Luis Gonzalo Miramontes Elvira Termofluidos José Guadalupe Suarez Romero Ingeniería Mecatrónica 6to Semestre
Ecuación de Bernoulli para Fluidos Compresibles e Incompresibles & Teorema de Torricelli
-Ecuación de Bernoulli para Fluidos Compresibles e Incompresibles
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:
En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: : Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean
: Densidad del fluido. : Velocidad de flujo del fluido.
: Valor de la aceleración de la gravedad (
en la superficie de la
Tierra).
: Altura sobre un nivel de referencia.
Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo. Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna). Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.
-Fluidos Compresibles Clasificación: Los fluidos compresibles pueden ser clasificados de varias maneras, la más común usa el número de Mach (Ma) como parámetro para clasificarlo.
Donde V es la velocidad del flujo y a es la velocidad del sonido en el fluido. Prácticamente incompresible: Ma < 0.3 en cualquier parte del fluido. Las variaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser despreciadas. El gas es compresible pero la densidad puede ser considerada constante.
Fluido subsónico: Ma > 0.3 en alguna parte del fluido pero no excede 1 en ninguna parte. No hay ondas de choque en el fluido.
Fluido transónico : 0.8 ≤ Ma ≤ 1.2. Hay ondas de choque que conducen a un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de hipersónicas dentro del fluido. Debido a que normalmente no se pueden distinguir las partes viscosas y no viscosas este fluido es difícil de analizar.
Fluido supersónico : 1.2 < Ma ≤ 3. Normalmente hay ondas de choque pero ya no hay regiones subsónicas. El análisis de este fluido es menos complicado.
Fluido hipersónico: Ma > 3. Los fluidos a velocidades muy grandes causan un calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la frontera del fluido, causando disociación de moléculas y otros efectos químicos.
-Aplicación a Fluidos Compresibles e Incompresibles Si el fluido es incompresible, la presión en cualquier lugar se puede calcular a partir de la ecuación de Bernoulli en la forma de presión (Flujo incompresible):
(1) Si el fluido es compresible y un gas ideal, las presiones estática y de estancamiento están relacionadas por medio de (Flujo compresible):
(2) Si la consideración se restringe a números de Mach menores que 1, se puede expandir el término del número de Mach es una serie infinita empleando el teorema binomial de Newton:
(3)
De la ecuación:
(4) Se tiene:
(5) Si el número de Mach es pequeño, entonces M2/4 es pequeño comparado con 1 y se puede escribir que:
(6) En consecuencia, la ecuación Bernoulli es una aproximación a la relación de presión del flujo isoenergético (sin transferencia de calor) e isoentrópico (la entropía del fluido permanece constante) para números de Mach pequeños. Lo preciso de esta aproximación depende de lo pequeño del número de Mach. La ecuación (5) muestra que a bajos números de Mach el error es proporcional a M2/4. Si se deseara limitar el error al emplear la ecuación Bernoulli para el cálculo de la presión a no más del 2 por ciento, entonces:
No hay nada especial en el error del 2 por ciento. Para estimaciones gruesas, un error del 5 por ciento podría ser aceptable, en cuyo caso el número de Mach debe ser menor que 0.45. El criterio más ampliamente utilizado para el límite entre el fluido compresible y el incompresible coloca el umbral del número de Mach en 0.3: En general se puede suponer que un flujo con M < 0.3 sea incompresible.
-Teorema de Torricelli Cuando un líquido se encuentra confinado dentro de un recipiente permanecerá estático y sin ningún cambio físico hasta que un factor afecte tales condiciones. El factor más común es la aplicación de una fuerza externa al arreglo, ya sea un poco de viento tocando la superficie del líquido, un insecto, una bomba que se ha encendido, etc.
Al existir tal fuerza, se puede ver que el líquido se deforma muy fácilmente y si una parte de este, o todo, cambia de posición continuamente se dice que está fluyendo. Otro factor interesante para que exista el flujo de un líquido es la presión ejercida entre sus moléculas sobre el recipiente que lo contiene; imagínese que se perfora un orificio en alguna parte del recipiente y por debajo del nivel del líquido, este empezará a fluir como producto del empuje de las moléculas que se encuentran por arriba. Por otro lado, ese flujo tendrá una velocidad proporcional a la presión ejercida por el líquido. Es fácil darse cuenta como un liquido sale mas rápidamente cuando existe mas cantidad de este que cuando un recipiente esta casi vacío. Evangelista Torricelli se dio cuenta de tal situación y experimentó cómo la velocidad de un fluido era cada vez mayor mientras la presión lo era por igual, a esto enunció el siguiente teorema: La velocidad del chorro que sale por un único agujero en un recipiente es directamente proporcional a la raíz cuadrada de dos veces el valor de la aceleración de la gravedad multiplicada por la altura a la que se encuentra el nivel del fluido a partir del agujero.
Donde:
es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio es la velocidad de aproximación.
es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
es la aceleración de la gravedad
Bibliografía: www.lawebdefisica.com/dicc/ bernoulli / www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r78135.DOC http://es.scribd.com/doc/6715150/Teorema-de-Torricelli http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli#Ecuaci.C3.B3n_de_Bernoulli_y_la_Primera_Ley_de_l a_Termodin.C3.A1mica http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Torricelli http://www.monografias.com/trabajos66/teoremas-bernoulli-torricelli/teoremas-bernoullitorricelli.shtml
