los cambios en los coeficientes en la serie de Fourier asociados con cada una de las lesiones o enfermedades cardiacas,


Electrocardiografía

485

o bien con cualquier otro fenómeno puede ser interesante y concebiblemente útil. En varios centros médicos se están haciendo investigaciones al respecto. Un avance importante hacia la comprensión de la situación matemática puede obtenerse por medio de desarrollos explícitos de diferentes . electrocardiogramas ideales. Podemos, por ejemplo, ajustar la curva por medio de segmentos de rectas, o bien por medio de rectas y segmentos de curvas polinomiales simples. Debido a que es aplicable el principio de

FIGURA 61

superposición podemos incluso dividir el trabajo, al obtener los desarrollos en serie de Fourier de las diferentes funciones, cada uno de estos desarrollos correspondería únicamente a la porción del electrocardiograma que tuviese significado desde el punto de vista médico y considerando nula la parte restante de cada uno de los periodos. El autor ha encontrado muy útiles tales idealizaciones para la comprensión de los cambios en los coeficientes en las series de Fourier. En el Journal of the Brítísh Instítutíon of Radío Engíneers, 1949, páginas 170-183, W. E. Benham publicó un análisis de Fourier de algunos electrocardiogramas idealizados. La importancia de ciertas peculiaridades que tienen una alta frecuencia y que no se registran en los electrocardiogramas convencionales, pero cuya presencia es notable en aquellos que se han hecho con osciloscopios que tienen escalas de tiempo muy amplias, están siendo estudiadas por el doctor Paul H. Langner Jr., director de la Provident Mutual Life Insurance Company de Filadelfia. El doctor Langner actualmente está haciendo estudios de las curvas que representan derivadas temporales de las funciones en los electrocardiogramas. La derivada presenta de una


[Cap. 27

Series de Fourier

manera natural y en una forma muy marcada cualesquiera fluctuaCIOnes a alta frecuencia de la función original. 153.

ARTIFICIOS PARA OBTENER MAYOR RAPIDEZ EN LA CONVERGENCIA

En los problemas prácticos, las series trigonométricas aparecen de forma tal que se conoce su desarrollo de manera única. Los cálculos con tales series, exceptuando los casos, pueden ser tediosos a menos de que la serie converja con razonable rapidez. Supongamos que se desea calcular, en varios puntos del intervalo O < x < 7T, la suma de la serie

i: (- 1 )"n cos nx

( 1)

n3

n=l

+7

.

La serie de la ecuación (1) converge absolutamente puesto que su 00 término general es menor en valor absoluto que 1/n2 y ~ l/n?' converge. Llamemos I" (x) la suma de la serie (1). k=l Para valores grandes de n los coeficientes de la serie ( 1) son bien aproximados por medio de ( -1 ) "/n2. Pero sabemps que la suma de la serie correspondiente contiene estos coeficientes; en la sección 148 demostramos que 2

(2)

X

2 -

7T

-

-

+4

3

Por tanto, (3)

~ ( -1 )" 2cos nx , para

~

2

i (X2 _ 7T ) = ~ 3

_<

-7T

n

"=1

n =l

(-1)" cos nx n2

-7T ::::;

X ::::; _

7T.

X ::::; 7T.

Puesto que los coeficientes de la serie (3) y los de la serie para

(4 )

1"

(X )

_

~

-

,,'7:1

(- 1 ) "n cos nx n3 + 7 '

O< x

1" ( x )

< 7T,

son casi iguales para n grande, es obvio que la diferencia de dichos coeficientes debe ser pequeña. De tal manera que si restamos los miembros de la ecuación (3) de sus correspondientes en la ecuación (4) obtenemos

2

1" (x)

-

i (X 2 - 7T ) 3

=

i: (- 1 ) ,,[n

n=l

3

n

+7

-

00 7 ( - 1 ).,...1 cos nx n 2( n 3 + 7 ) .

= 1>~= 1

l.J n2

cos nx


487

Artificios para obtener mayor rapidez en la convergencia

Entonces obtenemos p~ra
o< x <

71',

con lo que el cálculo de

Churchill, R . V. Fourier Series and Boundary Value Problems, 2~ Edición. Nueva York: McGraw Hill Book Co., 1963. jackson, Dunham. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. Carus Mathematical Monograph 6. Menasha, Wis. : Mathematical Association of America, 1941. Langer, R. E. Fourier Series, The Genesis and Evolution 01 a Theory. El primer trabajo presentado a la memoria de Slaught, publicado como un suplemento de Amer. Math. Monthly, 54, 1947.



CAPÍTULO

28


154.

ECUACIÓN TÉRMICA UNIDIMENSIONAL La ecuación que rige la conducción del calor,

ou _ a¡ -

( 1)

2

h

( 02 U

02U

02U)

ox2+ oy2 + {lz2

'

se trató en la sección 137. Se describen en seguida los símbolos usados en ella y el con junto consistente de unidades que se usan en la ingeniería práctica para medir las cantidades que intervienen en la ecuación.

x, y, z = t = u = h2 =

coordenadas espaciales rectangulares (pies) tiempo (horas) temperatura (OF) difusividad térmica (pie 2 /horas ) .

Otro conjunto de unidades usado frecuentemente en lugar del anterior es aquel donde los centímetros reemplazan a los pies, los segundos a las horas y los grados centígrados a los Fahrenheit. Se ha indicado en la sección 139 que bajo condiciones 489


Problemas de valores o lo frontero

490

físicas apropiadas es razonable estudiar un cierto caso especial de la ecuación ( 1), la ecuación térmica unidimensional

ou = ot

h 2 02U

ox

2 '

En la sección 139 obtuvimos del problema de valores a la frontera

(2) (3)

(4) (5)

OU

= h 2 0 2U

ot

ox

2

Cuando t ~ O+, Cuando x ~ O+, Cuando x ~ e-,

para O < t,

O< x

<

e;

'

u ~ f (x) , para O < x < e; u ~ O, para O < t; u ~ O, para O < t,

la relación

(6)

u (x , t)

00 ~

7r

h)2 t ] sen--, n7rX En exp [(n - -e

n=l

e

donde las En se determinaron de tal forma que ( 7)

f (x)

n7rX

00

= ~ Bn sen 10= 1

e

,

para O < x

< e.

Encontramos entonces en el capítulo 27 que la ecuación ( 7) sugiere que la serie del miembro derecho es la serie senoidal de Fourier para f (x) sobre el intervalo O < x < e, y por tanto que (8)

2 Je f (x) sen-dx. n7rX Bn =e o

e

No es difícil, pero requiere conceptos que están más allá del nivel de este curso, verificar que (6) con los coeficientes Bn dados por (8), es realmente una solución, esto es, que (6 ) posee, para una elección adecuada de f (x), las propiedades de convergencia requeridas, además de que satisface formalmente la ecuación diferencial (2) Y las condiciones a la frontera (3), (4) Y (5). La cantidad de calor que fluye a través de un elemento de superficie en un tiempo especificado, es proporcional al grado de cambio de la temperatura en la dirección normal (perpendicular) a esa superficie. Por tanto, se tiene que el flujo de calor en la dirección x (a través de una superficie normal a la dirección x) es

-K

ox ou'


491

Ecuación térmica unidimensional

la constante de proporcionalidad es K, la conductividad térmica del material bajo estudio. El significado del signo negativo puede verse considerando un ejemplo en el cual la temperatura aumenta cuando x lo hace. Entonces ou/ox es positiva, sin embargo, el calor fluye hacia la x negativa, de la parte caliente a la parte fría, por tanto el flujo se toma negativo. Para nosotros la expresión para el flujo de calor empleará muy a menudo en la formación de condiciones a la frontera que impliquen un aislamiento térmico. Si hay aislamiento total en una superficie normal a la dirección x, no habrá flujo de calor a través de esa superficie, de tal manera que ou = O ox

en esa superficie. EJEMPLO: Encontrar la temperatura en una losa plana de anchura unitaria tal que:

a) Su temperatura inicial varía uniformemente desde cero en una cara hasta Uo en la otra; b) La temperatura de la cara que inicialmente está a temperatutura cero permanece así para todo t > O; Y e) La cara que inicialmente está a la temperatura Uo es aislada para t > O. Si se mide x a partir de la cara que se encuentra a la temperatura cero, el problema puede escribirse como

= h2 02U

(9)

OU ot

(10)

Cuando t

(11 )

Cuando x ~ O+,

(12)

Cuando x ~ 1-,

ox2'

~

O+,

para O < x < 1, u

~

uox,

u~O,

OU~O ox

'

0< t;

para O < x < 1; para 0< t; para 0< t.

Buscaremos primero funciones que satisfagan a la ecuación diferencial (9), usando la técnica de separación de variables independientes. Como antes, . obtenemos (13)

con

a,

u = exp (-h 2 a2 t) [A cos ax

+ B sen ax]

A y B, arbitrarias. La condición (11) requiere que


[Cap. 28

Problemas de volores a la frontera

o=

A exp ( -h 2,a2t),

para 0< t,

de tal forma que debemos tomar A = O. Ahora tenemos (14 ) que satisface (9) Y ( 11). De ( 14) se sigue que

ou - = ox

aB exp ( - h 2 a2 t) cos ax,

y en esa forma la condición (12) requiere que

0= aBexp (-h 2a 2 t) cosa,

para O < t.

No debemos elegir a = O Ó B = O porque entonces (14) nos daría u = O, lo cual no puede satisfacer la condición restante ( 10) . El factor exp (-h 2a2t) no puede anularse para cualquier t, mucho menos para toda t positiva. Concluimos entonces que

cosa = O.

(15) De (15) se sigue que a

= (2k + 1)7r/2;

k

= O, 1,2, ... '.

Ahora tenemos las funciones u = Bk exp [-ih 2(2k + 1 ) 27r 2t] sen [(2k

+ 1 )7rx/2]; k = O, 1,2, .

cada una de las cuales satisface (9), (11) Y (12). Para tratar la condición (10) formamos la serie co

(16)

u(x, t) = ~ Bkexp [-ih 2(2k

+ 1)27r 2t] sen [ (2k + 1)7rx/2]

k=o

y pedimos, en vista de lo establecido por (10), que co

(17)

uox = ~ Bk sen [(2k k=o

+ 1 ) 7rx/2] ,

para O < x

<

1.

La comparación del miembro derecho de (17) con el desarrollo general de la serie senoidal de Fourier para el intervalo O < x < c, demuestra que la serie en (17) es un desarrollo sobre el intervalo 0

493


f ( X)

(18) donde

C()

ro-'

n7l"X

n~l b n sen -2-' para O < x

f (x) = Uox, para O < x

<2

< 1,

Y f (x ) se ha elegido de tal forma que para el intervalo 1 < x < 2 en ( 18) se hayan eliminado los términos pares en n. . Físicamente, no es difícil ver que deseamos extender de alguna forma la anchura de la losa más allá de x = 1, para evitar que el calor fluya a través de la cara aislada x = 1. Una vez que este hecho se ha llevado al cabo, se sigue inmediatamente que todas las condiciones de temperatura sean simétricas con respecto a la cara aislada x = 1. f(x)

((x)

Uo

o

o

FIGURA 62

2

FIGURA 63

La temperatura inicial f (x) de nuestra losa original está mostrada en la figura 62. Vamos a imponer la condición de que f(x), sobre el intervalo 1 < x < 2 sea la reflexión con respecto a x = 1 de la temperatura inicial, de tal forma que el intervalo O < x < 2 la temperatura inicial de la losa extendida sea como la mostrada en la figura 63. El problema de valores a la frontera (9) a (12) puede reemplazarse ahora por uno nuevo con una losa de anchura 2, temperatura como la exhibida en la figura 63, y con caras x = O Y x = 2 que se mantienen a la temperatura cero para t > O. La solución del problema antiguo es la misma que la del nuevo excepto que debe usarse solamente para O


494

Un procedimiento alternativo es retroceder a la ecuación (18) con para O < x

< 1, para 1 < x < 2,

¡(x) = uox, = uo(2 - x),

y de aquí obtener b n de la que se siguen las Bk de ( 16 ) Y (17). Un método más merece mención. Después de la justificación, como en el ejercicio lOa continuación, es permisible obtener las Bk directamente de la ecuación (17) sin hacer uso de artificios, tales como los antes mencionados. El estudiante puede demostrar en una o más de estas formas que el problema (9) a (12) tiene como solución

EJERCICIOS

1. Aplíquese el método, no las fórmulas, de esta sección para resolver el problema de una losa plana que inicialmente está a una temperatura constante Uo en toda su longitud y que tiene' sus caras x = O Y x = e a la temperatura cero para t > O. SOL.

U

4uo~

=7r

¿;.,

k=(J

2k

1

+ 1 exp

[h27r2(2k+l)2t] (2k+l )7rx 2 sen . e

e

2. Obténgase una temperatura promedio a través de la losa del ejerCIClO 1 para t > O. 27r 2(2k + 1) 2t] 1 SOL. u",(t) = ---;; k~(J 2(k + 1) 2 exp e2 .

8uo

[h

00

3. Para la ecuación térmica unidimensional anterior (2), encuéntrese una solución u tal que u sea independiente de t, u A para x O Y u = O para x = e; A es una constante. SOL. u = A(e - x) le. 4. Con la ayuda del resultado del ejercicio 3 resuélvase el problema de una losa de anchura e cuya temperatura inicial a todo lo largo de OYx e se mantienen a su superficie es cero, y cuyas caras x temperaturas A y cero respectivamente para t > O.

=

=

SOL.

U

= A(e - x) le _ 2A 7r

=

~ .!. exp [_ n=l

n

=

(hn7r)2 t] sen n7rx. e

e

5. Combínese el resultado del ejercicio 4 con el material expuesto en esta sección para resolver el problema de una losa tal que Cuando t ~ ()+, Cuando x ~ ()+, Cuando x ~ e-,

u

~

f (x) ,

u .~ A,

u .~ 0,

para O < x < e; para O < t; para O < t.



§154]

6. Para un concreto en particular, la difusividad térmica h 2 es alrededor de 0.04 (pie 2 /hr) de tal forma que podemos escoger, razonablemente, h 27r 2 = 0.4. Una losa de 20 pies de grueso está inicialmente a la temperatura de 130°F y sus superficies se mantienen a 60°F para t > O. Demuéstrese que la temperatura en grados Fahrenheit en el centro de la losa está dada por la fórmula u = 60

280 ~ (-1 ) "

+ -;- ,,~ 2k + 1 exp

[

(2k

-

+1 1000

Ft].

7. Dos losas hechas del concreto mencionado en el ejercicio 6 (con h 2 7r 2 = 0.4 pie 2 /hr), una de 15 pies de grueso y la otra de 5, están colocadas una al lado de la otra. La más gruesa está inicialmente a la temperatura de 120°F mientras que la más delgada está a 30°F. Las caras exteriores se mantienen a 30°F para t > O. Encuéntrese la temperatura en toda la losa para t > O. Medir x desde la cara exterior de la losa más gruesa. 180 ~ 1 - cos (3n7r/4) ( n2 n7rx SOL. u = 30 +- ¿;., exp - - - sen--· 7r n=l n 1000 20 8. Dos losas del mismo material, una de dos pies de grueso y la otra de uno, están puestas una al lado de la otra. La más gruesa está inicialmente a la temperatura A y la más delgada a cero grados °F Las caras exteriores se mantienen a una temperatura cero para t > O. Encontrar la temperatura en el centro de la losa de 2 pies

t)

1 3 n7r [ (hn7r)2] -sen -exp - - - t· n 3 3 9. Sabiendo que la función temperatura que es la respuesta al ejercicio 8 tiene el valor A en t = O, demuéstrese que de grueso.

4A

SOL.

7r

00

(-I)"(2k

00

~

-

n=l

+ 1)

"~Q (3k + 1) (3k + 2)

27r

= 9y'3'

10. Extendiendo ¡(x) en una forma apropiada (ver el ejemplo de esta sección), probar que con una ¡(x) definida en O < x < c y que satisface las condiciones del teorema de convergencia establecido en la sección 147, el miembro derecho en el desarrollo 00

¡(x)

r-'

k~Q Bk sen

(2k

+ 1) 2c

7rX

' para O < x

< c,

en el que Bk

= -2Jc f() x sen (2k + 2 c o

C

l)7rX

d x,

representa la función extendida en el sentido de la sección 147. 11. Interprétese como un problema de conducción de calor y resuélvase la ecuación (2) de esta sección con las siguientes condiciones


[Cap. 28


Cuando x ~ O+, Cuando x '~ C-, Cuando t .~ 0+,

a u/ax~

O,

u~O,

u~

f (x),

para O < t; para O < t; para O < x < c.

12. D os varillas metálicas de mismo material, cada una de longitud L, tienen sus lados aislados de tal forma que el calor puede fluir en ellas sólo longitudinalmente. Una varilla está a la temperatura A mientras que la otra está a cero °F. Al tiempo t = O las varillas se colocan de tal modo que se toquen sus extremos en la forma indicada por la figura 64. El extremo expuesto de la primera varilla queda aislado y el extremo expuesto de la segunda varilla se mantiene a la temperatura B. Determinar la temperatura en la unión de las varillas para t > O.

[:::~:::::::::::I::::::::::::::] O

L

u =B

2L

FIGURA 64

155.

VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VALIDEZ DE LA ECUACIÓN TÉRMICA

Es tranquilizador tener nuestras fórmulas matemáticas basadas en la comparación con los fenómenos observados, y es agradable ver que estas fórmulas tienen un valor práctico*. Ambas experiencias se encuentran en el estudio de la conducción del calor en diques de concreto. Cuando se vierte el concreto tiene lugar una reacción quínúca que genera calor en el material. La exposición al aire enfría el concreto, pero los puntos interiores, obviamente, se enfrían más lentamente que los cercanos a la superficie. Las diferencias de temperatura dan lugar a esfuerzos y causan expansiones y contracciones. Debido a estos hechos se acostumbra, cuando se construye un dique grande, dejar uniones de contracción abiertas para facilitar la segura expansión y contracción del concreto. Después de que el concreto ha perdido la mayor parte del calor que generó al ser vertido, el dique es lechado (se llenan las juntas de contracción) y se halla listo para el uso por lo que hace al problema de la temperatura.

* Hay una historia, quizá una leyenda, que H. J. S. Smith, un matemático de no importa dónde, propuso un brindis: " ¡ A los matemáticos puros, aunque no sirvan a nadie para nada!". Muchos matemáticos, incluyendo al autor, consideran como pura cualquier parte de las matemáticas que merezca su estudio, principalmente por su belleza inherente, sin importar su aplicabilidad a los asuntos mundanos.


Val idez de la ecuación térmica

497

La cuestión de cuándo el dique está listo para ser lechada es un serio problema para el diseñador. Se sabe que si no se toman providencias especiales el tiempo de enfriamiento podría ser extremadamente grande. Por ejemplo, la presa de Boulder (presa Hoover) diseñada por la Oficina de Mejoramiento de los Estados Unidos, que es una presa grande, hu. biera tardado de medio a un siglo para enfriarse.

FIGURA 65

El problema de la temperatura necesita ser idealizado lo suficiente como para permitimos llegar a soluciones adecuadamente calculables. La figura 65 muestra una sección transversal típica de un dique; sobre la figura se indica el grosor e a una elevación tomada al azar. Los ingenieros diseñadores proceden algunas veces a determinar las temperaturas que esperan a diferentes elevaciones, reemplazando el problema de temperatura de la figura 65 por el de la losa plana de la figura 66. La anchura e puede variar para hacerla coincidir con los grosores a diferentes elevaciones. El diseñador sabe cuál será la temperatura inicial del concreto, por pruebas de laboratorio, y sabe aproximadamente cuál será la temperatura del aire en el lugar donde se encuentre localizada la presa (Oficina Meteorológica de los Estados Unidos). La solución al problema térmico para la figura 66, conociendo la temperatura inicial y las temperaturas superficiales variables, puede manejarse por superposición de soluciones (ver la sección siguiente), usando las temperaturas medias mensuales sucesivas, anticipadas, del aire. El diseñador puede predecir entonces las temperaturas del concreto a través del dique a diferentes elevaciones y de ellas concluir cuándo debe ser lechado el dique.


'---c--~

FIGURA 66

156.

Reemplazando la figura 66 por una sección transversal en forma de prisma para acercarnos más a la aparencia de la figura 65 podremos predecir con más exactitud el tiempo para ellechado. Durante la construcción de algunos diques grandes, se instalan termopares para permitir futuras lecturas de la temperatura en diferentes puntos del dique. Años después, se hacen cálculos por el método descrito anteriormente y se comparan las curvas de temperatura calculadas con las observadas. Los resultados son bastante halagadores. Frecuentemente, la historia observada de la temperatura y la historia predicha coinciden dentro de dos o tres grados Fahrenheit para tiempos de años a través de la disipación gradual del calor y tomando en cuenta las fluctuaciones periódicas provocadas por los cambios en la temperatura del aire debidos a las variaciones de estación.

TEMPERATURAS SUPERFICIALES QUE 'VARíAN CON EL TIEMPO

Como se indicó en la sección precedente, un problema práctico puede forzarnos a considerar temperaturas superficiales variables. Un ejemplo que encontramos es el de una losa que inicialmente está a una temperatura constante Ao y cuyas superficies se mantienen a la temperatura variable del aire A ( t ). Debemos considerar por tanto la ecuación térmica simple

(1 )

para 0< t, O < x

Ou = h2 02U

ot

ox

2

< e,

'

con las condiciones ~

(2)

Cuando t

(3 )

Cuando x ~ O+,

(4)

Cuandox~

O+,

e-,

u ~ Ao, para O < x < e; u ~ A ( t ) , para O < t; u~A(t), para O < t.

Aquí A (t) representa la temperatura superficial (aire) como una función del tiempo. Trataremos exclusivamente con una A (t) de la forma exhibida en la figura 67. Puede ayudarnos el pensar que A (t) está


Temperaturas superficiales que varían con el tiempo

499

dada como la temperatura media del aire predecid a mensualmente, por ejemplo, Al en el primer mes

0< t

1

A2 en el segundo mes etcétera. La función A (t) puede expresarse, empleando to = O, por

(5 )

A(I¡

A3

:-~ I

A (t) = An,

para tn-1

A2

:

I

::

< t < tn ;

I

I

Al:: I I

n = 1,2,3, .

I I

:

~'

l

:: I I

I I

" I

I

Para nuestros propósitos no hay nece- '0=0 sidad de que los intervalos de tiempo FIGURA 67 sean iguales, pero es necesario que A (t) sea constante dentro de cada intervalo de tiempo. Es posible también tratar este problema por el método de la transformada de Laplace, pero en este libro será resuelto por un solo método. Ya que la ecuación (1) es lineal y homógenea en u, cualquier combinación lineal de soluciones de (1) es también una solución. Ya que t interviene en (1) solamente en oulot, cualquier solución permanece como solución aun cuando se haga una transformación en el tiempo, esto es, si u (x, t) satisface la ecuación (1), entonces u (x, t - tn) la satisface también para cualquier constante t n • La solución fundamental sobre la cual basaremos nuestro tratamiento del problema ( 1) a (4) es (6)

F ( x, t) = 1

4 ~

--~ 7T k=o

1

2k

+1

[(2k ap -

+ 1)2Prr2t] Kn-. .(2_k_+_1-,---)7T_X :. . c2

c'

para O < t, O < x < c. Directamente, o por comparación con el ejercicio 1, sección 149, la función F (x, t) de (6) puede verse que es una solución de la ecuación térmica (1) Y tiene las siguientes propiedades:

(7)

Cuando t

~

0+,

F(x, t)

~

O,

para O < x

( 8)

Cuando x

~

O+,

F(x, t)

~

1,

para 0< t;

(9)

Cuando x

~

c-,

F(x, t)

~

1,

para 0< t.

< c;



500

Ya que F (x, t) en (6) estaba indefinida para t < O, nos tomamos la libertad de definirla como idénticamente cero, siempre que su segundo argumento t sea no positivo. F (x,t) =0,

( 10)

parat::; O.

Entonces la solución deseada del problema (1) a (4) puede escribirse inmediatamente como ro

(11)

u (x) t) = Ao

+ n=l ~ (An

- An-l)F(x, t - tn-l ) , para O < t,

O< x

< c.

Nótese que la serie del miembro derecho de (11) termina para cualquier t específica, ya que más pronto o más tarde (cuando n aumenta), el argumento (t - tnrl.) se vuelve y permanece negativo. La u de (11) es una combinación lineal de soluciones de (1); satisface (2) debido a (7). Cuando x ~ 0+ o x ~ c-) en cualquier rango tk-l < t ::; tk, k

U ~ Ao

+ }';

(An - An-l) = Ak)

n=l

debido a (8), (9) yel hecho de que F (x, t - tn-l) ==0 para t::; tn-l. En la práctica real, los cálculos con la solución (11) se simplifican muchísimo porque la F (x) t) de (6) es esencialmente la misma para todas las difusividades y todas las anchuras de losa. En la ecuación (6), hagamos h27r 2 t/ c2 = T Y 7rx/ C = {;. La forma como se eligen los nuevos argumento T y {; será discutida en la sección 167. Ahora podemos escribir F (x, t) = 1

_! ~ 7r 1'=0

exp [-(2k

+

1)2T] sen ( 2k 2k + 1

+

1){; = 'P({;, T),

para O < T, O < {; < To. La función 'P puede tabularse en intervalos de {; y T. Para un particular problema de losas se emplean los valores de . h 2) c) t Y x para calcular los valores pertinentes de {; y T, los valores de 'P se leen del cuadro.

157.

CONDUCCIóN TÉRMICA EN UNA ESFERA

Considérese una esfera sólida que está inicialmente a una temperatura conocida que depende solamente de la distancia al centro de la esfera. Supóngase que la superficie de la esfera se mantiene a la temperatura


Conducción térmica en una esfera

§ 157]

cero para t > O. Determinaremos la temperatura en la esfera para t positiva bajo la suposición de que la ecuación térmica Ou ( 02U 02U 02 U) - = h2 - 2 + - + ot ox ay2 OZ2

( 1)

es válida. Ya que el objeto de nuestro estudio es una esfera, elegiremos el origen en el centro de la esfera e introduciremos coordenadas esféricas, relacionadas con x, y, Z, por x

=

p sen O cos rp,

y=

p sen

() sen rp,

Z

= P cos ().

Entonces la ecuación térmica se transforma en ou = h 2 (02U + ~ ou + 2- 02U + cot () au + csc .()
(2 )

Para el problema que deseamos resolver, la temperatura es independiente de las coordenadas () y rp, de tal forma que la ecuación (2) se reduce a (3)

t

Sea R el radio de la esfera y ( p) la temperatura inicial. Entonces el problema que se nos presenta es (4)

au = ot

U h2 ( 02 + ~ au) ap2 p op ,

R-, u -,) O,

(5)

Cuando

(6)

Cuando t-,)O+,

p -,)

para O < t,

u-,)f(p),

O < p < R;

para O < t; para O:S; p < R.

El estudiante puede comprobar fácilmente que el cambio de variable dependiente,

u

(7)

=-,v p

transforma el problema (4) a ( 6) en el nuevo problema 2

(8)

av = h2a v para O < t, O < p < R; at al'

(9)

Cuando p -,) R-, v -,) O,

( 10)

Cuando

(11 )

Cuando t -,) 0+,

p -,)

para 0< t;

v O+, - -,) un límite, para O < t; p

v -,) pt(p),

para 0< p < R.

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502

[Cap. 28

La condición suplementaria (10) es una reflexión del hecho de que la temperatura u existe en p = O, no obstante lo que indica la relación (7). El nuevo problema ( 8) a ( 11) se parece mucho más al tratado al principio de este capítulo. Se deja su solución como ejercicio. El problema correspondiente de encontrar las temperaturas en un cilindro sólido es menos elemental e involucra serie de funciones de Bessel. Este problema es tratado en muchos libros.* EJERCICIOS

1. Resolver el problema (4) a (6) por el método arriba señalado. SOL.

u

= ;

n~l bn exp [ - (h~7rYtJ sen n~p, en donde 2 rE n7rp bn = RJ pf ( p) sen¡¡ dp• o

2. Una esfera de radio R tiene inicialmente una temperatura constante

en toda ella, para t > O mantiene su superficie a la temperatura Encontrar la temperatura en toda la esfera para t > O Y en particular la temperatura U c en el centro de la misma. 2R (uo - Ul ) ~ (_l)n+l SOL. u = Ul + ¿;. exp --' - - t sen-; p7r n =l n R R

Uo

Ul.

[(hn7r)2 ]

Uc =

Ul

+ 2(uo -

Ul)

~l

( - l ) n+l

exP [

_(h~7ry tJ para t

158.

n7T.p

> O.

ECUACIóN SIMPLE DE ONDA

Si una cuerda elástica que se mantiene fija en dos puntos está tensa, se desplaza entonces de su posición de equilibrio soltándose después, los desplazamientos subsecuentes a partir de su posición de equilibrio pueden determinarse resolviendo un problema de valores a la frontera. La figura 68 muestra un desplazamiento representativo de la cuerda que se mantiene fija en x = O Y x = c. El desplazamiento y para O < x < c y O < t se encuentra a partir del desplazamiento inicial conocido, (x ), la velocidad iniciall" (x) y el hecho de que y debe satisfacer la ecuación de onda unidimensional

t

(1 )

* Véase E. D. Rainville, Intermediate Differential EcuatioT'.S. 2~ Edición. Nueva York : The Macmillan, 1964, página 279; o R. V. ChurchilJ, Fourier Series and Boundary Valu'e Problems. 2~ Edición. Nueva York: MacGraw-HilI Book, 1963.

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuación simple de onda

§158]

503

en donde el parámetro a es una constante que depende de las propiedades físicas de la cuerda. El problema de valores a la frontera que debe resolverse es (2)

o2y = a2o2y ot 2 ox2'

para O < x y~

(4)

Cuando x --') O+, Cuando x.--') C-,

y~O,

(5)

Cuando t ~ O+,

y--')f (x ),

(6)

Cuando t --') O+,

~~so(x),

(3)

O,

< c,

0< t;

para 0< t; para 0< t; para O < x < c; para O < x

< c.

((x)

~o~----------------~c--x

FIGURA 68

Es inherente al problema de la cuerda que f (x) es continua y que f(O) = f(c) = O. Ambas o cada una de f(x) o so(x) pueden ser cero en todo el intervalo. En realidad, el problema de valores a la frontera ( 2) a 6) puede reemplazarse siempre por dos problemas, uno donde f (x) se reemplaza con cero y otro donde ocurre lo mismo con SO (x) . La suma de las soluciones de aquellos dos problemas es la solución del problema donde existen tanto un desplazamiento inicial como una velocidad inicial. La solución de problemas como el (2) a (6) con diferentes f(x) y SO (x), puede llevarse al cabo por el método de separación de variables y empleando las series de Fourier como se hizo con los problemas de conducción de calor. Esto se deja como un ejercicio para el lector, ya que no implica el conocimiento de ninguna técnica nueva. Nótese la inutilidad de las soluciones determinadas en el ejercicio 1 de la sección 138.



504

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 5 encuéntrese el desplazamiento para t > O del problema de la curva vibrante de esta sección, bajo la condición de que la velocidad inicial sea cero y que el desplazamiento inicial esté dado por la f (x) descrita. 1. f (x) = x, para O ~ x ~ ej2, = e - x,paraej2 ~ x ~ e. 4e ~ ( -1 )k cos[(2k SOL. y = 7T2k~O

2. f(x) = x(e - x) je. Be SOL.

y=

7T3

~

k~O

cos [(2k

+

l )a7Ttje] sen [(2k (2k + 1 )2

+

l)7Txje] •

+ l)a7Ttje] sen [(2k + l )7Tx je] (2k + 1 )3 •

((x)

----~----~------------~--~~-x 3c e e "4 4

o

FIGURA 69

3. f(x ) = x, para O ~ x

~ ej4, = ej4, para ej 4 ~ x ~ 3ej4, = e - x, para 3ej4 ~ x ~ ·e. Véase figura 69. 2e 1 (n7r 3n7r) na7Tt n7rX SOL. y = '2 ~ '2 sen -- + sen cos - - sen - . 7T n=l n 4 4 e e 00

4. f(x) = x,paraO~x~ie, = ic - x,paraie ~ x ~ 3ej4, = x - e, para 3ej4 ~ x ~ c. Ver figura 70. y = 2e (_l)k cos [(4k + 2)7Tat je] !en [(4k SOL. 7r2k=O (2k+1)

i:

+ 2) Txje]


f(x'

FIGURA 70

5. !(x) = x, para O ::;; x::;; te, = -le - x, para te::;; x::;; -le, = O, para -le ::;; x ::;; e.• 2e 1 SOL. y = 2" ~ 2" (2 sen tn-rr -rr 10=1 n 00

-

n-rrat n-rrx sen -ln-rr) cos - - sene e

6. Encuéntrese el desplazamiento de la cuerda de esta sección si el desplazamiento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por g¡(X) = ax (e - x) / (4e 2 ). SOL.

y=

2e ~ sen [(2k -rr4

k7:o

+ l ) a7rt/e] sen [(2k + l)7rx/e] (2k + 1)4 •

7. Encuéntrese el desplazamiento de la cuerda de esta sección si el desplazamiento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por g¡(x) = O, para O ::;; x::;; e/3, = Vo, para e/3 ::;; x ::;; 2e/3, = O, para2e/3 ::;; x ::;; e. . 2voe ~ SOL. y = 2- ~ -rr a n=l [cos (n-rr /3 ) - cos (2n-rr /3 )] sen (n7rat/e) sen (n7rx/e) n2 8. Resuélvase el problema (2) a (6) de esta sección con g¡(x) = O. 9. Resuélvase el problema (2) a (6) de esta sección con !(x) = O. n7rat

00

n7rx

y = }: Bn sen - - sen - , 10= 1 e e 2 n7rX en la que Bn = g¡(x) sen dx. SOL.

Je

n7ra o

159.

(;

ECUACIóN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES

En las páginas 10 1-107 del capítulo 5 se discutió la ecuación de Laplace, en particular el caso bidimensional



[Cap. 28

(1)

La variable dependiente u puede representar cualquiera de las siguientes cantidades, temperatura, potencial electrostático, etc.~ aunque en esta sección usaremos el lenguaje de los problemas de temperatura por simplicidad en el vocabulario y para que haya una correcta visualización del problema. y

u:f(x) b~------~----~

--~-------_L-_--.x

O

u=O

a

FIGURA 71

El método de las series de Fourier, tal como ha sido utilizado en este capítulo, se adapta particularmente bien para resolver problemas de temperatura en estados uniformes para una placa plana rectangular. Supóngase que las dos caras de la placa están aisladas, de tal forma que no hay flujo en la dirección normal a ellas. El problema entonces es bidimensional. Cada extremo de la placa puede estar aislado o mantenerse a una temperatura conodda. Considérese una placa rectangular plana con orillas de longitudes a y b. Supóngase que tres orillas se mantienen a la temperatura cero y que la que queda, una de las de longitud a, se mantiene a una temperatura especificada que es una función de la distancia a lo largo de la orilla. Elijamos el sistema de coordenadas y la notación que le acompaña en la forma mostrada por la figura 71. El problema de temperaturas para estados uniformes asociado con la figura 71 puede escribirse como

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuación de laplace en dos dimensiones

§159] 02U

02U

OX 2 + oy2 = O,

(2)

para O < x < a,

(3)

Cuando x ·~ O+,

u ~ O,

(4)

Cuandox~a-,

U~O,

(5) (6)

Cuando y ~ O+, Cuando y ~ b-,

u ~ O,

507

O< Y < bj

para O < Y < bj paraO
u ~ f(x),

para O < x < aj para O < x < a.

La solución del problema (2) a (6) se encuentra por el mismo método que se empleó en problemas de valores a la frontera para la ecuación térmica unidimensional. Los resultados aparecen en los ejercicios a continuación. Cuando una placa rectangular tiene temperaturas diferentes de cero en más de una orilla, el problema puede separarse en dos o más problemas del tipo (2) a (6). El aislamiento de una orilla puede tratarse doblando el tamaño de la placa y obteniendo de esta forma que la orilla aislada se convierta en la nueva línea central. Entonces, las condiciones de temperatura creadas son simétricas alrededor de la línea central de tal manera que el calor no fluye a través de ella. Véanse los métodos usados en la sección 154, al principio de este capítulo. Consideremos en seguida una placa circular plana de radio R sujeta a temperaturas fijas asignadas a su orilla, de tal forma que evolucione hasta su condición de estado uniforme. Usando coordenadas cilíndricas r, O, z y condiciones que no le permitan al flujo de calor fluir normalmente a las caras de la placa, podemos formular el problema bidimensional. (7) (8) (9)

02U

or 2

+ ! ou + l r or

02U

r2 3.()2

= O

Cuandor~R-,

para O < r < R,

O < () < 27T j

'

u~f(.()),

Lim u existe,

paraOsO<2 7T j para O S () < 271";

r-+O+

( 10)

Lim u = Lim u,

para O S r < R.

Si estamos dispuestos a definir la temperatura de la orilla f (()) para toda O y hacer que tenga un periodo 27T, entonces la condición (10) puede reemplazarse por el requisito de que u sea una función periódica de O con periodo 27T. El pro1;>lema correspondiente de un prisma, o una porción de prisma con orillas concéntricas circulares, no involucra ningún requisito de periodicidad en su naturaleza física.



508

La separación de variables en la ecuación (7) hace necesario resolver una ecuación ordinaria del tipo Euler-Cauchy, (11 ) donde a es una constante. Véanse ejercicios 19 a 34 de la sección 107. EJERCICIOS

Cada uno de los siguiel'ltes ejercicios 1 a 7 se refieren a problemas de temperatura en el estado uniforme, para la placa rectangular de la figura 71, pero con condiciones de orilla descritas en cada ejercicio.

1. Las orillas x = O, x = a, y = O se mantienen a temperatura cero; la orilla y = b está a una temperatura ¡ (x ) • '" n7ry n7rX SOL. u = ¿ en senh - sen - , n=l a a en donde

Ja

n7rb 2 n7rX cnsenh-=- ¡(x) sen-dx. a a o a 2. Las orillas x = 0, x = a, y = O están a una temperatura cero; la orilla restante y = b tiene como temperatura a la unidad. Resuélvase el problema directamente o usando el resultado del ejercicio (1) u = ~ ~ senh [(2k + 1 )7Ty ja] sen [(2k+ 1) 7TXj a]. SOL. 7r k= o (2k + 1) senh[(2k + 1)7rb ja)] 3. Resuélvase el ejercicio 2 con el cambio de que la orilla y = b tiene temperatura unitaria en el rango O < x < a/2 y cero en a/ 2 < x < a. SOL. u = ~ ~ [1 - cos (n7T / 2 )] senh (n7Ty / a) sen (n7rx/a) 7r "=1 n senh (n7Tb/a) 4. Las orillas x = O Y x = a están a la temperatura cero; la orilla y = está aislada y la y = b se mantiene a una temperatura ¡(x). 5. La orilla x = O aislada, las orillas x = a y y = O se mantienen a cero grados, y la orilla y = b a la tempera.tura unitaria. 4 ~ (-1 )k senh[(2k + 1)7ryj(2a ) ] cos [(2k + 1)7rxj(2a)] SOL. u =-;k=1l (2k + 1) senh[(2k + 1)7rbj(2a)] • 6. Las orillas x = O Y Y = O a la temperatura cero; la x = a aislada; la y = b a la temperatura unitaria 4 ~ senh[(2k + 1)7Tyj(2a ) ] sen [(2k + 1)7rxj(2a)] SOL. u = -; k-<::O (2k + 1) senh [( 2k + 1) 7Tb j (2a) ] • 7. Orillas x = O Y Y = aisladas; orilla x = a a cero grados; orilla y = b a la temperatura unitaria. SOL. u=.±~ ( -1 )kcosh[(2k + 1)7ryj(2a)]cos[(2k+ 1)7rxj(2a)]. 7rk=o (2k + 1) cosh[(2k + 1)7Tbj(2a)] 8. Demuéstrese que la temperatura en el centro de la placa del ejercicio 2 anterior es

°

°

http://carlos2524.jimdo.com/ Ecuación de Laplace en dos dimensiones

§159]

~ ~

7r

k=o

509

( - 1) k sech [ ( 2k + 1) 7rb/ (2a ) J• 2k + 1

9. Para una placa cuadrada, demuéstrese por superposición de soluciones, sin obtener ninguna solución explícitamente, que cuando una cara se mantiene a la temperatura unitaria y las otras a cero, la temperatura en el centro es t. Entonces, comparando el resultado con el ejercicio 8, usando b = a, concluir que

+ 1) rr/2J =~. +1 8

~ ( _I )k sech [(2k k=o

2k

10. Una placa circular tiene radio R. La orilla r = R de la placa se mantiene a la temperatura unitaria para O < O < 7r, a la temperatura cero para '7T < O < 27r. Encuéntrese la temperatura en toda la placa. 2 ce )2k+1 sen (2k -f-' 1)8 SOL. u = i + ;; k~O R 2k+ 1 . 11. Una placa con fronteras circulares concéntricas r = a, y r = b, O < a < b, tiene su frontera interna a la temperatura A y la externa a la temperatura B. Encuéntrese la temperatura en toda la placa. B In (r/a) - A In (r/b ) SOL . u= In (bja) • 12. La placa del ejerclClO 11 tiene su orilla interior r = a aislada, su orilla externa está a la temperatura unitaria para O < O < '7T Y a cero para '7T < 8 < 2'7T. Encuéntrese la temperatura en toda la placa. 2 00 (r jb ) 2k+1 + (ajr) 2k+1( ajb) 2k+1 sen (2k + 1)0 SOL. u=i+;eo 1+ (ajb) 41<+2 • 2k+l . 13. Un prisma plano está definido en coordenadas polares por la región O < r < R, O < O < ¡J,. Encuéntrese la temperatura a todo lo largo del prisma si las aristas O = O Y O = f3 se mantienen a la temperatura cero y la arista curvada r = R está a la temperatura unitaria. l SOL. u = 1r//3sen [(2k + 1)7rO/f3J. '7Tk=o R 2k + 1 14. Para el prisma plano del ejercicio 13, encontrar la temperatura si la arista O = O está a cero, la arista O = f3 está a la temperatura unitaria, y la arista curvada r = R se mantiene a la temperatura f (O) para O < O < f3. 7r 00 O SOL. U = Ojf3 ~ A" ( -R 1/3 sen~,

(r

±f (:"-)(2k+1

+

en la que

r)"

"= 1

n f3

2 ftl n'7TO An = (J Jo [1 (8) - Ojf3] sen f3-dO .



CAPÍTULO

29

Propiedades adicionales de la transforIllada de Laplace

160.

SERIES DE POTENCIAS Y TRANSFORMADAS INVERSAS Para emplear la transformada de Laplace en problemas de valores a la frontera que involucren ecuaciones diferenciales parciales, necesitamos ciertas transformadas y ciertas transformadas inversas que no obtuvimos en los capítulos 11 y 12. Antes de proceder con los ejemplos ilustrativos, enlistaremos ciertos desarrollos elementales en serie de potencias que utilizaremos como referencia. ( 1)

( 2)

1

00

--= 1- x

e"'=

~ x", n=O 00

x"

~-

n!' 00 (-1) "x 2" cos x = ..~=0 ( 2n. )1 ' 00 (-1 )"x2n+l sen x = 10~=0 (2 n + 1)1' .

<

1;

para toda

Xj

Ix l

n=O

(3)

(4)

00

(5)

para toda x; para toda x;

x2n

cosh x = ~o (2n) !'

para toda x; 511


X2n+l

00

(6) ( 7)

senh X = n=O ~ (2 1) .l' • n + 00 (-1 ) "X21H1 Arctan x = n=O ~ 2n + 1 '

( 8)

1 1 (1 _ X )m =

(9)

In (1

( 10)

[Cap. 29


~

+..c.. n=O

para toda X;

JxJ < 1;

m(m + 1) ... (m + n - 1 )x" n.I

+ x) = ~ "=0 1+x ln--=2~ 00

(

1 )"x1H1 , n +1 x 2n +l

00

1- x

n=O

2n

+ 1,

'

JxJ

< 1;

JxJ

< 1;

JxJ

< 1,'

Al buscar la transformada de Laplace o la transformada inversa de una función da4a, pueden .e!1contrarse serios inconvenientes y dificultades, o inclusive ser imposible obtener el resultado deseado haciendo uso directo de los teoremas de los capítulos 11 y 12 en un número finito de pasos. En este caso, volveremos a usar frecuentemente las series infinitas. Si desarrollamos nuestra función en una serie tal que podamos conocer la forma de obtener la transformada deseada o la transformada inversa de cada término, podremos resolver nuestro problema original. . EJEMPLO a): Dado que L-l{f(S)}

L-1 { Sabemos que senh z = i (e Z (11 )

= F(t),

calcúlese

f(s) } senh (es) .

e-Z ) . Entonces

-

f(s) 2f (s) senh (es) - eC8 _ e-C8

•

Para h > 0, s > 0, sabemos cómo calcular L-l{e-h8 f(s)} por el teorema 19, sección 65. En efecto, (12)

L-l{e-h8 f (s)} =

FU -

h)a (t - h),

h

> 0, s> O.

Por tanto, representamos ( 11) como (13)

f (s) senh (es)

2f (s ) e-C8 1 - e- 2CS

debido a que podemos emplear la serie de potencias ( 1) para desarrollar (1 - e- 2C8 ) -1 en una serie de exponenciales con argumentos negativos. De (1) obtenemos


Series de potencia s y transformadas inversas

§ 160]

1

00

1 _ e- 2C8 = "~O exp ( -2nes), en este caso, por ( 13)

f~?es ) =

(14)

2 }; f (s) exp ( -2nes - es ).

sen

n=O

Ahora empleamos ( 12 ) para obtener, para ( 15 )

L -1

e>

O,

s> O,

f (s) = 2 ~ F (t - 2ne - e)a (t -2ne - e ) . senh (es) n =O

Es importante darse cuenta que la serie en el miembro derecho de la ecuación ( 15 ) es una serie finita. Sin importar qué tan grande sea el valor de t o qué tan pequeño (positivo) sea el de e, el argumento de la función a se hará negativo para valores suficientemente grandes de y para todos los valores que suceden a n. Por tanto, cada término de la serie será cero para toda n tal que (2 n + 1) e > t. El procedimiento empleado en este ejemplo es de valor en aplicaciones que involucren problemas de valores a la frontera en ecuaciones diferenciales parciales, y será discutido en el capítulo 30.

'n

EJEMPLO b): Calcúlese L { Por ( 2) obtenemos e- t

=

00

( _

~

1

~e

-t}

1 ) nf' n!

n=O

Por tanto, podemos escribir 1 - e- t t

=1+ 00

( _

~ n=1

00

~ n=1

( -

1)

nt n

-'---:'---n!

1 ) n+1['>--l

,.

n.

Un corrimiento en el índice, de n a (n + 1) nos da 1 - e- t 00 ( 1 ) nt n =~ ( 1) .1" t n=O n + Sabemos que L

tn} {-n! =

-1. De donde sn+1

L{1 - et

t

}

=

(- 1)"

~o (n + 1) s"+1' 00

comparando con la ecuación (9) anterior, se tiene (16)

s> O.


[Cap. 29


514

La restricción s > O puede obtenerse examinando la definición del miembro izquierdo de ( 16). Nótese también la conexión con el ejercicio 15 de la sección 63.

1}.

e): Calcular L-1 {In s + s- 1 De ( 10) tenemos

EJEMPLO

1

s+l In - S 1

+~

s '" 1 = In - = 2 ~ -:-:::------:-:---:occc:1_ ~ n=O (2 n + 1 )s2n+1' s

2n Ahora L- { 1} = t (2n ) ! 1

- - o De donde

-

S2n+1

1} = 2~

L - 1 {In s + s- 1

n=O

(2n

t

2 "

,

+

1) !

lo cual, con la ayuda de (6), nos da

1} 2

S + L-1 { l n - - = - senh t. s- 1 t

(17)

EJERCICIOS

,

{sen kt}

,

1. Cálculese L - t - .

kt} • 3. C a'l cu'1ese L{senh (kt )} 1 - cos t

2. Cálcúlese L {

SOL.

1 - cosh (kt )} t •

5. Calcúlese F (t) = L -1

6. Calcúlese F (t) = L -1 SOL.

F(t )

=

SOL.

{ss (1 ~ e=i

F (t)

SOL.

s> O.

s

SOL.

t'

4. Calcúlese L {

k

Arctan - ,

SOL.

'" ~

{S3cos~ (2s

i In ( 1 -

k

2

S2

)

'

s> k > O. s> k > O.

ycalcúlese F (5) .

28 ) }

n=O

s+k

iln--k, s-

(t - 2n )2a( t - 2n ) ; F(5)

J

= 17.5.

y calcúlese F ( 12) .

'" (-1) "(t - 4n -2)2a(t - 4n - 2); F( 12 )

~

= 68.

n ::::: O

7. Dado rp(t) = L-1

{s4sel

(3S) } Calcúlese rp( lO).

SOL.

8. Dado e> O, s> O, Y L-l{f(S ) } = F(t) . Pruébese que L-l

{_f~} = 2 i cosh (es )

"=0

(-l)nF(t - 2na - c)a(t - 2nc - e).

344.


la función error

§161]

9. Dado e> 0, s> 0, y L-1{f(S ) } = F(t). Pruébese que L-1{f(S ) tanh (es ) } = F(t )

ce

+ 2 :¿

(-l)nF(t -

2nc )a (t - 2nc ) .

n=l

10. Dado O < x < 1, donde x no depende de s Encuéntrese la transformada inversa y( x, t) de 4e'" fl(e B

+ e-

8

)

y calcúlese entonces y (f, 5) , suponiendo la continuidad de la y. SOL.

y(f,5 ) = 28.5.

11. En el ejercicio 4, sección 79, reemplazar el elemento de corriente alterna E sen wt por E Q (t, e ) en donde Q es la función de onda cuadrada

de la figura 20, sección 63. l(t) =

SOL.

~exp ( - _t_) + 2E ~

R

RC

R

( - 1) n exp (_ t - nC)a(t _ nc) : RC

1> = 1

12. En el ejercicio 4, sección 79, reemplazar E sen wt por EF(t ) en donde F (t) es la rectificación de media onda de sen wt descrita en el ejercicio 13, sección 63. SOL. l(t ) =

wgz n~o [( -l)n(coswt + wRC sen wt) 2

161.

- exp ( -

wtw~;7r) ]

a (t _ n:}

LA FUNCIóN ERROR

La función error, abreviada "fer" que fue mencionada brevemente en la sección 22, está definida por

( 1)

2 fer x = -=

r

z

V7r Jo

exp ( _,[32) df3.

Esta función surge de varias formas. Se estudia algunas veces en cursos elementales.* También encontramos la fer x al evaluar transformadas inversas de ciertas funciones simples de s. Sabemos que L - 1 {s-~} = ( 7rt) -~ y por tanto que

L-1 {

Vs

1

}_~

+1

- V7rt'

Entonces el teorema de convolución nos da

* Véase E. D. Rainville, Unified Calculus and Analytic Geometry. Nueva York: The Macmillan Co., 1961 , págs. 605-607 ; o C. E. Love y E . D. Rainville, Differential and Integral Calculus. 6' Edición. Nueva York: The Macmillan Co., 1962, p áginas 467-470.

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516

L-1

( 2)

1 } = { sv's+l

Hagamos ahora V7i = = 2dy Y obtenemos

[Cap. 29

rt

1 ._e_-(3 df3. Jo v'7rf3

en el miembro derecho de ( 2 ) . Entonces

y

f3-i df3

L

-1 {

1

s v' s

+ 1} =

Jvo t exp ( -"1

2

v' 7r

2 )

dy.

Esto es

L -1 {

( 3)

1 } = fer ( Yt) . sv' s + 1

En nuestro trabajo son útiles algunas propiedades básicas de fer x que obtendremos inmediatamente. Directamente de la definición (1) se sigue que la derivada de fer x está dada por

!!:.... fer x = 2 exp ( - X2) •

(4)

dx

v' 7r

De ( 1) Y la serie de potencias para exp ( - W) obtenemos fer x =

(5)

2 -=

00

~

( -1 )"x -'--_-'---__ 2n

v' 7r " =0 ( 2n

+1

+ 1) n!

En cálculo elemental encontramos que oo

( 6)

Jo exp ( -

W ) df3 =

v'-;

2'

De (6 ) se obtiene

(7)

Lim fer x = 1.

Los valores de fer x se calculan fácilmente para x pequeñas de la ecuación (5 ) anterior, y para x grandes del desarrollo asintótico * (8)

fer x ,-, 1 _ _ex-,-p--,-(=-,--x2--'...) ~ y; k=o

( -

1 )"[ 1 . 3 . 5 . . . (2n - 1) ]

2"X2 n+1

•

Es conveniente en nuestro trabajo emplear la llamada función error complementaria, denotada por erfc x y definida por (9)

ferc x = 1 - fer x,

* Véase E. D. Rainville, Special Functions. Nueva York: The Macmillan, Co., 1960, páginas 36-38. La función fer x está tabulada bajo el nombre "The Probability Integral" en B. O . Pierce y R. M. Foster, A Short Table 01 Integrals. 4' Edición. Nueva York : Ginn Co., 1956, páginas 128-132.

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§161]

517

lo que significa también que

2

00

ferc x = ----=f exp ( _[32) d(3.

(10 )

V 7TJz

Las propiedades de f~r x se pueden convertir rápidamente en las propiedades de ferc x. Es importante que para cualquier m fija, Lim xm ferc x = 0,

(11 )

"' ->00

lo cual puede demostrar el lector considerando la forma indeterminada ferc x x-m

y empleando la derivada de ferc x en la forma como se obtuvo en la ecuación anterior (4). , Véanse los ejercicios al final de esta sección para otras propiedades de fer x y ferc x. Una transformada que es importante en ciertas aplicaciones (sección 166 a 169) es

en la que k es independiente de t y es positiva. Por la definición de ferc x tenemos

2 r exp ( - [32) d(3. (vtk) = --= V 7T J 00

ferc -

(12)

k

o

Hagamos (3 =

k en ( 12) de tal forma que los límites de integra-

vv

ción se transformen en v = t Y v = O. Ya que d/3 = -1kv-~ dv obtenemos, empleando el signo menos para invertir el orden de integración,_ ferc ( k_) = k r v-~ exp (_ k ) dv. Vt V 7T Jo v t

(13)

2

La integral del miembro derecho de (13) es una integral de convolución. Por tanto

L{ferc( ~t)} = : 7T L{l} .L{riexp (_ ~2)}, o

(14)

L{ferc(~)} = s~L{t1 exp(-'~)}


Propiedodes adicionales de la t ransformada de laplace

[Cap. 29

Sea ahora (15)

P)

son de clase A sección 59, para Nótese que las funciones tm exp (cada m. t De (15) se sigue, debido al teorema 13, sección 61, que J

(16) Y

(17) Pero también, por el teorema 9, sección 60,

o

(18)

L {ir! exp ( -

~2) + k2r~ exp ( _ ~2)} =

sL

{tt eKp ( _ ~2)} - O.

Debido a (15), (16) Y (17), la ecuación (18) puede escribirse como 2 _idA + k2A = sd A. ds ds 2 Por tanto la función deseada A (s) es una solución de la ecuación diferencial. (19) Junto con la ecuación (19) necesitamos dos condiciones a la frontera. Sabemos que cuando s ~ 00, A ~ O. Consideremos ahora lo que sucede cuando s ~ O·. Por (15) Lim A (s) = Lim roo 8 ... 0+

r

8 ... 0+

=

Jo

e-8tt~ exp (

r!exp (-

2

_ k ) dt t

~2) dt.

La ecuación (13) nos da (reemplazando y por t)

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§161]

Jor

Y

(20) De donde

.

(k2)

v-~ exp - -;- dv =

k) Ty; eríc ( yy'

(k)

,r;.

519

y;

y-:;;'

Llm A (s) = -k Llm ferc _r = -k ferc O = -k. 8 .... 0+ y .... '" YY Para obtener la solución general de la ecuación diferencial (19), cambiamos la variable independiente* de s a Z = Ys; por la regla de la cadena del cálculo elemental dA dzdA 1 dA 1 dA =--=----=--, ds ds dz 2 Ys dz 2z dz y

1 dA De donde

1 d 2A 4 dz

d 2A ds 2

1 dA 4z dz

J - = -2- - - -

y la ecuación (19) se transforma en 2

(21)

d A _ 4k 2 A = O. dz 2

La solución general de (21) es A = blexp (-2kz)

+ b2exp (2kz),

entonces la solución general de (19) es (22)

A = blexp (-2k

Ys)

+ b2exp (2k ys).

Debemos ahora determinar las constantes b1 y b2 de las condiciones que indican que A ~ O cuando s ~ 00 y A ~ y; / k cuando s ~ 0+. Cuando s ~ 00, A no tiende a un límite a menos que b2 = O. Entonces, dejando que s ~ O+, obtenemos

y-:;;' T=b 1 • Por tanto

-t { , (k 2

A(s) =L r 2 exp

)}

= y; T exp (-2kYs).

* Tal cambio de variable está dictado por la prueba de la página 16 del libro de E. D. Rai!lville, Intermediate Differential Equations. 2" Edici6n. Nueva York: The Macmillan Co., 196.4.


Propiedades adicionales de la transformada de laplace

520

Volvemos ahora ( 14) para escribir la transformada deseada

L{ferc(~)} = ~exp ( -2k

(23)

Y5),

k > 0,

s> O.

(~),

k > O,

s> O.

Emplearemos ( 23 ) en la forma L-1{¿exp ( -2k Y5)} = ferc

(24)

En el capítulo 30 combinamos el uso de la ecuación ( 24) con los métodos de series de la sección 160. Considérese el problema de obtener

(25)

L_1{senh (x Vs )} , s senh Y s

O
s > O.

Si x fuese mayor que la unidad, el inverso de (25) podría no existir debido al comportamiento de senh (x yj:) / senh ...¡; cuando s ~ oo. En vista de la ecuación ( 24), es mejor escribir (25) utilizando exponenciales de tal forma que senh (x ys) exp (x ys) - exp ( -x ys) senh Y s - exp ( Y s) - exp ( -

(2 6 )

vs) .

Como en la sección 160 buscamos ahora una serie que involucre exponenciales de argumento negativo. Por tanto, multiplicamos numerador y denominador del miembro derecho de ( 26) por exp ( - Vs) y encontramos que (27)

senh YS = exp [ - ( 1 - x) ys] - exp [ - ( 1 + x) v's] senh (x Y s) 1 - exp ( - 2 Y s)

Ahora

1 1 - exp ( - 2 Y s )

(2 8 )

00

_

~exp(-2nYs). n=O

Entonces senh (x v'S) _ ssenhYs 00 1 = ~ - {exp [- (1 - x

+ 2n)

vs] - exp [- ( 1 + x

+ 2n)

ysJ}.

n=O S

Para O < x < 1 las exponenciales tienen argumentos negativos y podemos usar (24 ) para concluir que


la función error

§ 161]

L-1 {Senh ( x

( 29)

S

senh

VS)} VS

= ~ [ferc(l n =O

xYt+ 2n) _ ferc(l + 2 V+t 2n)J. X

2

EJERCICIOS 1. Demuéstrese que para toda x real, Ifer xl < l. 2. Demuéstrese que fer x es una función impar de x. ferx = -=. 2 ' que L'1m 3. D emuestrese ,, ~ O x V 71' 4. Aplíquese el método de integración por partes para demostrar que

Jo ferydy = xferx _

1 [1- exp ( _ X2 ) ].

I/)

V7r

5. Obténgase la ecuación (11), sección 161. 6. Principiar con la serie de potencias para fer x, ecuación (5), seccción 161, y demuéstrese que

L{r?!fer (Ve) } =

2

V 71'S

Arctan ~,

s> O.

VS

7. Empléese el hecho de que 1

1+

VI +

1-

v'T+s __ !+ v'T+s = _~+

1 - (1 + s)

s -

s

s

s

1 +s

s

V1+

s

y la ecuación (3), sección 161, para demostrar que

L-l {

1

+

1 } v'T+S 1

+s

t

= -1 + fer (yt) + _e-r-; y 7rt

e- t = _1': -ferc (Ve ). y 7rt

8. Empléese la ecuación (3), sección 161, para concluir que

L-l { Y por tanto que

L-l

1

(s -1 )

..¡-;}

= e t fer (Ve)

{..¡-;s ( Jss + 1) }=

9. Calcúlese L-l {.¡:;: 1+ 1}'

10. Calcúlese L-l {.¡:;:1_

J.

e t ferc (Ve) .

1

SOL. _ r-; y 7rt

1

SOL. _ 1': y 7rt

+

et

e t ferc (yt).

+

-

etfer (vt).

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522

[Cap. 29

11. Definiendo la función 'f (t) por 'f(t) = L-;

{fer~}.

Probar que

2 1 L{'f( Ve)} = _r-. sen --=.

yS

y 7rS

x> 0,

12. Demuéstrese que para L_1{SeChX

Ys}

s

= 2 ~ (-l )n ferc (2n + l ) x. ,.=0 2 Yt

13. Demuéstrese que para x L -l {cSCh x s

> 0,

YS} = 2 ~ ferc [ (2n2+y t1)xJ. n=O

14. Dedúzcase el resultado A(s)

= L {t-,,exp (P)} - t = ky; exp ( -2k Ys), k> 0, s>

°

directamente de la definición de una transformada. En la integral A(s) =

hacer

r

exp ( -st - k 2 t- 1 ) H dt

f3 = yt para obtener

o

A(s) = 2 exp (-2k

Ys)

r o

13- 2exp [- ([3 YS - k.,B-l) 2] d[3.

Demuéstrese que dA = ds

-2 Joo o exp ( - sf32 - P[3-2)

= -2 exp (-2k

Ys)

r

df3

exp [- ([3

ys -

kf3-1 ) 2] d[3.

y de ella obtener la función deseada A (s) .

dA Ysds

-kA = - 2

Y7r

exp (-2k

Obtener de aquí la ecuación diferencial A (s) .

Ys)


162.

FUNCIONES DE BESSEL

La función de Bessel _

(1)

00

1 ) k ( tz ) 2k+n

( _

k~O k !r(k + n + 1)'

Jn( Z) -

de primera clase e índice n, apareció en las secciones 117 y 118. Encontramos Jn (Z) en una aplicación simple de la técnica de series de la sección 160. Si podemos desarrollar una función dada de s en potencias negativas de s, seguramente podremos obtener la transformada inversa término a término. Un ejemplo simple es el siguiente: .!.exp (_ s

~) = ~

"=0

s

(-,1 )+ :x", k .s"

que nos conduce inmediatamente a

(2)

L

-1

!!.)} -_~o ( -1k !k)"x"t" !

{.!. (_ s exp s

00

Cuando n = O en (1) obtenemos, ya que r (k 00

Jo( z)

(3)

= k~O

+ 1)

= k!,

( -1 )" ( tz)2" k!k! •

Comparando (2) y (3) se tiene (4)

L-1HexP(-~)} =Jo(2VXt) ;

x>O, s>O.

De

_1 exp (_ ::) = s

S"+l

f k=o

( -1 )kx" k !s"+1>+1

obtenemos

Por tanto, al menos para n (5)

2:: O,

L-1tLexP(-~)}=Gyn J,, ( 2vxt), s>O, x>O.

Con un conocimiento mayor de la función gamma podríamos usar los métodos de series para obtener la transformada de Jn (xt) para cualquier n. Aquí nos restringimos a n = O por simplicidad.

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524

[Cap. 29

De ( 1) obtenemos

( _1 )k(fx)2kt2k Jo( xt ) = :¿ -'-----'-:~:-'-70=0 k!k! . OC>

Entonces

i:

L{f ( t ) }= ( -1)k (fx)2k(2 k ) ! o x 70=0 k!k !S27Hl Pero ( 2k ) ! = 2kk![1 ·3·5· .. ( 2k - 1)J. Por tanto

L{fo(xt)}

=~[1 + ~l

( -1 )70[ 1 . 3 ~k5.·k·!S~k(2k - 1)

l

J X2k

o

L{fc(xt) } =-1 ( 1 S

+ ~S22)-11 .

Por tanto

L{fo(xt ) } =

(6)

1

YS2 + X2

De (1) es fácil concluir que

d dz Jo (z) = - Jl (Z) . Entonces

y obtenemos

L{ -xJ1. (xt)} = L

{:t Jo(xt )} =

= sL{fo(xt)} - Jo( O). Pero Jo(O) = 1, entonces

L{ - xJ1. (xt) } =

y

s S2

+ X2 -

1,

o

(7) EJERCICIOS

1. La función modificada de Bessel de primera clase e índice n es ca

I n(z) = Deli.uéstrese que

(

fz) 2k+1.

k';O k !r (k + n + 1) .

(x)} = (t)! -; 1I In ( 2 V-xt ) .

1 exp S L-l { sn+l


163.

ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES

Cualquier lector que sea demasiado optimista respecto a la eficacia de la transformada de Laplace como una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales, debe recordar que hemos restringido . nuestro trabajo a las ecuaciones que tienen coeficientes constantes. Supongamos ahora que tratamos un problema de valores a la frontera que involucra a la ecuación

( 1)

F"(t)

+ t F (t) 2

= O.

Sea L{F(t)} = f (s) y hagamos F (O) = A, F'(O) = B. Entonces mediante la aplicación el operador L transformamos la ecuación ( 1) en 2

s2f (s) - sA - B

+ -ddS2 f (s)

= 0,

o (2)

1" (s) + s2f (s)

= As

+ B.

El problema de obtener la función complementaria para la ecuación ( 2) es el mismo que para la ecuación ( 1), luego no hemos hecho ningún progreso. El miembro izquierdo de ( 1) permanece esencialmente invariante ante la transformación de Laplace. El comportamiento de (1) bajo la acción de L no es único. En realidad, las ecuaciones diferenciales con coeficientes polinomiales que permanecen invariantes bajo la transformación de Laplace han sido clasificadas.* d" Ya que L{t"F (t)} = ( - 1)" ds"f (s), se sigue que el operador L puede usarse para transformar una ecuación diferencial con coeficientes polinomiales en una ecuación diferencial con coeficientes polinomiales y que el orden de la nueva ecuación igualará el máximo grado de los coeficientes del polinomio en la ecuación original. Simplemente la transformada de Laplace no es la herramienta propia para tratar ecuaciones diferenciales con coeficientes variables. Para tal propósito, el método clásico de solución por serie de potencias es una buena herramienta.

* E. D. RainvilIe, "Linear Differential Invariance Under and Operator Related to the Laplace Transfonnation" , Amer. Journal 01 Math., 62, 1940, páginas 391-405.



CAPÍTULO

30

Ecuaciones diferenciales parciales; Métodos de transformación

164.

PROBLEMAS DE VALORES A LA FRONTERA Para algunos problemas de valores a la frontera que involucran ecuaciones diferenciales parciales, la transfonnada de Laplace constituye un método de tratamiento efectivo; para otros problemas diferentes el método de la transfonnada nos puede dar infonnación adicional, aun cuando otras técnicas más tradicionales, tales como la separación de variables o el método de series de Fourier, sean más fáciles de usar. Hay otros problemas en este campo en que el método de la transformada de Laplace puede contribuir a su solución, aunque no sea recomendable por las complicaciones que implica. En este capítulo presentaremos unas cuantas aplicaciones y el estudio detallado de algunos problemas simples. Nuestra meta es dar al lector un conocimiento previo de este método, suficiente para poder emplear la transformada de Laplace en problemas que encuentre en la práctica. Así mismo deseamos darle un criterio que le sirva para decidir cuál método de transfonnación es la herramienta apropiada para un problema dado. 527


Ecuacianes diferenciales parciales

[Cap. 30

Resolveremos primero algunos problemas artificiales que hemos construido para exhibir la técnica y las ideas subyacentes, sin introducir las complejidades comunes a muchas aplicaciones físicas. El lector que entienda completamente el método y pueda dar con las soluciones de tales problemas simples sin dificultad, podrá resolver los problemas que surgen de situaciones físicas reales. EJEMPLO:

(1 )

Resolver el problema que consiste de la ecuación c)2y

02y

ox

ot

-= 16-2 2

parat> O,

x>O;

'

con las condiciones (2)

y --,) O,

(3)

-~

(4) (5)

ay

ot

para x> O;

-1

x --,) O+, Y ~ t 2, Lim y ( x, t) existe,

'

para x > O,'

para t > O; para t > O ~ fija.

" .... 00

Las características del problema que sugieren el uso de la técnica de la transformada de Laplace son:

a) La ecuación diferencial es lineal (necesariamente). b) La ecuación tiene coeficientes constantes (altamente deseable). e) Al menos una variable independiente tiene el rango de O a 00 (altamente deseable). d) Hay condiciones iniciales apropiadas (t = O) que involucran a la variable independiente en el rango mencionado en e ) . (condición también deseable). En este problema la variable independiente x tiene también el rango de O a 00, pero hay solamente una condición en x = O; se necesitan dos condiciones para transformar una segunda derivada. Trataremos por tanto este problema usando la transformada de Laplace con respecto a la variable t. Sea (6)

L{y(x, t)} = w (x, s),

en donde x se trata como una constante (un parámetro) por lo que hace a la transformación de Laplace. Ya que verificaremos nuestra solución, no hay ningún riesgo en suponer que las operaciones de dife-

http://carlos2524.jimdo.com/ Problemas de valores a la frontera

§164]

529

a

renciación con respecto x son conmutativas, así como las transformadas de Laplace lo son con respecto a t. Debido a que la ecuación (1) tiene coeficientes constantes, no aparecen las derivadas con respecto a la variable transformada s. La ecuación diferencial parcial (1) será transformada en una ecuación diferencial ordinaria con variable independiente x y donde s aparece como un parámetro. En vista de lo estipulado por la relación (6), la aplicación del operador L transforma (1), (2) Y (3) en

(7)

x> O.

Las condiciones (4) Y (5) se transforman a su vez en

2

(8)

w~

(9)

Lim w(x, s) existe.

S3'

Resolveremos ahora el nuevo problema, (7), (8) Y (9), para w (x, s) y obtendremos entonces y,(x, t) como la transformada inversa de w. Escribamos (7) en la forma ( 10)

y tengamos en cuenta que x es la variable independiente y s es un parámetro. Cuando obtengamos la solución general de (10), las constantes arbitrarias deberán ser funciones de s, no involucrarán a x. La solución general de (10) que debería hallarse por inspección es (11 ) w = -

~ + Cl (S) s-

exp (-4sx)

+ C2(S) exp (4sx) ,

x> 0,

s> O.

Debido a lo establecido en (9), la w de (11) se aproxima a un límite cuando x ~ oo. Los primeros dos términos del miembro derecho de la ecuación ( 11) tienden a un límite cuando x ~ 00, pero el término que tiene el exponente positivo, exp (4sx) no lo hace a menos que ( 12 ) Esto es, la ecuación (9) fuerza la inclusión de la condición (12). La w de ( 11) se transforma entonces en

(13)

1

w = - S2

+ Cl(S) exp (-4sx),

x> 0,

s> O.


[Cap. 30


La aplicación de la condición (8) a la w de ( 13) nos da

Por tanto encontramos que (14 )

w(x,s) =

1 (1- +-2) exp(-4sx), --,+ S2

S2

x> 0,

S3

s> O.

Inmediatamente sabemos que si L -1 {f (S )

}

= F (t ),

L-1{e- f(s)} = F (t - c)a ( t - e ). C8

(15 )

Por tanto, la aplicación del operador L- 1 en toda la ecuación ( 14) nos da

(16 ) y(x, t) = -t+ [(t -4X)2 + (t-4x) Ja(t-4x),

X>O,

t>O.

Nuestra suposición es de que la y de 16) satisface el problema de valores a la frontera (1) con las condiciones de ( 2) a (5). Vamos ahora a verificar en detalle la solución. De 1.6) se sigue que (17) ey . et = -1

+ [2(t -

4x)

+ lJa(t -

4x),

x> 0,

t> 0,

t=¡i:4x.

Nótese la discontinuidad en la derivada para t = 4x. Esto nos fuerza a admitir que podemos obtener una solución del problema sólo sobre cada lado de la recta t = 4x en el primer cuadrante del plano xt. Nuestra y no satisfac~rá a la ecuación diferencial a lo largo de esta recta porque la segunda derivada no puede existir en esos puntos. Esto es una reflexión del hecho de que ( 1) es una "ecuación diferencial hiperbólica". El hecho de que la "solución" satisfaga o no a la ecuación diferencial a lo largo de lo que hemos llamado las rectas caracteristicas de la ecuación, dependerá de las condiciones a la frontera específicas a cada problema. Entonces, trataremos cada problema individualmente sin intentar examinar la situación general. De ( 17) obtenemos (18)

~~ =

2a ( t - 4x),

x> 0,

t> O.

t =¡i:4x.


Problemas de valores o lo fronte ro

§164]

La ecuación (16) nos da también (19)

y (20)

ay ox

=

[-8 (t - 4x ) - 4]a (t - 4x ) . x > O.

02 = 32a (t - 4x), OX2

---.E

x> O,

t

> O.

t > O,

t =1= 4x,

t =1= 4x.

Las ecuaciones (18 ) Y (20) se combinan para demostrar que la y de (16) es una solución de la ecuación diferencial (1) en la región xt deseada excepto a lo largo de fa recta t = 4x donde la segunda derivada no existe. En seguida verificaremos que nuestra y satisface las condiciones a la frontera. Para ver cómo es que y satisface la condición ( 2), debemos mantener a x fija pero positiva, y dejar entonces que t tienda a cero a través de valores positivos. Así pues t~O+,y~O+

[( -4X)2+ ( -4x)Ja ( =4x) =0,

parax>O.

Por tanto ( 2 ) se satisface. Nótese que a ( - 4x) debería no haber sido cero para x negativa. De ( 17 ) , con x fija y positiva, se sigue que cuando

t~O+ oy ~ ot

-1

+ [2( -4x) + 1]a(-4x )

= -l,parax> O.

Entonces se satisface (3). Una vez más, el hecho de que x sea positivo ha desempeñado un papel importante en la verificación. Considérese ahora la condición (4). En ella debemos mantener el t fija y positiva. Entonces por ( 16 ), cuando x~O+, y~

-t

+ W + t )a (t ) = -t + t 2 + t = t"2,

parat

> O.

Así la condición (4 ) se satisface. Finalmente, la y de ( 16 ) satisface la condición (5). En efecto, cQmo Lim y (x, t )

= -t + O = -t, para t > O,

ya que para t fija y x suficientemente grande, (t - 4x) es negativa y por tanto a (t - 4x) = O. Esto completa la verificación de la solución ( 16 ). EJERCICIOS

En cada ejercicio resolver el problema y verificar completamente la solución.


Ecuaciones diferenciales parcia les

532

1.

oy = -oy + 4-;:;ox ut

- 8t>

t -7 O+, Y -7 0, -7 ()+, Y -7 2t 3,

para x > O; para t > O. SOL. y(x, t) = _t 2 + 3(t ~ 4x )2a(t - 4x).

X

oy 2. ox

x> O,.

parat> 0,

+ 2 oy ot =

4t, t -7 O+, y -7 0, X -7 O+, Y -7 2t 3 ,

para t > 0, x > O;

para x> O; para t > O. SOL. y(x>t ) = t 2 + [2(t - 2X )3 - (t - 2x) 21a( t - 2x). 3. Resolver el ejercicio 1 con la condición cuando t -7 0+ reemplazada por t -7 O+, Y -7 )O. SOL . y(x,t) = x - ¡t - t 2 + [3 (t - 4X)2 + Ht - 4x)]a(t - 4x). 4. Resolver el ejercicio 2 con la condición cuando t -7 0+ reemplazada por t -7 O+, Y -7 2x . SOL. y(x, t ) =2x-t+t 2+ [2 (t-2x ) 3 _ (t- 2x )2 + (t -2x) la(t-2x). o2y o2y para t > O, x > O; 5. ox 2 = 16 ot 2 ' t -7 0+, Y -7 0, para x > O; t -7 0+ o~ -7 - 2

para x > O; , ot ' X -7 O+, Y -7 t, para t > O; Lim y(x> t ) existe para t > O. Y = 3(t - 4x)a(t - 4x) - 2t.

SOL.

02y

¡)2y 6. ot 2 = 4 ox 2 '

t -70+, y -7 O,

para t > O, x > O; para x> O;

t -7 0+ Oy -7 2 para x > O,· , ot ' X-7 O+, y -7 sen t, para t > O; Lim y(x, t ) existe para t > O. 2>->00

SOL.

Y 2t

+ [sen (t -

ix) -

- 2 (t - ix)]a (t - ix).

165.

LA ECUACIóN DE ONDA

El desplazamiento tranversal y de una cuerda elástica deberá satisfacer la ecuación de onda unidimensional 02y _

202y

-2- a -

ot

ox

2

de la sección 158, en la que la constante positiva a tiene las dimensiones de una velocidad, cm entre seg, etc. Supongamos una cuerda larga elástica que está inicialmente tensa y en reposo de tal forma que podemos tomar en t = 0,

~


La ecuación de onda

§165]

Y =O

y

ay =O

at

'

para x

~

O.

Supondremos la cuerda suficientemente larga para que la SUposlclOn de que se extiende desde x = O hasta infinito, no introduzca un error apreciable sobre el intervalo de tiempo en que estamos interesados. Admitamos que el extremo de la cuerda que está más alejado del eje y se mantiene también fijo, que y ~ O cuando x ~ 00, pero que en el extremo sujeto al eje y la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo de acuerdo con alguna ley previamente dada, y ~ F ( t) cuando x ~ 0+ con F (t) conocido. La figura 72 nos muestra la posición de la cuerda para algún t > O.

x

FIGURA 72

El problema de dete~minar el desplazamiento transversal y en térmiminos de x y t es el de resolver el problema de valores a la frontera a2y _ 202y (1 ) at2 - a ax2 ' para t > O, x> O;

(2) (3)

(4) (5)

t~ t~

O+, O+,

y~O,

ay -~O ot '

para x;:::: O; para x

> O;

O+, para t ;:::: O; y~F ( t), Lim y (x, t) = O, para toda t ;:::: O. x~

,,---ro

La función dada F (t) deberá anularse en t = O para mantener la con~ tinuidad de la cuerda. Este problema satisface los criterios, sección 164, que sugieren el uso de la transformada de Laplace. Sea (6)

L{y(x,t)} = u(x,s),

L{F(t)} = f (s) .



534

Nótese que F (t ) deberá ser continua debido al significado físico que tiene en este problema. El operador L convierte al problema enunciado en las ecuaciones de ( 1) a ( ~) en el nuevo problema 2

S2U = a2 _d u dX2'

(7)

para

x > O;

u~f ( s ) ;

(8)

Lim u (x, s) = O.

(9)

De ( 7 ) escribimos inmediatamente la solución general

u (x, s) = Cl (S) exp (- : )

(10) Con s

> O, x > O,

+ C2( S)

exp

e:).

la condición (9 ) requiere que

C2( S)S=0.

( 11)

Por tanto ( 10) se transforma en

u (x,

( 12)

s) = Cl (S) exp ( _ s:),

y ( 8 ) requiere que

f es) = Cl (S). Tenemos por tanto

( 13 )

x>

u (x,s) = f es ) exp (_ s:),

O,

s> O.

x > O,

t

La ecuación (13) nos da la solución deseada ( 14)

> O,

en la cual suponemos que F (t) está definida de alguna forma para un argumento negativo de modo que pueda usarse el teorema 19 de la sección 65. .. ... La verificación de la solución ( 14 ) es un asunto sencillo. Nótese que

~~ = F' (t - ~) a y (J2y2 = F"

ot

(t - ~),

~~ = - ~ F' (t - ~) a (t - ~)

(t _ ~)a (t - ~), 02~ = 1- F" (t - ~) (t - ~) a ox· a a a' a

2

a

Estamos forzados a suponer la existencia de dos derivadas de la fun· ción dada F ( t). Es particularmente conveniente elegir F ( t ) de tal


535

Difusión en un ' sólido semi infinito

forma que F' (O) Y F" (O) se anulen cuando lo hace F (O), de tal forma que la continuidad de y y sus derivadas no se interrumpa a lo largo de la recta x = ato Se deja al lector como ejercicio el completar la verificación de la solución. En la sección 158 estudiamos el desplazamiento tranversal de una cuerda de longitud finita fija en ambos extremos; para tales problemas parece más apropiado el método de series de Fourier que el de la transformada de Laplace. Trátese, por ejemplo, el método de la transformada en el ejercicio 1 de la sección 158. EJERCICIOS

1. Interpretar y resolver el problema

a2y

(J2y

para t

ift2 = ax 2 '

t ~ O+, Y ~ x - x

t ~ 0+ ay ~ O

, ot

x~

'

O+, y~ O,

x ~ l-,y ~O,

2

> O, O < x < 1; para O < x

,

para O < x para t parat

< 1;

< 1,·

> O; > O.

Verificar la solución directamente 00

SOL.

166.

Y = x - X2 -

( l.

+ n=O ¿ (-

1) n[ (t - n - x) 2a (t - n-x )

+ (t

+

- n - 1 + x ) 2a (t - n - 1 - x)].

DIFUSIóN EN UN SóLIDO SEMIINFINITO

Considérese el sólido definido por x 2:: O, esto es, ocupando la mitad del espacio tridimensional. Si la temperatura inicial dentro del sólido y las condiciones en la superficie x = O son independientes de las coordenadas y y z, la temperatura u será independiente de y y z para toda t > O. Podemos visualizar, por ejemplo, una inmensa losa plana de concreto con una distribución inicial de temperaturas que depende solamente de la distancia medida a partir de la superficie plana de la losa. Si la temperatura de esa superficie se mantiene tiempo después ( t > O) en alguna función específica de t, o si la superficie es aislada, el problema de encontrar la temperatura para toda x y t positivas, tiene que ver con la ecuación térmica simple ( 2 ) de la sección 154. EJEMPLO : Considérese una losa semiinfinita x 2:: O, que está inicialmente a una temperatura fija u = A Y tiempo después está sujeta a una


Ecuaciones d iferenciales parciales

536

temperatura superficial (x ~ 0+) que es u = B para O < t < to, y entonces u = O para t ¿ to. Encontrar la temperatura dentro del sólido para x > O, t > O. El problema de valores a la frontera que debe resolverse es: para x

( 1)

(2)

t~

(3)

x~

O+, O+,·

> O,

> O;

u~A,

para x> O;

u~

para O < t < to, parat>t o;

B,

u~O,

Lim u (x, t) existe para cada t

(4)

t

>

°

fija.

En este problema A, B Y h2 son constantes. Usando la función a demos expresar la condición a la frontera (3) en la forma

(5)

x~

O+, u ~ B[l - a(t - t o)],

parat

[JO-

> O.

Nótese también que el problema físico nos indica que el valor del límite en (4 ) debe ser A. Esto proporciona una comprobación adicional a nuestro trabajo. El problema satisface los criterios, sección 164, que sugieren el uso de la transformada de Laplace. Sea (6)

L{u (x,t) } = w(x,s),

x> 0,

s> O.

La ecuación ( 1) con la condición (2) se transforma en 2 2 d w sw - A = h dr'

x> 0,

o

(7)

x> O.

A su vez, las condiciones (4) Y ( 5) se transforman en

(8)

Lim w(x, s) existe para s fija mayor que cero, 1/1->'"

Y

(9)

x~

B

O+, w ~ -s [1 - exp ( - tos)] .

La ecuación diferencial (7) tiene la solución general (10)

w = c1exp(- x

;;S) +C2exp (X {)+ ~,

x> 0,

s> 0,


537

Difusión en un sólido semiinfinito

en la que Cl y cz pueden ser funciones de s, pero no de x. Cuando x ~ 00, la w de (10) se aproximará a un límite si, y sólo si, C2 = O. Por tanto la condición ( 8 ) nos da el resultado (11 )

C2

= O

y la w de (10) se transfonna en X

w = clexp ( -

(12)

Empleando (9) Y dejando que x

-..Is) +"5' A

-h-

~

O+, obtenemos

B - [1 - exp (-t os)] =

(13)

Cl

S

A + -. S

Entonces la solución del problema enunciado en las expresiones (7) a (9) es w (x, s)

( 14)

= ~ [1

x

- exp ( -

:s)] +

+ ~exp (-

x

:5) [1 -

exp (-toS].

Sabemos que

Por tanto podemos escribir

(16) L-

l

H

exp ( - x

:s) exp (-toS)} = fercCh lt ~ tol~) a (t -

t o),

donde los signos de valor absoluto han sido insertados para permitir que t sea empleada en el rango O a t o en donde la función a forzará al miembro derecho de la ecuación (16) a anularse. Estamos ahora en posición de escribir la transformada inversa de la w de la ecuación (14). Para x > O Y t > O,

(17)

ví)] + + B [ferc (2h xví ) - ferc (2h lt ~ tol!) a (t -

u (x, t ) =A[1-ferc(2h

x

t o),],

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538

[Cap. 30

o

( 18 )

u(x, t) = A fer

(~) + 2h Y t

+ B [ferc (2h xVi) -

ferc (2 h lt

~ tol') a (t - to),].

La u de ( 17) o de ( 18) es la solución deseada. Para demostrar que cada término de (18) es una solución de la ecuación ténnica unidimensional se hace uso de la sustitución directa. Que las condiciones ( 2 ), ( 3) Y (4) se satisfacen también, se sigue rápidamente de las propiedades Lim fer z = O, Lim fer z = 1 y las propiedades correspondientes de la función ferc. En realidad, para

la u de ( 18 ), Cuando x ~ O+, u ~ A • O + B[l - a(t - to] = = B[1 - a (t - to)], parat Cuando t ~ O+, u ~ A ·1 + B(O - O) = A, para x > O; Cuando x ~ 00, u ~ A • 1 + B· O = A, para O < t ,< t o ; Cuandox~ 00, u ~A·1 + B (O - O) = A, parat· > too 167 .

> O;

VARIABLES CANóNICAS

Cuando tratamos problemas que aumentan su complejidad, se hace importante el simplificar nuestro trabajo introduciendo las llamadas variables canónicas. Estas variables son combinaciones sin dimensiones de las variables físicas y los parámetros del problema original. Ilustraremos ahora un método para seleccionar dichas variables. En la sección 168 resolveremos un problema de difusión que puede expresarse en la forma siguiente:

( 1) (2) (3)

(4)

au = at

h2

t~

au ax 2

2

para t

O+, u ·~A , O+, u ~ O, x~ c-, u~ O, x~

> O,

O< x

<

c;

'

para O < x < c; para t > O; para t > O.

Un conjunto cpnsistente de unidades para medir las diferentes constantes ( parámetr~~) y variables en este problema es:

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§167J

539

u = temperatura (OF) t = tiempo (horas ) x = . coordenada espacial (pies) h 2 = difusividad térmica (pie 2 por horas) e = longitud (pies ) A = temperatura inicial (OF )

Buscaremos ahora las nuevas variables sin dimensiones ?:, T, "', proporcionales a las variables físicas x, t y u. Por el momento supongamos x =

( 5)

/3t,

en donde /3, y, S son constantes positivas que deben ser determinadas de tal forma que las nuevas variables sean sin dimensiones. Los cambios de variables (5) transforman a las expresiones de (1) a (4) en

o'" _ h S 0 :y OT - 7F ot 2

S

2

",

2

para T '

1 Y

> O, 0< /3t < e;

h2 ¡32'

--de donde

Encontramos por tanto que la introducción de las nuevas variables . x

t= -,

( 10 )

e

transforma el problema ( 1) a (4) a la forma canónica para T

(11 )

O+, '" ~1 , t -? O+, '" ~ O,

( 12)

T

( 13 ) ( 14)

t -? 1-, '" ~ O,

-?

> O,

O<

t < 1;

para 0< t < 1; para T > O; para T > O.



[Cap. 30

Nótese que las variables canónicas en (10) son sm dimensiones; , tiene dimensión pie sobre pie, etcétera. La solución del problema (11) a (14) es independiente de los parámetros h 2 , c y A del problema original. Este hecho es de gran importancia en las aplicaciones. La solución del problema original (1) a (4) es una función de dos variables y tres parámetros, (15)

u = f(x, t, c, h,A).

La solución de (11) a (14) que veremos en la próxima sección, es una función de las dos variables (16)

o/=F(l;,T),

de tal forma que (15) toma realmente la forma

(17) La función F, de dos variables, puede tabularse y darnos de alú la solución del problema original sin importar cuáles sean los valores de c, A y h 2 • Hay problemas, tales como el estudio de temperaturas en un dique de concreto, en los que es importante conocer el valor medio con respecto a x de la temperatura u de (15) sobre el rango O < x < c. Este valor medio puede calcularse empleando (16) y el resultado es función de la única variable T. Por tanto puede trazarse una sola curva en el plano o/T para dar la temperatura media pertinente para todos los problemas (1) a (4).

168.

DIFUSIÓN EN UNA LOSA DE ANCHURA FINITA

Resolveremos ahora por métodos de transformación el problema de la losa de la sección 139 para el caso especial f(x) = A. Supóngase que el grosor de la losa es de c unidades de longitud. Supondremos también que la coordenada x denota la distancia a partir de una de las caras de la losa y que esta se extiende hasta muy lejos en las direcciones y y z. Así mismo, supóngase que la temperatura inicial de la losa es una constante A y que las superficies x = O, x = c se mantienen a temperatura cero para toda t > O. Si la losa se considera infinita en las direcciones y y z, o más específicamente, si tratamos solamente secciones transversales cercanas (lejos de las superficies de la losa), entonces


Difusión en una losa de anchura finita

541

la temperatura u en cualquier tiempo t y la posición x están determinadas por el problema de valores a la frontera para t

( 1)

(3) (4)

~

x~

c-,

O,

O< x

<

c;

para O < x < c; para t > O; para t > O.

O+, u ~ A, x~ O+, u ~O, t

(2 )

>

u~O,

Resolveremos el problema correspondiente en variables canónicas. Esto es, en las ecuaciones ( 1) a (4) hacemos

x , =-,

(5)

C

En las nuevas variables "

7, "',

el problema que debe resolverse es

para 7

(6)

(7)

1, ,~O+, "'~ 0,

(9)

,~ 1-,,,,~0.

7

Sea

L{"' (', 7) } = W (',s) =

( 10 )

O,

O<

,<

para 0< ,< para 7> O; para 7> O.

~ ()+, '" ~

( 8)

>

r o

1;

1;

e- ST tf¡(', 7) dT.

La aplicación del operador de Laplace transforma el problema enunciado en las expresiones ( 6) a ( 9) en para 0<

(11 ) ( 12 )

,~O+, w~

( 13 )

,~ 1-,w~0.

,< 1;

O;

La solución general de (11) puede escribirse como ( 14)

W

=

Cl

senh ('

Vs) + Cl! cosh (' Vs) +

De ( 12 ) se sigue que

0=

( 15)

C2

+-1S

y ( 13) nos da (16)

O=

Cl

senh Vs +

C2

cosh

Vs + 1.. s

1.s .


Ecuacianes diferenciales parciales

542

Resolviendo (15) Y (16) obtenemos (17)

1 coshYs -1 = - -, Cl = - - - - = c -

C2

s senh Y s

S

de donde vemos que ( 18)

1 w = -:;:

+

(cosh

Ys - 1) senh

( s Y-;) - senh s senh Y s

Ys cosh

( s Ys)

.

Ya que senh Bl cosh B2 - cosh Bl senh B2 = senh (Bl - B2) la w de (18) puede escúbrrse en la forma (19)

w(s,s)

=1. [1 s

_ senh (s Ys) senh ..¡;

_ senh {( 1 senh

s) Ys}].

..¡;

La solución deseada 0/( t;, T) es la inversa de la w( t;, s) de (19), con t; sobre el rango O < t; < 1. Sabemos ya, de la ecuación (29) sección 161, que para O < x (20)

L- l {Senh (x s senh

=

VS)} = ..¡; ~ [ferc (1 "=0

<

1,

x+ 2n) _ferc'(l + x+ 2n)].

2

Yi

2

Yi

Aplicando (20) dos veces, una con t; y la otra con ( 1 - s) reemplazando a x, obtenemos de ( 19) la solución deseada. (21)

= 1_

_ferc (1 +2 t;y;+ 2n)] ~ [ferc (s + 2n) _ferc (2 - s+ 2n)]. " =0 2 y; 2Y ~ [ferc (1 -

" =0

2

s + 2n) y;

T

Las funciones error complementarias en (21) pueden reemplazarse por funciones error, ya que (22)

ferc z = 1 - ferc z.

Con ayuda de las propiedades (23 )

ferc O = 1,

Lim ferc z z .... oo

= O.

puede verificarse fácilmente la solución ( 21), suponiendo que el signo de suma y los límites pertinentes pueden ser intercambiados. Esta suposición es dable demostrarla con ayuda de los teoremas que se estudian en cálculo avanzado.


543

Difusión en una Josa de anchura fin i ta

De (21) obtenemos, cuando ?: ~ O+, tf ~ 1 -

ca ~

[

ferc

n=O

~

_

n=o'

(2n2 y; + 1) -

ferc

T

T

[ferc (_ ~) - ferc V

(2n2 Y+ l)J -

T

(n V+_l)J. T

. En la primera serie cada término es cero. La segunda serie encaja; en ella reemplazamos la serie por el límite de las sumas parciales para obtener tf

~1-

Lim 11o---i-OO

~

[ferc (_

"r-) - ferc (k -~)J,

y

k =o

V

T

T

o

tf~ 1 - ~~~[fercO Para

T

> O fija,

(24)

ferc(n

~)J.

+ 1) / y-; ~ 00 cuando n ~ oo. Por tanto, por cuando ?; ~ 0+. tf ~ 1 - 1 + O = O, (n

( 23),

La solución (21) no se altera cuando se reemplaza?; por ( 1 - ?;) debido a que las dos series simplemente intercambian sus lugares. Por tanto, en vista de lo estipulado por (24) tf

(25)

~

cuando ?;

O,

~

1-.

Para cualquier , en el rango O < ?; < 1, el argumento de cada ferc en (21) es positivo y tiende a infinito cuando T ~ 0+. Entonces, cada ferc ~ O Y cada término de las dos series hace lo mismo. En: estas condiciones y debido a que el orden de la suma y los límites pueden intercambiarse tf

(26)

~

1,

cuando

T

~

O+,

para O < ?;

<

1.

Quizá el hecho más importante acerca de la solución ( 21) es el de que la serie converge muy rápidamente para T pequeño, debido a que los argumentos de las diferentes funciones ferc son entonces muy grandes. Puede demostrarse, por los métodos de separación de variables y series de Fourier, que el problema ( 6) a (9) del principio de esta sección tiene la solución: (27)

tf( ?;,

T)

=

±i: exp [-7r ( 2k + 1r 2

7r

70 =0

2k

T]

sen [ ( 2k

+1

+

1) 7r?;1.

Las soluciones dadas por ( 21) y (27) son idénticas, aunque la unicidad de tales soluciones no ha sido probada aquí.



[Cap. 30

La serie en (27) converge rápidamente para T grande y lentamente para T pequeña. Las series en (21) convergen rápidamente para T pequeña y lentamente para T grande. Las dos formas de la solución se complementan una a la otra exactamente. La solución del problema original (1) a (4-) puede obtenerse de ( 21) o (27) haciendo las sustituciones en (5). EJERCICIOS

1. Interpretar y resolver el problema siguiente

ou

02U

a¡= ox2'

parat> 0, 0< x < 1; para O < x < 1; para t > O;

t ~ O+, u ~ 1, x ~ 0+, U ~ O, x SOL.

169.

U=

1_

ou

~ 1-,-~

OX

0,

para

t> O.

f (_ 1)" [ferc (2n2 +V t X) + ferc (2n +2 V2 t- X)] .

,,=0

DIFUSIóN EN UN SóLIDO EN EL QUE UNA DE SUS CUARTAS PARTES TIENDE A INFINITO

Como una aplicación final estudiemos las temperaturas cerca de la esquina cuadrada de una inmensa losa que inicialmente está a una temperatura constante y cuyas superficies se mantienen, de ahí en adelante a una temperatura constante que es diferente de la temperatura inicial interior. Supondremos que todas las temperaturas son independientes de una de las coordenadas rectangulares espaciales. Introduciendo variables canónicas expresaremos matemáticamente el problema como sigue:

( 1)

para t > 0,

x > 0,

y > O;

(5)

para x> 0, y> O; para t > 0, y > O; para t > 0, x > O; Lim u(x, y, t) existe para t y Y fijas y positiva;;

(6)

Lim u (x, y, t) existe para t y x fijas y positivas.

(2)

(3) (4)

O+, u ~ 1, x ~ O+, u ~ 0, y ~ O+, u ~ 0, t

,,->

~

00

y->oo

La solución del problema (1) a (6) deberá llevarse al cabo combinando los métodos de separación de variables con el método de la


Difusión en un sólido

545

transformada de Laplace. Primero separaremos la función u en el producto de una función que solo depende de x y t por una función de y y t solamente. Esta separación es posible sólo por la peculiar simplicidad del problema de valores a la frontera. Sea

(7)

u (x, y,t) = u(x,t)w(y,t).

De ( 7 ) se sigue que

ou GW ov -=v - +w . ot ot ot' '02U 02V OX2 = WOX2' 02U 02W oi = v oy2' Por tanto la ecuación (1) nos da

ow

ov

va¡ + wa¡ =

( 8)

02V W OX2

02W

+ V oy2'

la cual se satisfacerá si tanto ( 9)

02V OX2'

para t > 0,

x> 0,

ow . 02W oy2'

parat > 0,

y> 0,

ov

Te -

como

(10)

Te -

se satisfacen. Si imponemos las condiciones (11 )

t

~

O+, v ~ 1,

para x > 0,

( 12 )

t

~

O+, w

para y > 0,

~

1,

la condición (2) se satisfacerá. De la condición (3) obtenemos (13)

x~

O+, v ~ 0,

parat> 0,

y~

O+,

para t > O.

Y de (4 )

(14 )

w~

0,

Las condiciones (5) Y (6) serán satisfechas si (15)

Lim v(x, t) existe para t fija y positiva, "' .... 00

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546

[Cap. 30

y

(16)

Lim w(y, t) existe para t fija y positiva. 1I~ c
Debemos ahora encontrar v a partir de oV

at -

(9) (11 ) ( 13) (15)

02V

ox 2 ,

para t

> O,

x

> O;

para x > O; x ~ O+, v ~ O, para t > O; Lim v(x, t) existe para t fija y positiva. t

~

0+,

v~

1,

"~C
La función w deberá satisfacer (10), (12), (14) Y (16); es por tanto la misma función que v excepto que y reemplaza a x. Para obtener v usamos la transformada de Laplace. Sea (17)

L{v(x, t)}

= g(x, s) =

r

e-Btv(x, t) dt.

Entonces (9) Y (10) nos dan d 2g sg - 1 = dx2l

(18)

de lo que puede escribirse fácilmente por inspección ,la solución general, debido a la experiencia que ahora tenemos en manejar ecuaciones con coeficientes constantes. Obtenemos de aquí que (19)

1 + Cl(S) exp ( -x V-s) s

g =-

+ C2 (S)

exp (x V s).

Debido a lo estipulado por las relaciones (13) Y (15), la función g deberá satisfacer las condiciones (20) (21)

0+ g~O, Limg(x,s) existe.

x~

Debido a la condición (21), C2 (s)

= O.

1 0=-+ s

Debido a la condición (20 )

Cl(S).

Por tanto (22)

g (x, s) =

s1 - s1 exp ( - x V-s) .

La función v (x, t) es una transformada inversa de g (x, s) : (23)

v(x, t) = 1 - ferc

(~). 2

vt


547

Difusión en un sólido

Pero 1 - ferc z = fer z. Entonces (24)

v ( x, t) =

fer(~). 2

vt

Por t anto la solución de nuestro problema original ( 1) a (6) es ( 25)

El lector debe-J:á verificar que la u de ( 25 ) satisface todas las condiciones del problema de valores a la frontera ( 1) a ( 6) introducidas al principio de esta sección. EJERCICIOS

1. Demuéstrese que para la u de (25 ), O < u < 1, para toda x, y, t > (). 2. ,Supóngase que el punto con coordenadas (x, y, t ) está en el primer ..octante del espacio rectangular x, y, t; Y que este punto se acerca al origen a lo largo de la curva

= 4a 2 t, y2 = 4a2t,

X2

en la que a es positiva pero arbitraria. Demuéstrese que cuando x, y, t ~ 0+ en la forma aescrita anteriormente, puede hacerse que u se aproxime a cualquier número deseado que esté entre cero y la unidad.



, Indice analítico Aislamiento, 491 Aplicaciones, 59-68, 101-107, 237-260, - 269, 326-328, 442-448, 489 catenarias, 326-328 circuitos eléctricos, 269-272 conducción de calor en un sólido una de cuyas cuartas partes tiende a infinito, 544-547 en una esfera, 500-502 en una losa, 443-448, 491 -494, 498500, 541-544 en un sólido semiinfinito, 535-538 conversión química, 63 ecuación de onda, 502-505 ley de enfriamiento de Newton, 62-63 péndulo, 254 redes eléctricas, 272-275 tractriz, 68 trayectorias ortogonales, 102-107 velocidad de escape, 59-61, 64 vibración de una cuerda, 237-250 vigas, 255-260 Artificios para obtener mayor rapidez en la convergencia, 486-487 Benham, W. E., 485 Britton, J. R., 126, 130 Burch, G. E., 484 Caída de voltaje, 270 Cálculo con series, 398-40 1, 432, 486487 Cambio de la exponencial, 165-169, 178 Cambio de variable: dependiente, ecuación lineal de orden dos, 289

Cambio de variable: en ecuaciones de orden uno, 39, 41, 78, 84-88 independiente en la ecuación del tipo de Cauchy-Euler, 356 Campo eléctrico, 101 Cardioides: ecuación diferencial de, 27 familia auto-ortogonal de, 99, 101 Catenaria, .326-328 Ceros de polinomios ortogonales, 452 Circuito RC, 276 Circuito RL, 271 Circuito RYLC, 270, 276 Circuitos eléctricos, 269-272 Círculo, ecuación diferencial del, 26 Cisoide: eCl\ación diferencial de, 27 trayectorias ortogonales de, 96, 100 Clase A: funciones de, 193, 195 transformada de, 194 Coeficientes: constantes, ecuación lineal con, 133181 indeterminados, 153-156 lineales en ambas variables, 84-88 Componentes: forzados, 241, 242 naturales, 241-242 Conducción de Lipschitz, 296 Conducción de calor : en una esfera, 500-502 en una losa, 442-448, 493, 498-500, 540-544 en un sólido semi infinito, 535-538 549


fndice analítico

Conducción de calor: en un sólido, una de cuyas cuartas partes tiende a infinito, 544-547 Cónicas centrales, ecuáción diferencial de, 26 Conjunto simple de polinomios, 450 Constante de una cuerda, 237 Conversión química, 63 Coordenadas: cilíndricas, ecuación de Laplace en, 434 esféricas, ecuación de Laplace en, 435 Corriente eléctrica, 269 Cuadro: de series de potencia, 511-512 de transformadas de Laplace, 235-236 Cuerda elástica, 502-505 Curvas equipotenciales: de flujo de fluido, 106 eléctricas, 102 Churchill, R. V.,' 142, 437, 456, 481, 487, 502 Deflexión de una viga, 255-260 Dependencia lineal, 117 Desplazamiento transverso de una viga, 255-260 Diferenciación de un producto, 356-358 Difusión: ecuación de, 436 en una esfera, 500-502 en una losa, 442-448, 493, 540-544 en un sólido semiinfinito, 535-538 en un sólido una de cuyas cuartas partes tiende a infinito, 544-547 Difusividad térmica, 442 Diques de concreto, temperatura de, 496-500 Ecuación: auxiliar, 134 raíces distintas, 133-136 raíces imaginarias, 142-145 raíces repetidas, 137-1 40 cambio de variables independientes, 435-436 con coeficientes: homogéneos, 39-41, 77 lineales, 83, 88 con discriminante e, 306

Ecuación: con discriminante P, 306-307 confluente hipergeométrica, 387-389 de Bemoulli, 80-83 de Bessel, 384-386 de índice cero, 363 de índice no entero, 384 de índice un entero, 385-386 de índice uno, 374 de Clairaut, 312-315 solución singular de, 313-315 de Laplace, 102, 435, 505-510 en coordenadas cilíndricas, 434 en coordenadas esféricas, 435 en coordenadas polares, 509 en coordenadas rectangulares, 102 de Laplace en dos dimensiones, 102, 104, 505-507 en coordenadas polares, 507 en coordenadas rectangulares, 102, 440 soluciones de, 440, 507 de Laplace en tres dimensiones, 102, 104 en coordenadas cilíndricas, 434 en coordenadas esféricas, 435 en coordenadas rectangulares, 102 de onda, 435, 502-505, 533-535 en tres dimensiones, 435 en una dimensión, 502, 532 en una dimensión, solución de, 439, 441, 502-505, 532-535 de orden : dos, no lineales, 321-325 uno y grado uno, 29-93 uno y mayor grado, 299-319 de tipo de Cauchy, 356 de tipo de Euler, 356 diferencial: ordinaria, 13-107, 115-128, 133181, 222-230, 237~432 parcial, 433-448, 527 , sistemas de, 261-267, 272-275 diferencial ordinaria: parcial , 433 -448, 489 -509, 527 parcial, definición, 16 en diferencias, 337 en matemática aplicada, 43~436 exacta, condición necesaria y suficiente para, 45

http://carlos2524.jimdo.com/ fndice analítico

Ecuación: hipergeométrica, 381-382 indicial, 349 con diferencia entera de raíces, 365-368, 369-373 con diferencia no entera de raíces, 350-353 con raíces iguales, 358-362, 396397 integrales especiales, 299-234 lineal, 16 cambio de variables en, 289-290 coeficientes indeterminados, 153156 de orden n, 115-123 de orden uno, 49-52 de orden uno, forma estándar, 51 homogénea con coeficientes constantes, 133-146 homogénea con coeficientes variables, 115-121 , 329-412 métodos de la transformada de Laplace, 222-227 métodos de series de potencia, 329422 métodos operacionales, 165-181, 222-227 no homogénea con coeficientes constantes, 147-180 no homogénea con coeficientes variables, 15-122, 417-422 punto regular singular de, 345 punto ordinario de, 333 punto ordinario de, soluciones cerca de, 335-341, 391-393 punto singular de, 345 punto singular de, soluciones cerca de, 350-379, 395-402 sistemas de, 261-267 solución cerca de, 408-412 variación de parámetros, 279-285 lineal homogénea, 115 con coeficientes constantes, 13~ 146 con coeficientes variables, 115, 329-412 lineal no homogénea, 115 cambio de variables en, 289-291 coeficientes indeterminados, 153156

551

Ecuación: con coeficientes variables, 15-122,417422 con coeficientes constantes, ' 147181, 222-227, 279-291 métodos de la transformada de Laplace, 226 métodos del operador diferencial, 165.-179, 287-289 reducción de orden, 287-291 solución en series, 417-422 variación de parámetros, 279-286 no lineal, 17 de orden dos O más, 321·-328 de orden uno y de mayor grado, 295-297, 299-318 de orden uno y grado uno, 29-47, 69-91 indicaciones sobre la solución general de, 331 . resuelta mediante series de potencia, 430-432 punto regular singular de, 345 soluciones cerca de, 350-379/ 395~0 1

sistema de, 261-267 térmica, 442, 489 bidimensional, 544-547 en coordenadas esféricas, 500 unidimensional, 442-448, 489-502 validez de, 496-498 variables canónicas, 538-540 Electrocardiografía, 482-486 E} ctrocardiograma, 482 Eliminación de constantes arbitrarias, 17-25 Eliminando la variable: dependiente, 309-312 independiente, 316-318 Envolvente, 304 Esfera, conducción de calor en una, 500-502 Estrafoides: ecuación diferencial de, 27 Existencia de soluciones, 293-297 Extensión periódica, 464, 475, 479 Factor de amortiguamiento, 240, 249 Factor integrante, 49, 69-76 para ecuaciones con coeficientes homogéneos, 77


fndice analítico

Factor integrante: para ecuaciones lineales de orden uno, 51 Factorización en . ecuaciones de orden uno y de mayor grado, 299 Familia de curvas: ecuaciones diferenciales de, 22-25 trayectorias ortogonales de, 95-100 Fer x, 515 Flujo de: calor, 490 en estado estacionario, 105-107 bidimensional, 105-107 Formas de solución, ecuación de orden uno y grado uno, 31, 33-34 ecua~ióñ lineal, cerca de un punto ordinario, 335 ecuacion lineal, cerca de un punto regular singular, 350 Fórmula de Abel, 285 Foster, .R. W.; 517 Fuerza , cortante, vigas, 255 Fuerza: eléctric~, 101 impuesta~ 238-241 retardatoria, 238 Función: alfa, 211-2Í4 complementaria, 122 confluente hipergeométrica, 389 polinomios de Laguerre como, 389 de Bes.sel, 384, 389, 523-524 modificada, 524 de corriente, 106 de onda cuadrada, 32-204 empleada, 515 de onda triangular, 204 de orden exponencial, 190-193, 195 error, 515 aplicación de, 522, 537-538, 54~544, 547 exponencial COn argumento imagina. rio, 142-144 transformada de Laplace, 185 factorial, 380 gamma, 200-201 relación-·con función factorial, 380 hiperbólica, 109-113 derivada de, 110, 112

Función: series de potencia para, 511-512 transformada de, 188, 236 rupergeométriéa, 382 homogénea, 37-39 de grado cero, 38 definición, 37 grado de, 37 teorema de Euler sobre, 42 teorema sobre, 38, 42 impelente, 240-241 nula, 208 objeto, 187 parcial, transformada de Laplace, 218 periódicas, transformada de, 201-205 peso, 449 potencial, 101, 106 seccionalmente continuas, 189-190 Galvanómetro, 482 Grado: de una ecuación diferencial, 16 de una ecuación homogénea, 38 Hopf, L., 437 Huntington Memorial Hospital, 482 Hutchinson, C. A., 112, 175 Impedancia, estado estacionario: en un circuito RC, 276 en un circuito RL, 275 en un circuito RLC, 276 Ince, E. L., 29, 175, 178, 296, 307 Independencia lineal, 116-119 de polinomios, 118 Infinito: punto al, 405 punto ordinario al, 404 punto singular al, 405 soluciones cerca de, 406 Integrales: de transformadas, 205 no elementales, soluciones que involucran, 89-91 Isotermas, 104 ]ackson, Dunham, 487 ] effreys, B. 1., (Lady Bertha), 437 ]effreys, H. (Sir Harold), 437

http://carlos2524.jimdo.com/ especial de la transformada de Laplace y hace hincapié sobre algunas aplicaciones de ella. El material qu~ ofrece el libro, se, halla dispuesto de tal manera que permite la elección de los temas para un curso se, , mestral, indistintamente de su secuencia normal para un año.

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