Ecuaciones de valor equivalentes Relación de Ejercicios a Resolver
1. Una empresa firma un pagaré por $120,000 a 90 días, a 25%. Treinta días después, contrae una deuda por $100,000 para pagarla 2 meses después sin intereses. Dos meses después de la primera fecha, acuerda con un acreedor pagar $150,000 en ese momento y, para saldar el resto de su deuda, hacer un pago final 3 meses después de la última fecha, con interés de 30%. Determine el pago final convenido. Pagos
Deudas 1.
1.
C=$120,000
2 meses después primera fecha
t=90 Dias
$150,000
i= 25%
2. Pago final
2. 30 días después
5 meses después primera fecha
C=$100,000
3 meses después última fecha
T= 2 meses
i=30%
0
1
2
Deuda 1
Deuda 2
Pago 1
$120,000
$100,000
$150,000
Deuda 1 a su vencimiento
3 = 120,000 1 + .25 12 = 120,000 1 + .25 . 25 = 120,000 1 + .0625 = 120,000 1.0625 = 𝟏𝟐𝟕, 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎
Deuda 2 a su vencimiento
= 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎
3
4
5
Pago 2 X
Deuda 1 Valor a fecha focal
2 12 = 127,500 1 + .30 . 1667 = 127,500 1 + .05 = 127,500 1.05 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟖𝟕𝟓. 𝟎𝟎 = 127,500 1 + .30
Deuda 1 Valor a fecha focal
2 12 = 100,000 1 + .30 . 1667 = 100,000 1 + .05 = 100,000 1.05 = 𝟏𝟎𝟓, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 = 100,000 1 + .30
Donde
Pago 1 Valor a fecha focal
3 = 150,000 1 + .30 12 = 150,000 1 + .30 . 25 = 150,000 1 + .0750 = 150,000 1.0750 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟐𝟓𝟎. 𝟎𝟎
𝑥 = 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 1 + 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 2 − 𝑝𝑎𝑔𝑜 1 = 133,875 + 105,000 − 161,250 𝑥 = 𝟕𝟕, 𝟔𝟐𝟓. 𝟎𝟎
2. Una persona debe pagar $2,500 en 3 meses, y $8,500 en 6 meses. ¿Qué cantidad deberá pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa del 12% simple? Deudas
Pagos
1. C=$2,500
1.
t= 3 meses
i= 12%
2. C=$8,500 T= 6 meses
2 1 0
1
2
3
5
4
Deuda 1 y 2 X
Deuda 1 a fecha focal
Deuda 2 a fecha focal
=
=
2,500
3 1 + .12 12 2,500 = 1 + .12 . 25 2,500 = 1 + .030 2,500 = 1.030 = 𝟐, 𝟒𝟐𝟕. 𝟏𝟖𝟒𝟓 Donde
𝑥 = 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 1 + 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 2 = 2,427.1845 + 8,018.8679 𝒙 = 𝟏𝟎, 𝟒𝟒𝟔. 𝟎𝟓𝟐𝟒
8,500
6 1 + .12 12 8,500 = 1 + .12 . 5 8,500 = 1 + .060 8,500 = 1.060 = 𝟖, 𝟎𝟏𝟖. 𝟖𝟔𝟕𝟗
6
3. El Sr. Gómez presta el 14 de julio $3,500 a 5 meses y medio a 10% de interés simple. También presta, 4 meses después, otros $2,000 con 14% de interés y vencimiento a 3 meses. Si consideras para la equivalencia una tasa de 15% ¿Qué cantidad recibida por el Sr. Gómez el 14 de diciembre liquidaría esos préstamos? Pagos
Deudas 1. 14 julio
1. 14 diciembre
C=$3,500
i= 15%
t= 5.5 meses i= 10% 2. 4 meses después C=$2,000 T= 3 meses I= 14%
0
1
2
3
4
14 julio
Deuda 2
Deuda 1
2,000
5
6
14 diciembre X
3,500
Deuda 1 a su vencimiento
5.5 = 3,500 1 + .10 12 = 3,500 1 + .10 . 4583 = 3,500 1 + .0458 = 3,500 1.0458 = 𝟑, 𝟔𝟔𝟎. 𝟑𝟎
Deuda 2 a su vencimiento
3 12 = 2,000 1 + .14 . 25 = 2,000 1 + .0350 = 2,000 1.0350 = 𝟐, 𝟎𝟕𝟎. 𝟎𝟎
= 2,000 1 + .14
Deuda 1 a fecha focal
3,660.30 .5 1 + .15 12 3,660.30 = 1 + .15 . 0417 3,660.30 = 1 + .0063 3,660.30 = 1.0063 = 𝟑, 𝟔𝟑𝟕. 𝟑𝟖𝟒𝟓 =
7
8
Deuda 2 a fecha focal
=
Donde
2,070
𝑥 = 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 1 + 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 2 = 3,637.3845 + 2,019.5122 𝒙 = 𝟓, 𝟔𝟓𝟔. 𝟖𝟗𝟔𝟕
2 1 + .15 12 2,070 = 1 + .15 . 1667 2,070 = 1 + .0250 2,070 = 1.0250 = 𝟐, 𝟎𝟏𝟗. 𝟓𝟏𝟐𝟐
4. Se decide pagar la compra de una maquinaria con valor de $100,000 en dos pagos de $50,000 a 6 meses y a un año, mas intereses calculados a 24% anual convertible semestralmente. Luego del transcurso de un trimestre se renegocia la compra y se determina pagarla mediante 3 pagos trimestrales: el primero por $30,000, el segundo por $50,000 y el tercero por la diferencia, considerando en este segundo flujo un interés de 20% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe del último pago? Pagos
Deudas 1. C=$50,000
3 meses después
t= 6 meses
1. C= 30,000 2. C=50,000
i= 24% anual convertible semestralmente
i= 20% convertible trimestralmente
2. C=$50,000
3. Diferencia entre el pago 1 y pago 2
t= 1 año i= 24% anual convertible semestralmente
$50,000+ I1 0
6 Deuda 1 a su vencimiento
= 50,000 1 + .12 = 50,000 1.12 = 𝟓𝟔, 𝟎𝟎𝟎
0
$50,000+ I2
3 30,000
12 Deuda 2 a su vencimiento
1
= 50,000 1 + .12 2 = 50,000 1.2544 = 𝟔𝟐, 𝟕𝟐𝟎
56,000 6
50,000
9
X
62,720 12
Donde 56,000 1 + .05 1 + 62,720 1 + .05 −1 = 30,000 1 + .05 2 + 50,000 1 + .05 56,000 1.05 + 62,720 .9524 = 30,000 1.1025 + 50,000 1.05 + 𝑋 58,800 + 59,734.5280 = 33,075 + 52,500 + 𝑋 118,534.5280 = 85,575 + 𝑋 118,534.5280 − 85,575 = 𝑋 𝑋 = 𝟑𝟐, 𝟗𝟓𝟗. 𝟓𝟐𝟖𝟎
1
+𝑋
5. Un documento con valor de $180,000 debe liquidarse en un plazo de 3 años y medio. Determine los valores equivalentes si la deuda se liquida: En un año En 4 años Considere una tasa de interés de 22% capitalizable trimestralmente.
1. C=$180,000 t= 3.5 años
22 = 5.5 4
Pagos
Deudas
1 año 4 años
30 4 = 10 12
22% cap. Trimestralmente
0
1
6 4 =2 12 2
3
180,000
4
5
4 años 1 año
1 año
= 180,000 1 + .055 −10 = 180,000 .5854 = 𝟏𝟎𝟓, 𝟑𝟕𝟕. 𝟓𝟎𝟒𝟑
4 años
= 180,000 1 + .055 = 180,000 1.1130 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟒𝟒. 𝟓𝟎
2
6. Una empresa vende una maquinaria en $35,000. Le pagan $15,000 al contado y le firman dos documentos por $10,000 cada uno, con vencimientos de 6 y 12 meses. ¿Qué cantidad liquidará la deuda al cabo de 6 meses si se aplica un interés de 30% convertible mensualmente? Deudas
Pagos
1. C=$10,000
1. t= 6 meses
t= 6 meses
i= 30% convertible mensualmente
2. C=10,000 t=12 meses
30 = 2.5 12
0
3
X 6
12
9
10,000
10,000
Pago 1
Pago 2
= 10,000
Donde
= 10,000 + 8,622.9687 = 18,622.9687
= 10,000 1 + .025 = 10,000 .8623 = 𝟖, 𝟔𝟐𝟐. 𝟗𝟔𝟖𝟕
−6
