análisis de Co2 con la ecuación de berthelotDescripción completa
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Descripción: DESCRIPCION DE LIBRO DE MECANICA VECTORIAL
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Descripción: Tarea1 Calculo vectorial instituto consorcio clavijero
Descripción: Calculo Vectorial
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Descripción: Documento que contiene información sobre vectores, propiedades de los vectores, gradiente de un vector, producto punto y producto cruz
Descripción: calculo vectorial
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Guía Especial Psu Ecuación vectorial de la recta
Nombre:_________________ Nombre:______________________________ __________________________ ______________________4º___ _________4º_____ __ Conceptos previos: Un vector es un segmento orientado orientado que va del punto A origen! al punto punto " e#tremo!$ e#tremo!$ E%emplo:
E&E'EN()* +E UN ,EC()-: +irecci.n: Corresponde a la pendiente pendiente o inclinaci.n inclinaci.n de la recta que contiene contiene al • +irecci.n: vector o de cualquier recta paralela a ella$ • *entido: El sentido sentido del vector/ es el que va desde el origen 0asta el e#tremo$ e#tremo$ • '.dulo: El m.dulo del vector A" es la longitud del segmento A"/ 1 se representa u
por $ El m.dulo es un valor positivo o cero$ El m.dulo de un vector se puede determinar de dos maneras: 2$ *i conocemos las componentes del vector posici.n que sale desde el origen! u = ( u2 /u3 ) 1 es
uur u
= u23 + u33
E%emplo: *ea el vector u = ( 7 / 4) uu r u
=
( 73 + 43 )
( 8 + 25)
=
=
36 = 6
3$ *i conocemos las coordenadas coordenadas del vector: vector: A ( x 2 / y 2) 1 B( x 3 / y 3 ) igual que la .rmula de la distancia uuur A" =
( #3 − #2)
E%emplo: *i : A ( 4 / − 5) uuur A"
=
3
+ ( 13 −
3
3
B( − 7 / 6)
1
( −7 − 4)
12)
+
( 6 − ( −5) )
3
=
( −9)
3
+ ( 22)
3
=
48 + 232= 29:
2
C))-+ENA+A* +E UN ,EC()-: *i las coordenadas de los e#tremos A 1 " son: A ( x 2 / y 2) 1 B( x 3 / y 3 ) &as coordenadas del vector posici.n asociado al AB son las coordenadas del e#tremo menos las coordenadas del origen: AB = ( x 3
− x 2
/ y 3
−
y 2)
E%emplo: *i: A ( − 9 / 2) 1 B( 3 / 4) uuur
AB = ( 3 − ( −9) / 4 − 2)
; el vector uuu r BA = ( −9 − 3 / 2− 4)
uuur
⇒ AB = ( 8 / 7)
⇒
vector po sicion
uuu r BA = ( −8 / − 7) vector posicion
,EC()- P)*
E%ercicio de muestra +E'-E para P*U 326 78$ +ados los vectores > m/ 3! 1 r > 7/ 4!/ ?cu@l de los siguientes nmeros v
u
puede ser el valor de m para que la longitud del vector vector r B
v
sea el doble de la longitud del
u
A)
85 B)
2:4 C)
45 D)
32 E) 1
3
P-)+UC() +E UN E*CA&A- P)- UN ,EC()-: Consiste en un multiplicar por un nmero real las componentes de un vector para generar otro vector que ser@ D veces ma1or o menor! que el vector dado E%emplo: *i
1 el escalar
λ
=6
u = ( −2/ 3)
&uego
es un vector 6 veces ma1or que el vector
λu = ( 6 × −2!/ 6 3! × ) ⇒ uλ =( 6/ − 2:) dado$ )bs$ Al ponderar un vector por 2! el vector cambia de sentido 1 se obtiene el vector opuesto$ A0ora estamos en condiciones para poder calcular la ecuaci.n vectorial de la recta$ -ecordemos que en geometría analítica para calcular la ecuaci.n de la recta 1 > m# F n! necesitamos como mínimo un punto 1 la pendiente o bien dos puntos 1a que con stos calculamos la pendiente!$ Para el caso de la ecuaci.n vectorial/ es similar/ necesitamos un vector posici.n ur 1 un p
vector director ur / este ltimo nos indica la direcci.n de la recta/ la cual podemos d
vincular con la inclinaci.n/ es decir/ la pendiente$ &a ecuaci.n vectorial & es: #/ 1! > ur F λ ur con λ en los nmeros reales p
d
)bs: Por cada nmero real que es remplaHado en λ se genera un punto de la recta &$
7
E%emplo$ ur > 2/ 3!/
p
ur > 2/ 2! Ecuaci.n de la recta & es #/ 1! > 2/ 3! F d
En caso de no conocer el vector director/ es necesario tener dos vectores uur
ur a yb
o
puntos A 1 " de la recta/ al igual que en la orma analítica! 1 determinar así el vector director uuur ur $ ab
=d
+ados los vectores ur
ur / logramos el vector direcci.n
ayb
d/
o
ur ur u r d =b−a
ur u r u r d =a −b
da lo mismo solamente nos
interesa la direcci.n 1 no el sentido$ Entonces dado: ur > #2/ 12! ur > #3/ 13! a
b
&a ecuaci.n de la recta #/ 1! > ur F λ ur a
d
ur >
#3 #2/ 13 12!
d
suur ab
es
o tambin #/ 1! > ur F λ ur b
d
E%emplo:
4
+etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por A 7/ 5! 1 su vector director es u r v = 2/ − 2!
Conocemos un punto 1 el vector director/ por lo tanto: o bien r
# /1! = −7/ 5! + λ2/ − 2!
r = −7/ 5! + λ2/ − 2!
EIE-C
3$ Jallar la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por los puntos A 3/ 7! 1 "2/ 4!$
Para el caso de las rectas en <- 7 Espacio de 7 dimensiones! &a ecuaci.n #/ 1/ H! > ur F λ ur donde ur / ur son vectores de -7 p
p d
d
E%emplo$ &a ecuaci.n de la recta que pasa por el vector 3/ 7/ 6! 1 tiene vector direcci.n 8/ K/ 9! es$ #/ 1/ H! > 3/ 7/ 6!F λ8/ K/ 9!$ E%emplo$ Cu@l es la ecuaci.n de la recta que pasa por los vectores 2/ 3/ 7! 1 4/ 6/ 5/! Primero calculamos el vector director ur > 42/ 63/ 57! > 7/ 7/ 7! d
Entonces la ecuaci.n es
#/ 1/ H! > 2/ 3/ 7!F λ7/ 7/ 7!
Ja1 una relaci.n directa entre la ecuaci.n analítica 1 > m# F n con la recta vectorial #/ 1! > ur F λ ur p
d
6
*i en una ecuaci.n vectorial el vector director o direcci.n es ur > #2/ 12! entonces la d
pendiente es m
=
y 2 x 2
E%emplo +ada la ecuaci.n vectorial #/ 1! > 9/ 3! F λ 3/ 7! encontrar la ecuaci.n analítica asociada a ella$ L@cil # M #2! m > 1 M 12
7#
7 ( x F 9) O −3
=
F 32 > 31 F 4
y M 3
7# F 31 F 29 > )tra orma de 0acer lo mismo es: +ada la ecuaci.n vectorial de la recta:
#/1! = 3 / − 2! + λ4 /7!
Como nos piden la ecuaci.n cartesiana/ podemos determinar el producto escalar λ 4
/7! = ( λ ⋅ 4 / λ ⋅ 7)
&uego nos queda: x / y ! = 3 / − 2! + ( 4λ / 7λ ) ( x / y ) = ( 3 + 4λ / − 2+ 7λ )
*i igualamos las componentes/ x = 3 + 4λ y = − 2+ 7λ e *i despe%amos λ en ambas ecuaciones: x − 3 4
= λ
1
y + 2 = 7
λ
⇒
x− 3 4
=
y + 2 7
⇒ 7 x − 5 = 4y + 4 ⇒ 7x − 4y = 2:
*iendo esta la ecuaci.n cartesiana solicitada$ x − 3
4
=
y + 2
esta ecuaci.n se llama ecuaci.n continua de la recta$
7
E%emplo *i nos dan la ecuaci.n 4# M 61 > K/ encontrar la ecuaci.n vectorial asociada a ella$ *oluci.n$ 4# M K > 61 ur > 6/ 4! 4 K x − = y 6 6
m=
4 6
d
Lalta un vector posici.n/ que lo obtenemos de 4# M K > 61/ si # > 3 posici.n es 3/ !/ es uno de una innidad$ &a ecuaci.n vectorial buscada es
#/
1
>
vector
1! > 3/ ! F λ6/ 4!
5
-ECUE-+A: Para que dos rectas sean paralelas deben tener igual pendiente o vector director$ E%emplo &2 1 > 3# F 7 vector direcci.n 2/ 3!/ vector posici.n / 7! vectorial #/ 1! > / 7! F λ2/ 3! &3 1 > 3# F 5 vector direcci.n 2/ 3!/ vector posici.n / 5! vectorial #/ 1! > / 5! F λ2/ 3! observa que los vectores direcci.n son iguales o mltiplos
ecuaci.n ecuaci.n
Para que dos rectas sean perpendiculares/ el producto de sus pendientes debe ser 2!$ Consideremos 3 rectas perpendiculares &2 1 &3 &2 1 > 3# F 7 vector direcci.n 2/ 3!/ vector posici.n / 7! ecuaci.n vectorial #/ 1! > / 7! F λ2/ 3! &3
1>
vector
direcci.n 3/ 2!/ vector posici.n / 9!
ecuaci.n
−2
3
X + 9
,ectorial #/ 1! > / 9! F λ3/ 2! )bserva los vectores direcci.n/ 2/ 3! 1 3/ 2!/ las componentes cambiadas 1 una con signo cambiado$ Producto punto entre vectores
*ea ur
se u r a = x2/ y2! 1 b = x3 / y3 !
dene el producto punto entre vectores como
ur u r a O b = x2/ y2!O x3 / y3 ! = x2O x3 + y2O y3
ste valor en un nmero real que llamaremos escalar$
Que 0ace que el producto punto tambin se llame producto Escalar )tra denici.n para el producto escalar es ur ur aO b
=
a O b O c os α
Esta denici.n nos permite calcular el @ngulo entre 3 vectores$ Contenido no incluido de la P*U! u r ur aO b cos−2 u r ur aO b
= α
A0ora podemos deducir que/ si dos vectores son perpendiculares entonces su producto escalar es cero 1 viceversa$ Usemos el p@rrao para e%emplicar uur > 2/ 3!/ uur >3/ 2! entonces el producto d2
d3
escalar es uur O uur > 2/ 3!O 3/ 2! > 2O 3! F 3 O 2!> d2 d3
El producto escalar para vectores en <-7 se dene de la misma manera con las e#tensiones correspondientes$
9
*ea ur
u r a = x2/ y2/H2! 1 b = x3 / y3 /H 3!
se dene el producto punto entre vectores en el espacio
como ur ur
a O b = x2/ y2/H3 !O x3 / y3 /H3 ! = x2O x3 + y2O y3 + z2O z3
EJERCICIOS:
2$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el vector A 6/3! 1 tiene vector direcci.n u r v = 7/ :!
3$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el punto medio de A 2/ K! 1 " 7/ 3! 1 por el punto C 3/ 4!
7$ +etermina la ecuaci.n cartesiana de la recta a partir de la ecuaci.n vectorial/ #/ 1! > 6/ K! F λ7/ 4!
4$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el origen 1 es perpendicular a la recta #/ 1! > 2/ 8! F λ6/ 2!
6$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por los vectores ( 5/4! 1 por - 7/ 3!
5$ Jallar la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el punto medio de ' 2/ 7! 1 N 5/ 2! 1 por el punto medio del segmento que pasa por A 9/ 9! 1 " 3/ 3!
9$ +etermina el m.dulo del vector S / siendo *2/ 8! 1 ( 7/ 5!
K$ Calcula la suma de los vectores * 1 ( del e%ercicio anterior$
K
,EC()- UN<(A-<): Es el que tiene un m.dulo igual a 2 NormaliHar un vector: consiste en obtener otro vector unitario/ de la misma direcci.n 1 sentido que el vector dado$ A todo vector ur
se le puede asociar un vector de m.dulo 2 o longitud 2
v =#2/ 12!
que llamaremos vector unitario de ur 1 es igual a ur
v uur v
v
E%emplo: *i ur es un vector de componentes 7/ 4!/ 0allar un vector unitario de su misma v
direcci.n 1 sentido$ u r> v
7/ 4!
u r v = 73 + 43
=6
r 2 7 4 u = O7/ 4! = / ÷ 6 6 6
Componentes del vector$ Un vector en el espacio Euclídeo tridimensional se puede e#presar como una combinaci.n lineal de tres vectores unitarios o perpendiculares entre sí que constitu1en una base vectorial$ En coordenadas cartesianas/ los vectores unitarios se representan por i, j , k paralelos a los e%es de coordenadas #/ 1/ H positivos$ Estos son i > 2/ / !/
j =/ 2/ ! ,
En <-3 estos vectores son i > 2/ !/
k > / / 2 ! j =/ 2!
Encuentre un vector unitario en la direcci.n que el vector dado$ ) dic0o de otro modo normaliHar el vector v 2$ v > i F j 7$ v > 3 i F 6 j 4$ v > 9 i F 7 j
8
5$ v > 3 i M 3 j M 5D 9$ v > a i M a j F a k +etermine si los vectores dados son ortogonales/ paralelos o ninguno de los dos$ 2$ u > 3 i M 5 %R u>3iM5%
v > i F 7 % u> 3/ 5! R v > i F 7 % v> 2/ 7! conclusi.n son paralelos
3$ u > 4 i M 6 %R
v>6iM4%
7$ u > 4 i M 6 % F 7 DR
v > 6 i F 4 % F 3 D
4$ u> 9 i M 9 % M9 DR
v > i F % D
,ectores en 7 dimensiones <-7 en el Espacio!
+istancia entre 3 puntos en <- 7/ *ean A#2/ 12/ H2!/ "#3/ 13/ H3! dA"! = #2 − #3!3 + 12 − 13!3 + H2 − H3!3
Punto 'edio entre A1 "
# + # 1 + 1 H + H ' = 2 3 / 2 3 / 2 3÷ 3 3 3 Ecuaci.n vectorial de la recta A" uuur
u O v = x2/ y2/ H3 !O x3 / y3 /H3 ! = x2O x3 + y2O y3 + z2O z3
EIE-C
uuur CD
1 uuur
DA
*e obtiene restando el vector e#tremo menos el vector origen! b! uuuur uuur AC
c!
+
DB =
uuuu r
uuur
−7O AC + 9O DB =
2
d! uuur uuuur ABO AC
− 4O
uuur DB =
Para 0alla el punto medio del vector uuur
AB
M(
A"
)>
2− 2/ 9 + 2: / 7 + : 3 3 3 ÷
> / 6/
! 7 3
3$ A0ora obtendremos las ecuaciones paramtricas/ a partir de la ecuaci.n vectorial #/ 1!> 3/ 7! F λ4/ 6! #/ 1!> 3 4λ/ 7 F 6λ!
x = 3 − 4λ y = 7 + 6λ 7$ ,amos a la ecuaci.n en orma continua desde una ecuaci.n vectorial/ paramtrica 1 continua/ de la recta que pasa por estos puntos: AM6/ 7/ 9! 1 " 3/ M7/ 7!$ ,ector direcci.n: se obtiene como la dierencia entre los dos vectores dados 3/ M7/ 7! M M6/ 7/ 9! > 9/ M5/ M4! Ecuaci.n vectorial: *e obtiene como la e#presi.n de la suma del vector posici.n 1 el vector direcci.n por un escalar o nmero real$ A" = 3/ − 7/ 7! + λ9/ − 5/ − 4!
Ecuaciones paramtricas: *e obtienen ponderando 1 sumando los 3 vectores que componen a la ecuaci.n vectorial 1 luego igualando componente a componente! T> 3 F 9 λ/ ;> –7 – 5 λ/ > 7 – 4 λ Ecuaci.n continua: se obtiene despe%ando λ en cada una de las ecuaciones paramtricas anteriores e igualando los despe%es! #− 3 1 + 7 H− 7 = = 9 −5 −4
En general/ si una recta pasa por el punto a/ b/ c! 1 tiene la direcci.n del vector m/ n/ V!/ la ecuaci.n continua de la recta est@ dada por la siguiente e#presi.n: #−a m
=
1−b n
=
H− c V
Para obtener las ecuaciones analíticas o cartesianas de la recta a partir de las ecuaciones paramtricas/ estas se amplican 1 suman para eliminar λ$ E%emplo
22
# =2+ 6λ 1 = 4 + 3λ
# =2+ 6λ! O3! 1 = 4 + 3λ! O −6!
3# = 3 + 2:λ − 61 = − 3: − 2:λ
*umando 3#
M 61 > 2K
Ejercicio de muestra E!RE para PS" #$%&
En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales/ para tvariando en los nmeros reales/ ?en cu@l de ellas la recta asociada N) pasa por el origenB A! v t ! > t2/ 3/ 7! "! p t ! > 3/ 4/ 5! F t2/ 3/ 7! C! g t ! > 7/ 8/ 23! F t2/ 7/ 4! +! n t ! > 3/ 2/ 3K! F t2/ 6/ 24! E! mt ! > 3/ 2/ 32! F t2/ 6/ 9! Ejercicios
2$ +ado el vector uuur > 2/7!/ se pide: AB
a$ Jallar las coordenadas de A sabiendo que las de " son / 3!$ b$ Jallar las coordenadas de " sabiendo que las de A son 3/ 7!$ c$ *i el vector A" > 7C+/ 1 las coordenadas de C son 2/ 4! 0allar las coordenadas de +$ d$ Averiguar las coordenadas de un vector v sabiendo que v F 3A" > "A$ *ol: a!A2/ 6!R b! "2/ !R
c! +3S7/ 7!R
d! ,>7/ 8!
3$ 'allar las ecuaciones param(tricas, continua, )eneral, principal, vectorial de la recta que pasa por el punto A3/ 7! 1 cu1o vector de direcci.n es v7/ 4!$ 7$ Jallar/ si e#iste/ un punto de la recta que su abscisa sea 5$ Jallar tambin/ si e#iste/ un punto de la recta con ordenada 4$ 4$ Jallar las diversas ormas de la ecuaci.n de la recta: a$ Que pasa por A7/ 2! 1 "6/ 3!$ b$ Que pasa por A3/ 4! 1 tiene de pendiente 3$ c$ Que pasa por el punto A2/ 7! 1 es paralela a la recta # F 7 > $ d$ Que pasa por el punto A2/ 3! 1 es paralela al e%e de abscisas$ 6$ Jallar el valor de D para que: a$ El punto 2/ 3! perteneHca a la recta # 7D1 F 7 > $ b$ El punto D/ 2! perteneHca a la recta # F 31 4 > $ c$ &os puntos 2/ 3!/ 6/ 5! 1 9/ D! estn alineados$ d$ &a recta 3# F D1 2 > tenga de vector director v > 6/ 7!$ e$ &a recta D# 71 F 3 > tenga de pendiente m > 7S3$ $ &as rectas r: 1 > 8D# F 3 1 s: 4# D1 F 2 > sean paralelas$
23
g$ &as rectas r: 3# F 7D1 F 3 > 1 se corten en un punto$ *ol: a! 3S7R b! 3R c! 2R d! 2S7R e! 8S3R ! X3S7R g! DY4S7
EJERCICIOS E *EC+ORES REC+-S *EC+ORI-.ES
2$ ?Cu@l es la pendiente de la recta que pasa por los puntos 7/ 4! 1 6/ 2!B K A! 6
6 "! K
K C! 6
6 +! 6
3 E! 7
3$ ?Cu@l es la ecuaci.n principal de la recta que pasa por los puntos 3/ 7! 1 2/ 6!B A! 1 = −3# + 27
"!
1=−
7 #+5 3
C!
1=−
3 27 #+ 7 7
+!
1=
7 #+5 3
E!
1=
3 27 #+ 7 7
7$ ?Cu@l es la pendiente de la recta cu1a ecuaci.n es 7# F 31 > 7B 3 C! 7
7 +! 3
7 E! 3
A! 3 "! 7 4$ *i la pendiente de una recta que pasa por el punto 7/ 7! es 7$ ?Cu@l es la ordenada del punto que pertenece a la recta cu1a abscisa es 5B A! 7 "! 5 C! 2K +! 32 E! 34
27
6$ ?Cu@l de los siguientes vectores es el vector direcci.n de la recta que pasa por los puntos 2/ 2! 1 2/ 6!B A! r "! ur C! ur +! ur E! r q = 3/ :! p = 7/ :! r = 3/ 5! u = / 4! v = 2/ :!
5$ ?Cu@l de los siguientes puntos no pertenece a la recta que pasa por 2/ 2! 1 tiene direcci.n ur B v = 2/ 3! A! 3/ 7! "! 2/ 2! C! / 2! +! 7/ 6! E! 2/ 7!
9$ ?Cu@l es la ecuaci.n de la recta que pasa por el punto 7/ 4! 1 es perpendicular a 1 > 7# M 8B A!
1=−
2 #− 7 7
"!
1 = −7# − 7
C!
1 = −7# + 6
+!
1=−
2 # +2 7
E!
1=−
2 #+6 7
K$ ?Cu@l es el @rea/ medida en unidades cuadradas u 3!/ limitada por los e%es # e 1 la recta de ecuaci.n 1 > 7# F 2B
con
2 3 u A! 7 2 3 u "! 3 3 C! 2u 3 +! 7 u
2 3 u 5 E!
8$ ?Cu@l de las siguientes ecuaciones vectoriales no corresponde a la recta que pasa por los puntos 3/ 7! 1 7/ 6! considera α ∈ <-! A! &: #/ 1! > 3/ 7! F α7/ 6! "! &: #/ 1! > 3/ 7! F α6/ 3! C! &: #/ 1! > 7/ 6! F α6/ 3! +! &: #/ 1! > 3/ 7! F α6/ 3! E! &: #/ 1! > 3/ 7! F α2/ 4!
24
2$ ?Cu@l es una ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el punto 6/ 7! 1 tiene como vector direcci.n a 3/ 6!B considera λ ∈ <-! A! &: #/ 1! > 3/ 6! F λ 6/ 7! "! &: #/ 1! > 6/ 7! F λ 3/ 6! C! &: #/ 1! > 6/ 6! F λ 3/ 7! +! &: #/ 1! > 3/ 6! F α6/ 7! E! &: #/ 1! > 6/ 7! F 2 λ!3/ 6! 22$ ?Cu@l de los siguientes vectores es el vector direcci.n de la recta que pasa por los puntos de coordenadas 4/ 2! 1 7/ 7!B A! r u = 2/ − 3!
"! ur
v = 9/ 4!
C! ur
q = 4/ 9!
+! ur
p = −9/ 4!
E! r
r = −9/ − 4!
23$ Considera los puntos P4/ 3!/ Q5/ K! 1 -2/ 2! del plano cartesiano$ ?Cu@l es la ecuaci.n continua de la recta que pasa por el punto medio de PQ 1 tiene la direcci.n del -Q B A! "! C! +! E!
# −2 D = 27$ *i el punto 2/ 23! pertenece a la recta de ecuaci.n 1 − 7 7 / ?Cu@l es el valor de
DB A! 2
"! 7
C! 8
+! 23
E! 39
24$ ?Cu@l es la ecuaci.n vectorial de la recta cu1a ecuaci.n continua es #− 3 3
=
1 −2 H −2 = 2 3 B considera D ∈ <-!
26
A! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 2! F D3/ 2/ 3! "! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 2! F D3/ 2/ 3! C! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 3! F D3/ 2/ 2! +! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 3! F D3/ 2/ 2! E! &: #/ 1/ H! > D3/ 2/ 3! 26$ ?A cu@l de los siguientes planos P pertenece el punto 7/ 4/ 3!B A! "! C! +! E!
P: P: P: P: P:
7# F 41 M 3H > #F1FH>6 3# 1 F H > 4 # F 1 M H > 7 7# F 41 M 3H > 27
25$ *i se conocen las ecuaciones vectoriales de dos rectas en el espacio/ ?C.mo es posible determinar si son paralelasB <$ ,ericando que sus vectores direcci.n sean iguales$ <<$ +eterminando si sus ecuaciones continuas asociadas son iguales$ <<<$ ,ericando que sus vectores direcci.n sean uno un ponderado del otro 1 sus vectores posici.n no correspondan a la misma recta$ A! *olo < "! *olo << C! *olo <<< +! *olo << 1 <<< E! Ninguna 29$ ?Cu@les! de los siguientes puntos pertenecen! a la recta con ecuaciones continuas # −2 1 − 3 = 6 4
=
H−7 B 7
<$ P2/ 3/ 7! <<$ Q5/ 5/ 5! <<<$ -6/ 4/ 7! A! *olo < "! *olo << C! *olo <<< +! *olo < 1 << E! *olo << 1 <<< 2K$ *ean A7/ 2/ 3!/ "2/ 2/ 2! 1 C/ / 2! tres puntos en el espacio$ ?Cu@les! de las siguientes armaciones sobre estos puntos es son! verdaderasB <$ &os tres puntos son colineales$ <<$ Una ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por los puntos A 1 " es #/ 1/ H! >7/ 2/ 3! F t3/ 3/ 7!$ <<<$ &a ecuaci.n del plano que contiene a los tres puntos es 7# F 71 M 4H > 4$ A! *olo <
25
"! *olo < 1 << C! *olo << 1 <<< +! *olo < 1 <<< E! << 1 <<< 28$ ?Cu@les! de la siguientes armaciones es son! verdaderas!B <$ +os planos se pueden cortar en un punto$ <<$ &a intersecci.n de dos planos que se cortan es una recta$ <<<$ &a intersecci.n de un plano 1 una recta puede ser un punto$ A! *olo < "! *olo << C! *olo <<< +! *olo < 1 << E! *olo << 1 <<< 3$ +e acuerdo a la determinaci.n de un plano segn los postulados de la geometría en el espacio/ ?Cu@les! de las siguientes armaciones es son! verdaderas!B <$ *e necesitan tres puntos no colineales$ <<$ *e requiere una recta 1 un punto e#terior a dic0a recta$ <<<$ *on necesarias dos rectas secantes$ A! *olo < "! *olo < 1 <<< C! *olo < 1 << +! *olo << 1 <<< E! << 1 <<< 32$ ?Cu@les! de las siguientes armaciones respecto de un plano es son! verdaderas!B <$ +ados tres puntos en el espacio/ no colineales/ e#iste un nico plano que pasa por ellos$ <<$ +ados dos puntos en el espacio/ es posible asegurar que e#isten innitos planos que los contienen$ <<<$ No e#iste un plano que contenga a cuatro puntos en el espacio que sean no colineales al agruparlos de a tres! 1 que tengan su tercera coordenada distinta entre sí$ A! *olo < "! *olo < 1 <<<
C! *olo < 1 <<
+! *olo << 1 <<<
E! << 1 <<<
33$ ?Cu@les! de las siguientes armaciones sobre la intersecci.n entre dos planos distintos en el espacio es son! verdaderas!B <$ &a intersecci.n puede ser vacía$ <<$ &a intersecci.n puede ser un punto$ <<<$ &a intersecci.n puede ser una recta$ A! *olo < "! *olo < 1 << C! *olo < 1 <<< +! *olo << 1 <<<
29
E! << 1 <<<$ 37$ ?Cu@l debe ser el valor de s para que el vector 23/ s! sea perpendicular a la recta de ecuaci.n 4# F 61 > 5B A! 7 "! 4 C! 6 +! 26 E! 2K 34$ ?Cu@l es la ecuaci.n cartesiana del plano que contiene a la recta &: #/ 1/ H! > 5/ / ! F t2/ 2/ !B A! 4# F 1 F H > 33 "! # F 1 F H > 5 C! # F 1 F H > 27 +! 4# F 1 F H > 27 E! 3# M 91 F 6H > 33 36$ En la gura/ A es un punto uera del plano P$ &a recta & est@ completamente contenida en el plano P$ (ambin se cumple que AJ ⊥ P/ A" ⊥ & 1 ' es un punto de la recta & distinto de "$ ?Cu@l de las siguientes desigualdades es correcta respecto a las longitudes de A"/ AJ 1 A'B A! A' Z AJ Z A" "! AJ Z A" Z A' C! A" Z A' Z A +! A' Z A" Z AJ E! AJ Z A'Z A" 35$ ?Cu@l es la ecuaci.n vectorial del cu1as ecuaciones vectoriales son &2: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s2/ 2/ 2!R
plano que
contiene a las rectas
&3: #/ 1/ H!
> 2/ 2/ 2! F t4/ 3/ 3!B
A! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s2/ 2/ 2! F t4/ 3/ 3! "! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s2/ 2/ 2! F t4/ 3/ 3! C! P: #/ 1/ H! > 4/ 3/ 3! F s2/ 2/ 2! F t2/ 2/ 2! +! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s6/ 2/ 2! E! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F t7/ 7/ 7! 39$ ?Cu@l es la ecuaci.n cartesiana del plano que contiene a los puntos 3/ 7/ 4!/ 3/ 4/ K!/ 2/ 2/ 2!B A! K# M 341 F 24H > "! 27# F 341 M 28H > 7 C! # F 1 M H > 2 +! 27# F 341 M 28H > 7 E! 27# F 341 M 28H > 3K$ Es posible determinar una ecuaci.n de la recta que pasa por el origen si se sabe que: 2! (iene la misma direcci.n que la recta de ecuaci.n 1 > 3# M 27
2K
3! para por el punto P7/ 5! A! 2! por si sola "! 3! por si sola C! Ambas %untas 2! 1 3! +! Cada una por si sola/ 2! o 3! E! *e requiere inormaci.n adicional$ 38$ Para determinar la ecuaci.n de un plano se necesitan!: 2! las ecuaciones de dos rectas secantes contenidas en l$ 3! &as coordenadas de tres puntos no colineales que pertenecen a l$ A! 2! por si sola "! 3! por si sola C! Ambas %untas 2! 1 3! +! Cada una por si sola/ 2! o 3! E! *e requiere inormaci.n adicional$ 7$ ?Cu@l es el @rea limitada por dos rectas en el plano 1 el e%e #B 2! &as ecuaciones de las rectas son 1 > 3# F 3/ 1 > 3# F 5 3! &as rectas se intersecan en el punto 3/ 3! A! 2! por si sola "! 3! por si sola C! Ambas %untas 2! 1 3! +! Cada una por si sola/ 2! o 3! E! *e requiere inormaci.n adicional$ 2 " 25 T