Costos e ingeniería económica
ECUACIONES DE VALOR DE INTERES SIMPLE
Bejarano jimenez roger Sotaya gómez melvin guillermo Ortiz atayupanqui ronald yoel MOTAÑEZ HUAMANÍ YURI ANDY
ECUACIONES DE VALOR DE INTERÉS SIMPLE
INTRODUCCIÓN El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prendarios. En este documento, se desarrollarán los conceptos básicos del interés simple y sus ecuaciones de valor.
DEFINICIÓN DEL INTERÉS SIMPLE Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. El interés simple, se puede calcular con la siguiente relación:
= En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El
capital inicial ( ), la tasa de interés ( ) y el tiempo ( ). En esta ecuación se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:
a) La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir, sin el símbolo de porcentaje. b) La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de tiempo. Si la unidad de tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de tiempo del plazo, entonces la tasa de interés, o el plazo, tiene que ser convertido para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en un problema específico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de interés deberá usarse en forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de interés no se específica la unidad de tiempo, entonces se trata de una tasa de interés anual.
Ejemplo 1 Si se depositan en una cuenta de ahorros el
3%
$ 5.000.000
y la corporación paga
mensual. ¿Cuál es el pago mensual por interés?
= $ 5.000.000 = 1 = 3% = = 5 000 00010.03= $ 150 000/ $ 150.000
El depositante recibirá cada mes
por interés.
ECUACIONES DE VALOR Para poder entender lo que son las ecuaciones de valor, para que nos sirven y cómo entenderlas, es necesario, en primer lugar, entender el comportamiento del dinero a través del tiempo. Constantemente escuchamos hablar de la inflación, la cual no es otra cosa que un tipo de interés; en efecto, la inflación en realidad es la tasa de interés con la cual el dinero cambia de poder adquisitivo. Esto no significa que a medida que transcurre el tiempo las cosas son más caras, significa que a medida que pasa el tiempo el dinero pierde poder adquisitivo. En el contexto financiero, frecuentemente una obligación financiera que se pactó inicialmente cancelar de una manera específica o determinada, se procede mediante acuerdo entre las partes (prestamistas y prestatarios), a cambiar la forma de cancelación mediante el pago de una o varias cuotas, operación que recibe el nombre de refinanciación de deudas, pero teniendo en cuenta que en una economía en donde el poder adquisitivo de la moneda cambia a través del tiempo, es necesario para dar solución a éste problema, utilizar las ecuaciones de valor. Las ecuaciones de valor son también conocidas con el nombre de teorema fundamental de las matemáticas financieras, por lo cual, permiten resolver de manera fácil cualquier problema de las matemáticas financieras. Las ecuaciones de valor, no son más que igualdades de valor referenciadas a una fecha determinada o específica, denominada fecha focal y se simboliza por
“
”
y en el diagrama
económico se representa a través de una línea de trazos. En la fecha focal se igualan los flujos de caja para hacer la comparación:
=1 = +
===>
Llevar al futuro.
===>
Llevar al pasado.
FECHA FOCAL
EJEMPLOS APLICATIVOS 1. Una empresa desea reemplazar el pago de tres deudas de
$ 12 000 000
2 5 9
$ 8 000 000 $ 7000 000 3 10 ,
en el mes , , por dos pagos iguales en los meses y
interés es del
pagos iguales.
18%
6
y
. Si la tasa de
anual y la fecha focal está en el mes . Calcular el valor de los dos
SOLUCIÓN
$ 8 000 1
2
3
$ 12 000
$ 7 000 4
= 0.1218 =0.015 = 1 = +
5
6
7
8
9
10
Llevar al futuro Llevar al presente
Igualamos flechas azules (nuevas fechas de pago) con las flechas rojas (fechas anteriores):
(10.0153) (10.0154) = 8 000 000(10.0154)7 000 000(10.0151) 12 000 000 (10.015 3) 1.9884 = 27 068 253.5885 = 13 613 108.51
2. Una empresa compra un equipo a crédito por
120 000
dólares el cual se pagará en dos
partes iguales, la primera dentro de dos meses y la segunda dentro de cuatro meses; si la tasa es de SOLUCIÓN
18%.
1
¿Cuál es el importe de cada pago? Fecha focal mes .
120 000
= 0.1218 =0.015 120 000(10.0151) = (10.0151) (10.0153) = 62 713.696 $ 1.000 1 14%.
3. Una persona debe
con vencimiento en año a un interés del
esta obligación por medio de dos pagos de igual cuantía a efectuar a los
Desea saldar
3 9
y meses
respectivamente ¿Cuál será la cuantía de esos pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés del SOLUCIÓN
14%
y una fecha focal de un año?
= 0.1214 =0.01667 1 000(10.0166712) = (10.016673)(10.016679) 1 00010.14 = 1.0351.105 = 532.71 $ 60.000 5 $ 80.000 8 $ 120.000 18 $ 40.000
4. Una persona debe cancelar tres pagarés así: dentro de meses y
dentro de
dentro de meses,
meses. Si pacta pagar hoy
y el
resto en el mes
10.
Determinar el valor del pago, para que las deudas queden saldadas.
Tenga en cuenta una tasa de interés del SOLUCIÓN
25%
8
y la fecha focal en el mes .
0
El periodo representa el día de hoy, los restantes números en el diagrama económico representan las fechas de vencimientos de las deudas y de los pagos. Se o bserva que las deudas se han colocado a un lado del diagrama económico y los pagos en el otro lado. Para plantear la ecuación de valor, se trasladan todas las deudas y los pagos a la fecha focal utilizando la tasa del 25%. Se usa el siguiente principio:
= 8 . =4000018 . . 60000∗13 . 80000 + + 63750 80000 99310 = 46666.67 0.96 = 204576.75 10 $ 204.576,748
En el mes
debe pagarse exactamente
, para garantizar el pago de la
obligación financiera, si se paga antes o después la cantidad varía.
$ 70.000 20% $ 120.000 20 $ 50.000 $ “” 12 28%.
5. Se tienen dos deudas determinadas así. intereses del
,y
van a cancelar con un pago de
46
con vencimiento en 8 meses e
con vencimiento en hoy y
meses e intereses del
en el mes
del pago, si la tasa de interés para éste caso es del
mes
15
.
SOLUCIÓN
30%.
Si se
. Determinar el valor
Colocar la fecha focal en el
Como cada una de las deudas está afectada con una tasa de interés, hay que encontrar el monto adeudado en cada uno de los pagarés y, éste es el que se coloca en el diagrama económico. Los traslados de los montos a la fecha focal, se harán a la tasa de interés especificada para el proceso de refinanciación.
= 1 = 7000018 0.1220 = $79333.33 = 1 = 120000120 . = $180000
= 180000 79333.3317 0.1228 15 0.1228 = 50000115 0.1228 .13 0.1228 = $173817.89 6. Se adquiere un auto que se pagará como sigue:
6
dentro de meses, y
$250000
1
$50000
3
dentro de meses,
dentro de año; si la tasa de interes es
24%
$150000
anual, ¿Cuál
es el precio? SOLUCIÓN
Fecha focal
$50000
$150000
Aplicamos la ecuación de valor en la fecha focal:
∑=∑
$250000
− 6 3 6 10.2412 =5000010.241215000025000010.2412 1.12 =426214.285714 =$ 380548.47 $30000 4 $60000 8 $10000 10 2 6 12 8% 7. Hay que pagar de
dentro de meses,
dentro de meses, y
dentro
meses, y se desea reestructurar esta deuda con pagos iguales dentro de y
meses; si la tasa para reestructura es de
bimestral, ¿Cuál es el importe de estos
pagos? SOLUCIÓN
∑=∑ Fecha focal
$30000
$60000
$10000
30000(10.081)6000010.0−81− 1000010.082− =10.083 96576.2452108=1.80645161 = $ 53461.85 8. Al día de hoy una persona tiene las obligaciones siguientes: a.
b.
c.
d.
$ 30,000.00 $ 5,000.00 $ 50,000.00 2% $ 10,000.00
6 2.5%
Un prestamo de , otorgado hace meses, con vencimiento el día de hoy, a una tasa de interes mensual de . Una deuda por contraida hace tres meses, con vencimiento dentro de nueve meses, a una tasa de interes mensual de . Un compromiso por contratado hace cuatro meses, con una tasa de interes del mensual y con un vencimiento dentro de 6 meses. Una deuda por contratada hace un mes, con vencimiento dentro de siete meses, a una tasa de interes de mensual.
3%
3.5%
Hoy mismo, esta persona decide renegociar sus obligaciones con un rendimiento, enla nuevas operaciones, del anual mediante tres pagos:
$ 40,000.00
30%
, el día de hoy.
$ 35,000.00
6
, dentro de meses. El saldo, dentro de meses.
12
Calcula el importe del saldo utilizado como fecha focal el mes
12
.
SOLUCIÓN DEUDA A B C D
=∗ 3000010.025∗6 500010.03∗12 5000010.02∗10 1000010.035∗8
MONTO DE DEUDA
=34500 =6800 =60000 =12800 $ ,.
TOTAL EN VALORES ABSOLUTOS
Fecha focal Hoy
$40000
$35000
∑=∑ 1 0.123 ∗12 1 0.123 ∗3 1 0.123 ∗6 1 0.123 ∗5= 400001 0.123 ∗12350001 0.123 ∗6 $ 135,560.00=$ 92,250.00 = $ 43,310.00 $ 43,310.00 $ 20 000,00 6 $ 30 000 6 30%
Por lo tanto, el saldo se liquidará con una cantidad de 9. Una persona debe
dentro de meses y
.
a un año. El acreedor
acepta un pago en efectivo a los meses equivalente a las deudas. Determine su valor, si la tasa de interés de la operación es del hoy. SOLUCIÓN
y se establece como fecha focal el día de
..
20 000 6
30 000 12
∑=∑
10. Una persona debe
= 20 000 30 000 10.30126 10.30126 10.30∗1 =17 391,3023 076,92 10.15 = $ 46 538,45 $ 1000 14% con vencimiento en un año a un interés del
esta obligación por medio de dos pagos de igual valor a efectuar a lso
. Desea saldar
3 9
y meses
respectivamente. ¿Cuál será el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interes del SOLUCIÓN
16%
y una fecha focal de un año?
10.16129 10.16123 =10001.14 1 0001.14 = 20.16 129 0,16123 = $ 527,78
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Una empresa debe pagar su deuda de la siguiente manera
3 6 9
Dentro de meses Dentro de meses Dentro de meses
20 000 40 000 80 000 18%?
soles soles soles
Un gerente desea liquidar su deuda en 4 meses. ¿Cuánto debe pagar para saldar su deuda a una tasa de
2. Una persona tiene los siguientes pagos
4 8
Dentro de meses Dentro de meses
20 000 30 000
soles soles
Si desea pagar en meses a una tasa del
25%
¿Cuánto debe pagar para saldar su deuda?
3. Una empresa debe pagar su deuda de la siguiente manera Dentro de
4 8 12
meses el primer pago es la mitad del segundo pago
Dentro de meses el segundo pago Dentro de
meses la cantidad de
Si la deuda es de
400 000 16 %?
100 000
soles.
soles. ¿Cuál será el monto del primero y segundo pago a una
tasa de interés del
4. Una empresa compra un equipo a crédito por
240 000
dólares el cual se pagará en dos
partes iguales, la primera dentro de cuatro meses y la segunda dentro de seis meses; si la tasa es de
22%. 4,8,12
2 100 000,200 000 300 000 69
¿Cuál es el importe de cada pago? Fecha focal mes .
5. Una empresa desea reemplazar el pago de tres deudas de soles en el mes
por dos pagos iguales en los meses
y
y . Si la tasa de interés es
del 20% anual y la fecha focal está en el mes 5. Calcular el valor de los dos pagos i guales.
6. La señora González debe al señor López meses y
$ 3.680.000
5
$ 4.250.000
que deberá pagar dentro de 3
a pagar dentro de meses. Si la señora González desea liquidar su
deuda en este momento, ¿Qué cantidad deberá pagar si la tasa de interés es de mensual? Use el periodo cero como fecha focal.
2,3%
R/. $ 7.276.126,63.
$ 2.500.000 8 $ 900.000 4 8
7. El señor Ruiz solicitó un préstamo por
36%.
Si realiza un pago de
a meses y una tasa del interés del
a los meses, ¿Cuánto deberá pagar al final de
los 8 meses? Use como fecha focal dentro de meses.
R/. $ 2.092.000.
$ 2.750.000
8. El señor Ruiz firmó dos pagarés: Uno con valor de vencimiento por en 3 meses y otro con valor de vencimiento por
$ 4.100.000 $ 2.050.000
a pagar en 6 meses. En un
nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar
el día de hoy y el resto
dentro 9 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de mes es del
3,5%
mensual, y se toma como fecha focal el mes 9?
9. Una persona firmó un pagaré por
a pagar
9,50 $ ..,.
si la tasa de interés
R/.
$ 3.870.000
a 90 días de plazo y una tasa de interés
del 30% anual. Desea reestructurar su deuda firmando dos pagarés de igual cuantía con vencimiento a 90 y a150 días. ¿Cuál será el valor de los nuevos documentos si la tasa de interés para la reestructuración es de 28?5% y se toma como fecha focal la fecha dentro de 150 días?
R/. $ 2.128.381,87.
$ 820.000 $ 1.670.000
10. Una persona adeuda simple, y
que debe cancelar dentro de 5 meses a
con vencimiento a 12 meses e intereses al
24%
20%
de interés
. ¿Qué cantidad
tendrá que pagar al final de 8 meses para saldar la totalidad de la deuda suponiendo una tasa de interés del 18%. Tomar la fecha focal en el mes 8. R/. $ 2.881.893,24.
11. En determinada fecha, una persona firmó un pagaré por un préstamo de $ 7.200.000 a 90 días de plazo e intereses a la tasa del 3,2% mensual. 30 días después firmó otro pagaré con valor de vencimiento de $ 6.600.000 a 90 días de plazo. 60 días después de haber firmado el primer documento, conviene con su acreedor pagar $ 8.000.000 en ese momento y reemplazar los dos pagarés por uno solo a 90 días, contados a partir de ese momento, a la tasa del 3.5% mensual. Determine el pago único convenido, tomando como fecha focal el momento en que se firmó el primer pagaré. R/. $ 6.408.679,87.
12. Milton debe pagar
$ 9.000.000 300%
dentro de 5 meses y
$ 17.000.000
dentro de 10 meses.
Llega a un acuerdo con su acreedor para pagar de la siguiente forma: Cierta cantidad X dentro de 3 meses y el
32%,
de X dentro de ocho meses. Si la tasa de interés es de
encuentre el valor de los pagos usando como fecha focal el mes 8. R/. $ 6.256.267,86 en el mes 3 y $ 18.768.803,59 en el mes 8
13. El dueño de una empresa industrial compro equipos y herramientas por la suma de $ 20.000.000, dio una cuota inicial de
$ 5.000.000
y el resto por pagar a un año, a 38% de
interés simple. Cuatro meses más tarde dio un abono de
$ 4.000.000
y seis más tarde
$ 6.000.000
dio otro abono de
. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de
vencimiento, use esta fecha como focal.
R/.
$9.306.666,67. 14. Una persona se comprometió a pagar dentro de doce meses y
$2.000.000
$1.000.000
,$1.500.000 $1.200.000
dentro de seis meses
dentro de diez y ocho meses. La persona manifiesta
ciertas dificultades para pagar y solicita el siguiente sistema de pagos:
$1.200.000
hoy,
dentro de 10 meses y el resto dentro de 20 meses. ¿Cuánto deberá pagar
en el mes 20? Suponga que la tasa mensual es
$1.000.000
15. Una persona debe pagar
dentro de tres meses,
$2.000.000 $4.500.000 meses y
1,5%.
$1.500.000
dentro de diez
dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de
para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es del
18%
anual
nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago. 16. Una persona debe pagar y
$2.000.000
$1.500.000 $4.800.000
dentro de 4 meses,
$1.500.000
dentro de 6 meses
dentro de un año. La persona le plantea al acreedor la posibilidad de
efectuar un solo pago de
en el mes cinco. ¿Si se aceptan estas condiciones,
que tasa de interés rendiría la deuda? 17. La empresa XYZ debe cumplir con las obligaciones contraídas los mismos que deben pagarse dentro de 2 meses
$ 2.000
dentro de 6 meses
$ 4.000
y dentro de 10 meses $
8.000. El gerente desea liquidar toda la deuda dentro de 5 meses ¿Cuánto debe pagar
15%? $ 10.000 $ 15.000 $ 8.000 12%
dentro de 5 meses para saldar la deuda a una tasa de interés del
18. Una persona contrae dos obligaciones de
y de
R/. $ 13 555,00
que serán pagados, la
primera dentro de 3 meses y la segunda dentro de 9 meses. El deudor propone al acreedor pagar la deuda en la forma siguiente:
dentro de 6 meses de haber
contraído las obligaciones y el saldo dentro de 1 año. ¿Cuánto tendrá que pagar al final del año para liquidar la deuda? considerar una tasa del
de interés anual. R/. $ 17 870,00
19. Determinar ni valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy, suponiendo una tasa del 4% de interés simple:
$ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
con vencimiento el día de hoy.
5% 6%
con vencimiento en 6 meses, con interés del con vencimiento en 1 año, con interés del
.
.
Utilizar el día de hoy como fecha focal. R/. $ 6067,00
20. Una persona debe
$ 1.000
con vencimiento en 1 año a un interés del
14%.
Desea saldar
esta obligación por medio de dos pagos de igual cuantía a efectuar a los 3 y 9 meses respectivamente ¿Cuál será la cuantía de esos pagos, si ambas partes acuerdan utilizar
14% = $ 5 000 60 = $ 7 000 120 = $ 10 000 240 = $ 12 000 300
una tasa de interés del
y una fecha focal de un año?
21. Una empresa tiene las siguiente obligaciones o deudas:
a
días de plazo.
a
días de plazo.
a
días de plazo.
a
días de plazo.
180
La empresa desea reemplazar sus obligaciones por un solo pago a considerando una tasa de interés del
días de plazo,
18%
anual. Calcular el valor de pago único.
R/.
$ 20 000 $ 100 000 9 2%
22. El propietario de un terreno en venta recibe la siguiente oferta letra de
$ 80 000 3
a meses de plazo y otra letra de
será la oferta si se considera una tasa de interés del
al contado, una
a meses de plazo ¿Cuál
mensual?
R/.
23. Si una empresa realiza depósitos de
$ ,
$ 500,00
$ .
mensuales durante 3 meses, en una
institución financiera que reconoce una tasa de interés del
3
moto que acumulará al final de los meses.
2%
mensual. Calcular el
R/.
$
24. Calcular el valor original de una deuda de una empresa que realiza una serie de tres pagos mensuales de mensual.
$ 500
R/. 25. Rodolfo Martínez tiene las siguientes obligaciones:
Una deuda de
$50 000 $24 000 $18 500
pactada a
2
años con una tasa de
5 3 9 15
capitalizable semestralmente que vence en meses.
Una segunda deuda de
Una tercera deuda de día de hoy.
anual
pactada a años y medio con una tasa de
anual capitalizable trimestralmente que vence en
3% $ , 15% 10%
para cancelar dicha deuda con una tasa de interés del
pactada a
meses.
días sin intereses y que vence el
Si reestructura sus deudas realizando un pago de
4
$40 000
el día de hoy y el resto con
12%
un solo pago dentro de meses, con una tasa de interés anual de
compuesto
mensualmente, ¿cuál es la ecuación de valor que resuelve el problema? 26. Ana María debe
$14 000
a pagar dentro de
8
meses y
$7 000 4
a pagar dentro de año y
medio. Si pacta con su acreedor realizar un pago único a meses de vencimiento de la primera deuda, a una tasa de
17%
anual capitalizable bimestralmente, ¿cuál es la
ecuación que resuelve el problema? 27. Miguel Ángel debe
$9 000
a pagar dentro de
12
meses y
$11 000
a pagar en dos años
y medio. Si reestructura sus deudas acordando un solo pago nueve meses después del
12%
vencimiento de la primera deuda, con una tasa de interés de
convertible
trimestralmente, ¿de cuánto debe ser el pago único? 28. Una persona tiene que pagar
$22 000
dentro
10
meses y
$17 320 26%
dentro de año y
medio. Si pacta una reestructuración con una tasa de bimestralmente, realizando un pago de pago dentro de
14
24%
el día de hoy y el resto en un segundo
meses, ¿de cuánto debe ser el segundo pago?
$9 000
29. Margarita contrajo una deuda de liquidará con
$20 000
anual compuesto
$7 520
a pagar dentro de
2
12
meses, y otra que
dentro de años. Si se reestructuran sus deudas con una tasa de
anual compuesta bimestralmente y un solo pago dentro de 18 meses, ¿cuál es la
gráfica de tiempo? 30. Armando Rodríguez debe
$19 000
a pagar dentro de nueve meses y
$12 750
a pagar
en un plazo de dos años, si acuerda reestructurar sus deudas realizando un pago de
$18 500
el día de hoy y un segundo pago dentro de 18 meses con una tasa de interés
del capitalizable trimestralmente. Realiza la gráfica de tiempo y valor que representa este problema.
